Set de Problemas 5

Master en Economı́a
Macroeconomı́a II
Profesor: Danilo Trupkin
Set de Problemas 5
Fecha de entrega: Martes 22 de Noviembre
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Modelo RBC con Utilización Variable del Capital y Costos
de Ajuste sobre la Inversión
Considere una economı́a con población constante de agentes con horizonte infinito, donde
P
t
el agente representativo maximiza el valor esperado de U = ∞
t=0 β u(ct , 1 − lt ), 0 < β < 1.
Asuma u(ct , 1 − lt ) = ln ct + η(1 − lt ), donde ct y 1 − lt son las asignaciones de consumo y
ocio, respectivamente, y η una constante positiva.
El output, por otro lado, tiene la forma yt = At (st kt )α lt1−α . Es decir, la producción
depende del tiempo asignado al trabajo, lt , y de los servicios del capital, st kt , donde s es la
tasa variable de utilización del stock de capital k. Asuma una tasa de depreciación constante,
δ, de modo que la ecuación de movimiento del capital se define como kt+1 = it + (1 − δ)kt .
Finalmente, el shock sigue un proceso autorregresivo definido por ln At = ρA ln At−1 + ξ t ,
donde 0 < ρA < 1 y los ξ t son shocks i.i.d. de media cero.
Para simplificar, asuma que no hay firmas en esta economı́a. Es decir, aquı́ las familias
consumen, invierten, y producen. Note que, si las firmas son competitivas, la ausencia de
éstas no cambia las asignaciones óptimas. Asimismo, suponga que existen costos de ajuste
sobre la inversión, tal que por cada unidad invertida el agente debe renunciar a 1 + φit
unidades de producto en cada periodo, donde φ es una constante positiva. Es decir, para
cada t, el costo total de inversión equivale a: it (1 + φit ). Por otro lado, asuma que el costo
de modificar la intensidad de uso del capital se paga en términos del bien final, a través de
una función a(st ), creciente y convexa, con a(s∗ = 1) = 0; donde s∗ es la tasa de utilización
del capital en steady state.1 Para simplificar, asuma que a(st ) = .5v(s2t − 1), donde v es
una constante positiva, la cual se calibra de modo que s∗ = 1.
1
Esta función fue introducida por Christiano, Eichenbaum y Evans (2005), “Nominal Rigidities and the
Dynamic Effects of a Shock to Monetary Policy,” JPE, 113(1). Lo interesante aquı́ es que la utilización
variable del capital es introducida en el modelo a través de una depreciación constante, a diferencia de
otros estudios donde la depreciación se asume endógena – ej. Greenwood, Hercowitz y Huffman (1988),
“Investment, Capacity Utilization, and the Real Business Cycle,” AER, 78(3).
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De modo de resumir el problema, las familias maximizan
E0
∞
X
β t [ln ct + η(1 − lt )]
t=0
sujetas a
ct + it (1 + φit ) + .5v(s2t − 1)kt = At (st kt )α lt1−α
it = kt+1 − (1 − δ)kt
ln At = ρA ln At−1 + ξ t ; ξ t ∼ i.i.d.N (0, σ 2 )
k0 > 0, A0 > 0 dados
1. Escriba el lagrangiano de este problema, y encuentre las condiciones necesarias de
primer orden. (Note que ahora se introduce una variable adicional de control, st .)
2. Interprete: (i) la condición de óptimo de la intensidad de uso del capital (la condición
de primer orden respecto a st ); (ii) el precio relativo del capital (una función de
los costos de ajuste sobre la inversión), y (iii) la ecuación de Euler que resulta del
problema.
3. Escriba las expresiones de steady state.
4. Asigne valores a los parámetros del modelo, y escriba el sistema resultante en matlab
de modo de hallar las funciones de impulso-respuesta y las volatilidades cı́clicas que
se derivan del modelo. Interprete brevemente. Nota: el objetivo aquı́ no es calibrar el
modelo en un sentido estricto, sino mas bien simular el mismo de manera de comparar
sus resultados con aquellos vistos en clase para el modelo standard RBC.
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Costos de Transacción y Utilidad del Dinero
Considere la siguiente especificación para una economı́a con población constante en la cual
su agente representativo maximiza
∞
X
β t u(gt )
t=0
sujeto a
f (kt−1 ) + τ t + (1 − δ)kt−1 +
(1 + it−1 )bt−1 + mt−1
= gt + φ(gt , mt ) + kt + mt + bt ,
1 + πt
donde yt es output real, τ t las transferencias reales del gobierno, δ la tasa de depreciación,
kt−1 y bt−1 los stocks de capital fı́sico y de bonos al comienzo del periodo, e it−1 la tasa
nominal de interés.
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Finalmente, note que se introduce una variable g, interpretada como un bien de consumo, y una función φ(g, m), interpretada como los costos reales de compra. La función
φ es creciente en g y decreciente en los saldos reales m. Esta función nos dice que para
comprar bienes, se incurre en un costo que depende de la cantidad que se quiera comprar,
y este costo cae con los saldos reales.
1. Muestre que este modelo es equivalente a un modelo MIU, bajo las siguientes dos
condiciones:
u(gt ) = V (ct , mt )
(1)
ct = gt + φ(gt , mt )
(2)
donde V (ct , mt ) es una función de utilidad, y ct son las compras de bienes de consumo.
Note que, en este modelo, la variable ct es interpretada como el consumo “bruto,” el
cual incluye los costos de transacción φ(·), mas el consumo “neto” g.
Hint: Derive las condiciones de primer orden del problema del enunciado, exprese dichas condiciones en steady state, utilice (1) y (2) para expresar el sistema
en términos de V (c, m) y c, y encuentre la condición de equilibrio:
i
Vm (c, m)
=
Vc (c, m)
1+i
(3)
2. Interprete la expresión (3).
3. Se cumple la superneutralidad del dinero en el modelo del enunciado? Muestre formalmente.
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