Matemáticas 1º ESO - ESO Bachillerato Universidad

Matemáticas
1o ESO
David J. Tarifa Garcı́a
[email protected]
1
Matemáticas - 1o ESO
2
Índice
1 Tema 1. Los números naturales
1.1 Suma de números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Operación interna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Propiedad conmutativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Propiedad asociativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Resta de números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Multiplicación de números naturales . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Propiedad conmutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Propiedad asociativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Elemento neutro o elemento identidad . . . . . . . . . .
1.3.4 Propiedad distributiva del producto respecto a la suma
1.4 División de números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Tipos de divisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Propiedades de las divisiones de números naturales . . .
1.5 Potenciación y operaciones con potencias . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Resumen de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Raı́ces Cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Tipos de raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Método de resolución de raı́ces cuadradas . . . . . . . .
1.7 Reglas de prioridad o precedencia . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Restas y divisiones no cumplen la propiedad asociativa .
1.7.2 Cambiando el orden con paréntesis . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Las raı́ces tienen el mismo efecto que los paréntesis . . .
1.7.4 Resumen de reglas de prioridad . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Múltiplos de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Propiedades de los múltiplos . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Divisores de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Propiedades de los divisores . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Criterios de divisibilidad, (2, 3, 5, 7 y 11) . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Divisibilidad por 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2 Divisibilidad por 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.3 Divisibilidad por 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.4 Divisibilidad por 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.5 Divisibilidad por 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Criterios de divisibilidad, (4, 6, 8, 9 y 10) . . . . . . . . . . . .
1.11.1 Divisibilidad por 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.2 Divisibilidad por 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.3 Divisibilidad por 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.4 Divisibilidad por 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.5 Divisibilidad por 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Números primos y números compuestos . . . . . . . . . . . . .
1.12.1 Lista de números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Descomposición factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Matemáticas - 1o ESO
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1.14 Divisores de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.15 Máximo común divisor, (máx.c.d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.16 Mı́nimo común múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Los
2.1
2.2
2.3
2.4
números enteros
Representación y orden en números enteros . . . . . .
Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notación y uso de paréntesis . . . . . . . . . . . . . .
Suma de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Suma de dos números positivos . . . . . . . . .
2.4.2 Suma de dos números negativos . . . . . . . . .
2.4.3 Suma de un número positivo con otro negativo
2.5 Propiedades de la suma de enteros . . . . . . . . . . .
2.5.1 Operación interna . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Propiedad conmutativa: a + b = b + a . . . .
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
3 Los
3.1
3.2
3.3
3.4
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2.5.3
Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.4
Elemento neutro: a + 0 = a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.5 Elemento opuesto o simétrico: a + (−a) = 0 . .
Resta de números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propiedades de la resta de enteros . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Operación interna . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Elemento neutro: a − 0 = a . . . . . . . . . . .
2.7.3 Elemento simétrico: a − a = 0 . . . . . . . . . .
Producto de números enteros . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 ¿Resta, negativo o producto? . . . . . . . . . . .
Propiedades del producto de números enteros . . . . . .
2.9.1 Operación interna . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Propiedad conmutativa, a · b = b · a . . . . . . . .
2.9.3 Propiedad asociativa, (a · b) · c = a · (b · c) . . . .
2.9.4 Elemento neutro o elemento identidad: 1 . . . .
2.9.5 Propiedad distributiva del producto respecto a la
División de números enteros . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Propiedades de las divisiones de números enteros
Potencia de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.1 Base positiva o cero . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.2 Base negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propiedades de la potencia de números enteros . . . . .
Raı́ces de números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operaciones combinadas con números enteros . . . . . .
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32
números decimales
Tipos de números decimales . . . .
Infinitud de los números decimales
Redondeo . . . . . . . . . . . . . .
Orden en los números decimales . .
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Matemáticas - 1o ESO
3.5
4
Operaciones con decimales
3.5.1 Suma y resta . . .
3.5.2 Producto . . . . .
3.5.3 División . . . . . .
3.5.4 Raı́ces cuadradas .
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4 Sistema Métrico Decimal
4.1 Mágnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Múltiplos y submúltiplos. Prefijos correspondientes .
4.2.2 Medidas complejas e incomplejas o simples . . . . .
4.2.3 Paso de medidas complejas a incomplejas . . . . . .
4.2.4 Paso de medidas incomplejas a complejas . . . . . .
4.2.5 Operaciones con cantidades complejas o incomplejas
4.3 Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Área o superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Volumen o Capacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Sistema Anglosajón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Los números racionales
5.1 Significados de un número racional . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Número racional interpretado como una división . . .
5.1.2 Número racional interpretado como partes de un total
5.1.3 Número racional interpretado como un operador . . .
5.2 Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Suma y resta de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Producto de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 División de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Equivalencia entre fracciones y números naturales o enteros .
5.7 Operaciones combinadas de números racionales . . . . . . . .
5.8 Tipos de números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Números mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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46
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49
49
50
51
6 Proporcionalidad
6.1 Magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . .
6.3 Proporcionalidad directa . . . . . . . . .
6.3.1 Reducción a la unidad . . . . . .
6.3.2 Regla de tres . . . . . . . . . . .
6.4 Proporcinalidad inversa . . . . . . . . .
6.4.1 Reducción a la unidad . . . . . .
6.4.2 Regla de tres . . . . . . . . . . .
6.5 Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Interpretaciones de un porcentaje
6.5.2 Algunos porcentajes especiales .
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Matemáticas - 1o ESO
6.5.3
5
Aumentos y disminuciones porcentuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 Álgebra
7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Expresiones algebraicas. Monomios . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Suma, resta de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Producto de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 División de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Igualdades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita . .
7.8.1 Ecuaciones del tipo x ± a = b . . . . . . . . . . . . . . .
x
7.8.2 Ecuaciones del tipo a · x = b
=b . . . . . . . . . .
a
7.8.3 Ecuaciones genéricas de primer grado con una incógnita
7.9 Método reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 Problemas y ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . .
7.10.1 Interpretación de enunciados . . . . . . . . . . . . . . .
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59
59
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61
61
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62
64
65
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8 Geometrı́a
8.1 Puntos, rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Posiciones relativas de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Bisectriz de un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Medida de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Medidas complejas e incomplejas . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3 Operaciones con ángulos: suma, resta, producto y división
8.4.4 Ángulos en paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.5 Ángulos en polı́gonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.6 Ángulos en circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.7 Simetrı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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68
68
68
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70
70
71
71
72
72
72
72
72
72
9 Gráficas cartesianas, funciones y gráficas estadı́sticas
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72
Matemáticas - 1o ESO
1
6
Tema 1. Los números naturales
Los números naturales son el conjunto de números formados por el número uno, el dos, el tres y
sucesivos.
N = {1, 2, 3, . . .}
Es un conjunto no acotado superiormente. Esto quiere decir que, aunque existe un número menor
que todos los demá s, (el 1), no existe un número mayor que el resto. La serie continua indefinidamente.
Nota: El cero, aunque se use frecuentemente como número natural, no pertenece a este conjunto.
1.1
Suma de números naturales
La suma de dos números naturales puede explicarse como la operación que realizamos cuando
contamos el resultado de reunir dos conjuntos de elementos. A cada número sumado se le llama
sumando en esta operación. El resultado recibe el nombre de suma.
a+b=c
a y b son sumandos. c es suma.
La suma de números naturales cumple las siguientes propiedades.
1.1.1
Operación interna.
La suma de dos números naturales siempre da como resultado un nuevo número natural. a+b ∈ N.
1.1.2
Propiedad conmutativa.
Nos indica que no importa el orden en que sumemos dos números naturales. El resultado será el
mismo en los dos casos. O lo que es lo mismo, que a + b = b + a.
Ejemplo: 2 + 3 = 3 + 2.
1.1.3
Propiedad asociativa
Nos indica que si tenemos tres o más sumandos, podemos sumar primero los dos primeros y después añadirle el tercero, o podemos sumar primero los dos últimos sumandos y después añadirle el
resultado al primero. O lo que es lo mismo, que (a + b) + c = a + (b + c).
Ejemplo:
(3 + 5) + 7 = 8 + 7 = 15
3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15
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Matemáticas - 1o ESO
1.2
7
Resta de números naturales
La resta de dos números naturales puede explicarse como la operación según la cual a un conjunto
de elementos le quitamos o sustraemos una cantidad dada. En esta, a la cantidad inicial se la
denomina minuendo, a la cantidad sustraı́da se le llama sustrayendo y al resultado resta.
a−b=c
a es minuendo, b es sutrayendo y c es resta.
La resta de números naturales no es una operación interna. Recordemos que una operación es
interna si el resultado de la misma siempre pertenece al mismo conjunto de partida.
Si el minuendo es menor que el sustrayendo el resultado de la resta será un número negativo,
(será un número entero, como se verá en un tema posterior).
Ejemplo: 3 − 5 = −2, que no pertenece al conjunto de los naturales. Por tanto la resta no cumple
la propiedad interna.
Tampoco cumple las propiedades conmutativa ni asociativa.
1.3
Multiplicación de números naturales
La multiplicación es la evolución de las sumas. Multiplicar es sumar varias veces una cantidad fija.
Esto se verá más claro con un ejemplo.
3 · 4 = 4 + 4 + 4 = 12. O sea, que multiplicar 3 · 4 es sumar 3 veces 4. La multiplicación cumple
además la propiedad conmutativa, por tanto multiplicar 3 · 4 es lo mismo que multiplicar 4 · 3, o lo
que es lo mismo, sumar 4 veces 3.
3 · 4 = 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
Los dos números multiplicados reciben el nombre de factores y el resultado se denomina producto.
a·b=c
a y b son factores. c es producto.
La multiplicación de números naturales cumple las siguientes propiedades:
1.3.1
Propiedad conmutativa
Ya la hemos comentado. El orden de los factores no altera el producto. a · b = b · a
1.3.2
Propiedad asociativa
Si realizamos el producto de tres o más factores, el resultado será el mismo si multiplicamos primero el primer y el segundo factor y el resultado lo multiplicamos por el tercero, que si multiplicamos primero el segundo y el tercer factor, y el resultado lo multiplicamos por el primero.
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8
(a · b) · c = a · (b · c)
Ejemplo:
1.3.3
(3 · 5) · 7 = 15 · 7 = 105
3 · (5 · 7) = 3 · 35 = 105
Elemento neutro o elemento identidad
El producto, en el conjunto de los números naturales, posee elemento neutro, el 1. El elemento
neutro es aquel que operado con cualquier elemento del conjunto considerado produce el mismo
elemento.
En nuestro caso, a · 1 = a. Por tanto, el 1 es el elemento neutro.
1.3.4
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma
El producto de una suma cumple la siguiente propiedad, conocida como la propiedad distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo: 3 · (5 + 2) = 3 · 5 + 3 · 2;
3 · (5 + 2) = 3 · 7 = 21;
3 · 5 + 3 · 2 = 15 + 6 = 21
La propiedad es bidireccional, también se cumple de derecha a izquierda en la operación que se
conoce como sacar factor común. a · b + a · c = a · (b + c)
Ejemplo: 7 · 2 + 7 · 5 = 7 · (2 + 5) = 7 · 7 = 49.
1.4
División de números naturales
La división puede verse como la operación contraria a la multiplicación.
c
12
= b. Ejemplo: 3 · 4 = 12. Por tanto,
= 4.
a
3
D
La división puede representarse por una lı́nea horizontal:
= C, mediante dos puntos: D : d = C
d
o mediante el sı́mbolo lemnisco, (÷), compuesto por un guión más dos puntos: D ÷ d = C. En esta,
”D”, (en mayúscula), es el dividendo, ”d”, (en minúscula), es el divisor y ”C” es el cociente.
Si a · b = c, entonces
1.4.1
Tipos de divisiones
Hasta ahora hemos visto divisiones sin resto, (o con resto cero). Estas divisiones son conocidas
como divisiones exactas.
Existen también las divisiones con resto diferente de cero. Son las llamadas divisiones enteras
o inexactas. Si ”R” es el resto de la división, para las divisiones enteras se cumple la siguiente
propiedad: D = d · C + R
Ejemplo de división inexacta: 23 : 5 = 4, con resto 3. Por tanto: 23 = 5 · 4 + 3
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Matemáticas - 1o ESO
1.4.2
9
Propiedades de las divisiones de números naturales
La división de números naturales no es una operación interna. Una división puede tener decimales,
y los números con decimales no pertenecen al conjunto de los números naturales.
Asimismo tampoco cumple las propiedades conmutativa ni asociativa, (no podemos cambiar dividendo por divisor ni agrupar a nuestro gusto).
La división de números naturales posee elemento neutro, el 1. a ÷ 1 = a
1.5
Potenciación y operaciones con potencias
Lo mismo que la multiplicación es la evolución de las sumas, (3 + 3 + 3 + 3 = 4 · 3), la potenciación
es la evolución de las multiplicaciones, (3 · 3 · 3 · 3 = 34 ).
Sea una potencia ab , a recibe el nombre de base y b se denomina exponente.
Para calcular la potencia es cuestión de multiplicar la base por si misma tantas veces como indique
el exponente. Ejemplo: 23 = 2 · 2 · 2 = 8.
Si el exponente es 1, la potencia es la misma base. a1 = a . Ejemplo: 51 = 5.
En cambio, si el exponente es 0, el resultado de la potencia siempre es uno. a0 = 1 . Ejemplo:
70 = 1.
El producto de dos potencias con la misma base tiene como resultado dicha base elevada a la suma
de los exponentes.
am · an = am+n
Ejemplo: 23 · 22 = 23+2 = 25
Similarmente, la división de dos potencias con la misma base tiene como resultado dicha base elevada a la diferencia de los exponentes.
am ÷ an = am−n
Ejemplo: 23 : 22 = 23−2 = 21 = 2.
La potencia de una potencia es la base elevada al producto de los exponentes.
(am )n = am·n
Ejemplo: 32
3
= 32·3 = 36
El producto y división de dos potencias con el mismo exponente pueden agruparse según las siguientes 2 fórmulas:
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10
an · bn = (a · b)n
Ejemplo: 23 · 33 = (2 · 3)3 = 63
an : bn = (a : b)n
Ejemplo: 152 : 52 = (15 : 5)2 = 32
1.5.1
Resumen de potencias
b veces
}|
{
z
ab = a · a · . . . · a
am · an = am+n
an · bn = (a · b)n
1.6
a0 = 1
a1 = a
am ÷ an = am−n
(am )n = am·n
an : bn = (a : b)n
Raı́ces Cuadradas
Una raı́z cuadrada puede definirse como la operación contraria a elevar al cuadrado.
Ejemplos: 22 = 4. Entonces la raı́z cuadrada de 4 es igual a 2. De la misma forma 32 = 9, entonces
la raı́z cuadrada de 9 es igual a 3.
La operación raı́z cuadrada se simboliza mediante una lı́nea quebrada. Ejemplos:
El número al que aplicamos la raı́z se llama radicando.
√
4=2y
√
9 = 3.
Existen otras raı́ces aparte de la raı́z cuadrada, como la raı́z cúbica, la raı́z cuarta, la quinta, etc.
Estas corresponden a las operaciones contrarias de elevar al cubo, a la cuarta, a la quinta potencia,
etc. El exponente del que proviene la operación se llama ı́ndice en las raı́ces. Este ı́ndice
no se
√
3
indica en la raı́z cuadrada,
pero
si
en
la
cúbica
y
sucesivas,
como
se
ve
en
estos
ejemplos.
27
= 3,
√
5
3
5
ya que 3 = 27. 32 = 2, ya que 2 = 32.
El esquema general para indicar una raı́z es el siguiente:
1.6.1
√
ı́ndice
radicando = raı́z
Tipos de raı́ces
En los anteriores ejemplos se ha calculado la raı́z de cuadrados perfectos. Un cuadrado perfecto
es un número producido por elevación de otro al cuadrado. Como ejemplos de cuadrados perfectos
podemos nombrar el 1, el 4, el 9, el 16. Estos se forman elevando al cuadrado 1, 2, 3, y 4 respectivamente. 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; 42 = 16.
La raı́z de un cuadrado perfecto se conoce como raı́z exacta. Se caracteriza por no tener resto.
Cuando realizamos la raı́z cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto obtendremos un
resto. Estas raı́ces se denominan raı́ces enteras Si hay resto, se cumple la siguiente propiedad:
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11
radicando = raı́z2 +resto
Como ejemplo:
1.6.2
√
10 = 3, con resto 1. Esto es ası́ porque 32 + 1 = 10.
Método de resolución de raı́ces cuadradas
Aunque no es complicado de realizar, no es sencillo de explicar el método para resolver a mano una
raı́z cuadrada. Se asemeja en varios aspectos al procedimiento para resolver una división. Aquı́ explicaremos el método de resolución de raı́ces cuadradas mediante un ejemplo. El cálculo de la raı́z
de 74271.
Las operaciones se muestran en imágenes marcando cada nuevo paso en rojo para facilitar su comprensión.
El primer paso consiste en agrupar los dı́gitos del radicando de dos en dos empezando por la derecha. En nuestro caso hemos obtenido tres grupos formados por los dı́gitos 7, 42 y 71.
Nos fijamos en el grupo más a la izquierda, En nuestro caso es un 7. Buscamos a continuación
el mayor de los números que elevados al cuadrado quedan por debajo de este. En nuestro caso
12 = 1, 22 = 4 y 33 = 9. Puesto que 9 es mayor que 7, el mayor de los números que elevados
al cuadrado quedan por debajo de 7 es el 2. Colocamos este número a la derecha del radicando,
(aquı́ es donde se va ha ir formando el resultado de nuestra raı́z). Ahora elevamos este número al
cuadrado, (22 = 4) y lo restamos del primer grupo, (del 7). Nuestro resto es 3 en este caso.
Bajamos el siguiente grupo, (el 42), junto al resto calculado formando un nuevo número, (el 342).
Al mismo tiempo multiplicamos por 2 lo que llevamos de resultado de la raı́z, (2 en nuestro caso),
y ponemos el resultado, (2 · 2 = 4) debajo de la casilla de la raı́z en una nueva casilla auxiliar.
A este número hay que añadirle otro y multiplicarlo por el mismo buscando el máximo valor que
no exceda al resto que tenı́amos. En nuestro caso se trata de hacer productos del tipo 4X · X
buscando le resultado más cercano a 342 que no lo exceda. Empezamos por 41 · 1 = 41, 42 · 2 = 84,
43 · 3 = 132... 47 · 7 = 329 y 48 · 8 = 384. Puesto que el 8 excede nuestro resto, (342), nos quedamos
con el 7.
Hacemos una nueva resta con el resultado del producto. 342 − 329 = 13
74271
74271
74271 2
74271 2
-4
3
74271 2
4
-4
342
74271 2
47 · 7 = 329
-4
342
-329
13
Subimos este 7 a la casilla de la raı́z y a partir de aquı́ el método se repite.
Nuevamente bajamos otro grupo, (el 71). Multiplicamos por 2 lo que llevamos de la raı́z, (27·2 = 54)
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12
y en una nueva casilla buscamos el número que se acerque más por defecto al formado entre el resto
y el nuevo grupo, (1371). En nuestro caso 542 · 2 = 1084 y 543 · 3 = 1629, que sobrepasa al 1371.
Nos quedamos por tanto con el 2.
Al resto que tenı́amos, (1371), le restamos el nuevo dato, (1084), obteniendo un resto final de
287. Subimos el 2 a la casilla de la raı́z y en este caso hemos terminado, pues no quedan más grupos que bajar. Si quedasen más grupos continuarı́amos con el mismo procedimiento hasta agotarlos.
74271 27
47 · 7 = 329
-4
342
-329
1371
74271 27
47 · 7 = 329
-4
54
342
-329
1371
74271 27
47 · 7 = 329
-4
542 · 2 = 1084
342
-329
1371
-1084
74271 272
47 · 7 = 329
-4
542 · 2 = 1084
342
-329
1371
-1084
0287
La raı́z de 74271 es 272 con resto 287.
Podemos comprobar nuestro resultado viendo que 2722 + 287 = 74271.
1.7
Reglas de prioridad o precedencia
Al encontrarnos con un cálculo compuesto de varias operaciones distintas se nos puede plantear la
duda de cual realizar primero.
Ejemplo: 13 − 5 · 2 + 32
Un estudiante sin experiencia cometerı́a el error de comenzar haciendo operaciones de izquierda a
derecha. Comenzarı́a haciendo la resta a la izquierda, 13 − 5 cuyo resultado multiplicarı́a por 2,
etc. Pero existen una serie de reglas en matemáticas que nos indican que hacer primero en función
de las operaciones implicadas, antes aun que de la ubicación de las mismas. Estas reglas, conocidas
como reglas de prioridad o precedencia en las operaciones, son las siguientes:
Primero se realizan las potencias y las raı́ces. En nuestro ejemplo primero resolverı́amos el cuadrado, (32 = 3 · 3 = 9), quedando 13 − 5 · 2 + 9.
Tras esto se resuelven productos y divisiones, (de izquierda a derecha). En nuestro caso hay que
resolver el producto, (5 · 2 = 10), quedando 13 − 10 + 9.
Por último se resuelven sumas y restas, (de izquierda a derecha). Primero en nuestro caso la resta, (por estar a la izquierda), 13−10 = 3, quedando 3+9. Por último sumamos quedando 3+9 = 12.
9
10
3
z}|{
z}|{
z }| {
2
13 − 5 · 2 + 3 = 13 − 5 · 2 +9 = 13 − 10 +9 = 3 + 9 = 12
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13
A menudo podemos hacer 2 o más operaciones al mismo tiempo, siempre que el cálculo de una no
este afectado con el cálculo de la otra. En nuestro ejemplo podemos resolver en un solo paso la
potencia y el producto:
10
9
z}|{ z}|{
13 − 5 · 2 + 32 = 13 − 10 + 9 = 3 + 9 = 12
1.7.1
Restas y divisiones no cumplen la propiedad asociativa
Hay que poner atención en resolver las operaciones con la misma prioridad de izquierda a derecha.
En sumas y productos, que cumplen las propiedades conmutativa y asociativa, el resultado será el
mismo si no lo hacemos ası́. Pero en la resta y la división, que no cumplen la propiedad conmutativa
ni asociativa, los resultados serán incorrectos. Veamos un ejemplo:
Ejemplo: 20 − 5 − 10
15
z }| {
Lo hacemos correctamente empezando por la izquierda: (20 − 5) −10 = 15 − 10 = 5
?
z }| {
Si intentamos hacer el calculo empezando por la derecha 20 − (5 − 10). 5 − 10 no pertenece al
conjunto de los números naturales. No puede calcularse.1
Segundo ejemplo:
40 ÷ 10 ÷ 2
4
z }| {
Lo hacemos correctamente empezando por la izquierda: (40 ÷ 10) ÷2 = 4 ÷ 2 = 2
Si intentamos hacer el calculo empezando por la derecha obtenemos un resultado incorrecto.
5
z }| {
40 ÷ (10 ÷ 2) = 40 ÷ 5 = 8.
1.7.2
Cambiando el orden con paréntesis
En las situaciones en que nos interese, se puede modificar el orden de la prioridad de las operaciones
mediante paréntesis. En las reglas de prioridad los paréntesis se calculan antes que todas las otras
operaciones.
Por ejemplo, podemos modificar nuestro ejemplo mediante paréntesis para que en se realice primero
la resta antes que las otras operaciones de la siguiente forma: (13 − 5) · 2 + 32 .
Podemos además usar paréntesis unos dentro de otros. Esto se conoce como paréntesis anidados.
Cuando tenemos paréntesis anidados se realizan primero los cálculos de los paréntesis más interiores.
1
Si tiene solución en el conjunto de los enteros, Z, donde 5 − 10 = −5, pero el conjunto de los naturales, N no
admite valores negativos.
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Ejemplo: (13 − 5) · 2 + 3
14
2
Comenzamos por el paréntesis más interior. Aunque el producto tiene mayor prioridad que la resta,
los paréntesis indican que la resta debe efectuarse primero.
8
z }| {
2
(13 − 5) ·2 + 3 = (8 · 2 + 3)2
Ahora realizamos las operaciones dentro del segundo paréntesis siguiendo las reglas de prioridad.
Primero el producto y después la suma. Por último, se resuelve el cuadrado.
16
z}|{
( 8 · 2 +3)2 = (16 + 3)2 = 192 = 361
1.7.3
Las raı́ces tienen el mismo efecto que los paréntesis
√
Una raı́z actúa sobre un único número. Ejemplo: 4. El único número afectado por la raı́z es el 4.
Pero a menudo el integrando de una raı́z es un conjunto de operaciones. Ejemplo:
√
92 − 4 · 3 · 6
p
√
En estos casos la raı́z se comporta como si tuviese un paréntesis, 92 − 4 · 3 · 6 = (92 − 4 · 3 · 6).
Por tanto, hay que efectuar primero las operaciones dentro del radicando y aplicar la raı́z al resultado.
En nuestro caso primero efectuamos potencia y productos, (no se afectan por lo que pueden hacerse
los dos al mismo tiempo). Tras esto efectuamos la resta y por último la raı́z.
s
81
72
z}|{ z }|
{ √
√
2
9 − 4 · 3 · 6 = 81 − 72 = 9 = 3.
1.7.4
Resumen de reglas de prioridad
Las cuatro reglas, ordenadas de mayor a menor prioridad, que hemos visto para los números naturales2 son las siguientes:
1. Paréntesis, (comenzando por los más interiores).
2. Potencias y raı́ces.
3. Productos y divisiones, (comenzando por la izquierda).
4. Sumas y restas, (comenzando por la izquierda).
2
Estas mismas reglas se aplican a enteros, racionales y otros conjuntos como veremos más adelante.
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1.8
15
Múltiplos de un número
Son múltiplos de un número todos aquellos formados por el producto de dicho número por un
número natural.
Ejemplo: Son múltiplos de 2 los números 4, 6, 18 y 52. Esto es ası́ porque 2 · 2 = 4, 2 · 3 = 6,
2 · 9 = 18 y 2 · 26 = 52.
Otra forma de verificar que un número es múltiplo de otro es hacer la división entre ambos y comprobar que el resto es cero, (se trata de una división exacta).
Ejemplo: Son múltiplos de 2 los números 4, 6, 18 y 52. Esto es ası́ porque 4 : 2 = 2, (resto 0);
6 : 2 = 3, (resto 0); 18 : 2 = 9 (resto 0) y 52 : 2 = 26 (resto 0).
En cambio, no son múltiplos de 2, por ejemplo, los números 13, 27 o 45. Esto es ası́ porque si
dividimos 13, 27 o 45 entre 2, todos nos dan resto 1. Para ser múltiplos el resto tendrı́a que ser
cero.
1.8.1
Propiedades de los múltiplos
1. Todo número tiene infinitos múltiplos.
Ejemplo: Múltiplos del 3. 3 = 3 · 1, 6 = 3 · 2, 9 = 3 · 3 ...
2. Todo número natural es múltiplo de si mismo y de la unidad.
Ejemplo: 17 es múltiplo de 17 y de 1 puesto que 17 = 17 · 1.
3. Si a es múltiplo de b, la división a entre b es exacta, (el resto es cero).
Ejemplo: 35 es múltiplo de 5 porque 35 : 5 = 7, (resto 0).
4. La suma o diferencia de varios múltiplos de un número es un nuevo múltiplo de dicho número.
Ejemplo: 35 y 25 son múltiplos de 5. 35 + 25 = 60 es múltiplo de 5. 35 − 25 = 10 es múltiplo
de 5.
5. Si un número es múltiplo de otro, el producto de este por un nuevo número es múltiplo del
primero.
Ejemplo: 15 es múltiplo de 3. 30 = 15 · 2 también es múltiplo de 3.
6. Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.
Ejemplo: 42 es múltiplo de 21. 21 es múltiplo de 7. Por tanto, 42 es múltiplo de 7.
De todas estas propiedades, la tercera es la más utilizada.
1.9
Divisores de un número
Son divisores de un número todos los números con los que puede realizar una división exacta, o
lo que es lo mismo, todos aquellos entre los que se puede dividir con resto cero.
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16
Ejemplo: Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y el mismo 10. Esto es ası́ porque 10 : 1 = 10, (resto 0),
10 : 2 = 5, (resto 0), 10 : 5 = 2, (resto 0) y 10 : 10 = 1, (resto 0).
Todos los números menos el 1 tienen al menos 2 divisores, ellos mismos y el 1.
Ejemplos: El número 1 solo es divisible por 1, (un divisor). 2 es divisible por 2 y por 1, (dos divisores). 3 es divisible por 3 y por 1, (dos divisores). 4 es divisible por 1, por 2 y por 4, (tres divisores).
1.9.1
Propiedades de los divisores
1. Todo número es divisor de si mismo.
Ejemplo: 13 es divisor de 13, ya que 13 ÷ 13 = 1, (resto 0)
2. Todos los números son divisibles por 1.
Ejemplos: 1 ÷ 1 = 1, (resto 0), 2 ÷ 1 = 2, (resto 0), 3 ÷ 1 = 3, (resto 0)...
3. Los divisores de un número son iguales o menores que el.
Ejemplo: Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10. Todos son menores que el, excepto el 10 que es
el mismo.
4. Debido a que los divisores de un número son menores o iguales al mismo, todo número tiene
una cantidad finita de divisores.
5. Si un número es divisor de otros dos, también es divisor de su suma y de su diferencia.
Ejemplo: 5 es divisor de 45 y de 30. También es divisor de su suma, 30 + 45 = 75 y de su
diferencia, 45 − 30 = 15, divisibles ambos por 5.
6. Si un número es divisor de un segundo, también lo es de cualquier múltiplo del segundo.
Ejemplo: 3 es un divisor de 21. 3 también es divisor de 42 = 21 · 2, 63 = 21 · 3, 84 = 21 · 4 ...
1.10
Criterios de divisibilidad, (2, 3, 5, 7 y 11)
Existen unos procedimientos, algunos muy sencillos, para determinar si un número es divisor de
otros o no.
Estudiamos aquı́ los criterios de divisibilidad para algunos de los primeros números.
1.10.1
Divisibilidad por 2
Todo número par, (terminado en 0, 2, 4, 6 u 8), es divisible por 2.
Ejemplos: 18 y 542 son divisibles por 2, (terminan en 8 y 2, pares). 13 y 27 no son divisibles por
2, (terminan en cifras impares).
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1.10.2
17
Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus dı́gitos es divisible por 3.
Ejemplos: 1275 es divisible por 3, ya que 1+2+7+5=15, divisible por 3. 1327 no es divisible por 3,
ya que 1+3+2+7=19, que no es divisible por 3.
1.10.3
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
Ejemplos: 1275 es divisible por 5, ya que termina en 5. 1327 no es divisible por 5, ya que no
termina ni en 0 ni en 5.
1.10.4
Divisibilidad por 7
Un número es divisible por 7 si la diferencia entre dicho número sin las unidades y el doble de las
unidades es 0 o múltiplo de 7.
Ejemplos:
• 119 es divisible por 7, ya que la diferencia entre el número sin las unidades, (11), y el doble
de las unidades, (9 · 2 = 18), es 18-11=7, múltiplo de 7.
• 126 es divisible por 7, ya que la diferencia entre el número sin las unidades, (12), y el doble
de las unidades, (6 · 2 = 12), es 0, (12-12=0).
• 76 no es divisible por 7, ya que la diferencia entre el número sin las unidades, (7), y el doble
de las unidades, (6 · 2 = 12), es 12-6=6, que no es ni 0 ni múltiplo de 7.
Si el número es grande, puede aplicarse varias veces el método.
Ejemplo: 2625 será divisible entre 7 si 262 − 5 · 2 = 262 − 10 = 252 es divisible entre 7. 252 es
divisible entre 7, ya que 25 − 2 · 2 = 25 − 4 = 21 es divisible entre 7. Por tanto, 2625 es divisible
entre 7.
1.10.5
Divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de sus dı́gitos pares y la suma de sus
dı́gitos impares es cero o múltiplo de 11. Al igual que en el criterio para el 7, es posible que el
método deba aplicarse varias veces.
Ejemplos:
• 12914 es divisible por 11, ya que la diferencia entre la suma de sus dı́gitos impares, (1+9+4=14)
menos la suma de sus dı́gitos pares, (2+1=3), es (14-3=11) múltiplo de 11.
• 37697 es divisible por 11, ya que la diferencia entre la suma de sus dı́gitos impares, (3+6+7=16)
menos la suma de sus dı́gitos pares, (7+9=16), es cero, (16-16=0).
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18
• 126 no es divisible por 11,, ya que la diferencia entre la suma de sus dı́gitos impares, (1+6=7)
menos la suma de sus dı́gitos pares, (2), es 1, (7-2=5), que no es ni 0 ni múltiplo de 11.
1.11
Criterios de divisibilidad, (4, 6, 8, 9 y 10)
Los criterios de divisibilidad que hemos visto anteriormente corresponden a los primeros números
primos, (concepto que ampliaremos en siguientes apartados), y son básicos en matemáticas.
Pero también es útil conocer los criterios para otros números.
Expondremos a continuación los criterios para los números que nos faltan hasta el 10.
1.11.1
Divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4 si sus 2 últimas cifras son 00, o múltiplo de 4. Además, para ser
divisible por 4 tiene que ser divisible por 2, con los que todos los impares quedan descartados.
Ejemplos:
• 48300 es divisible por 4, ya que termina en 00.
• 6792 es divisible por 4, ya que 92 = 23 · 4 es divisible por 4.
• 1263 no es divisible por 4, ya que es impar.
1.11.2
Divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3.
Ejemplos:
• 6792 es divisible por 6, ya que es par, (divisible por 2) y sus dı́gitos suman 6+7+9+2=24,
múltiplo de 3.
• 1262 no es divisible por 6, ya que aunque es par, la suma de sus dı́gitos, (1+2+6+2=11), no
es múltiplo de 3.
1.11.3
Divisibilidad por 8
Un número es divisible por 8 si sus tres últimos dı́gitos son 000, o múltiplos de 8. Además tiene
que ser múltiplo de 2, con lo que los impares quedan descartados.
Ejemplos:
• 882000 es divisible entre 8, ya que termina en 000.
• 9872 es divisible por 8, ya que 872 = 109 · 8.
• 126122 no es divisible por 8, ya que 122:8=15, con resto 2.
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1.11.4
19
Divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus dı́gitos es divisible entre 9.
Ejemplos:
• 156312 es divisible por 9, ya que 1 + 5 + 6 + 3 + 1 + 2 = 18, divisible entre 9.
• 12612 no es divisible por 9, ya que 1+2+6+1+2=12, que no es divisible entre 9.
1.11.5
Divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10 si acaba en 0.
Ejemplo: 56310 es divisible por 10, ya que acaba en 0.
1.12
Números primos y números compuestos
Son números primos aquellos que tienen exactamente 2 divisores, ellos mismos y el 1.
Son números compuestos aquellos que tienen más 2 divisores.
El número 1 es el único que no es ni primo ni compuesto, puesto que solo tiene un divisor, el mismo.
El resto de números naturales son o primos o compuestos.
Vemos a continuación cuales de los 10 primeros números naturales son primos y cuales compuestos:
• 1 no es ni primo ni compuesto, pues solo tiene un divisor, el 1.
• 2 es primo, ya que tiene exactamente 2 divisores, el mismo y el 1, (2:1=2; 2:2=1).
• 3 es primo, ya que tiene exactamente 2 divisores, el mismo y el 1, (3:1=3; 3:3=1).
• 4 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 2 y 4.
• 5 es primo, ya que tiene exactamente 2 divisores, el mismo y el 1, (5:1=5; 5:5=1).
• 6 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 2, 3 y 6.
• 7 es primo, ya que tiene exactamente 2 divisores, el mismo y el 1, (7:1=7; 7:7=1).
• 8 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 2, 4 y 8.
• 9 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 3 y 9.
• 10 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 2, 5 y 10.
Existe una cantidad infinita de número primos. Los primos menores de 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
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1.12.1
20
Lista de números primos
Existe otro método algo más sencillo para saber si un número es primo que el de ir comprobando
el número de divisores.
Consiste en crear una lista de números primos partiendo de los dos primeros, (el 2 y el 3). A partir
de aquı́ vamos probando cada uno de los siguientes números, (empezarı́amos por el 4). Cada nuevo
número lo dividiremos entre cada número primo anterior a el. Si es divisible entre alguno de ellos
no es primo.
Ejemplo:
• 4 no es primo, ya que es divisible por 2.
• 5 es primo, ya que no es divisible ni por 2 ni por 3.
Nuestra nueva lista de primos se compone del 2, el 3 y el 5.
• 6 no es primo, ya que es divisible por 2. También es divisible por 3, pero no hace falta
comprobarlo. Ya lo hemos descartado por ser divisible por 2.
• 7 es primo, ya que no es divisible ni por 2, por 3 ni por 5.
Nuestra nueva lista de primos se compone del 2, el 3, el 5 y el 7.
• ...
Podemos mejorar un poco más el proceso teniendo en cuenta tres datos.
Un número es primo si no existe ningún número natural menor que el entre el que sea divisible,
(exceptuando el 1). Y por este motivo ningún número par es primo, (excepto el 2), porque los
números pares son divisibles entre 2.
Tampoco son primos los números que terminan en 5, pues son divisibles entre 5.
Esto nos deja como posibles números primos, (a partir del 10), los que terminen en 1, en 3, en 7 o
en 9.
Además, no es necesario probar con todos los primos menores que el número en cuestión. Solo es
necesario probar hasta el primo igual o inferior a la raı́z del número dado. Veámoslo con un ejemplo:
√
Supongamos que queremos saber si 97 es primo. La raı́z de 97 es aproximadamente 9,85, ( 97 =
9, 848857...). Por tanto, solo necesitamos probar si es divisible entre primos menores a 10, (2, 3, 5
y 7). Y aquı́ pueden usarse las reglas de divisibilidad conocidas. No es par, la suma de sus dı́gitos
no es múltiplo de 3, no termina en 0 ni en 5 y 2 · 7 − 9 = 5 que no es múltiplo de 7. Por tanto es
primo. 3
3
¿Por que no es necesario probar con primos mayores?. Supongamos que probamos con el siguiente primo, el
11. Puesto que es mayor que 9,85, cuyo cuadrado es 97, (por aproximación), tendrı́a que estar multiplicado por un
número menor que 9,85, el 7 que ya hemos probado. Y si probamos con primos mayores aun, tendrı́an que estar
multiplicados por números menores aún. Por tanto no es necesario probar con ninguno mayor.
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1.13
21
Descomposición factorial
Descomponer factorialmente un número, también llamado factorización, es obtener una serie de
números denominados factores cuyo producto es dicho número.
Ejemplo: 60 = 6 · 10
La factorización con factores compuestos como la anterior no suele usarse. La factorización habitual
es la factorización en factores primos. En esta, todos los factores son números primos. Cuando
hablamos de factorizar o descomponer factorialmente un número siempre hablamos de factorización
en factores primos.
Ejemplo: 6 = 2 · 3 es la factorización del número 6 en sus 2 factores primos.
Como solo podemos usar números primos como factores es posible que un mismo factor primo tenga
que repetirse. Entonces lo pondremos en forma de potencia.
Ejemplo: 24 = 23 · 3
Si el número es grande, nos apoyaremos en el siguiente método para factorizarlo. Lo desarrollamos
mediante un ejemplo. La descomposición factorial del 156.
Comenzamos por escribir nuestro número con una lı́nea vertical a su derecha. Buscamos el menor
primo entre el que sea divisible ayudándonos con los criterios de divisibilidad. Puesto que 156 es
par, es divisible por 2. Colocamos un dos a su derecha. Dividimos ambos números: 156 ÷ 2 = 78
y colocamos el cociente bajo nuestro número a la izquierda. A partir de aquı́ el método se repite.
78 es divisible entre 2, su cociente es 39. 39 no es divisible entre 2, (es impar), pero si lo es entre
3 pues la suma de sus dı́gitos, (3+9=12), es divisible entre 3. Su cociente es 13. 13 es un número
primo, (no es divisible entre 2, ni 3, ni 5 ni 7). Su cociente es 1, (13 ÷ 13 = 1). Cuando obtenemos
un 1 a la izquierda hemos finalizado.
156
156 2
156 2
78
156 2
78 2
39
156 2
78 2
39 3
13
156
78
39
13
1
2
2
3
13
156 = 22 · 3 · 13
Nuestra descomposición es el producto de todos los factores que hemos obtenido a la derecha de la
lı́nea vertical. 156 = 22 · 3 · 13
1.14
Divisores de un número
Los divisores de un número son los números entre los que se puede dividir dicho número sin resto,
(división exacta). Dado un número compuesto, se pueden calcular sus divisores con ayuda de la
factorización del mismo.
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22
Para ello, primero haremos una lista formada por el 1 y todos los factores individuales de la factorización.
Después buscaremos todas las combinaciones posibles de los factores y formaremos productos con
ellas. Se pueden formar productos de 2 elementos, de 3, etc hasta el número de factores que haya
en la factorización. Habrá que descartar, por supuesto, combinaciones con factores repetidos.
Veamos un ejemplo. Divisores de 156 = 2 · 2 · 3 · 13
Primeros divisores: 1, 2,
Productos de 2 factores:
Productos de 3 factores:
Productos de 4 factores:
3 y 13.
2 · 2 = 4, 2 · 3 = 6, 2 · 13 = 26, 3 · 13 = 39.
2 · 2 · 3 = 12, 2 · 2 · 13 = 52, 2 · 3 · 13 = 78.
2 · 2 · 3 · 13 = 156.
Divisores de 156: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78 y 156.
1.15
Máximo común divisor, (máx.c.d)
El máximo común divisor de dos números es el número más grande entre el que se pueden dividir
ambos números sin resto.
Ejemplo: dados los números 15 y 30, ambos se pueden dividir por 5. Asimismo, también pueden
dividirse ambos entre 3 y entre 1. Pero el número más grande entre el que pueden dividirse ambos
sin resto es el 15. Por tanto, 15 es el máximo común divisor.
Para obtener el máximo común divisor de dos números se procede de la siguiente manera:
• Se factorizan ambos números.
• Se toman los factores comunes a menor exponente.
• El máximo común divisor es el producto de dichos factores.
Veámoslo con un ejemplo. Máximo común divisor de 3780 y 1560.
3780
1890
945
315
105
35
7
1
2
2
3
3
3
5
7
1560
780
390
195
65
13
1
2
2
2
3
5
13
3780 = 22 · 32 · 5 · 7
1560 = 23 · 3 · 5 · 13
2 es común. El menor exponente es 2. Factor: 22
3 es común. El menor exponente es 1, (3 = 31 ). Factor: 3
5 es común. El menor exponente es 1, (5 = 51 ). Factor: 5
Ni 7 ni 13 son comunes. Se omiten.
Máximo común divisor: 22 · 3 · 5 = 60
Tanto 3780 como 1560 son ambos divisibles entre 60. Y además, 60 es el divisor más grande entre
ambos.
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1.16
23
Mı́nimo común múltiplo
El mı́nimo común múltiplo de dos números es el número más pequeño que es múltiplo de ambos.
Ejemplo: Los primeros múltiplos del 6 son 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ... Los primeros
múltiplos de 20 son 40, 60, 80, ...
Múltiplos de 6
Múltiplos de 20
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ...
20, 40, 60, 80, ...
Podemos ver que el 60 es el primer múltiplo común de ambos números, (6 y 20). Por tanto, 60 es
el mı́nimo común múltiplo.
Para obtener el mı́nimo común múltiplo de dos números se procede de la siguiente manera:
• Se factorizan ambos números.
• Se toman los factores comunes y no comunes a mayor exponente.
• El mı́nimo común múltiplo es el producto de dichos factores.
Veámoslo con un ejemplo. Mı́nimo común múltiplo de 14 y 60.
14 2
7 7
1
60
30
15
5
1
2
2
3
5
14 = 2 · 7
60 = 22 · 3 · 5
2 es común. El mayor exponente es 2. Factor: 22
3, 5 y 7 son no comunes. El exponente es 1 en todos. Factores: 3, 5, 7
Mı́nimo común múltiplo: 22 · 3 · 5 · 7 = 420
420 es múltiplo tanto de 14 como de 60. Y además, 420 es el múltiplo común más pequeño entre
ambos.
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2
24
Los números enteros
Con el conjunto de los naturales, (N = {1, 2, 3...}), no pueden representarse conceptos como ”me
debes 5 euros”, ”la temperatura es de 7 grados bajo cero”, ”conduce marcha atrás a 18 kilómetros
por hora”, ni otros similares.
Para dar cabida a estos conceptos los matemáticos de la antigüedad ampliaron el conjunto de los
números naturales con sus correspondientes negativos. Para el número 1, crearon el -1, para el 2, el
-2 y sucesivos. Además, entre tener un euro y deber un euro hay una diferencia de 2 euros. Hubo
que inventar un número intermedio entre ambos y crearon el 0 para ello.
En este conjunto aparecen nuevas preguntas. ¿Que número es mayor: -3 o -2? ¿Como multiplico 6
por -2? ¿Como hago la raı́z cuadrada de un número negativo? Responderemos estas cuestiones y
otras en los siguientes apartados.
2.1
Representación y orden en números enteros
Al conjunto de los números enteros se les representa mediante la letra griega Z.
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
Para entender dicho conjunto y su orden se suele usar la representación del mismo sobre una recta.
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Sobre esta recta será mayor el número que esté más a la derecha. Por tanto, -2 es mayor que -3, y
cero es mayor que -5.
... < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...
Los números que están a la derecha del 0 en la recta son números positivos y los que están a
la izquierda números negativos. El cero no es ni positivo ni negativo. Es frecuente, (aunque no
necesario), encontrar los números positivos precedidos de un signo más, (+1, +2, +3, ...).
2.2
Valor absoluto
El valor absoluto de un número es dicho número sin signo, (o con signo positivo). El sı́mbolo para
representar el valor absoluto de un número son dos barras verticales a los lados de dicho número.
Ejemplos: | + 2| = 2; | − 3| = 3; |0| = 0.
2.3
Notación y uso de paréntesis
Una regla a considerar es que no está permitido poner 2 operadores binarios consecutivos. Los
operadores binarios son en nuestro caso suma, (+), resta, (-), multiplicación, (·) y división, (:). 4
4
La potenciación y las raı́ces son operaciones unarias, pues operan sobre un único número. No se ven afectadas
por esta regla.
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25
Para separar dos signos se usan paréntesis alrededor del número negativo. Ası́, para sumar 6 y -2,
no puede escribirse 6 + −2, pues quedan dos operadores consecutivos, (+ y −). Separamos los dos
signos encerrando el número negativo entre paréntesis: 6 + (−2). 5
2.4
Suma de enteros
Al sumar dos números enteros se nos pueden presentar 3 casos:
2.4.1
Suma de dos números positivos
En tal caso los sumamos como si se tratase de números naturales:
Ejemplo: (+3) + (+2) = +5
El signo + y los paréntesis pueden omitirse quedando 3 + 2 = 5.
2.4.2
Suma de dos números negativos
Podemos imaginarlas como suma de deudas. Sumo el valor absoluto de ambas cantidades, (o lo
que es lo mismo, sumo ambas cantidades sin signo), y al resultado le pongo signo negativo.
Ejemplo: Tengo una deuda de 3e y otra de 2e. ¿Cuanto debo en total?
(−3) + (−2) = −5.
El paréntesis inicial puede omitirse, quedando −3 + (−2) = −5.
2.4.3
Suma de un número positivo con otro negativo
Podemos imaginarlo como ”ajustar cuentas” entre una deuda pendiente y el dinero que tengo para
saldarla. Resto ambas cantidades prescindiendo del signo y al resultado le pongo signo de la mayor.
Primer ejemplo: Tengo una deuda de 3e y poseo 2e. ¿Cuanto tendré tras ajustar cuentas?
(−3) + (+2) = −1. Resto los valores absolutos de ambas cantidades, (3 − 2 = 1), y le pongo el
signo de la cantidad mayor, (el negativo de −3). Me queda una deuda de 1e.
En este caso todos los paréntesis pueden omitirse, quedando −3 + 2 = −1.
Segundo ejemplo: Tengo una deuda de 10e y poseo 20e. ¿Cuanto tendré tras ajustar cuentas?
(−10) + (+20) = +10. Resto los valores absolutos de ambas cantidades, (20 − 10 = 10), y le pongo
el signo de la cantidad mayor, (el positivo de +20). Me quedan 10e tras pagar la deuda.
5
Puesto que la suma es conmutativa, lo más correcto serı́a ponerlo como −2 + 6. Aunque esta forma es más
correcta, por indicar la misma operación usando menos sı́mbolos y en menos espacio, es habitual encontrarla en otras
formas más complicadas para forzar al alumno a practicar y ası́ entender las reglas matemáticas.
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26
En este caso todos los paréntesis pueden omitirse, quedando −10 + 20 = 10.
2.5
Propiedades de la suma de enteros
La suma de enteros cumple las mismas propiedades de la suma de números naturales. Pero además
también posee dos propiedades nuevas: la existencia de elemento neutro y elemento opuesto o
simétrico en el conjunto.
2.5.1
Operación interna
La suma de dos números enteros siempre produce como resultado otro número entero.
2.5.2
Propiedad conmutativa: a + b = b + a
El orden de los sumandos no altera la suma.
Ejemplo: 2 + (−5) = −5 + 2 = −3
2.5.3
Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c
No importa como agrupe las operaciones. El resultado es siempre el mismo.
−2 + (+3) + (−4) = 1 + (−4) = −3
Ejemplo:
−2 + (+3) + (−4) = −2 + (−1) = −3
2.5.4
Elemento neutro: a + 0 = a
El elemento neutro es el número que, al operarlo con otro, produce el mismo número. En la suma
de enteros el elemento neutro es el 0, ya que, al sumarlo con cualquier otro número el resultado es
dicho número.
Ejemplos: 2 + 0 = 2; −3 + 0 = −3; 0 + 0 = 0
2.5.5
Elemento opuesto o simétrico: a + (−a) = 0
El elemento opuesto o simétrico es el número que, al operarlo con otro, produce el elemento
neutro. En la suma de enteros el elemento opuesto de a es −a, ya que al sumarlos obtenemos el
elemento neutro, el 0.
Ejemplos: El opuesto de 2 es −2. El opuesto de −3 es +3. El opuesto de 0 es −0, que como el cero
no es ni positivo ni negativo resulta nuevamente 0.
Ejemplos: 2 + (−2) = 0; −3 + (+3) = 0; 0 + (−0) = 0
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2.6
27
Resta de números enteros
Podemos definir la resta con respecto a la suma diciendo que la resta es el resultado de sumar al
minuendo el opuesto del sustrayendo. De esta forma a − b = a + (−b)
3−2
= 3 + (−2) = 1
Ejemplos: 3 − (−2) = 3 + (+2) = 5
−3 − (−2) = −3 + (+2) = −1
2.7
Propiedades de la resta de enteros
La resta de enteros, al igual que la resta de los números naturales, no cumple las propiedades
conmutativa ni asociativa. Pero si posee otras nuevas: es operación interna, tiene elemento neutro
y elemento opuesto o simétrico.
2.7.1
Operación interna
La resta de dos números enteros siempre produce como resultado otro número entero.
En el conjunto de los naturales esta regla no existı́a. Si el minuendo era menor que el sustrayendo
se producı́a un número negativo que no pertenecen al conjunto de los naturales, N.
2.7.2
Elemento neutro: a − 0 = a
El elemento neutro de la resta de enteros es también el 0, como en la suma.
Ejemplos: 2 − 0 = 2; −3 − 0 = −3; 0 − 0 = 0
2.7.3
Elemento simétrico: a − a = 0
El elemento opuesto o simétrico de un número en la resta de enteros es el mismo. Es ası́ porque
al restarle a un número el mismo número obtenemos el elemento neutro, el 0.
Ejemplos: 2 − 2 = 0; −3 − (−3) = −3 + 3 = 0
2.8
Producto de números enteros
El producto es el equivalente a sumar varias veces una misma cantidad.
5 veces
}|
{
z
Ejemplo: 3 · 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
Si se trata entonces de multiplicar por un número positivo es fácil ver que el signo será el del primer
factor. Veámoslo con un ejemplo.
5 veces
z
}|
{
Ejemplo: (−3) · 5 = (−3) + (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −15
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28
Vemos a través de los dos ejemplos anteriores que cuando multiplicamos dos enteros el producto
será en valor absoluto el mismo que el producto de ambos factores en valor absoluto. El signo
será positivo si los signos de ambos factores son iguales y negativo si los signos son diferentes. Lo
resumimos en el siguiente cuadro.
(+a) · (+b) = +(a · b)
(+a) · (−b) = −(a · b)
(−a) · (+b) = −(a · b)
(−a) · (−b) = +(a · b)
Nota: A menudo no es necesario poner ni paréntesis, (excepto cuando aparecen dos signos consecutivos), ni el punto en los productos.
(+2) · (+6) = +(2 · 6) = +12 = 12
3 · (−5) = −(3 · 5) = −15
Ejemplos:
(−1) · (+3) = −(1 · 3) = −3
(−2) · (−4) = +(2 · 4) = 8
2.8.1
¿Resta, negativo o producto?
En matemáticas es frecuente encontrar normas orientadas a reducir expresiones cuando no hay
ambigüedad que confunden a menudo a los alumnos. Veamos una de ellas.
(−1) · a = −a
Si no hay 2 signos seguidos puedo omitir tanto paréntesis como el sı́mbolo del producto, (·). Además,
si estoy multiplicando por 1, puedo omitir dicho número 1.
Esto hace que cuando me encuentro con una operación como la siguiente: b − a, no solo pueda
interpretarla como una
resta, (b − a). También puedo interpretarla como una suma con un número
negativo, b + (−a) , e incluso puedo ver un producto dentro de la operación, b + (−1) · a . Las
tres interpretaciones son correctas y puedo cambiar de una a la otra.
−2
−2
z }| {
z }| {
Ejemplo: −3 + (−1) · 2 = −3 +(−2) = −3 − 2 = −5
2.9
Propiedades del producto de números enteros
La multiplicación de números enteros cumple las propiedades que la multiplicación de números
naturales:
2.9.1
Operación interna
Del producto de dos números enteros siempre se obtiene un resultado entero.
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2.9.2
29
Propiedad conmutativa, a · b = b · a
El orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo: 3 · (−2) = −2 · 3 = −6
2.9.3
Propiedad asociativa, (a · b) · c = a · (b · c)
No importa como agrupemos las operaciones. El resultado siempre es el mismo.
(3 · (−5) · (−7)
= −15(−7) = +105
Ejemplo:
3 · −5 · (−7)
= 3 · (+35) = +105
2.9.4
Elemento neutro o elemento identidad: 1
El elemento neutro de producto de número enteros es el 1, ya que a · 1 = a.
Ejemplos: +3 · 1 = +3; −5 · 1 = −5
2.9.5
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma
La propiedad distributiva se cumple en los enteros igual que en los naturales.
a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo: −3 · (−5 + 2) = −3 · 5 + (−3) · 2;
−3 · (5 + 2) = −3 · 7 = −21;
−3 · 5 + (−3) · 2 = −15 + (−6) = −21
La propiedad distributiva también puede usarse en sentido contrario para sacar factor común.
a · b + a · c = a · (b + c)
Ejemplo: 7 · (−2) + 7 · 5 = 7 · (−2 + 5) = 7 · 3 = 21.
2.10
División de números enteros
Una vez entendida la multiplicación de números enteros, es fácil de comprender la división pues
sigue casi las mismas reglas.
Al dividir dos números enteros el valor absoluto del resultado es igual a la división de los valores
absolutos de dividendo y divisor. El signo el resultado del signo será positivo si los signos de
dividendo y divisor son iguales o negativos si son diferentes. Podemos esquematizar la división de
enteros en el siguiente cuadro:
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30
(+a) ÷ (+b) = +(a ÷ b)
(+a) ÷ (−b) = −(a ÷ b)
(−a) ÷ (+b) = −(a ÷ b)
(−a) ÷ (−b) = +(a ÷ b)
(+36) ÷ (+6) = +(36 ÷ 6) = +6 = 6
15 ÷ (−5) = −(15 ÷ 5) = −3
Ejemplos:
(−27) ÷ (+3) = −(27 ÷ 3) = −9
(−24) ÷ (−4) = +(24 ÷ 4) = 6
2.10.1
Propiedades de las divisiones de números enteros
La división de números enteros no es una operación interna. Una división puede tener decimales,
y los números con decimales no pertenecen al conjunto de los números enteros.
Asimismo tampoco cumple las propiedades conmutativa ni asociativa, (no podemos cambiar dividendo por divisor ni agrupar a nuestro gusto).
La división de números enteros posee elemento neutro, el 1. a ÷ 1 = a
2.11
Potencia de enteros
Como ya sabemos, la potenciación es el resultado de multiplicar por si mismo varias veces un
número:
b veces
z }| {
b
a = a · a · ... · a
Se nos pueden dar dos casos. Que la base sea positiva o cero, o que la base sea negativa.
2.11.1
6
Base positiva o cero
Si la base es positiva o cero, el resultado de la potencia coincide con el de los números naturales.
Esto es ası́ porque el signo resultante de multiplicar varios positivos siempre será positivo.
Ejemplo: (+2)5 = (+2) · (+2) · (+2) · (+2) · (+2) = +25 = +32
2.11.2
Base negativa
Si la base es negativa el signo va cambiando según aumenta el exponente.
(−2)2
(−2)3
(−2)4
(−2)5
= +4
= +4 · (−2) = −8
= −8 · (−2) = +16
= +16 · (−2) = −32
6
No vamos a considerar aun el caso de que el exponente sea negativo, que también es posible, porque el resultado
en tales casos raramente pertenece a Z.
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31
En estos ejemplos podemos ver que el signo de una potencia con base negativa será positivo se el
exponente es par y negativo si es impar.
(−2)3 = −8 Potencia impar: negativo
Ejemplos: (−5)2 = +25 Potencia par: positivo
(−1)37 = −1 Potencia impar: negativo
2.12
Propiedades de la potencia de números enteros
La potencia de números enteros cumple las mismas propiedades que la potencia de números naturales. Las resumimos en el siguiente cuadro:
am · an = am+n
am ÷ an = am−n
(am )n = am·n
an · bn = (a · b)n
an ÷ bn = (a ÷ b)n
a1 = a
a0 = 1
Vemos unos ejemplos:
(−2)3 · (−2)2 = (−2)3+2 = (−2)5
(+3)5 ÷ (+3)3 = (+3)5−3 = 32
7
(−1)2 = (−1)2·7 = (−1)14 = 1
3
33 · (−2)3 = 3 · (−2) = (−6)3
125 ÷ 35 = (12 ÷ 3)5 = 45
2.13
Raı́ces de números enteros
Como sabemos, la raı́z cuadrada es la operación contraria de elevar al cuadrado.
La raı́z cuadrada de un número tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. El valor absoluto
de ambas es igual a la raı́z del valor absoluto del radicando. Veamoslo más fácilmente con un
ejemplo:
√
La raı́z cuadrada de 16, ( 16), tiene dos soluciones
• Primera solución: 4. Porque 42 = 16. Por tanto,
√
16 = 4
√
• Segunda solución: −4. Porque (−4)2 = 16. Por tanto, 16 = −4
En el ejemplo visto el radicando es un cuadrado perfecto,7 , que produce una raı́z exacta. Lo mismo
es aplicable a una raı́z entera, considerando el resto.8 Veamoslo con un ejemplo:
√
La raı́z cuadrada de 10, ( 10), tiene dos soluciones
7
8
Un cuadrado perfecto es un número que puede expresarse como a2 , como el 4 = 22 , el 9 = 32 , etc.
Lo habitual es usar una aproximación real con decimales en la solución. Esto se verá en otro tema.
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32
• Primera solución: 3, con resto 1. Porque 32 + 1 = 10.
• Segunda solución: −3, con resto 1. Porque (−3)2 + 1 = 10.
Nota: A menudo se considera solo una solución, la positiva. Esto es ası́ porque en la mayor parte
de los problemas el resultado tiene que ser positivo, (por ejemplo: la longitud de un segmento, el
peso de un objeto, etc). Es un error. Hay que tener en cuenta las dos soluciones y, si es preciso,
descartar la que corresponda según el enunciado del problema.
No se puede calcular la raı́z cuadrada de un número negativo9 , puesto que, como hemos visto, el
cuadrado de un número entero siempre es positivo.
Ejemplo:
2.14
√
−16 =??. No es 4, porque 42 = 16, ni tampoco −4 por que (−4)2 = 16. No existe.
Operaciones combinadas con números enteros
Los números enteros pueden combinarse en diferentes operaciones. Habrá que tener en cuenta
entonces las reglas de prioridad o precedencia de las operaciones. Estas reglas son las mismas que
en los números naturales. Las recordamos en la siguiente lista:
1. Paréntesis, (comenzando por los más interiores).
2. Potencias y raı́ces.
3. Productos y divisiones, (comenzando por la izquierda).
4. Sumas y restas, (comenzando por la izquierda).
Ejemplos:
−10
z }| {
3 − 5 · (−2) = 3 − (−10) = 3 + 10 = 13. Productos antes que sumas.
−3
4
z }| {
z }| {
3 (2 − 5) +2 (5 − 1) = 3 · (−3) + 2 · 4 = −9 + 8 = −1. Paréntesis antes que productos.
−32
(−1)3
z }| { z }| {
(2 − 5)2 (−3 + 2)3 = (−3)2 (−1)3 = 9(−1) = −9. Primero paréntesis, después las potencias, por
último los productos.
30
6
z}|{
z }| {
18 ÷ 3 ·5 ÷ 2 = 6 · 5 ÷2 = 30 ÷ 2 = 15. A igual prioridad, de izquierda a derecha.
9
No puede calcularse en este conjunto de números. Existe un conjunto de números, el conjunto complejo, en el
que si tiene solución.
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3
33
Los números decimales
Usamos 10 sı́mbolos para representar los números, (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9). Con seguridad este
sistema proviene del hecho de que tenemos 10 dedos.
Si comenzamos a contar, cuando agotamos ordenadamente estos 10 sı́mbolos, colocamos un número
a la izquierda de ellos formando una decena y seguimos contando con dos cifras, (depués del 9 el
10). Una vez agotadas ordenadamente todas las posibles combinaciones añadimos un nuevo número a la izquierda, formamos las centenas, seguimos contando ahora con números de tres cifras y
ası́ sucesivamente.
A cada uno de estos pasos, (de 1 a 2 cifras, de 2 a 3, etc), se les denomina ordenes de magnitud.
Crecemos en orden de magnitud al pasar de unidades a decenas, de decenas a centenas, etc. De
las misma forma, podemos bajar de ordenes de magnitud dividiendo cada orden en 10 partes y
colocando cifras a la derecha de las unidades, separadas por una coma.
Los ordenes de magnitud y su sı́mbolo correspondiente en orden descendente tras las unidades son:
décimas, (d), centésismas, (c), milésismas, (m), diezmilésismas, (dm), cienmilésismas (cm), y millonésimas, (mm), también conocidas como micras.
Ejemplos:
0,1 = 1d = 1 décima.
0,22 = 22c = 22 centésimas.
0,015 = 15m = 15 milésimas.
2,007 = 2 unidades y 7 milésimas.
0,23500 = 0,235 = 23500cm = 23500 cienmilésimas = 235 milésimas.
Tal y como puede observarse en el último ejemplo, los ceros a la derecha de un número decimal no
tienen valor y puede omitirse.
3.1
Tipos de números decimales
Existen cuatro tipos de números decimales en función de la periodicidad de sus cifras decimales.
• Números decimales exactos: Son aquellos que cuentan con un número finito de decimales.
Ejemplo: 125 ÷ 100 = 1, 25
• Números decimales periódicos puros: Son aquellos cuyos decimales se repiten de forma
indefinida. Se representan con un arco sobre la parte periódica.
>
>
Ejemplo: 1 ÷ 3 = 0, 3333... = 0, 3; 141 ÷ 99 = 1, 42.
• Números decimales periódicos mixtos: En la parte decimal tienen tanto un parte periódica como una no periódica.
>
Ejemplo: 228 ÷ 900 = 0, 25333... = 0, 253
• Irracionales: Son números con infinitos decimales no periódicos. Como ejemplo imaginemos
un número que en la parte decimal comienza con un 1 y un cero, después dos unos y dos
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34
ceros, depués tres unos y tres ceros y ası́ hasta el infinito: 0,101100111000... Tiene infinitos
decimales pero no hay periodo.
Entre los números irracionales más conocidos se encuentran el número π ≈ 3, 141592653589...,
√
2 ≈ 1, 4142125623... y el número e ≈ 2, 7182818284....
3.2
Infinitud de los números decimales
Existen infinitos número decimales. Esto es ası́ porque entre dos números decimales cualquiera
puedo encontrar otros 9 números decimales un orden de magnitud inferior. Veámoslo con un ejemplo:
Entre 0,7 = 0,70 = 70 centésimas y 0,8 = 0,80 = 80 centésimas, un orden de magnitud inferior
existen los siguientes nueve números decimales: 0,71 - 0,72 - 0,73 - 0,74 - 0,75 - 0,76 - 0,77 - 0,78 0,79.
Y entre cada uno de los nueve números puedo encontrar otros 9 en el orden de magnitud de las
milésimas, pudiendo continuar indefinidamente este proceso.
3.3
Redondeo
En muchas ocasiones es frecuente redondear un número decimal ignorando sus dı́gitos a partir de un
orden de magnitud. Por ejemplo, nuestra moneda actual, el euro, se redondea hasta los céntimos,
que reciben su nombre del hecho de que son centésimas de euro. Otras magnitudes que suelen
redondearse a menudo son el tiempo, (redondeamos hasta horas, minutos o segundos), la longitud,
(redondeamos hasta metros, centı́metros o milı́metros) y muchas más.
Ejemplo: seis amigos deciden hacer un regalo que cuesta 40e. Cada uno debe poner 40e÷6 =
>
6, 66666...e= 6, 6e. Redondean la cantidad hasta las centésimas y ponen cada uno 6e y 67 céntimos.
Para redondear descartamos todas las cifras a la derecha del orden de magnitud considerado.
Además, si el primer dı́gito descartado es mayor o igual a 5, aumentamos una unidad el último
dı́gito.
Ejemplo: redondear el número 35,27452 hasta las décimas, centésimas y milésimas.
• Redondeo hasta las décimas: Descartamos los dı́gitos a partir de las décimas, (en rojo).
Como la primera cı́fra descartada, (7), es mayor que 5, aumentamos una unidad las décimas:
35, 27452 ≈ 35, 3.
• Redondeo hasta las centésimas: Descartamos los dı́gitos a partir de las centésimas, (en rojo).
La primera cı́fra descartada, (4), es menor que 5 no hay que aumentar:
35, 27452 ≈ 35, 27.
• Redondeo hasta las milésimas: Descartamos los dı́gitos a partir de las milésimas, (en rojo). La
primera cı́fra descartada, (5), es igual a 5, por lo que aumentamos una unidad las milésimas:
35, 27452 ≈ 35, 275.
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3.4
35
Orden en los números decimales
Para determinar cual es mayor entre dos números decimales, se comienza comparando sus unidades.
Esta claro que 3,527 es mayor que 2,3. 3 unidades siempre serán mayores que 2.
Si las unidades son iguales, se iguala el orden de magnitud de la parte decimal añadiendo tantos
ceros a la derecha como sean necesarios. Se comparan entonces los decimales en el mismo orden de
magnitud. Veamoslo con un par de ejemplos:
Primer ejemplo: ¿Que número es mayor, 0,7 o 0,14?
Están en diferentes ordenes de magnitud. 0,7 son 7 décimas y 0,14 son 14 centésimas. Añadimos
un cero al primer número para expresarlo en centésimas. 0,70 = 70 centésimas es mayor que 0,14
= 14 centésimas. Por tanto, 0,7 es mayor.
Segundo ejemplo: ¿Que número es menor, 7,25 o 7,2592? La parte entera es igual en ambos. Añadimos dos ceros al primer número, (7,2500), para poder comparar las partes decimales, (ignoramos
las 7 unidades pues son iguales). 2500 diezmilésimas son menos que 2592 diezmilésimas. Por tanto,
7,25 es menor.
3.5
Operaciones con decimales
Las operaciones con decimales son similares a las mismas sin decimales. Comentamos brevemente
cada una de ellas.
3.5.1
Suma y resta
Solo hay que tener en cuenta que unidades deben estar sobre unidades. Por tanto la coma de
sumandos o minuendo y sustrayendo debe estar una encima de la otra. Colocaremos asimismo una
coma en el resultado a la altura de la coma de los operandos.
Si el número de decimales difiere entre ambos operandos, se colocarán ceros a la derecha para
igualar del número de decimales.
Ejemplos:
325,82
+444,70
770,52
3.5.2
232,45
-112,70
119,75
Producto
Para realizar el producto de dos números con decimales operaremos ignorando la coma. Una vez
hayamos obtenido el resultado le pondremos la coma de tal forma que tenga tantos decimales como
ambos factores juntos.
Ejemplo: 42, 37 × 2, 7.
Operamos ignorando las comas. Después, puesto que entre los dos factores tienen tres decimales,
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36
colocamos la coma en el resultado dejando tres decimales.
4237
×27
29659
8474
114399
3.5.3
42,37
×2,7
29659
8474
114,399
42, 37 × 2, 7 = 114, 399
División
En las divisiones con decimales se distinguen dos casos: que sea el numerador el único que tenga
decimales, o que los haya en el denominador.
Decimales en el numerador. Habrá que tener en cuenta que, justo antes de bajar el primer
decimal, hay que poner la coma en el cociente. Si queremos calcular más decimales, pondremos
ceros a la derecha de cada nuevo resto para continuar con el proceso. Podemos verlo en el siguiente
ejemplo:
>
75́, 4 6
15
12,
3
>
75́, 4́ 6
15
12, 5
3 4
4
>
75́, 4́ 6
15
12, 56
3 4
40
4
Decimales en el denominador. Se resuelve de la misma manera tanto si en el numerador hay
decimales como si no. Hay que multiplicar tanto numerador como denominador por 10 tantas veces
como sea necesario hasta que desaparezcan los decimales en el denominador. El resultado es el
cociente de esta nueva división.
Ejemplo: 0, 025 ÷ 0, 05. Multiplicamos numerador y denominador por 100, (multiplicamos 2 veces
por 10), para eliminar decimales en el denominador. 0, 025 ÷ 0, 05 = (0, 025 · 100) ÷ (0, 05 · 100) =
2, 5 ÷ 5
>
2, 5 5
2
0,
3.5.4
>
2, 5́ 5
2 5 0, 5
0
0, 025 ÷ 0, 05 = 0, 5
Raı́ces cuadradas
Se nos pueden presentar dos casos. Que el radicando sea decimal o que queramos sacar decimales
a una raı́z con resto.
Se procede de forma muy parecida en ambos casos. Veamoslo primero con decimales en el radicando.
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37
Procederemos similarmente al caso entero, haciendo grupos de dos dı́gitos, pero comenzando a
partir de la coma hacia la izquierda y la derecha. Veamoslo con un ejemplo:
> > 2,1
4,41
41 · 1 = 41
-4
0,41
-41
0
√
Puesto que el resto es cero, nos encontramos con una raı́z decimal exacta. 4, 41 = 2, 1
>> 2
4,41
-4
0,41
> > 2,
4,41
-4
0,41
> > 2,
4,41
4
-4
0,41
> > 2,
4,41
41 · 1 = 41
-4
0,41
-41
0
El segundo caso que se nos puede dar es que tengamos una raı́z con resto y queramos obtener sus
decimales. En este caso, tras finalizar la raı́z entera, pondremos una coma al resultado y continuaremos añadiendo dos ceros a la derecha del resto
√ hasta obtener resto cero u obtener los decimales
que necesitasemos. Lo vemos con un ejemplo: 26
>
26,0000 5,
-25,0000
1,0000
>
26,0000 5,
-25,0000 10
100,00
>
26,0000 5,0
-25,0000 100 · 0 = 0
100,00
-0,00
10000
>
26,0000 5,09
-25,0000 100 · 0 = 0
100,00 1009 · 9 = 9081
-0,00
10000
-9081
919
√
El resultado con dos decimales de 26 es 5,09. Podrı́amos seguir sacando decimales solo con añadir
dos ceros a cada nuevo resto hasta el orden de magnitud que queramos o hasta obtener resto cero.
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4
38
Sistema Métrico Decimal
Antiguamente, en cada región se usaban diferentes unidades de medida. Como ejemplo, los egipcios
usaban como medida de longitudes el codo, que era la distancia del antebrazo de una persona.
Puesto que estas medidas variaban de una región a otra, con el tiempo se buscaron medidas comunes que facilitarán el comercio entre distintas naciones. Esto llevó al actual Sistema Métrico
Decimal, propuesto en Francia en el siglo XVIII, que unifico criterios de medida de las diferentes
magnitudes a nivel mundial de forma progresiva.
Actualmente este es el sistema más usado, con excepciones. La excepción más notable es el Sistema
Anglosajón, usado principalmente en paises de habla inglesa.
4.1
Mágnitudes
Una magnitud es una caracterı́stica de un objeto que se puede cuantificar numéricamente.
Como ejemplo, la forma de un objeto no es una magnitud, pues cada forma viene determinada por
un nombre, (cuadrada, esférica, ovalada), no por un número.
La altura de una persona si es una magnitud, pues puede medirse numéricamente, por ejemplo, en
centı́metros.
En este tema vamos a estudiar la medida de las siguientes magnitudes: longitud, superficie,
volumen y masa.
Nota: El tiempo no pertenece al Sistema Métrico Decimal. Puesto que usa multiplos de 60 para sus
unidades pertenece al Sistema Métrico Sexagesimal, que se estudia en otra unidad.
4.2
Medida
Medir es comparar una magnitud de un objeto con otra cantidad fija denominada unidad de
medida.
Un ejemplo de unidad de medida es el metro. Decir que un edificio mide 30 metros es comparar lo
que mide el edificio con 30 varas de un metro.
Puesto que el mismo edificio se podrı́a haber medido, por ejemplo, en centı́metros, (resultando una
medida de 3000 cm), es fundamental al expresar una medida indicar que unidad estamos usando.
No vale con decir que el edificio mide 30, hay que indicar que se trata de 30 metros.
4.2.1
Múltiplos y submúltiplos. Prefijos correspondientes
Todas las magnitudes cuentan con una serie de multiplos y submúltiplos de la unidad en potencias
de 10.
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39
Los múltiplos se crean, (como su nombre indica), multiplicando la unidad por 10, 100 y 1000. Los
submúltplos se crean dividiendo a la unidad por 10, por 100 y por 1000. Los prefijos correspondientes a cada uno y su multiplicador se relacionan en la siguente tabla:
Prefijo
kilo
hecto
deca
deci
centi
mili
4.2.2
Sı́mbolo
k
h
da
d
c
m
Multiplicador
×1000
×100
×10
÷10
÷100
÷1000
Ejemplo
Kilogramo
Hectómetro
Decalitro
Decı́metro
Centı́metro cúbico
Miligramo
Medidas complejas e incomplejas o simples
Cuando una misma medida se expresa en varias unidades de medida se denomina medida compleja. Un ejemplo tı́pico es la altura de una persona, que suele expresarse en dos unidades, metros
y centı́metros. Ejemplo: el alumno más alto de mi clase mide 1 metro y 82 centı́metros.
Si la misma altura se expresa en una única unidad de medida se denomina medida simple o
incompleja. Siguiendo el ejemplo anterior este alumno mide, (expresado como medida simple o
incompleja), 182 centı́metros o 1,82 metros.
4.2.3
Paso de medidas complejas a incomplejas
Para pasar de un sistema de medidas complejo a uno
incomplejo hay que convertir cada dato a la misma
unidad de medida y luego sumar dichas medidas.
Para ello suele usarse el diagrama en escalera. Vemos
un ejemplo para longitudes a la derecha.
Kilómetros
Hectómetros
Decámetros
En este, subir varios escalones de una unidad a otra implica dividir por 10 cada escalón que nos desplacemos,
(o 100, o 1000 si se trata de superficies o volúmenes).
Bajar varios escalones implica multiplicar por 10, (o
100 o 1000 si se trata de superficies o volúmenes).
Metros
Decı́metros
Centı́metros
Milı́metros
Ejemplo: pasar a decı́metros 1 metro, 82 centı́metros.
Para pasar de metros a decı́metros hay que bajar un escalón, lo que supone multiplicar por 10.
1 metro = 1 × 10 = 10 decı́metros.
Para pasar de centı́metros a decı́metros hay que subir un escalón. Por tanto, dividimos por 10.
82 centı́metros = 82 ÷ 10 = 8, 2 decı́metros.
Para terminar sumamos ambas cantidades, (ahora en la misma unidad de medida):
10 decı́metros + 8,2 decı́metros = 18,2 decı́metros
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4.2.4
40
Paso de medidas incomplejas a complejas
Para pasar de una medida incompleja a una compleja hay que convertir los decimales en unidades
enteras y asignarles su unidad de medida correspondiente.
Ejemplo: pasar a medida compleja una estatura de 1,82 metros.
Nuestra medida tiene 1 metro entero y 0,82 decimales de metro. Estos decimales pueden convertirse
multiplicando sucesivamente por 10.
0, 82 × 10 = 8, 2 decı́metros = 8 decı́metros y 0,2 decı́metros.
0, 2 × 10 = 2 centı́metros.
1,82 metros son 1 metro, 8 decı́metros y 2 centı́metros.
Otra forma, (más convencional cuando hablamos de estaturas), serı́a haber multiplicado 0,82 metros
por 100, convirtiendolos en centı́metros directamente.
0, 82 × 100 = 82 centı́metros. 1,82 metros son 1 metro, 8 decı́metros y 2 centı́metros.
4.2.5
Operaciones con cantidades complejas o incomplejas
Para poder operar, (sumar, restar, multiplicar o dividir), dos medidas, es conveniente que ambas
se encuentren en las mismas unidades y en forma simple o incompleja.
Ejemplo: Un contenedor tiene una altura de 2 metros y 70 centı́metros. ¿Que altura alcanzan 2
contendedores, uno sobre el otro?
Podrı́amos sumar ambas alturas en forma compleja.
Empezarı́amos sumando los metros, (2+2=4 metros), después los centı́metros, (70+70=140 centı́metros).
El total seria 4 metros y 140 centı́metros.
Pero esta medida seria más correcta si transformamos los centı́metros en medida compleja, (140
centı́metros=1 metro y 40 centı́metros), y sumamos los metros totales:
4 metros + 1 metro y 40 centı́metros = 5 metros y 40 centimetros
El cálculo es más simple si pasamos todo a medida incompleja. Si es necesario después puede
expresarse el resultado en forma compleja.
2 metros y 70 centı́metros = 2,7 metros.
2,7 + 2,7 = 5,4 metros = 5 metros y 40 centı́metros
¿Cuanto medirán 5 contenedores uno sobre otro?
Como hemos dicho, es más simple con medida incompleja:
5 × 2, 7 = 13,5 metros = 13 metros y 50 centı́metros.
4.3
Masa
La unidad de masa en el sistema métrico decimal es el gramo, que es la masa de un cubo de agua
de un centı́metro de arista.
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41
Los múltiplos y submúltiplos estandar del gramo se muestran en la siguiente tabla. Hay que
multiplicar por 10 para pasar de un múltiplo al que está a su izquierda, o dividir por 10 para pasar
al que está a su derecha.
kilográmos
kg
1000g
hectogramos
hg
100g
decagramos
dag
10g
gramos
g
1g
decigramos
dg
0, 1g
centigramos
cg
0, 01g
miligramos
mg
0, 001g
Existen otros dos múltiplos no estandar muy utilizados. La tonelada métrica, equivalente a 1000
kg y el quintal métrico, equivalente a 100 kg.
4.4
Longitud
La unidad de longitud en el sistema métrico decimal es el metro.
Los múltiplos y submúltiplos se muestran en la siguiente tabla. Igual que en la masa, hay que
multiplicar por 10 para pasar de un múltiplo al que está a su izquierda, o dividir por 10 para pasar
al que está a su derecha.
kilómetros
km
1000m
hectómetros
hm
100m
decámetros
dam
10m
metros
m
1m
decimetros
dm
0, 1m
centimetros
cm
0, 01m
milimetros
mm
0, 001m
Además de estos múltiplos hay otros 5 muy usados.
Submúltiplos:
• Micrómetro, (µm). 0,000001 m = 1 · 10−6 m
• Nanómetro, (nm). 0,000000001 m = 1 · 10−9 m
• Ángstrom, (Å). 0,0000000001 m = 1 · 10−10 m
Múltiplos:
• Unidad Astronómica, (UA). Es la distancia media de la tierra al sol. 150 millones de kilómetros = 1, 5 · 1011 m
• Año luz. Es la distancia recorrida por la luz en un año. Aproximadamente 9,5 billones de
kilómetros. 9, 5 · 1015 m
4.5
Área o superficie
Área y superficie son dos sinónimos que nos indican las dimensiones de un plano, (de un objeto de
dos dimensiones).
Nota: Normalmente todas las personas entienden intuitivamente la idea de longitud, pero cometen
frecuentes errores cuando se trata de superficies, áreas o planos, frente a volúmenes o capacidad.
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Recomiendo la lectura detenida y la reflexión sobre este apartado y el siguiente, pues es causa de
errores no solo en geometrı́a, sino también en fı́sica, quı́mica y otras asignaturas relacionadas.
Para simplificar imaginemos que este plano es
cuadrado o rectangular. El área de un cuadrado
es base por altura. Como en un cuadrado tanto
la base como la altura son iguales, si llamamos l
a la longitud de una arista del cuadrado, A = l2 .
1 cm2
A = 4 · 3 = 12 cm2
1 cm
Si nuestro cuadrado tiene 1 centı́metro de arista,
su área es A = 12 = 1.
Queda pendiente la cuestión de las unidades. Cuando hemos calculado el área solo hemos tenido
presente la cantidad, no hemos considerado las unidades de la misma. Ahora si lo haremos:
A = (1 cm)2 = (1 cm) · (1 cm) = 1 · 1 cm · cm = 1 cm2
Si se trata de un rectángulo, (o de un cuadrado cuya arista no mida 1), podemos medirlo comparando cuantas veces se encuentra el área de 1 cm2 dentro del rectángulo. En nuestro ejemplo el
rectángulo de 4 centı́metros de base y 3 centı́metros de altura tiene exactamente 12 cm2 de superficie. Es fácil intuir por tanto que el área de un rectángulo es base por altura.
Es importante notar que debido al hecho de que todas las fórmulas para obtener superficies se basan
en el producto de dos longitudes, (cuadrado: lado por lado, rectángulo: base por altura, etc), todas
la unidades de superficie se miden en unidades cuadradas, (centı́metro cuadrado, metro cuadrado,
etc).
La unidad de longitud en el Sistema Métrico Decimal no es el centı́metro, es el metro. Por tanto,
la unidad de superficie no es el centı́metro cuadrado, es el metro cuadrado.
Los múltiplos y submúltiplos se muestran en la siguiente tabla.
km2
1000000 m2
hm2
10000 m2
dam2
100 m2
m2
1 m2
dm2
0, 01 m2
cm2
0, 0001 m2
mm2
0, 000001 m2
Es importante notar que si para subir o bajar de múltiplo en logitudes hay que dividir o multiplicar
por 10, en superficies, donde las unidades van al cuadrado hay que dividir o multiplicar por 100. De
esta forma, para pasar por ejemplo de dam2 a cm2 , (tres multiplos más abajo), hay que multiplicar
por 100 tres veces, 100 · 100 · 100 = 1000000, es decir, multiplicar por 1 millón.
4.6
Volumen o Capacidad
El volumen es el espacio que ocupa un objeto.
En cierta manera es la continuación a los conceptos de longitud y superficie. Una longitud es lo
que mide una lı́nea, una superficie es lo que mide un plano y un volumen lo que mide un espacio.
Su unidad sigue también a las anteriores. La longitud se mide en metros, la superficie en metros
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43
cuadrados y el volumen en metros cúbicos, (m3 ).
Pero existe también otra unidad muy usual para
medir capacidades: el litro. Con el solemos medir el
espacio que ocupa un lı́quido, (no importa si se trata
de agua, de leche o de nitrógeno lı́quido). Un litro es
la cantidad de substancia que coge dentro de un cubo
de 1 decı́metro de arista.
1 litro
10 cm
Esta doble interpretación del volumen suele crear con10 cm
10 cm
fusión en los alumnos debida a que cuando queremos
pasar de un múltiplo a otro si estamos midiendo en
litros multiplicamos o dividimos por 10. En cambio si estamos midiendo en unidades cúbicas, (por
ejemplo en metros cubicos), para pasar de una unidad a la siguiente tendremos que multiplicar o
dividir por 1000.
Vemos primero una tabla con los múltiplos y submúltiplos del litro.
kilolitros
kl
1000 l
hectólitros
hl
100 l
decálitros
dal
10 l
litros
l
1l
decilitros
dl
0, 1 l
centilitros
cl
0, 01 l
mililitros
ml
0, 001 l
Como podemos observar el paso de una unidad a otra se realiza multiplicando o dividiendo por 10.
Vemos ahora la tabla con los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico. En esta para pasar de un
múltiplo al siguiente hay que multiplicar o dividir por 1000.
km3
1000000000 m3
hm3
1000000 m3
dam3
1000 m3
m3
1 m3
dm3
0, 001 m3
cm3
0, 000001 m3
mm3
0, 000000001 m3
Por último, se nos puede dar el caso de tener que pasar de unidades en litros a unidades cúbicas o viceversa. Esto lo haremos teniendo en cuenta que 1 decı́metro cúbico es igual a un litro, (1 dm3 = 1 l).
Ejemplo: ¿Cuantos metros cúbicos son 200 decilitros?
Para pasar de decilitros a litros dividimos por 10. 200 dl ÷ 10 = 20 litros.
Un litro es lo mismo que un dm3 . Por tanto, 20 litros = 20 dm3 .
Para pasar de dm3 a m3 dividimos por 1000. 20 dm3 ÷ 1000 = 0, 02 m3 .
4.7
Sistema Anglosajón
Si bien prácticamente todas las grandes civilizaciones han adoptado progresivamente el Sistema
Métrico Decimal, este no es el caso de Inglaterra y algunos otros paises de habla inglesa. Estos
paises conservan el denominado Sistema Aglosajón.
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Vemos a continuación algunas de sus unidades más usadas:
Masa:
• Onza = 28,3 g
• Libra = 454 g
Longitud:
• Pulgada = 2,54 cm
• Pie = 12 pulgadas = 30,48 cm
• Yarda = 3 pies = 91,44 cm
• Braza = 2 yardas = 1,829 m
• Milla = 1609 m
Superficie:
• Acre = 4047 m2
Volumen:
• Pinta inglesa = 0,568 l
• Pinta estadounidense = 0,473 l
• Barril = 159 l
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5
45
Los números racionales
Los números racionales son parejas de números expresadas de las siguiente forma:
a
b
Al número de arriba, a, se le denomina numerador. Al de abajo, b, denominador.
Los números racionales pueden ser positivos o negativos, pero tienen que cumplir ciertos requisitos.
a y b tienen que ser naturales o enteros, (-2, -1, 0, 1, -2 ... ). Además, b no puede ser cero.
Ejemplos de racionales:
5.1
1
3
−2
5
−
11
4
Significados de un número racional
Hay tres formas de interpretar un número racional: como una división, como partes de un todo o
como operador.
5.1.1
Número racional interpretado como una división
En este caso el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.
Por tanto, podemos obtener el número decimal equivalente a una fracción solo dividiendo.
Ejemplo: Representar
3
5.1.2
4
0, 75
⇒
3
en forma decimal.
4
3
= 0, 75
4
Número racional interpretado como partes de un total
Imaginemos que tenemos, por ejemplo, una tarta. Si tomamos tres
cuartas partes de la misma, esta cantidad se puede representar
mediante el número racional 34 .
Esto implica dividir la tarta en tantas partes como diga el denominador, (4), y tomar tantas como diga el numerador, (3). Es el
equivalente a las 3 zonas sombreadas en la figura de la derecha.
En este caso hemos tomado 3 partes del total.
También puede ocurrir que el numerador sea mayor que el denominador. Esto es lo que se conoce
7
como una fracción impropia. Ejemplo: .
4
En este caso no tiene lógica la interpretación anterior. No puedo dividir un objeto en 4 partes y
coger 7. Pero si puedo convertir esta fracción en una parte entera más una fracción propia.
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46
7
4 3
3
3
= + = 1 + . Tomarı́a un objeto entero y del siguiente.
4
4 4
4
4
5.1.3
Número racional interpretado como un operador
Por último, un número racional puede ser interpretado como un operador.
Ejemplo: En España suspendieron sexto curso de primaria
3
50
de 458200 alumnos.
La fracción es un operador en el sentido de que transforma la cantidad de alumnos en una nueva.
Para ello, la cifra de alumnos se divide entre el denominador y se multiplica por el numerador.
3
50
de 458200 alumnos = 458200 ÷ 50 · 3 = 9164 · 3 = 27492 alumnos suspensos.
5.2
Fracciones equivalentes
Se puede dar el caso de que diferentes fracciones representen el
mismo valor.
Como ejemplo, la zona sombreada del objeto de la derecha pude
5
interpretarse como la fracción
.
10
Pero exactamente la misma zona sombreada puede interpretarse
1
como la fracción .
2
Estas dos fracciones se dice que son equivalentes, porque ambas
representan el mismo número, (el 0,5 en decimal).
Podemos crear una fracción equivalente a otra dada multiplicando el numerador y el denominador por cualquier número natural diferente de cero y de uno.
Por
si multiplicamos
numerador y denominador de nuestra fracción
ejemplo, del
ejemplo anterior,
1
1·5
5
5
, por 5,
=
, obtenemos la fracción equivalente del ejemplo
.
2
2·5
10
10
Una fracción siempre debe expresarse en la forma más reducida posible, o sea, con el numerador
y el denominador lo más pequeños posibles. A esta fracción equivalente se la denomina fracción
irreducible.
Para obtener la fracción irreducible debemos dividir tanto numerador como denominador por los
5
1
divisores comunes a ambos. Como ejemplo, la fracción
se convierte en la fracción equivalente
10
2
dividiendo numerador y denominador por 5.
En este caso solo tenı́amos un divisor común. Veamos un ejemplo en el que tenemos más de un
divisor común.
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47
Ejemplo: Obtener la fracción irreducible de
12
.
36
Podemos reducirla dividiendo entre cada uno de los divisores comunes de 12 y 36, que van a ser 2 y 3.
12
12 ÷ 2
6
6÷2
3
3÷3
1
=
=
=
= =
= ;
36
36 ÷ 2
18
18 ÷ 2
9
9÷3
3
12
1
=
36
3
También podriamos haber calculado primero el máximo común divisor de 12 y 36, (que es 12), y
dividir numerador y denominador por dicho máximo común divisor.
12
12 ÷ 12
1
=
= ;
36
36 ÷ 12
3
5.3
12
1
=
36
3
Suma y resta de fracciones
La condición necesaria para poder sumar y restar fracciones es que tengan el mismo denominador.
Esto es fácil de ver gráficamente.
La imagen de la derecha representa la suma
2
4
de
+ . Gráficamente no es fácil intuir
4
9
cual es el resultado de dicha suma.
En cambio, cuando la figuras están divididas
en el mismo número de partes, sumarlas es
evidente. Solo hay que sumar el número de
partes. La imagen de la derecha representa
2 1
3
la suma de + , cuyo resultado es .
4 4
4
+
=
+
=
?
Al sumar fracciones con el mismo denominador, obtenemos una nueva fracción cuyo denominador es
el mismo que el de los sumandos, y el denominador es la suma de los denominadores de los sumandos.
Ejemplo:
2 1
2+1
3
+ =
=
4 4
4
4
Si en lugar de una suma se trata de una resta, los pasos son los mismos.
Ejemplo:
7 3
7−3
4
− =
=
9 9
9
9
Cuando nos encontramos con una suma o resta con diferentes denominadores, hay que susbtituir
cada fracción por otra equivalente, y que además ambas tengan el mismo denominador.
Para esto existen varias técnicas. Una de ellas es multiplicar numerador y denominador por el
denominador del otro sumando, pero esta técnica no siempre produce los valores más reducidos
posibles. Veámoslo con un ejemplo.
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Ejemplo:
48
7
4
7 · 15
4·9
105
36
105 + 36
141
+
=
+
=
+
=
=
9 15
9 · 15 15 · 9
135 135
135
135
Esta fracción es reducible, puesto que numerador y denominador son divisibles por 3. Procedemos
a obtener la fracción irreducible:
141
141 ÷ 3
47
=
=
135
135 ÷ 3
45
Como hemos dicho esta técnica no es la más adecuada. Pasamos ahora a explicar la técnica usada
habitualmente mediante el mismo ejemplo. Esta es la técnica que se recomienda usar al alumno:
Primero obtenemos el mı́nimo común múltiplo10 de ambos denominadores.
min.c.m(9, 15) = min.c.m(32 , 3 · 5) = 32 · 5 = 45
El mı́nimo común múltiplo es el denominador de la fracción resultante. Podemos escribir ahora
nuestro primer paso de la siguiente manera:
7
4
+
=
+
9 15
45 45
Ahora nos faltan los numeradores de las fracciones equivalentes. Estos se obtienen dividiendo el
mı́nimo común múltiplo, (45) entre cada denominador y multiplicando el resultado obtenido por el
numerador correspondiente:
7
4
45 ÷ 9 · 7 45 ÷ 15 · 4
35 12
35 + 12
47
+
=
+
=
+
=
=
9 15
45
45
45 45
45
45
El mismo método es aplicable al caso de la resta de fracciones.
Nota: Siempre habrá que comprobar que la fracción obtenida es irreducible. Si no lo es habrá que
reducirla dividiendo numerador y denominador entre sus divisores comunes.
5.4
Producto de fracciones
El producto de fracciones es mucho más simple. Solo hay que multiplicar numeradores y denominadores.
a·c
a c
· =
b d
b·d
Ejemplo:
3 · 14
42
3 14
·
=
=
7 9
7·9
63
Esta fracción es reducible, pues es divisible por 3 y por 7. Pasamos a reducirla para obtener el
resultado correcto.
10
Mı́nimo común múltiplo: descomponer factorialmente y tomar factores comunes y no comunes a mayor exponente.
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Ejemplo:
5.5
49
42
42 ÷ 3
14
14 ÷ 7
2
=
=
=
=
63
63 ÷ 3
21
21 ÷ 7
3
División de fracciones
El método para dividir fracciones es similar al de la multiplicación, pero en cruz.
El numerador resultado de una división de dos fracciones es el producto de numerador del dividendo
por denominador del divisor. El denominador del resultado es el producto del denominador del
dividendo por el numerador del divisor.
a c
a·d
: =
b d
b·c
Ejemplo:
5.6
3·9
27
3 14
:
=
=
7 9
7 · 14
98
Equivalencia entre fracciones y números naturales o enteros
Encontra un numero racional equivalente a un número natural o entero es sencillo. Solo hay que
poner dicho número cono numerador y el 1 como denominador.
3
Ejemplos: 3 = ;
1
−5 =
−5
;
1
0=
0
1
De esta forma podemos operar números naturales o enteros con racionales, cambiandolos por los
equivalentes.
Ejemplos: 1 +
5.7
1
1 1
= + ;
3
1 3
3
3 3
−3= − ;
2
2 1
1
1 a
= :
a/b
1 b
Operaciones combinadas de números racionales
En las operaciones combinadas con números racionales tenemos que tener en cuenta las reglas de
precedencia y las reglas de signos para enteros. Son las mismas que para números naturales y
enteros. Recordemos las reglas de precedencia:
1. Paréntesis, (comenzando por los más interiores).
2. Potencias y raı́ces.
3. Productos y divisiones, (comenzando por la izquierda).
4. Sumas y restas, (comenzando por la izquierda).
1
7
1
Ejemplo: Calcular: − 3 · :
−2
3
2
5
Comenzamos por convertir los números naturales en racionales dividiendolos por 1.
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1 3 7
− · :
3 1 2
1 2
−
5 1
50
Realizamos la resta del paréntesis:
min.c.m(5, 1) = 5;
1 3 7
−9
− · :
3 1 2
5
1 2
1 5÷1·2
1 − 10
−9
− = −
=
=
5 1
5
5
5
5
Realizamos el producto:
1 21
1 3·7
−9
−9
= −
=
−
:
:
3 1·2
5
3
2
5
Realizamos la división, arreglamos los signos y reducimos por ser numerador y denominador múltiplo de 3:
1 21
−9
1
21 · 5
1
105
1
105 ÷ 3
1 35
−
:
= −
= −
= − −
= +
=
3
2
5
3 2 · (−9)
3 −18
3
18 ÷ 3
3
6
Por último, realizamos la suma, (min.c.m, etc).
min.c.m(3, 6) = min.c.m(3, 2 · 3) = 2 · 3 = 6;
5.8
6 ÷ 3 · 1 35
2 35
37
1 35
+
=
+
= +
=
3
6
6
6
6
6
6
Tipos de números racionales
Los números racionales pueden clasificarse en dos tipos:11
• Fracciones propias.
Son números racionales en los que el numerador es menor que el denominador.
a
3
es fracción propia si a < b. Ejemplo:
b
5
Corresponden a números decimales entre el 0 y el 1, (o entre el 0 y el -1 si son negativos).
• Fracciones impropias.
Son números racionales en los que el numerador es mayor que el denominador.
a
5
es fracción propia si a > b. Ejemplo:
b
3
Pueden convertirse en suma de un número entero más una fracción propia.
5
3 2
2
Ejemplo: = + = 1 +
3
3 3
3
Para pasar de una fracción impropia a suma de un entero más una fracción propia se utiliza la
siguiente fórmula:
11
Lo lógico hubiese sido explicar este apartado al principio de este tema, junto a la definición de número racional.
Pero como para entender los conceptos de fracción impropia y de número mixto es necesario conocer la suma de
números racionales y la equivalencia entre números enteros y fracciones, se explica ahora.
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51
R
D
=C+
d
d
En ella, D es numerador o dividendo, d es denominador o divisor, C es el cociente y R es el resto.
5
Veamoslo con el mismo ejemplo, la fracción impropia :
3
5
2
5 3 ⇒
=1+
3
3
2 1
5.9
Números mixtos
El formtao en el que se ha expresado la última fracción impropia del apartado anterior, (número
entero + fracción), se denomina número mixto.
Ya hemos visto en dicho apartado como convertir una fracción impropia en un número mixto.
Convertir un número mixto en una fracción es inmediato. Solo hay que convertir el entero en la
fracción equivalente, (añadir un 1 como denominador), y sumar ambas fracciones.
Ejemplo: Convertir el número mixto 1 +
1+
2
en fracción.
3
1 2
3 2
5
2
= + = + =
3
1 3
3 3
3
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6
52
Proporcionalidad
La proporcionalidad nació en Babilonia y Egipto de la necesidad de repartir equitativamente cantidades, (herencias, terrenos, etc).
Este concepto fue ampliado por los griegos mediante la teorı́a de las proporciones, donde se le dio
un marco más teórico.
A partir del concepto de magnitud se desarrolla la proporcionalidad directa e inversa, su resolución
mediante la reducción a la unidad o las reglas de tres y su relación con porcentajes.
6.1
Magnitudes
Una magnitud es una caracterı́stica que se pueda medir numéricamente.
Por tanto son magnitudes, por ejemplo, la longitud de un objeto, su velocidad o su masa.
En cambio, no son magnitudes la belleza, la forma de un objeto o la sensibilidad de una persona,
pues no existe una escala númerica a la que asignar belleza o sensibilidad. La forma tampoco es una
magnitud, pues no se asigna a ella un valor numérico, sino un adjetivo, como cuadrado, esférico, o
irregular.
6.2
Proporcionalidad
La proporcionalidad es la relación entre dos magnitudes.
Ejemplo: Una chocolatina pesa 120 gramos. Aqui tenemos dos magnitudes: cantidad de chocolatinas, (1), y peso de la chocolatina, (120 gramos). Además son cantidades proporcinales: si una
chocolatina pesa 120 gramos, dos pesan 240 gramos y tres 360 gramos.
Se define como constante de proporcionalidad k a la razón resultado de dividir ambas magnitudes. Esta constante es la misma para cualquier par de valores que tomemos en el mismo ejercicio.
Ejemplo: Determinar la constante de proporcionalidad del ejemplo anterior y comprobar que efectivamente es la misma para cada par de valores.
k=
6.3
120
= 120;
1
k=
240
= 120;
2
k=
360
= 120
3
Proporcionalidad directa
Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una aumenta también
la otra.
Como ejemplo, cantidad de objetos y su peso son magnitudes directamente proporcionales, puesto
que si aumentamos la cantidad de objetos, el peso total de los mismos también aumenta.
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6.3.1
53
Reducción a la unidad
Existen dos métodos para resolver problemas de proporcionalidad. El primero que vamos a ver se
conoce como método de reducción a la unidad.
El método de reducción a la unidad calcula primero el valor de una unidad, dividiendo cuando es
necesario. Después calcula el valor de las unidades que nos plantee el problema multiplicando.
Ejemplo: En un aparcamiento 3 coches ocupan 6,9 metros de anchura. ¿Que distancia ocuparán
10 coches?
Primero calculamos mediante una división lo que ocupa un coche: 6, 9 ÷ 3 = 2, 3 metros.
Después calculamos mediante una multiplicación lo que ocupan 10 coches: 2, 3 · 10 = 23 metros
6.3.2
Regla de tres
El segundo método para resolver problemas de proporcionalidad se denomina regla de tres.
Este método se basa en las propiedades de la constante de proporcionalidad, k.
Puesto que k es constante, podemos igualar mediante dos razones varios valores de las magnitudes
de estudio. Tras esto podemos obtener el valor de uno de ellos aplicando las propiedades de las
fracciones.
Ejemplo: En un aparcamiento 3 coches ocupan 6,9 metros de anchura. ¿Que distancia ocuparán
10 coches?
Colocamos los datos en una disposición tipo tabla como la siguiente indicando en cada fila la cantidad de coches y la anchura correspondiente. Esta disposición se corresponde con la colocación
en forma de fracción que vemos a continuación de los datos. De ella podemos calcular el valor
desconocido x, como producto de los dos valores a la izquierda y arriba de dicha x, dividido entre
el valor opuesto a x.
Coches
3
10
6.4
→
→
Anchura
6,9
x
⇒
3
6, 9
=
10
x
⇒
x=
10 · 6, 9
69
=
= 23 metros
3
3
Proporcinalidad inversa
Hasta ahora hemos visto magnitudes en las cuales cuando una crecia también lo hacia la otra. Esto
no es siempre ası́. Existen magnitudes en las que al aumentar una la otra disminuye. A menudo
una de las magnitudes está relacionada con el tiempo. En estos casos se las denomina magnitudes
inversamente proporcionales
Ejemplos: Si un coche aumenta su velocidad, el tiempo que tarda en recorrer una distancia disminuye. Si un obrero necesita un tiempo para realizar un trabajo, si aumenta el número de obreros
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54
el tiempo necesario disminuye.
Cuando se nos presenta un problema de proporcionalidad lo primero es determinar si se trata de
un problema de proporcionalidad directa o inversa.
Si el problema es de proporcionalidad inversa también podemos resolverlo mediante los métodos de
reducción a la unidad o mediante un regla de tres como veremos en los siguientes apatados.
6.4.1
Reducción a la unidad
En un problema de proporcionalidad directa dividiamos para obtener el valor asociado a una unidad. Si tres coches ocupaban 6’9 metros, dividiamos 6’9 por 3 para obtener el espacio que ocupaba
un coche.
En un problema de proporcionalidad inversa, en lugar de dividir, multiplicamos.
Ejemplo: Tres obreros trabajando en equipo colocan una ventana cada 16 minutos. ¿Cuanto
tiempo tardará un único obrero en colocar la misma ventana? ¿Y dos obreros?
Si entre tres obreros tardan 16 minutos, un obrero tardará el triple. 16 · 3 = 48 minutos.
Entre dos obreros tardarán una la mitad que uno solo.
6.4.2
48
= 24 minutos
2
Regla de tres
Si queremos resolver un problema de proporcionalidad inversa mediante regla de tres, procederemos similarmente a método para resolverlo en proporcinalidad directa, pero daremos la vuelta a la
segunda razón, (numerador se convertirá en denominador y denominador en numerador).
Ejemplo: Tres obreros trabajando en equipo colocan una ventana cada 16 minutos. ¿Cuanto
tiempo tardarán en colocarla entre dos obreros?
Obreros
3
2
6.5
→
→
Tiempo
16
x
⇒
3
x
=
2
16
⇒
x=
16 · 3
= 24 minutos
2
Porcentajes
Es usual escuchar expresiones como las siguientes:
• Esa tienda tiene descuentos de hasta el 40 por ciento, (40%).
• Me han cobrado un 20% de recargo por atraso en el pago.
• Le toco el 50% de la herencia, porque solo eran dos hermanos.
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55
Un porcentaje equivale a partir una cantidad en cien partes y tomar tantas como diga el porcentaje.
Por tanto dividiremos la cantidad entre 100 y la multiplicaremos por el porcentaje.
Ejemplo: En un jersey tiene un precio de 30e. ¿Que descuento nos harán si tiene una rebaja del
20%
Dividimos el precio entre 100 y lo multiplicamos por el porcentaje de descuento:
30
· 20 = 00 3 · 20 = 6e
100
6.5.1
Interpretaciones de un porcentaje
También podemos interpretar los porcentajes como fracciones. Siguiendo el ejemplo anterior, el
20
20
de 30% =
· 30 = 6e
20% de 30ese puede escribir como:
100
100
Podemos interpretar un porcentaje como un número decimal, puesto que cualquier fracción tiene
un número decimal equivalente. El mismo ejemplo quedarı́a como sigue:
El 20% de 30e=
20
· 30 = 00 2 · 30 = 6e
100
Por último, un porcentaje puede ser interpretado como una proporción. En este caso el problema
puede ser resuelto mediante una regla de tres.
Porcentaje
20
100
6.5.2
→
→
e
x
30
⇒
20
x
=
100
30
⇒
x=
20 · 30
600
=
= 6e
100
100
Algunos porcentajes especiales
Gracias a la simplificación de fracciones, algunos porcentajes son muy fáciles de calcular. Enumero
a continuación algunos de ellos:
• 50% =
50
1
= . Para calcular el 50%, divide por 2.
100
2
• 25% =
25
1
= . Para calcular el 25%, divide por 4.
100
4
• 20% =
20
1
= . Para calcular el 20%, divide por 5.
100
5
• 10% =
10
1
= . Para calcular el 10%, divide por 10.
100
10
6.5.3
Aumentos y disminuciones porcentuales
Es frecuente el uso de porcentajes para indicar rebajas y recargos. En los apartados anteriores se
ha visto como calcular un porcentaje. Ahora vermos dos métodos para calcular el valor final tras
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56
aplicar el aumento o disminución porcentual.
• Primer método:
Tras haber calculado el porcentaje, sumarlo o restarlo, (en función de si se trata de un aumento o de una disminución), al valor inicial.
Ejemplo: Un comercio compra blusas a 30e la pieza. Si pretenden ganarle un 40% a cada
blusa, ¿cual será su precio de venta?
Calculamos el 40% de 30=
40
· 30 = 12e
100
Sumamos al valor inicial: 30e+12e= 42e
Ejemplo: En un jersey tiene un precio de 30e. ¿Cual será su precio si nos hacen una rebaja
del 20%
Calculamos el 20% de 30=
20
· 30 = 6e
100
Restamos el descuento del valor inicial: 30e-6e= 24e
• Segundo método:
Aplicamos el aumento o la disminución al porcentaje, obteniendo directamente el valor final.
Ejemplo: Un comercio compra blusas a 30e la pieza. Si pretenden ganarle un 40% a cada
blusa, ¿cual será su precio de venta?
El valor final será del 100% del precio de adquicisión más el 40% de beneficio buscado, o sea
del 140%
140
Calculamos el 140% de 30=
· 30 = 42e
100
Ejemplo: En un jersey tiene un precio de 30e. ¿Cual será su precio si nos hacen una rebaja
del 20%
El valor final será del 100% del precio de adquicisión menos el 40% de beneficio buscado, o
sea del 100% − 40% = 60%
60
· 30 = 24e
Calculamos el 60% de 30=
100
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7
7.1
57
Álgebra
Introducción
En los temas anteriores hemos estudiado varios conjuntos de números y las operaciones entre ellos.
A dicha parte de la matemática se la denomina Aritmética. La Aritmética se caracteriza en parte
porque todos los valores involucrados son conocidos.
Imaginemos el siguiente problema: Juan le dobla la edad a Ana, y entre ambos suman 39 años.
¿Cual es la edad de Juan?
En este problema hay datos desconocidos: la edad de Juan y la edad de Ana. La rama de las
matemáticas que se ocupa de este tipo de problemas se denomina Álgebra.
Los datos desconocidos se denominan incógnitas, y se representan habitualmente mediante alguna
de las últimas letras del alfabeto, como x e y.
De esta forma, en el anterior problema podriamos llamar x a la edad de Juan e y a la edad de Ana.
Además, si la suma de sus edades es 39, dicho problema puede expresarse en lenguaje matemático
de la siguiente forma:
x + y = 39
De momento no resolveremos este problema. Antes definiremos otros conceptos necesarios.
Se denomina solución del problema al conjunto de valores de cada incognita que cumple su planteamiento.
En el anterior problema podriamos optar como solución a los valores de x = 30 e y = 9, puesto que
30 + 9 = 39, y por tanto la edad de Juan serı́an 30 años y la de Ana 9 años. Pero esto no cumple
la condición del problema de que la edad de Juan sea el doble de la de Ana.
De hecho, la única solución válida para dicho problema es x = 26 e y = 13, siendo por tanto la
edad de Juan 26 años y la de Ana 13 años, con lo que Juan le dobla la edad a Ana y ambos suman
39 años. Más adelante veremos métodos para resolver este y otros problemas.
7.2
Expresiones algebraicas. Monomios
Una expresión algebraica es un conjunto de números e incógnitas relacionados mediante una o
varias de las operaciones conocidas, (suma, resta, producto, división, potencias y raices). Veamos
algunos ejemplos:
x 2 y 2
p
a+b
k · r2
+
ax2 + bx + c
2
2
3
Un monomio es un tipo concreto de expresión algebraica. Esta formado por el producto de un
número llamado coeficiente y un conjunto de incognitas elevada cada una a un exponente natural.
2x + y;
x2 + 3x − 5
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58
Al conjunto de incógnitas se la denomina parte literal. La suma de los exponentes de cada una
de las incógnitas se denomina grado del monomio.
Veamos unos ejemplos:
Monomio
3x2 y 3
−abc
√2x 2
3t
Coeficiente
3
−1
√2
3
Parte Literal
x2 y 3
abc
x
t2
Grado
2+3=5
1+1+1=3
1
2
Veamos ahora algunos ejemplos de expresiones que no son monomios:
• x + y. No es monomio, puesto que las incógnitas se están sumando, y no multiplicando.
3x
. No es monomio, puesto que las incógnitas se están dividiendo, y no multiplicando.
y
√
• 2 x. No es monomio, puesto que la incógnita, x, no esta elevada a un exponente natural.12
•
• 3xy −1 . No es monomio, puesto que las incógnita y no está elevada a un exponente natural.
Dos monomios que tienen la misma parte literal se denominan monomios semejantes.
Ejemplo: 3xy 3 y −xy 3 son monomios semejantes.
7.3
Suma, resta de monomios
Podemos sumar o restar monomios. Ejemplo: 2x2 − 3xy es una resta de monomios.
Pero en ciertos casos podemos simplificar la suma o resta de monomios aprovechando la propiedad
distributiva. Esto siempre es posible cuando los monomios son semejantes, (su parte literal coincide).
Recordamos la propiedad distributiva, pero en sentido contrario, lo que se conoce como sacar factor
común:
ab + ac = a(b + c);
ab − ac = a(b − c)
Veamos como utilizar esta propiedad para simplifcar sumas y resta de monomios semejantes:
• 3x2 y + 2x2 y = (3 + 2)x2 y = 5x2 y. Puesto que la parte literal es la misma, podemos sacarla
como factor común y sumar los coeficientes.
√
√
• 2x − x = ( 2 − 1)x. En este caso la parte literal es solo x, puesto que es factor común
restamos los coeficientes.
12
Una raı́z es equivalente a una potencia fraccionaria. Por ejemplo,
√
x = x1/2 . Esto se verá en otro curso.
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7.4
59
Producto de monomios
El producto de monomios produce nuevos monomios. Para realizarlo hay que multiplicar por separado coeficientes y partes literales.
Para el producto de coeficientes hay que recordar las reglas de producto de enteros, (con especial
cuidado en los signos), y el producto de fracciones si alguno de los coeficientes es fracción.
Para el producto de partes literales hay que recordar especialmente la regla de producto de potencias: am · an = am+n . Esta implica que, por ejemplo, x2 · x3 = x5 .
Ejemplos:
2x · 3y = 6xy;
5y · (−3)y 2 = −15y 3 ;
2
2
3 xy
· 3z = 63 xy 2 z = 2xy 2 z
Es frecuente encontrar el producto de un monomio por una suma o resta. En tal caso se utilizará la
propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac
Ejemplos:
7.5
3 · (x + 3y) = 3x + 9y;
2x · (x2 − 5) = 2x3 − 10x
División de monomios
Una división de monomios puede producir un nuevo monomio, un coeficiente o una fracción algebraica. Una fracción algebraica es una fracción que incluye una o varias incógnitas en el denominador,
3x −1
como
o
.
y
xy
Siempre obtendremos un coeficiente. Habrá que considerar las reglas para división de enteros y las
de simplificación de fracciones para calcularlo.
Para calcular la parte literal del monomio o de la fracción algebraica habrá que considerar entre otras
la regla de división de potencias: am ÷an = am−n , que implica, por ejemplo que x5 ÷x2 = x5−2 = x3 .
Ejemplos:
• 3x3 : 15x3 =
3x3
15x3
• (8ab2 ) : (−4ab) =
• a : 3a2 =
7.6
1
= . Obtenemos un coeficiente, (no olvidamos simplificar la fracción).
5
8 · a · b · b
= −2b. Obtenemos un monomio.
−4 · a · b
a
1
=
. Obtenemos una fracción algebraica.
3 · a · a
3a
Igualdades algebraicas
Una igualdad algebraica es la relación que se obtiene al poner un signo igual entre dos expre1
siones algebraicas. Ejemplo: 3x + 5y = 7 o
= −1.
ab
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60
Las igualdades algebraicas se dividen en dos grupos: identidades y ecuaciones.
Una identidad algebraica es una igualdad que se cumple para cualquier valor de las incógnitas.
Por ejemplo, la regla de las potencias am · an = am+n es una igualdad algebraica que se cumple
para todos los valores de a, m y n. Otro ejemplo más sencillo puede ser x − x = 0, que también se
cumple para cualquier valor de x.
En cambio, una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple solo para un conjunto de
valores restrinjidos, a menudo para un único valor. Ejemplo: la igualdad algebraica x + 1 = 5 solo
se cumple cuando x = 4, y por tanto es una ecuación. Para cualquier otro valor de x diferente de
4, es falso que x + 1 = 5.
7.7
Ecuaciones
Existen muchos tipos de ecuaciones.
Según el número de incógnitas pueden dividirse en ecuaciones con una o con varias incógnitas. Por
ejemplo, 3x + 5 = −2 es una ecuación de una única incognita, x. En cambio x + y + z = 1 es una
ecuación con tres incógnitas: x, y y z.
Según el grado al que estén elevadas las incognitas se pueden dividir en primer grado o lineales,
(ejemplo: 3 − x = 5 − 7x, segundo grado o cuadráticas, (ejemplo: x2 + 2x + 1 = 0), etc.
Y existen otros tipos como ecuaciones con radicales, (ejemplo:
ciales, (ejemplo: 3x = 81) y muchas más.
√
x − 1 = 3), ecuaciones exponen-
En este curso aprenderemos a resolver algunas ecuaciones de primer grado con una única incognita.
Empezaremos definiendo cada parte de una ecuación, a través de la ecuación 3x − 5 = 5x − 7
Cada expresión a cada lado del sı́mbolo igual se denomina miembro de la ecuación:
1o Miembro 2o Miembro
z }| {
z }| {
3x − 5 = 5x − 7
Cada uno de los sumandos de cada miembro se denominan términos de la ecuación:
Término Término Término Término
z}|{
z}|{
z}|{
z}|{
3x
−5
=
5x
−7
El dato desconocido se denomina incógnita. Suele representarse mediante la x, en minúscula,
pero puede ser cualquier letra o sı́mbolo. Habitualmente una de las primeras o últimas letras del
alfabeto: a, b, c, x, y, z.
Solución de una ecuación son el conjunto de valores que puede tomar la incógnita para que la
igualdad sea cierta. Las ecuaciones de primer grado con una incógnita pueden tener como máximo
una solución válida.
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7.8
61
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Las ecuaciones que vamos a resolver son ecuaciones con una única incógnita. A esta incógnita la
designaremos con la letra x, en minuscula.
Vamos a tratar con ecuaciones de primer grado. Esto quiere decir que nuestra incógnita x, estará elevada a 1, y puesto que x1 = x, nos olvidaremos de las potencias.
Veremos a continuación como resolver estas ecuaciones, a través de varios ejemplos que se harán
progresivamente mas complejos.
Notemos que el objetivo a seguir para resolver estas ecuaciones es conseguir una expresión del tipo
x = ”un valor ”. O sea, dejar la incógnita x sola a la izquierda de la ecuación, y un valor numérico
a la derecha.
7.8.1
Ecuaciones del tipo x ± a = b
Comenzamos con la ecuación x + 1 = 3 . Es evidente que nuestra solución es x = 2, puesto que
2 + 1 = 3.
Para resolver esta ecuación restaremos 1 a cada miembro, buscando eliminar el +1 que acompaña
a la x en el primer miembro.
0
2
z }| {
z }| {
x +1 − 1 = 3 − 1
x+0 = 2
x = 2
Nuestra solución, como ya habiamos vaticinado, es x = 2 .
Pongamos otro ejemplo similar. La ecuación x − 3 = −5 . Aquı́ la solución es menos evidente,
pero también es posible intentarlo de cabeza.
Usando nuestro método, tendremos que sumar 3 a la izquierda y a la derecha, para eliminar el −3
del primer miembro de la ecuación:
x − 3 = −5
0
−2
z }| {
z }| {
x −3 + 3 = −5 + 3
x + 0 = −2
x = −2
Nuestra solución es x = −2 .
Para resolver ecuaciones del tipo x + a = b, tendremos que restar a de cada miembro de la ecuación.
Asimismo, para resolver ecuaciones del tipo x − a = b, tendremos que sumar a de cada miembro
de la ecuación.
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7.8.2
62
Ecuaciones del tipo a · x = b
x
=b
a
Veamos el método de resolución mediante dos ejemplos:
Ejemplo: 3x = 9 . Es fácil intuir que nuestra solución tiene que ser x = 3, puesto que 3 · 3 = 9.
El método para resolver ecuaciones de este tipo consiste en dividir ambos miembros por 3, para
eliminar el 3 que acompaña a la x en el primer miembro. Veámoslo:
3x = 9
3 · x
9
=
3
3
x = 3
La solución, como ya esperabamos es x = 3 .
Nuestro resultado no siempre va a ser un número entero. Veamos un caso cuya solución es una
fracción: −5x = 14
−5x = 14
14
=
−5
14
x = −
5
· x
−5
−5
La solución es x = −
14
5
Pasamos ahora a ecuaciones del tipo
x
= b.
a
Si antes teniamos que dividir para eliminar el coeficiente que acompañaba a x, ahora tendremos que
x
multiplicar. Ejemplo: en la ecuación
= −4 multiplicaremos por 3 para eliminar el coeficiente.
3
x
= −4
3
x
= 3 · (−4)
3 ·
3
x = −12
Solución: x = −12
7.8.3
Ecuaciones genéricas de primer grado con una incógnita
En apartados anteriores hemos visto como resolver tres tipos de ecuaciones que tenı́an la caracterı́stica de tener un único monomio, (el resto eran constantes). Ahora veremos como resolver
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63
ecuaciones con varios monomios, mediante varios ejemplos:
Ejemplo: 3x + 2x = 5
Sacamos factor común a la incógnita x, para obtener un único monomio. Recordemos la fórmula
para sacar factor común: ab + ac = a(b + c). En nuestro caso a es la incógnita x, b y c son las dos
constantes:
3x + 2x = 5
(3 + 2)x
5x
5x
5
x
= 5
= 5
5
=
5
= 1
Sacamos factor común x
Sumamos coeficientes
Dividimos por 5 para eliminar coeficiente de x
Reducimos la fracción
Solución: x = 1
Ejemplo: 3x = 2x − 5
En este caso el principal problema esta en el monomio 2x en el segundo miembro de la ecuación.
Para eliminarlo, restamos 2x en los dos miembros:
3x
3x − 2x
(3 − 2)x
x
=
=
=
=
2x − 5
2x − 5 − 2x Restamos 2x en ambos miembros
Sacamos factor común y simplificamos
− 5
2x
−2x
−5
Solución: x = −5
Todas estas técnicas pueden usarse en común para resolver ecuaciones de mayor tamaño.
Ejemplo: 3 − 3x + 7 = 2x − 4 − 12x
3 − 3x + 7 =
=
−3x − 2x + 12x =
(−3 − 2 + 12)x =
3−
3 − 3x
+7−
7 − 2x
2x − 4 − 12x
2x−2x
− 4 − 3 − 7 − 12x
(
((
−14(
−12x
12x
((+
−14
7x
−14
=
7
7
x = −2
Restamos 2x, 7 y 3 en ambos miembros
Simplificamos y sumamos 12x
Sacamos factor común
Dividimos por 7
Solución: x = −2
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7.9
64
Método reducido
Existe otra forma de resolver las ecuaciones usando menos texto que el anterior. Veámoslo con
unos ejemplos básicos.
Ejemplo: x + 3 = 2
Nuestro método consistı́a en restar 3 en ambos miembros para eliminar coeficientes del primer
miembro. x + 3 − 3 = 2 − 3.
Esto es lo mismo que transladar el coeficiente +3 al segundo miembro, haciendo la operación contraria. Puesto que estaba sumando en el primer miembro, pasa restando al segundo: x = 2 − 3.
Ejemplo: x = 6 − 2x
Nuestro método consistı́a en sumar 2x en ambos miembros, para eliminar las incógnitas del segundo
miembro. x + 2x = 6 − 2x + 2x
Esto es lo mismo que transladar el término 2x que estaba restando en el segundo miembro al primer
miembro haciendo la operación contraria, sumando. x + 2x = −6 ⇒ 3x = 6
Continuamos el siguiente ejemplo usando el final del anterior: 3x = 6
Nuestro método consistı́a en dividir por 3 en ambos miembros para dejar la incógnita x sola en el
6
3x
=
primer miembro:
3
3
Esto es lo mismo que pasar el coeficiente 3 que multiplicaba a la incógnita x al segundo miembro
6
haciendo la operación contraria, dividiento. x =
3
De esta forma, en una ecuación cualquiera los pasos a seguir para resolverla son:
1. Transladar términos.
Trasladar todos los coeficientes del primer miembro al segundo. Si estaban sumando,
pasan restando. Si estaban restando, pasan sumando.
Trasladar todos los monomios del segundo miembro al primero de la misma forma. Los
que estubiesen sumando, pasan restando. Los que estubiesen restando pasan sumando.
2. Simplificamos los términos, sacando factor común a los monomios y sumando coeficientes.
3. Eliminar el coeficiente del primer miembro pasandolo al segundo miembro dividiendo.
Ejemplo: 3 − 3x + 7 = 2x − 4 − 12x
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3 − 3x + 7
−3x − 2x − 12x
(−3 − 2 + 12)x
7x
65
2x − 4 − 12x
−4 − 3 − 7
−14
−14
−14
x =
7
x = −2
=
=
=
=
Transponemos términos
Simplificamos términos. Sacamos factor común
Simplificamos términos
Dividimos por 7
Simplificamos fracción.
Solución: x = −2
7.10
Problemas y ecuaciones de primer grado
El propósito principal de las ecuaciones es servir de instrumento para resolver problemas de la
vida real. Lo más complicado en este caso es convertir los enunciados en la igualdad algebraica
correspondiente. Veremos a continuación algunos ejemplos:
Ejemplo: Si a un número lo multiplicas por 2, obtienes el mismo número que si le sumas 3. ¿De
que número se trata?
Llamaremos x a nuestro número desconocido.
Si lo multiplicamos por 2, será el número 2x.
Si le sumamos 3, será el número x + 3.
Puesto que ambos números son iguales: 2x = x + 3. Resolvemos esta ecuación:
2x = x + 3
2x − x = 3
Transponemos términos
x = 3
Simplificamos
Solución: x = 3
De hecho, el doble de 3 es 6, y 3 + 3 es 6, lo que demuestra que el resultado es correcto.
Ejemplo: El precio de un rotulador es el doble que el de un bolı́grafo. He comprado 4 bolı́grafos
y 4 rotuladores y he pagado 6e. ¿Cual es el precio de los bolı́grafos?¿Y el de los rotuladores?
Llamemos x al precio de los bolı́grafos. El precio de un rotulador es le doble, 2x.
Si me he comprado 4 bolı́grafos habré pagado 4x. Y los 4 rotuladores me habrán costado 4(2x) = 8x.
Si en total he gastado 6e, 4x + 8x = 6e. Resolvemos la ecuación:
4x + 8x = 6
12x = 6
Simplificamos
6
= 00 50e Dividimos y expresamos como moneda
x =
12
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66
Solución: Los bolı́grafos cuestan 0’50e, los rotuladores el doble, 1e
Ejemplo: Hoy los tomates están treinta céntimos más baratos que ayer. Hoy puedo comprar 6
kilos de tomates con el mismo dinero que ayer solo me daba para 5. ¿Cual es el precio de los
tomates hoy?
Llamemos x al precio en euros de los tomates ayer. Hoy costarán x − 00 30. Cinco kilos de tomates ayer costarı́an 5x. Seis kilos hoy costarán 6(x − 00 30). Si es la misma cantidad de dinero,
5x = 6(x − 00 30). Resolvemos la ecuación:
6(x − 00 30)
6x − 10 8
−10 8
−10 8
−10 8
x =
−1
x = 10 8
5x
5x
5x − 6x
−x
=
=
=
=
Quitamos paréntesis
Trasladamos incógnitas al primer miembro
Simplificamos términos en primer miembro
Coeficiente de x pasa dividiendo
Simplificamos fracción
Solución: El precio de los tomates ayer era 1’80e, por tanto, hoy cuestan 1’50e
Ejemplo: Una finca tiene 10 metros más de largo que de ancho. Si para vallarla se necesitan 100
metros de tela metálica, ¿Cuales son las dimensiones de la finca?
Llamemos x al ancho de la finca. Si es 10 metros más
larga que ancha, el largo de la finca será x + 10. Para
vallarla necesitamos una longitud de tela equalente a 2
veces el largo más 2 veces el ancho, o sea 2x + 2(x + 10.
Si esta longitud es 100 metros, entonces 2x+2(x+10) = 100.
=
=
=
=
x
x
x + 10
Resolvamos la ecuación:
2x + 2(x + 10)
2x + 2x + 20
4x
4x
x + 10
100
100
100 − 20
80
80
x =
4
x = 20
Quitamos paréntesis
Simplificamos y trasladamos coeficiente al 2o miembro
Simplificamos coeficientes
Coeficiente de x pasa dividiendo
Simplificamos fracción
Solución: Ancho: 20 metros, largo: 30 metros
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7.10.1
67
Interpretación de enunciados
Para resolver problemas con ecuaciones es fundamental interpretar los enunciados correctamente.
La siguiente lista incluye varios enunciados y su traducción a lenguaje matemático:
• Un número, (desconocido): x
• El doble de un número: 2x
• El triple de un número: 3x
• La mitad de un número:
x
2
• La tercera parte de un número:
x
3
• El siguiente a un número: x + 1
• El anterior a un número: x − 1
• El siguiente al doble un número: 2x + 1
• El doble del siguiente de un número: 2(x + 1)
• El triple del anterior de un número: 3(x − 1)
• Un número más su siguiente: (x) + (x + 1)
• El cuadrado de un número: x2
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8
8.1
68
Geometrı́a
Puntos, rectas y planos
Los elementos básico de la geometrı́a son el punto, la recta y el plano. Fueron definidos formalmente
por el matemático griego Euclides hace más de 2000 años. Vamos a definirlos y enumerar algunas
de sus caracterı́sticas.
Un punto es aquella figura geométrica que no tiene
longitud ni anchura. Es costumbre indicarlo con una de
las primeras letras del alfabeto en mayúsculas, como los
puntos A y B de la figura de la derecha.
Si tenemos dos puntos no coincidentes, (alejados el uno
del otro), la linea más corta que los une se denomina
segmento. A los puntos que definen el segmento se les
denomina extremos. En la figura, A y B son los extremos
del segmento.
Si prolongamos un segmento por los extremos hasta el
infinito obtenemos una recta.
Segmento AB
B
A
Recta
C
D
Semirecta
En cambio, si prolongamos el segmento hasta el infinito solo
por uno de sus extremos tenemos una semirecta.
Plano
La superficie que contiene a todos estos objetos geométricos, (puntos, segmentos, rectas, etc), es un plano. Un
plano se extiende hasta el infinito, igual que las rectas,
aunque nosotros lo representamos como una porción de
una hoja, con sus lı́mites.
Una propiedad sencilla pero fundamental para la geometrı́a
es que dados dos puntos, la recta que los atraviesa es
única. Esta recta divide al plano en dos regiones llamadas
semiplanos.
8.2
Semiplano 2
B
A
Recta
Semiplano 1
Posiciones relativas de rectas
Dadas dos rectas definidas por dos puntos cada una, pueden darse tres situaciones diferentes.
Si los 4 puntos están alineados, las dos rectas coincidirán sobre el plano, serán la misma recta. En
este caso se dice que son rectas coincidentes. Si los 4 puntos no están alineados pueden darse
dos casos. Que las rectas se corten, y en este caso se dice que son rectas secantes, o que las rectas
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69
no se corten. En este caso se dice que son rectas paralelas.
Recta r AB
Rectas paralelas
Rectas secantes
Rectas coincidentes
D
Recta r
B
Recta r
C
A
Recta s
Recta s CD
Recta s
Dado un punto exterior a una recta, existe una única recta paralela a la primera que pase por dicho
punto. Esta recta puede determinarse con ayuda de regla y compas por el siguiente método.
C
C
r
C
1
r
2
1
r
1. Dados el punto C y la recta r, trazar un arco, (no importa el radio), con centro en C y que
corte a la recta r. El punto de corte entre dicho arco y la recta r es el punto 1.
2. Con el mismo radio, trazar un arco con centro el en punto 1 que corte en el punto C y en la
recta creando el punto 2.
3. Con centro en el punto 2 trazar un arco que pase por el punto C.
4. Trazar otro arco de igual radio desde el punto 1 para obtener el punto 3, que es la intersección
de dicho arco con el arco que pasa por el punto 1.
5. La recta solución paralela a r es la recta pasa por los puntos C y 3.
C
2
8.3
C
1
r
2
3
1
C
r
2
3
1
r
Perpendicularidad
Dos rectas secantes dividen un plano en cuatro regiones. Si los cuatro ángulos formados son todos
iguales, entonces dichas rectas son perpendiculares.
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70
Dados una recta y un punto exterior a ella, existe una única recta perpendicular a la recta que
pasa por dicho punto. Esta regla se puede obtener mediante regla y compás mediante el siguiente
procedimiento:
C
1
2
r
3
8.3.1
Mediatriz
La mediatriz es la recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular al mismo.
A
Segmento AB
A
Punto medio: M
A
M
Mediatriz
M
B
B
B
Las distancias de un punto cualquiera de la mediatriz a cada extremo, (A y B), son iguales.
8.3.2
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz es la semirecta que divide un ángulo en otros dos ángulos iguales.
Ángulo α
Bisectriz
β2
α
β1
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71
La bisectriz define dos nuevos ángulos, β1 y β2 . Estos dos ángulos son iguales a la mitad del ángulo
α
α. β1 = β2 =
2
8.4
Ángulos
La Real Academia Española define un ángulo como la figura geométrica formada por dos lı́neas que
coinciden en un vértice común.
Existen tres casos particulares del ángulo en los que dichas lı́neas son perpendiculares, están sobre
la misma recta con el vértice en el medio de esta, o coinciden sobre la misma recta con el vértice
en un extremo. Son los conocidos como ángulo recto, ángulo llano y ángulo completo, que se
muestran en la siguiente gráfica.
Ángulo llano
Ángulo recto
Ángulo llano
α
α
α
8.4.1
Medida de ángulos
La unidad en que se miden los ángulos se llama grado. Un grado es el tamaño del ángulo generado
al dividir un ángulo completo en 360 partes o, lo que es lo mismo, de dividir un ángulo recto en 90
partes.
En la imagen de la derecha podemos ver representados tres ángulos
determinados por la linea horizontal, (en negro), y las lineas roja, verde
y azul.
Medida de ángulos
El ángulo formado entre la horizontal y la linea roja es de 1o , (un grado).
El ángulo formado entre la horizontal y la linea azul es de 30o .
El ángulo formado entre la horizontal y la linea verde es de 45o .
30o
45o
Un ángulo no tiene por que medir un número entero de grados. En tal caso, podemos representar
dicha medida con números decimales, en la forma que se denomina medida simple o incompleja.
Por ejemplo: 3’5o , 27’25o o 0’01o .
Pero tradicionalmente se han usado otros múltiplos para la medida de ángulos. Estos múltiplos se
denominan minutos y segundos, en la forma que se denomina medida compleja. Por ejemplo:
10o 5’30”, que representa 10 grados, 5 minutos y 30 segundos, (la comilla simple indica minutos y
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72
las comillas dobles segundos).
Un minuto es el resultado de dividir un grado en 60 partes iguales. Un segundo es el resultado de
dividir un minuto en 60 partes.
Podemos pasar de medida simple a compleja usando reglas de tres.
Ejemplo:
8.4.2
Medidas complejas e incomplejas
8.4.3
Operaciones con ángulos: suma, resta, producto y división
8.4.4
Ángulos en paralelas
8.4.5
Ángulos en polı́gonos
8.4.6
Ángulos en circunferencias
8.4.7
Simetrı́as
9
Gráficas cartesianas, funciones y gráficas estadı́sticas
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