Guía de estudio para 4º año Medio

Liceo Marta Donoso Espejo
Guía de estudio para 4º año Medio
Tema: Ecuaciones cuadráticas en dos variables.
Este material tiene el propósito de presentar las ecuaciones cuadráticas en dos
variables, mostrar sus gráficas y a aprender a trazarlas en un sistema de coordenadas y
finalmente incorporar los procedimientos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones
cuadráticas en dos variables.
La forma general de una ecuación cuadrática en dos variables es:
ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 donde a,b,c,d,e,f son constantes y a,b,c distintos
de 0.
Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas en dos variables son:
3 x 2 + 5 xy = 2
x 2 − xy + y 2 + 2 x + 3 y = 0
y 2 = 4x
xy = 4
x2 + y2 = 9
1) Representa gráficamente estas ecuaciones en un sistema de coordenadas.
2) Determina para cada una de ellas el valor de b 2 − 4ac
3) Relaciona el valor obtenido de b 2 − 4ac en cada ecuación con su
correspondiente gráfica.
Sistemas de ecuaciones cuadráticas en dos variables.
Tal como ocurría en los sistemas de ecuaciones lineales, la o las soluciones de un
sistema de ecuaciones cuadráticas se expresa gráficamente en la intersección de las
gráficas de las ecuaciones involucradas.
I.
Sistema formado por una ecuación cuadrática y una ecuación lineal
x2 + y2 = 9
2x − y = 6
Un método de resolución se describe a continuación:
Paso 1: Despeja la variable y en la ecuación lineal (o despeja la variable x);
Paso 2: Sustituye la expresión obtenida en la ecuación cuadrática.
Paso 3: Resuelve la ecuación en x obtenida (o la ecuación en y)
Paso 4: Sustituye cada valor encontrado para x, en la ecuación lineal dada,
y resuelve.
Indica la o las soluciones obtenidas como par ordenado de números reales.
Ejemplo: Resuelve el sistema
x2 + y2 = 9
por el método descrito.
2x − y = 6
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y = 2x − 6
P1)
P2)
P3)
x 2 + ( 2 x − 6) 2 = 9
x 2 + 4 x 2 − 24 x + 36 = 9
5 x 2 − 24 x + 27 = 0
x = 9 / 5; x = 3
x = 9/5:
P4)
x = 3:
y = 2(9 / 5) − 6
y = 2(3) − 6
y=−
12
5
y=0
9 12
Las soluciones del sistema son: ⎛⎜ , − ⎞⎟, (3, 0) .
⎝5
5⎠
Ejercicios. Resolver, por el método indicado, los siguientes sistemas:
1)
II.
2 xy = 12
x + 2y = 7
2)
3x 2 − 5 y = 7
5 x + 2 y = 12
3)
x 2 − xy + y 2 = 7
2 x − 7 y = −1
Los sistemas formados por dos ecuaciones cuadráticas es posible reducirlos
a los siguientes casos:
Caso A)
Caso B)
Caso C)
x 2 + y 2 = 25
xy = 12
2 x 2 + 5 y 2 = 38
3x 2 − 4 y 2 = 11
x 2 − xy + 2 y 2 = 4
2 x 2 − 3xy − 2 y 2 = 6
Observación. Estos sistemas están formados por dos ecuaciones
cuadráticas homogéneas, es decir todos sus términos excepto la constante
tienen grado 2. Los métodos algebraicos para resolverlos se mostrarán en
clase.
Ejercicios. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1)
3)
x 2 + 4 y 2 = 16
xy = 4
2x2 − y 2 = 5
3x 2 + 4 y 2 = 57
x − xy + y = x + y
2
5)
7)
2)
4)
2 x + 3 y − xy = −1
xy + y = 3x + 3
x 2 − xy + y 2 = 7
x 2 + y 2 = 10
6)
9 16
+
=5
x2 y2
18 12
−
= −1
x2 y2
8)
(x + y )2 = 3 y 2 + 6
(x − y )2 = 3x 2 − 11
2
xy = 4
x 2 + y 2 = 40
xy = 12