Sistemas Conexionistas y Evolutivos (IA–5005) Optimización de

Sistemas Conexionistas y Evolutivos (IA–5005)
Optimización de Portafolios de Inversión
c M. Valenzuela 2008
(24 de septiembre de 2008)
En este apunte se presentan las ideas básicas de la optimización de portafolios.
1.
Retorno
Sea ai (k) una serie de valores que representan el valor del activo i para el dı́a k. Definimos el
retorno del activo i como
#
"
ai (k) − ai (k − 1)
.
(1)
ri (k) = ln
ai (k − 1)
2.
Media y varianza
La media de los retornos del activo i está dada por
n
1X
ri (k).
µi = E [ri (k)] =
n k=1
(2)
Asumiendo que el mercado es perfecto y sin tendencias, la media es el mejor predictor del retorno
futuro del activo.
La varianza de los retornos del activo i está dada por
σi2 = E (ri (k) − r̄i )2 =
n
1 X
2
(ri (k) − µi ) ,
n − 1 k=1
(3)
donde se ha incluido la corrección n/(n − 1) para hacer que la varianza no sea un estimador sesgado.
La varianza se usa como una medida del riesgo del activo i.
3.
Pesos de un portafolio
Un portafolio de inversión está compuesto por conjunto de N activos con pesos xi . Cada peso xi
indica la fracción del total del portafolio que se dedica al activo i, y por lo tanto,
N
X
xi = 1.
(4)
xi ≥ 0 ∀ i.
(5)
i=1
Los pesos deben ser postivos, es decir,
4.
Media y varianza de un portafolio
Los retornos de un portafolio están dados por
rp (k) =
N
X
xi ri (k) = x0 r(k),
(6)
i=1
donde



x=

x1
x2
..
.
xN



.

(7)
Optimización de Portafolios de Inversión
Sistemas Conexionistas y Evolutivos (IA–5005)



r(k) = 


r1 (k)
r2 (k)
..
.


.

(8)
rN (k)
La media de los retornos de un portafolio está dada por
µp = E [x0 r(k)] = x0 E [r(k)] = x0 µ,
donde



µ=

µ1
µ2
..
.
(9)



.

(10)
xi σij xj ,
(11)
µN
La varianza de un portafolio está dada por
σp2
=
N X
N
X
i=1 j=1
donde la covarianza σij entre el activo i y el activo j está dada por
N
σij = E [(ri (k) − µi )(rj (k) − µj )] =
N
1 XX
(ri (k) − µi )(rj (k) − µj ).
n − 1 i=1 i=1
(12)
Nótese que
σi2 = σii .
Definiendo la matriz de covarianzas como



C = [σij ] = 

(13)
σ11
σ21
..
.
σ12
σ22
···
···
..
.
σN 1
σN 2
· · · σN N
σ1N
σ2N
..
.



,

(14)
podemos expresar la covarianza del portafolio como
σp2 = x0 Cx.
5.
(15)
Evaluación de un portafolio
Dados los pesos de un portafolio, se mide en términos de su rendimiento, es decir, su retorno
esperado, dado por
µp = x0 µ,
(16)
y su riesgo, es decir, la varianza de sus retornos dada por
σp2 = x0 Cx.
(17)
Dado un conjunto de N activos, el problema de encontrar el portafolio óptimo se puede expresar
como encontrar los pesos óptimos que maximicen el retorno esperado, y minimicen el riesgo, es decir,
max [λx0 µ − (1 − λ)x0 Cx] ,
x
(18)
donde λ es una constante que expresa el compromiso entre rendimiento y riesgo que cumple la
condición siguiente:
0 ≤ λ ≤ 1.
(19)
c M. Valenzuela, 2008 (24 de septiembre de 2008)
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