7 Ecuaciones de primer y segundo grado

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Ecuaciones de primer
y segundo grado
Presentación de la unidad
•La unidad comienza recordando el concepto de ecuación, sus
elementos y la nomenclatura asociada. A partir de ahí, se puede
dividir en dos partes con sendos objetivos bien definidos:
–La primera, imprescindible, es procedimental, y comprende las
técnicas y procesos de cálculo algebraico para resolver ecuaciones, y el camino que se ha de recorrer para conseguir el dominio ágil de esos procesos.
–La segunda comprende el objetivo fundamental: rentabilizar
las ecuaciones como herramienta para resolver problemas.
•Se recuerdan y justifican, primero, las técnicas básicas para transponer términos, y se indican los pasos generales que conviene
seguir en la resolución de ecuaciones de primer grado. Será el
momento de realizar numerosos ejercicios prácticos, secuenciados desde las ecuaciones más sencillas hasta las que presentan
paréntesis y denominadores.
•Pasamos, después, a las ecuaciones de segundo grado, comenzando por las más sencillas, las incompletas, que los alumnos y
las alumnas pueden resolver “con lo que ya saben”.
•Para las ecuaciones completas, se ofrece la fórmula sin entrar en
su justificación, por la dificultad que entraña para la mayoría de
los estudiantes. No obstante, se puede tratar, como ampliación,
con los alumnos y las alumnas más avanzados.
•Se incluye, también, la discusión del número de soluciones según el signo del discriminante.
•La unidad termina presentando algunos problemas resueltos utilizando ecuaciones, con la pretensión de que sirvan de modelo,
comienzo y motor del principal objetivo de todo este aprendizaje:
conseguir la utilidad práctica de todos los contenidos anteriores.
Conocimientos mínimos
Consideramos que, como mínimo, al final de la unidad los estudiantes deben dominar los contenidos siguientes:
•Comprender el concepto de ecuación y la nomenclatura y significado de sus elementos.
•Buscar la solución de una ecuación por tanteo u otros métodos
no algorítmicos.
Esquema de la unidad
ECUACIONES
CONCEPTO Y ELEMENTOS
ECUACIONES EQUIVALENTES
– Reglas para la transposición
de términos en una ecuación
ECUACIONES DE
PRIMER GRADO
CASOS ESPECIALES
• 0x = b
• 0x = 0
Procedimiento general
de resolución
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
INCOMPLETAS
• ax 2
+c=0
• ax 2 + bx = 0
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
– Elección de la incógnita
– Codificación algebraica de los datos y la pregunta
– Planteamiento y resolución de la ecuación
– Interpretación de la solución en el contexto del enunciado
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COMPLETAS
• ax 2 + bx + c = 0
– Fórmula para su
resolución
Adaptación curricular
•Resolver ecuaciones de primer grado.
•Plantear y resolver problemas en los que intervengan ecuaciones
de primer grado.
•Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas sin aplicar
la regla general.
•Identificar los elementos de una ecuación de segundo grado
completa.
•Resolver una ecuación de segundo grado completa aplicando la
fórmula.
•Plantear y resolver problemas en los que intervengan ecuaciones
de segundo grado.
Anticipación de tareas
•Revisar la prioridad de las operaciones y el uso del paréntesis.
•Repasar la operativa con fracciones (reducción a común denominador, suma y resta, producto por un número, simplificación…).
•Operar con monomios y polinomios. Simplificar expresiones algebraicas.
•Traducir enunciados verbales a lenguaje algebraico.
En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación
curricular de esta unidad 7 del libro del alumnado, para cuya elaboración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que
aquí se proponen.
La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para
mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáticas: el práctico y el intelectual.
Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no
han sufrido cambio alguno, o bien se han modificado ligeramente
para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va
dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se
proponen.
Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha suprimido, o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigidos.
Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la unidad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de
nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la
autoevaluación.
En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensamiento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, las TIC, el emprendimiento y la resolución de problemas. Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la
actividad, y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.).
Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*).
APRENDIZAJE COOPERATIVO
PENSAMIENTO COMPRENSIVO
Pág. 87. Actividad sugerida en esta P.D. (*)
PENSAMIENTO CRÍTICO
Pág. 85 Actividad 2 (*)
Pág. 85. Actividad 1
P.D. (*)
Págs. 87, 88 y 89. Modelos resueltos de ecuaciones de primer grado
Pág. 93. Actividad 2 (*)
Pág. 92. Actividad sugerida en esta P.D. (*)
Págs. 90, 91 y 92. Modelos resueltos de ecuaciones de segundo grado
Pág. 96. Actividad 1 (*)
Págs. 93, 94 y 95. Modelos de problemas resueltos con ecuaciones
Pág. 97. Curiosidades matemáticas: “Leyenda
china” (*)
Pág. 91. Actividad sugerida en esta
Pág. 96. Actividad 3 (*)
INTERDISCIPLINARIEDAD
Pág. 97. Actividad sugerida
en esta P.D.
TIC
EMPRENDIMIENTO
Pág. 84. Actividad suge- Pág. 97. Curiosidades matemátirida en esta P.D.
cas: “Usa la equis” (*)
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Todos los problemas propuestos en el L.A. están encuadrados en este apartado. Aquí se señalan algunos que tienen especial interés.
Pág. 94. Actividad 8 (*)
Pág. 95. Actividades 10 y 11
Pág. 97. Actividades 12, 15 (*), 17 y 20 (*)
Pág. 97. Curiosidades matemáticas (*)
77
7
Ecuaciones de primer
y segundo grado
1
UNIDAD
7
Ecuaciones
Idea de ecuación
Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene, al menos,
una letra llamada incógnita.
Etimología
Tanteos iniciales
Incógnita significa desconocida. Viene del latín:
— in, partícula negativa.
— cognoscere, que significa conocer.
Aunque es usual utilizar la x como
incógnita, puede usarse para ello
cualquier otra letra.
La búsqueda de métodos para resolver ecuaciones fue un empeño de los
matemáticos de la Antigüedad. Los primeros intentos, como es natural,
fueron titubeantes, poco sólidos: resoluciones por tanteo o mediante procedimientos solo válidos para casos particulares, pero no generalizables.
Por ejemplo, en un papiro egipcio de 1550 a. C. aparece resuelto el siguiente problema:
Se inicia el camino teórico
Papiro de Ahmes (o Rhind). Fue escrito en el siglo
xvi a. C. y contiene 84 problemas matemáticos.
Las expresiones que hay a ambos lados del signo “=” se llaman miembros. En la ecuación de la derecha,
x + (x + 1) + (x + 2) es el primer
miembro, y 33, el segundo miembro.
x + (x + 1) + (x + 2) = 33
Esta igualdad es una ecuación y su significado es: “Queremos que x + (x + 1) +
+ (x + 2) sea igual a 33. ¿Para qué valor de x es cierta esa propuesta?”.
Es decir: ¿Para qué valor de x se cumple la igualdad?
Decir que la solución es x = 10 equivale a decir que “cuando x vale 10, entonces es cierto que x + (x + 1) + (x + 2) es igual a 33”.
Tipos de ecuaciones y resolución por tanteo
“Si al número de elefantes
que beben en el río le sumo
el número de colmillos y el
número de patas, obtengo
su cuadrado. ¿Cuántos elefantes son?”.
Incógnitas
Hay ecuaciones con más de una incógnita.
En la próxima unidad nos ocuparemos de las ecuaciones con dos incógnitas.
Avances significativos
En el siglo ix, en Bagdag aparece un personaje clave, el árabe Al-Jwarizmi,
que dio otro importantísimo paso. Su libro Al-jabr wa-l-muqabala es un
referente fundamental en la historia del álgebra. Fue estudiado y traducido
a todos los idiomas en siglos posteriores. El título viene a ser “transposición
y cancelación” y alude a los trasiegos que se realizan con los coeficientes
para despejar la incógnita. El libro acabó siendo denominado, simplemente, Al-yabr, y este nombre finalmente designó la ciencia que contenía (aljabr ∼ álgebra).
Ejemplo
Las alturas de tres árboles son números enteros consecutivos y su suma es 33. Halla la
altura del árbol más bajo.
Los datos del problema se pueden relacionar mediante lenguaje algebraico, con
la siguiente igualdad:
Nomenclatura
En su obra aparecen problemas de este tipo:
Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclusión de que no tiene.
Llamamos x a la altura del árbol más bajo. Las alturas de los otros dos árboles
serán x + 1 y x + 2.
“El montón más un séptimo del montón es igual a 24. ¿Cuántos hay en el
montón?”.
El primero que lo afrontó de forma rigurosa fue el griego Diofanto, en
el siglo iii. En su libro Aritmética trató las resoluciones de ecuaciones de
primer grado y algunas de segundo grado. Además, los problemas que propuso prepararon el terreno para consolidar la teoría de ecuaciones, que se
desarrolló siglos más tarde.
La solución de la ecuación es el valor o valores de la incógnita (o de las incógnitas) que hacen que la igualdad sea cierta.
A lo largo de tu formación matemática, te encontrarás con ecuaciones de muy
diversos tipos. Por ejemplo:
1 =3
2x = 16
x= 5
3(x – 5) + 2x = 6 x 2 – 5 = 4x
x
En algunos casos las podremos resolver tanteando, buscando “a ojo” la solución.
Por ejemplo:
2x = 16 → Para que 2 elevado a un número dé 16, ese número tiene que
ser 4. La solución de la ecuación es x = 4.
Pero, a veces, puede que la ecuación tenga más de una solución o que no seamos
capaces de resolverla “a ojo”. Por eso necesitamos aprender métodos que nos
permitan resolver ecuaciones más complejas. Es lo que haremos en esta unidad.
Piensa y practica
1. ¿Es x = 5 solución de alguna de estas ecuaciones?
a) 7x + 1 = 34
b) x 2 – 10 = 15
c) 1x = 5
d) 2x = 32
Justifica tu respuesta.
Sello ruso en honor de Al-Jwarizmi.
2.
Obtén “a ojo” una solución de cada una de
estas ecuaciones:
3
a) 2x – 1 = 5
b) x = 9
3
2
c) x – 1 = 35
d) x + 1 = 6
84
Al iniciar la unidad
•A lo largo de la historia, los procedimientos algebraicos fueron ganando
en eficacia y generalidad, ayudados por la evolución de la notación. En
estas lecturas se pone de manifiesto ese hecho.
•Como es natural, vuelven a aparecer los grandes impulsores del álgebra: Diofanto de Alejandría y, sobre todo, Al-Jwarizmi (780-850), que fue
el precursor de las primeras reglas del cálculo algebraico: la transposición de términos de uno a otro miembro de la ecuación y la anulación
de términos idénticos en ambos miembros.
TIC
Se sugiere la siguiente actividad:
Buscar información en Internet sobre la historia de las técnicas empleadas
en la antigua China para la resolución de problemas mediante ecuaciones
(Los nueve libros; Liu Hui; Sunz-zi; Quin Jiu-shao…).
85
•Se muestran algunos tipos de ecuaciones con el objetivo de que los estudiantes sepan que hay muchas ecuaciones que no aprenderán a resolver este curso, pero que siempre tendrán el recurso del tanteo para buscar o aproximarse a la solución.
•Se sugiere resolver ecuaciones por tanteo mediante cálculo mental, explicando cada paso para llegar a la solución, como, por ejemplo:
(x + 1 ) 2
– 10 = 2
3
(x + 1 ) 2
tiene que valer 12, porque 12 – 10 = 2.
3
(x + 1)2 tiene que ser igual a 36, porque 36 : 3 = 12.
x + 1 puede ser igual a 6 → x = 5
x + 1 puede ser igual a – 6 → x = –7
•En otros casos será necesario recurrir a la calculadora para resolver el
problema. La reflexión inicial sobre el número por el que se debe iniciar
el tanteo es una buena actividad para fomentar la estimación y la aproximación de la solución.
Sugerencias
•Presentamos el concepto de ecuación como la búsqueda de la respuesta a la pregunta ¿Para qué valor de x ocurre tal cosa? Los alumnos y las
alumnas deben aprender y asimilar que los números que responden a
esa pregunta son las soluciones de la ecuación, y si no hay ningún valor
de x para el cual la igualdad sea cierta, entonces la ecuación no tiene
solución. Por todo esto, la ecuación se define como una propuesta de
igualdad.
•Los conceptos de ecuación, incógnita y solución son fundamentales en
toda esta unidad. Es importante que los estudiantes sepan comprobar
si un número es o no solución de una ecuación y resolver la actividad
recíproca: escribir una ecuación cuya solución conocemos.
78
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
•Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicio 1 de la pág. 3. Ejercicio 2 de la pág. 11. Ejercicios 3, 4
y 5 de la pág. 12.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 Es solución de las ecuaciones b) y d).
2 a)x = 3
b)x = 3
c) x = 6
d)x = 35
2 Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas
carecen de solución.
Ejemplo
Las dos ecuaciones que siguen tienen por solución x = 10:
a) 5x – 4 = 66 – 2x → 5 · 10 – 4 = 66 – 2 · 10
b) 3x – 7 = 23
→ 3 · 10 – 7 = 23
a) y b) son equivalentes.
Transformaciones que mantienen
la equivalencia de ecuaciones
Para resolver una ecuación, hemos de despejar la x mediante una serie de pasos.
Cada paso consiste en transformar la ecuación en otra equivalente en la que la x
esté más próxima a ser despejada. Recordemos algunas reglas para obtener ecuaciones equivalentes:
•Sumar o restar la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación.
Ejemplo
La ecuación 3x – 5 = 1 tiene por solución x = 2 (3 · 2 – 5 = 1).
Sumamos 5 a los dos miembros:
3x – 5 + 5 = 1 + 5 → 3x = 6 → Solución: x = 2 (3 · 2 = 6)
3x – 5 = 1 ↔ 3x = 6 (son equivalentes)
•Multiplicar o dividir los dos miembros de la ecuación por el mismo núme-
ro distinto de cero.
Ejemplo
La ecuación x = x – 4 tiene por solución x = 6 d 6 = 6 – 4n.
3
3
Multiplicamos por 3 los dos miembros:
3 · x = 3 · (x – 4) → x = 3x – 12 → Solución: x = 6 (6 = 3 · 6 – 12)
3
x = x – 4 ↔ x = 3x – 12 (son equivalentes)
3
No lo olvides
Reglas prácticas para obtener ecuaciones equivalentes más sencillas:
pasa sumando
• 15x – 5 = 2x + 4 →
pasa restando
→ 15x – 2x = 4 + 5
pasa dividiendo
• 3 (x + 4) = 8 → x + 4 = 8
3
•Lo que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro. Y
viceversa.
•Lo que está multiplicando a todo lo demás de un miembro, pasa dividiendo
al otro. Y viceversa.
Ejemplos
Aplicamos las reglas a las ecuaciones anteriores:
3x – 5 = 1 → 3x = 1 + 5 → 3x = 6
x = x – 4 → x = 3(x – 4) → x = 3x – 12
3
A las ecuaciones polinómicas de primer grado se las llama, simplemente, ecuaciones de primer grado. En ellas, la x solo aparece elevada a 1 (x1 = x).
Observa
La ecuación
3 +2=x
x
no es de primer grado.
Si se multiplican sus miembros por
x, se obtiene 3 + 2x = x 2, que es de
grado dos.
Comprueba que ambas tienen dos
soluciones:
x=3
x = –1
Es decir, son equivalentes.
Una ecuación de primer grado es una expresión que se puede reducir a la
forma ax + b = 0, siendo a ≠ 0. Tiene una única solución: x = – b
a
Por ejemplo, son de primer grado: 3x + 5 = 8
No son de primer grado: (3x +
5)2
=8
3 x + 7 = 4 – 2x
4
x – 2,5 = 4
3 +2=x
x
3x + 1 = 5x
Casos especiales
Existen expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin embargo,
no tienen solución o tienen infinitas soluciones. Por ejemplo:
•3x – 5 = 3(x + 1) → 3x – 5 = 3x + 3 → 3x – 3x = 3 + 5 → 0x = 8
No lo olvides
No puede ser 0x = 8. Por tanto, la ecuación no tiene solución.
Al intentar resolver una ecuación, a
veces llegamos a:
• 0x = b, con b ≠ 0
La ecuación no tiene solución.
• 0x = 0
La ecuación tiene infinitas soluciones. Es una identidad.
•3x – 5 = 3(x – 2) + 1 → 3x – 5 = 3x – 5 → 3x – 3x = –5 + 5 → 0x = 0
La igualdad 0x = 0 es cierta para cualquier valor de x. Por tanto, la ecuación
tiene infinitas soluciones.
Realmente, estas igualdades no son ecuaciones, pues carecen del término en x.
Sin embargo, puesto que antes de simplificar no sabemos en qué van a quedar,
las trataremos como ecuaciones.
Recuerda, a continuación, cómo se resuelven las ecuaciones más sencillas.
Ejercicio resuelto
8 – 3x + 11x – 6 = 4x – 7 – x – 1
Resolver esta ecuación:
← Reducir los polinomios
← Transponer términos y reducir
2 + 8x = 3x – 8
8 – 3x + 11x – 6 = 4x – 7 – x – 1
8x – 3x = –8 – 2 ↔ 5x = –10
x = –10 ↔ x = –2
5
← Despejar x
Piensa y practica
1. Resuelve mentalmente. Indica, si es el caso, cuándo la
ecuación no tiene solución o tiene infinitas soluciones.
3. Resuelve y comprueba que tus soluciones coinciden
con las que se ofrecen debajo.
a) 5x = 15
b) 3x = – 6
c) –2x = 10
a) 11x – 3 + x = 10x – 13
d) – 4x = –20
e) 3x = 1
f ) –2x = 10
b) x – 3 – 4x = 3x – 4 + x
g) 6x = 0
h) 0x = 6
i) 0x = 0
c) 9 – 3x – 2 – 3x = 1 – 3x + 3 – x
2. Resuelve estas ecuaciones. ¿Son equivalentes?
a) 4x – x = 1 + x
b) 10 – 7x – 6x = 5 – 3x
c) 4x + 6 – x = 5x + 5
d) 9 = 9x – x – 3 – 2x
En la web
d) 8x = 6x – 4x – 3 + x + 7 + 5x – 2
e) 7x + 12 – 4x – 3 = 10 + 2x – 1 + x
Soluciones: a) –5; b) 1/7; c) 3/2; d) Sin solución;
e) Infinitas soluciones.
Iniciación. Resuelve ecuaciones con denominadores muy sencillas.
86
Sugerencias
•En la página 86 se recuerda un concepto fundamental en la justificación
de las técnicas de resolución de ecuaciones: las ecuaciones equivalentes. Y a continuación se revisan razonadamente los procedimientos básicos para la transposición de términos entre los miembros de una ecuación.
•Es conveniente que el alumnado, al comienzo, resuelva algunas ecuaciones razonando y explicando la transformación efectuada en cada paso para llegar a despejar la x, antes de aplicar las reglas prácticas que
se convertirán en automatismos. De esta forma, se evitarán errores que
suelen observarse, como, por ejemplo, en la ecuación 2x – x = 5, “pa3
sar el 3 multiplicando a la derecha” (2x – x = 15), o en la ecuación
–3x = 5, “pasar el 3 sumando a la derecha” (x = 3 + 5).
•El epígrafe que comienza en la página 87 aclara cuándo una ecuación es
de primer grado, y se detiene en el análisis de los casos especiales
(identidades y ecuaciones incompatibles), indicando la forma de abordarlos.
•La definición de ecuación de primer grado, como aquella que se puede
reducir a la forma ax + b = 0 con a ≠ 0, nos lleva a la conclusión de que
expresiones de la forma 0 · x = b o bien 0 · x = 0 no son auténticas
ecuaciones porque en ellas no se cumple la condición a ≠ 0.
•No es difícil comprender que hay infinitas soluciones en el caso 0 · x = 0 y que no hay ninguna solución en el caso 0 · x = b. Sin embargo, inicialmente las trataremos como si fueran ecuaciones, puesto que, antes de
simplificarlas, no es posible saber si responden a estas características.
7
UNIDAD
87
Aprendizaje cooperativo
Para las páginas destinadas a reforzar las técnicas de resolución de ecuaciones, se sugiere la siguiente metodología:
– Los estudiantes, distribuidos en parejas o en tríos, resuelven una serie
de ejercicios individualmente y, después, contrastan las soluciones y los
procesos.
– Si hay discrepancias, deben descubrir los errores. Si no saben resolver
las dudas o no se ponen de acuerdo, actuará el docente.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a)x = 3
b)x = –2
c) x = –5
d)x = 5
e)x = 1/3
f ) x = –5
g)x = 0
h)Sin solución.
i ) Infinitas soluciones.
2 a)x = 1/2
b)x = 1/2
c) x = 1/2
d)x = 2
Son equivalentes las ecuaciones a), b) y c).
3 Las soluciones aparecen en el libro del alumnado.
ANOTACIONES
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
•Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la pág. 13.
79
7
UNIDAD
Pasos para resolver ecuaciones de primer grado
Resuelve por tanteo
a) x + 1 = x
3
2
b) 8 – x = x + 1
2 5
c) x + x + x = 13
2 3
4
Ayuda: todas las soluciones son números enteros.
Ejercicio resuelto
Resolver la ecuación siguiente:
Seguramente, aprendiste a resolver ecuaciones de primer grado sencillas durante
los cursos pasados. Ahora vamos a entrenarnos para resolver ecuaciones de primer grado algo más complejas.
Ejercicios resueltos
1. Resolver esta ecuación:
x + 1 = 1 – x + 3x
2 5
5 10
En general, los pasos que conviene dar para ir despejando la x son:
1. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican los dos miembros
de la ecuación por un múltiplo común de los denominadores; preferiblemente, por su mínimo común múltiplo.
2. Quitar paréntesis, si los hay.
3. Pasar los términos en x a un miembro y los números al otro miembro.
4. Simplificar cada miembro.
5. Despejar la x. Se obtiene, así, la solución.
6. Comprobación: sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial
para comprobar que coinciden los resultados.
Esta secuencia no hay que tomarla como algo rígido, pues habrá ocasiones en que
convenga saltarse algún paso o cambiar el orden. El entrenamiento y el sentido
común te orientarán sobre cuándo conviene hacer una cosa u otra.
5x – 3(2x + 1) = 6(x – 4) – 7
5x – 3(2x + 1) = 6(x – 4) – 7
5x – 6x – 3 = 6x – 24 – 7
2. Calcular el valor de x:
3 x – 1 – 2 ( x + 3) =
20
5
= 4x + 2 – 5
15
← Quitar paréntesis
← Reducir
a) 2x + 3(3x – 2) + x = 10(x – 3) + 14
b) x – 3 – 4x = 3(x – 1) + x – 1
c) 6 = 8x – (x – 5) – 10x
d) 9 – 4x – 2(1 – x) = 1 – 3(x – 1) – x
e) – 4 = 5(1 – x) – x – 3(1 + 7x)
f ) 8x = 6x – 4x – 3 + x + 7 + 5x – 2
g) 7x – 2(x – 1) – 4 = 10 – 4(3 – x) + x
Soluciones: a) –5; b) 1/7; c) –1/3; d) –3/2; e) 2/9;
f ) Sin solución; g) Infinitas soluciones.
3x – 1 – 2 (x + 3) = 4x + 2 – 5
20
5
15
← Quitar denominadores multiplicando…
60 · e 3x – 1 – 2 (x + 3) o = 60 · d 4x + 2 – 5n ← … por 60, que es el mín.c.m.
20
5
15
de 20, 5 y 15
3(3x – 1) – 24(x + 3) = 4(4x + 2) – 300
← Quitar paréntesis y reducir
9x – 3 – 24x – 72 = 16x + 8 – 300
← Transponer términos, reducir y
despejar
–31x = –217 → x = –217 → x = 7
–31
_
3 · 7 – 1 – 2 (7 + 3) = 20 – 20 = –3 b
b
20
5
20
5
` ← Comprobación
4 · 7 + 2 – 5 = 30 – 5 = –3
bb
15
15
a
← Despejar x
Piensa y practica
Piensa y practica
con las que se ofrecen debajo.
← Transponer términos, reducir y despejar
_
2 + 1 = 10 + 2 = 12 = 6
bb
10
10 5
2 5
` ← Comprobación
5
2
+
3
–
3
2
3
·
6
2
2
1– +
=1 – + =
= bb
10
5 5
5
5a
5
5 · 4 – 3 (2 · 4 + 1) = 20 – 3 · 9 = 20 – 27 = –7
4 ← Comprobación
6 ( 4 – 4) – 7 = 6 · 0 – 7 = – 7
4. Resuelve y comprueba que tus soluciones coinciden
10 · d x + 1 n = 10 · d1 – x + 3x n ← … por 10, que es el mín.c.m. de 2, 5 y 10
2 5
5 10
4x = 8 → x = 8 → x = 2
4
← Reducir
28 = 7x
28 = x → x = 4
7
← Quitar denominadores multiplicando...
5x + 2 = 10 – 2x + 3x
← Transponer términos
– x – 3 = 6x – 31
– 3 + 31 = 6x + x
x + 1 = 1 – x + 3x
2 5
5 10
5. ¿Qué números pondrías en cada casilla para que la
ecuación
x + 5 = 2x +
…
a) … tenga infinitas soluciones?
b) … no tenga solución?
6. Busca el valor que debe tomar la a en la igualdad
3x – a(x + 1) = 5
para que la ecuación no tenga solución.
7. Considera la igualdad 5a – 2(a + b) = 7 – 3(a – b).
a) Calcula el valor de b cuando a = 3.
b) Calcula el valor de a cuando b = 5.
8. Quita denominadores y resuelve.
a) 1 + x = x – x + 3x
2 3
2 10
b) 2 – x + x = 5x + 1
4
8
c) x + x – 2x = 1
2 4
5
d) x – 1 = 2x – 13x + 1
5 3
15
e) 1 – 5x + x = x – 2
9 6
3
Soluciones: a) 15/14; b) –8; c) 20/7; d) 1;
e) 6/5
9. Calcula el valor de x en cada caso:
a) x – 1 + 3x = x – 2x – 1
10
5
4
b) x + 2 – 1 = x – 1 – 3x
6
3
4
c) 3 (1 + 2x) – x = 1 – 3 – x
4
8
2
d) x – 2 – 3x – 1 = 2 (x + 1) – 1
10
8
5
e) 4 (x – 2) – 3 (1 – x) = 21x – 11 – 7
9
2
8
24
Soluciones: a) 2; b) 3/19; c) Sin solución; d) 7/9;
e) –52/49
88
89
Sugerencias
•Aclarados los aspectos teóricos en la página anterior, atendemos ahora
a los procedimentales. Se proponen los pasos generales que se han de
seguir al abordar la resolución de ecuaciones, aclarando que no se trata
de un proceso rígido y que se pueden saltar o cambiar de orden algunas etapas.
4 Las soluciones aparecen en el libro del alumnado.
•Conviene averiguar cuál es el nivel de competencia de los alumnos y las
alumnas en la resolución de ecuaciones de primer grado, para seleccionar la cantidad y la dificultad de las actividades que trabajaremos en la
unidad.
6 a = 3
•En los ejercicios resueltos, los estudiantes encontrarán modelos para superar las situaciones y dificultades más características en los procesos
de resolución, como gestionar los paréntesis o quitar denominadores,
especialmente cuando algunos numeradores son binomios. En este último caso se atenderá especialmente al signo que precede a cada
fracción.
•La comprobación de la solución, que los estudiantes deben hacer sistemáticamente, es más eficaz si se maneja con soltura tanto el uso del
paréntesis como la tecla de fracción en la calculadora.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
•Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicio 3 de la pág. 13.
Ejercicios 4 a 13 de las páginas 14 a 17.
Ampliación: Ejercicios 14 y 15 de la pág. 17.
80
Soluciones de “Piensa y practica”
Ejercicio 1 de la pág. 18.
5 a)2x + 5 = 2x + 5
b)En la primera casilla, un 2. En la segunda, cualquier número distinto
de 5.
7 a)b = 11/5
b)a = 16/3
8 Las soluciones aparecen en el libro del alumnado.
9 Las soluciones aparecen en el libro del alumnado.
ANOTACIONES
3 Ecuaciones de segundo grado
UNIDAD
Para resolver la ecuación ax 2 + bx + c = 0 en la que a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0 (ecuación completa), aplicamos la siguiente fórmula:
Una ecuación de segundo grado es de la forma:
ax 2 + bx + c = 0, con a ≠ 0
Por ejemplo, son ecuaciones de segundo grado las siguientes:
•3x 2 – 3x – 6 = 0
→ a = 3, b = –3, c = – 6
•2x 2
–8=0
→ a = 2, b = 0, c = –8
•x 2 – 6x = 0
→ a = 1, b = – 6, c = 0
En la primera ecuación, a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0. Este tipo de ecuaciones se denominan completas.
En la web
Clasificación de ecuaciones de
segundo grado.
↓
Despejamos x 2 y obtenemos fácilmente los valores de x.
Para resolverla, despejamos x 2:
En la web
x =2
3 Hay dos soluciones.
x = –2
ax 2
Ecuaciones incompletas con c = 0
Por ejemplo: x 2 – 6x = 0
Así se hace
+ bx = 0
↓
Sacamos x factor común e igualamos
a cero cada factor.
Para resolverla, sacamos x factor común:
x 2 – 6x = 0 → x · (x – 6) = 0
Ahora, tenemos en cuenta que, para que un producto de dos factores sea igual a
cero, es necesario que sea cero alguno de ellos. Es decir:
x · (x – 6) = 0
En la web
Practica las ecuaciones incompletas con c = 0.
Ten en cuenta
No hay ningún número que al elevarlo al cuadrado dé – 4.
Las ecuaciones incompletas también se pueden resolver aplicando la
fórmula, pero es mucho más sencillo
resolverlas como vimos en la página
anterior.
Como ejemplo, vamos a resolver la ecuación x 2 – 5x + 6 = 0.
En ella, a = 1, b = –5 y c = 6.
Aplicamos la fórmula:
2
x = –b ! b – 4ac = 5 ! 25 – 24 = 5 ! 1 =
2a
2 ·1
2
6
x = 2 =3
= 5 !1
4
2
x = 2 =2
Comprobación: 32 – 5 · 3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0
22 – 5 · 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0
Ejercicio resuelto
Resolver: a)
Resolver las ecuaciones siguientes:
a) x 2 – 4x + 4 = 0
Ten en cuenta
– 15x = 0
b) 2x 2 + 4x + 10 = 0
a) x 2 – 4x + 4 = 0 → a = 1, b = – 4, c = 4. Es completa, luego:
Al aplicar la fórmula:
2
x = –b ± b – 4ac
2a
• Si lo que va debajo de la raíz sale
cero, la ecuación tiene una única
solución.
• Si lo que va debajo de la raíz sale
negativo, la ecuación no tiene solución.
x =0
3 Hay dos soluciones.
x – 6=0 8 x =6
2
x = –b ! b – 4ac = 4 ! 16 – 16 = 4 ! 0 = 4 = 2
2a
2
2
2
Hay una solución: x = 2
b) 2x 2 + 4x + 10 = 0 → a = 2, b = 4, c = 10. Es completa, luego:
2
x = –b ! b – 4ac = – 4 ! 16 – 80 = – 4 ! –64
2a
4
4
No tiene solución, pues no existe –64 (ningún número elevado al cuadrado
da –64).
Piensa y practica
Ejercicio resuelto
5x 2
2
x = –b ! b – 4ac
2a
Hay dos soluciones: x1 = 3, x2 = 2
En la web
Ayuda para resolver ecuaciones de
segundo grado.
2x 2 – 8 = 0 → 2x 2 = 8 → x 2 = 4
Ahora, obtenemos los valores de x teniendo en cuenta que hay dos números
cuyo cuadrado es 4. Son 2 y –2. Es decir:
x2 = 4 → x = ± 4
Practica las ecuaciones incompletas con b = 0.
Reflexiona
Veamos cómo resolver cada una de ellas.
Por ejemplo: 2x 2 – 8 = 0
ax 2 + c = 0
soluciones de una ecuación
de segundo grado
En la segunda, b = 0; y en la tercera, c = 0. Este otro tipo de ecuaciones se
llaman incompletas.
Ecuaciones incompletas con b = 0
Así se hace
7
Ecuaciones completas
b)
2x 2
+8=0
a) Incompleta con c = 0 → Sacamos x factor común:
x =0
5x 2 – 15x = 0 → x(5x – 15) = 0
5x – 15 = 0 8 x = 3
b) Incompleta con b = 0 → Despejamos x 2:
2x 2 + 8 = 0 → 2x 2 = –8 → x 2 = – 4 → x = ± – 4 No tiene solución
1. Resuelve estas ecuaciones sin aplicar la fórmula:
2. Resuelve estas ecuaciones aplicando la fórmula:
a) 5x 2 – 5 = 0
b) 5x 2 + 5 = 0
a) x 2 – 6x + 5 = 0
b) x 2 + 6x – 7 = 0
c) 2x 2 + 3 = 35
d) x 2 – 9x = 0
c) 2x 2 + 2x – 24 = 0
d) x 2 + 4x + 3 = 0
e) 2x 2 – 6x = 0
f ) 5x 2 + 5x = 0
e) x 2 – 10x + 25 = 0
f ) x2 – x + 1 = 0
g) 8x 2 – 16x = 0
h) 4x 2 = 36
g) x 2 + 2x + 1 = 0
h) –x 2 + 5x – 6 = 0
i) x 2 + 1 = 0
j) x 2 + x = 0
i) –2x 2 – 12x + 14 = 0
j) –x 2 – 2x – 1 = 0
90
Sugerencias
•Se tratan en este epígrafe las ecuaciones de segundo grado comenzando por las incompletas, mostrando mediante ejemplos que se pueden
abordar “con lo que ya se sabe”.
•Antes de entrar en el método general para la resolución de las completas, se pueden presentar ecuaciones sencillas del tipo (x – 2)2 = 0; (x + 3)2 = 1; x 2 – 9 = 0; x 2 + 4 = 0, que los estudiantes podrán resolver
mentalmente de manera intuitiva. De esta forma no les será difícil comprender que una ecuación de segundo grado puede tener una, dos o
ninguna solución.
91
Aprendizaje cooperativo
Para las páginas destinadas a reforzar las técnicas de resolución de ecuaciones, se sugiere la siguiente metodología:
– Los estudiantes, distribuidos en parejas o en tríos, resuelven una serie
de ejercicios individualmente y, después, contrastan las soluciones y los
procesos.
– Si hay discrepancias, deben descubrir los errores. Si no saben resolver
las dudas o no se ponen de acuerdo, actuará el docente.
Soluciones de “Piensa y practica”
•Después, al aplicar la fórmula general, hemos de tener presente la dificultad que entraña inicialmente la notación general ax 2 + bx + c = 0 en
la identificación de los coeficientes a, b y c. Para evitar errores, conviene ejemplificar distintos casos, recorriendo los posibles signos de los
coeficientes.
1 a)x1 = – 1; x2 = 1
•La demostración de la fórmula de resolución es una decisión del profesor o de la profesora según las características de su alumnado.
•Es conveniente que los estudiantes lleguen a la conclusión de que, aunque las ecuaciones incompletas también pueden resolverse con la
fórmula general, los procedimientos específicos son más eficaces y con
ellos se cometen menos errores.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
b)Sin solución.
c) x1 = – 4; x2 = 4
d)x1 = 0; x2 = 9
e)x1 = 0; x2 = 3
f ) x1 = –1; x2 = 0
g)x1 = 0; x2 = 2
h)x1 = –3; x2 = 3
i ) Sin solución.
j ) x1 = –1; x2 = 0
2 a)x1 = 1; x2 = 5
b)x1 = –7; x2 = 1
c) x1 = – 4; x2 = 3
d)x1 = –3; x2 = –1
e)x = 5
f ) Sin solución.
g)x = –1
h)x1 = 2; x2 = 3
i ) x1 = –7; x2 = 1
j ) x = –1
ANOTACIONES
•Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1 a 6 de las páginas 19 a 21.
Ampliación: Ejercicios 1 a 4 de las páginas 23 y 24.
81
Otras ecuaciones de segundo grado
En general, una ecuación de segundo grado se presentará en forma no reducida
y será necesario simplificarla, transformándola en otra equivalente, con la forma
que has visto en la página anterior, para poder aplicar la fórmula.
Ejercicios resueltos
1. Resolver la ecuación 10 – (x – 2) 2 = 2x(x – 1) + 3x.
Compruébalo
10 – (x – 2)2 = 2x(x – 1) + 3x
• Para x = 2:
10 – (2 – 2)2 = 2 · 2 · (2 – 1) + 3 · 2
• Para x = –1:
10 – (–1 – 2)2 = 2 · (–1) · (–1 – 1) +
+ 3 · (–1)
10 – (x –
2)2
← Desarrollar (x –
= 2x(x – 1) + 3x
2)2
10 – (x 2 – 4x + 4) = 2x(x – 1) + 3x
← Eliminar paréntesis
10 – x 2 + 4x – 4 = 2x 2 – 2x + 3x
← Transponer y reducir
4
Resolución de problemas mediante ecuaciones
Observación
En la próxima unidad, al estudiar
sistemas de ecuaciones, podrás utilizar más de una incógnita. Verás que,
así, se simplifica la tarea de traducir
enunciados a ecuaciones.
Elvira tiene 8 años menos que Carlos y este tiene 2 años más que Lourdes. Sumando
las edades de los tres, obtenemos 17 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?
2
2. Resolver la ecuación x + 3 – 1 = x – 3 + 4 – x
x
x + 3 – 1 = x – 3 + 4 – x2
2
x
x
2x
1. Llamamos x a la edad de Lourdes. De acuerdo con esto, tenemos que:
2x
— Edad de Lourdes → x
← Multiplicar por 2x para…
— Edad de Carlos → x + 2
— Edad de Elvira → x + 2 – 8 → x – 6
2
2x d x + 3 – 1 n = 2x e x – 3 + 4 – x o ← … eliminar los denominadores
x
2x
2
x
Ten en cuenta
En la ecuación de la derecha, rechazamos como solución x = 0, que
es solución para la ecuación final,
2x 2 + x = 0, pero no para la ecuación
propuesta, ya que
0 + 3 – 1 = 0 – 3 + 4 – 02
2
0
0
2·0
carece de sentido por tener algunos
denominadores nulos.
2. Obtenemos la ecuación que relaciona lo conocido con lo desconocido:
x(x + 3) – 2 = 2(x – 3) + (4 – x 2)
← Eliminar paréntesis
x–6
x 2 + 3x – 2 = 2x – 6 + 4 – x 2
← Transponer y reducir
2x 2 + x = 0
← Resolver la ecuación de segundo
grado incompleta
↑
Elvira
x(2x + 1) = 0
3. Resuelve las ecuaciones siguientes:
• Lourdes → 7 años
• Carlos → 9 años
• Elvira → 1 año
7 + 9 + 1 = 17
4. Reduce, resuelve y comprueba las soluciones:
2
a) x + 2x + 3 = 1 – 2x
3
3
2
b) x – x = x – 1
2 6 4 12
2
2
c) 5x + 2x = 3x + x
3
5
2
3
d) 3x – 1 = 3
2
x 2
e) x – 1 + 1 = 1 – 2
3
x
3x
a) (x – 3)x + 1 = x 2 – 5x(x + 1)
b) 3(x – 1) – 4x = 2(x + 1)(x – 1) + 2
c) 3x 2 – (x + 3)2 = x 2 – 17
d) 2x 2 – (x – 5)2 = 11 – (x – 6)2
e) 5x(x 2 – x) + 1 = x 2(5x – 3) + x
1)2
g) 8x – [x 2 + (x – 2)2] = –(x + 2)2
En la web
+
x+2
+
x
= 17
↑
↑
Carlos Lourdes
3. Resolvemos la ecuación:
Compruébalo
x = 0 8 no válida
2x + 1 = 0 8 x = – 1
2
Piensa y practica
f ) 10x + (2x – 3)(2x + 3) = 5 – 2(x –
2. Relacionar mediante una igualdad (ecuación) lo conocido con lo desconocido.
Problema 1
x =2
x = –1
x
1. Identificar los datos conocidos, lo que deseamos conocer y dar nombre a la
incógnita.
4. Interpretar la solución en el contexto del enunciado.
(a = 1, b = –1, c = –2)
2
Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir a lenguaje algebraico
las condiciones que relacionan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Conviene proceder de forma organizada, por lo que es útil seguir estos pasos:
3. Resolver la ecuación.
0 = 3x 2 – 3x – 6 → x 2 – x – 2 = 0 ← Resolver con la fórmula
x = 1± 1+ 8 = 1± 3
2
2
7
UNIDAD
x – 6 + x + 2 + x = 17 → 3x = 21 → x = 7
4. Interpretamos la solución ajustándola al enunciado:
— Lourdes tiene 7 años.
— Carlos tiene 7 + 2 = 9 años.
— Elvira tiene 7 – 6 = 1 año.
Piensa y practica
1. Calcula tres números sabiendo que:
— El primero es 20 unidades menor que el segundo.
— El tercero es igual a la suma de los dos primeros.
— Entre los tres suman 120.
2.
Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 14,30 €. El videojuego es cinco veces
más caro que el cómic, y este cuesta el doble que el
helado. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
3. Dos albañiles que trabajan asociados reciben 1 400
como pago de cierto trabajo. ¿Cuánto debe cobrar cada uno si el primero trabajó las dos quintas partes de
lo que trabajó el otro?
4. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 4 cm
más que cada uno de sus lados iguales. Halla la longitud de los lados sabiendo que
x
su perímetro es de 40 cm.
x+4
Practica la resolución de ecuaciones de segundo grado.
92
93
Sugerencias
Sugerencias
•En ocasiones, los estudiantes encontrarán ecuaciones de segundo grado con una fisonomía más complicada que la que han manejado en la
página anterior. Los pasos que hay que dar para llegar a la expresión
que nos permite aplicar la fórmula general son básicamente los mismos
que se han aplicado en la resolución de ecuaciones de primer grado:
suprimir denominadores y paréntesis, desarrollar potencias de binomios,
efectuar productos, reducir términos semejantes, transponer términos...
Refuerzo y Ampliación
•Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Ampliación: Ejercicio 7 de la pág. 22. Ejercicio 1 de la pág. 25.
•En los problemas de tipo algebraico, que son los que vamos a resolver
en esta unidad, los pasos que hay que seguir son los que se indican de
manera muy breve en el texto. A dichos pasos podríamos añadir las siguientes puntualizaciones:
– En primer lugar, se requiere una lectura minuciosa y comprensiva del
enunciado, buscando la información explícita e implícita, los datos relevantes, lo que queremos calcular y la elección adecuada de la incógnita.
– En segundo lugar, hay que traducir del lenguaje verbal del enunciado
al lenguaje algebraico para llegar a una ecuación. Para esto, pueden
ser de gran utilidad algunas de las técnicas siguientes:
• Construir una tabla en la que se organice la información.
• Hacer un dibujo, gráfico o diagrama con los datos del problema.
Aprendizaje cooperativo
• Plantear y resolver casos más sencillos.
Para las páginas destinadas a reforzar las técnicas de resolución de ecuaciones, se sugiere la siguiente metodología: Los estudiantes, distribuidos
en parejas o en tríos, resuelven una serie de ejercicios individualmente y,
después, contrastan las soluciones y los procesos. Si hay discrepancias,
deben descubrir los errores. Si no saben resolver las dudas o no se ponen
de acuerdo, actuará el docente.
•Los enunciados de muchos de los problemas que vamos a resolver en
esta unidad presentan situaciones en las que aparecen fracciones, proporcionalidad, porcentajes... que ya se resolvieron numéricamente en
las unidades de aritmética. Se trata ahora de combinar aquellos aprendizajes con los conseguidos en esta unidad para potenciar la competencia en el quehacer matemático en general y en la resolución de problemas en particular.
Soluciones de “Piensa y practica”
3 a)y b) Sin solución.
e)x1 = –1; x2 = 1/2
4 a)x1 = – 5 ; x2 = 0
2
d)x1 =
82
c) x1 = 2; x2 = 4
d)x1 = 0; x2 = 1
Soluciones de “Piensa y practica”
f ) x1 = –1; x2 = 1
g)x1 = 0; x2 = 16
1 Los tres números buscados son 20, 40 y 60.
b)x1 = 1 ; x2 = 1 c)
x1 = – 2 ; x2 = 0
2
3
5
3 – 33
3 + 33
; x2 =
e)
x1 = 1; x2 = 5
6
6
2 El videojuego cuesta 11 €; el cómic, 2,20 €, y el helado, 1,10 €.
3 El primer albañil debe cobrar 400 €, y el segundo, 1 000 €.
4 Los lados iguales miden 12 cm cada uno. El lado desigual mide 16 cm.
UNIDAD
Problema 4
Varias amigas, compañeras de trabajo, se reparten el premio de una quiniela y les
tocan 15 € a cada una. Si hubieran sido cuatro amigas más, hubieran tocado a 3 €
menos. ¿Cuántas eran para repartir?
Aumentando un número en un 10 % y sumándole 4 unidades, se obtiene el mismo
resultado que sumándole su quinta parte. ¿De qué número se trata?
1. Llamamos x al número que buscamos. Tenemos que:
1. Llamamos x al número de amigas:
— El número aumentado en un 10 % y en 4 unidades → 1,1x + 4
— x amigas a 15 € cada una → Valor del premio: 15x
— El número aumentado en su quinta parte → x + x
5
— Si hubieran sido 4 amigas más, habrían tocado a 3 € menos (15 – 3 = 12 €).
Esto nos permite obtener una nueva expresión del premio:
2. Obtenemos la ecuación:
(x + 4) amigas a 12 € cada una → Valor del premio: 12(x + 4)
Compruébalo
• 16 amigas, a 15 € cada una, hacen
un premio de:
16 · 15 = 240 €
• 4 amigas más, es decir, 20 amigas,
tocarían a:
240 : 20 = 12 €
Es decir, a 3 euros menos.
2. Obtenemos la ecuación igualando las dos expresiones del valor del premio:
15x = 12(x + 4)
1,1x + 4 = x + x
5
3. Resolvemos la ecuación:
Compruébalo
40 + 10 % de 40 + 4 = 40 + 4 + 4 =
= 48
Valor del premio
40 + 40 = 40 + 8 = 48
5
3. Resolvemos la ecuación:
Eran 16 amigas que se repartieron un premio de 16 · 15 = 240 €.
Problema 5
En la web
Refuerza la resolución de problemas
mediante ecuaciones.
María tiene 5 años más que su hermano Luis, y su padre tiene 41 años. Dentro de
6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Qué edad tiene cada uno?
1. Llamamos x a la edad de Luis:
edad de
• Si Luis tiene 15 años, y María, 20,
dentro de 6 años tendrán 21 y 26,
respectivamente.
• 21 + 26 = 47 años, que es la edad que
tendrá el padre dentro de 6 años.
…
hoy
dentro de
6 años
Café suPerior
Compruébalo
Coste primer café → 180 €
x
x+6
maría
x+5
x + 11
Coste café super. → 50 · 8 = 400 €
padre
41
47
Coste mezcla → 80 · 7,25 = 580 €
180 € + 400 € = 580 €
x + 6 + x + 11 = 47
3. Resolvemos la ecuación:
x + 6 + x + 11 = 47 → 2x + 17 = 47 → 2x = 30 → x = 15
4. Interpretamos la solución ajustándola al enunciado:
Luis tiene 15 años, y María, 15 + 5 = 20 años.
su equipo. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno
habría pagado 8,50 €; pero quedaron 3 plazas vacías,
y el viaje costó 9 €. ¿Cuántas plazas tenía el autobús?
6. Si divido un número entre 5, el resultado es dos uni-
dades mayor que si lo divido entre 6. ¿Qué número es?
MezCla
180
x
8
8x
30 + x
7,25
7,25(30 + x)
Solución: Se han utilizado 50 kg de café superior.
Piensa y practica
9. Si un número se aumenta en un 30 % y se le suman
12 unidades, se obtiene el mismo resultado que si a
su doble se le quita un 20 %. ¿Qué número es?
8.
precio → x
precio → x + 10
rebaja 10 %
rebaja 40 %
En la web
11. Teo ha mezclado 12 kg de azúcar, de 1,10
/kg, con
cierta cantidad de miel, de 4,20 €/kg. La mezcla sale
a 2,34 €/kg. ¿Cuánta miel mezcló?
12. Mezclando 15 kg de arroz de 1 €/kg con 25 kg de
arroz de otra clase, se obtiene una mezcla que sale a
1,30 €/kg. ¿Cuál será el precio de la segunda clase
de arroz?
15 kg
1 €/kg
25 kg
? €/kg
40 kg
1,30 €/kg
Resuelve el problema “Los pájaros”.
94
Refuerzo y ampliación
Coste
(€)
6
180 + 8x = 7,25(30 + x)
7. Me faltan 1,80
José tiene 15 años; su hermano Juan, 13, y su
padre, 43. ¿Cuántos años han de pasar para que entre
los dos hijos igualen la edad del padre?
PreCio
(€/kg)
30
180 + 8x = 217,5 + 7,25x → 0,75x = 37,5 → x = 50
pués, en otra tienda, compra una blusa que costaba
10 € más, pero estaba rebajada un 40 %. Así, paga
lo mismo por ambas prendas. ¿Cuánto costaba cada
prenda sin rebajar?
para comprar una revista. Si tuviera
el doble de lo que tengo ahora, me sobrarían 2 €.
¿Cuánto tengo? ¿Cuánto cuesta la revista?
Cantidad
(kg)
coste 1.er café + coste café superior = coste mezcla
10. Marta compra una camiseta rebajada un 10 %. Des-
Piensa y practica
5. Una peña deportiva contrató un autobús para seguir a
Se mezclan 30 kg de café de 6 €/kg con cierta cantidad de café superior, de 8 €/kg,
resultando una mezcla de 7,25 €/kg. ¿Qué cantidad de café superior se ha utilizado?
1.er Café
luis
2. La suma de las edades de los hermanos dentro de seis años debe ser igual a 47:
1,1x + 4 = x + x → 5,5x + 20 = 5x + x → 0,5x = 20 → x = 40
5
4. Interpretamos la solución ajustándola al enunciado:
El número buscado es 40.
15x = 12(x + 4) → 15x = 12x + 48 → 3x = 48 → x = 16
4. Interpretamos la solución ajustándola al enunciado:
Problema 3
Compruébalo
7
Problema 2
95
ANOTACIONES
Se recomiendan:
•Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1 a 8 de las páginas 36 a 37. Ejercicios 1 y 2 de la
pág. 44.
Ampliación: Ejercicios 12 a 18 de las páginas 38 y 39.
Soluciones de “Piensa y practica”
5 El autobús tenía 54 plazas.
6 El número buscado es 60.
7 Tengo 3,80 €. La revista cuesta 5,60 €.
8 Han de pasar 15 años.
9 El número buscado es 40.
10 La camiseta costaba 20 €, y la blusa, 30 €.
11 Mezclo 8 kg de miel.
12 La segunda clase de arroz cuesta 1,56 €/kg.
ANOTACIONES
83
9 a)x1 = 1; x2 = 2
c) x = –2
Ejercicios y problemas
6.
Practica
2.
3.
c)
d)
f) 1 = 1
x 2
e)
f)
Resuelve mentalmente y explica el proceso seguido.
a) x – 5 = 1
4
b) 5x + 1 = 11
c) 3(x – 2) = 12
d) x + 1 = 6
3
e) x + 1 = 6
3
g) 3x = 81
f) x3 = 8
g) x + 1 = 5
7.
Comprueba que las siguientes ecuaciones son de
primer grado y halla su solución:
h) 2x = 4
8.
9.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 12x – 8 = 34 + 5x
Elimina los denominadores y resuelve.
a) x – 2x = –1
b) x + x + x = 13
3
5 15
2 4 3 6
3
x
–
1
x
+
1
c)
= –1
d) 3x + 1 – x + 1 = 0
+
2
4
5
e) 2 (x + 1) + 3x – 1 = 1
3
2
6
f ) 3 (x – 1) – 2(x + 3) + 8 = 0
7
– 21x = 0
c) 2x 2 – 14x = 0
d) 4x 2 – 32x = 0
e) x 2 – 36 = 0
f ) 3x 2 – 147 = 0
b) 3x 2 – 3x – 6 = 0
c) 4x 2 + 16x + 16 = 0
d) x 2 + x + 3 = 0
e) x 2 – 18x + 81 = 0
f ) x 2 – 5x – 24 = 0
g) x 2 – 9x + 14 = 0
h) x 2 – 6x + 10 = 0
10.
Reduce, resuelve y comprueba las soluciones.
a) 5x 2 – 3x(x – 4) = (x – 2)2 + 13
b) 3x(x – 2) – 6 = (x + 1)(x – 4)
2
c) x – x = x – 2
5
2
2
2
d) 5x – x = 11 – x + 2
6
3
2
e) 5x – 3 = x – 1
x
x
96
1 a)x = 2
b)x = 4
c) x = 1
d)x = 2
e)x = 4
f ) x = 2
2 a)x = 9
b)x = 2
c) x = 6
d)x = 15
e)x = 17
f ) x = 2
g)x = 4
h)x = 8
3 a)x = 126
b)x = 8
c) x = 7
d)x = 5
e)x = 4
f ) x = 5
g)x = 24
h)x = 2
4 a)x = 6
b)x = –1
c) x = –2
84
14.
15.
16.
parte. ¿Cuál es ese número?
b)x
x2naturales
= 2 consecutivos
La suma
de –1/2;
tres números
1=
es igual al cuádruple del menor. ¿De qué números se
trata?
d)x1 =
; x2 =
pequeño. ¿Cuánto mide cada ángulo?
que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los
27 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
18.
Si x es la velocidad del camión, este y el coche se acercan
a una velocidad de (x + 105) km/h.
Transforma una hora y cuarenta y cinco minutos en horas. Con esto, ya puedes aplicar la fórmula t = d/v.
Un ciclista que va a 18 km/h tarda 45 minutos
en alcanzar a otro que le lleva una ventaja de 6 km.
¿Qué velocidad lleva el que iba delante?
22.
Un ciclista sale a la carretera a una velocidad de
15 km/h. ¿Qué velocidad deberá llevar otro ciclista
que sale media hora después si pretende alcanzar al
primero en hora y media?
23.
Calcula las dimensiones de un rectángulo en el
que la base mide 2 cm menos que la altura y la diagonal mide 10 cm.
17.
La suma de las edades de los cuatro miembros de
ANOTACIONES
una familia es 104 años. El padre tiene 6 años más
Un coche sale de una ciudad A hacia otra
B, distante 315 km, a una velocidad de 105 km/h.
Simultáneamente, sale de B hacia A un camión que
tarda en cruzarse con el coche una hora y cuarenta y
cinco minutos. ¿Cuál era la velocidad del camión?
337
2 de 74 cm de perímetro 2
En un rectángulo
sabemos que la altura mide 7 cm menos que la base.
21.
Halla sus dimensiones.
1 – 41
1+ 41
e)x
El mayor
triángulo mide
1 =de los ángulos; dexun
2=
º
º
10
que el
50 más que el mediano; y este mide 20 más10
f ) x = –3, x = 8
1
2 de aceite de orujo, de
Se ha vertido
un bidón
1,60 €/litro, en una tinaja que contenía 400 litros de
aceiteh)Sin
de oliva de
3,20
€/litro.
solución. Sabiendo que el litro
de la mezcla cuesta 2,60 €/litro, ¿cuántos litros había
en el bidón?
Consulta el problema 5 de la página 95.
20.
c) x1 = –2/5; x2 = 2
El producto de un número natural por su siguiente es 31 unidades mayor que el quíntuplo de la
–5 –es ese337
–5 +
suma de ambos. ¿Cuál
número?
7
Con 12 € que tengo, podría ir dos días a la piscina, un día al cine y aún me sobrarían 4,50 €. La
entrada de la piscina cuesta 1,50 € menos que la del
cine. ¿Cuánto cuesta la entrada del cine?
La diagonal del rectángulo, junto con la base y la altura,
forman un triángulo rec10
tángulo. Recuerda lo que
x–2
dice el teorema de Pitágoras.
x
Curiosidades matemáticas
Leyenda china
Usa la equis
Un genio que vivía en un estrecho desfiladero ofrecía
a los viajeros el siguiente trato:
— Para pasar, has de pagar la cantidad de cuatro veces cuatro monedas. Después, como prueba de
amistad, yo doblaré el dinero de tu bolsa.
Un campesino algo ambicioso, enterado del caso,
reunió sus ahorros y se empeñó en atravesar muchas
veces el desfiladero. Sin embargo, se encontró que a
la cuarta, su bolsa estaba vacía. ¿Con cuántas monedas se presentó por primera vez ante el genio?
Has de completar cada casilla de forma que sumando los números de dos consecutivas obtengas el número de la siguiente.
Si, por ejemplo, la segunda casilla tiene un valor x, la
tercera valdrá...
5
81
97
Soluciones de “Ejercicios y problemas”
d)x = –3
5 a)x = 1
b)x = 2
c) x = –1
d)x = 3
e)x = 0
f ) x = 1
6 a)x = 1
b)x = 5
c) x = 31/17
e)x = 7
f ) x = –5
b)x = –1/21
c) x = 10/9
8 a)x1 = 0; x2 = 3
13.
+x=0
a) 2x 2 – 6x + 4 = 0
c) 2[x + 3(x + 1)] = 5x
d) 5(x – 2) – 2(x – 5) = 2x – (12 + 3x)
b) 2x 2
Resuelve estas ecuaciones:
b) 4(2 – x) – (4 – x) = 7(2x + 3)
7 a)x = –11/5
Si a un número
le restas 12, se reduce a su tercera
10 a)x
1 = –17; x2 = 1
12.
Los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180º.
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo
grado sin utilizar la fórmula de resolución:
a) 7x 2
19.
g)x
= número
2; x2 cuya
= 7
Calcula
mitad es 20 unidades
1 un
menor que su triple.
Ecuaciones de segundo grado
f ) 2x = 32
h) 2 = 1
x
d)x = 15/2
e)x = 9
11.
UNIDAD
d)Sin solución.
Piensa y resuelve
a) (x + 1)(x – 1) – 3(x + 2) = x(x + 2) + 4
c) dx – 1 ndx + 1 n – xdx + 1 n = 1 (x – 2)
3
3
6
3
Ecuaciones de primer grado
5.
1 + 1x=x– 1
2 3
6
3x – 3 = x + 4
4
3
3 (x + 3) – 2(2x – 2) = 8x – 1 – 2(x + 3)
2
3 (x + 3) – 3x – 2 = 1 + x + 3
4
3
6
12
x +7 – 7 – x = x – 7 + 7
2
6
12
5 + x – 5 – x = 1+ x – 1
4
5
4
b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 = x(x + 3) – (x 2 + 1)
Resuelve por tanteo.
a) x + 4 = 65
b) x – 1 = 3
2
2
c) 2(x + 1) = 16
d) x 2 = 25
e) x 3 = 64
4.
b)
Comprueba cuál de los números 1, 2 o 4
es la solución de las siguientes ecuaciones:
a) 3x – 5 = 1
b) x – 3x = –10
2
3
c) x – 1 = 0
d) 2x = 4
e) x = 2
Simplifica y resuelve estas ecuaciones:
a)
Ecuaciones: soluciones, tanteo…
1.
b)x1 = –1; x2 = 2
b)x1 = –1/2; x2 = 0
c) x1 = 0; x2 = 7
d)x1 = 0; x2 = 8
e)x1 = – 6; x2 = 6
f ) x1 = –7; x2 = 7
Curiosidades matemáticas
UNIDAD
19.
Piensa y resuelve
de
ndo
11.
Calcula un número cuya mitad es 20 unidades
menor que su triple.
12.
Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera
parte. ¿Cuál es ese número?
7
Se ha vertido un bidón de aceite de orujo, de
1,60 €/litro, en una tinaja que contenía 400 litros de
aceite de oliva de 3,20 €/litro. Sabiendo que el litro
de la mezcla cuesta 2,60 €/litro, ¿cuántos litros había
en el bidón?
Consulta el problema 5 de la página 95.
20.
Un coche sale de una ciudad A hacia otra
B, distante 315 km, a una velocidad de 105 km/h.
Simultáneamente, sale de B hacia A un camión que
tarda en cruzarse con el coche una hora y cuarenta y
cinco minutos. ¿Cuál era la velocidad del camión?
13.
La suma de tres números naturales consecutivos
es igual al cuádruple del menor. ¿De qué números se
trata?
14.
El producto de un número natural por su siguiente es 31 unidades mayor que el quíntuplo de la
suma de ambos. ¿Cuál es ese número?
15.
En un rectángulo de 74 cm de perímetro
sabemos que la altura mide 7 cm menos que la base.
Halla sus dimensiones.
21.
El mayor de los ángulos de un triángulo mide
50º más que el mediano; y este mide 20º más que el
pequeño. ¿Cuánto mide cada ángulo?
Un ciclista que va a 18 km/h tarda 45 minutos
en alcanzar a otro que le lleva una ventaja de 6 km.
¿Qué velocidad lleva el que iba delante?
22.
Un ciclista sale a la carretera a una velocidad de
15 km/h. ¿Qué velocidad deberá llevar otro ciclista
que sale media hora después si pretende alcanzar al
primero en hora y media?
23.
Calcula las dimensiones de un rectángulo en el
que la base mide 2 cm menos que la altura y la diagonal mide 10 cm.
16.
Si x es la velocidad del camión, este y el coche se acercan
a una velocidad de (x + 105) km/h.
Transforma una hora y cuarenta y cinco minutos en horas. Con esto, ya puedes aplicar la fórmula t = d/v.
Los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180º.
17.
18.
La suma de las edades de los cuatro miembros de
una familia es 104 años. El padre tiene 6 años más
que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los
27 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Con 12 € que tengo, podría ir dos días a la piscina, un día al cine y aún me sobrarían 4,50 €. La
entrada de la piscina cuesta 1,50 € menos que la del
cine. ¿Cuánto cuesta la entrada del cine?
•Se incluyen en este apartado una serie de problemas o retos, independientes de formulaciones teóricas, cuyo objetivo es practicar estrategias
de elaboración personal en la resolución de problemas de lógica matemática. El alumnado recurrirá, por supuesto a sus conocimientos matemáticos, pero también a la experimentación, al tanteo, al descubrimiento por ensayo-error, o a cualquier otro camino que le lleve a la solución.
Se pretende, además, ofrecer un espacio, fuera de programa, en el que,
mediante actividades o situaciones más distendidas, experimentar el
placer de razonar y superar retos.
Soluciones
• Leyenda china: La primera vez se presentó ante el genio con 30 monedas.
• Usa la equis:
5
7
12
19
31
50
81
La diagonal del rectángulo, junto con la base y la altura,
forman un triángulo rec10
tángulo. Recuerda lo que
x–2
dice el teorema de Pitágoras.
x
Curiosidades matemáticas
ANOTACIONES
Leyenda china
Usa la equis
Un genio que vivía en un estrecho desfiladero ofrecía
a los viajeros el siguiente trato:
— Para pasar, has de pagar la cantidad de cuatro veces cuatro monedas. Después, como prueba de
amistad, yo doblaré el dinero de tu bolsa.
Un campesino algo ambicioso, enterado del caso,
reunió sus ahorros y se empeñó en atravesar muchas
veces el desfiladero. Sin embargo, se encontró que a
la cuarta, su bolsa estaba vacía. ¿Con cuántas monedas se presentó por primera vez ante el genio?
Has de completar cada casilla de forma que sumando los números de dos consecutivas obtengas el número de la siguiente.
Si, por ejemplo, la segunda casilla tiene un valor x, la
tercera valdrá...
5
81
97
11 El número que buscamos es –120.
12 Es el número 18.
13 Los números que buscamos son 3, 4 y 5.
14 Es el número 12.
15 La base del rectángulo mide 22 cm, y la altura, 15 cm.
16 El ángulo menor mide 30º; el mediano, 50º, y el mayor, 100º.
17 La madre tiene 38 años; el padre, 48 años, y los gemelos, 11 años cada uno.
18 La entrada del cine cuesta 3,50 €.
19 En el bidón había 240 litros de aceite.
20 La velocidad del camión era de 75 km/h.
21 El ciclista que va delante lleva una velocidad de 10 km/h.
22 El ciclista deberá llevar una velocidad de 20 km/h.
23 La base del rectángulo mide 8 cm, y la altura, 6 cm.
Interdisciplinariedad Se sugiere la siguiente actividad:
Escribe tres situaciones en las que crees que el álgebra puede ser útil en
otros aspectos de la ciencia, aparte de las matemáticas.
Después, discútelas con las que hayan pensado tus compañeras y compañeros.
85