Espectro del Laplaciano

TRABAJO MONOGRÁFICO
Espectro del Laplaciano:
Un enfoque semiclásico
Yaiza Canzani
Orientador: Federico Rodriguez Hertz
27 de Junio, 2008
Montevideo
Uruguay
Licenciatura en Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Resumen
El objetivo de estas notas es estudiar el comportamiento de las
funciones propias del Laplaciano en un variedad compacta donde el
flujo geodésico es ergódico. Con este motivo introducimos técnicas de
Análisis Semiclásico que nos permiten probar que en estas hipótesis
las funciones propias se distribuyen uniformemente sobre la variedad.
Palabras clave: Funciones propias del Laplaciano, Análisis Semiclásico, Teorema de Schnirelman, Ergodicidad Cuántica, Cuantización de
Sı́mbolos, Distribuciones temperadas.
Abstract
The purpose of these notes is to study the behavior of the eigenfunctions of the Laplacian defined on a compact manifold with ergodic
geodesic flow. With this in mind we introduce several techniques of
Semiclassical Analysis that allows us to prove, in the mentioned case,
the equidistribution of the eigenfunctions over the manifold.
Keywords: Eigenfunctions of the Laplacian, Semiclassical Analysis, Schnirelman’s Theorem, Quantum Ergodicity, Quantization of
Symbols, Tempered distributions.
A mi Abuela por enseñarme a elegir.
A Virginia y Angel, gracias a ellos elegı́ Matemática.
A Nico, lo mejor de hacer Matemática.
Introducción
Antes de explicar el contenido de estas notas quiero agradecerle a Federico por
ayudarme siempre y porque su habilidad para hacer que lo confuso sea simple
hizo que yo adore a este trabajo.
Esta monografı́a está basada en las notas de tı́tulo “Lectures on semiclassical
analysis” de Lawrence Evans and Maciej Zworski, disponibles en
http://math.berkeley.edu/~zworski/semiclassical.pdf.
Nuestro objetivo es estudiar el comportamiento de las funciones propias del
Laplaciano Clásico ∆g : C ∞ (X) → C ∞ (X) en una variedad riemanniana X
con métrica g (ver definición 1.5) definido por
n
√ ∂
1 X ∂
∆g := √
gij ḡ
.
ḡ i,j=1 ∂xi
∂xj
¿Porqué estudiar las funciones propias del Laplaciano?
Estudiar el espectro del Laplaciano tiene muchas aplicaciones, en particular
nos permite resolver algunas ecuaciones en derivadas parciales o estudiar la
geometrı́a de la variedad:
Resolución de ecuaciones
La ecuación del calor describe como se distribuye el calor partiendo de
una distribución inicial en X. Si f (x, t) es la función que describe la
temperatura en cada instante t y en cada punto x ∈ X, la ecuación del
calor se puede escribir como
1 ∂f
,
ν ∂t
donde ν es la conductividad del material.
∆g f = −
La ecuación de onda describe el comportamiento de una membrana vibrando con la forma de X (un tambor), y también describe aproximadamente el movimiento de la superficie de un lı́quido o la propagación
8
del sonido en el espacio. Si llamamos f (x, t) a la función que describe
la amplitud (o la altura del lı́quido) en el punto x ∈ X en tiempo t la
ecuación de onda esta dada por
∆g f = −
1 ∂2f
,
c2 ∂t2
donde c es la elasticidad (o la velocidad del sonido en el fluido).
La ecuación de Schrödinger para la función de onda de una partı́cula
libre es
∂f
~
∆g f = i~ ,
2m
∂t
donde ~ es la constante de Plank y m es la masa de la partı́cula.
Para resolver estas ecuaciones (al menos formalmente) la idea inicial es usar
el hecho de que podemos considerar funciones de la forma f (x, t) = ℓ(x)h(t)
(basados en el teorema aproximación de Stone-Weierstrass), y luego considerar
una expansión en series de estas funciones (análoga a la de Fourier).
En lo que sigue consideramos que las constantes valen 1, esto es equivalente
a reescalar la variable temporal. Veamos por ejemplo la ecuación del calor: la
función f = ℓh satisface la ecuación precisamente cuando las funciones ℓ y h
cumplen
∆g ℓ
h′
=− .
ℓ
h
Como la primera fracción depende solo del punto x ∈ X y la segunda solo
del tiempo t su valor tiene que ser una constante que notamos por λ. Pero
entonces la función ℓ es la función propia de ∆g de valor propio λ, mientras
que h(t) = e−λt . Entonces si conocemos las funciones propias del Laplaciano
podemos resolver la ecuación explı́citamente. Es fácil observar que la función
h tiene la siguiente forma según la ecuación considerada

−λt

para la ecuación del calor,
e
h(t) = eiλt
para la ecuación de Schrödinger,

 i√λt
e
para la ecuación de onda.
Geometrı́a espectral
El estudio de la relación entre el espectro del Laplaciano y la geometrı́a de
la variedad es lo que se conoce como “geometrı́a espectral”, en este área se
consideran problemas de dos tipos:
Problemas directos: Estudiar qué se puede decir sobre el espectro del Laplaciano y sobre las funciones propias si se conoce la geometrı́a (métrica)
9
de una variedad. Por ejemplo, describir la distribución asintótica de los
valores propios y hallar cotas para el valor propio dominante (este último
controla las “resonancias” y la velocidad con la que se disipa el calor).
Problemas inversos: Estudiar si se puede recuperar alguna propiedad
geométrica de la variedad suponiendo que se conoce el espectro del Laplaciano. Por ejemplo, determinar el volumen o la curvatura máxima de
la variedad. Una referencia clásica en este tipo de problemas es el artı́culo
de M. Kac “Can one hear the shape of a drum?” [6].
¿Cómo estudiamos las funciones propias del Laplaciano?
La herramienta fundamental que utilizaremos para abordar este estudio es el
Análisis Semiclásico.
La principal fuente de motivación del Análisis Semiclásico es la Mecánica
Cuántica. Para el estudio de esta última, es útil introducir un parámetro positivo, ~, que hace alusión a la constante de Planck; cuando ~ tiende a 0 se
recupera la Mecánica Clásica.
La clave del Análisis Semiclásico radica en asociar a una función a : Rn ×Rn →
C un operador Op(a) : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) definido por la fórmula
Z Z
i
1
x+y
hx−y,ξi
e~
, ξ u(y)dydξ.
Op(a)(u)(x) :=
a
(2π~)n
2
Rn ×Rn
A la función a le llamaremos observable clásico o sı́mbolo. Si notamos a =
a(x, ξ) será útil pensar que x denota la posición y ξ el momento.
Al operador que obtenemos a partir de a le llamaremos observable cuántico,
y al proceso en el que a un observable clásico se le asigna un operador se le
llamará cuantización.
Si definimos el sı́mbolo
p(x, ξ) = |ξ|2
al que llamaremos Hamiltoniano Clásico, al cuantizarlo obtendremos el operador
Op(p) = P = −~2 ∆g .
Muchas veces notaremos P (~) = P para recordar que el operador depende del
parámetro ~.
Como las funciones propias del operador P (~) son las funciones propias del
Laplaciano ∆g , nuestro trabajo se concentrará en estudiar el problema
P (~)u(~) = E(~)u(~).
10
Nuestra meta es probar un teorema muy importante que trata el comportamiento asintótico de las funciones propias del Laplaciano cuando el flujo
geodésico es ergódico. El teorema fue enunciado en 1974 por A. Schnirelman,
pero su demostración estaba incompleta. En 1984 S. Zeldich demostró un resultado similar en el que Y. Colin de Verdiere se basó para completar el trabajo
de Schnirelman en 1985.
Probaremos bajo el supuesto de ergodicidad que si llamamos uk a las funciones
propias del laplaciano entonces existe un conjunto S de densidad 1 tal que
∀f ∈ C ∞ (X)
Z
Z
X
|uk |2 f dvol −−→
k→∞
k∈S
f dvol.
X
Este resultado implica la equidistribución de las funciones propias.
Un corolario inmediato de este resultado es que bajo estas hipótesis si D ⊂ X
se cumple que
Z
|uk |2 dvol −−→ V ol(D).
D
k→∞
k∈S
Índice general
1. Conocimientos previos
1.1. Estructura Simpléctica en R2n
1.2. Métricas . . . . . . . . . . . .
1.3. Formas de volumen . . . . . .
1.4. Transformada de Fourier . . .
1.5. Cálculo funcional . . . . . . .
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13
13
15
16
20
24
2. Análisis Semiclásico
2.1. El Grupo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. ¿Cómo cuantizar un operador? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Método de fase estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
28
29
3. Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
3.1. Composición en la cuantización de Weyl . . . . . . . . . . .
3.2. Extensión de la cuantización de Weyl . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Afinando errores semiclásicos . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Cuantización del Hamiltoniano . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Operadores en L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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33
34
42
46
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57
57
60
63
64
67
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4. Ergodicidad cuántica
4.1. ¿Cómo cuantizar sı́mbolos en variedades? . . . . . . . . .
4.2. Ergodicidad Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Versión débil del Teorema de Egorov . . . . . . . . . . .
4.4. Teorema de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Equidistribución de las funciones propias del Laplaciano
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A. Transformada de Fourier de una exponencial imaginaria
75
B. Teorema de Cotlar-Stein
79
i
C. Cómo determinar el operador e ~ (hQ,τ i+hP,σi)
81
Notación
83
Bibliografı́a
86
Capı́tulo 1
Conocimientos previos
En este capı́tulo pasaremos a detallar los conocimientos previos precisos para
el entendimiento de las técnicas utilizadas en el Análisis Semiclásico.
1.1.
Estructura Simpléctica en R2n
Sea (x, ξ) ∈ R2n . Como fue anticipado en la introducción interpretaremos
x ∈ Rn como la posición y a ξ ∈ Rn como el momento.
De ahora en adelante notaremos h, i al producto interno usual en R2n
Definición 1.1 (Producto interno simpléctico)
Dados dos vectores u = (x, ξ) y v = (y, η) en R2n definimos el producto
simpléctico, σ, de la siguiente manera
σ(u, v) := hξ, yi − hx, ηi.
Otra manera de expresar lo de arriba es decir
σ(u, v) = hu, Jvi,
donde J ∈ M2n×2n está definida por
J=
0 −I
I 0
.
Observación 1.1
El producto simpléctico , σ, resulta ser bilinear, antisimétrico y no degenerado
(si σ(u, v) = 0 ∀v ⇒ u = 0).
14
Conocimientos previos
Definición 1.2 (Sobre formas diferenciales)
Si x = (x1 , ..., xn ), ξ = (ξ1 , ..., ξn ) definimos dxj y dξj ∈ (R2n )∗ por
dxj (x, ξ) = xj ,
dξj (x, ξ) = ξj .
Si α, β ∈ (R2n )∗ definimos
(α ∧ β)(u, v) := α(u)β(v) − α(v)β(u)
para u, v ∈ R2n .
Si f : Rn → R, el diferencial de f es la 1-forma
df =
X ∂f
dxi .
∂xi
Observación 1.2
Con las definiciones anteriores obtenemos
X
σ=
dξj ∧ dxj .
Vale la pena decir que a σ también se le denomina forma canónica simpléctica.
Definición 1.3 (Campo vectorial Hamiltoniano)
Si f ∈ C ∞ (R2n ) definimos Hf el campo vectorial hamiltoniano asociado a f ,
como aquel que verifica
σ(u, Hf ) = df (u).
Como σ es no degenerada Hf está bien definido. A Hf también se le suele
llamar gradiente simpléctico.
Notar que con todo lo antes definido podemos deducir que
df
df
df
df
Hf =
.
, ...,
,−
, ..., −
dξ1
dξn dx1
dx1
Lo que muchas veces aparece en los textos como
(
ẋ = ∂f
∂ξ
.
ξ˙ = − ∂f
∂x
Notaremos
Hf g = σ(Hf , Hg ).
15
1.2 Métricas
Definición 1.4 (Paréntesis de Poisson)
Si f, g ∈ C ∞ (R2n ) definimos al paréntesis de Poisson por
n
X
∂f ∂g
∂f ∂g
−
.
{f, g} := Hf g =
∂ξj ∂xj
∂xj ∂ξj
j=1
Observación 1.3
El paréntesis de Poisson verifica la Identidad de Jacobi,
{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0.
Observación 1.4
Dada p : R2n → R, llamamos φt al flujo generado por Hp
Si definimos at (x, ξ) = a ◦ φt (x, ξ) obtendremos que
d
at = {p, at }.
dt
Ya que si notamos φt = (φxt 1 , ..., φxt n , φξt 1 , ..., φξt n ), de la regla de la cadena se
deduce:
n
X ∂at dφxi ∂at dφξi
d
at =
. t +
. t
dt
∂x
dt
∂ξ
dt
i
i
i=1
n
X
∂at ∂p ∂at ∂p
=
.
.
−
∂xi ∂ξ
∂ξi dx
i=1
= {p, at }.
1.2.
Métricas
Trabajaremos en una variedad riemanniana (X, g) de dimensión n, notaremos
| · |x a la norma definida en Tx X inducida por la métrica g en el punto x (gx ).
Si ξ, ζ ∈ Tx∗ X por el teorema de Riesz existen v ∈ X y w ∈ X tal que
ξ(u) = gx (u, v) ∀u ∈ X
ζ(u) = gx (u, w) ∀u ∈ X.
Podemos entonces definir un producto escalar g x en Tx∗ X de la siguiente manera:
g x (ξ, ζ) := gx (v, w).
Sea x ∈ X.
Si ponemos
∂
∂xi
:= dx ϕ−1 (ei ) para i = 1, ..., n (donde los ei son los vectores
16
Conocimientos previos
de la base canónica de Rn obtenemos que { ∂x∂ 1 , ..., ∂x∂n } es base ortonormal del
Tx X.
Definamos ahora funcionales dxi : Tx X → R por dxi ( ∂x∂ j ) := δi j . De esta
manera obtuvimos que {dx1 , ..., dxn } es una base ortonormal del Tx∗ X.
Observemos que como dxi (v) = hv, ∂x∂ i i para todo v ∈ Tx X, entonces
∂
∂
x
g (dxi , dxj ) = gx
,
.
∂xi ∂xj
P
Si ξ = ni=1 ξi dxi ∈ Tx X tenemos que
!
n
n
X
X
X
g x (ξ, ξ) = g x
ξi dxi ,
ξk dxk =
ξi ξj g x (dxi , dxj )
i=1
=
X
i,j
ξ i ξ j gx
i=1
i,j
∂
∂
,
∂xi ∂xj
Definamos
gij (x) := gx
.
∂
∂
,
∂xi ∂xj
.
Si notamos ξˆ al vector ξ en la base {dx1 , ..., dxn }, ξˆ = (ξ1 , ..., ξn ), y definimos
la matriz G(x) = (gij (x))i,j (notar que es diferenciable porque las gij (x) son
diferenciables ) logramos
!
n
n
X
X
ˆ ξi
ˆ
|ξ|x = g x (ξ, ξ) =
gij (x)ξj ξi = hG(x)ξ,
(1.1)
i=1
j=i
Definición 1.5 (Laplaciano en Variedades)
Con la notación de antes llamemos ḡ := det(G(x)), entonces es posible definir
al operador Laplaciano también conocido como operador de Laplace-Beltrami
por
∆g : C ∞ (X) → C ∞ (X),
n
√ ∂
1 X ∂
∆g := √
gij ḡ
.
ḡ i,j=1 ∂xi
∂xj
1.3.
Formas de volumen
Sea X una variedad Riemanianna diferenciable orientable y compacta de dimensión n. Esta variedad tiene asociado un atlas finito
{(Ui , ϕi ) tal que ϕi : Ui → Rn difeomorfismo i = 1, ..., k}.
17
1.3 Formas de volumen
S
Con esta notación, como X = ki=1 Ui existen g1 , ..., gk ∈ Cc∞ (X) diferenciaP
bles tal que sop(gi ) ⊂ Ui y ki=1 gi = 1.
Como X es una variedad Riemanianna orientable de dimensión n, tiene asociada una n-forma de volumen ω en X.
La forma de volumen ω en X induce una forma de volumen ω̂ en Rn que
es el pushforward de ω por las cartas locales de X, ω̂ = {ω̂x }x∈Rn está definida
por
ω̂x (v1 , ..., vn ) := ωϕ−1 (x) ((dϕi )−1 (v1 ), ..., (dϕi)−1 (vn )),
i
donde ϕi es una carta local de X.
Observación 1.5
Como las formas n-lineales en Rn son colineales existe ui(x) tal que
ω̂x (v1 , ..., vn ) = ui (x) dx1 ...dxn (v1 , ..., vn ).
Esto significa que si f : Ui → R, por el teorema de cambio de variables vale
Z
Z
Z
−1
f ω = f ◦ ϕi ω̂ = f ◦ ϕ−1
i (x) ui (x) dx1 ...dxn .
Rn
Ui
Rn
Con lo dicho en la observación anterior
Z
f dvol =
X
=
Z
fω=
X
k Z
X
i=1 X
Z X
k
X i=1
f.gi ω =
k Z
X
f.gi ω
i=1 X
(f.gi ) ◦ ϕ−1
i (x) ui (x) dx1 ...dxn .
Definición 1.6 (Medida de Liouville)
Si (X, g) es una variedad Riemanianna diferenciable de dimensión n podemos
asociarle de manera canónica una 1-forma θ en el cotangente T ∗ X. Si llamamos
π a la proyección canónica π : T ∗ X → X definida por π(x, ξ) = x podemos
definir a θ de la siguiente manera:
θ = {θ(x,f ) }(x,f )∈T ∗ X
θ(x,f ) = f ◦ dπ.
Si ponemos Ω := dθ (donde dθ es la derivada exterior de θ), Ω resulta ser una
2-forma simpléctica en T ∗ X. Si entonces consideramos Ω ∧ ... ∧ Ω (n veces)
18
Conocimientos previos
tenemos una 2n-forma no degenerada .
Definimos la medida de Liouville L de la siguiente manera: Integrar respecto
de la medida L es integrar respecto de la forma de volumen Ω ∧ ... ∧ Ω.
Notación 1.1
Dada f ∈ T ∗ X notaremos
Z
T ∗X
f dxdξ :=
Z
f dL.
T ∗X
Observación 1.6
De manera análoga a cuando definimos la forma de volumen en la variedad, si
f : T ∗ Ui → R por el teorema de cambio de variables vale
Z
Z
f dL = f ◦ dϕ−1
i (x, ξ) vi (x, ξ) dx1 ...dxn dξ1 ...dξn .
T ∗ Ui
R2n
Es importante mencionar que vale vi (x, ξ) = u2i (x), donde u es la de la observación 1.5.
Lema 1.1
Notemos | · |x a la norma definida en Tx∗ X inducida por la métrica g en el
punto x. Ver sección 1.2.
Si p : T ∗ X → R está definida por p(x, ξ) := |ξ|2x y f : T ∗ X → R es función
sólo de la primer variable entonces
Z
Z
f dxdξ = volX (B(0, 1)) f dvol,
0≤p≤1
X
aquı́ usamos la medida de volumen normalizada, i.e., vol(X) = 1.
Demostración.
Z
Z
k
X
f dxdξ =
χ{0≤p≤1} f (x)gi (x)dL =
0≤p≤1
=
Z
k
X
i=1 Rn ×Rn
i=1 T ∗ U
i
−1
−1
2
[χ{0≤p≤1} ◦ dϕ−1
i (x, ξ)][f ◦ ϕi (x)][gi ◦ ϕi (x)]u (x) dx1 ...dxn dξ1 ...dξn .
19
1.3 Formas de volumen
Notemos que
R
Rn
χ{0≤p≤1} ◦ dϕ−1
i (x, ξ)dξ1 ...dξn =
R
χEx dξ1 ...dξn donde
Rn
Ex := dϕ−1
ϕi (Bϕ−1
(0, 1)).
i (x)
i (x)
Entonces nos interesa hallar el volumen de Ex :
Notemos vi := dx ϕ(ei ) donde {e1 , ..., en } es base ortonormal del Tϕ∗−1 (x) X
volX (Ex ) = volRn (B(0, 1))dξ1...dξn (v1 , ..., vn )
1
= volRn (B(0, 1))
ω̂x (v1 , ..., vn )
u(x)
1
ω −1 (e1 , ..., en )
= volX (B(0, 1))
u(x) ϕi (x)
1
= volX (B(0, 1))
.
u(x)
La última igualdad vale porque ωϕ−1 (x) (e1 , ..., en ) = 1 pues {e1 , ..., en } es base
i
ortonormal.
Usando lo anterior
Z
k Z
X
1
2
[f.gi ◦ ϕ−1
f dxdξ =
volX (B(0, 1))
i (x)]u (x) dx1 ...dxn
u(x)
i=1
Rn
0≤p≤1
= volX (B(0, 1))
k Z
X
i=1 U
i
= volX (B(0, 1))
k Z
X
(f gi ) ◦ ϕ−1
i (x)u(x) dx1 ...dxn
f gi dvol = volX (B(0, 1))
Z
f dvol.
X
i=1 U
i
Observación 1.7
Si a < b se obtiene
Z
f dxdξ = volX (A(a, b))
a≤p≤b
Z
f dvol,
X
donde A(a, b) denota B(0, b) − B(0, a).
Elijamos a, b ∈ R, a < b y asumamos que ∇p 6= 0 en {a ≤ p ≤ b}, donde ∇ es
la conexión asociada a la forma simpléctica Ω en T ∗ X.
Tenemos entonces que para c ∈ [a, b], p−1 (c) ⊂ T ∗ X es una variedad diferenciable de dimensión 2n − 1.
20
Conocimientos previos
Definición 1.7 (Medida de Liouville en secciones)
Llamaremos Lc a la medidad de Liouville en p−1 (c). Caracterizamos a Lc como
aquella medida que cumple
Z Z
f dxdξ =
p−1 [a,b]
Z
b
a
donde f : T ∗ X → Rn
1.4.



Z


f dLc  dc,
p−1 (c)
Transformada de Fourier
Definición 1.8 (Espacio de Schwartz, S)
S = S(Rn ) := {φ ∈ C ∞ (Rn ) : sup|xα ∂ β φ(x)| < ∞ ∀α, β multiı́ndices}.
x
S es un espacio vectorial topológico localmente convexo, que es metrizable y
completo (es un espacio de Fréchet) con la topologı́a débil inducida por la
familia de seminormas pα,β (φ) = supx |xα ∂ β φ(x)|.
Notar que si φ ∈ S, entonces φ y sus derivadas tienden a cero más rápidamente
que cualquier polinomio.
Definición 1.9 (Transformada de Fourier)
Si φ ∈ S le asociamos su transformada de Fourier F (φ) definida por
F (φ)(ξ) :=
Z
e−ihx,ξi φ(x)dx.
Rn
Notaremos también φ̂ = F (φ).
Se puede también obtener una fórmula de inversión
Z
1
−1
eihx,ξi φ(ξ)dξ.
F (φ)(x) =
(2π)n
Rn
Se cumple que el operador F : S → S es un isomorfismo lineal y continuo.
21
1.4 Transformada de Fourier
Observación 1.8
Como de lo anterior se deduce que
1
φ(x) =
(2π)n
Z
eihx,ξi φ̂(ξ)dξ,
Rn
tenemos la siguiente igualdad
1
φ(0) =
(2π)n
Z
φ̂(ξ)dξ.
Z
φψ̂dx.
Rn
Lema 1.2
Si φ, ψ ∈ S entonces
Z
φ̂ψdx =
Rn
Rn
En consecuencia,
Z
Z
φ̂ψ̂dx =
Rn
φψdx.
Rn
Demostración.
Z
φ̂ψdx =
Rn
Z
Rn
=
=
Z
ZR
n
Z
Rn
Z
Rn
−ihx,yi
e
φ(y)dy ψ(x)dx
−ihy,xi
e
ψ(x)dx φ(y)dy
φψ̂dy.
Rn
Para probar la segunda afirmación reemplacemos en la primera ψ por ψ̂
Z
Z
φF (ψ̂)dx.
φ̂ψ̂dy =
Rn
Rn
Ahora, como ψ̂ = (2π)n F −1(ψ) obtenemos el resultado deseado.
22
Conocimientos previos
Lema 1.3
Sea Q ∈ Mn×n (R) simétrica y no singular. Entonces,
iπ
F (e
i
hQx,xi
2
(2π)n/2 e 4 sgn(Q) − i hQ−1 x,xi
)=
.
e 2
|detQ|1/2
Por una demostración de este lema ver en el apéndice A.1.
Definición 1.10 (Espacio de distribuciones temperadas)
Llamaremos S ′ al espacio dual de funcionales continuos de S dotado con la
topologı́a débil-∗. A cada operador perteneciente a este espacio le llamaremos
distribución temperada.
Es importante observar que las medidas son distribuciones en el sentido de
arriba si las interpretamos de la siguiente manera: dada µ medida y ϕ ∈ S
entonces
Z
µ(ϕ) := ϕ dµ.
Otro hecho importante es que podemos ver a S dentro de S ′ de la siguiente
manera: Si ψ ∈ S y llamamos leb a la medida de lebesgue, definimos Lψ ∈ S ′
por
Z
Lψ (ϕ) :=
ψϕ dleb.
Definición 1.11
Definimos la transformada de Fourier de una distribución L ∈ S ′ por
F (L)(ϕ) := L(F (ϕ)) ∀ϕ ∈ S.
Análogamente definimos la antitransformada,
F −1(L)(ϕ) := L(F −1 (ϕ)) ∀ϕ ∈ S.
Lema 1.4
Si notamos δ0 a la distribución Delta de Dirac concentrada en cero entonces
F (δ0 ) = leb.
Demostración Sea ϕ ∈ S
F (δ0 )(ϕ) = δ0 (F (ϕ)) =
Z
ϕ̂ dδ0 = ϕ̂(0) =
Z
ϕ(x)dx = leb(ϕ).
23
1.4 Transformada de Fourier
Lema 1.5
Llamemos δy a la medida delta de Dirac concentrada en y. Si vemos a esta
medida como una distribución temperada se cumple:
Z
Z
i
1
e ~ hx−y,ξi dξ ϕ(x)dx
δy (ϕ) =
∀ϕ ∈ S
n
Rn
Rn (2πh)
Dicho de otra manera, si definimos ψy ∈ S ′ por
Z
i
1
ψy (x) :=
e ~ hx−y,ξi dξ.
n
(2πh) Rn
Entonces,
δy = Lψy .
A veces nos vamos a referir a esta igualdad de la siguiente manera:
δy = ψy
en S ′ .
Demostración.
Notaremos ϕy a la función ϕy (x) = ϕ(x + y).
Lψy (ϕ) =
=
=
=
=
Z
n
Z
ZR ZR
n
n
n
n
n
n
Rn
ZR ZR
ZR ZR
ZR
Rn
i
1
e ~ hx−y,ξi dξ ϕ(x)dx
n
(2πh)
i
1
e ~ hx−y,ξi ϕ(x)dξ dx
n
(2πh)
i
1
e ~ hz,ξiϕ(y + z)dξ dz
n
(2πh)
i
1
hz,ξi
~
e
ϕy (z)dz dξ
(2πh)n
F~−1 (ϕy )(ξ)dξ
= leb(F~−1 (ϕy )).
Utilzamos ahora el lema 1.4 y la definición 1.11
leb(F~−1 (ϕy )) = [F~(δ0 )](F~−1(ϕy )) = δ0 (F~F~−1 ϕy ) = δ0 (ϕy )
Z
Z
Z
= ϕy (x) dδ0 (x) = ϕ(x + y) dδ0 (x) = ϕ(y) = ϕ(x) dδy (x)
= δy (ϕ).
Entonces
Lψy (ϕ) = δy (ϕ).
24
Conocimientos previos
1.5.
Cálculo funcional
Sea H un espacio de Hilbert y B(H) el espacio de los operadores acotados de
H. Dado un operador A y una función f : C → C, ¿es posible definir
P f (A)?
n
Primero supongamos que A es un operador acotado. Si f (x) = N
n=1 cn x es
PN
un polinomio, queremos que
f (A) = n=1 cn An .
P∞
n
Supongamos que f (x) =
de potencias con radio de
n=0 cn x es una serie P
∞
n
a un
convergencia R. Si kAk < R, entonces la suma
n=0
P∞cn A converge
n
operador acotado, entonces es natural definir f (A) = n=0 cn A .
En este caso pedimos que f fuera una función analı́tica en un dominio que
incluı́a al espectro de A -spec(A)-. En general se puede dar una definición razonable para f (A) analı́tica en un entorno de spec(A).
Si pedimos que el operador A sea autoadjunto se cumple que para cualquier
polinomio p, kp(A)k = sup{|p(λ)| : λ ∈ spec(A)}. Esta propiedad es la que nos
permite extender el cálculo funcional a las funciones continuas, permitiendo
probar el siguiente teorema:
Teorema 1.6 (Cálculo funcional)
Si A : H → H es un operador autoadjunto en el espacio de Hilbert H entonces
existe un único mapa φ : C(spec(A), C) → B(H) que cumple:
1.
φ(f g) = φ(f )φ(g)
φ(1) = I
φ(λf ) = λφ(f )
¯ = φ(f )∗.
φ(f)
2. φ es continua, ie, kφ(f )kL(H) ≤ Kkf k∞ .
3. Si id es la función identidad (id(x) = x) entonces φ(id) = A.
4. Aφ(f ) = φ(f )A.
5. Si Aψ = λψ entonces φ(f )ψ = f (λ)ψ.
6. Si f ≥ 0 entonces φ(f ) ≥ 0.
1.5 Cálculo funcional
25
Observación 1.9
Será de utilidad mencionar que si tenemos una familia de operadores que dependen de un parámetro {At }t∈R , podemos diferenciar los operadores definiendo
d At +t − At0
At := lı́m 0
.
t→0
dt t0
t
En esta situación vale la regla de Leibnitz:
d
d
d
(At ◦ Bt ) = At ◦ Bt + At ◦ Bt .
dt
dt
dt
Capı́tulo 2
Análisis Semiclásico
2.1.
El Grupo de Heisenberg
Definimos
Qj : H → H
Pj : H → H
Qj (f )(x1 , ..., xn ) := xj f (x1 , ..., xn , q1 , ..., qn )
i ∂f
Pj (f )(x1 , ..., xn ) :=
(x1 , ..., xn , q1 , ..., qn ).
~ ∂qj
Consideramos el espacio vectorial A = hP1 , ...Pn , Q1 , ...Qn , IiR donde I es el
operador identidad.
Definimos el paréntesis cuántico { , }Q entre dos operadores: dados A, B :
H→H
i
{A, B}Q := [A, B],
~
aquı́ [A, B] = AB − BA.
El espacio (A, { , }Q ) resulta un álgebra de Lie pues { , }Q cumple:
1. Es bilineal
2. Es antisimétrico {A, B}Q = −{B, A}Q
3. Verifica la identidad de Jacobi
{A, {B, C}Q }Q + {B, {C, A}Q }Q + {C, {A, B}Q}Q = 0.
Necesitaremos introducir nuevos operadores para luego explicar la cuantización de Weyl. Con este motivo definimos el Grupo de Heisenberg, Hn , como el
conjunto de operadores obtenido al exponenciar los operadores de A.
Nos interesaremos en el operador ei(hσ,Pi+hτ,Qi) con σ, τ ∈ Rn . Aquı́ P :=
(P1 , ..., Pn ) y Q := (Q1 , ..., Qn ):
Si ψ ∈ L2 (Rn ), dado un t ∈ R, definimos U(t) : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) como el
28
Análisis Semiclásico
operador que a ψ le asigna Ft , siendo Ft la solución en tiempo t de la ecuación
diferencial
∂F
= i(hσ, Pi − hτ, Qi)F
∂t
con dato inicial F0 (x) = ψ(x).
i
Diremos entonces que e ~ (hQ,τ i+hP,σi) = U(1)
i
Para obtener explı́citamente a e ~ (hQ,τ i+hP,σi) se halla la solución de la ecuación
diferencial utilizando el método de las curvas caracterı́sticas. En el apéndice C se encuentra en detalle la solución para el caso n = 1 (para mayores
dimensiones se procede de la misma manera).
Se demuestra entonces que
σ
i
e ~ (hQ,τ i+hP,σi) ψ(x) = eih 2 +x,τ i ψ(x + σ)
2.2.
(2.1)
¿Cómo cuantizar un operador?
Un proceso de cuantización es una forma de asociar a una función f : T ∗ X → R
un operador Op(f ) : H → H. Tomaremos X = Rn , identificaremos T ∗ X con
Rn × Rn y H será L2 (Rn ). Hay varios aspectos a tener en cuenta:
Al establecer un proceso de cuantización tendremos que definir el conjunto de funciones a las cuales se les pueda asignar mediante esa regla
un operador. A esto nos dedicaremos en el capı́tulo 3.
Debemos asegurarnos que en el proceso de cuantización la conmutatividad de funciones se corresponda de alguna manera con la conmutatividad
de operadores. Para ser más especı́ficos, supongamos que a pi (la función
de momento) le asignamos el operador Pi y a qi (la función de posición) le
asignamos Qi . Inmediatamente nos enfrentamos a un problema: ¿qué le
asignamos a pi qi ?
Tenemos que pi qi = qi pi pero Pi Qi 6= Qi Pi.
Definición 2.1 (Transformada de Fourier Semiclásica)
Si φ ∈ S le asociamos su transformada de Fourier semiclásica F~(φ)
Z
i
F~(φ)(ξ) := e− ~ hx,ξi φ(x)dx.
Rn
Notaremos también φ̂ = F~(φ).
29
2.3 Método de fase estacionario
Se puede también obtener una fórmula de inversión
Z
i
1
−1
e ~ hx,ξi φ(ξ)dξ.
F~ (φ)(x) =
n
(2π~)
Rn
Observar que entonces podemos hacer que el sı́mbolo φ dependa del parámetro
~:
Z
1
i
φ(x) =
e ~ hx,ξi φ̂(ξ)dξ.
n
(2π~)
Rn
Cuantización de Weyl
Dado un sı́mbolo a : Rn × Rn → R, a ∈ S le asociamos el operador OpW (a)
conocido como operador de Weyl y definido de la siguiente manera:
Z Z i
1
y+x
W
Op (a)ψ(x) :=
, ξ e ~ hx−y,ξi ψ(y)dydξ.
a
n
(2π~)
2
Rn Rn
En el próximo capı́tulo desarrollaremos en detalle los aspectos de esta cuantización.
Será conveniente utilizar la siguiente notación:
aω := OpW (a).
Cuantización estándar
Sea 0 ≤ t ≤ 1. Definimos
1
Opt (a)ψ(x) :=
(2π~)n
Z Z
Rn Rn
i
a (tx + (1 − t)y, ξ) e− ~ hy−x,ξi ψ(y)dydξ.
Observar que Op 1 (a) = OpW (a).
2
2.3.
Método de fase estacionario
Notación 2.1 (Integral Oscilatoria)
Si ϕ ∈ C ∞ (Rn ) y a ∈ Cc∞ (Rn ) notaremos
Z
i
I~ :=
e ~ ϕ a dx.
Rn
30
Análisis Semiclásico
Teorema 2.1
Sea f : R2n → R, f ∈ Cc∞ (R2n ). Entonces ∀ N ∈ Z+
Z
e
i
hx,ξi
~
f (x, ξ)dxdξ = (2π~)n
N
−1
X
k=0
R2n
~k
k!
hDx , Dξ i
i
!
k !
f (0, 0) + O(~N ).
A veces escribiremos este resultado de la siguiente manera:
Z
i
e ~ hx,ξi f (x, ξ)dxdξ ∼ (2π~)n [e−i~hDx ,Dξ i f ](0, 0).
R2n
Demostración.
Definamos
Q :=
O I
I O
.
Es fácil observar que Q(x, ξ) = (ξ, x) ∀ (x, ξ) ∈ R2n y que Q = Q−1 . Entonces
hQ(x, ξ), (x, ξ)i = 2hx, ξi.
Entonces
Z
e
Definamos Q~ :=
I~ =
i
hx,ξi
~
f (x, ξ)dxdξ =
R2n
Z
i
e 2~ hQ(x,ξ),(x,ξ)i f (x, ξ)dxdξ.
R2n
Paso 1
O
1
I
~
1
I
~
O
2
Ası́ Q−1
~ = ~ Q~ , sgn(Q~) = 0, |detQ~| =
1
.
~2n
Si utilizamos el lema 1.3
i
i
F (e 2~ hQx,xi) = F (e 2 hQ~ x,xi )
(2π)n − i hQ−1 x,xi
=
e 2 ~
(1/h)n
= (2π~)n e−
i~ 2
hQ~ x,xi
2
i~
= (2π~)n e− 2 hQx,xi .
31
2.3 Método de fase estacionario
Utilicemos ahora el lema 1.2
Z
i
I~ = e 2~ hQ(x,ξ),(x,ξ)i f (x, ξ)dxdξ
R2n
1
=
(2π)2n
Z
i
F (e 2~ hQ(x,ξ),(x,ξ)i)F (f )(x, ξ)dxdξ
R2n
Z
1
n − i~
=
(2π~)
e 2 hQ(x,ξ),(x,ξ)i F (f )(x, ξ)dxdξ
(2π)2n
R2n
n Z
i~
~
ˆ ξ)dxdξ.
=
e− 2 hQ(x,ξ),(x,ξ)i f(x,
2π
R2n
Paso 2
Si definimos
J(~, f ) :=
Z
i~
ˆ ξ)dxdξ.
e− 2 hQ(x,ξ),(x,ξ)i f(x,
R2n
Tenemos que
∂J
(~, f ) =
∂~
Z
i~
e− 2 hQ(x,ξ),(x,ξ)i
1
ˆ ξ)dxdξ.
hQ(x, ξ), (x, ξ)if(x,
2i
R2n
Afirmamos que ∂J
(~, f ) = J(~, P f ) donde P = −ihDx , Dξ i:
∂~
Para probarlo debemos verificar que
1
ˆ ξ).
F (P f )(x, ξ) = hQ(x, ξ), (x, ξ)if(x,
2i
ˆ ξ) = −ihx, ξifˆ(x, ξ), si calculamos la antitransforComo 2i1 hQ(x, ξ), (x, ξ)if(x,
ˆ ξ) nos deberı́a dar P f (x, ξ). Veámoslo:
mada de Fourier de −ihx, ξif(x,
Z Z
1
−1
ˆ
−ihy, αieih(y,α),(x.ξ)i fˆ(y, α)dydα
F (−ihx, ξif (x, ξ)) =
2n
(2π)
Z Z
1
ˆ α)dydα
=
−ihDx , Dξ ieih(y,α),(x.ξ)i f(y,
2n
(2π)
= −ihDx , Dξ if (x, ξ)
= P f (x, ξ).
Análogamente se deduce que
∂k J
(~, f )
∂~k
= J(~, P k f )
Paso 3
Hagamos el desarrollo de Taylor en 0 para J como función de ~:
J(~, f ) =
N
−1
X
k=0
~N
~k
J(0, P k f ) +
oN (~, f ),
k!
N!
32
Análisis Semiclásico
con oN (~, f ) := N
I~ =
~
2π
R1
0
n
(1 − t)N −1 J(t~, P N f )dt
J(~, f ) =
~
2π
n N
−1
X
k=0
~k
~N
J(0, P k f ) +
oN (~, f ).
k!
N!
Por otro lado por la observación 1.8
k !
1
J(0, P k f ) =
F
hDx , Dy i f dξdη
i
R2n
k !
1
2n
= (2π)
hDx , Dξ i f (0, 0).
i
Z
Entonces
I~ = (2π~)n
N
−1
X
k=0
~k
k!
1
hDx , Dξ i
i
!
k !
~N
oN (~, f ).
f (0, 0) +
N!
Observación 2.1
De manera análoga se prueba que si Q es no singular y simétrica entonces
Z
h i~
i
i
1
hQ−1 x,xi
n iπ
sgnQ
− 2 hQD,Di
2~
4
2
e
f (x)dx ∼ (2π~) e
|detQ| e
f (0).
Rn
Capı́tulo 3
Descripción y Generalización de
la cuantización de Weyl
i
Hermann Weyl en 1931 sugirió cuantizar el observable e ~ (hp,σi+hq,τ i) asignándole
i
el operador e ~ (hQ,τ i+hP,σi) .
Dada a : Rn × Rn → R, a ∈ S, llamemos â : Rn × Rn → R a su transformada
de Fourier semiclásica:
Z
i
â(σ, τ ) = e− ~ (hq,τ i+hp,σi) a(q, p)dqdp.
R2n
Con la fórmula de inversión obtenemos:
Z
i
1
a(q, p) =
e ~ (hq,τ i+hp,σi) â(τ, σ)dτ dσ.
2n
(2π~)
R2n
Asignémosle entonces a la función a(q, p) el operador a(Q, P) definido de la
siguiente manera:
Sea ψ ∈ S
1
a(Q, P)ψ(x) =
(2π~)2n
Z
e ~ (hQ,τ i+hP,σi) â(τ, σ)ψ(x)dτ dσ
Z
e ~ h 2 +x,τ i â(τ, σ)ψ(x + σ)dτ dσ
i
R2n
1
=
(2π~)2n
i
σ
R2n
i
La primera igualdad se debe a la definición del operador e ~ (hQ,τ i+hP,σi) .
Si y = x + σ entonces
1
a(Q, P)ψ(x) =
(2π~)2n
Z
R2n
eih
x+y
,τ i
2
â(τ, y − x)ψ(y)dydτ.
(3.1)
34
Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
Como
Z
â(τ, y − x) =
i
e− ~ (hy−x,pi+hτ,ωi) a(ω, p)dpdω,
R2n
a(Q, P)ψ(x) =
1
(2π~)2n
Z
R2n


Z
i
2n

i
e− ~ hy−x,pi e− ~ hτ,ωi a(ω, p)dpdw  eih
x+y
,τ i
2
ψ(y)dydτ
R

Z
Z
x+y
1
 e− ~i hτ,ωi a(ω, p)eih 2 ,τ i dwdτ  e− ~i hy−x,pi ψ(y)dydp.
=
2n
(2π~)
R2n
R2n
Llamemos ã a la transformada de Fourier de a respecto de su primer variable:
Z
i
ã(τ, p) = e− ~ hτ,ωi a(ω, p)dω.
Rn
a(Q, P)ψ(x) =
1
(2π~)2n
Z
R2n


Z
x+y
 ã(τ, p)eih 2 ,τ i dτ  e− ~i h(y−x,pi ψ(y)dydp.
Rn
Utilizando la fórmula de inversión para a vista como función de su primer
variable obtenemos:
Z
i x+y
y+x
1
h 2 ,τ i
~
ã(τ,
p)e
a
,p =
dτ.
n
2
(2π~)
Rn
Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos
Z i
y+x
1
hx−y,pi
~
,
p
e
a
a(Q, P)ψ(x) =
ψ(y)dydp.
(2π~)n
2
R2n
Lo que haremos es notar OpW (a) := a(Q, P). Como ya dijimos antes, a veces
pondremos aω := OpW (a).
3.1.
Composición en la cuantización de Weyl
Sea v ∈ R2n , definimos V : R2n → C por V (x, ξ) := hv, (x, ξ)i.
Entonces si v = (q, p) tenemos que V (x, ξ) = hq, xi + hp, ξi.
i
i
Con esta notación sabemos que OpW (e ~ V (x,ξ) ) = e ~ (hQ,xi+hP,ξi) .
35
3.1 Composición en la cuantización de Weyl
Lema 3.1
Utilizando la notación anterior y recordando la definición 1.1 obtenemos:
I. σ(v, u) = {V, U}
i
ω
i
i
ω
i
ω
II. e ~ V e ~ U = e− 2 {V,U } e ~ (V +U )
i
i
i
i
III. e 2~ σ(~Dy ,~Dz ) e ~ (V (y)+U (z)) = e ~ (V (y)+U (z))+ 2~ σ(v,u)
Demostración de I
Tenemos
v = (q, p)
V (x, ξ) = hq, xi + hp, ξi,
u = (s, t)
U(x, ξ) = hs, xi + ht, ξi.
Entonces
{V, U} = h∂ξ V, ∂x Ui − h∂x V, ∂ξ Ui
= hp, si − hq, ti
= σ(v, u).
Demostración de II
De la ecuación (2.1), que se encuentra en el apéndice, obtenemos las siguientes
igualdades:
i ω
i
i
e ~ V ψ(y) = e ~ hy,ti+ 2~ hs,ti ψ(y + s)
i ω
i
i
e ~ U ψ(y) = e ~ hy,pi+ 2~ hq,pi ψ(y + q)
ω
i
i
i
e ~ (U +V ) ψ(y) = e ~ hy,p+ti+ 2~ hq+s,p+ti ψ(y + q + s).
Entonces
i ω i ω
i
i
i
i
e~V
e ~ U ψ(y) = e ~ hy,pi+ 2~ hq,pi e ~ hy+~q,ti+ 2~ hs,ti ψ(y + q + s)
i
i
i
= e ~ hy,p+ti+ 2 hq+s,p+ti ψ(y + q + s)e− 2 (hq,ti+hs,pi) eihq,ti
i
ω
i
= e ~ (U +V ) ψ(y)e− 2 (hp,si−hq,ti)
i
i
ω
= e− 2 {V,U } e ~ (V +U ) ψ(y).
Demostración de III
Lo que haremos es probar que
i
i
σ(~Dy , ~Dz )e ~ (V (y)+U (z)) = σ(v, u)e ~ (V (y)+U (z)) .
36
Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
Luego el resultado se deduce del teorema 1.5.
Notaremos y = (x, ξ) , z = (s, η), v = (v1 , v2 ) y u = (u1 , u2 ).
i
Llamaremos ψ(y, z) = e ~ (V (y)+U (z)) . Es bien simple verificar que
hDx , Dη iψ =
1
hu2 , v1 iψ,
~2
hDξ , Dy iψ =
1
hv2 , u1 iψ.
~2
Entonces
σ(~Dy , ~Dz )ψ = ~
2
1
1
hu
,
v
iψ
−
hv2 , u1 iψ
2
1
~2
~2
= σ(u, v)ψ.
Teorema 3.2
I. Dadas a, b ∈ S tendremos aω ◦ bω = cω . Para el sı́mbolo c = a♯b definido
por
i~
a♯b(x, ξ) := e 2 σ(Dx ,Dξ ,Dy ,Dη ) (a(x, ξ)b(y, η)) |x=y,ξ=η
(3.2)
σ(Dx , Dξ , Dy , Dη ) := hDξ , Dy i − hDx , Dη i
II. Tenemos también una representación integral del sı́mbolo
1
a♯b(x, ξ) =
(π~)2n
Z
2i
e ~ σ((y,η),(z,ν)) a(x + z, ξ + ν)b(x + y, ξ + η)dydηdzdν
R4n
(3.3)
Demostración de I
Sea v ∈ R2n , definimos como antes V (x, ξ) := hv, (x, ξ)i.
37
3.1 Composición en la cuantización de Weyl
Con esta notación, de la ecuación (3.1) obtenemos que
Z
Z
i ω
i ω
1
1
V
ω
ω
b =
a =
e ~ â(v)dv
e ~ U b̂(u)du.
2n
2n
(2π~)
(2π~)
R2n
R2n
Entonces utilizando el lema 3.1 deducimos
Z Z
i ω i ω
1
ω ω
â(v)b̂(u)e ~ V e ~ U dudv
a b =
4n
(2π~)
R2n R2n
Z Z
i
i
1
ω
â(v)b̂(u)e− 2 {V,U } e ~ (V +U ) dudv
=
4n
(2π~)
R2n R2n
Z
1
i
ω
=
ĉ(w)e ~ W dw.
2n
(2π~)
R2n
Para lograr la última igualdad tomamos w = v + u
Donde
Z
i
1
â(v)b̂(u)e 2~ {V,U } dv
ĉ(w) :=
2n
(2π~)
(3.4)
{u+v=w}
Lo que haremos entonces es probar que ĉ definido por (3.4) es la transformada
de Fourier de c = a♯b definida por (3.2).
Primero que nada tenemos
1
a(y) =
(2π~)2n
Z
e ~ V (y) â(v)dv,
Z
e ~ U (z) b̂(u)dv.
i
R2n
1
b(z) =
(2π~)2n
i
R2n
Y tenemos que si y := (x, ξ) y z := (y, η), utilizando el lema 3.1 podemos
reescribir la ecuación (3.2) de la siguiente manera:
i~
c(y) = e 2 σ(Dy ,Dz ) a(y)b(z) |y=z
i
= e 2~ σ(~Dy ,~Dz ) a(y)b(z) |y=z
Z Z
i
i
1
=
e 2~ σ(~Dy ,~Dz ) e ~ (V (y)+U (z)) |y=z â(v)b̂(u)dvdu
4n
(2π~)
R2n R2n
Z Z
i
i
1
=
e ~ (V (y)+U (y))+ 2~ σ(v,u) â(v)b̂(u)dvdu
4n
(2π~)
R2n R2n
(3.5)
38
Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
La transformada de Fourier de c es entonces
Z Z Z
i
i
1
ĉ(w) =
e ~ (V +U −W (y)) e 2~ σ(v,u) â(v)b̂(u)dvdudy.
4n
(2π~)
R2n R2n Rn
Si notamos que
1
(2π~)2n
R
i
e ~ (V +U −W (y)) dy es una distribución, entonces la si-
Rn
guiente expresión tiene sentido:


Z Z
Z
i
i
1
 1
ĉ(w) =
e ~ (V +U −W (y)) dy  e 2~ σ(v,u) â(v)b̂(u)dvdu.
2n
2n
(2π~)
(2π~)
Rn
R2n R2n
Del lema 1.5 deducimos que
δ{v+u=w}
1
=
(2π~)2n
Z
i
e ~ (V +U −W (y)) dy
enS ′ .
Rn
Finalmente
1
ĉ(w) =
(2π~)2n
Z
i
e 2~ σ(v,u) â(v)b̂(u)dv.
{u+v+w}
Como del lema 3.1 nos dice que σ(u, v) = {V, U} tenemos lo que querı́amos
Demostración de II
Por un lado tenemos que
Z
i
â(v) = e− ~ V (w1 ) a(w1 )dw1
b̂(u) =
Z
i
e− ~ U (w2 ) a(w2 )dw2 .
Combinando esto con la ecuación (3.5) obtenemos
a♯b(y) =
Z Z
i
i
1
e ~ (V (y)+U (y))+ 2~ σ(v,u) â(v)b̂(u)dvdu
=
4n
(2π~)
R2n R2n
Z Z Z Z
1
i
i
=
e ~ (V (y−w1 )+U (y−w2 ))+ 2~ σ(v,u) a(w1 )b(w2 ) dw1 dw2 dv du
4n
(2π~)
R2n R2n R2n R2n
Z Z Z Z
i
i
1
e ~ (V (w3 )+U (w4 ))+ 2~ σ(v,u) a(y − w3 )b(y − w4 ) dw3 dw4 dv du.
=
4n
(2π~)
R2n R2n R2n R2n
Ahora, llamemos φ(w3 , w4 ) := a(y − w3 )b(y − w4 ).
3.1 Composición en la cuantización de Weyl
39
a♯b(y) =
Z Z Z Z
i
i
1
(V (w3 )+U (w4 ))+ 2~
σ(v,u)
~
φ(w3 , w4 ) dw3 dw4 dv du
=
e
(2π~)4n
R2n R2n R2n R2n


Z Z Z
Z
i
1
i
U (w4 ) 
V (w3 + 21 Ju)
~
~
e
=
e
dv  duφ(w3, w4 ) dw3 dw4
(2π~)4n
R2n R2n R2n
R2n



Z Z
Z
Z
i
1
U (w4 )
 e ~i V (w3 + 21 Ju) dv  φ(w3 , w4 ) dw3  du dw4
~
e
=
(2π~)4n
R2n R2n
R2n
R2n
Z 2n Z Z
i
(2π~)
U (w4 )
~
δ− 1 Ju (φ(·, w4)) du dw4
e
=
2
(2π~)4n
R2n
R2n R2n


Z Z
Z
Z
i
1
e ~ U (w4 )  φ(·, w4)δ− 1 Ju (w3 ) du dw4
=
2n
2
(2π~)
R2n R2n
R2n
R2n


Z
Z
1
 e ~i U (w4 ) φ(− 1 Ju, w4)du dw4
=
2n
(2π~)
2
R2n
R2n
Z Z
i
22n
=
e ~ h2Jw3 ,w4 i φ(w3 , w4 )dw3 dw4
2n
(2π~)
2n 2n
ZR ZR
i
1
=
e ~ h2Jw3 ,w4 i a(y − w3 )b(y − w4 )dw3 dw4
2n
(π~)
R2n R2n
Z Z
−2i
1
=
e ~ σ(w3 ,w4 ) a(y − w3 )b(y − w4 )dw3 dw4
(3.6)
2n
(π~)
R2n R2n
Z Z
2i
1
e ~ σ(w3 ,w4 ) a(y + w3 )b(y + w4 )dw3 dw4
=
2n
(π~)
R2n R2n
Para lograr la penúltima igualdad hicimos r = w3 + 21 Ju , lo que implicó u =
2J(w3 − r) ya que J −1 = −J.
40
Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
Teorema 3.3
Dadas a, b ∈ S tendremos
I.
k
N
X
1 i~
a♯b(x, ξ) =
σ(Dx , Dξ , Dy , Dη ) a(x, ξ)b(y, η)
k! 2
k=0
+O(~N +1).
x=y,ξ=η
II.
a♯b = ab +
~
{a, b} + O(~2 )
2i
~→0
(3.7)
Demostración de I.
De la ecuación (3.3) obtenemos
Z
2i
1
σ((w,µ),(z,ν))
~
a♯b(x, ξ) =
e
a(x + z, ξ + ν)b(x + w, ξ + µ)dzdνdwdµ
(π~)2n
R4n
Z
2i
1
e ~ σ((w,µ),(z,ν)) a(x + z, ξ + ν)b(y + w, η + µ)dzdνdwdµ |y=x,η=ξ .
=
2n
(π~)
R4n
Definamos
f ((µ, −w), 2(z, ν)) = a(x + z, ξ + ν)b(y + w, η + µ),
f (0, 0) = a(x, ξ)b(y, η).
Del teorema 2.1 obtenemos
a♯b(x, ξ) =
Z
i
1
=
e ~ h(µ,−w),2(z,ν)i f ((µ, −w), 2(z, ν)) dzdνdwdµ |y=x,η=ξ
2n
(π~)
R4n
Z
i
1
′
′
′
=
e ~ h(µ,w ),(z ,ν )i f ((µ, w ′), (z ′ , ν ′ ))|1/2|2n | − 1|n dz ′ dν ′ dw ′ dµ |y=x,η=ξ
2n
(π~)
R4n
Z
i
1
′
′
′
=
e ~ h(µ,w ),(z ,ν )i f ((µ, w ′), (z ′ , ν ′ )) dz ′ dν ′ dw ′ dµ |y=x,η=ξ
2n
(2π~)
R4n
k
N
k
X
hD
,
D
i
~
1
(µ,−w)
2(z,ν)
2n
=
+ O(~N ).
(2π~)
f
(0,
0)
(2π~)2n
k!
i
k=0
y=x,η=ξ
Para pasar de la primer igualdad a la segunda hicimos los siguientes cambios
de variables: w ′ := −w z ′ := 2z ν ′ := 2ν.
41
3.1 Composición en la cuantización de Weyl
Como
1
hD(µ,−w) , D2(z,ν) i = h(Dµ , D−w ), (Dz , Dν )i
2
1
= h(Dµ , −Dw ), (Dz , Dν )i
2
1
= − (hDµ , Dz i − hDw , Dν i)
2
1
= − σ(Dz , Dν , Dw , Dµ ).
2
k
N
X
1 i~
σ(Dz , Dν , Dw , Dµ ) a(x, ξ)b(y, η)
a♯b(x, ξ) =
k! 2
k=0
+ O(~N ).
y=x,η=ξ
Demostración de II.
i~
σ(Dx , Dξ, Dy , Dη )a(x, ξ)b(y, η) |x=y, ξ=η +O(~2)
2
i~
= ab + (hDξ a, Dy bi − hDx a, Dη bi) |x=y, ξ=η +O(~2 )
2
~
= ab + (h∂ξ a, ∂x bi − h∂x a, ∂ξ bi) + O(~2 )
2i
~
= ab + {a, b} + O(~2 ).
2i
a♯b = ab +
Teorema 3.4
Dadas a, b ∈ S entonces
[aω , bω ] =
~
{a, b}ω + O(~2 ).
i
Demostración.
[aω , bω ] = aω bω − bω aω
= (a♯b − b♯a)ω
ω
~
~
2
= ab + {a, b} − ba + {b, a} + O(~ )
2i
2i
~
= {a, b}ω + O(~2 ).
i
42
Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
3.2.
Extensión de la cuantización de Weyl
Hasta esta parte hemos visto que si el sı́mbolo a ∈ S podemos cuantizarlo de
la siguiente manera
Z Z 1
i
y+x
w
a ψ(x) :=
, ξ e ~ hx−y,ξi ψ(y)dydξ.
a
n
(2π~)
2
Rn Rn
Uno de los problemas al que nos enfrentamos ahora es que nos interesa trabajar
con el sı́mbolo p(x, ξ) = |ξ|2 y el mismo no pertenece al espacio de Schwartz;
también querremos cuantizar sı́mbolos que únicamente dependan de la variable x, estos tampoco pertenecen a S. Extenderemos entonces la cuantización
de Weyl para poder contemplar estos casos.
Definición 3.1 (Función de Orden)
Una función m : Rn → (0, ∞) es llamada función de orden si existen constantes
C, N tal que
m(z) ≤ Chz − wiN m(w)
w, z ∈ Rn .
Observar que entonces
m(z) ≤ ChziN .
Aquı́ utilizamos la siguiente notación: hξi =
P
n
2
i=1 ξi .
p
1 + |ξ|2
ξ ∈ Rn donde |ξ|2 =
Observación 3.1
1
Las funciones m(z) = 1 y m(z) = hzi = (1 + |z|2 ) 2 son funciones de orden.
Definición 3.2
Dada una función de orden m en R2n definimos las siguientes clases de sı́mbolos:
S(m) := {a ∈ C ∞ (R2n ) : ∀α ∈ Nn ∃Cα tal que |∂ α a(x, ξ)| ≤ Cα m(ξ) ∀(x, ξ)}
Cα
Sδk (m) := {a ∈ C ∞ (R2n ) : ∀α ∈ Nn ∃Cα tal que |∂ α a(x, ξ)| ≤ δ|α|+k m(ξ) ∀(x, ξ)}.
~
Ası́ mismo notaremos
S := {a ∈ C ∞ (R2n ) : ∀α ∈ Nn ∃Cα tal que |∂ α a(x, ξ)| ≤ Cα ∀(x, ξ)}
Cα
Sδ := {a ∈ C ∞ (R2n ) : ∀α ∈ Nn ∃Cα tal que |∂ α a(x, ξ)| ≤ δ|α| ∀(x, ξ)}.
~
43
3.2 Extensión de la cuantización de Weyl
Antes de continuar realicemos un par de observaciones:
Con el fin de facilitar la notación lo que haremos a continuación es mostrar que sin pérdida de generalidad podemos tomar ~ = 1 en la cuantización de un sı́mbolo:
Realicemos los siguientes cambios de variables
x′ =
x
~
y ′ :=
1
2
y
~
1
2
ξ ′ :=
ξ
1
~2
,
Z Z i
1
y+x
hx−y,ξi
~
,
ξ
e
a ψ(x) =
a
ψ(y)dydξ
(2π~)n
2
Rn Rn
Z Z ′
y + x′ ′ ihx′ −y′ ,ξ ′ i ′
1
′
ψ (y)dydξ
,ξ e
a
=
(2π)n
2
w
′ w
Rn Rn
′ ′
= (a ) ψ (x ).
Aquı́
1
1
ψ ′ (x′ ) := ψ(~ 2 x′ )
1
a′ (x′ , ξ ′ ) := a(~ 2 x′ , ~ 2 ξ ′ ).
Es importante observar que si a ∈ Sδ entonces a′ ∈ Sδ− 1 ya que
2
|∂ α a′ | = h
|α|
2
1
|∂ α a| ≤ Cα ~−(δ− 2 )|α| .
Observar que S es denso en Sδ (m) ya que las funciones de Sδ (m) son
aproximables por funciones de soporte compacto.
Teorema 3.5 (Generalización de la cuantización de Weyl)
Si a ∈ Sδ (m) y definimos
Z Z i
1
y+x
w
hx−y,ξi
~
a ψ(x) :=
,
ξ
e
a
ψ(y)dydξ.
n
(2π~)
2
Rn Rn
Entonces
aw : S → S.
Demostración.
Paso I
Asumiremos ~ = 1. Definamos el siguiente operador:
L :=
1 + hξ, Dy i
.
1 + |ξ|2
44
Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
Utilizando que Dξ (eihx−y,ξi ) = (x − y)eihx−y,ξi es fácil verificar que
L(eihx−y,ξi ) = eihx−y,ξi .
Teniendo esto en cuenta y notando l = I + hξ, Dy i realicemos el siguiente
cálculo:
aw ψ(x) =
Z Z i
y+x
1
k
hx−y,ξi
~
e
,
ξ
L
a
=
ψ(y)dydξ
(2π~)n
2
Rn Rn
Z Z
i
y+x
1
k
hx−y,ξi
~
a
,
ξ
ψ(y)
e
L
=
dydξ
(2π~)n
2
Rn Rn
Z Z
i
y+x
1
1
k
hx−y,ξi
~
a
l
,
ξ
ψ(y)
e
=
dydξ.
n
2
k
(2π~)
(1 + |ξ| )
2
Rn Rn
Usando la regla de Leibnitz, que a ∈ Sδ (m) y la definición 3.1 es fácil ver que
X
X k
y+x
α
l a y + x , ξ ψ(y) ≤ Cn |ξ|k
,ξ | ∂yα ψ(y) |
∂y a
2
2
|α|≤k
|α|≤k
X ≤ Cn |ξ|k hξiN
∂yα ψ(y)
|α|≤k
≤ Cn hξi
k+N
X
|α|≤k
| ∂yα ψ(y) | .
Entonces
Z Z
1
Cn hξik+N X
|a ψ(x)| ≤
| ∂yα ψ(y) | dydξ
(2π~)n
(1 + |ξ|2)k
|α|≤k
Rn Rn



Z
Z X
k+N
Cn hξi
=
dξ  
| ∂yα ψ(y) | dy 
(1 + |ξ|2)k
n |α|≤k
Rn

R
Z
hξik+N

≤ Cn
dξ  .
(1 + |ξ|2)k
w
Rn
Entonces si k > 2n + N probamos que kaw ψk∞ < ∞
Entonces aw : S → L∞
Paso II
Por otro lado tenemos que
Z Z
i
1
y+x
w
hx−y,ξi
~
xj a (ψ)(x) =
ψ(y)dydξ.
,
ξ
e
(D
+
y
)a
ξ
j
j
n
(2π)
2
Rn Rn
45
3.2 Extensión de la cuantización de Weyl
Análogamente es posible concluir xα aw : S → L∞ ya que al integrar por partes
1
xj a (ψ)(x) =
(2π)n
Z Z
1
=
(2π)n
Z Z
w
e
i
hx−y,ξi
~
e
i
hx−y,ξi
~
(yj + Dξj )a
Rn Rn
Rn Rn
y+x
, ξ ψ(y)dydξ
2
y+x
b
, ξ ψ(y)dydξ
2
w
= b (ψ)(x).
Aquı́ b = yj a + Dξj a, lo único que hay que observar es que b ∈ S, pero esto es
fácil ya que como a ∈ S entonces |∂ α a| ≤ Cα ∀ α ∈ Nn . Entonces
|∂ α b| = |yj ∂ α a + ∂ α Dξj a| ≤ |yj |Cα + |∂ β a| ≤ |yj |Cα + Cβ ,
aquı́ β = (α1 , ..., αj + 1, ..., αn ).
Paso III
Es más, como
Entonces
1
Op0 e−i( 2 )hDx ,Dξ i a = aw .
i
Dxj (aw ψ(x)) = Dxj (Op0 e− 2 hDx ,Dξ i a ψ(x))


Z Z
1
− 2i hDy ,Dξ i
= Dx j 
a(y, ξ)eihx−y,ξiψ(y)dydξ 
e
(2π)n
n n
Z Z R R
i
1
e− 2 hDy ,Dξ i a(y, ξ)(−Dyj eihx−y,ξi )ψ(y)dydξ.
=
n
(2π)
Rn Rn
Integrando de nuevo por partes llegamos a que
D β aw : S → L∞ .
Paso III
Del paso 2 deducimos que D β xα aw : S → L∞ para todo multiı́ndice α y β.
Entonces
aw : S → S.
46
Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
3.2.1.
Afinando errores semiclásicos
Nos proponemos ahora, como indica el tı́tulo de esta subsección, mejorar la
estimación de los errores resultantes de cuantizar la composición.
Con este fin, consideramos la función ϕ(x) = 12 hQx, xi y estudiamos el codominio del operador ei~ϕ(D) cuando su dominio es Sδ (m) y Q es una matriz
simétrica y no singular.
Teorema 3.6 (Expansión semiclásica)
Si 0 ≤ δ ≤ 21 entonces
ei~ϕ(D) : Sδ (m) → Sδ (m),
y lo que es más, si 0 ≤ δ <
i~ ϕ(D)
e
1
2
∞
X
1
a∼
(i~ϕ(D))k a
k!
k=0
enSδ (m).
Demostración.
Caso 0 ≤ δ <
1
2
De la observación 2.1 tenemos
n
i~ϕ(D)
[e
a](0) ∼
iπ
(2π)− 2 e− 4 sgn(Q)
n
2
~ |det(Q)|
Definamos
1
2
n
Cn :=
Z
i
e− 2~ hQ
−1 w,wi
a(w)dw.
Rn
iπ
(2π)− 2 e− 4 sgn(Q)
1
|det(Q)| 2
.
Por otro lado construimos χ : Rn → R diferenciable de manera que χ ≡ 1 en
B(0, 1) y χ ≡ 0 en Rn − B(0, 2).
i~ϕ(D)
[e
Z
i
Cn
−1
a](z) ∼ n
e− 2~ hQ w,wia(z − w)dw
~ 2 ZRn
i
Cn
−1
= n
e− 2~ hQ w,wiχ(w)a(z − w)dw
~ 2 RnZ
i
Cn
−1
e− 2~ hQ w,wi(1 − χ(w))a(z − w)dw
+ n
2
~ Rn
= : A + B.
3.2 Extensión de la cuantización de Weyl
47
Estimamos A: Como χ(w)a(z − w) tiene soporte compacto, el método de fase
estacionario nos da la siguiente expansión
∞
X
1
(i~ϕ(D))k a(z).
A∼
k!
k=0
Estimamos B : Lo que haremos es probar que B ∈ Sδ−N (m) ∀ N. Para eso
definimos
1
h∂ψ, ~Di
ψ(w) := hQ−1 w, wi
L :=
.
2
|∂ψ|2
i
i
Como L(e ~ ψ ) = e ~ ψ y L = L∗ podemos operar de la misma manera que en el
teorema 3.5 y obtendremos:
Z
n
N− n
2
|B| ≤ C~
máx
|∂ α a(z − w)|hwi−N dw ≤ ~N − 2 −δN m(z).
|α|≤N
Rn
Haciendo lo mismo para las derivadas de B se llega a lo que querı́amos.
Caso δ =
1
2
Realicemos el cambio de variable v := w1 . Entonces
~2
Z n
i
1
−1
[ei~ϕ(D) a](z) ∼ Cn
e− 2 hQ v,vi a(z − v~ 2 )dv.
R
Finalmente, procediendo como antes, utilizamos χ para obtener lo que queremos.
Definición 3.3
Dados a, b ∈ Sδ definimos a♯b por
i~
a♯b(x, ξ) := e 2 σ(Dx ,Dξ ,Dy ,Dη ) (a(x, ξ)b(y, η)) |x=y,ξ=η .
Observar que esta definición es idéntica a la definición de a♯b cuando a, b ∈ S.
Ver ecuación (3.2).
Lo que haremos a continuación es probar que análogamente al caso en que
los sı́mbolos están en el espacio de Schwartz, a♯b definido como arriba es el
sı́mbolo de Op(a) ◦ Op(b).
48
Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
Teorema 3.7 (Clase de sı́mbolo para a♯b)
I. Si a ∈ Sδ (m1 ) y b ∈ Sδ (m2 ) entonces
a♯b ∈ Sδ (m1 m2 ).
II. Op(a) ◦ Op(b) = Op(a♯b).
Demostración.
I.- Como c(w, z) := a(w)b(z) ∈ Sδ (m1 m2 ) si para w = (x, ξ) y z = (y, η)
definimos
1
ϕ(Dz,w ) := σ(Dx , Dξ ; Dy , Dη ),
2
tenemos que utilizando el teorema 3.6
ei~ ϕ(D) c ∈ Sδ (m1 m2 ).
Por definición tenemos que
a♯b(w) = [ei~ϕ(D) c](w, w).
Se deduce lo que queremos.
II.- La segunda afirmación se deduce del hecho de que S es denso en Sδ (m).
3.2.2.
Cuantización del Hamiltoniano
Sea p : R2n → R el hamiltoniano definido por p(x, ξ) = |ξ|2 y ∆ el Laplaciano
Clásico definido por
∆(f ) =
n
X
∂2f
∂x2i
i=1
f ∈ C ∞ (Rn ).
Si notamos P (~) := pw probaremos :
p ∈ S(hξi2)
P (~) = −~2 ∆
De ahora en adelante a −~2 ∆ le llamaremos Laplaciano Semiclásico.
49
3.2 Extensión de la cuantización de Weyl
p ∈ S(hξi2 ):
Probaremos que para todo α, β multiı́ndices existe Cα,β tal que
k∂xα ∂ξβ |ξ|2k ≤ Cα,β hξi2−|β|
(3.8)
Como hξi1|β| ≤ 1 para todo β obtendremos lo que buscamos. Probar (3.8)
es equivalente a demostrar que
k∂xα ∂ξβ |ξ|2k ≤ Cα,β + Cα,β |ξ|2−|β| .
Haremos el estudio discutiendo según α y β y suponiendo que el dominio
de p es R2n .
⇒ ∂xα ∂ξβ |ξ|2 = 0 X
|α| =
6 0
|α| = 0, |β| > 3
|α| = 0, |β| = 0
|α| = 0, |β| = 1
|α| = 0, |β| = 2
⇒ ∃i 6= j : βi ≥ 1, βj ≥ 1 ⇒ ∂xα ∂ξβ |ξ|2 = 0 X
⇒ k∂xα ∂ξβ |ξ|2k = k|ξ|2k = |ξ|2
X
⇒ ∃i : βi = 1 ⇒ k∂xα ∂ξβ |ξ|2 k = k2ξik ≤ 2|ξ| X
⇒Tenemos dos casos:
· ∃i tal que βi = 2 ⇒ k∂xα ∂ξβ |ξ|2k = k2ξi2 k ≤ 2|ξ|2
· ∃i 6= j tal que βi = 1, βj = 1 ⇒
∂xα ∂ξβ
X
|ξ|2 = 0 X
P(~) = −~2 ∆:
En lo que sigue notaremos ∆x para referirnos a que estamos derivando
respecto de x.
Z Z i
1
y+x
w
p ψ(x) =
, ξ e ~ hx−y,ξi ψ(y)dydξ
p
n
(2π~)
2
Rn Rn
Z Z
i
1
=
|ξ|2 e ~ hx−y,ξi ψ(y)dydξ
n
(2π~)
Rn Rn
i
2 Z Z
−~
hx−y,ξi
~
=
∆
e
ψ(y)dydξ
x
(2π~)n
Rn Rn
Z Z
2
i
−~
∆x
e ~ hx−y,ξi ψ(y)dydξ
=
n
(2π~)
Rn Rn
Z
2
i
−~
hx,ξi
~
∆
e
=
F~(ψ)(ξ)dξ
x
(2π~)n
Rn
2
= −~ ∆x ψ(x).
50
Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
Lema 3.8
Dada u ∈ Sδ (R2n ) vale:
F (∆(x,ξ)u)(x, ξ) = −|(x, ξ)|2 û(x, ξ).
Demostración.
Llamemos z = (x, ξ). Entonces
Z
e−ihη,zi u(η) dη
|z| û(z) = |z|
2
R n
Z
=
|z|2 e−ihη,zi u(η) dη
2
ZR n
=
−∆η e−ihη,zi u(η) dη
2n
RZ
=−
e−ihη,zi ∆η (u)(η) dη
2
2
R2 n
= −F (∆(z) u)(z).
3.2.3.
Operadores en L2
Hasta ahora sabemos cuantizar sı́mbolos y obtener a partir de ellos operadores
que actúan en el espacio de Schwartz S o en su dual S ′ . Por una cuestión
de practicidad nos gustarı́a poder aplicar nuestros operadores a funciones que
vivan en espacios más lindos como L2 .
A continuación lo que haremos es probar que si tenemos a ∈ Sδ entonces podemos extender Op(a) de manera que termine siendo un operador acotado que
actúa en L2 .
En lo que sigue tomaremos siempre ~ = 1.
Definición 3.4
Elijamos χ ∈ Cc∞ (R2n ) tal que si definimos χα (z) := χ(z − α) se cumpla lo
siguiente:


0≤χ≤1


χ ≡ 0 en R2n − B(0, 2) .
P


χα ≡ 1

α∈Z2n
3.2 Extensión de la cuantización de Weyl
Si notamos aα := aχα entonces a =
Entonces definimos el sı́mbolo
P
51
aα
α∈Z2n
bαβ := a¯α ♯aβ
α, β ∈ Z2n .
Para probar que el operador resultante de cuantizar un sı́mbolo en Sδ mapea
L2 en sı́ mismo y que es acotado debemos primero demostrar un par de lemas
técnicos.
Lema 3.9
Para cada N, cada multiı́ndice γ , y cada z = (x, ξ) ∈ R2n vale la siguiente
estimación:
Cγ,N
|∂ γ bαβ (z)| ≤
.
N
iN
hα − βi hz − α+β
2
Demostración.
De la ecuación (3.6) obtenemos
Z Z
1
eiϕ(w1 ,w2 ) āα (z − w1 )aβ (z − w2 )dw1 dw2 ,
bαβ (z) = 2n
π
2n
2n
R
R
donde
ϕ(w1 , w2 ) = −2σ(x, ξ, y, η) = 2hx, ηi − 2hξ, yi,
Elijamos ζ : R4n
Definimos
w = (w1 , w2 ) w1 = (x, ξ) w2 = (y, η).


0 ≤ ζ ≤ 1
→ R tal que ζ ≡ 1 en B(0, 1)


ζ ≡ 0 en R4n − B(0, 2)
Z Z
1
A := 2n
ζ(w)eiϕ(w1,w2 ) āα (z − w1 )aβ (z − w2 )dw1dw2
π
2n
2n
ZR ZR
1
(1 − ζ(w))eiϕ(w1,w2 ) āα (z − w1 )aβ (z − w2 )dw1dw2 .
B := 2n
π
2n
2n
R
R
Entonces
bαβ (z) = A + B.
Estimación de A:
Z Z
|A| ≤
|āα (z − w1 )||aβ (z − w2 )|dw1dw2
|w|≤2
Z Z
=
χ(z − w1 − α)χ(z − w2 − β)|a(z − w1 )||a(z − w2 )|dw1 dw2 .
|w|≤2
52
Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
El integrando se anula a no ser que
|z − w1 − α| ≤ 2
y
|z − w2 − β| ≤ 2.
Pero si esto pasa, entonces
|α − β| ≤ 4 + |w1 | + |w2 | ≤ 8,
z − α + β ≤ 1 (4 + |w1 | + |w2 |) ≤ 4,
2 2
lo cual significa que para cada N existe una constante CN′ tal que
1
hα − βiN hz −
≥ CN′ .
α+β N
i
2
Por otro lado |A| ≤ C ′ para alguna constante C:
Z
Z
|A| ≤
|a(z − w1 )|dw1
|a(z − w2 )|dw2
=
|w1 |≤2
|w2 |≤2
2
2
kakL1 (B(z,2)) kakL1 (B(z,2)) = C.
Combinando las dos observaciones anteriores logramos que para cada N exista
CN tal que
CN
|A| ≤
.
N
hα − βiN hz − α+β
i
2
Análogamente
|∂ γ A| ≤
CN
hα − βiN hz −
α+β N
i
2
.
Estimación de B : Como ϕ(w1 , w2) = 2(η, −y, −ξ, x) entonces
|∂ϕ(w)| = 2|w|.
Si definimos L :=
h∂ϕ,Di
|∂ϕ|2
tenemos que Leiϕ = eiϕ .
Como el integrandoP
de B se anula en B(0, 1) usamos
P γel argumento de siempre
y poniendo Āα =
|∂ γ aα (z − w1 )| y Āβ =
|∂ aβ (z − w2 )| obtenemos
|γ|≤M
|B| ≤ CM
|γ|≤M
Z
R2n
Z
R2n
Āα (z − w1 )Aβ (z − w2 )
dw1 dw2
hwiM
53
3.2 Extensión de la cuantización de Weyl
Como sop(Āα ) ⊂ B(α, 2) y sop(Aβ ) ⊂ B(β, 2) tenemos que el integrando se
anula a no ser que hα − βi ≤ Chwi y hz − α+β
i ≤ Chwi.
2
Entonces como
hwiN hwiN
hα−βiN hz− α+β
iN
2
≥ CN′ obtenemos
|Āα (z − w1 )Aβ (z − w2 )|
C
CN
≤
≤
hwiM
hwiM
hα − βiN hz −
Aquı́ usamos kĀα Aβ k∞ ≤ kĀα k∞ kAβ k∞ ≤ C
CM
|B| ≤
N
hα − βi hz −
CM
≤
hα − βiN hz −
Z
α+β N
i
2
α+β N
i
2
R2n
Z
P
|γ|≤M
R2n
1
α+β N
i
2
sup |∂ γ a|
hwiM −2N
!2
,
hwi2N −M dw1 dw2
,
donde la última desigualdad es viable si M es suficientemente grande.
Análogamente
CN,γ
.
|∂ γ B| ≤
N
iN
hα − βi hz − α+β
2
Observación 3.2
Será útil resaltar que

CN,γ ≤ C 
X
|α|≤M
2
sup |∂ α a| .
Lema 3.10
Para cada N > 2n tenemos la siguiente estimación
kOp(bαβ )kL2 →L2 ≤
CN
.
hα − βiN
.
54
Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
Demostración.
Si elegimos M > 2n entonces vale
(3.9)
kOp(bαβ )kL2 →L2 ≤ Ckb̂αβ kL1
M
≤ Ckhξi b̂αβ kL∞
≤ C sup kF (D γ bαβ )kL∞
(3.10)
(3.11)
≤ C sup kD γ bαβ kL1
(3.12)
|γ|≤M
|γ|≤M
≤
CN
hα − βiN
(3.13)
Expliquemos por qué vale cada una de las desigualdades:
3.9:
y como eiV
1
Op(a) =
(2π)2n
w
Z
w
â(v)eiV dv
R2n
es un operador unitario en L2 tenemos que
Z
|â(v)|dv
kOp(a)kL2→L2 ≤ C
R2n
3.10: Usando Hölder y tomando M > 2n vale que
Z
Z
1
|b̂αβ (x, ξ)|dxdξ =
|b̂αβ (x, ξ)|h(x, ξ)iM dxdξ
h(x, ξ)iM
Z
1
≤
dxdξ kh(x, ξ)iM b̂αβ kL∞
M
h(x, ξ)i
≤ Ckh(x, ξ)iM b̂αβ kL∞ .
3.11: Usando el lema 3.8 se obtiene que F ((Id−∆u)M ) = (1+|(x, ξ)|2)M û
⇒ kh(x, ξ)iM b̂αβ kL∞ ≤ kF ((Id − ∆bαβ )M )kL∞
≤ sup kF (D γ bαβ )kL∞
|γ|≤M
≤ C sup kD γ bαβ kL1 .
|γ|≤M
3.12: Esta desigualdad vale pues la Transformada de Fourier mapea L∞
en L1 .
3.13: Según el lema 3.9
|D γ bαβ (z)| ≤
hα −
Cγ,N
−
βiN hz
α+β N
i
2
.
55
3.2 Extensión de la cuantización de Weyl
Entonces si N > 2n
CN
.
hα − βiN
kD γ bαβ kL1 ≤
Observar que por la observación 3.2

CN ≤ C 
2
X
sup |∂ α a|
|α|≤M
(3.14)
Teorema 3.11 (Continuidad en L2 )
Si 0 ≤ δ ≤ 21 y el sı́mbolo a ∈ Sδ entonces
Op(a) : L2 (Rn ) → L2 (Rn )
es acotado con la estimación
kOp(a)kL2→L2 ≤ C
X
|α|≤M
sup |∂ α a|.
Demostración.
Tenemos que Op(bαβ ) = A∗α Aβ , entonces por el lema 3.10 y la ecuación (3.14)
obtenemos
P
2
α
C
|α|≤M sup |∂ a|
kA∗α Aβ kL2 →L2 ≤
.
hα − βiN
Entonces
X
β
1
2
kAα A∗β k ≤
XC
β
P
|α|≤M
sup |∂ α a|
N
hα − βi 2
.
Si N > 2n entonces la suma converge:
X
X
1
kAα A∗β k 2 ≤ C
sup
sup |∂ α a|.
α
β
|α|≤M
Análogamente
sup
α
X
β
1
kA∗α Aβ k 2 ≤ C
X
|α|≤M
sup |∂ α a|.
La tesis se deduce de aplicar el teorema B demostrado en el apéndice.
56
Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl
Corolario 3.12
Si a ∈ Sδ cumple a = OSδ (~n ) entonces Op(a) = OL2 →L2 (~n ).
Demostración.
P
P n
sup |∂ α a| ≤ C
~ ≤ Ĉ~n
kOp(a)kL2→L2 ≤ C
|α|≤M
|α|≤M
Capı́tulo 4
Ergodicidad cuántica
Desde el inicio nuestra meta es caracterizar el comportamiento de las funciones
propias del Laplaciano. Como hemos anticipado, nuestra herramienta será el
Análisis Semiclásico. En lugar de estudiar las funciones propias del Laplaciano
clásico −∆, estudiaremos a esas mismas funciones pero viéndolas como funciones propias del Laplaciano Semiclásico −~2 ∆.
4.1.
¿Cómo cuantizar sı́mbolos en variedades?
Operadores Pseudodiferenciales
Los resultados de ergodicidad a los que nos proponemos llegar son probados
para una gran variedad de sı́mbolos que serán descritos en esta sección; para
lograr tales resultados debemos introducir una nueva clase de operadores, los
Operadores Pseudiferenciales.
Nuestro interés radicará en estudiar el comportamiento de operadores cuyo
dominio sea C ∞ (T ∗ X), donde X es una variedad compacta. Con este fin,
primero describiremos al conjunto de operadores (con el que vamos a trabajar)
cuando la variedad en cuestión es R2n para luego generalizarlo al caso compacto
mediante parametrizaciones.
Definición 4.1 (Sı́mbolos Clásicos)
Dados m y k se define la siguiente clase de sı́mbolos:
Cαβ m−|β|
hξi
α, β ∈ Nn , ~ ∈ R, ξ ∈ Rn }.
k
~
En esta definición el ı́ndice k refleja que tan singular es el sı́mbolo a cuando
~ → 0 y m es controla la tasa de crecimiento cuando |ξ| → ∞.
S m,k (R2n ) = {a ∈ C ∞ (R2n ) : |∂xα ∂ξβ a| ≤
58
Ergodicidad cuántica
Definimos también
Ψm,k (R2n ) = {aw : a ∈ S m,k (R2n )}.
A los operadores de este último conjunto los llamamos Operadores Pseudodiferenciales.
Operadores pseudodiferenciales en variedades compactas
Sea X una variedad compacta diferenciable. Esta variedad tiene asociado un
atlas finito
{(Ui , ϕi) tal que ϕi : Ui → Rn difeomorfismo i = 1, ..., k}
Sabemos entonces que dϕ : T ∗ Ui → R2n .
Definición 4.2
Un operador lineal A : C ∞ (X) → C ∞ (X) será llamado operador pseudodiferencial si existen enteros m, k tal que para cada abierto coordenado Ui existe
un sı́mbolo aϕi ∈ S m,k tal que para cualquier f, g ∈ Cc∞ (Ui ) y para cada
u ∈ C ∞ (X) se tiene
−1 ∗
f A (gu) = f . [ϕ∗i ◦ aw
ϕi ◦ (ϕi ) ] (gu).
En tal caso diremos A ∈ Ψm,k (X).
Notación
Ψk (X) := Ψ0,k (X)
Ψ
−∞
(X) :=
Ψ(X) := Ψ0,0 (X),
+∞
\
Ψ−k (X).
k=0
Definición 4.3 (Clase de sı́mbolos en variedades)
Dada ã : T ∗ X → R diremos que ã ∈ S m,k (T ∗ X) si,
ã ◦ (dϕi)−1 ∈ S m,k (R2n )
∀i = 1, ..., k.
Para cuantizar sı́mbolos cuando estamos trabajando con variedades compactas
es preciso utilizar el teorema que enunciamos a continuación. No realizaremos
una prueba del mismo ya que hacer tal cosa nos alejarı́a mucho de nuestro
objetivo. Por una demostración del teorema ver [5].
59
4.1 ¿Cómo cuantizar sı́mbolos en variedades?
Teorema 4.1 (Cuantización en variedades)
Existen mapas lineales
σ:Ψ
m,k
S m,k
(X) → m,k−1 (T ∗ X),
S
Op : S m,k (T ∗ X) → Ψm,k (X),
de forma que
σ(AB) = σ(A)σ(B),
σ(A∗ ) = σ(A),
σ(Op(a)) = [a].
En general escribiremos a = σ(A) y σ(A) será el sı́mbolo de A.
Observación 4.1
De la definición de sı́mbolo se desprende que
[a] = [b] ⇔ a − b ∈ S m,k−1 (T ∗ X).
En particular, a − b = O(~1−k ).
Observación 4.2 (¿Cómo utilizamos el teorema para cuantizar?)
Dada a ∈ C ∞ (X) definimos ã ∈ C ∞ (T ∗ X) por
ã(x, ξ) := a(x).
Como C ∞ (T ∗ X) ⊂ S 0,0 (T ∗ X) el teorema nos asegura que existe Op(a) ∈ Ψ(X)
tal que σ(Op(ã)) = ã + O(~). Entonces
σ(Op(ã))(x, ξ) = a(x) + O(~)
(4.1)
Como Op(a) ∈ Ψ(X), se verifica que existen sı́mbolos aϕi ∈ S 0,0 (T ∗ X) tal que
para cualquier f, g ∈ Cc∞ (Ui ) y para cada u ∈ C ∞ (X) se tiene
−1 ∗
f A (gu) = f . [ϕ∗i ◦ aw
ϕi ◦ (ϕi ) ] (gu).
Será de utilidad mencionar que si cuantizamos de esta forma, los sı́mbolos
aϕi ∈ S 0,0 (T ∗ X) verifican
aϕi ∈ C ∞ (R2n )
aϕi := ã ◦ (dϕi )−1 .
60
4.2.
Ergodicidad cuántica
Ergodicidad Clásica
Trabajaremos en una variedad riemanniana (X, g) compacta, notaremos |.|x a
la norma definida en Tx∗ X inducida por la métrica g en el punto x. Ver sección
1.2.
La cuantización del Hamiltoniano p : T ∗ X → R es P (~) = −~∆g donde
∆g es el Laplaciano en la Variedad. La prueba de tal cosa es análoga a la
realizada en 3.2.2:
ˆ ξi
ˆ con
Si p(x, ξ) = |ξ|2x por la ecuación (1.1) en cartas locales p(x, ξ) = hG(x)ξ,
G(x) matriz diferenciable . Teniendo esto en cuenta la demostración se sigue
como antes usando la definición 1.5 y que k∂ α G(x)k ≤ k∂ α G(x)k∞ .
Observación 4.3
Si llamamos Ej (~) a los valores propios de P , notemos que como P (~)uj (~) =
Ej (~)uj (~) obtenemos
it
it
e− ~ P (~) uj (~) = e− ~ Ej (~) uj (~).
Llamaremos φt al flujo Hamiltoniano asociado.
Elijamos a, b ∈ R, a < b y asumamos que k∇pk > 0 en {a ≤ p ≤ b}.
Tenemos entonces que para c ∈ [a, b], p−1 (c) ⊂ T ∗ X es una variedad diferenciable de dimensión 2n − 1. Llamaremos, como en la sección 1.3, Lc a la
medidad de Liouville en p−1 (c) normalizada.
Notación
Si T > 0 notaremos hf iT al operador
1
T
Z
0
T
f ◦ φt (m) dt
para f : T ∗ X → R y m ∈ X.
Definición 4.4 (Flujo ergódico)
Diremos que φt es ergódico en p−1 [a, b] si para cada c ∈ [a, b] se cumple que si
A ⊂ p−1 (c) es invariante por el flujo (φt (A) ⊂ A) entonces
Lc (A) = 0 ó Lc (Ac ) = 0.
61
4.2 Ergodicidad Clásica
Teorema 4.2 (Teorema de Birkoff)
Si el flujo es ergódico en p−1 (c) entonces para toda f ∈ L2 (p−1 (c), Lc ) se tiene
que
Z
lı́m hf iT =
T →∞
f dLc .
p−1 (c)
Aquı́ estamos tomando Lc normalizada.
Por una prueba de este teorema ver [7].
Corolario 4.3
Si el flujo es ergódico en p−1 (c) entonces para toda f ∈ L2 (p−1 (c), Lc )
lı́m
Z
T →∞
p−1 (c)


hf iT −
2
Z

f dLc  dLc = 0.
p−1 (c)
Aquı́ estamos tomando Lc normalizada.
Demostración.
Definamos para x ∈ M
1
PT (u)(x) =
T
Z
0
T
u ◦ φt (x)dt.
Con esta notación lo que queremos es probar que
Z
T →+∞
kPT (f ) −
f dLc kL2 −→ 0.
p−1 (c)
No es difı́cil probar que este resultado es válido si f ∈ L∞ , lo que haremos
entonces es aproximar funciones de L2 por funciones de L∞ .
Sea {fn } ⊂ L∞ tal que kfn − f k → 0. (Una forma de construir esta sucesión
puede ser definir An := {x : f (x) ≤ n} y tomar fn := f χAn ).
Precisaremos:
R
a) k
f dLc kL2 ≤ kf kL2
p−1 (c)
b) kPT (u)kL2 ≤ kukL2
62
Ergodicidad cuántica
c) Si g ∈ L∞ entonces kPT (g) −
R
gdLc kL2 ≤ kg −
p−1 (c)
R
gdLc kL2
p−1 (c)
Si probamos lo anterior tendremos
Z
f dLc ≤
PT (f ) −
p−1 (c)
Z
Z
Z
fn dLc −
f dLc fn dLc + ≤ kPT (f ) − PT (fn )kL2 + PT (fn ) −
2
2 p−1 (c)
p−1 (c)
p−1 (c)
L
L
Z
fn dLc + kf − fn kL2
≤ kf − fn kL2 + PT (fn ) −
2
p−1 (c)
L
Z
fn dLc .
≤ 2kf − fn kL2 + PT (fn ) −
2
p−1 (c)
L
Entonces dado ε > 0 basta elegir nR0 tal que kf −fn kL2 <
grande de forma que kPT (fn ) −
fn dLc kL2 < 2ε .
ε
4
y T suficientemente
p−1 (c)
Probemos las afirmaciones anteriores:
R
R
a) k
f dLc k2L2 ≤
|f |2 dLc ≤ kf k2L2 .
p−1 (c)
p−1 (c)
Para la primer desigualdad utilizamos Jensen.
R 1 RT
R 1 RT
| T 0 u ◦ φt dt|2 dLc ≤
b) kPT (u)kL2 =
|u ◦ φt |2 dtdLc
T 0
p−1 (c)
=
1
T
RT R
0
p−1 (c)
2
|u ◦ φt | dLc dt =
1
T
RT
0
R
p−1 (c)
2
|u| dLc dt = kukL2
p−1 (c)
Aquı́ utilizamos Jensen y que el flujo es ergódico.
c) Si g ∈ L∞ entonces por el teorema de Birkhoff
Z
PT (g)(x) →
gdLc
Lc − c.t.p. x.
p−1 (c)
Como por otro lado PT (g)(x) ≤ kgkL∞ usamos convergencia dominada y
entonces
Z
kPT (g)(x) −
gdLc kL2 → 0.
p−1 (c)
63
4.3 Versión débil del Teorema de Egorov
4.3.
Versión débil del Teorema de Egorov
Teorema 4.4 (Versión débil del teorema de Egorov)
Si A es un operador en Ψ(X) notaremos
it
it
At := e ~ P (~) Ae− ~ P (~) .
Si a = σ(A) y at = a ◦ φt notaremos
Ât := aw
t .
Entonces Si T > 0 y 0 ≤ t ≤ T
kAt − Ât k = OT (h).
Demostración.
De la ecuación (3.7) tenemos que cuando a, b ∈ S vale la siguiente estimación
cuando ~ → 0
~
a♯b = ab + {a, b} + OS (~2 ).
2i
Como S es denso en Sδ lo anterior se extiende para a, b ∈ Sδ :
~
a♯b = ab + {a, b} + OSδ (~2 ).
2i
Si traducimos esto en términos de Operadores utilizando el corolario 3.12 y
el teorema 3.7 podemos realizar la misma prueba que en el teorema 3.4 para
obtener
~
{p, at }w + OT (~2 ),
i
{P (~), Ât}Q = {p, at }w + OT (~).
[P (~), Ât ] = [pw , aw
t ] =
Además
d
a
dt t
= {p, at }, entonces
{P (~), Ât }Q = {
Como
d
Â
dt t
d
at }w + OT (~).
dt
= { dtd at }w logramos
d
Ât = {P (~), Ât}Q + Et
dt
con kEt k = OT (~).
Entonces
d − it P (~)
i
it
it
it
d
−
P
(~)
P
(~)
e ~
Ât − [P (~), Ât ] e ~ P (~)
=e ~
Ât e ~
dt
dt
~
it
i
i
P
(~)
− it
[P (~), Ât ] + Et − [P (~), Ât ] e ~ P (~)
=e ~
~
~
it
it
= e− ~ P (~) Et e ~ P (~)
= OT (~).
64
Ergodicidad cuántica
Ahora sólo resta integrar para lograr
it
it
ke− ~ P (~) Ât e ~ P (~) − Ak = OT (~).
De aquı́ que
it
it
kÂt − At k = kÂt − e− ~ P (~) A e ~ P (~) k = OT (~),
para 0 ≤ t ≤ T .
4.4.
Teorema de Weyl
Teorema 4.5 (Teorema de Weyl)
Si B es un operador en Ψ(X) y seguimos llamando uj a las funciones propias
del Laplaciano entonces
Z Z
X
n
σ(B)dxdξ.
hBuj , uj i −→
(2π~)
~→0
a≤Ej ≤b
a≤P ≤b
Adquirir los conocimientos necesarios para realizar la prueba de este teorema
nos alejarı́a mucho de nuestro objetivo, es por esto que damos una idea de
la demostración pero nos saltearemos explicar varios detalles. Por una prueba
completa ver [5].
Demostración.
Paso I
Asumiremos que B ∈ Ψ−∞ ası́ podremos utilizar el teorema de Lidskii 4.7:
Z Z
1
tr(B) =
σ(B)dxdξ + O(~) .
(2π~)n
M Rn
Paso II
Llamemos Π a la proyección sobre el subespacio generado por
{uj : a ≤ Ej ≤ b}.
Es posible elegir ψε ∈ Cc∞ , ϕε ∈ C ∞ de forma que

∞

ϕε Π = O(~ )
ψε Π = ψε + O(~∞)


(2π~)n tr(ΠB(1 − ϕε − ψε )Π) = O(ε)
.
65
4.4 Teorema de Weyl
ψε
0
ϕε
0
ϕε + ψε
0
a
a−ε
b
a+ε
b−ε
b+ε
Paso III
Notemos que
X
hBuj , uj i = tr(ΠBΠ)
{a≤Ej ≤b}
= tr(ΠBψε Π) + tr(ΠBϕε Π) − tr(ΠB(1 − ϕε − ψε )Π).
Del paso anterior es posible deducir que
(2π~)n tr(ΠBϕε Π) = O(~).
(2π~)n tr(ΠBψε Π) =
= (2π~)n tr(ΠBψε ) + O(~∞ )
= (2π~)n tr((ψε + ϕε + (1 − ϕε − ψε )ΠBψε ) + O(~∞ )
= (2π~)n tr(ψε Bψε ) + O(~∞ ) + O(ε).
66
Ergodicidad cuántica
Combinando lo anterior llegamos a que
(2π~)n
X
hBuj , uj i = (2π~)n tr(ψε Bψε ) + O(~) + O(ε)
a≤Ej≤b
Z Z
σ(ψε )2 σ(B)dxdξ + O(~) + O(ε)
Z Z
σ(B)dxdξ.
−→
=
h→0,ε→0
a≤p≤b
Paso IV
Para probar el resultado para B ∈ Ψ se realiza la siguiente descomposición:
B = B0 + B1 .
Siendo posible elegir B0 ∈ Ψ−∞ y B1 de manera que B1 uj = O(~∞ ) para
a ≤ Ej (~) ≤ b. Entonces sólo B0 influye en el lı́mite.
Corolario 4.6 (Asintóticos de Weyl)
(2π~)n ♯{a ≤ Ej ≤ b} → vol({a ≤ p ≤ b}).
Demostración.
Basta tomar en el teorema anterior B = Id y entonces σ(B) ≡ 1.
Teorema 4.7 (Teorema de Lidskii)
Sea B un operador de clase traza en L2 (M) dado por el núcleo K ∈ C ∞ (M ×
M) (Ver 4.8). Entonces K∆ , la restricción de K a la diagonal ∆ := {(m, m) :
m ∈ M} cumple
Z
tr B =
K∆ .
∆
Teorema 4.8 (Teorema del núcleo de Schwartz)
Si A : S → S ′ es un operador acotado entonces existe KA ∈ S ′ (Rn × Rn ) tal
que
Z
Au(x) =
KA (x, y)u(y)dy.
Rn
Usualmente se llama núcleo de A a KA .
4.5 Equidistribución de las funciones propias del Laplaciano
4.5.
67
Equidistribución de las funciones propias
del Laplaciano
Consideremos las funciones propias del Laplaciano semiclásico −~2 ∆g en el
lı́mite semiclásico ~ → 0. Si llamamos {uk }k∈N a una base ortonormal de
L2 (X) donde las uk son funciones propias del Laplaciano y {Ek (~)}k∈N son los
respectivos valores propios, obtenemos la siguiente igualdad:
−∆g uk = Ek (~)uk ,
con Ek+1 (~) ≤ Ek (~)
(4.2)
Nuestra meta es probar un teorema muy importante que trata el comportamiento asintótico de las funciones propias del Laplaciano cuando el flujo
geodésico es ergódico. El teorema fue enunciado en 1974 por A.Schnirelman,
pero su demostración estaba incompleta. En 1984 S.Zeldich demostró un resultado similar en el que Y.Colin de Verdiere se basó para completar el trabajo
de Schnirelman.
Llamemos S ∗ X = p−1 (1).
Definición 4.5 (Densidad de un conjunto)
Sea S un conjunto, definimos su densidad por
♯{λk ∈ S, λk ≤ λ}
.
λ→+∞
♯{λk ≤ λ}
D(S) = lı́m
El enunciado del teorema es el siguiente:
Teorema 4.9 (Schnirelman)
Sea X una variedad riemanniana compacta. Sea {uk }k∈N una base ortonormal
de L2 (X) donde las uk son funciones propias del Laplaciano (4.2).
Si el flujo geodésico en p− (1) es ergódico respecto de la medida de Liouville L1 ,
entonces existe un subconjunto S ⊂ N de densidad 1 tal que ∀f ∈ C ∞ (X)
Z
X
2
|uk | f dvol −−→
k→∞
k∈S
Z
f dvol.
X
Antes de probar este teorema probaremos un resultado un poquito más general
conocido como Ergodicidad cuántica.
68
Ergodicidad cuántica
Observación 4.4
Sea A ∈ Ψ(X) con sı́mbolo σ(A). En lo que sigue asumiremos que
Z
α :=
σ(A)dLc
es constante ∀c ∈ [a, b].
p−1 (c)
Lema 4.10
f ∈ C ∞ (X) Rdefine el sı́mbolo f˜ ∈ C ∞ (T ∗ X) por f˜(x, ξ) := f (x) entonces
sucede que
f˜ dLc es constante pues
p−1 (c)
Z
f˜ dLc =
p−1 (c)
Z
f dvol.
X
Demostración.
Sean c0 ∈ R y ε > 0. Llamemos L̂c a la medida de Liouville Lc normalizada.
Por la observación 1.7 tenemos que dada
Z Z
Z
f dxdξ = vol(A(c0 , c0 + ε)) f dvol.
c0 ≤p≤c0 +ε
X
Como
Z Z
f dxdξ =
Z
c0
c0 ≤p≤c0 +ε
Logramos
Z
X
c0 +ε
f dvol =



Z


f dLc  dc =
p−1 (c)
1
vol(A(c0 , c0 + ε))
Z
Z
c0 +ε
c0

Lc (p−1 (c)) 
Z
p−1 (c)

c0 +ε
c0


Lc (p−1 (c)) 
Z


f dL̂c  dc.


f dL̂c  dc.
p−1 (c)
ε→0
Como vol(A(c0 , c0 + ε)) = vol(B(0, 1))ε[c0n−1 − εR(ε, n)] con εR(ε, n) −→ 0 ,
haciendo que ε → 0 obtenemos
Z
Z
Lc0 (p−1 (c0 ))
f dvol =
f dL̂c0 .
vol(B(0, 1))c0n−1
X
p−1 (c0 )
Finalmente, como esta igualdad tiene que ser válida para toda f en las hipótesis
de arriba, tomando f (x, ξ) = 1 deducimos que
Lc0 (p−1 (c0 ))
= 1.
vol(B(0, 1))c0n−1
Ası́ queda probado el lema.
69
4.5 Equidistribución de las funciones propias del Laplaciano
Teorema 4.11 (Ergodicidad Cuántica)
Sea A ∈ Ψ(X) como en la observación (4.4) y supongamos que el flujo φt es
ergódico. Entonces:
2
Z
X 1
n
(2π~)
σ(A)dxdξ −→ 0.
hAuj , uj i −
~→0
vol({a ≤ p ≤ b})
a≤Ej ≤b {a≤p≤b}
Demostración. Sea B := A−αI. Entonces como σ es lineal
0 ∀c ∈ [a, b].
Definamos
X
ǫ(h) := (2πh)n
hBuj , uj i2 .
R
p−1 (c)
σ(B)dxdξ =
a≤Ej ≤b
Lo que queremos probar es que ǫ(h) → 0.
Si utilizamos la observación (4.3) y algunas propiedades del cálculo funcional (ver sección 1.5) obtenemos:
it
it
hBuj , uj i = hBe− ~ Ej uj , e− ~ Ej uj i
it
it
= hBe− ~ P (~) uj , e− ~ P (~) uj i
it
it
= he ~ P (~) Be− ~ P (~) uj , uj i
= hBt uj , uj i.
Por otro lado, si definimos hBiT =
hhBiT uj , uj i =
Z 1
T
1
T
RT
0
Bt dt
T
Bt uj (x).uj (x)dt dx
0
Z
Bt uj (x).uj (x)dx dt
Z
Z
1 T
=
T 0
Z
1 T
=
hBuj , uj idt
T 0
= hBuj , uj i.
De las dos observaciones anteriores deducimos,
hBuj , uj i2 = hhBiT uj , uj i2 ≤ khBiT uj k2 = hhB ∗ iT hBiT uj , uj i.
70
Ergodicidad cuántica
Donde la última igualdad se verifica porque
hhBt iT u, vi =
Z Z T
Z Z
1 T
1
=
Bt u(x)v(x)dx dt
Bt u(x)dt v(x)dx =
T 0
T 0
Z
Z
Z Z
1 T
1 T
1 T
∗
=
hBt u, vidt =
hu, Bt vidt =
u(x)Bt∗ v(x)dx dt
T 0
T 0
T 0
Z T
Z
1
= u(x)
Bt∗ v(x)dt dx = hu, hBt∗iT vi.
T 0
Hasta aquı́
ǫ(~) ≤ (2π~)n
X
hhB ∗ iT hBiT uj , uj i.
a≤Ej ≤b
Del Teorema de Weyl, 4.5, deducimos:
Z Z
lı́m sup ǫ(~) ≤
σ(hB ∗ iT hBiT )dxdξ.
~→0
a≤p≤b
Llamemos B̃t a la cuantización del sı́mbolo σ(B) ◦ φt .
Del Teorema de Egorov, 4.4, tenemos
hBiT = hB̃t iT + OT (~).
Utilizando que de la demostración del teorema se desprende que OT (~) es la
cuantización de un O(~), obtenemos
σ(hBiT ) = σ(hB̃t iT ) + O(~).
Como además es fácil verificar que hB̃t iT = Op(hσ(B)iT ) entonces
σ(hBiT ) = hσ(B)iT + O(~).
Por último, basta decir que como hB ∗ iT = hBi∗T y además σ(hBi∗T hBiT ) =
σ(hBi∗T )σ(hBiT ) = σ(hBiT )2 logramos
Z Z
lı́m sup ǫ(~) ≤
|σ(hBiT )|2 dxdξ.
~→0
a≤p≤b
La prueba finaliza utilizando el Teorema 4.3. Obtuvimos:
Z Z
|σ(hBiT )|2 dxdξ −→ 0.
a≤p≤b
71
4.5 Equidistribución de las funciones propias del Laplaciano
Teorema de Schnirelman
Como ya mencionamos estamos trabajando con X variedad compacta. Utilizando la notación del principio de este capı́tulo, dada a ∈ C ∞ (X) es posible
definir ã ∈ C ∞ (T ∗ X) por
ã : T ∗ X → R
ã(x, ξ) := a(x).
Además, si recordamos que llamábamos ϕi para i = 1, ..., k a las parametrizaciones, es posible definir aϕ ∈ C ∞ (R2n ) por
aϕ : R2n → R
aϕ := ã ◦ (dϕ)−1 .
Primero que nada observemos que como C ∞ (R2n ) ⊂ S 0,0 (R2n ) entonces tiene
sentido cuantizar aϕ .
También será útil notar que el sı́mbolo aϕ depende de una sola variable.
aϕ (x, ξ) = ã((dϕ)−1 )(x, ξ) = ã(ϕ−1 (x), (dx ϕ)−1 (ξ)) = a(ϕ−1 (x))
Lema 4.12
Con la notación de antes se cumple
Op(aϕ )u = (a ◦ ϕ−1 )u.
Demostración.
Definamos para x ∈ Rn la función ax por ax (y) := a ◦ ϕ−1
x+y
2
. Luego:
i
x+y
, ξ u(y)e ~ hx−y,ξi dydξ
aϕ
2
Rn Rn
Z Z
i
x+y
1
−1
u(y)e ~ hx−y,ξi dydξ
a◦ϕ
=
n
(2π~)
2
Rn Rn


Z
Z
i
1
hx,ξi 
− ~i hy,ξi
~
e
=
a
(y)u(y)e
dy  dξ
x
(2π~)n
Rn
Rn
Z
i
1
=
e ~ hx,ξi F (ax .u)(ξ)dξ
n
(2π~)
1
Op(ã)u(x) =
(2π~)n
Z Z
Rn
= ax (x)u(x)
= a ◦ ϕ−1 (x)u(x).
(4.3)
72
Ergodicidad cuántica
Para demostrar el teorema de Schnirelman precisaremos una versión general
del lema anterior.
Lema 4.13
Si a ∈ C ∞ (X) y consideramos ã ∈ C ∞ (T ∗ X) definida por
ã : T ∗ X → R
ã(x, ξ) := a(x).
Entonces
Op(ã)u = au.
Demostración.
S
Con la notación de antes, como X = ki=1 Ui existen g1 , ..., gk ∈ Cc∞ (X) difeP
renciables tal que sop(gi ) ⊂ Ui y ki=1 gi = 1.
De la definición 4.2 tenemos que ∀u ∈ C ∞ (X)
A(gi u) = [Op(aϕi )(gi u ◦ ϕ−1
i )] ◦ ϕi
∀i.
Ahora, si aplicamos el lema anterior 4.12 al sı́mbolo aϕi obtenemos
A(gi u) = [(a ◦ ϕi −1 ).(giu ◦ ϕ−1
i )] ◦ ϕi = a.gi .u
∀i.
Entonces
A(u) = A
k
X
i=1
gi u
!
=
k
X
A(gi u) =
i=1
k
X
agi u = au.
i=1
Demostración del teorema de Schnirelman, 4.9
Llamemos Ej a los valores propios del laplaciano cuántico y λj a los del clásico.
Esto es,
−∆uj = λj uj ,
−~2 ∆uj = Ej uj .
De aquı́ que Ej = ~2 λj . (Observar que si ~ → 0 entonces λj → ∞)
Primero que nada cuanticemos f , llamemos A a su cuantización.
Utilizaremos las siguiente observaciones:
σ(A) = f cuando ~ → 0. Esto es cierto por la ecuación (4.1).
73
4.5 Equidistribución de las funciones propias del Laplaciano
vol({0 ≤ p ≤ 1}) = vol(B(0, 1)) (vale por el lema 1.1)
R
R
vol(B(0, 1)) X f dvol =
f dxdξ (vale por el lema 1.1)
{0≤p≤1}
f |uj |2 dvol =
X
R
R
X
f.uj .uj dvol = hf uj , uj i
A(uj ) = f.uj . Esto vale por el lema 4.13.
Del teorema anterior, 4.11, si tomamos a = 0 y b = 1 tenemos
2
Z
X 1
σ(A)dxdξ −→ 0.
(2π~)n
hAuj , uj i −
~→0
vol({0
≤
p
≤
1})
0≤Ej ≤1 {0≤p≤1}
O lo que es lo mismo
(2π~)n
X
0≤~2 λj ≤1
Z
2
Z
f |uj |2 dvol −
−→ 0.
f
dvol
~→0
X
X
Ahora, del corolario 4.6 tenemos que
(2π~)n ♯{0 ≤ ~2 λj ≤ 1} −→ vol(0 ≤ p ≤ 1).
~→0
Entonces
(2π~)n ∼
vol(B(0, 1))
.
♯{0 ≤ ~2 λj ≤ 1}
Si por último llamamos N(E) := ♯{0 ≤ λj ≤ E} y ponemos E =
2
Z
X Z
1
2
f |uj | dvol −
−→ 0.
f
dvol
~→0
N(E) 0≤λ ≤E X
X
j
El resultado del teorema se deduce del siguiente lema:
Lema 4.14
Sea an una sucesión de números no negativos. Si
n
1X
ak −→ 0,
n k=0
entonces existe S ⊂ N de densidad 1 tal que an −→ 0.
n∈S
1
~2
obtenemos,
74
Ergodicidad cuántica
Demostración del Lema
Lo que queremos es probar que
♯{n < k : |cn | > ε} k
→ 0 ∀ε.
k
Llamemos Ak (ε) := ♯ {n < k : |cn | < ε} y supongamos que existe ε tal que
lı́m sup
k
♯Ak (ε)
> δ > 0,
k
k
1 X
1
1X
cn ≥
cn ≥ ε ♯Ak ≥ ε δ > 0,
k n=1
k
k
n∈Ak (ε)
y esto último es absurdo por hipótesis.
Apéndice A
Transformada de Fourier de una
exponencial imaginaria
Teorema A.1
Sea Q ∈ Mn×n (R) simétrica y no singular. Entonces
iπ
F (e
i
hQx,xi
2
(2π)n/2 e 4 sgn(Q) − i hQ−1 x,xi
e 2
)=
.
|detQ|1/2
Demostración.
Paso 1
Sea ε > 0, Qε := Q − εiI.
F (e
i
hQε x,xi
2
)=
=
Z
i
e 2 hQε x,xi−ihx,ξi dx
n
ZR
−1
i
e 2 hQε (x−Qε
n
R
Z
i
−1
= e− 2 hQε
ξ,ξi
−1
i
ξ),x−Q−1
ε ξi − 2 hQε ξ,ξi
e
dx
i
e 2 hQε y,yi dy.
Rn
Ahora realizamos un cambio de variables para escribir Q en la forma diag(λ1, ..., λn ),
con λ1 , ..., λr > 0 y λr+1 , ..., λn < 0. Entonces
Z
Rn
e
i
hQε y,yi
2
dy =
Z
Pn
e
Rn
1
2
k=1 2 (iλk −ε)wk
dw =
n Z
Y
k=1
∞
1
2
e 2 (iλk −ε)w dw.
−∞
Paso 2
1
Si 1 ≤ k ≤ r, entonces λk > 0. Definamos z = (ε − iλk ) 2 w y tomemos la rama
1
de la raı́z cuadrada que hace que Im(ε − iλk ) 2 < 0. Ası́ logramos
Z ∞
Z
2
1
1
2
(iλ
−ε)w
− z2
k
e2
dw =
dz,
e
1
(ε − iλk ) 2 Γk
−∞
76
Transformada de Fourier de una exponencial imaginaria
donde Γk es como en la figura.
6
4
2
Γk ( para λk > 0)
Γk ( para λk < 0)
0
−2
−4
Re(z) = −Im(z)
Re(z) = Im(z)
−6
z2
−4
0
−2
6
4
2
y 2 −x2
Como e− 2 = e 2 −ixy y además x2 > y 2 en Γk , podemos transformar Γk
en el eje real. Entonces
Z
Z ∞
2
√
x2
− z2
e dz =
e− 2 dx = 2π.
Γk
Entonces
r Z
Y
∞
e
−∞
1
(iλk −ε)w 2
2
dw = (2π)
−∞
k=1
r
2
r
Y
k=1
1
1
(ε − iλk ) 2
.
También tenemos que si 1 ≤ k ≤ r, como tomamos la rama de la raı́z cuadrada
1
iπ
donde (−i) 2 = e 4 entonces
lı́m
ε→0+ (ε
1
1
− iλk ) 2
=
iπ
1
1
(−iλk ) 2
=
e4
1
.
λk2
Paso 3
1
De forma análoga si r + 1 ≤ k ≤ n definimos z = (ε − iλk ) 2 w pero ahora
1
tomamos la rama de la raı́z cuadrada con Im(ε − iλk ) 2 > 0. Entonces:
Z
n
Y
k=r+1
∞
−∞
e
1
(iλk −ε)w 2
2
dw = (2π)
n−r
2
n
Y
k=r+1
1
1
(ε − iλk ) 2
.
Y como antes, si r + 1 ≤ k ≤ n , como tomamos la rama de la raı́z cuadrada
1
iπ
donde i 2 = e 4 entonces
77
lı́m
ε→0+ (ε
1
1
− iλk ) 2
=
iπ
1
=
1
(−iλk ) 2
Paso 3
Combinando los pasos anteriores logramos:
i
e− 4
1
|λk | 2
.
i
F (e 2 hQx,xi) = lı́mF (e 2 hQε x,xi )
ε→0
(2π)
− 2i hQ−1
ε ξ,ξi
n
2
(2π)
− 2i hQ−1
ε ξ,ξi
n
2
=e
=e
iπ
e 4 (r−(n−r))
1
|λ1 ....λn | 2
iπ
e 4 sgnQ
1
|detQ| 2
.
Apéndice B
Teorema de Cotlar-Stein
Teorema B.1
Sean E, F dos espacios de Hilbert y Aj ∈ L(E, F ) para todo j. Supongamos
además que
sup
j
∞
X
k=1
1
kA∗j Ak k 2
Entonces la serie A :=
y además
P∞
j=1
≤C
sup
j
∞
X
k=1
1
kAj A∗k k 2 ≤ C.
Aj converge en la topologı́a fuerte de operadores
kAk ≤ C.
Demostración.
Paso I
Asumamos primero que Aj = 0 para j > Jpara algún J de manera que A
esté bien definido. De acuerdo con el lema previo
kAk2m = k(A∗ A)m k.
(A∗ A)m =
∞
X
j1 ,...,j2m
∞
X
A∗j1 AJ2 ...A∗j2m−1 Aj2m
=:
Bj1 ,...j2m .
j1 ,...,j2 m
Por un lado
kBj1 ,...j2m k ≤ kA∗j1 AJ2 kkA∗j3 AJ4 k...kA∗j2m−1 Aj2m k.
Por otro lado
kBj1 ,...j2m k ≤ kAj1 kkAJ2 A∗j3 k...kAj2m−2 A∗j2m−1 kkAj2m k.
80
Teorema de Cotlar-Stein
Multipliquemos ahora las dos ecuaciones anterior y tomemos raı́z cuadrada.
1
1
1
kBj1 ,...j2m k ≤ CkA∗j1 Aj2 k 2 kAj2 A∗jm k 2 ...kAj2m−1 Ajm k 2 .
En consecuencia,
kAk2m = k(A∗ A)m k
∞
X
kBj1 ,...j2m k
≤
j1 ,...,j2m
∞
X
≤C
1
j1 ,...,j2m
1
kAj1 A∗j2 k 2 ...kA∗j2m−1 Aj2m k 2
≤ JCC 2m .
El factor J se desprende de que tenemos 2m sumas y 2m − 1 factores en los
sumandos. Entonces
1
kAk ≤ J 2m C
2m+1
2m
→C
m → ∞.
Paso II
Para abordar el caso general, tomemos u ∈ E y supongamos u = Ak ∗ v para
algún k.
∞
∞
X
X
∗ Aj Ak v Aj u = j=1
≤
j=1
∞
X
j=1
1
1
kAj A∗k k 2 kAj A∗k k 2 kvk
≤ C 2 kvk.
P
Entonces la suma ∞
j=1 Aj u converge para u ∈ Σ donde Σ es el subespacio
∗
generado por {Ak (E) : k = 1, ..., n}. Entonces la suma también converge
para u ∈ Σ. P
Si u es ortogonal a Σ entonces u ∈ ker(Ak ) para todo k y en
consecuencia ∞
j=1 Aj u = 0.
Apéndice C
Cómo determinar el operador
i (hQ,τ i+hP,σi)
e~
i
Cuando se definió El Grupo de Heisenberg se introdujo un operador, e ~ (hQ,τ i+hP,σi) :
i
L2 (Rn ) → L2 (Rn ), sea ψ ∈ L2 (Rn ). Se define e ~ (hQ,τ i+hP,σi) (ψ)(x) como el
tiempo uno de la solución de la ecuación diferencial
∂F
i
= (hQ, τ i + hP, σi)F
∂t
~
con dato inicial F0 (x) = ψ(x).
i
En esta sección nos dedicaremos a hallar e ~ (hQ,τ i+hP,σi) de forma explı́cita solucionando la ecuación mediante el método de las curva caracterı́sticas. Lo
haremos para n = 1. Para mayores dimensiones la demostración es análoga.
Nuestro objetivo será probar la siguiente fórmula:
i
i
σ
e ~ (hQ,τ i+hP,σi) ψ(x) = e ~ h 2 +x,τ i ψ(x + σ).
∂
y Q(f )(x) = xf (x), por lo tanto queremos
Como n = 1 tenemos que P = ~i ∂x
resolver la siguiente ecuación diferencial
∂F
∂F
i
(x, t) − σ
(x, t) = τ xF (x, t)
∂t
∂x
~
con dato inicial F0 (x) = ψ(x).
Sea γ : R → Rs , γ(s) = (γ1 (s), γ2 (s)), tenemos que
∂F
∂F
∂F ◦ γ
(s) =
(γ(s))γ˙1 (s) +
(γ(s))γ˙2(s).
∂s
∂x
∂t
˙ = (γ1 (s),
˙ γ2 (s))
˙
Si pedimos que γ(s)
= (−σ, 1) definiendo entonces γ(s) =
(−sσ + θ, s) obtenemos
i
Cómo determinar el operador e ~ (hQ,τ i+hP,σi)
82
∂F
∂F
∂F ◦ γ
(s) = −
(γ(s))σ +
(γ(s))
∂s
∂x
∂t
i
= τ (−sσ + θ)F ◦ γ(s).
~
Tenemos entonces que resolver la ecuación en variables separables
∂F ◦ γ
i
(s) = τ (−sσ + θ)F ◦ γ(s).
∂s
~
Resulta entonces que
i
F ◦ γ(s) = ke− ~ τ σs
2 /2+ i τ θs
~
.
Sean (t, x) ∈ R2 . Si ponemos θ = x+tσ tenemos que γ(s) = (−sσ +x+tσ, s)
verifica γ(t) = (x, t) y γ(0) = (x + σt, 0).
Entonces F ◦ γ(0) = F (x + σt, 0) = ψ(x + σt)
Ası́, debemos elegir k = ψ(x + σt).
i
2 /2+ i τ (x+tσ)t
~
F (x, t) = F (γ(t)) = ψ(x + σt)e− ~ τ σt
Entonces fijemos t = 1,
i
σ
F (x, 1) = ψ(x + σ)e ~ τ (x+ 2 ) ,
como querı́amos.
.
Notación
Notación elemental
C =plano complejo
Mn×m = matrices de n filas y m columnas
hx, yi =
|x|2 =
hxi =
P
Pn
xi yi
k=1
p
x, y ∈ Rn .
x2k si x ∈ Rn , x = (x1 , ..., xn )
1 + |x|2
x ∈ Rn
Si f : X → C se define el soporte de f por sop(f ) = {x : f (x) 6= 0}
C ∞ (X) = {f : X → R dif erenciable}
Cc∞ (X) = {f ∈ C ∞ (X) : sop(f ) es compacto}
Llamaremos Laplaciano Clásico al operador ∆ definido por
∆(f ) =
n
X
∂2f
∂x2i
i=1
f ∈ C ∞ (Rn )
Si X es una variedad diferenciable notaremos X ∗ al espacio dual de X
X ∗ = {f : X → R : f lineal}
Si X es una variedad diferenciable notaremos Tx X al espacio tangente
de X
Si X es una variedad diferenciable notaremos T X al espacio dual de X
T X = {(x, v) : x ∈ X, v ∈ Tx X}
i
Cómo determinar el operador e ~ (hQ,τ i+hP,σi)
84
Si X es una variedad diferenciable definimos notaremos T ∗ X al espacio
cotangente a X
T ∗ X = {(x, ξ) : x ∈ X, ξ ∈ Tx∗ X}
Diferenciación
α = (α1 , ..., αn ) αi ∈ N a α lo llamaremos multiı́ndice
|α| = α1 + ... + α2
xα := xα1 1 ...xαnn
∂ α := ∂xα11 ...∂xαnn
∂xj =
∂
∂xj
∂α := (∂α1 , ..., ∂αn )
Dx = 1i ∂x
Operadores
A∗ = operador adjunto de A
[A, B] = AB − BA.
A [ , ] le llamaremos conmutador
tr(A) = traza de A
P
Diremos que un operador A es de clase traza si tr(B) :=
µj < ∞ don2
∗
de los µj son las valores propios de B B. spec(A) = espectro de A
Si A : X → Y es un operador acotado definimos
kAk := sup{kAuk : kxk ≤ 1}
Si Q ∈ Mn×m (R) es simétrica e invertible entonces
sg(Q) := #(spec(Q) ∩ R+ ) − #(spec(Q) ∩ R− )
Definimos el operador hDx , Dy i por
n
X
∂ ∂
hDx , Dy if := h(Dx1 , ..., Dxn ), (Dy1 , ..., Dyn )if = −
f
∂xi ∂yi
i=1
85
Errores
Escribimos f = O(hN ) cuando pedimos que kf k = O(hN ). Esto es,
si ∃CN tal que kf k ≤ CN hN
∀0<h≤1
Escribimos f = O(h∞ ) si f = O(hN ); ∀N ∈ N
Si A es un operador acotado entre X e Y diremos que A = O(hN ) si
kAk = O(hN )
Observación: Lo antes definido tiene sentido si f y A dependen del parámetro
~.
Bibliografı́a
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Eigenfunctions of the laplacian on negatively
curved manifolds:a semiclassical approach, June 2007. Disponible en
www.claymath.org/programs/summer_school/2007/anatharamanln.pdf.
[2] M. Berger. A Panoramic View of Riemannian Geometry. Springer, October 2002.
[3] Y. C. de Verdiere. Ergodicité et fonctions propes du laplacien. Communications in Mathematical Physics, 102(3):497–502, 1985.
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Smooth ergodic theory and its applications, volume 69, pages 525–572.
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[5] L. Evans and M. Zworski. Lectures on semiclassical analysis, Versión 0.3.
Disponible en math.berkeley.edu/~zworski/semiclassical.pdf.
[6] M. Kac. Can one hear the shape of a drum? American Mathematical
Monthly, 73(4):1–23, 1966.
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[8] R. Melrose. Introduction to microlocal analysis, December 2007. Disponible en math.mit.edu/~rbm/iml/Front.pdf.
[9] M. Reed and B. Simon. Methods of Modern Mathematical Physics, vol.
1: Functional Analysis. Academic Press, december 1980.
[10] A. Uribe and C. Villegas.
Introducción a las matemáticas de la mecánica, Agosto 2005.
Disponible en
www.cimat.mx/Eventos/EMALCA/curso_auribe.pdf.