APÉNDICE 2: MOMENTOS DE INERCIA

APÉNDICE 2: MOMENTOS DE INERCIA
Para determinar el centroide para un área se considera el primer momento de área con respecto a
un eje, vale decir, para el cálculo se evalúa una integral de la forma 𝑥 ∙ 𝑑𝐴. A una integral del
segundo momento de un área, tal como 𝑥 2 ∙ 𝑑𝐴, se le llama momento de inercia para el área.
Considere el área A, mostrada en la figura siguiente:
y
x
dA
r
y
x
Por definición, los momentos de inercia del área diferencial plana dA con respecto a los ejes x e y
son:
𝑑𝐼𝑥 = 𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴
𝑑𝐼𝑦 = 𝑥 2 ∙ 𝑑𝐴
Los momentos de inercia son determinados por integración para toda el área; es decir,
𝐼𝑥 =
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴
𝐼𝑦 =
𝑥 2 ∙ 𝑑𝐴
Teorema de los ejes paralelos o de Steiner
Si el momento de inercia para un área se conoce con respecto a un eje que pasa a través de su
centroide, lo que a menudo es el caso, es conveniente determinar el momento de inercia del área
respecto a un eje paralelo correspondiente usando lo que se llama teorema de ejes paralelos. Para
derivar este teorema, considere encontrar el momento de inercia del área sombreada que se
muestra en la figura con respecto al eje x.
Y
Y´
dA
X´
Y´
dx
X´
d
dy
x
Luego, para el elemento diferencial de área dA, el momento de inercia respecto al eje x es:
𝑑𝐼𝑥 = 𝑦´ + 𝑑𝑦
2
∙ 𝑑𝐴
Entonces, para toda el área es:
𝐼𝑥 =
𝐼𝑥 =
𝐼𝑥 =
𝑦´ + 𝑑𝑦
2
∙ 𝑑𝐴
(𝑦´2 + 2 ∙ 𝑦´ ∙ 𝑑𝑦 + 𝑑𝑦 2 ) ∙ 𝑑𝐴
𝑦´2 ∙ 𝑑𝐴 + 2 ∙ 𝑑𝑦
𝑦 ´ ∙ 𝑑𝐴 + 𝑑𝑦 2
𝑑𝐴
La primera integral representa el momento de inercia del área respecto al eje centroidal x´ y la
denotamos Ix´g . Para la segunda integral se da lo siguiente:
𝑦´ ∙ 𝑑𝐴 = 𝑦´ ∙ 𝐴
Siendo 𝑦´ la distancia desde el eje y´ hasta el centroide, ahora como y´ pasa justo por el centroide
implica que 𝑦´ = 0. Por último la tercera integral representa el área de la figura. Por tanto el
resultado final es:
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥´𝑔 + 𝑑𝑦 2 ∙ 𝐴
Análogamente:
𝐼𝑦 = 𝐼𝑦´𝑔 + 𝑑𝑥 2 ∙ 𝐴
Ejemplo 1
Determine el momento de inercia del área rectangular mostrada en la figura con respecto al:
a) El eje centroidal x´
b) El eje x que pasa por la base del rectángulo
c) El polo o eje z´ perpendicular al plano x´y´ y que pasa a través del centroide C
y´
h/2
dy´
y´
X´
C
h/2
O
b/2
x
b/2
Solución:
a)
ℎ
𝑏∙ 2
𝑦´2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦´ =
3
−ℎ/2
ℎ /2
3
ℎ
𝑏 ∙ −2
−
3
b) La distancia del eje x al eje centroidal x´ es:
3
𝑏 ∙ ℎ3 𝑏 ∙ ℎ3 𝑏 ∙ ℎ3
=
+
=
24
24
12
𝑦=
ℎ
2
El área de la figura está dada por:
𝐴=𝑏∙ℎ
Luego:
𝐼𝑥 =
2
𝑏 ∙ ℎ3
ℎ
+
12
2
∙𝑏∙ℎ=
𝑏 ∙ ℎ3 𝑏 ∙ ℎ3 𝑏 ∙ ℎ3
+
=
12
4
3
c) Para calcular el momento de inercia respecto al eje z´ se debe considerar un elemento
diferencial de área que se encuentra en cualquier parte de la figura en estudio:
y´
x´
dx´
h/2
dy´
y´
d
X´
C
h/2
O
b/2
x
b/2
𝑑 2 = 𝑥´2 + 𝑦´2
Luego:
𝐼𝑧´𝑔 =
𝐼𝑧´𝑔 =
𝑥´2 + 𝑦´2 ∙ 𝑑𝐴
𝑥´2 ∙ 𝑑𝐴 +
𝑦 ´2 ∙ 𝑑𝐴
𝐼𝑧´𝑔 = 𝐼𝑦´𝑔 + 𝐼𝑥´𝑔
𝑏/2
−𝑏/2
𝑥´2 ∙ ℎ ∙ 𝑑𝑥´ =
ℎ 𝑏3 𝑏3
ℎ ∙ 𝑏3
∙
+
=
3
8
8
12
𝐼𝑧´𝑔 =
ℎ∙𝑏
∙ ℎ2 + 𝑏 2
12
Ejemplo 2
Determine el momento de inercia del área bajo la parábola que muestra la figura con respecto al
eje x
y
𝑦 2 = 400 ∙ 𝑥
x
200 mm
x
200
𝐼𝑥 =
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴
0
Para encontrar el diferencial de área hay que encontrar las dimensiones de este elemento:
40.000 = 400 ∙ 𝑥
100 = 𝑥
𝑑𝐴 = (100 − 𝑥) ∙ 𝑑𝑦
200
𝐼𝑥 =
0
200
𝐼𝑥 =
𝐼𝑥 =
𝑦 2 ∙ (100 − 𝑥) ∙ 𝑑𝑦
0
𝑦 2 ∙ (100 −
𝑦2
) ∙ 𝑑𝑦
400
100
1
∙ 2003 − 03 −
∙ 2005 − 05
3
5 ∙ 400
𝐼𝑥 = 106.666.666,7 𝑚𝑚4
Ejemplo 3
Determine el momento de inercia con respecto al eje x del área circular mostrada en la figura:
y
x
x
dy
x
𝑅
𝐼𝑥 =
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴
−𝑅
𝑑𝐴 = 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝑦
𝑅
𝐼𝑥 =
𝑦 2 ∙ 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝑦
−𝑅
Sea
𝑥 = 𝑅 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦 = 𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑑𝑦 = 𝑅 ∙ cos 𝜃 ∙ 𝑑𝜃
𝐼𝑥 = 2 ∙ 𝑅 4
𝐼𝑥 = 2 ∙ 𝑅 4
𝐼𝑥 =
𝑅4
2
𝜋/2
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 ∙ cos2 𝜃 ∙ 𝑑𝜃
−𝜋/2
𝜋/2
1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (2 ∙ 𝜃)
∙ 𝑑𝜃
4
−𝜋/2
𝜋/2
−𝜋/2
1 − 𝑐𝑜𝑠 2 2 ∙ 𝜃 𝑑𝜃
𝐼𝑥 =
𝑅4
2
𝐼𝑥 =
𝐼𝑥 =
𝜋/2
1−
−𝜋/2
𝑅4
2
1 − cos(4 ∙ 𝜃)
𝑑𝜃
2
𝜋/2
1 + cos(4 ∙ 𝜃)
𝑑𝜃
2
−𝜋/2
𝑅4 𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
∙
+ 𝑠𝑒𝑛 4 ∙ — + 𝑠𝑒𝑛 4 ∙ −
4
2
2
2
2
𝐼𝑥 =
𝜋 ∙ 𝑅4
4
Ahora:
𝑅=
𝐷
𝐷4
→ 𝑅4 =
2
16
𝐼𝑥 =
𝜋 ∙ 𝐷4
64
Ejemplo 4
20
60
30
10
Determine el momento de inercia de la figura respecto del eje centroidal x.
10
20
40
Solución:
10
Empezaremos calculando el centroide de área de la figura. Para ello consideramos que el eje x
pasa por el borde inferior de la figura:
𝑦=
20 ∙ 40 ∙ 10 + 2 ∙ 30 ∙ 10 ∙ 35 + 10 ∙ 40 ∙ 55
= 28,33
20 ∙ 40 + 2 ∙ 30 ∙ 10 + 10 ∙ 40
Para calcular el momento de inercia se determina primero el momento de inercia total y el del
orificio central y luego se utiliza el teorema de ejes paralelos para obtener el momento de inercia
respecto al centroide.
Momento de Inercia total
𝐼𝑥 =
40 ∙ 603
= 720.000
12
Ahora calculando el momento de inercia respecto al centroide:
𝑑 = 30 − 28,33 = 1,67
El área es:
𝐴 = 40 ∙ 60 = 2.400
𝐼𝑥𝑔 = 720.000 + 2.400 ∙ 1,672 = 726.693,36
Momento de Inercia del orificio central
20 ∙ 303
𝐼𝑥 =
= 45.000
12
Ahora calculando el momento de inercia respecto al centroide:
𝑑 = 35 − 28,33 = 6,67
El área es:
𝐴 = 20 ∙ 30 = 600
𝐼𝑥𝑔 = 45.000 + 600 ∙ 6, 672 = 71.693,34
Ahora para calcular el momento de inercia respecto del centroide de área de la figura se toma el
momento de inercia del rectángulo más grande y se resta con el del orificio, con lo que se obtiene:
𝐼𝑥´𝑔 = 726.693,36 − 71.693,34 = 655.000,02
Ejemplo 5
Considere el perfil que se puede observar en la figura. Calcule el momento de inercia respecto al
centroide
150
10
250
7,5
𝑦=
𝐼𝑥´𝑔 =
150∙10∙5+7,5∙250∙135
150∙10+7,5∙250
= 77,22 (desde la parte inferior)
7,5 ∙ 2503
+ 7,5 ∙ 250 ∙ 135 − 77,22
12
= 23.861.458,35
2
+
150 ∙ 103
+ 150 ∙ 10 ∙ 77,22 − 5
12
2
Ejemplo 6
Una viga tiene la sección transversal de un triángulo isósceles, como se muestra en la figura, y está
sometida a un momento flexionante negativo de 4.000 (N*m) respecto al eje horizontal.
Demuestre por integración que 𝐼𝑥´𝑔 =
𝑏∙ℎ 3
.
36
Solución
h
b
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴
𝐼𝑥 =
𝑑𝐴 = 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝑦, con 𝑥 > 0
𝑦 =ℎ−
2∙ℎ
∙𝑥
𝑏
𝑥 = ℎ−𝑦 ∙
𝑏
2∙ℎ
Luego:
𝑑𝐴 = 2 ∙ ℎ − 𝑦 ∙
𝐼𝑥 =
𝑏
∙ 𝑑𝑦
2∙ℎ
𝑦2 ∙ 2 ∙ ℎ − 𝑦 ∙
𝑏
𝐼𝑥 = ∙
ℎ
ℎ
0
𝑏
∙ 𝑑𝑦
2∙ℎ
𝑦 2 ∙ ℎ − 𝑦 ∙ 𝑑𝑦
𝐼𝑥 =
𝑏 ℎ4 ℎ4
∙
−
ℎ
3
4
𝐼𝑥 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
El centroide está a h/3 desde la base, luego:
𝐼𝑥´𝑔
𝑏 ∙ ℎ3 𝑏 ∙ ℎ ℎ
=
−
∙
12
2
3
2
=
𝑏 ∙ ℎ3
36
Productos de Inercia
Los productos de inercia de un área están dados, por definición, por:
𝐼𝑥𝑦 =
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴
y
x
dA
r
y
x
Note que los ejes que se consideran son los que pasan por el centroide de la figura. Es importante
notar que el producto de inercia es nulo para áreas de simetría doble y sencilla. Esto puede
notarse en la figura de la página siguiente. Donde, debido a la simetría, para cada 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 hay
otra −𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 y su suma se anula.
Comenzando con la definición de producto de inercia y usando el mismo procedimiento de la
sección anterior se puede llegar a desarrollar una expresión análoga al teorema de Steiner o de
ejes paralelos, vale decir:
𝑥 + 𝑑𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 +
𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝐴 +
𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝐴 +
𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝐴
=
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 + 𝑑𝑦 ∙
=
𝑥 ∙ 𝑑𝐴 + 𝑑𝑥 ∙
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 + 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝐴
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 + 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝐴
𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑥𝑦𝑔 + 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝐴
Donde 𝐼𝑥𝑦𝑔 es el producto de inercia del área A respecto de los ejes centroidales de la figura.
y
x
Ejes principales de Inercia
En el análisis anterior, los ejes centrooidales para un área de forma general fueron escogidos
arbitrariamente. Por tanto, es importante investigar cómo cambian los momentos y productos de
inercia si los ejes son girados. Esto se muestra en la figura siguiente, donde los ejes están girados
un ángulo , formando un nuevo conjunto de ejes coordenados.
y
y´
X´
y´
x

X´
y

x
𝑦´ = 𝑦 ∙ cos 𝜃 − 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑥´ = 𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃
Luego:
𝐼𝑥´ =
=
𝑦´2 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑦 ∙ cos 𝜃 − 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
2
∙ 𝑑𝐴
(𝑦 2 ∙ cos2 𝜃 − 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ cos 𝜃 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑥 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) ∙ 𝑑𝐴
= cos 2 𝜃 ∙
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴 −2 ∙ cos 𝜃 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∙
𝑥 ∙ 𝑦∙ 𝑑𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑥 2 ∙ 𝑑𝐴
= 𝐼𝑥 ∙ cos 2 𝜃 − 2 ∙ cos 𝜃 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∙ 𝐼𝑥𝑦 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 ∙ 𝐼𝑦
=
𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦
+
∙ cos 2 ∙ 𝜃 − 𝐼𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ 𝜃
2
2
Usando un procedimiento análogo:
𝐼𝑦´ =
𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦
−
∙ cos 2 ∙ 𝜃 + 𝐼𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ 𝜃
2
2
Ahora el producto de inercia está dado por:
𝑦 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∙ cos 𝜃 ∙ 𝑑𝐴 +
𝑥´ ∙ 𝑦´ ∙ 𝑑𝐴 =
−
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ cos2 𝜃 ∙ 𝑑𝐴 −
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ sen2 𝜃 ∙ 𝑑𝐴
𝑥 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∙ cos 𝜃 ∙ 𝑑𝐴
= 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∙ cos 𝜃 ∙ 𝐼𝑥 + cos 2 𝜃 ∙ 𝐼𝑥𝑦 − sen2 𝜃 ∙ 𝐼𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∙ cos 𝜃 ∙ 𝐼𝑦
=
𝐼𝑥 − 𝐼𝑦
∙ 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ 𝜃 + 𝐼𝑥𝑦 ∙ cos 2 ∙ 𝜃
2
Note que la suma de los momentos de inercia respecto a los ejes x´ e y´ es:
𝐼𝑥´ + 𝐼𝑦´ = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦
Vale decir, no depende del ángulo , es invariable. Un valor máximo o mínimo de los momentos de
inercia se puede encontrar diferenciando e igualando a cero sus ecuaciones respectivas, lo que da:
𝐼𝑥 − 𝐼𝑦
𝑑𝐼𝑥´
=−
∙ 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ 𝜃 − 𝐼𝑥𝑦 ∙ cos 2 ∙ 𝜃 = 0
𝑑𝜃
2
𝑡𝑔 2 ∙ 𝜃1 =
−𝐼𝑥𝑦
𝐼𝑥 − 𝐼𝑦
2
Esta ecuación entrega dos raíces separadas entre sí por 180°. Como éstas son para un ángulo
doble, las raíces para 1 están separadas entre sí sólo 90°. Una de éstas raíces localiza un eje
respecto al cual el momento de inercia es máximo; la otra localiza el eje conjugado para el
momento mínimo de inercia. Estos dos ejes se llaman “ejes principales de inercia”. Los mismos
ángulos definen los ejes para los cuales el producto de inercia es cero.