Deltaedros y poliedros
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ESTALMAT-Andalucía Sesión: nº 22 Fecha: 10 de junio de 2006 Actividades 05/06 Título: Construcción de Poliedros –deltaedros- ______________________________________________________________________________________ Hoja número 0. CONSTRUYENDO POLIEDROS. El material que tienes sobre la mesa se llama CREATOR o POLYDRON. Consta de piezas –polígonos regulares- que pueden engarzarse para formar cuerpos como los sólidos platónicos que se ilustran más abajo. Durante algunos minutos, maneja las piezas y aprende a engarzarlas. Luego, cuando el profesor te lo indique, realiza las siguientes prácticas: 1) Construye, en primer lugar, un poliedro familiar muy familiar: el CUBO. 2) Utilizando sólo triángulos equiláteros, forma otro poliedro: el TETRAEDRO. 3) Finalmente, utilizando sólo pentágonos regulares, construye el DODECAEDRO. Antonio Aranda, Ladislao Navarro y Antonio J. Pérez. Actividades 05/06 ESTALMAT-Andalucía Sesión: nº 22 Fecha: 10 de junio de 2006 Título: Construcción de Poliedros –deltaedros- _________________________________________________________________________________________ Hoja número 1. LOS CINCO POLIEDROS REGULARES. Vamos a terminar de construir los cinco poliedros regulares (¡¿Sólo hay cinco?!), aprendiendo algunas cosas sobre los mismos: Ángulos Diedros, Orden de los Vértices y una relación entre el Número de Caras, Aristas y Vértices, conocida como Fórmula de Euler (que en realidad vamos a recordar pues ya la conocéis). 1) Construye los cinco poliedros regulares: Tetraedro, Octaedro, Cubo, Dodecaedro e Icosaedro: 2) Ángulos Diedros. Su medida: Dos planos determinan un Cubo Tetraedro DIEDRO. Las caras de los Poliedros determinan ÁNGULOS DIEDROS. Dodecaedro En un Cubo todos los ángulos diedros son iguales, ¿Sabrías decir cuánto mide? Icosaedro Octaedro En el Cubo es muy fácil de calcular. Pero no así en los demás poliedros. ¿Qué se te ocurre para medirlos? ¿Sabrías precisar cómo se determina dicho ángulo? 3) Cuenta, en cada poliedro, el número de Caras, Aristas y Vértices. Explica cómo los has contado. 4) Se llama Orden de un Vértice al número de caras que concurren en él. Calcúlalo en cada poliedro. Completa la siguiente tabla: Número de POLIEDRO REGULAR Tetraedro Ángulo Diedro V A C Orden del Vértice 70º31'44'' Cubo Octaedro 109º28'16'' Dodecaedro 116º33'54'' Icosaedro 138º11'32'' 5) A la vista de la tabla, ¿encuentras alguna relación entre el número de Caras, Aristas y Vértices? Escríbela. (Dicha relación se llama Fórmula de Euler.) Antonio Aranda, Ladislao Navarro y Antonio J. Pérez. ESTALMAT-Andalucía Sesión: nº 22 Fecha: 10 de junio de 2006 Actividades 05/06 Título: Construcción de Poliedros –deltaedros- _________________________________________________________________________________________ Hoja número 2. Poliedros Arquimedianos. A) En la figura de la derecha se representa un Cubo truncado. Se ha obtenido a partir del cubo truncándolo. Vamos a describir dicho poliedro. a) Indica: Tipo de caras. Y número de cada tipo. b) Este poliedro se ha obtenido truncando un cubo. ¿Sabrías describir cómo se ha producido el truncamiento? c) ¿Cuánto vértices, aristas y caras tiene el Cubo truncado? B) El Cuboctaedro es otro poliedro arquimediano obtenido truncando el cubo. ¿Sabrías ahora decir cómo se ha de efectuar el truncamiento del cubo para obtener dicho poliedro? Describe los elementos que componen el cuboctaedro. Hay trece poliedros Arquimedianos (llamados así en honor a Arquímedes). Todos se obtienen a partir de los poliedros regulares mediante truncamiento. [El programa Poly (del que puedes obtener una versión gratuita e instalarla en tu ordenador) te permite visualizar todos los poliedros arquimedianos (y otros muchos)]. Otros ejemplos de poliedros arquimedianos son los que se muestran más abajo, respectivamente: Icosidodecaedro, Rombicuboctaedro e Icosaedro truncado. ¿Sabrías describir el último de ellos? [Es la forma adoptada por muchos balones de fútbol. Era el modelo reglamentario hasta hace muy poco] Antonio Aranda, Ladislao Navarro y Antonio J. Pérez. Actividades 05/06 ESTALMAT-Andalucía Sesión: nº 22 Fecha: 10 de junio de 2006 Título: Construcción de Poliedros –deltaedros- _________________________________________________________________________________________ Hoja número 3. DESARROLLOS DE POLIEDROS Un poliedro, como el cubo que se ilustra más abajo, puede “abrirse” hasta colocar todas sus caras sobre un plano. Obtenemos así un desarrollo del poliedro. Æ Æ El desarrollo de un cubo está compuesto por seis cuadrados unidos por aristas, formando una figura plana que se denomina hexaminó. Hay hexaminós que son desarrollos del cubo (como el de la figura de arriba, a la derecha) y otros que no. A) Dibuja cinco hexaminós distintos que sean desarrollos del cubo y otro cinco que no lo sean. B) Dibuja en cada uno de los casos que se ilustran a continuación (tetraedro, antiprisma hexagonal y octaedro truncado), un desarrollo del poliedro correspondiente. Antonio Aranda, Ladislao Navarro y Antonio J. Pérez. Actividades 05/06 ESTALMAT-Andalucía Sesión: nº 22 Fecha: 10 de junio de 2006 Título: Construcción de Poliedros –deltaedros- _________________________________________________________________________________________ Hoja número 4. ¡Sólo hay cinco poliedros regulares! Utilizando un único tipo de polígono, sólo con triángulos, cuadrados o pentágonos pueden construirse polígonos regulares. Con cuadrados sólo se puede construir el Cubo; con pentágonos, sólo el Dodecaedro. Si probamos que con triángulos sólo pueden construirse tres poliedros regulares, habremos demostrado que ¡sólo hay cinco poliedros regulares! Eso es lo que vamos a ver en esta actividad. DELTAEDROS. Se denominan deltaedros a los poliedros convexos construidos con triángulos equiláteros. Designaremos por Delta-n al deltaedro convexo con n caras. En ésta práctica se trata de que construyas, con el material que te facilite el profesor, todos los deltaedros convexos. Procura llevar algún orden (¡es fundamental!). Si vas anotando los datos en la tabla adjunta, tendrás una gran ayuda. Organízate con tu grupo. DELTAEDRO V A C V-3 V-4 V-5 (V- n es el nº de vértices de orden n) ¿Qué puedes decir del número de Caras? En algún caso, te puede ser útil conjeturar la existencia de un Deltaedro y, luego, intentar construirlo. Para ello, te puede ir bien los datos que hayas escrito en la tabla. Los deltaedros pueden obtenerse unos de otros siguiendo un método. ¡A ver si eres capaz de encontrar dicho método! Antonio Aranda, Ladislao Navarro y Antonio J. Pérez. ESTALMAT-Andalucía Sesión: nº 22 Fecha: 10 de junio de 2006 Actividades 05/06 Título: Construcción de Poliedros –deltaedros- _________________________________________________________________________________________ Hoja número 4. Lectura final. Capítulo XXV: Cómo no puede haber más de cinco cuerpos regulares. del Libro: La divina proporción. Luca Pacioli (1445-1517) Edición de Akal, 1991, con traducción de J. Calatrava. ---------------Conviene ahora demostrar cómo en la naturaleza no pueden ser más de cinco los mencionados cuerpos, es decir, los cuerpos cuyas bases sean iguales entre sí, lo mismo que sus ángulos sólidos y planos y sus lados. Ello es así porque para la constitución de cada ángulo sólido es necesario el concurso de al menos tres ángulos superficiales; luego, porque los tres ángulos de un hexágono equiángulo son iguales a cuatro ángulos rectos, y, además, en el heptágono, es decir, la figura de siete lados y, en general, en toda figura equilátera y equiángula de más lados, sus tres ángulos son siempre mayores que cuatro rectos (...), y todo ángulo sólido es menor que cuatro ángulos rectos. (...) Así queda claro que ninguna figura sólida equilátera y de ángulos iguales pueda formarse con superficies hexagonales o de más lados, pues si tres ángulos del hexágono equilátero y equiángulo son mayores que un ángulo sólido, se sigue que, con mucha más razón, cuatro o más ángulos excederán de dicho ángulo sólido. Sin embargo, tres ángulos del pentágono equilátero o equiángulo son , manifiestamente, menores que cuatro rectos, mientras que cuatro son mayores que cuatro rectos. De donde, con tres ángulos de un pentágono equilátero y equiángulo, se puede formar un ángulo sólido, pero con cuatro o más no es posible formar un ángulo sólido. Por ello, un cuerpo se forma sólo con pentágonos equiláteros y equiángulos, y es el llamado por los filósofos dodecaedro o, de otra manera, cuerpo de doce pentágonos.(...) La misma razón se da en las figura cuadriláteras, de lados y ángulos iguales, como se ha dicho para los pentágonos (...) De ahí que con tres ángulos de dicha figura superficial sea posible formar un ángulo sólido, pero imposible con cuatro o más. Por ello, (...) se puede formar un sólido que llamamos cubo, que es un cuerpo contenido por seis superficies cuadradas y con doce lados y ocho ángulos sólidos. En los triángulos equiláteros seis ángulos equivalen a cuatro rectos (...), menos de seis ángulos valen menos que cuatro rectos y más de seis más que cuatro rectos, por lo que con seis ángulos o más de dichos triángulos no es posible formar un ángulo sólido, mientras que sí lo es con cinco cuatro o tres. Y, como tres ángulos del triángulo equilátero contienen un ángulo sólido, con triángulos equiláteros se forma el cuerpo de cuatro bases triangulares iguales llamado tetraedro; y cuando se unen cuatro de dichos triángulos se forma el cuerpo de ocho bases conocido como octaedro; y si cinco triángulos equiláteros contienen un ángulo sólido, se forma entonces el cuerpo conocido como icosaedro, de veinte bases triangulares y de lados iguales. Así, el por qué son tantos y tales los cuerpos regulares y no más es cosa plenamente aclarada con lo que hemos dicho. Antonio Aranda, Ladislao Navarro y Antonio J. Pérez.
