Tratamiento de Imágenes CCD Astronómicas
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Tratamiento de Imágenes CCD Astronómicas José Luis Doreste Caballero Agrupación Astronómica de Gran Canaria (A.A.G.C.) 18 de septiembre de 2002 i Índice 1. Introducción 1 2. Primera experiencia 3 3. Segunda experiencia 4 4. Base matemática 4.1. Obtención de la imagen BIAS . . . . . 4.2. Obtención de la imagen DARK . . . . 4.3. Obtención de la imagen FLAT-FIELD 4.4. Tratamiento de las imágenes objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Agradecimientos . . . . 8 10 10 12 14 16 Índice de figuras 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Matriz de números correspondiente a la imagen de una estrella Imagen correspondiente a la matriz de la figura 1 . . . . . . . . Aspecto tı́pico de una imagen Dark . . . . . . . . . . . . . . . . Antes y Después de una sustracción de Dark . . . . . . . . . . Aspecto tı́pico de una imagen Flat-Field bruta . . . . . . . . . Imagen Bias con estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imagen Flat-Field promediada y normalizada . . . . . . . . . . Reducción del ruido de una imagen CCD usando la mediana de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dos imágenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 2 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 11 Resumen Este manual es el fruto de la experiencia personal en el tratamiento de imágenes astronómicas obtenidas con el equipo de la Agrupación Astronómica de Gran Canaria (A.A.G.C.), un telescopio SchmidtCassegrain 10” f/10 y una cámara CCD Starlight Xpress MX916. Pretende servir de guı́a para aquellas personas que se inician en el mundo de las imágenes CCD pero creo que las personas con experiencia también pueden sacar algún provecho de la base matemática del tratamiento de imágenes. En el vocabulario de los astrónomos españoles está muy extendida la terminologı́a inglesa referente al campo de las imágenes CCD. En este documento haré uso también del mismo pero señalaré el nombre que le corresponderı́a en castellano al menos en una ocasión. Además, si uno quiere ampliar la información, termina recurriendo a documentos escritos en inglés, por no mencionar los manuales de nuestra propia cámara. Este documento se irá ampliando o corrigiendo según se vayan adquiriendo nuevas experiencias, por ello, se recomienda comprobar periódicamente si ha habido alguna modificación. Ésta se delatará por la fecha de creación que se encuentra en la portada. Cualquier comentario dirigirlo a la dirección de correo electrónico [email protected] 1 INTRODUCCIÓN ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . 3189 3198 3262 3290 3305 3296 3247 3219 3189 .. . 1 .. . 3190 3252 3421 3528 3832 3982 3522 3234 3179 .. . .. . 3284 3309 3534 3907 5332 5704 4022 3418 3194 .. . .. . 3188 3301 3495 4247 6170 6121 4186 3362 3212 .. . .. . 3184 3302 3389 4008 4977 4955 3798 3309 3211 .. . .. . 3167 3246 3367 3791 4008 3842 3430 3275 3224 .. . .. . 3206 3224 3378 3659 3637 3403 3277 3352 3251 .. . .. . 3221 3238 3297 3450 3412 3265 3260 3351 3234 .. . .. . 3197 3212 3207 3280 3259 3234 3245 3252 3214 .. . ... ... ... ... ... ... ... ... ... Figura 1: Matriz de números correspondiente a la imagen de una estrella 1. Introducción El tratamiento de las imágenes CCD astronómicas consiste en un conjunto de operaciones a las que se someten las mismas para eliminar o atenuar lo máximo posible una serie de efectos distorsionadores, inherentes a la naturaleza electrónica de las cámaras. No pretendo explicar en este manual la naturaleza y comportamiento de las cámaras CCD porque ya hay bastante bibliografı́a sobre el tema. Ası́ que doy por hecho que el lector ya conoce los conceptos básicos relativos a una cámara CCD, al menos, lo suficiente como para ponerse a sacar imágenes y saber lo que se está haciendo (más o menos ;-). Este manual trata de explicar lo que se debe hacer para obtener las imágenes y como tratar con ellas una vez que uno las tiene en el ordenador y la ha abierto con un editor de imágenes CCD astronómicas (IRIS, Astroart, IRAF, etc. . . ) y quiere empezar a obtener datos de las mismas. Mi primer contacto con el mundo del tratamiento de las imágenes CCD fue una serie de recetas misteriosas que nunca me dejaban convencido de si lo que estaba haciendo era lo correcto. Me puse a buscar información al respecto en Internet y me sorprendı́ bastante por no encontrar mucha información. El más útil que encontré es [4], pero es del tipo recetas. Un dı́a me puse a rebuscar en mis apuntes de la universidad y encontré el planteamiento de la base matemática [3] y [5], y vi la luz. En [1] aparece también una versión particular del planteamiento de la base matemática. Encuentro que la base matemática puede ser de interés para aquellas personas que se dedican a la astronomı́a con cámara CCD y esto fue lo que me animó a escribir este documento. Mi intención inicial era abordar directamente la base matemática, pero puesto que estoy escribiendo esto con la intención de servir de ayuda a aquellas personas que se inician en la astronomı́a CCD, prefiero explicar antes un par de ejemplos prácticos. Tragarse todo el desarrollo matemático de entrada puede ser muy duro, lo sé por experiencia propia. Una vez que has adquirido algo de experiencia practicando con algunas imágenes y siguiendo las recetas, echarle un vistazo al desarrollo matemático puede ser revelador. Aunque el desarrollo es bastante largo, la complejidad matemática no pasa de unos cuantos sumatorios y tener clara las reglas básicas de las operaciones con quebrados. He procurado desarrollar las operaciones mostrándolas explı́citamente más allá de lo necesario con la intención que la puedan seguir personas que tengan algo olvidadas las reglas de las operaciones con quebrados. Cuando contemplo el desarrollo desde lejos, me pregunto si alguien lo leerá realmente, pero creo que a muchos les puede dar la respuesta a preguntas del tipo ¿Por qué tengo que molestarme en restar el Bias a las imágenes, no se eliminan siempre con el Dark? ¿En qué casos es absolutamente necesario hacerlo? ¿Qué consigo normalizando las imágenes de Flat-Field? Alguna persona se puede preguntar como es posible que las matemáticas sean tan importantes en el mundo del tratamiento de imágenes. Tanto que hay campos de la matemática completamente dedicados a ello. En el caso que nos ocupa, el de las imágenes CCD astronómicas la respuesta es inmediata, 1 INTRODUCCIÓN 2 Figura 2: Imagen correspondiente a la matriz de la figura 1 porque una imagen en realidad es un montón de números. Para ser más exactos, una imagen CCD es una matriz de números enteros. Ası́ es como la trata el ordenador y por eso podemos hacer operaciones aritméticas con ellas. En la figura 1 se muestra la matriz correspondiente a la imagen de una estrella (débil). cada número representa las cuentas recogidas por cada pixel de la cámara CCD. El calificativo de pixel lo hereda cada número de la matriz, compitiendo con el término ”elemento” que se le suele dar en el álgebra matricial. Para hacer referencia a un determinado ”pixel” se suele usar un par ordenado de números, digamos (X,Y), en el que ”X” representa la columna en la que se encuentra e ”Y” la fila, respecto al elemento de la esquina inferior izquierda, al que le corresponde (1,1). Por ejemplo, en la matriz de la figura 1, el número de cuentas del pixel (4,5) es 6170 y es el pixel con mayor número de cuentas. El menor número de cuentas corresponde al pixel (6,9) y es 3167. En el desarrollo matemático uso la notación (i,j) en lugar de (X,Y), pero el significado es el mismo. Ası́ que en cualquier editor de imágenes CCD, cuando se mueve el puntero del ratón por encima de una imagen suele aparecer en algún lado X = 4, Y = 5, Value = 6170. ¿Entonces, porqué vemos la imagen como una escala de grises y no como un montón de números? Si se observa la figura 1 y se busca el pixel con el máximo número de cuentas, cuesta un poco encontrarlo. Además, hay que dedicar algún tiempo para asegurarse que hemos encontrado el correcto. Entonces hacemos un truco. En lugar de mostrar cada pixel como un número, le asignamos diferentes tonos de gris de acuerdo a su valor. Al número más alto le damos color blanco, y al más bajo, negro. Como el ordenador no puede reproducir en pantalla infinitos tonos de gris, es necesario representarlo por intervalos. Por ejemplo, si el editor de imágenes solo muestra 64 tonos diferentes de gris y el rango de cuentas en nuestra imagen es 6170-3167 = 3003, cada tono representa un rango de 3003/64 = 46.92 cuentas, es decir, 47 para redondear. Esto quiere decir, que todos aquellos pı́xeles con cuentas comprendidas entre 3167 y 3213 se representarán con el color negro, aquellos con cuentas entre 3214 y 3260 con un tono un poco más claro, y ası́ sucesivamente hasta llegar a los 6170. El resultado aparece en la figura 2. Como se puede ver, es mucho más fácil apreciar detalles a un primer golpe de vista. Ası́, que nosotros vemos la matriz como una imagen y el ordenador como una matriz de números. Nosotros nos desenvolvemos mejor con las imágenes, el ordenador con los números, ¡¡Perfecta combinación!! Cuando se quiere obtener una imagen CCD de un astro la información viene enmascarada por varios defectos intrı́nsecos a la electrónica del dispositivo que se añaden a los debidos a la transmisión de la información a través del espacio, de la atmósfera y del telescopio. Las técnicas que se describen aquı́ tienen por objetivo minimizar el efecto de la electrónica. Para ello, junto a la imagen del astro propiamente dicha (”imagen objeto” de aquı́ en adelante) se suelen obtener un conjunto de imágenes que permitirán corregir esos efectos. Estas imágenes son las siguientes: Imagen BIAS o de OFFSET Imagen obtenida con la cámara CCD completamente a oscuras, con el 2 PRIMERA EXPERIENCIA 3 obturador cerrado o sencillamente con el telescopio tapado con su tapa del objetivo, y con tiempo de exposición cero o tiempo de exposición mı́nimo posible (0.001 seg). Corrige el efecto de la corriente de polarización, que consiste en un nivel mı́nimo de cuentas añadido intencionadamente por la electrónica de la cámara durante el proceso de lectura para evitar que el ruido de lectura produzca cuentas negativas en las zonas de baja intensidad. En la cámara CCD Starlight Xpress MX916 de la A.A.G.C. es del orden de 2881 cuentas. Se suelen obtener 4 o 5 imágenes Bias por noche de observación. Imagen DARK o toma oscura Esta imagen se obtiene también con la cámara CCD a oscuras pero con tiempo de exposición del orden del tiempo de las imágenes objeto. Corrigen el efecto de la corriente de oscuridad, lecturas espúreas debidas a agitaciones térmicas de los electrones que hace que cierto número de ellos llegue a los electrodos del chip sin haber sido excitados por la llegada de un fotón. El número de imágenes obtenidas por noche de observación depende de cada observador. Entre aficionados se acostumbra a obtener un mı́nimo de dos imágenes Dark por cada imagen objeto. Imagen Flat-Field o tomas planas Imágenes idealmente obtenidas de una fuente brillante y extensa de modo que llegue la misma intensidad a cada pixel del chip y que a ser posible tenga un perfil espectral idéntico al del astro observado. En la práctica se suele obtener de zonas brillantes del cielo durante el crepúsculo o bien de una pantalla dentro del observatorio iluminada por luz artificial. El gran inconveniente es que ninguno da un perfil espectral ni remotamente parecido al tı́pico de los astros. En el apartado 4.3 de [1] se hace un interesante análisis de esto. En el apartado 3 se dan algunos consejillos para obtener este tipo de imágenes. El número de imágenes Flat-Field debe ser grande, de hecho tantos como se pueda, unas 15 o 20. En el capı́tulo 4 de [1] se puede encontrar más información de los efectos de la electrónica de las cámaras CCD. En ocasiones se suelen obtener también varias imágenes seguidas del astro para reducir la relación Señal/Ruido. Esto también depende de las necesidades del observador y de las caracterı́sticas del astro y su entorno. 2. Primera experiencia Vamos a comenzar nuestra introducción al mundo del tratamiento de imágenes CCD con el ejemplo más simple. Supongamos que hemos obtenido 5 imágenes con el mismo tiempo de exposición y en el siguiente orden cronológico: dos imágenes Dark (ver figura 3), una imagen de un objeto, y otros dos Dark. Lo hemos hecho ası́ porque la corriente de oscuridad, que vamos a corregir con los Dark, es bastante sensible a la temperatura. Si la temperatura cambia entre las tomas de los ”Dark” y la toma de la imagen ”objeto”, tener dos Dark antes y dos después hará que el promedio se aproxime al de la imagen objeto. Yo creo que es exagerar un poco, sobre todo si lo que se pretende es practicar y no se le va a dar importancia a las correcciones de Flat-Field. Esto estará bien cuando el tiempo de exposición sea más bien largo y se pretenda afinar al máximo. Aunque bueno, ahora nos va a servir para ilustrar el primer ejemplo. Las imágenes Dark se obtienen haciendo una toma pero sin que llegue luz al chip de la CCD. Esto se consigue o bien cerrando el obturador (shutter) o bien tapando el telescopio. Lo primero que hay que hacer es promediar las imágenes Dark. Todos los editores de imágenes permiten esta operación aunque en el caso del Astroart hay que hacerlo un tanto artesanalmente. Busca la opción ”sumar imágenes” y suma los cuatro Dark. Luego divı́delos por 4. Con el Astroart esto se hace en ”Arithmetic/Coefficient/Divide”. Ahora resta a la imagen objeto el resultado de las operaciones. Y ya está. Ası́ finaliza la primera experiencia. En la figura 4 se muestra un ejemplo de esta corrección. En (a) aparece la imagen en bruto, tal como se obtiene de la cámara CCD. Las dos flechas señalan dos puntos calientes, espero que se pueda ver bien (En el editor de imágenes se veı́a mucho más claro). Lo que sı́ se aprecia con claridad es que el fondo de cielo en la parte alta de la imagen es más clara que la parte baja. En (b) se muestra la imagen Dark media de tres imágenes Dark que se obtuvieron tras la imagen objeto. En (c) se puede ver el resultado de sustraer esta imagen a la ”objeto”. Los puntos calientes han 3 SEGUNDA EXPERIENCIA 4 Figura 3: Aspecto tı́pico de una imagen Dark desaparecido y ahora el fondo de cielo aparece más homogéneo. La imagen tiene bastante mejor aspecto ahora. Si aún después de sustraer el Dark sigue apareciendo un ”pixel caliente” que ni siquiera se ha atenuado en absoluto, entonces no se trata de un pixel caliente, sino de un rayo cósmico. Éstos dejan en ocasiones un trazo en lugar de un punto y no hay forma de eliminarlo como no sea manualmente. Si solo se pretende obtener una imagen bonita y nos aparece un rayo cósmico, podemos eliminarla editando los pixeles de la imagen y borrando el rayo ”artesanalmente”, pero si se pretende sacar datos, mejor dejarlo quieto. Si el rayo cósmico se encuentra justo en la estrella que nos interesa, mejor sacar otra imagen (sentido común). 3. Segunda experiencia Supongamos ahora que tenemos las mismas imágenes que en el ejemplo anterior, es decir 4 Darks y una imagen ”objeto” pero hemos esperado hasta el amanecer para corregirla también de Flat-Field. Los Flat-Field (”imágenes planas”) son imágenes que se obtienen apuntando el telescopio a una fuente de luz brillante y homogénea como por ejemplo el mismo cielo a la hora del amanecer o del anochecer. También se suele usar una pantalla iluminada por luz artificial. Cada una tiene sus ventajas e inconvenientes, y entre estos últimos destaca que ninguno reproduce adecuadamente el auténtico brillo del cielo nocturno (ver el apartado 4.3 de [1]). De todas formas, la principal utilidad de estas imágenes radica en corregir el efecto producido por la diferente sensibilidad a la luz de cada pixel y el de posibles motas de polvo que se encuentren cerca del foco del telescopio. Lo cierto es que las imágenes Flat-Field dan bastante trabajo y los resultados no se aprecian siempre a primera vista. Las imágenes Flat-Field son necesarias cuando se pretende sacar información fina de nuestras imágenes. En la figura 5 se muestra una imagen Flat-Field de crepúsculo tı́pica en bruto, tal como se obtiene de la cámara. Aparecen estrellas, pero eso no debe agobiar al observador porque es casi inevitable que aparezca alguna. El truco está en sacar el mayor número de imágenes Flat-Field posible y procurando que una misma estrella no aparezca sobre los mismos pı́xeles en dos imágenes diferentes, es decir, conviene mover un poco el telescopio antes de sacar una nueva imagen. Otro asunto importante es que el número de cuentas del cielo ronde en torno a la mitad del rango dinámico de la cámara, normalmente unas 30000 cuentas. Para conseguirlo hay que jugar con el tiempo de exposición, cuanto más brillante es el cielo, menor tiempo de exposición. 3 SEGUNDA EXPERIENCIA Figura 4: Antes y Después de una sustracción de Dark 5 3 SEGUNDA EXPERIENCIA 6 Figura 5: Aspecto tı́pico de una imagen Flat-Field bruta Ası́ que, con tanta cosa que controlar, el proceso de obtener un buen número de imágenes ”Flat-Field” puede resultar bastante estresante para observadores con poca experiencia. Por tanto, si el observador está solo en ese momento, mejor. Si en algún momento te quedas bloqueado y no sabes que tiempo de exposición darle a la siguiente imagen o si ya moviste el telescopio o no, lo mejor es sacar la imagen. En lo que se tarda en descargar en el ordenador tendrás tiempo de serenarte un poco, y si sale mal la desechas y pruebas suerte otra vez. El procedimiento es el siguiente, la primera imagen la sacas a estima, es decir con un tiempo de exposición que te de un número de cuentas en la imagen en torno a 30000 cuentas, eso quiere decir que vale entre 15000 y 45000 cuentas (experiencia y sentido común). Mueve el telescopio un poco (1 a 10 minutos de arco) y ve pensando que tiempo de exposición vas a dar a continuación (experiencia y sentido común). Saca una detrás de otra continuamente y no te cortes. Un número orientativo es obtener unas 15 imágenes. Si en alguna salen muchas estrellas, podrás desecharla sin mucho cargo de conciencia. El hecho de haber sacado varias imágenes con diferente tiempo de exposición nos condena a un proceso algo más elaborado, pues no podemos promediar imágenes a la buena de dios. En ese caso es necesario obtener otro tipo de imagen, la imagen ”Bias” (también conocida como ”offset”). Consiste en sacar una imagen sin que entre luz en la cámara (obturador cerrado o tapa de telescopio al canto) y con el mı́nimo tiempo de exposición posible, idealmente 0 seg, pero en la práctica, en torno a 0.001 seg. Es decir, es como sacar un Dark, pero con tiempo de exposición nulo. De estas conviene sacar 4 o 5 que promediamos. Con esta imagen puede ocurrir dos cosas: Imagen Bias con estructura Se dice que una imagen Bias tiene estructura cuando presenta zonas claramente más brillantes que otras (figura 6). Por lo demás, el aspecto de una imagen Bias es muy parecida a un Dark. La cámara CCD de la Agrupación Astronómica de Gran Canaria, una ”Starlight Xpress MX916”, produce Bias con estructura. En ese caso se resta la imagen Bias promediada a cada imagen que se quiera corregir de Bias. En este ejemplo la restaremos a todas las imágenes Flat-Field que sacamos. Como referencia se puede decir que una imagen presenta estructura si su rango (Máximo número de cuentas - Minimo número de cuentas) es mayor de 200 cuentas, o su desviación estándar mayor de 10. Imagen Bias sin estructura Si la imagen de Bias promediada no presenta estructura evidente, es decir, su rango es pequeño, se puede tomar como Bias la mediana o media de la imagen Bias promediado entre todos sus pı́xeles. Otra técnica se basa en la zona de ”Overscan”. Todas las cámaras CCD tienen varias columnas que están protegidas de la luz de modo que nunca se ven expuestas y equivalen a un Dark. Estas columnas se llaman zona de ”overscan”. Una o dos columnas de esta zona se suelen ver afectadas por luz difusa de modo que les llega algo de luz y no sirve 3 SEGUNDA EXPERIENCIA 7 Figura 6: Imagen Bias con estructura como overscan. En concreto, en la ”Starlight Xpress MX916” de la A.A.G.C. la zona de ”overscan” está formada por cuatro columnas (en modo Binning 1 × 1) y una de ellas recibe mucha luz difusa ası́ que solo sirven como ”overscan” las columnas 750 a la 752. En la imagen de las figuras 5 y 7 se aprecia claramente como una banda negra que recorre la imagen de arriba a abajo en la parte derecha. Eso explica por que el número mı́nimo de cuentas de una imagen siempre ronda el mismo valor aunque la imagen esté completamente saturada. Con un editor de imágenes hay dos formas de delatar la existencia de la zona de overscan. La primera consiste en mover el contraste del editor hasta que la imagen aparezca ”quemada”, entonces en uno de los extremos aparecerán varias columnas que aún aparecerán oscuras. Esa es la zona de overscan. El segundo modo es mirar en la estadı́stica de imágenes con bastante tiempo de exposición cuál es el pixel con mı́nimo número de cuentas. Siempre indicará un pixel cercano a uno de los extremos, correpondiente a la zona de overscan. Pues bien, la técnica consiste en olvidarse de las imágenes Bias y usar la mediana de la zona de overscan para corregirla. Pero para ello, es importante que la imagen de Bias no tenga estructura. Sin embargo, ninguno de los editores con los que he trabajado en entorno windows 98 permite trabajar con la zona de overscan. En el tutorial del IRIS [4], usan para la corrección del Bias el valor del fondo (”Background”) de la imagen de Bias. El siguiente paso consiste en producir la imagen de Flat-Field promediada y normalizada usando las imágenes de Flat-Field brutas. 1. Corregimos todas las imágenes Flat-Field brutas de Bias según alguno de los procedimientos explicados arriba. 2. Corregimos la imagen Dark promediada (ver apartado anterior) de Bias. 3. Se multiplican todas las imágenes brutas por td /tfn , es decir, la razón entre el tiempo de exposición de la imagen Dark ”td ” y el tiempo de exposición de la imagen Flat-Field bruta correspondiente ”tfn ”. Los editores de imágenes IRIS y Astroart tienen una función de optimización que equivale a esta operación que tiene en cuenta a la vez tanto las diferencias de tiempo de exposición como de temperatura de la cámara. Elegir un método u otro queda al libre albedrı́o del observador. El inconveniente es que se hace uso de una ”caja negra” que no se sabe que hace realmente y puede dar la sensación al usuario de pérdida de control. Todo es cuestión de probar. 4. Se resta a cada Flat-Field la imagen Dark corregida. 5. Se obtiene la imagen promedio de todas las imágenes Flat-Field 4 BASE MATEMÁTICA 8 Figura 7: Imagen Flat-Field promediada y normalizada 6. Se obtiene el valor medio , F̄ , de las cuentas de todos los pı́xeles de la imagen de Flat-Field promediada. 7. Se divide la imagen Flat-Field promediada por F̄ y de este modo se obtiene la imagen Flat-Field promediada y normalizada. Ahora, lo que queda por hacer es dividir la imagen ”objeto” que obtuvimos en el apartado anterior, es decir, la imagen ya corregida de Dark, por la imagen Flat-Field normalizada. De este modo hemos obtenido la imagen ”objeto” corregida. En este ejemplo tenı́amos una sola imagen ”objeto” junto con varios Dark que sacamos expresamente para ella, es decir, imágenes objeto y Darks tenı́an el mismo tiempo de exposición. Por eso pudimos restar la imagen Dark promediada a la imagen ”objeto” sin miramientos. Pero este no es el caso general. No siempre vamos a tener imágenes Dark con el mismo tiempo de exposición que la imagen ”objeto”. En ese caso hay que tratar a ésta como se hizo con las imágenes Flat-Field, es decir, restar primero el Bias y luego corregir de Dark. El desarrollo matemático del apartado siguiente trata el caso más general a la vez que da cuenta de lo que está ocurriendo realmente en cada pixel cada vez que se hace una de las operaciones que se han explicado en esta sección y esto puede permitir una visión más clara de por qué es necesario cada paso y por qué en ese orden. Si tienes inquietud por comprender esto te invito a abordar el siguiente apartado, pero antes pásate un dı́a en la playa, porque puede ser algo duro. Ánimo y adelante con ello. Ya me contarás. 4. Base matemática Para conseguir que el procesado de imágenes no se limite simplemente a seguir unas recetas a ciegas es necesario tener clara la base matemática de todo el proceso. Esto permitirá adaptar el tratamiento a cada situación particular de observación sabiendo lo que se hace y por qué, además de permitir adaptarse a los inevitables imprevistos que surgen continuamente. Como ya expliqué antes, una imagen CCD es en realidad una matriz de números. Los editores de imágenes lo único que hacen es asignar una tonalidad de color a cada intervalo de esos valores numéricos. El tratamiento consiste en una serie de operaciones aritméticas que se realizan sobre esta matriz de números a la que llamamos imagen. Por tanto, comprender la base matemática permite un dominio más profundo del arte del tratamiento de imágenes astronómicas. 4 BASE MATEMÁTICA 9 Las siguientes ecuaciones representan el número de cuentas que por una razón u otra se generan en cada pixel de la imagen. Cada pixel viene señalado por dos números (enteros): ”i” que suele representar la columna a la que pertenece (coordenada X de la imagen) y ”j” que suele representar la fila (coordenada Y de la imagen). Cuando tomamos una imagen con una cámara CCD el número de cuentas total que obtenemos en un pixel (i,j) es resultado de la adición de varios factores. En primer lugar hay que tener en cuenta la corriente de polarización (offset). Consiste en un número de cuentas, ”B”, que añade intencionadamente la electrónica de la cámara durante el proceso de lectura con el fin de que no aparezcan cuentas negativas. Para determinar su valor se suele tomar varias imágenes con tiempo de integración mı́nimo posible (0.001 seg.). A estas imágenes se las suele llamar ”imágenes Bias”. Un segundo factor que se añade es la corriente de oscuridad (Dark Current), que es producido por electrones térmicos que se añaden inevitablemente al número de cuentas total. Cada pixel tiene una corriente de oscuridad diferente Oij y su contribución aumenta linealmente con el tiempo: Oij t. Si las cuentas producidas por la intensidad del objeto observado por unidad de tiempo es Iij , las cuentas totales captadas tras el tiempo de exposición ”t” será Iij t. Sin embargo, cada pixel tiene una respuesta diferente al número de fotones que inciden en el, esta respuesta la representaremos por el factor Pij . Por tanto, el número de cuentas producido por el objeto observado será realmente Pij Iij t. El objetivo del tratamiento es obtener el valor Iij t para cada uno de los pı́xeles de la imagen. Por último hay que añadir el efecto del ruido de lectura Rij que tiene carácter aleatorio y que en principio requiere un análisis particular pero que añadiremos a la ecuación inicial porque puede resultar interesante. El efecto final de todos estos factores es aditivo, y podemos modelizar el número de cuentas obtenido en el pixel (i,j) tras un tiempo de integración ”t” con la siguiente expresión: Zij (t) = B + Oij t + Pij Iij t + Rij Es importante resaltar que las imágenes deben haberse obtenido de tal modo que el factor Rij sea muy pequeño comparado con el resto. Esto se consigue con tiempos de exposición suficientemente largos. Para conseguir extraer el valor deseado Iij t lo normal es proveerse de tres tipos de imágenes complementarias. Una imagen Bias, figura 6 (pág. 7), que consiste en una imagen de tiempo de integración mı́nimo y que se puede modelizar: Bij = B + Rij La segunda imagen complementaria que se requiere es la imagen de corriente de oscuridad, llamada imagen ”Dark”, figura 3 (pág. 4), que se obtiene ejecutando una exposición de tiempo td con la cámara completamente a oscuras. De este modo la cámara solo se carga con los electrones producidos por la corriente de polarización (Offset o bias) y la corriente de oscuridad. Lo podemos modelizar: Dij (td ) = B + Oij td + Rij Y por último, la que permitirá determinar la diferencia de sensibilidad entre los pı́xeles, la imagen ”FlatField”, figura 5 (pág. 6), con tiempo de exposición tf . Estas imágenes se obtienen tomando una imagen de una fuente de luz homogénea que produzca una intensidad E (igual para cada pixel). Suele tomarse con imágenes del cielo (Flat-Field de cielo) durante el crepúsculo o de alguna superficie lisa iluminada artificialmente dentro del propio observatorio (Flat-Field de cúpula). Fij (tf ) = B + Oij tf + Pij E tf + Rij He añadido las primas a los factores correspondientes al ruido para hacer énfasis en que son siempre diferentes, incluso dentro del mismo tipo de imagen, ya que tiene carácter aleatorio. En resumen, el conjunto de ecuaciones con los que partimos para modelizar el tratamiento de las imágenes es el siguiente: Zij (t) Bij Dij (td ) Fij (tf ) = = = = B + Oij t + Pij Iij t + Rij B + Rij B + Oij td + Rij B + Oij tf + Pij E tf + Rij (1) Lo habitual en el mundo de la astronomı́a CCD es obtener varias imágenes de cada tipo para reducir el ruido de lectura Rij al mı́nimo valor posible. Como lidiar con ellas lo veremos en el siguiente apartado. 4 BASE MATEMÁTICA 4.1. 10 Obtención de la imagen BIAS No siempre es necesario seguir todos y cada uno de los pasos que se describen en este apartado. El observador debe saber que necesidades concretas tiene y que pasos de los descritos aquı́ se puede saltar. Si el único objetivo buscado es obtener una estimación más o menos buena de la posición o magnitud de un astro no es necesario obtener un conjunto de imágenes Flat-Field, o Bias ya que como se explicó en el segundo apartado basta con tomar varias imágenes Dark con el mismo tiempo de exposición. Sin embargo, si se desea obtener el mejor resultado posible de una imagen, entonces conviene seguir cada paso con mucho celo, o como se suele decir, despacito y con buena letra. Este es el procedimiento que voy a contar aquı́. Se supone que el astrónomo se ha molestado en obtener varias imágenes del objeto que 1 2 n 1 2 n (t), Zij (t), . . . , Zij (t), varias imágenes Dark, Dij (td ), Dij (td ), . . . , Dij (td ), obtenidas quiere estudiar, Zij 1 2 n antes y después de las imágenes objeto, varias imágenes Bias Bij , Bij , ..., Bij , y un montón de imágenes de Flat-Field con diferentes tiempos de exposición Fij1 (tf1 ), Fij2 (tf2 ), . . . , Fijn (tfn ). El número de cada tipo de imágenes no tiene por qué coincidir. El motivo por el que conviene tomar varias imágenes es sencillamente que al operar las imágenes objeto con las restantes, el ruido se incrementa, y lo que se pretende conseguir es reducir este ruido al mı́nimo posible antes de operar con las imágenes objeto. En primer lugar obtendremos la mediana o media aritmética de las imágenes Bias, de modo que el valor de cada pixel sea un promedio de las cuentas de un mismo pixel en cada una de las imágenes Bias. Matemáticamente: 1 2 n , Bij , . . . , Bij ) Bij = median(Bij (2) 1 2 n Bij = median(B + Rij , B + Rij , . . . , B + Rij )= 1 2 n Bij = B + median(Rij , Rij , . . . , Rij ) (3) El sı́mbolo ”” en (2) indica la operación que efectuamos con la imagen en cualquier programa de tratamiento de imágenes astronómicas y que seguiré empleando con el mismo significado de aquı́ en adelante. El resto de las ecuaciones muestran el efecto que tienen estas operaciones en los diferentes factores de la 1 2 n imagen. Puesto que los factores Rij , Rij , . . . , Rij son números aleatorios (siempre positivos) la mediana produce el efecto de reducir la dispersion alrededor de B. En la figura 8 (pág. 11) se muestra como se comporta este procedimiento con las cuentas obtenidas en una columna de cuatro imágenes ”Dark”. En (a) y (b) aparecen las cuentas de una sola columna de dos de las imágenes originales. El pico de intensidad en torno a la fila 65 se debe a un ”punto caliente” en la imagen. Éstos son un defecto de la cámara que se corrigen con las imágenes Dark tal como se explicará en el apartado siguiente. En (c) se muestra el resultado de aplicar la mediana. Se aprecia una notable reducción del ruido. Con la imagen de una estrella ocurrirı́a lo mismo, de modo que su relación señal/ruido se verı́a incrementada, aumentando la calidad de la imagen. El efecto es el mismo al aplicar la mediana a varias imágenes ”Bias”. A la imagen que resulta de este proceso es a la que llamaremos Bias de aquı́ en adelante. Es de notar de la gráfica del Dark en la figura 8, que está ligeramente inclinada, por término medio hay más cuentas en el lado derecho que en el izquierdo. Esto puede ser debido al obturador electrónico de la cámara CCD que seguramente es de tipo transferencia de matriz. 4.2. Obtención de la imagen DARK n El siguiente paso consiste en eliminar el Bias en las imágenes Dark Dij (td ). Normalmente, las imágenes Dark se suelen obtener todas con el mismo tiempo de exposición. Si no es ası́ es necesario expresarlas con el mismo tiempo siguiendo los pasos que se explicarán con las imágenes de Flat-Field en el apartado 4 BASE MATEMÁTICA Figura 8: Reducción del ruido de una imagen CCD usando la mediana de dos imágenes. 11 4 BASE MATEMÁTICA 12 4.3. Partimos de un conjunto de imágenes: 1 (td ) Dij 2 Dij (td ) .. . n (td ) Dij 1 = Bij + Oij td + Rij 2 = Bij + Oij td + Rij .. .. . . n = Bij + Oij td + Rij (4) Obtenemos la imagen Dij (td ) a partir de la mediana de las anteriores del mismo modo que se hizo para las imágenes Bias. Queda: Dij (td ) = Bij + Oij td + Rij (5) Le restamos el Bias, b Dij (td ) = Dij (td ) − Bij (6) Obtenemos: b Dij (td ) = Oij td + Rij (7) Rij habrá cambiado de valor (incrementándose) pero lo seguiremos llamando igual para no saturar la nomenclatura. 4.3. Obtención de la imagen FLAT-FIELD A continuación le toca el turno a los Flat-Field. Como en los casos anteriores, seguramente se tiene una colección de ellas: Fij1 (tf1 ) Fij2 (tf2 ) .. . Fijn (tfn ) 1 = Bij + Oij tf1 + Pij E1 tf1 + Rij 2 = Bij + Oij tf2 + Pij E2 tf2 + Rij .. .. . . n = Bij + Oij tfn + Pij En tfn + Rij (8) Al contrario que las imágenes Dark, las imágenes Flat-Field rara vez aparecen con los mismos tiempos de exposición, al menos los Flat-Field de cielo, ası́ que supondremos que una imagen k tendrá su tiempo de exposición tfk . Esta es la única razón por la que es necesario tomar imágenes de Bias. Si todas las imágenes son tomadas con los mismos tiempos de exposición, no es necesario tomar dichas imágenes puesto que el Bias es eliminado junto con el Dark. Por otro lado, como el brillo de cielo varı́a con rapidez durante el crepúsculo, cada toma ”k” tendrá un brillo de cielo diferente, Ek . Ası́ que, eliminamos primero que nada el Bias de cada una de las ecuaciones anteriores (corrección de Bias), Fijbk (tfk ) = Fijk (tfn ) − Bij k = {1, . . . , n} (9) cuyo efecto es: Fijb1 (tf1 ) Fijb2 (tf2 ) .. . Fijbn (tfn ) 1 = Oij tf1 + Pij E1 tf1 + Rij 2 = Oij tf2 + Pij E2 tf2 + Rij .. .. . . n = Oij tfn + Pij En tfn + Rij (10) Ahora igualamos los tiempos de cada imagen con la operación: Fijbk (td ) = Fijbk (tfk ) × td /tfk , k = {1, . . . , n} (11) 4 BASE MATEMÁTICA 13 Al multiplicar por td estamos preparando las imágenes de Flat-Field para operarlas con la imagen Dark. Después de operar con todas las imágenes nos quedará: 1 = Oij td + Pij E1 td + Rij × td /tfn 2 = Oij td + Pij E2 td + Rij × td /tfn .. .. . . n = Oij td + Pij En td + Rij × td /tfn Fijb1 (td ) Fijb2 (td ) .. . Fijbn (td ) (12) Esta operación es la que obliga a sustraer el Bias antes que el Dark. Puede ser interesante que el lector compruebe lo que ocurrirı́a si no se eliminara el Bias antes de hacer el producto Fijbk (tfk ) × td /tfk . El siguiente paso es sustraer el Dark a cada imagen Fijbk k = {1, . . . , n}: b (td ) Fijdk (td ) = Fijbk (td ) − Dij , k = {1, . . . , n} (13) k Fijdk (td ) = Oij td + Pij Ek td + Rij × td /tfk − Oij td + Rij = Fijdk (td ) k = Pij Ek td + Rij × td /tfk − Rij (14) Como ya dije antes, el tratamiento del ruido requiere un análisis aparte, ya que no se suma y resta de forma convencional. Lo mantengo dentro de las ecuaciones para no olvidar su presencia y porque más ade n lante servirá para sacar un par de conclusiones. Por ahora valga decir que el factor Rij × td /tfn − Rij sigue siendo un ruido aleatorio indeterminado pero presumiblemente pequeño. Por ello lo representarek mos de nuevo como Rij para no saturar el texto de comillas innecesarias. El resultado se puede expresar de la siguiente forma: 1 Fijd1 (td ) = Pij E1 td + Rij 2 Fijd2 (td ) = Pij E2 td + Rij .. .. .. . . . dn n Fij (td ) = Pij En td + Rij (15) El objetivo de todo este procedimiento es obtener una sola imagen Flat-Field con la que poder homogeneizar la imagen del objeto que queremos estudiar. El único escollo que nos queda es que en cada una de las imágenes anteriores la intensidad En del cielo es diferente. Para igualarlo los normalizamos al valor medio, de la siguiente forma: 1 dk Fij (td ) n n Fij (td ) = (16) k=1 Fij (td ) = 1 1 1 k k Pij Ek td + Rij = Pij td Ek + Rij n n n n n n k=1 k=1 k=1 Fij (td ) = Pij E td + Rij (17) n n k k , es decir, el promedio de los Ek y los Rij de entre todas las donde E = n1 k=1 Ek y Rij = n1 k=1 Rij imágenes. Ahora es necesario calcular el número de cuentas normalizado de las imágenes de Flat-Field. La operación es la siguiente: F̄ = 1 Fij (td ) Np ij (18) 4 BASE MATEMÁTICA 14 Donde Np es el número total de pı́xeles en la imagen y el sumatorio afecta a todos ellos. El sumatorio ij ya no representa la suma de varias imágenes, sino la suma de todos los pı́xeles de una imagen, la imagen de Flat-Field Fij (td ) obtenida en las operaciones anteriores. Como se ve, se pretende obtener un valor promedio de las cuentas de Flat-Field. El efecto de esta operación es el siguiente: 1 1 1 E td 1 Pij E td + Rij = F̄ = (Pij E td ) + Rij = Pij + R Np ij Np ij Np ij Np ij Np ij ij F̄ = P̄ E td + R̄ (19) donde P̄ = N1p ij Pij y R̄ = N1p ij Rij , es decir, el promedio de Pij y Rij de entre todos los pı́xeles de la imagen Fij (td ). Por último, se obtiene la imagen normalizada de Flat-Field: Fijn = Fij (td ) F̄ (20) Cuyo efecto es: Fijn = Pij E td + Rij Rij Rij Pij E td Pij E td = + = + F̄ F̄ F̄ P̄ E td + R̄ F̄ Aquı́ es donde querı́a llegar yo con el ruido. Como se ve en el primer término de la última igualdad, el valor medio del ruido impide que se puedan simplificar E y td (que es el objetivo de la normalización). Si la cámara CCD es buena, es de esperar que los valores de P̄ y R̄ sean pequeños. Si hacemos que el producto E td sea suficientemente grande, tomando una imagen Flat-Field con largo tiempo de exposición y a una fuente ”E” intensa, la contribución de R̄ a la suma P̄ E td + R̄ será insignificante y puede ser despreciable. Matemáticamente: P̄ E td R̄ ⇒ P̄ E td + R̄ P̄ E td Normalmente se suele elegir el tiempo de exposición de las imágenes de Flat-Field de modo que produzcan un número de cuentas en torno a la mitad del rango dinámico de la cámara CCD. La razón es esta, producir una relación E td suficientemente grande, pero sin llegar a la zona de respuesta no lineal de la cámara. Por tanto, a efectos prácticos: Fijn Rij Rij Rij Pij E td Pij Pij E td = + = + + P̄ E td + R̄ F̄ P̄ E td F̄ P̄ F̄ R P Otra ventaja de esto es que la razón F̄ij también se vuelve despreciable frente a P̄ij puesto que Rij es una cantidad que ha sido continuamente atenuada y F̄ es una cantidad grande. Por tanto, podemos tomar: Fijn 4.4. Pij P̄ (21) Tratamiento de las imágenes objeto Finalmente hemos obtenido nuestras tres imágenes necesarias para corregir la imagen objeto, a saber: Bias : B b Dark : Dij (td ) = Oij td (22) P F lat − F ield normalizado : Fijn = P̄ij y con ellas vamos a tratar las imágenes objeto Zij (t) = B + Oij t + Pij Iij t (23) 4 BASE MATEMÁTICA 15 con el fin de obtener el factor Iij t que es el que tiene valor cientı́fico. Se ha eliminado el término del ruido porque ya no va a añadir novedad alguna. Si los tiempos de exposición de la imagen objeto y los Dark son iguales, es decir, si t = td , se podrı́a corregir (23) de Bias y Dark a la vez usando Dij (td ) de (5). De hecho, una práctica muy común entre los astrónomos aficionados es tomar dos o tres imágenes antes de tomar la del objeto y otras dos o tres después, todas con el mismo tiempo de exposición para luego promediar los Dark y corregir la imagen del objeto con ellas. Esto se debe a que las cámaras que usan los astrónomos aficionados tienen una refrigeración eléctrica que baja la temperatura del chip respecto a la temperatura ambiente. Si la temperatura ambiente cambia a lo largo de la noche, también puede cambiar la corriente de oscuridad. Pero considero que esa es una medida un poco drástica, quizás baste con sacar un Dark cada cierto tiempo (quizás cada media hora) a lo largo de toda la noche. Esto puede ser tema de estudio. Las cámaras CCD de los observatorios profesionales son refrigeradas a una temperatura constante, por eso basta con tomar unas cuantas tomas Dark que valen para toda la noche. Entonces, si td = t, podemos proceder ası́: d Zij (t) = Zij (t) − Dij (t) (td = t) (24) Tomando para Dij (t) el valor obtenido en la ecuación (5): d Zij (t) = B + Oij t + Pij Iij t − (B + Oij t) d (t) = Pij Iij t Zij (25) Por otro lado, si td = t, entonces será necesario restar primero el Bias de (22): b Zij (t) = Zij (t) − B (td = t) b (t) = Oij t + Pij Iij t Zij (26) (27) Igualamos los tiempos con la operación: b b (t) = Dij (td ) × t/td Dij (28) con lo cual ya tendremos la imagen Dark con tiempo igual al de la imagen ”objeto” como en la ecuación (24). Corregimos con ella la imagen ”objeto” de la corriente de oscuridad: d b b (t) = Zij (t) − Dij (t) Zij (29) con lo que d (t) = Oij t + Pij Iij t − Oij t = Zij d Zij (t) = Pij Iij t (30) Bueno, ha habido un progreso notable. Ya solo nos separa del objetivo final el término Pij . Para superarlo se divide por la imagen Flat-Field normalizada, Fijn , de (22): c (t) = Zij c Zij (t) = d (t) Zij n Fij (31) Pij Iij t Pij /P̄ Y simplificando Pij obtenemos finalmente ¡Por fin!: c Zij (t) = P̄ Iij t (32) Lo cierto es que no se ha obtenido precisamente lo deseable, es decir, Iij t, sino esta cantidad multiplicada por un factor constante P̄ . Conviene tener esto en cuenta cuando se quiera hacer fotometrı́a, por ejemplo. 5 AGRADECIMIENTOS 5. 16 Agradecimientos Estoy especialmente agradecido a la Agrupación Astronómica de Gran Canaria (A.A.G.C.) por permitirme el uso del equipo de observación del observatorio de La Avejerilla y de la bibliografı́a. También quiero agradecer los consejos del Dr. Ignacio Martı́nez Pais del Instituto de Astrofı́sica de Canarias (I.A.C.) y su visión profesional del tratamiento de imágenes. Me siento en deuda con internet, gracias a aquellas personas que me han permitido obtener documentos y programas de mucho valor para mı́ (un ejemplo es la bibliografı́a [2]). Por ello, considero que este documento es mi grano de arena a la mejor parte de internet. Espero que no sea la última. Referencias [1] David Galadı́-Enrı́quez, Ignasi Ribas Canudas, Manual Práctico de Astronomı́a con CCD, Ediciones Omega, 1998 [2] W. Romanishin, An Introduction to Astronomical Photometry Using CCDs, University of Oklahoma, 2002. [3] Introducción al IRAF, Manual de prácticas de Astrofı́sica de la Universidad de La Laguna, U.L.L. [4] Deep-Sky Preprocessing Tutorial, Tutorial del Editor de imágenes astronómicas IRIS. [5] Jorge Casares Velázquez Seminario: Reducción de imágenes CCD, Facultad de Ciencias Fı́sicas, Universidad de La Laguna.
