3-MODELO MATEMÁTICO 3.1

Capítulo 3. Modelo Matemático
3-MODELO MATEMÁTICO
3.1-SISTEMA GLOBAL
El sistema objeto de control es un canal de riego de N tramos, con N compuertas
y N derivaciones laterales. El agua circula desde un depósito ubicado en la cabecera del
primer tramo (aguas arriba de la primera compuerta), donde el nivel de agua se
mantiene constante, circulando por los N tramos hasta llegar al final del último tramo
donde se encuentra con un vertedero. El esquema del Figura 12 ilustra cómo es el
sistema a controlar.
Compuerta 1
y1
u1
q1
Compuerta 2 Compuerta i
u2
q2
ui
Compuerta i+1
yi
qi
yN
ui+1 qi+1
w1
Compuerta N
u N-1
q N-1
wi
Figura 12 – Esquema general del sistema a controlar
Los dos sistemas de control desarrollados en la presente tesina presentan un
esquema idéntico, basando en la utilización de N controladores, uno por compuerta, que
a su vez están compuestos por un controlador predictivo y un controlador local. La
diferencia entre los dos sistemas se encuentra en el tipo de modelo utilizado en la zona
de transporte.
El controlador predictivo es el encargado de calcular en cada instante k, el
caudal bajo compuerta deseado para el próximo tiempo de muestreo k+1, de modo que
el nivel en la zona de almacenamiento del tramo agua abajo de la compuerta alcance la
consigna. Posteriormente, el controlador local utiliza el valor de caudal calculado por el
predictivo para determinar cuales son los movimientos de compuerta a realizar durante
los instantes k y k+1 para que el caudal bajo compuerta en el instante k+1 sea el
calculado por el controlador predictivo.
En el proceso de cálculo, cada controlador predictivo requiere información del
caudal que está saliendo por la compuerta de aguas abajo, de modo que el cálculo se
realiza controlador por controlador desde aguas abajo hacia aguas arriba. En cambio el
procedimiento de cálculo de cada controlador local es independiente del resto, no
necesita información del resto de controladores locales. Concretamente, los
controladores locales son del tipo PID ( proporcional, integral, diferencial) en tiempo
continuo, que toman la abertura ui como variable de control y el caudal bajo compuerta
qi como variable de salida.
13
Capítulo 3. Modelo Matemático
Podemos clasificar ambos sistemas de control como sistemas jerárquicos, donde
el “master controller” es el controlador predictivo y el “slave controller” el
controlador local. A su vez, el “master controller” presenta una configuración
semilocal, ya que utiliza información de los controladores próximos, y el “slave
controller” responde a una configuración local.
En los siguientes apartados del presente capítulo se explica detalladamente el
proceso de desarrollo de ambos modelos.
3.2-CONTROLADOR PREDICTIVO
Para reproducir el movimiento en lámina libre del canal se estudia cada tramo de
canal de un modo individual. El Figura 13 muestra el esquema matemático utilizado
para modelizar un tramo de canal genérico.
Compuerta i
Compuerta i+1
Ai
yi
qi
si
1
1
Zona de transporte
2
Zona de almacenamiento
2
qi+1
wi
Figura 13 – Esquema matemático de un tramo genérico
Un tramo genérico del canal, tramo i, está delimitado por dos compuertas, una
aguas arriba (compuerta i) y otra aguas abajo (compuerta i+1). El caudal qi entra por la
compuerta aguas arriba, que presenta una abertura ui dicho caudal se propaga por la
zona del tramo denominada zona de transporte donde se producen variaciones de caudal
y calado, hasta llegar a la denominada zona de almacenamiento, zona próxima a la
compuerta i+1, donde se considera que la velocidad es nula y el nivel yi no varía en
cada sección. En esta zona entra un caudal si , y en ella se ubica el vertedero lateral, el
cual vierte un caudal wi .
La diferencia entre los dos sistemas de control desarrollados en esta tesina radica
en el método utilizado para modelizar la zona de transporte. En un caso se ha utilizado
un modelo hidrológico, modelo de Muskingum, y en otro un modelo hidráulico, modelo
de Hayami.
Los modelos utilizados en la zona de transporte relacionan el caudal aguas
arriba de un tramo con el caudal aguas abajo. Como las variables controladas son los
niveles aguas abajo de cada tramo, la presencia de una zona de almacenamiento es
obligada para obtener una relación entre calados y caudales.
14
Capítulo 3. Modelo Matemático
La ecuación que rige la zona de almacenamiento es la ecuación de conservación
de la masa.
dVi (t )
= si − qi +1 − wi
(3.1)
dt
donde Vi (t ) es el volumen almacenado en la zona de almacenamiento. Esta zona de
almacenamiento tiene una superficie constante, de modo que Vi (t ) = Ai ⋅ y i (t ) . Así
pues, la ecuación (3.1) puede expresarse del siguiente modo.
Ai
dy i (t )
= si − qi +1 − wi
dt
(3.2)
El modelo que rige la zona de transporte en el primer sistema de control
desarrollado es el modelo de Muskingum. Dicho modelo en forma continua se compone
de dos ecuaciones: la ecuación de conservación de la masa y la ecuación de
Muskingum.
La ecuación de conservación de la masa indica que la variación de volumen Vi
en la zona de transporte es producida por el balance entre el caudal de entrada qi (t ) y
el caudal de salida s i (t ) :
dVi (t )
= qi (t ) − si (t )
dt
(3.3)
La ecuación de Muskingum relaciona el volumen almacenado Vi y los caudales
de entrada qi (t ) y de salida s i (t ) en cualquier instante de tiempo t, mediante los
parámetros κ i y χ i :
Vi (t ) = [κ i χ i ]qi (t ) + [κ i (1 − χ i )]si (t )
(3.4)
Combinando las ecuaciones (3.3) y (3.4) el resultado es una EDO de 1er orden:
κ i (1 − χ i )
ds i (t )
dq (t )
+ si (t ) = −κ i χ i i + qi (t )
dt
dt
con las siguientes condiciones iniciales
qi (0) = qi0

0
 s i ( 0) = s i
(3.5)
(3.6)
El modelo que rige la zona de transporte en el segundo sistema de control
desarrollado es el modelo de Hayami. Este modelo es una linealización de primer orden
de la ecuación de la onda difusiva. Ésta, a su vez, es una simplificación de las
ecuaciones de Saint-Venant. La ecuación de Hayami en forma continua presenta la
siguiente expresión:
∂q
∂q
∂ 2q
+ C0
− D0 2 = 0
(3.7)
∂t
∂x
∂x
donde q representa la variación de caudal respecto un caudal de referencia Q0 y C0 y D0
son parámetros.
15
Capítulo 3. Modelo Matemático
Discretizando y combinando las ecuaciones que rigen las zonas de
almacenamiento y de transporte, se obtienen los dos modelos en diferencias del canal
para cada tramo i utilizados por los controladores predictivos.
En los siguientes apartados del presente capítulo se comentan con mayor
extensión el desarrollo de los dos modelos.
3.2.1-MODELO DE MUSKINGUM
El modelo de Muskingum parte de dos ecuaciones, la de conservación de la
masa en el tramo de transporte (3.3) y la ecuación de Muskingum (3.4). Combinando
ambas ecuaciones se obtiene una EDO de 1er orden (3.5), con unas condiciones iniciales
(3.6). Estas ecuaciones presentan como parámetros característicos del canal los
coeficientes χi y κi.
El parámetro χi (factor de peso) es adimensional e indica el peso que tienen el
caudal de entrada qi y el caudal de salida si en el volumen de agua Vi almacenado en la
zona de transporte. Su rango de valores posibles es 0 <χi <0,5. Un valor de 0 indica que
el almacenamiento es únicamente función del caudal aguas abajo si. En el otro extremo,
un valor de 0’5 implica que el almacenamiento es función de ambos caudales, y en la
misma proporción (presentan pesos idénticos). Habitualmente, este parámetro presenta
unos valores comprendidos dentro del siguiente rango: 0,2 < χi < 0,3.
El parámetro κi (constante del tiempo de almacenamiento) tiene dimensiones de
tiempo, y representa el tiempo que tarda una onda de caudal en viajar de aguas arriba
hasta aguas abajo del tramo. Su valor se puede estimar mediante el cálculo del tiempo
que tarda la onda de perturbación viajando a una velocidad ci en recorrer el tramo de
canal de longitud Li, es decir
L
κi = i
(3.8)
ci
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (3.5) con las condiciones
iniciales (3.6), se obtiene una función de transferencia continua, G(s), que relaciona el
caudal de entrada qi (s), con el caudal de salida si (s) en la forma
s i ( s ) = G ( s ) ⋅ qi ( s ) , siendo G ( s ) =
1 − κχs
κ (1 − χ ) s + 1
(3.9)
Aplicando la transformación bilineal de Tustin, se obtiene una función de
transferencia discreta H (z).
µ i 0 + µ i1 z −1
H ( z) = G (s)
2 z −1 =
s=
1 − ν i1 z −1
T z +1
(3.10)
donde los coeficientes νi1, µi0 y µi1 se definen son
ν i1 =
2κ i (1 − χ i ) − T
T − 2κ i χ i
T + 2κ i χ i
; µi0 =
; µ i1 =
T + 2κ i (1 − χ i )
T + 2κ i (1 − χ i )
T + 2κ i (1 − χ i )
16
(3.11)
Capítulo 3. Modelo Matemático
Esta transformación equivale a discretizar la ecuación (3.5) con la regla del
trapecio.
De este modo el caudal de salida si (z) se obtiene a partir del caudal de entrada qi
(z) mediante la siguiente expresión:
si ( z ) =
µ i 0 + µ i1 z − 1
qi ( z )
1 − ν i1 z −1
(3.12)
Aplicando la transformada z inversa (Z-1), se obtiene una expresión discreta del
caudal de salida si en un instante k como función del mismo en un instante anterior, k-1,
y del caudal de entrada qi en los instantes k y k-1 en la forma
si ( k ) = ν i1 si ( k − 1) + µ i 0 qi ( k ) + µ i1qi ( k − 1)
(3.13)
En las expresiones anteriores T es el periodo de muestreo utilizado en la
discretización, el cual debe cumplir la siguiente condición:
κ i > T > κ iχi
(3.14)
Según las expresiones (3.11), los coeficientes νi1, µi0 y µi1 verifican las
siguientes relaciones:
ν i1 + µ i 0 + µ i1 = 1
0 < ν i1 , µ i 0 , µ i1 < 1
0 < µ i 0 < µ i1
(3.15)
Discretizando la ecuación que rige la zona de almacenamiento (3.2) mediante la
regla del trapecio y aplicando la transformada Z se obtiene:
( z − z −1 ) y i ( z ) =
T
( z + 2 + z −1 )( si ( z ) − qi +1 ( z ) − wi ( z ))
2 Ai
(3.16)
Combinando la ecuación (3.16) con la ecuación discretizada de la zona de
transporte (3.11), evaluando esta última en incrementos, se obtiene la siguiente
expresión:
3
3
∆yi ( k ) = ∑ aij ⋅ ∆yi ( k − j ) + ∑ bij ⋅ ∆qi ( k − j )
j =1
j =0
3
3
j =0
j =0
+ ∑ cij ⋅ ∆qi +1 ( k − j ) + ∑ d ij ⋅ ∆wi ( k − j )
17
(3.17)
Capítulo 3. Modelo Matemático
Los coeficientes aij , bij , cij y dij son los siguientes:
ai 0 = 0
ci 0 = −
ai1 = ν i1
ci1 =
Ti ν i1 
− 1
Ai  2

T 
1
ci 2 = i ν i1 − 
2
Ai 
ai 2 = 1
ai 3 = −ν i1
bi 0 =
ci 3 =
Ti µ i 0
Ai 2
Ti ν i1
Ai 2
(3.18)
d i 0 = ci 0
Ti  µ i1

+ µi0 

Ai  2

T µ

bi 2 = i  i 0 + µ i1 
Ai  2

bi1 =
bi 3 =
1 Ti
2 Ai
d i1 = ci1
d i 2 = ci 2
Ti µ i1
Ai 2
d i 3 = ci 3
siendo ∆ el operador incremental para una variable genérica:
∆y i (k ) = y i (k ) − y i (k − 1)
(3.19)
3.2.1.1-Predicción en el intervalo [k, k+λ]
Definiendo un horizonte de predicción λ, mediante la expresión (3.17), la
predicción en el intervalo [k, k+λ] puede expresarse del siguiente modo:
3
3
∆yˆ i ( k + l k ) = ∑ aij ⋅ ∆yˆ i ( k + l − j k ) + ∑ bij ⋅ ∆qˆ i ( k + l − j k )
j =1
j =0
3
3
j =0
j =0
+ ∑ cij ⋅ ∆qˆ i +1 ( k + l − j k ) + ∑ d ij ⋅ ∆wˆ i ( k + l − j k )
para
(3.20)
l = 1,2,..., λ
Esta predicción puede redefinirse en cada instante de tiempo k con las siguientes
condiciones iniciales:
18
Capítulo 3. Modelo Matemático
∆yˆ i ( k + 1 − j k ) = ∆yi ( k + 1 − j ),
para j = 1,2,3
∆qˆ i ( k + 1 − j k ) = ∆qi ( k + 1 − j ),
para j = 1,2,3
∆qˆ i +1 ( k + 1 − j k ) = ∆qi +1 ( k + 1 − j ),
para j = 1,2,3
∆wˆ i ( k + 1 − j k ) = ∆wi ( k + 1 − j ),
para j = 1,2,3
(3.21)
Las condiciones iniciales (3.21) indican que en cada instante k y anteriores, las
variables yi, qi, qi+1 y wi son conocidas. Utilizando el modelo predictivo (3.20)
recursivamente a partir de las condiciones iniciales (3.21), se obtiene la siguiente
expresión que permite plantear la predicción del calado en la zona de almacenamiento
en el intervalo [k, k+λ], en función de los niveles y caudales (bajo compuertas y
extracción) pasados, y de la predicción de los niveles y caudales futuros :
3
3
∆yˆ i ( k + l k ) = ∑ eij( l ) ∆yi ( k + 1 − j ) + ∑ g ij( l ) ∆qi ( k + 1 − j )
j =1
j =1
3
3
j =1
j =1
l
l
j =1
j =1
+ ∑ f ij( l ) ∆qi +1 ( k + 1 − j ) + ∑ hij( l ) ∆wi ( k + 1 − j )
+ ∑ g i(0l +1− j ) ∆qˆ i ( k + j k ) + ∑ f i 0( l +1− j ) ∆qˆ i +1 ( k + j k )
(3.22)
l
+ ∑ hi(0l +1− j ) ∆wˆ i ( k + j k )
j =1
para
l = 1,2,..., λ
con los siguientes coeficientes:
eij( l ) = ei(1l −1) aij + ei(,lj−+11) ;
j = 1,2,3 ; l = 2,..., λ
g ij( l ) = ei(1l −1) bij + g i(,lj−+11) ;
j = 0,...,3 ; l = 2,..., λ
f ij( l ) = ei(1l −1) cij + f i ,( lj −+11) ;
j = 0,...,3 ; l = 2,..., λ
hij( l ) = ei(1l −1) d ij + hi(,lj−+11) ;
j = 0,...,3 ; l = 2,..., λ
eij(1) = aij ;
j = 1,...,3
f ij(1) = cij ;
j = 0,...,3
g ij(1) = bij ;
hij(1) = d ij ;
j = 0,...,3
(3.23)
j = 0,...,3
ei(,l4−1) = g i(,l4−1) = f i ,(4l −1) = hi(,l4−1) = 0 ; l = 2,..., λ
3.2.1.2-Ley de control
Con el objetivo de obtener una ley de control, que permita calcular el caudal
necesario bajo la compuerta situada aguas arriba del tramo en el instante k+1, para que
19
Capítulo 3. Modelo Matemático
en el instante k+λ el nivel en la zona de almacenamiento sea el nivel de consigna, se
imponen las siguientes condiciones:
yˆ i ( k + λ k ) = yiref ( k + λ k )
para l = 2,3,..., λ
∆ qi ( k + l k ) = 0
(3.24)
(3.25)
La primera condición impone que el nivel en la zona de almacenamiento
evolucionará siguiendo una trayectoria de referencia. La segunda condición impone que
el caudal desaguado bajo la compuerta ubicada aguas arriba del tramo i será constante
en el intervalo [k+1, k+λ].
Sumando las λ ecuaciones (3.22) , usando las condiciones iniciales (3.21) e
imponiendo la condición (3.25), el nivel de agua en la zona de almacenamiento
predicho para el instante k+λ puede escribirse como:
3
3
j =1
j =1
yˆ i ( k + λ k ) = yi ( k ) + ∑ α ij( λ ) ∆y i ( k + 1 − j ) + ∑ β ij( λ ) ∆qi ( k + 1 − j )
3
3
j =1
j =1
+ ∑ γ ij( λ ) ∆qi +1 ( k + 1 − j ) + ∑ δ ij( λ ) ∆wi ( k + 1 − j )
λ
+ β iλ0 ∆qˆ i ( k + 1 k ) + ∑ γ i(0λ +1− j ) ∆qˆ i +1 ( k + j k )
(3.26)
j =1
λ
+ ∑ δ i(0λ +1− j ) ∆wˆ i ( k + j k )
j =1
Con
r
r
α ij( r ) = ∑ eij( l )
β ij( r ) = ∑ g ij( l )
L =1
L =1
r
r
γ ij( r ) = ∑ f ij( l )
δ ij( r ) = ∑ hij( l )
L =1
(3.27)
L =1
Despejando ∆qˆ i (k + 1 k ) de la ecuación (3.26) e imponiendo la condición (3.24),
se obtiene una expresión del incremento de caudal en el instante k+1:
∆qˆ i ( k + 1 k ) =
yiref ( k + λ k ) − yi ( k ) − cˆi ( k + 1 k )
β i(0λ )
(3.28)
con
3
3
cˆi ( k + 1 k ) = ∑ α ij( λ ) ∆yi ( k + 1 − j ) + ∑ β ij( λ ) ∆qi ( k + 1 − j )
j =1
j =1
3
3
j =1
j =1
+ ∑ γ ij( λ ) ∆qi +1 ( k + 1 − j ) + ∑ δ ij( λ ) ∆wi ( k + 1 − j )
λ
λ
j =1
j =1
+ ∑ γ i(0λ +1− j ) ∆qˆ i +1 ( k + j k ) + ∑ δ i(0λ +1− j ) ∆wˆ i ( k + j k )
20
(3.29)
Capítulo 3. Modelo Matemático
Finalmente, la ley de control se expresa del siguiente modo:
qˆ i ( k + 1 k ) = ∆qˆ i ( k + 1 k ) − qi ( k )
(3.30)
De este modo, las variables requeridas para calcular el caudal necesario en el
instante k+1, para que en el instante k+λ se cumpla la condición de nivel impuesta en la
zona de almacenamiento son las siguientes:
-
-
yi , qi , qi+1 , y wi en el instante k y anteriores. Estas variables pueden medirse.
∆qˆ i +1 (k + j k ) y ∆wˆ i (k + j k ) en instantes futuros, por lo que se tendrán que
estimar.
3.2.1.3-Estimación de valores futuros
Para estimar los valores futuros de las variables ∆qˆ i +1 (k + j k ) y ∆wˆ i (k + j k ) , y
la trayectoria de referencia y iref (k + λ k ) , se utilizan las tres hipótesis siguientes:
-
-
Se supone que al final del horizonte de predicción, en el instante k+ λ, cada
uno de los controladores han alcanzado la consigna y isp , de modo que el
valor final de la trayectoria de referencia y iref (k + λ k ) es el valor de
consigna.
Se conoce la relación hidráulica que caracteriza la toma lateral al final de
cada tramo: fi.
Se impone la condición estacionaria a partir del tramo final N hasta el tramo
i.
Tramo final
En el tramo final, la presencia de un vertedero aguas abajo permite estimar el
valor del caudal aguas abajo del tramo en el instante k+λ, dado
que qˆ N +1 (k + λ k ) = f N ( y Nsp ) . El valor de dicho caudal en el instante k es conocido, de
modo que suponiendo una variación lineal entre los instantes k y k+λ, es posible
conocer ∆qˆ N +1 (k + j k ) .
∆qˆ N +1 (k + j k ) =
qˆ N +1 (k + λ k ) − q N +1 (k )
λ
;
j = 1,2,..., λ
(3.31)
Dado que en el tramo final no existe toma lateral, el valor ∆wˆ N (k + j k ) es nulo
para cualquier j=1,2,...,λ.
Tramo genérico intermedio
Para calcular el valor de ∆wˆ i (k + j k ) en un tramo genérico intermedio, se
supone que existe una variación lineal entre los valores de wi entre los instantes k y k+λ.
21
Capítulo 3. Modelo Matemático
El valor en el instante k es conocido, y en el instante k+λ puede estimarse
mediante la relación hidráulica que caracteriza la toma lateral. De este modo,
∆wˆ i (k + j k ) se determina con la siguiente expresión:
∆wˆ i (k + j k ) =
wˆ i (k + λ k ) − wi (k )
λ
j = 1,2,...., λ
;
(3.32)
Para calcular el caudal bajo la compuerta i+1 en el instante k+λ es necesario
aplicar un balance de masa en la zona de canal delimitada aguas arriba por la compuerta
i+1 y aguas abajo por el vertedero de cola. La expresión que permite evaluar dicho
caudal es la siguiente:
qˆi +1 ( k + λ k ) =
N
∑ wˆ (k + λ k ) + qˆ
j = i +1
j
N +1
(k + λ k )
(3.33)
Una vez estimado qˆ i +1 (k + λ k ) , se supone que el caudal bajo la compuerta i+1
varía linealmente desde el valor conocido en el instante k hasta el valor estimado en el
instante k+λ. La expresión que permite estimar los incrementos de caudal en el
intervalo [k,k+λ] es la siguiente:
∆qˆi +1 (k + j k ) =
qˆi +1 (k + λ k ) − qi +1 (k )
λ
;
j = 1,2,...., λ
(3.34)
La ecuación (3.33) indica que el controlador es un controlador de tipo semi-local, ya
que utiliza información de todos los tramos situados aguas abajo.
3.2.2-MODELO DE HAYAMI
El modelo de Hayami es un modelo hidráulico, derivado de las ecuaciones de
Saint Venant, mientras que el modelo de Muskingum es un modelo hidrológico.
Las ecuaciones de Saint Venant (Georges y Litrico, 1999) permiten reproducir el
comportamiento hidráulico de canales. Se trata de dos ecuaciones, la ecuación de
conservación de la masa y la ecuación de conservación del momento:
∂A ∂Q
= q1
+
∂t ∂x
∂Q ∂ (Q 2 / A)
∂z
+
+ A ⋅ g ⋅ = − A ⋅ g ⋅ S f + k ⋅ q1 ⋅ V
∂t
∂x
∂x
22
(3.35)
Capítulo 3. Modelo Matemático
donde
Q( x, t ) es el caudal en m 3 / s en la sección A
q1 ( x, t ) es el caudal lateral en m 3 / s (q1 > 0 : aportación; q1 < 0 : extracción)
A( x, z ) es el area mojada en m 2
z ( x, t ) es la cot a de la superficie del agua en m
S f (Q, z , x) es la pendiente motriz
V ( x, t ) es la velocidad media en m / s en la sección A
g es la acceleración de la gravedad en m / s 2
k = 0 si q1 > 0 (considerando la aportación perpendicular al flujo)
k = 1 si q1 < 0 (considerando la extracción paralela al flujo)
Bajo las siguientes hipótesis:
- q1 = 0
- los términos inerciales
∂Q ∂ (Q 2 / A)
+
son despreciable frente al término
∂t
∂x
∂z
∂x
las ecuaciones de Saint Venant (3.35) se convierten en la ecuación de onda difusiva:
difusivo A ⋅ g
∂ 2Q
∂Q
∂Q
− D (Q, z , x ) 2 = 0
+ C (Q, z , x )
∂x
∂x
∂t
(3.36)
donde C(Q,z,x) es la celeridad en m/s y D(Q,z,x) es la difusión en m2/s que se expresan
en la forma
 ∂B ∂ ( BS f ) 
1
 − ∂z 
  ∂x
2  ∂S f

B 
∂Q 

1
D (Q, z , x ) =
 ∂S

B f

Q
∂


C (Q, z , x ) =
(3.37)
B es el ancho superficial de la lámina de agua.
La linealización de primer orden de la ecuación de la onda difusiva (3.36) alrededor
de un caudal de referencia Q0 lleva a la llamada ecuación de Hayami:
∂q
∂q
∂ 2q
+ C0
− D0 2 = 0
∂t
∂x
∂x
23
(3.38)
Capítulo 3. Modelo Matemático
siendo q el incremento de caudal respeto el caudal de referencia Q0 .
Se definen los coeficientes C0 y D0 como:
C0 = C (Q0 , z , x )
(3.39)
D0 = D (Q0 , z , x )
Estos coeficientes pueden estimarse aproximadamente para un tramo de canal genérico,
con una sección trapecial, como la de la Figura 13, mediante las siguientes expresiones:
5 ⋅ Q0 2 ⋅ Q0 ⋅ m
−
B2
3⋅ A
Q0
D0 =
2⋅B⋅S f
C0 =
(3.40)
B
1
y
m
B0
Figura 14 – Sección de un canal genérico
donde:
Sf =
Rh =
n2
Q2
A2
Rh4 / 3
n : coeficiente de Manning
A
Pm
(3.40)
A = B0 y + 2 ym
Pm = B0 + 2 y 1 + m 2
B = B0 y + my 2
Dado que en el proceso de estudio no se calculará los coeficientes C0 y D0 en cada
sección del canal, sino que se asimilará un único valor para cada tramo, el valor de y se
calculará como el valor medio de los calados a lo largo del canal (valores que se
calculan mediante un Runge Kutta de orden 4, el cual calcula a partir de las condiciones
iniciales en el canal, las curvas de remanso que se producen).
24
Capítulo 3. Modelo Matemático
3.2.2.1-Función de transferencia
Mediante la transformada de Laplace, e integrando la ecuación de Hayami (3.38)
bajo la hipótesis de un canal semi-infinito, es posible obtener una función de
transferencia que relaciona los incremento de caudal respecto al caudal de referencia Q0
que existen aguas arriba y aguas abajo de un tramo de longitud X.

 C − C 02 + 4 ⋅ D0 ⋅ s
FHayami ( s ) = exp  0
⋅X


2 ⋅ D0


(3.41)
Esta función es una función analítica en s, pero no es una función racional. No
obstante, es posible, mediante el método de los momentos, identificar esta función de
transferencia con una serie de funciones de transferencia genéricas. En el artículo de
Litrico y Georges (1999) se muestran diversas identificaciones de esta función de
transferencia, las cuáles son utilizadas en el desarrollo de esta tesina.
Dado un tramo de canal, cuya zona de transporte tiene una longitud X, es posible
calcular un coeficiente adimensional CL, que caracteriza la zona de transporte, y por lo
tanto el tramo de canal.
El coeficiente CL puede determinarse mediante la expresión siguiente:
CL =
C0 X
2 D0
(3.42)
Cuando el coeficiente CL es mayor que 9/4, es posible aproximar la función de
transferencia de Hayami con una función de transferencia de segundo orden con retardo.
Si CL es menor o igual a 9/4, y mayor que 1, sólo es posible la aproximación con una
función de transferencia de segundo orden o una de primer orden con retardo.
Finalmente, si CL es menor o igual a 1, únicamente cabe la posibilidad de aproximarla
con una función de primer orden. La siguiente tabla (Tabla 2) resume las posibles
situaciones.
Valores de CL
Tipo de modelo identificado
CL > 9/4
Segundo orden con retardo
1 < CL ≤ 9/4
Primer orden con retardo o Segundo orden
CL ≤ 1
Primer orden
Tabla 2 – Tipo de modelo identificado vs Valores del coeficiente CL
Debido a esta múltiple identificación que presenta el modelo de Hayami, es
necesario desarrollar tres modelos, uno para cada uno de los tres rangos en los que el
coeficiente CL toma valores. Los tres modelos desarrollados toman como punto de
partida las tres funciones de transferencia genéricas siguientes: segundo orden con
retardo, segundo orden y primer orden.
25
Capítulo 3. Modelo Matemático
Las siguientes tablas (Tablas 3 y 4) muestran, para un canal con una pendiente
longitudinal de 5e-4, un coeficiente de Manning de 0’014, y dos secciones con las
características ilustradas en la Figura 15, con qué tipo de función de transferencia se
identifica, para diversas longitudes de tramo y para diversos caudales circulantes.
Sección 1
Sección 2
60º
4m
4m
Figura 15 – Secciones de canal utilizadas
- Sección 1 –
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
11000
11500
12000
3
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5500
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5000
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4500
1500
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4000
1000
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3500
500
1.7342
2.2893
2.8864
3.5195
4.1838
4.8755
5.5914
6.3286
7.0849
7.8583
8.6472
9.4501
10.2656
11.0927
11.9303
12.7775
13.6337
14.4980
15.3699
16.2488
17.1341
3000
Caudal (m3/s)
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2000
2500
Calado (m)
Longitud del tramo (m)
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Tabla 3 – Identificación de un canal según el caudal y la longitud de tramo (I)
26
Capítulo 3. Modelo Matemático
- Sección 2 –
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
11000
11500
12000
3
3
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5500
3
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5000
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4500
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4000
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3500
2000
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2500
3000
1500
1.9086
2.5684
3.3010
4.1026
4.9705
5.9028
6.8977
7.9543
9.0715
10.2487
11.4854
12.7814
14.1363
15.5501
17.0228
18.5544
20.1451
21.7950
23.5043
25.2733
27.1022
500
Caudal (m3/s)
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
1000
Calado (m)
Longitud del tramo (m)
3
3
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
Tabla 4 – Identificación de un canal según el caudal y la longitud de tramo (II)
En estas tablas, un valor de 1 equivale a un modelo de primer orden, un valor de 2
equivale a un modelo de segundo orden, y un valor de 3 equivale a un modelo de
segundo orden con retardo.
Debido a esta múltiple identificación, un paso previo a realizar en todo estudio es el
de determinar con que tipo de modelo se identifica cada tramo del canal de estudio.
Los canales utilizados en los experimentos realizados en la presente tesina, los
cuales se encuentran explicados detalladamente en el capítulo 5, presentan una
combinación de longitudes y de caudales circulantes tales que permiten abordar el uso
de los tres modelos desarrollados.
3.2.2.2-Controlador de 2º orden con retardo
La identificación de la función de transferencia de Hayami con un modelo de
segundo orden con retardo conduce a la siguiente expresión (Georges y Litrico, 1999):
F (s) =
exp( − sτ )
1 + Ss + Ps 2
27
(3.43)
Capítulo 3. Modelo Matemático
donde los parámetros S, P y τ se determinan mediante el método de los momentos.
Mediante un hold de primer orden se discretiza la función de transferencia,
quedando la siguiente expresión (Georges y Litrico, 1999):
F1* ( z ) = z − r −1
c + dz −1 + ez −2 + fz −3
1 − az −1 + bz − 2
con
a = z1 + z 2
b = z1 z 2
c=
(3.44)
p1α 2 − p 2α 1
p1 − p 2
d=
p 2α 1 z 2 − p1α 2 z1 + p1 β 2 − p 2 β 1
p1 − p 2
e=
p 2 β 1 z 2 − p1 β 2 z1 + p1γ 2 − p 2γ 1
p1 − p 2
f =
p 2γ 1 z 2 − p1γ 2 z1
p1 − p 2
(3.45)
donde para i=1,2



 L −T
 Ki
α i = G  1 − exp



 
K 
L
 1 − i  + 1 − 

T 
T 
 
 
K  K +L
L 

 − 11 − i  +  i
z
−
+
2

i

T   T
T 

 
 
 L − T 
K + L
K 
1 − i  
γ i = G  zi 1 − i
 − exp
T 
T  
 K i 
 
 L −T
 Ki
β i = G   2 exp
(3.46)
con
G =1; τ =
K 1, 2 =
(
(
X
− S = rT + L
C0
1
S ± j 4P − S 2
2
S = −b+ ∆
)
1/ 3
)
(
+ −b− ∆
 2 XD0 
3 D0 
1 −

P = 
3
SC 02 
 C 0 

 4 X 2 D03  9 D0

− 2 X 
∆ = 
9

 C 0  C 0
b=
6 XD02
C 05
28
)
1/ 3
(3.47)
Capítulo 3. Modelo Matemático
La ecuación que rige la zona de almacenamiento (3.2), está referida a valores
totales de caudales. La ecuación de Hayami trabaja con incremento de caudales respeto
a un caudal de referencia Q0. Este caudal de referencia Q0 se produce en un estado en el
que el canal se encuentra en régimen permanente, de modo que antes de discretizar la
ecuación que rige la zona de almacenamiento (3.2), es necesario expresar ésta en
incrementos referidos al régimen permanente. En régimen permanente, no hay variación
de calado en la zona de almacenamiento de modo que en ese instante se cumple la
siguiente relación:
Ai
dy i (t )
= 0 = sˆi − qˆ i +1 − wˆ i
dt
(3.48)
Entonces, expresando los términos de la ecuación (3.2) como suma de los
valores en régimen permanente más las variaciones respecto a este estado se obtiene la
siguiente ecuación:
Ai
dy i (t )
= sˆi + ∆si − qˆ i +1 − ∆qi +1 − wˆ i − ∆wi
dt
(3.49)
Utilizando la condición (3.48) en la ecuación (3.49), y aplicando un cambio de
notación, la ecuación que rige la zona de almacenamiento, expresada en incrementos
respecto al régimen permanente, presenta la siguiente expresión:
Ai
dy i (t )
= si − qi +1 − wi
dt
(3.50)
Esta ecuación es idéntica a la ecuación (3.2), salvo que los valores de los
caudales en la ecuación (3.2) son valores totales, y en la ecuación (3.50) representan el
incremento de caudal respecto al caudal existente en un estado estacionario.
Discretizando la ecuación que rige la zona de almacenamiento (3.50) mediante
la regla del trapecio (Tustin) y aplicando la transformada Z se obtiene:
( z − z −1 ) y i ( z ) =
T
( z + 2 + z −1 )( si ( z ) − qi +1 ( z ) − wi ( z ))
2 Ai
(3.51)
Utilizando la ecuación (3.44), es posible obtener una expresión de si(z) en
función de qi(z) :
si ( z ) = F1* ( z ) qi ( z )
(3.52)
mi = qi +1 + wi
(3.53)
Se define la variable mi
Combinando las ecuaciones (3.51) y (3.52), y utilizando la nueva variable
(3.53), se obtiene la siguiente expresión:
29
Capítulo 3. Modelo Matemático
4
yi ( k ) = ∑ αˆ ij yi ( k − j ) +
j =1
4

T  5 ˆ
∑ β ij qi ( k − 1 − ri − j ) − ∑ γˆij mi ( k − j ) 
2 Ai  j = 0
j =0

(3.54)
Los coeficientes αˆ ij , βˆij y γˆij son los siguientes:
αˆ i1 = ai
βˆi 0 = ci
γˆi 0 = 1
αˆ i 2 = 1 − bi
βˆi1 = d i + 2ci
γˆi1 = 2 − ai
αˆ i 3 = − ai
βˆi 2 = ci + 2 d i + ei
γˆi 2 = bi − 2 ai + 1
αˆ i 4 = bi
βˆi 3 = d i + 2ei + f i
γˆi 3 = 2bi − ai
βˆi 4 = ei + 2 f i
γˆi 4 = bi
(3.55)
βˆi 5 = f i
3.2.2.2.1-Predicción en el intervalo [k, k+λ]
Definiendo un horizonte de predicción λ, mediante la expresión (3.54), la
predicción en el intervalo [k,k+λ] puede expresarse del siguiente modo:
4
yˆ i ( k + l k ) = ∑ αˆ ij yˆ i ( k + l − j k ) +
j =1

− ∑ γˆij mˆ i ( k + l − j k ) 
j =0

4
T  5 ˆ
∑ β ij qˆ i ( k − 1 − ri + l − j k )
2 Ai  j = 0
(3.56)
l = 1,2,..., λ
Esta predicción puede redefinirse en cada instante de tiempo k con las siguientes
condiciones iniciales:
yˆ i ( k + 1 − j k ) = yi ( k + 1 − j ),
para j = 1,..., 4
qˆi ( k + 1 − j k ) = qi ( k + 1 − j ),
para j = 1,...,5
mˆ i +1 ( k + 1 − j k ) = mi +1 ( k + 1 − j ),
para j = 1,..., 4
(3.57)
Las condiciones iniciales (3.57) indican que en cada instante k y anteriores, las
variables yi, qi y mi son conocidas. Utilizando el modelo predictivo (3.56)
recursivamente a partir de las condiciones iniciales (3.57), se obtiene la siguiente
expresión que permite plantear la predicción del calado en la zona de almacenamiento
en el intervalo [k, k+λ], en función de los niveles y caudales (bajo compuertas y
extracción) pasados, y de la predicción de los niveles y caudales futuros :
30
Capítulo 3. Modelo Matemático
4
 5
yˆ i ( k + l k ) = ∑ g ij( l ) yi ( k + 1 − j ) +  ∑ hij( l ) qi ( k − ri − j )
j =1
 j =1
4
l
j =1
j =1
− ∑ k ij( l ) mi ( k + 1 − j ) + ∑ hi(0l +1− j ) qˆ i ( k − 1 − ri + j k )
(3.58)
l
 T
− ∑ k i(0l +1− j ) mˆ i ( k + j k ) 
j =1
 2 Ai
para l = 1,2,..., λ
Con los siguientes coeficientes:
g ij(l ) = g i(1l −1)αˆ ij + g i(,lj−+11) ;
j = 1,...,4 ; l = 2,..., λ
hij(l ) = g i(1l −1) βˆij + hi(,lj−+11) ;
j = 0,...,5 ; l = 2,..., λ
kij(l ) = g i(1l −1)γˆij + ki(,lj−+11) ;
j = 0,...,4 ; l = 2,..., λ
g ij(1) = αˆ ij ;
j = 1,...,4
hij(1) = βˆij ;
j = 0,...,5
kij(1) = γˆij ;
j = 0,...,4
(3.59)
g i(,l5−1) = hi(,l6−1) = ki(,l5−1) = 0 ; l = 2,..., λ
3.2.2.2.2-Ley de control
Con el objetivo de obtener una ley de control, que permita calcular el caudal
necesario bajo la compuerta situada aguas arriba del tramo i en el instante k+1, para que
en el instante k+λ el nivel en la zona de almacenamiento sea el nivel de consigna, se
imponen las siguientes condiciones:
yˆ i ( k + λ k ) = yiref ( k + λ k )
∆ qi ( k + l k ) = 0
para l = 2,3,..., λ
(3.60)
(3.61)
La primera condición impone que el nivel en la zona de almacenamiento
evolucionará siguiendo una trayectoria de referencia. La segunda condición impone que
el caudal desaguado bajo la compuerta ubicada aguas arriba del tramo i será constante
en el intervalo [k+1,k+λ].
Dando un valor de l=λ a la ecuación (3.58), el nivel de agua en la zona de
almacenamiento predicho para el instante k+λ puede escribirse como:
31
Capítulo 3. Modelo Matemático
4
 5
yˆ i ( k + λ k ) = ∑ g ij( λ ) yi ( k + 1 − j ) +  ∑ hij( λ ) qi ( k − ri − j )
j =1
 j =1
4
λ
j =1
j =1
− ∑ k ij( λ ) mi ( k + 1 − j ) + ∑ hi(0λ +1− j ) qˆ i ( k − 1 − ri + j k )
(3.62)
λ
 T
− ∑ k i(0λ +1− j ) mˆ i ( k i + j k ) 
j =1
 2 Ai
Debido al retardo ri, existen valores en el cuarto sumatorio de la ecuación (3.62)
que son conocidos, de modo que este sumatorio se puede descomponer en dos
sumatorios. El retardo también impone una condición sobre el valor de λ (λ≥ri+2), para
que la ecuación (3.62) incluya como mínimo la predicción qˆ i (k + 1 k ) . A partir de esto e
imponiendo las condiciones (3.60) y (3.61), se obtiene la siguiente expresión:
4
 5
yiref ( k + λ k ) = ∑ g ij( λ ) yi ( k + 1 − j ) + ∑ hij( λ ) qi ( k − ri − j )
j =1
 j =1
4
ri +1
j =1
j =1
− ∑ k ij( λ ) mi ( k + 1 − j ) + ∑ hi(0λ +1− j ) qˆ i ( k − 1 − ri + j k )
+ qi ( k + 1 k )
λ
∑h λ
j = ri + 2
( +1− j )
i0
(3.63)
λ
 T
− ∑ k i(0λ +1− j ) mˆ i ( k i + j k ) 
j =1
 2 Ai
Despejando qˆ i (k + 1 k ) de la ecuación (3.26) se obtiene una expresión del caudal
en el instante k+1:
qˆ i ( k + 1 k ) =
1
λ
∑h λ
j = ri + 2
( +1− j )
i0
4

 2 Ai  ref
y
(
k
k
)
g ij( λ ) yi ( k + 1 − j ) 
λ
+
−
∑
 T  i
j =1


5
4
ri +1
j =1
j =1
j =1
− ∑ hij( λ ) qi ( k − ri − j ) + ∑ k ij( λ ) mi ( k + 1 − j ) − ∑ hi(0λ +1− j ) qˆ i ( k − 1 − ri + j k )
(3.64)
λ

+ ∑ k i(0λ +1− j ) mˆ i ( k i + j k ) 
j =1

De este modo, las variables requeridas para calcular el caudal necesario en el
instante k+1, para que en el instante k+λ se cumpla la condición de nivel impuesta en la
zona de almacenamiento son las siguientes:
-
yi , qi , qi+1 , y wi en el instante k y anteriores. Estas variables pueden medirse.
∆mˆ i +1 (k + j k ) en instantes futuros, por lo que se tendrán que estimar.
32
Capítulo 3. Modelo Matemático
3.2.2.2.3-Estimación de valores futuros
Para
estimar
los
valores
futuros
de
la
variable
ref
mˆ i (k + j k ) = qˆi +1 (k + j k ) + wˆ i (k + j k ) , y la trayectoria de referencia y i (k + λ k ) , se
utilizan las tres hipótesis siguientes:
-
-
Se supone que al final del horizonte de predicción, en el instante k+ λ, cada
uno de los controladores han alcanzado la consigna, de modo que el valor
final de la trayectoria de referencia y iref (k + λ k ) es el valor de consigna.
Se conoce la relación hidráulica que caracteriza la toma lateral al final de
cada tramo: fi.
Se impone la condición estacionaria a partir del tramo final N hasta el tramo
i.
Tramo final
En el tramo final, la presencia de un vertedero aguas abajo permite estimar el
valor del caudal aguas abajo del tramo en el instante k+λ, dado
que qˆ N +1 (k + λ k ) = f N ( y Nsp ) . El valor de dicho caudal en el instante k es conocido, de
modo que suponiendo una variación lineal entre los instantes k y k+λ, es posible
conocer qˆ N +1 (k + j k ) .
qˆ N +1 (k + j k ) = qˆ N +1 ( k + j − 1 k ) + ∆qˆ N +1 ;
j = 1,2,..., λ
(3.65)
con
qˆ N +1 ( k + λ k ) − q N +1 ( k )
λ −1
qˆ N +1 ( k k ) = q N +1 ( k )
∆qˆ N +1 =
(3.66)
Dado que en el tramo final no existe toma lateral, el valor wˆ N (k + j k ) es nulo
para cualquier j=1,2,...,λ.
Tramo genérico intermedio
Para calcular el valor de wˆ i (k + j k ) en un tramo genérico intermedio, se supone
que existe una variación lineal entre los valores de wi entre los instantes k y k+λ.
El valor en el instante k es conocido, y en el instante k+λ puede estimarse
mediante la relación hidráulica que caracteriza la toma lateral. De este modo,
wˆ i (k + j k ) se determina con la siguiente expresión:
wˆ N +1 (k + j k ) = wˆ N +1 ( k + j − 1 k ) + ∆wˆ N +1 ;
33
j = 1,2,..., λ
(3.67)
Capítulo 3. Modelo Matemático
con
wˆ i (k + λ k ) − wi (k )
λ −1
wˆ i (k k ) = wi (k )
∆wˆ i =
(3.68)
Para calcular el caudal bajo la compuerta i+1 en el instante k+λ es necesario
aplicar un balance de masa en la zona de canal delimitada aguas arriba por la compuerta
i+1 y aguas abajo por el vertedero de cola. La expresión que permite evaluar dicho
caudal es la siguiente:
qˆi +1 ( k + λ k ) =
N
∑ wˆ (k + λ k ) + qˆ
j = i +1
j
N +1
(k + λ k )
(3.69)
Una vez estimado qˆ i +1 (k + λ k ) , se supone que el caudal bajo la compuerta i+1
varía linealmente desde el valor conocido en el instante k hasta el valor estimado en el
instante k+λ. La expresión que permite estimar los incrementos de caudal en el
intervalo [k,k+λ] es la siguiente:
∆qˆi +1 =
qˆi +1 (k + λ k ) − qi +1 ( k )
λ −1
(3.70)
De modo que el caudal bajo compuerta qˆ N +1 (k + j k ) se estima del siguiente
modo:
qˆi +1 (k + j k ) = qˆi +1 ( k + j − 1 k ) + ∆qˆi +1 ;
j = 1,2,..., λ
(3.71)
con
qˆi +1 (k k ) = qi +1 (k )
(3.72)
3.2.2.3-Controlador de 2º orden
La identificación de la función de transferencia de Hayami con un modelo de
segundo orden conduce a la siguiente expresión (Georges y Litrico, 1999):
F (s) =
1
1 + Ss + Ps 2
(3.73)
donde los parámetros S y P se determinan mediante el método de los momentos.
Mediante un hold de primer orden se discretiza la función de transferencia,
quedando la siguiente expresión:
F1* ( z ) = z −1
c + dz −1 + ez −2 + fz −3
1 − az −1 + bz − 2
34
(3.74)
Capítulo 3. Modelo Matemático
con
a = z1 + z 2
b = z1 ⋅ z 2
p1α 2 − p 2α 1
p1 − p 2
c=
d=
p 2α 1 z 2 − p1α 2 z1 + p1 β 2 − p 2 β 1
p1 − p 2
e=
p 2 β 1 z 2 − p1 β 2 z1 + p1γ 2 − p 2γ 1
p1 − p 2
f =
p 2γ 1 z 2 − p1γ 2 z1
p1 − p 2
(3.75)
donde para i=1,2



 −T
 Ki
α i = G  1 − exp



 
γ i = G  zi 1 −
 
 
K  
 1 − i  + 1

T  
 
 − T  
K  K
 
 − 11 − i  +  i − 2  zi 

T  T
 
 K i  
 − T 
Ki 
K 
1 − i  
 − exp
T 
T  
 K i 
β i = G   2 exp
con
S=
(
1
S ± j 4P − S 2
2
1  X 2 2 XD0 

P =  2 −
2  C0
C 03 
G =1
K 1, 2 =
X
C0
(3.76)
)
(3.77)
Comparando las ecuaciones (3.74) y (3.44), se puede observar que únicamente
difieren en el valor de r. En el caso de un controlador de segundo orden con retardo, es
r≠0 y en un controlador de segundo orden es r=0. Conociendo esta circunstancia, el
desarrollo de un controlador de segundo orden es idéntico al de un controlador de
segundo orden con retardo, salvo que r=0 y que los coeficientes del modelo se calculan
a partir de las expresiones (3.75), (3.76) y (3.77). Por lo tanto, la ley de control del
controlador de segundo orden presenta la siguiente expresión:
qˆi ( k + 1 k ) =
1
λ
∑h λ
j =2
( +1− j )
i0
4

 2 Ai  ref
+
−
y
(
k
k
)
g ij( λ ) yi ( k + 1 − j ) 
λ
∑
 T  i
j =1


(3.78)

− ∑ hij( λ ) qi ( k − j ) + ∑ k ij( λ ) mi ( k + 1 − j ) + ∑ k i(0λ +1− j ) mˆ i ( k i + j k ) 
j =0
j =1
j =1

5
λ
4
35
Capítulo 3. Modelo Matemático
donde los coeficientes son los siguientes:
g ij(l ) = g i(1l −1)αˆ ij + g i(,lj−+11) ;
j = 1,...,4 ; l = 2,..., λ
hij(l ) = g i(1l −1) βˆij + hi(,lj−+11) ;
j = 0,...,5 ; l = 2,..., λ
kij(l ) = g i(1l −1)γˆij + ki(,lj−+11) ;
j = 0,...,4 ; l = 2,..., λ
g ij(1) = αˆ ij ;
j = 1,...,4
hij(1) = βˆij ;
j = 0,...,5
kij(1) = γˆij ;
j = 0,...,4
(3.79)
g i(,l5−1) = hi(,l6−1) = ki(,l5−1) = 0 ; l = 2,..., λ
con los coeficientes αˆ ij , βˆij y γˆij
αˆ i 0 = ai
βˆi 0 = ci
γˆi 0 = 1
αˆ i1 = 1 − bi
βˆi1 = di + 2ci
γˆi1 = 2 − ai
αˆi 2 = −ai
βˆi 2 = ci + 2di + ei
γˆi 2 = bi − 2ai + 1
αˆi 3 = bi
βˆi 3 = di + 2ei + f i
γˆi 3 = 2bi − ai
βˆi 4 = ei + 2 f i
γˆi 4 = bi
(3.80)
βˆi 5 = f i
La estimación de valores futuros también es necesaria. El procedimiento es idéntico
al del controlador de segundo orden con retardo (apartado 3.2.2.2.3).
3.2.2.4-Controlador de 1er orden
La identificación de la función de transferencia de Hayami con un modelo de
primer orden conduce a la siguiente expresión (Georges y Litrico, 1999):
F (s) =
G
1 + sK
(3.81)
Mediante un hold de orden cero se discretiza la función de transferencia, quedando
la siguiente expresión:
P * ( z ) = z −1
36
b
1 − az −1
(3.82)
Capítulo 3. Modelo Matemático
con

 − T 
; b = G 1 − exp
 
 K 

 T
a = exp − 
 K
(3.83)
donde
G =1
qi(z) :
;
K=
X
C0
(3.84)
A partir de la ecuación (3.82, se obtiene una expresión de si(z) en función de
(3.85)
si ( z ) = P * ( z ) qi ( z )
Combinando las ecuaciones (3.51) (zona de almacenamiento discretizada y con
la transformada Z aplicada) y (3.83), y utilizando la variable mi definida en la ecuación
(3.53), se obtiene la siguiente expresión:
3
yi ( k ) = ∑ α ij yi ( k − j ) +
j =1
3

T  2
β
q
(
k
1
j
)
γ ij mi ( k − j ) 
−
−
−
 ∑ ij i
∑
2 Ai  j =0
j =0

(3.86)
Los coeficientes αij , βij y γij son los siguientes:
α i1 = a i
α i2 = 1
α i 3 = − ai
β i 0 = bi
β i1 = 2bi
β i 2 = bi
γ i0 = 1
γ i1 = 2 − a i
γ i 2 = 1 − 2 ai
γ i 3 = − ai
(3.87)
3.2.2.4.1-Predicción en el intervalo [k, k+λ]
Definiendo un horizonte de predicción λ, mediante la expresión (3.86), la
predicción en el intervalo [k,k+λ] puede expresarse del siguiente modo:
3
yˆ i ( k + l k ) = ∑ α ij yˆ i ( k + l − j k ) +
j =1

− ∑ γ ij mˆ i ( k + l − j k ) 
j =0

3
T  2
 ∑ β ij qˆ i ( k − 1 + l − j k )
2 Ai  j = 0
(3.88)
l = 1,2,..., λ
Esta predicción puede redefinirse en cada instante de tiempo k con las siguientes
condiciones iniciales:
yˆ i (k + 1 − j k ) = yi (k + 1 − j ),
para j = 1,2,3
qˆi (k + 1 − j k ) = qi (k + 1 − j ),
para j = 1,2
mˆ i +1 (k + 1 − j k ) = mi +1 (k + 1 − j ),
para j = 1,2,3
37
(3.89)
Capítulo 3. Modelo Matemático
Las condiciones iniciales (3.89) indican que en cada instante k y anteriores, las
variables yi, qi y mi son conocidas. Utilizando el modelo predictivo (3.88)
recursivamente a partir de las condiciones iniciales (3.89), se obtiene la siguiente
expresión que permite plantear la predicción del calado en la zona de almacenamiento
en el intervalo [k, k+λ], en función de los niveles y caudales (bajo compuertas y
extracción) pasados, y de la predicción de los niveles y caudales futuros:
3
 2
yˆ i (k + l k ) = ∑ g ij( l ) yi (k + 1 − j ) + ∑ hij( l ) qi (k − j )
j =1
 j =1
3
l
j =1
j =1
− ∑ k ij( l ) mi (k + 1 − j ) + ∑ hi(0l +1− j ) qˆ i (k − 1 + j k )
 T
mˆ i (k + j k )
−∑k
j =1
 2 Ai
para l = 1,2,..., λ
l
(3.90)
( l +1− j )
i0
con los siguientes coeficientes:
g ij( l ) = g i(1l −1)α ij + g i(,lj−+11) ;
j = 1,2,3 ; l = 2,..., λ
hij( l ) = g i(1l −1) β ij + hi(,lj−+11) ;
j = 0,1,2 ; l = 2,..., λ
k ij( l ) = g i(1l −1)γ ij + ki(,lj−+11) ;
j = 0,1,2,3 ; l = 2,..., λ
g ij(1) = α ij ;
j = 1,2,3
hij(1) = β ij ;
j = 0,1,2
k ij(1) = γ ij ;
j = 0,1,2,3
(3.91)
g i(,l4−1) = hi(,l3−1) = ki(,l4−1) = 0 ; l = 2,..., λ
3.2.2.4.2-Ley de control
Dando un valor de l=λ a la ecuación (3.90), el nivel de agua en la zona de
almacenamiento predicho para el instante k+λ puede escribirse como:
3
3
 2
yˆ i ( k + λ k ) = ∑ g ij( λ ) yi ( k + 1 − j ) + ∑ hij( λ ) qi ( k − ri − j ) − ∑ k ij( λ ) mi ( k + 1 − j )
j =1
j =1
 j =1
λ
λ
(3.92)
 T
+ ∑ hi(0λ +1− j ) qˆ i ( k − 1 + j k ) − ∑ k i(0λ +1− j ) mˆ i ( k i + j k ) 
j =1
j =1
 2 Ai
Esta ecuación puede rescribirse teniendo en cuenta la siguiente expresión:
38
Capítulo 3. Modelo Matemático
λ
∑h λ
j =1
λ
qˆ (k − 1 + j k ) =hi(0λ ) qˆ i (k k ) + ∑ hi(0λ +1− j ) qˆ i (k − 1 + j k ) =
( +1− j )
i0
i
j =2
λ
= h q (k ) + ∑ h
(λ )
i0
i
j =2
(3.93)
( λ +1− j )
i0
i
qˆ (k − 1 + j k )
De modo que la ecuación (3.92) se convierte en:
3
3
 2
yˆ i ( k + λ k ) = ∑ g ij( λ ) yi ( k + 1 − j ) + ∑ hij( λ ) qi ( k − ri − j ) − ∑ k ij( λ ) mi ( k + 1 − j )
j =1
j =1
 j =0
λ
λ
(3.94)
 T
+ ∑ hi(0λ +1− j ) qˆ i ( k − 1 + j k ) − ∑ k i(0λ +1− j ) mˆ i ( k i + j k ) 
j=2
j =1
 2 Ai
A partir de esta expresión e imponiendo las condiciones (3.60) y (3.61)
(trayectoria de referencia de niveles e incremento de caudales limitado), se obtiene la
siguiente expresión:
3
3
 2
yiref ( k + λ k ) = ∑ g ij( λ ) yi ( k + 1 − j ) + ∑ hij( λ ) qi ( k − j ) − ∑ k ij( λ ) mi ( k + 1 − j )
j =1
j =1
 j =0
(3.95)
λ
λ

T
+ qi ( k + 1 k ) ∑ hi(0λ +1− j ) − ∑ k i(0λ +1− j ) mˆ i ( k i + j k ) 
j =2
j =1
 2 Ai
Despejando qˆ i (k + 1 k ) de la ecuación (3.95) se obtiene una expresión del caudal
en el instante k+1:
qˆi ( k + 1 k ) =
1
λ
∑h λ
j =2
( +1− j )
i0
3

 2 Ai  ref
λ
y
(
k
k
)
g ij( λ ) yi ( k + 1 − j ) 
+
−
∑
 T  i
j =1


(3.96)
2
3
λ

− ∑ hij( λ ) qi ( k − j ) + ∑ k ij( λ ) mi ( k + 1 − j ) + ∑ k i(0λ +1− j ) mˆ i ( k i + j k ) 
j =0
j =1
j =1

De este modo, las variables requeridas para calcular el caudal necesario en el
instante k+1, para que en el instante k+λ se cumpla la condición de nivel impuesta en la
zona de almacenamiento son las siguientes:
-
yi , qi , qi+1 , y wi en el instante k y anteriores. Estas variables pueden medirse.
∆mˆ i +1 (k + j k ) en instantes futuros, por lo que se tendrán que estimar.
La estimación de valores futuros también es necesaria. El procedimiento es idéntico
al del controlador de segundo orden con retardo (apartado 3.2.2.2.3).
39
Capítulo 3. Modelo Matemático
3.3-CONTROLADOR LOCAL
La función de cada uno de los controladores locales de cada tramo es calcular,
para cada instante de tiempo k, la trayectoria de abertura de compuerta que debe
producirse en el intervalo de tiempo comprendido entre los instantes k y k+1.
Existen diversos tipos de controladores locales. En este trabajo se ha optado por
un controlador local tipo PI continuo, el cual es un caso especial del controlador tipo
PID (Proporcional, Integral, Diferencial) , en el que la parte diferencial se considera
nula.
Este controlador tiene como entrada el caudal bajo compuerta qi(t), y como
salida la abertura de compuerta ui(t) en cada indante de tiempo (continuo). La consigna
qisp (t ) para cada controlador se toma como una variación lineal desde el valor medido
en el instante de muestreo k qi (k) hasta el valor deseado qˆi (k + 1 k ) que ha sido
calculado por el controlador predictivo:
qisp (t ) = qi ( k ) +
qˆ i ( k + 1 k ) − qi ( k )
(t − TK )
T
(3.97)
El control de la abertura de compuerta ui(t) es función de la diferencia entre la
salida medida qi (t) y la consigna qisp (t ) . Esta diferencia es el error ei (t):
ei (t ) = qi (t ) − qisp (t )
(3.98)
En el controlador local tipo PI utilizado en esta tesina, la abertura de compuerta
es función lineal del error (Proporcional) y de la integral del mismo (Integral) entre dos
instantes de muestreo:
t
u i (t ) = K Pi ei (t ) + K Ii ∫ ei (τ )dτ
t ∈ [kT , kT + T ]
k ⋅T
(3.99)
donde KPi es la constante proporcional y KIi es la constante de ganancia integral. Estas
constantes dependen del sistema canal-compuerta, es decir, de la relación caudalabertura. Deben ajustarse para cada caso. En los canales de estudio utilizados en esta
tesina, los coeficientes presentan los siguientes valores:
K Pi = 0,1
K Ii = 0,01
40
(3.100)