Semejanza de Triángulos

Semejanza de Triángulos:
El concepto de semejanza corresponde a figuras de igual forma, pero no
necesariamente de igual tamaño.
Ejemplo: Se obtienen triángulos semejantes al:
i) Al trazar paralelas a lados del triángulo: ii) Al ampliar o reducir un triángulo:
C
C
A
A
B
B
Dos triángulos serán semejantes, si sus ángulos son iguales y sus lados
homólogos proporcionales; donde los lados homólogos son los opuestos a ángulos
iguales, indicándose la semejanza por el símbolo
C
b
α
b’ γ’
a
β
c
A
Ejemplo:
En base al
B
ABC y
c=10
a=6
37º
C
B
b=8
A’
a’
α’
c’
β’
B’
γ = γ’
a b c
= =
a' b' c'
⇔
ABC
∼
A’B’C’
A’B’C’ de la figura se tiene que:
Los ángulos son iguales, vea si son
A’
proporcionales los lados homólogos;
53º
c’ =5
lados opuestos a ángulos iguales:
a’ =3
A
53º
α = α’
β = β’
C’
γ
∼.
C’
37º
b’ =4
B’
___ = ___ = ___
Luego
ABC
A'B'C'; debiendo existir una correspondencia entre los vértices, a
los que les debe corresponder ángulos iguales.
Ejercicio:
Si
ABC
∼
RST ; luego "x" e "y" valen:
C
T
y-1
y+2
x+1
12
R
A
B
Teoremas de semejanza:
Teorema 1: Dos triángulos son semejantes si poseen dos pares de ángulos iguales;
es decir:
C
Si
C’
γ
α = α’ ∨ α = α’ ∨ γ = γ’
a
a’
b
b’ γ’
β = β’
γ = γ’
β = β’
β’
α’
β
α
B’
A’
luego
ABC ∼ A’B’C’
c’
A
c
B
16
S
x-1
(1)
Teorema 2: Dos triángulos son semejantes si poseen dos pares de lados homólogos
proporcionales e igual el ángulo comprendido entre tales lados; es decir:
C
b
α
b’ γ’
a
β
c
A
Si
a
b
=
∨
a' b'
γ = γ’
C’
γ
A’
B
α’
a’
c’
β’
B’
luego
b c
=
∨
b' c'
α = α’
ABC
∼
a c
=
a' c'
β = β’
A’B’C’
Teorema 3: Dos triángulos son semejantes si poseen sus tres lados homólogos
respectivamente proporcionales:
C
b
α
b’ γ’
a
β
c
A
Si
a b c
= =
a' b' c'
C’
γ
A’
B
α’
a’
c’
β’
luego
B’
ABC
∼
A’B’C’
Teorema 4: Dos triángulos son semejantes si poseen dos pares de lados homólogos
proporcionales e igual el ángulo opuesto al mayor de estos lados.
C
b
b’ γ’
a
β
α
c
A
Si
a
b
=
a' b'
C’
γ
A’
B
α’
a’
c’
β’
Verifique si
(a)
ABC
∼
α = α’
70º
9
30º
B A’
C
B’
40º
A
(d)
C’
4
9
12
B
A’B’C’
C’
70º
6
∼
γ = γ’
C
A
(c)
ABC
(b)
C’
A
γ = γ’
A’B’C’ en c/u de los siguientes casos:
C
80º
a c
=
a' c'
∨
(a y a’ l. mayor) (c y c’ l. mayor) (c y c’ l. mayor)
B’
luego
Ejercicio:
b c
=
b' c'
∨
A’
6
8
65º
3
12
4
A’
B
C
A
(2)
B’
C’
4
6
B’
75º
10
B
A’
5
B’
Notar que al trazar una paralela a Si DE//AC ⇒
un lado del triángulo , resulta un
C
nuevo triángulo que es semejante
E
al anterior.
A
DBE
∼
D
ABC
B
Ejemplos:
1) Si ABCD paralelogramo; x = ?
D x+3
2) En base a la figura, se tiene que x = ?
F
C
x+1
E
x
C
x-2
x+4
x+5
E
x
D
A
x+8
A
B
B
3) Si AB//DE ; luego el perímetro de la 4) Si AC//BD ; el área de la figura es:
figura es:
A
x+4
x+2
C
x+7
x+12
x-2
C
D
x+9
x+1
E
A
x-5
x-3
E
B
x-10
B
D
Teoremas:
1) Si los triángulos son semejantes, sus lados homólogos son proporcionales a
elementos lineales homólogos.
C
b
A
α
2)
b’ γ’
a
β
A’
α’
a’
c’
∼
A’B’C’ ⇒
bβ
a b c ha
t
=
= =
=
= c
a' b' c' ha' bβ ' tc'
Si
C’
γ
β’
ABC
B’
c
B
Si los triángulos son semejantes, sus áreas son entre si como el cuadrado de
dos elementos lineales homólogos.
C
b
α
A
Si
C’
γ
b’ γ’
a
c
β
B
A’
α’
a’
c’
Area
Area
β’
B’
(3)
∼
A’B’C’ ⇒
2
ABC a 2 h 2b b β t c2
=
=
=
=
A'B'C' a'2 hb'2 b 2β ' t 2c'
ABC
Ejemplos:
1) Si
ABC ∼ A’B’C’ con AD y A'D' 2) Si
ABC ∼
A’B’C’ y área
transversales; luego A'D' mide:
72cm2; el área del
A´B´C´ es:
C
D
20
15
A’
B
C’
18
D’
x
12
A
C
C’
15
B’
B A’
A
B’
ABC =
Ejercicios Propuestos:
1) Si AC//DE y BC//DA ; se tiene que el 2) Se tiene que el valor de x es:
valor de x es:
A) 3/7
C
C
x-1
A) 5
x+3
B) 7
B) 3
A
C) 4
B
E
x-3
x
C) 9
A
E) 13
E) Otro valor
3) Si AB diámetro; el valor de x es:
4) Si
ABC
∼
RST ; luego h = ?
T
x+1
D
B) 3
A
D) 6
C
A) 2
x
C) 4
B
C) 4
h
8
B) 3
x+2
B
x-6
D
C
A) 1
A
R
S
9
12
B
D) 6
E) 8
E) 9
5) Si
ABC
∼
ABC = 6) Se puede conocer el perímetro del
A'B'C' ; el área
ABC si:
(1) AC//DE
16cm2 con CD y C'D' alturas. ¿El área
del
x-8
D) 12
D
D) 9
E x+3
x-2
A'B'C' es?
2
B) 27 cm2
C) 40 cm2
D) 100
C’
C
A) 20 cm2
A
cm2
E) Otro valor.
D
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
A’
D’
E
(2) A C : D E = 3 : 2
5
B
C
B’
4
A
D
6
8
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) 2)
E) Se requiere información adicional.
(4)
B