Tarea 9 de Ecuaciones Diferenciales Parciales Ejercicio 1. Dada una función f (x) definida en −∞ < x < ∞, escribe las expresiones para la transformada de Fourier compleja F (ω), su transformada en forma real FR (ω). Ahora escribe las expresiones para la transformada seno de Fourier FS (ω) y la transformada coseno de Fourier FC (ω), cuando f (x) está definida en 0 < x < ∞. Por último, expresa f (x) por medio de su representación integral correspondiente en cada caso. R∞ 1 Respuesta parcial: En el caso complejo F (ω) = 2π f (x)e−iωx dx. Por otro lado, en este R ∞ −∞ caso f (x) tiene la representación integral f (x) ∼ −∞ F (ω)eiωx dω Ejercicio 2. La siguiente función, que describe una ‘onda cuadrada’, es absolutamente integrable. 0 si x < a, f (x) = 1 si a ≤ x ≤ b, 0 si x > b. Grafica esta función y calcula su tansformada de Fourier F (ω). Utiliza el teorema de convergencia para encontrar el valor al que converge la representación integral Z ∞ F (ω)eiωx dω, para cada x ∈ R. f (x) ∼ −∞ ( (b − a)/2π, si ω = 0, Respuesta: F (ω) = . e−iωb − e−iωa i/2πω, si ω 6= 0. Recuerda que el valor al que converge la representación de f (x) depende de si x es un punto de continuidad o discontinuidad. Ejercicio 3. Sea F (ω) la transformada de Fourier de la función f (x). Verifica las siguientes propiedades de la transformada de Fourier: a) La derivada F 0 (ω) = dF (ω)/dω es la transformada de Fourier de −ixf (x). b) F (ω − a) es la transformada de Fourier de eiax f (x). 1 F (ω/a). Por lo tanto, la transformada c) La transformada de Fourier de f (ax), con a 6= 0, es |a| de Fourier de f (x/a) es |a|F (aω). 2 Ejercicio 4. La función g(x) = e−x /2, es absolutamente integrable en −∞ < x < ∞, y su 2 transformada de Fourier es G(ω) = √12π e−ω /2 . a) Utiliza la propiedad del ejercicio 3c) para verificar que la tranformada de Fourier de 1 2 2 h(x) = e−(x/σ) /2 , con σ > 0, es H(ω) = √σ2π e− 2 (σω) . b) Ahora utiliza la propiedad de que k(x) = h(x − µ) implica K(ω) = e−iµω H(ω), para 1 x−µ 2 2 2 verificar que la tranformada de Fourier de k(x) = e− 2 ( σ ) es K(ω) = √σ2π e−iµω−σ ω /2 1 2 c) Por último, verifica que la transformada de Fourier de la función de densidad de la 1 x−µ 2 1 distribución normal f (x) = √2πσ e− 2 ( σ ) , con media µ y desviación estándar σ, es F (ω) = 2 1 −iµω−σ 2 ω 2 /2 e 2π Ejercicio 5. Considera la ecuación de la cuerda vibrante infinita utt − c2 uxx = 0, −∞ < x < ∞, t > 0, u(x, 0) = ϕ(x), −∞ < x < ∞, ut (x, 0) = ψ(x), −∞ < x < ∞, Z ∞ sin(ωct) iωc Φ(ω) cos(ωct) + Ψ(ω) a) Verifica que u(x, t) = e dω resuelve la ecuación ωc −∞ diferencial y satisface las condiciones iniciales. En esta representación Φ(ω) y Ψ(ω) son las transformadas de Fourier de ϕ(x) y ψ(x), respectivamente. b) Un forma alternativa paraZ la solución es la representación de D’Alembert u(x, t) = 1 1 x+ct [ϕ(x − ct) + ϕ(x + ct)] + ψ(s) ds. Verifica que también satisface la ecuación dife2 2c x−ct rencial y condiciones de frontera. 2 c) Encuentra la solución con ambas formas cuando ϕ(x) = e−x y ψ(x) = 0. Ejercicio 6. La solución de la ecuación de calor para una barra infinita ut − Kuxx = 0, −∞ < x < ∞, t > 0, u(x, 0) = ϕ(x), −∞ < x < ∞, Z ∞ está dada por u(x, t) = 2 Φ(ω)e−Kω t eiωx dω, en donde Φ(ω) es la transformada de Fourier −∞ de ϕ(x). a) Verifica que u(x, t) satisface la ecuación diferencial y la condición inicial. b) Resuelve el problema cuando ϕ(x) = e−( a cero. x−µ 2 /2 σ ) , en donde µ y σ son constantes mayores