Examen Final

Investigación Operativa III
Luis M. Torres
Mayo, 2013
Examen Final
1. Considerar el siguiente programa entero:


max 5x1 + 4x2





 s.r.
(PE) 3x1 + 4x2 ≤ 4,



3x1 + 2x2 ≤ 3,



x ,x ∈ Z .
1
2
+
(a) Sea LP la relajación lineal de PE. Escribir LP en la forma estándar, y
resolver este problema empleando el algoritmo del simplex.
(0.5 ptos)
(b) Determinar todos los planos cortantes que se obtienen al aplicar el
método de Gomory sobre la solución encontrada en la parte anterior.
Expresar las desigualdades correspondientes en función de las variables
originales de PE.
(Sugerencia: Emplear las ecuaciones de la forma estándar de LP
para sustituir las variables de holgura por expresiones que incluyen
únicamente variables originales.)
(0.5 ptos)
(c) Agregar a LP las restricciones encontradas y resolver el nuevo programa
lineal por el método del simplex.
(0.5 ptos)
2. Dado un grafo G = (V, E), un emparejamiento en G es un conjunto de aristas
M con la propiedad de que ningún vértice de V es incidente a más de una
arista de M . El problema de encontrar un emparejamiento de cardinalidad
máxima puede formularse como el siguiente programa entero:

X

max
xij




ij∈E



 s.r.
X
(MAX-MATCHING)

xij ≤ 1, ∀i ∈ V,




ij∈δ(i)




xij ∈ {0, 1}, ∀ij ∈ E,
1
donde a cada arista ij ∈ E se le ha asociado una variable binaria xij que
toma el valor de 1 si y sólo si ij ∈ M .
Sea PI el polı́topo formado por la envolvente convexa de las soluciones
factibles al programa anterior, y sea P el polı́topo correspondiente a la región
factible de su relajación lineal. Considerar el grafo descrito en la siguiente
figura:
2
3
1
4
5
Demostrar que la desigualdad
x12 + x23 + x34 + x45 + x15 ≤ 2
es válida para PI pero “corta” al menos un punto fraccionario x ∈ P . Probar que esta desigualdad puede obtenerse a partir de las desigualdades que
definen a P empleando el esquema de redondeo de Gomory-Chvátal.
(1 pto)
3. Dados v1 , v2 , . . . , vn ∈ Zn , un conjunto generador entero para
L := cone(v1 , v2 , . . . , vn ) ∩ Zn
es un conjunto (finito) W ⊂ Zn tal que todo vector x ∈ L puede expresarse
como una combinación cónica de vectores de W , empleando únicamente coeficientes enteros.
(a) Sea x ∈ Zn . Encontrar un conjunto generador para cone(x) ∩ Zn .
(0.5 ptos)
2
(b) Sean x, y ∈ Z dos vectores en el plano que satisfacen la propiedad
mcd(x1 , x2 ) = mcd(y1 , y2 ) = 1. Demostrar que un conjunto generador
para cone(x, y) ∩ Z2 está dado por {x, y} ∪ R, donde
R := v ∈ Z2 : v = αx + βy, α, β ∈ [0; 1[ .
¿A qué región geométrica corresponde el conjunto R?
(0.5 ptos)
2