Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios

Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones.
2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini.
 Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios.
Ejemplo:
 Terminología:
o Grado del polinomio: Es el del término de mayor grado. Ejemplo:
Grado 4
o Termino Independiente: Es el término de grado cero.
Ejemplo:
Es el 5
 División de polinomios:
Si
es el dividendo y
es el divisor, mediante el algoritmo de la división entera se obtienen dos
polinomios, el cociente
el grado de
y el resto
tal que:
siendo el grado de
menor que
.
-
=

+
Regla de Ruffini
En las divisiones de polinomios en las que el divisor es un binomio de la forma
de Ruffini para obtener el cociente y el resto.
Vamos a ver un ejemplo para ver la regla de Ruffini:
se puede aplicar la regla
Para dividir
o 1º se escriben los coeficientes del dividendo ordenado y completo.
A la izquierda se escribe “ ”.
Como necesitamos
y tenemos
→
. Así que
o 2º Se baja el primer coeficiente del dividendo.
Se multiplica por “ ”. El resultado se pone debajo del segundo coeficiente.
Se suma este resultado al segundo coeficiente.
3
0
4
-6
3
0
-6
-6
4
-6
-2
-2
3
o 3º Se sigue el proceso hasta llegar al último coeficiente del dividendo.
3
-2
o El último número obtenido es el resto.
Los anteriores son los coeficientes ordenados del polinomio cociente.
El grado de dicho cociente es inferior en una unidad al del dividendo.

Ejercicio 1:
a)
b)
3
0 4 -6
-6 12 -32
-6 16 -38
Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini:
c)
2.2 Factorización de un polinomio.
Factorizar un polinomio es escribirlo como productos de polinomios del grado más pequeño posible.
 Valor numérico de un polinomio: El valor numérico de
para
es el número que resulta de sustituir
por “ ”, y se representa por
Ejemplo:
Para
 Teorema del resto
Al dividir un polinomio
entre un binomio de la forma
, el resto que se obtiene es igual al valor
numérico del polinomio en
, es decir,
Para obtener el resto hallamos
. Así que
.
Como podemos ver el resto obtenido coincide con el resto obtenido por Ruffini.
Así que tenemos dos formas de hallar el resto de una división de este tipo.

a)
Ejercicio 2: Calcula el resto de las siguientes divisiones sin realizarlas:
b)

Raíces de un polinomio: Cualquier valor “ ” de
Ejemplo:
Para

Teorema del factor
Si
es raíz del polinomio
Por lo tanto
es factor de
para el que
, como sabemos
:
es raíz y
como
es una raíz del polinomio.
luego
es una raíz del polinomio.
, el resto de la división de P(x)
es divisible por
Y lo dividimos por Ruffini
1
-3
1

.
, entonces este es divisible por
Como hemos visto anteriormente, por el teorema del resto, si
entre
es 0. Por lo que es divisible entre
.
Ejemplo:
c)
2
-3
-1
-5
3
-2
-6
6
0
.
P(x)= x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x+3)·(x2 - x – 2)
Factorización de polinomios.
Un polinomio siempre se puede escribir como producto de factores de la forma
, uno por cada raíz real
“a”, y polinomios irreducibles (sin raíces reales).
o Factorización de polinomios de segundo grado: Son de la forma P(x)= ax2 + bx + c
Se factoriza utilizando la fórmula: P(x) = a (x-x1) (x-x2)
Donde x1 y x2 son las raíces del polinomio, y para hallarlas utilizaremos la fórmula: x =
Ejemplo: P(x)= 3x2 - 9x + 6
x=
=
=
Siendo P(x) = 3 (x-2) (x-1)
Un polinomio de grado 2 puede tener: 2 raíces, o una raíz doble, o no tener raíces.
Dependerá del signo de la raíz de la fórmula: + (2 raíces), 0 (raíz doble) o – (sin raíces)
 Polinomios de segundo grado Incompletos:
Se pueden factorizar aplicando la fórmula general, pero hay otra forma de factorizarlos:
 Los polinomios del tipo
se factorizan sacando factor común:
Ejemplo:
 Los polinomios del tipo
se factorizan despejando la a:
Ejemplo:
o
Factorización de polinomios de grado superior a dos:
 Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.
 Las raíces enteras, si existen, son divisores del término independiente.
 En caso de no haber término independiente, sacaremos tantas x factor común como sea
posible, siendo una de la raíces del polinomio
de manera que ya tendremos término
independiente.
Ejemplo:
y continuaríamos factorizando.
Ejemplo: P(x) =
Divisores de 4 son:
Buscamos una raíz aplicando el teorema del resto:
P(-1) =
=6
P(1) =
=0
Nada más que encontramos una de las raíces podemos aplicar Ruffini, aplicando el teorema del resto:
1
-1 -4 4
1
1
0 -4
1
0 -4
0

Ejercicio 3:
a)
b)
c)
Factoriza el polinomio y halla sus raíces enteras:
d)
e)
f)
g)
h)
2.3 Fracciones algebraicas.
Una fracción algebraica es un cociente indicado de dos polinomios, siendo el denominador un polinomio no
nulo.

Ejemplo:
Simplificación de Fracciones algebraicas
Simplificar una fracción algebraica es obtener otra más sencilla. Para ello se factorizan el numerador y el
denominador y se eliminan los factores comunes.
Ejemplo: Simplifica
=
=

Mínimo común múltiplo de polinomios
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios polinomios hay que factorizarlos.
o Para el m.c.m. se toman todos los factores comunes y no comunes, elevados al mayor exponente con el
que aparecen.
Ejemplo: Halla el mínimo común múltiplo de:
y de
En este caso ya están factorizados. m.c.m. =

Operaciones con fracciones algebraicas
o Sumar o restar: Se calcula el m.c.m. de todos los denominadores y se reducen las fracciones a común
denominador. A continuación se suman o restan los numeradores.
Ejemplo:
o
Multiplicar: Se factorizan los numeradores y los denominadores para simplificar factores. Después se
multiplican las fracciones.
Ejemplo:

Ejercicio 4:
·
=
=
Opera y simplifica:
a)
c)
b)
d)
e)
2.4 Ecuaciones Polinómicas
 Ecuaciones:
- Una Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.
- Una ecuación polinómica es aquella en la que sólo intervienen polinomios.
- Las soluciones de una ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, de manera que al
sustituirlos en la ecuación, la igualdad sea cierta.
Ejemplo: ¿Es x=-1 solución de la ecuación
?
→ 4 - 1 = 2 + 1 → 3 = 3 → Sí, x=-1 es una solución de la ecuación.
-
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones.
Regla de la suma: Si se suma o se resta un mismo nº a los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra
ecuación equivalente.

Regla del producto: Si se multiplica o se divide por un mismo nº (distinto de 0) a los dos miembros de una
ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente.
Una ecuación es compatible si tiene solución real, e incompatible si no la tiene.
Solución de ecuaciones de primer grado:
Una ecuación de primer grado puede tener:
- 1 solución:
→
→
- Ninguna solución:
→
- Infinitas soluciones:

→
→
→
→
→
→ ∞ soluciones
Ecuaciones de Segundo Grado
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado son de la forma ax2 + bx + c = 0
Las soluciones de una ecuación de segundo grado coinciden con la raíces de dicha ecuación, o lo que es lo
mismo, con la solución de x =
=
Ejemplo: -2x2 + 3x + 2 = 0 → x =
-
=
→ ó
En las ecuaciones de segundo grado incompletas (
no es necesario aplicar la fórmula general:
o Las ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0 se resuelven sacando factor común: x ·(
- b) = 0, donde las
soluciones serán:
Ejemplo: 2x2 - 12x = 0
→
x·(2x-12) =
o Las ecuaciones del tipo ax2 + c = 0 se resuelven despejando la incógnita:
serán:

→ Sin solución
Ejemplo: x2 - 16 = 0
y
, donde las soluciones
x2 =
El número de soluciones podrán ser ó 2 ó 1 ó ninguna.
Ecuaciones de grado superior a 2:
Para resolver una ecuación de grado superior a dos, llevamos todos los miembros de la ecuación a un lado de la
igualdad, de manera que nos queda igualada a cero. Factorizamos el polinomio resultante, y las soluciones de la
ecuación coinciden con las raíces del polinomio.
Para que un polinomio factorizado sea igual a cero, cualquier factor debe ser cero.
Ejemplo: Sea la ecuación ya factorizada:
Soluciones:
 Ejercicio 5:
a)
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
2.5 Ecuaciones Racionales.
 Resolución: Para resolverlas, se agrupa todo en un solo miembro y se factoriza la fracción algebraica. Las
soluciones serán las raíces del numerador que no aparezcan en el denominador.

Ejemplo: Resuelve

Ejercicio 6:
→
Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
a)
b)
2.6 Ecuaciones con Radicales (o irracionales): en las que aparece alguna incógnita bajo un radical.
 Resolución: Para resolverlas, se aíslan sucesivamente los radicales en un miembro de la ecuación, y se eleva
ambos miembros al índice de éste.
 Comprobación: Hay que comprobar las soluciones en la ecuación original. Alguna de las soluciones puede ser
falsas, al elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación.
 Ejemplo:
→
= -1-x →
→
→
→ (x+2)·(x-2)=0 →
Comprobamos:
=-2 → -2 +
=2 → 2 +

Ejercicio 7:
=-2 ó
=2
= -1 → -2 +
= -1 → 2 +
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
= -1 → -2 + 1 = -1 → Solución válida
= -1 → 2 + 3 ≠ -1 → Solución no válida
b)
2.7 Ecuaciones Logarítmicas: en las que la incógnita aparece en la base o en el argumento de un logaritmo.
 Resolución: Para resolverlas se modifican sus miembros con las propiedades de los logaritmos, teniendo en
cuenta que:
 Comprobación: Hay que comprobar las soluciones en la ecuación original. Alguna de las soluciones puede ser
falsas, ya que no están definidos los logaritmos de cero ni de números negativos.
 Ejemplo:
→
Comprobamos:
=6 →
y

→ Solución válida
→ Soluciones no válidas, ya que
Ejercicio 8: Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
no tienen solución real.
b)
2.8 Ecuaciones Exponenciales: en las que la incógnita aparece en el exponente.
 Resolución:
o Para resolver una ecuación exponencial, tomamos logaritmos a ambos lados de la igualdad.
Posteriormente aplicaremos las propiedades de los logaritmos para poder bajar la incógnita, y poder
despejarla.
Ejemplo:

Ejercicio 9:
a)
Resuelve las siguientes ecuaciones:
b)
2.9 Sistemas de tres ecuaciones lineales. Método de Gauss.
- Un sistema de ecuaciones está formado por un conjunto de ecuaciones con una o varias incógnitas.
- Se dice que es lineal cuando las ecuaciones son polinómicas de primer grado.
-
Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es de la forma:
-
Un sistema es equivalente a otro, si cualquiera de las ecuaciones se cambia por otra ecuación equivalente.
Dado un sistema con n incógnitas, una solución es un conjunto de n valores, uno para cada incógnita, tales
que sustituidos en cada ecuación hacen que estas se verifiquen.
En función del número de soluciones, un sistema de ecuaciones puede ser:
1. Compatible determinado: Si tiene una única solución.
2. Compatible indeterminado: Si tiene infinitas soluciones.
3. Incompatible: Si no tiene soluciones.
Un sistema equivalente a otro, tendrá las mismas soluciones que el primero.
-
-

Método de Gauss:
1. Cambiar, si es posible, el orden de las ecuaciones o de las incógnitas para que el coeficiente de la
primera incógnita en la primera ecuación sea 1 ó -1.
2. Se sustituye la segunda ecuación por una combinación lineal de ella y la primera, de forma que
desaparezca la primera incógnita. Lo mismo se hace con la tercera ecuación.
Se utiliza la primera para cambiar la segunda y la tercera.
3. Se cambia la tercera ecuación por una combinación lineal de ella y la segunda, de forma que
desaparezca la segunda incógnita.
Se utiliza la segunda para cambiar la tercera.
4. Se resuelve el sistema triangular obtenido.
5.
-

Ejemplo:
Si alguna de las ecuaciones es de la forma 0x + 0y + 0z = a ≠0 el sistema es Incompatible
(Sin solución).
Si alguna de las ecuaciones es de la forma 0x + 0y + 0z = 0 el sistema es Compatible Indeterminado
(Infinitas soluciones).
Resuelve
→
→ x(-2)1ª
→ x(-3)1ª
→ x(-7)2ª y x(3)3ª
→
→

Ejercicio 10:
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
2.10



b)
c)
Inecuaciones
- Una Inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas.
- Su solución es el conjunto números reales que la satisfacen.
Se puede expresar como una desigualdad, como un intervalo o unión de ellos, o de forma gráfica.
- Dos inecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones.
- Si se suma o se resta un nº a los dos miembros de una inecuación, se obtiene otra inecuación equivalente.
- Si se multiplica o se divide por un mismo número positivo a los dos miembros de una inecuación, se obtiene
otra inecuación equivalente.
- Si se multiplica o se divide por un mismo número negativo a los dos miembros de una inecuación, y se
cambia el sentido de la desigualdad, se obtiene otra inecuación equivalente.
Ejemplos:
1. ¿Es x=-2 y x= -4 solución de la inecuación
?
→ -8 +2 -25 → -6 -25 → Sí, x=-2 es una solución de la ecuación.
→ -64 +2 -25 → -62 -25 → No, x=-4 no es una solución de la ecuación.
2. Expresa la inecuación de
.
5
ó
ó
Inecuaciones de primer grado:
- Una inecuación lineal o de primer grado es aquella cuyos miembros son polinomios de primer grado.
- Para resolverla se sigue un proceso análogo al de resolución de ecuaciones de primer grado.
–
Ejemplo:
→
→
He cambiado el signo →
→

Ejercicio 11:
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a)
b)

Resolución Inecuaciones de Segundo Grado:
1. Se opera hasta tener en un miembro un polinomio de la forma ax2 + bx + c y en el otro miembro 0.
2. Se factoriza el polinomio : a·(x-r1)·(x-r2)
3. Se dibuja una recta real, donde señalaremos las dos raíces del polinomio.
Estudiamos el signo del polinomio a cada lado de las raíces.
4. Se escribe la solución incluyendo o no las raíces, dependiendo del tipo de desigualdad.

Ejemplo:
→
-
+
-3

=
=
-3
Solución: (-∞,-3) U (5, ∞)
5
Ejercicio 12:
5
Resuelve las siguientes inecuaciones:
b)
a)

Resolución Inecuaciones Polinómicas de grado superior a dos:
1. Se opera hasta tener en un miembro un polinomio y en el otro miembro 0.
2. Se factoriza el polinomio.
3. Se dibuja una recta real, donde señalaremos todas las raíces del polinomio.
Estudiamos el signo del polinomio a cada lado de las raíces.
4. Se escribe la solución incluyendo o no las raíces, dependiendo del tipo de desigualdad.

Ejemplo:
Resuelve
-
+
-3

Ejercicio 13:
-2
+
1
Solución:
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a)
b)

Resolución Inecuaciones Racionales:
Son las inecuaciones con fracciones algebraicas.
1. Se opera hasta tener en un miembro una única fracción algebraica y en el otro miembro 0.
2. Se factoriza el numerador y el denominador de la fracción algebraica sin simplificar.
3. Se dibuja una recta real, donde señalaremos todas las raíces de la fracción algebraica, tanto las del
numerador como las del denominador.
Estudiamos el signo de la fracción algebraica a cada lado de las raíces.
4. Se escribe la solución incluyendo o no las raíces, dependiendo del tipo de desigualdad.
5. Aunque aparezca la igualdad en la desigualdad (≥ ó ≤), en la solución no se incluirán las raíces que aparezcan
en el denominador, ya que anularían este.

Ejemplo:
Resuelve
-
+
-3,5

-2
+
Solución:
1
Ejercicio 14:
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a)
b)
c)