TEMA 7 - de la UVa

TEMA 7
MOVIMIENTO ONDULATORIO
CONSEJOS PREVIOS A LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS
En este tema nos centraremos en el estudio cinemático de las ondas mecánicas. Si te
dan la frecuencia, puedes determinar el período como su inverso y viceversa:
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ν=
T
Si te dan la longitud de onda puedes determinar el número de onda y viceversa:
2π
k=
λ
usando:
Si se conocen dos de las magnitudes (v, λ, ν) o (v, k, ω) se puede obtener la tercera
v=λν o ω=vk
En algunos problemas no se necesita más. Para determinar totalmente la función de
onda hay que conocer A y dos cualesquiera de (v, λ, ν) o (v, k, ω). Con esta información puedes
obtener la ecuación específica para el problema a través de las ecuaciones:
x
 t x

y(x, t) = A sen 2πν t −  = A sen 2π −  = A sen(ωt − kx)
v
T λ 

Podrás así determinar el valor de y en cualquier punto (valor de x) e instante
sustituyéndolo en la ecuación de onda.
Si no te dan la velocidad de la onda, tal vez puedas calcularla usando la relación v=λν o
las relaciones entre v y las propiedades mecánicas del sistema, como la tensión y la masa por
unidad de longitud del hilo. El método que uses para determinar la velocidad dependerá de la
información dada.
Para ondas longitudinales necesitarás la densidad volúmica. En algunos problemas
puedes determinar esta magnitud por aplicación del principio de Arquímedes. Recuerda dicho
principio: todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba
igual al peso del volumen de fluido desalojado.
Por último, no confundas la velocidad de propagación de la onda con la velocidad de
vibración de las partículas del medio. La velocidad de propagación de la onda es constante, y
es la velocidad a la que se propaga la perturbación, mientras que la velocidad de vibración de
las partículas del medio depende del instante y la posición, y puedes obtenerla mediante
simple derivación de la ecuación de onda.
Muchas cantidades intervienen en la caracterización de la amplitud e intensidad de
una onda sonora, y es fácil confundirse. La frecuencia ν puede determinarse a partir de ω, k o
λ. Estas cantidades se relacionan a través de la velocidad de propagación v, que a su vez
depende de las propiedades del medio. Estudia el problema, identifica qué cantidades te dan
y cuáles tienes que obtener y busca las relaciones que te lleven donde quieres ir.
En los problemas de absorción aplica inmediatamente la ley de Lambert-Beer. No te
preocupes si no conoces la intensidad de la onda incidente, pues a menudo te indicarán la
relación entre la intensidad de la onda incidente y la de salida, de modo que puedes
simplificarlas. Recuerda que la intensidad de la onda es directamente proporcional al
cuadrado de la amplitud.
Para problemas de efecto Doppler establece un sistema de coordenadas. Define
siempre como dirección positiva la que va desde la fuente al observador, y asegúrate de
poner de acuerdo con este criterio los signos de todas las velocidades pertinentes. Una
velocidad desde la fuente al observador es positiva, mientras que del observador a la fuente
es negativa. Además, las velocidades que aparecen en la ecuación del efecto Doppler están
proyectadas sobre la recta que une el observador con la fuente. No olvides nunca hacer todas
las proyecciones. Obviamente no debes proyectar la velocidad del sonido, puesto que las
ondas sonoras son esféricas y siempre tendrás una componente que coincide con la dirección
que te interesa.
Usa una notación coherente para identificar las cantidades: subíndice O para el
observador y F para la fuente. Todas las velocidades debes medirlas relativas al aire por el
que viaja el sonido.
Si una onda se refleja en una superficie, sea estacionaria o móvil, el análisis puede
efectuarse en dos pasos. En el primero la superficie es el oyente; después, considera a la
superficie como nueva fuente, emitiendo con la misma frecuencia que ha percibido. Por
último, determina qué frecuencia escucha un oyente que detecta esta nueva onda.
Verifica que tu resultado final sea coherente. Recuerda que si la fuente y el
observador se están acercando la frecuencia percibida es siempre mayor que la emitida,
mientras que si se están alejando, la frecuencia percibida es menor que la emitida. Si la
fuente y el observador no están en movimiento relativo, ambas frecuencias serán iguales.
En la última parte del tema verás ondas estacionarias. No plantean especial
dificultad, siempre que no confundas las ecuaciones y tengas claros los significados de las
letras que aparecen en ellas. Recuerda además que al primer sonido (o vibración) que aparece
se le denomina fundamental, y a los siguientes primer armónico, segundo armónico, tercer
armónico, ... etc.
Si no recuerdas la ecuación correspondiente a un tubo abierto, cerrado, o a una
cuerda tensa, no olvides nunca que los extremos fijos o cerrados deben tener un nodo y los
extremos abiertos deben tener un vientre. Dibuja rápidamente el tono fundamental y dos
armónicos y podrás ver inmediatamente la secuencia (si se trata de un número par o impar de
λ
). A continuación no tendrás más que sustituir la longitud de onda por los parámetros que
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te interesen.
PROBLEMAS TEMA 7
1.- La función de onda correspondiente a una onda armónica en una cuerda es:
y=0.001sen(314t+62.8x)
escrita en el Sistema Internacional. a) ¿En qué sentido se mueve la onda? b) ¿Cuál es su
velocidad? c) ¿Cuál es la longitud de onda, frecuencia y período? d) ¿Cuál es el
desplazamiento máximo de un segmento cualquiera de la cuerda? e) ¿Cuál es la ecuación de
la velocidad y aceleración de una partícula que se encuentre en el punto x=-3 cm?
(Sol: a) sentido negativo del eje X; b) v=5 m/s; c) λ=0.1 m; T=0.02 s; ν=50 Hz; d)
ymáx=0.001 m; e) v=0.314cos(314t-1.884) m/s; a=-98.596sen(314-1.884) m/s2)
2.- Una onda que se propaga a través de un medio absorbente reduce su intensidad
inicial a la mitad al atravesar una capa de espesor 3 cm. Determinar el espesor total
necesario para reducir la intensidad hasta el 10% de su valor inicial.
(Sol: x=9.97 cm)
3.- El nivel de ruido en un aula vacía donde se va a realizar un examen es de 40 dB.
Cuando 100 alumnos se encuentran escribiendo su examen, los sonidos de las respiraciones y
de las plumas escribiendo sobre el papel elevan el nivel de ruido a 60 dB. Suponiendo que la
contribución de cada alumno a la potencia de ruido es la misma, calcular el nivel de ruido
cuando sólo quedan 50 alumnos en el aula.
(Sol: S=56.99 dB)
4.- Un globo asciende verticalmente con una velocidad constante de 2 m/s en la
perpendicular de una vía férrea y lleva en su parte inferior una superficie totalmente
reflectante. Por la vía se acerca un tren a la velocidad constante de 20 m/s emitiendo el
sonido de su silbato de frecuencia 600 Hz. El viento sopla en el sentido de avance del tren
con una velocidad de 5 m/s. Determinar: 1º) la frecuencia percibida por un observador
situado en el globo cuando éste se encuentre a 50 m de altura y el tren a 100 m de la
perpendicular desde el globo a la vía; 2º) la frecuencia percibida por un observador situado
en el tren al recibir el sonido reflejado en la parte inferior del globo 10 s después de la
posición inicial. Velocidad del sonido en aire en calma: 330 m/s.
(Sol: 1º) ν=632.21 Hz; 2º) ν’’=539.50 Hz)
5.- Un tubo emite dos armónicos sucesivos de frecuencias 450 y 550 Hz (velocidad
del sonido en las condiciones de la experiencia v=344 m/s). a) ¿El tubo está cerrado por un
extremo o abierto por ambos? b) ¿Cuál es la longitud del tubo? c) Supongamos que hacemos
sonar ese tubo con el sonido fundamental (tómese 50 Hz si no se han resuelto los
apartados anteriores). Un observador móvil percibe una frecuencia de 54 Hz. ¿Se está
acercando o alejando del tubo? ¿A qué velocidad? d) Este sonido se percibe a 2 m con una
intensidad de 60 dB. ¿A qué distancia el nivel de intensidad es de 30 dB? e) Si nos
encontramos a 2 m del tubo, ¿cuántos tubos deberían sonar a la vez para producir en total
una sensación sonora de 80 dB?
(Sol: a) cerrado por un extremo; b) L=1.72 m; c) se acerca a v=27.52 m/s; d)
r=63.25 m; e) 100 tubos)
PROBLEMA PARA RESOLVER EN CASA Y ENTREGAR (TEMA 7)
1.- Dos barras macizas, una
de acero de 2 m de longitud y otra
de latón de 1 m de longitud y ambas de 12 cm de diámetro se sueldan seguidas. En los
extremos se aplica una fuerza F que hace que el conjunto se estire, consiguiéndose un
alargamiento total del conjunto de 10-3 mm. El incremento de volumen de la barra de latón
es de 2.25 mm3. En estas condiciones determinar: a) el módulo de Young del latón, así como
la fuerza que ha sido necesario aplicar y los esfuerzos en cada barra; b) el incremento de
longitud experimentado por cada barra y el incremento de volumen total del conjunto.
(Datos: Eacero=20 · 1010 N/m2; µacero=0.28; µlatón=0.37).
c) Considérese estas mismas barras pero ahora
huecas, constituyendo así tubos de órgano, la primera
cerrada por ambos extremos y conteniendo H2 y la
segunda cerrada por un extremo (en unión con el otro tubo) y abierta por el otro,
conteniendo He. La temperatura es de 30ºC. Determinar en estas condiciones la mínima
frecuencia para la que se produzcan ondas estacionarias en cada tubo. ¿A qué armónico
corresponden estas ondas en cada tubo? d) las posiciones de todos los nodos, tanto en el
tubo 1 como en el 2. (Velocidad del sonido a 0ºC en los dos gases: vH2=1139 m/s; vHe=911.24
m/s).
(Sol: a) Elatón=3.0689 · 1010 N/m2; F=265.589 N; σacero=23483.2 N/m2; σlatón=23483.2
N/m ; b) ∆lacero=2.348 · 10-7 m; ∆llatón=7.652 · 10-7 m; ∆V=3.418 · 10-9 m3; c) νmín=1200 Hz;
tubo de hidrógeno tercer armónico; tubo de helio segundo armónico; d) xH2=0 m, 0.5 m, 1 m,
1.5 m, 2 m; xHe=0 m, 0.4 m, 0.8 m)
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