EXAMEN Febrero 2010
Tiempo 90 minutos
EJERCICIO 1 (10 puntos)
Te piden que dimensiones, utilizando el método racional, los colectores AB y BC de la
red de saneamiento unitaria de la urbanización que aparece en la Figura 1 y que está
situada en Logroño (Fig. 2). Debido a su escasa contribución a los caudales punta,
decides despreciar los caudales de aguas negras.
1.- La lluvia de cálculo tiene un 20 % de probabilidad de que no sea excedida durante la
vida útil del proyecto N (= 25 años). ¿Podrías calcular el tiempo de retorno T para el
diseño hidrológico con estos datos? (1.5 puntos)
2.- Construye una función Intensidad-Duración para el proyecto, utilizando el método
de la Dirección General de Carreteras DGC (no tienes que dibujarla, sólo construirla).
El mapa de la Fig. 1 incluye las iso-líneas del parámetro (I1h / I24h) que necesitas para
construir la curva I-D del proyecto. Para construir esta curva I-D, consigues una serie de
datos de lluvia diaria de 20 años recogida en una estación pluviométrica en la zona de
estudio. Seleccionas los máximos anuales de intensidad media diaria (I24h) de los 20
años, y calculas la media muestral x y la desviación estándar sx de los máximos anuales.
Encuentras que x = 43 mm/día, y sx = 12.14 mm/día respectivamente. Supones que los
valores extremos siguen una distribución de Valores Extremos tipo I (o distribución de
Gumbel). (2 puntos)
3.-Dimensiona los colectores AB, BC, con el método racional (6.5 puntos). En el diseño
decides utilizar tuberías circulares de hormigón con un coeficiente n de rugosidad de
Manning igual a 0.014. La superficie, tiempos de entrada y los coeficientes de cada una
de las subcuencas aparecen en la Tabla 1..
Cuenca Área (has) Tiempo de entrada Coeficiente de
(minutos)
escorrentía C
1
9
22
0.700
2
6
11
0.600
3
7
15
0.500
El caudal de diseño debe ser aproximadamente un 85% del caudal circulante en la
tubería en régimen completamente lleno. Utiliza esta condición para determinar el
diámetro nominal, que debes elegirlo ente los siguientes diámetros comerciales,
DN(mm)
500; 600; 700; 800; 1000; 1200; 1400; 1500; 1600; 1800
Comprueba que la velocidad del agua en los colectores satisface los criterios de
velocidad máxima (5 m/s) y velocidad mínima (0.6 m/s).
Figura 1. Mapa de localización con isolíneas del parámetro I1h/I24h utilizado en el
método de la dirección general de carreteras DGC.
Zona de estudio
Figura 2. Croquis de la urbanización y diseño de la red principal de alcantarillado.
Algunas fórmulas que necesitarás
1) Método de la Dirección General de Carreteras –
i (60 min; −)
iM (∆t ; T )
= M
iM (1440 min; T ) iM (1440 min; −)
3.529−1.679( ∆t ) 0.1
con ∆t en minutos
2) Función de distribución de Gumbel
x − u
F ( x) = P( X ≤ x) = exp − exp −
α
α=
6s x
π
u = x − 0.5772α
donde sx = desviación estándar y x = media muestral.
3) Ecuación de Manning
0.311 1 / 2 8 / 3
Q≈
S D
n
donde Q es el caudal, n es el factor de rugosidad de Manning, S es la pendiente y D el
diámetro de la tubería.
4) Tablas de Thormann y Franke.
A.- CÁLCULO DEL PERIODO DE RETORNO:
Sea “p” la probabilidad de un evento extremo: p=P (X ≥ xT)
Esa probabilidad está relacionada con el periodo de retorno T en la forma: p=1/T
Por tanto, la probabilidad de no ocurrencia de un evento extremo, para un año, será:
Para N años, vida útil del proyecto, la probabilidad de no ocurrencia de la lluvia de
cálculo es:
En el caso que nos ocupa:
- Periodo de vida útil del proyecto es de: N=25 años.
- Probabilidad de no ocurrencia de la lluvia de cálculo para N=25 años:
P (X < xT)=20%
Sustituyendo en esa expresión:
1
P ( X < xT ) = 0, 2 = 1 −
T
25
1
→
0.2 25 = 1 −
1
T
→ T = 16, 0387 años
2.- CONSTRUCCIÓN DE LA FUNCIÓN INTENSIDAD - DURACIÓN:
Suponemos que los valores extremos siguen una distribución de Valores Extremos
tipo I (o distribución de Gumbel), que tiene la forma:
donde:
Vamos a obtener el valor de precipitación xT para el periodo de retorno T:
Nos dan como datos la media muestral y la desviación estándar:
x = 43 mm / día
Sx = 12,14 mm / día
Obtenemos el valor de los parámetros α y u:
α=
6 ⋅ Sx
π
=
6 ⋅12,14
π
= 9, 4655
u = x − 0, 5772 ⋅ α = 43 − 0,5772 ⋅ 9, 4655 = 37,5365
Hallamos el valor de la precipitación media máxima:
16, 0387
T
yT = − ln ln
= − ln ln
= 2, 74298
T − 1
16, 0387 − 1
xT = α ⋅ yT + u = 9, 4655 ⋅ 2, 74298 + 37,5365 = 63,5 mm / día
La precipitación media máxima para un periodo de retorno T = 16,0387años es
xT = 63.5 mm / día
CURVA INTENSIDAD – DURACIÓN
La DGC nos propone la siguiente relación:
donde:
: Intensidad media máxima para una duración ∆t y un período de retorno T.
: Intensidad media máxima durante 24 h y un período de retorno T.
∆t :Duración (minutos) del intervalo al que se refiere la intensidad.
:Parámetro que representa la relación de la intensidad horaria con la diaria
del mismo período de retorno.
De la figura 1, obtenemos el valor del parámetro I60min/I24h, que para Logroño es:
iM (60 min; −)
= 10
iM (24h; −)
La
para T=16,0387 años es:
iM (24h; T ) = 63,5mm / día = 2, 6458mm / h
Por tanto, la expresión que nos proporciona la intensidad media máxima (en mm/día)
para una duración ∆t y un periodo de retorno T=16,0387 años es:
iM (∆t ; T ) = 63,5 ⋅103,529−1,679( ∆t )
0.1
, con ∆t en minutos
Y esta en la función Intensidad – Duración que buscábamos.
3. DIMENSIONAMIENTO DE LA RED.
Debido a su escasa contribución a los caudales punta, se decide despreciar los
caudales de aguas negras.
Vamos a calcular cada uno de los tramos por el método racional.
TRAMO AB:
En este tramo únicamente vierte la cuenca 1, en el punto de concentración A.
Dado que no hay tiempo de recorriendo, el tiempo de concentración será el tiempo de
escorrentía de la cuenca 1:
tc = te1 = 22 min
La intensidad de lluvia para una duración igual a ese tiempo de concentración es:
0.1
iM = 63, 5 ⋅103,529 −1,679(22) = 1108, 23687 mm / día = 46,1765mm / h
Para obtener el caudal en m3 / s , hacemos el siguiente cambio de unidades:
1
mm
mm
1h
10 −3 m
1
m
1
m 3 1 10000m 2
1 m3
=1
×
×
=
=
×
=
h
h 3600 s
mm
ha
360 ha ⋅ s
3.6 × 10 6 s 3.6 × 10 6 s m 2
Por tanto la intensidad de lluvia que hemos calculado sería:
0.1
iM = 63, 5 ⋅103,529−1,679(22) = 1108, 23687 mm / día = 46,1765mm / h = 0.1283m3 / s ⋅ Ha
Según el Método Racional, el caudal de lluvia puede calcularse como:
Q = C⋅I ⋅ A
donde:
C es el coeficiente de escorrentía.
I es la intensidad de lluvia máxima ( m3 / s ⋅ Ha ) para una duración igual al tiempo de
concentración y un periodo de retorno T.
A es el área de la cuenca (Ha)
Q es el caudal de lluvia (m3/s)
Así, el caudal de lluvia debido a la cuenca 1 es:
Q1 = 0, 7 ⋅ 0,1283m3 / s ⋅ Ha ⋅ 9 Ha = 0.8083m3 / s
Como nos dicen que la relación entre el caudal de diseño y el caudal para la tubería
llena debe ser del 85%:
Qll =
Q1
0,8083
=
= 0,9509m3 / s
0.85
0,85
Usando la Fórmula de Manning, podemos obtener el diámetro correspondiente a este
caudal:
8
0,311
Q=
⋅ S ⋅ D3
n
3
→
Q ⋅ n 8
D=
0,311 ⋅ S
En nuestro caso:
3
0,9509 ⋅ 0, 014 8
D=
= 1,12m
0,311 ⋅ 0, 001
Tomaremos como diámetro nominal:
Dn = 1200mm
Para este diámetro nominal, el caudal que puede transportar la tubería llena es
(utilizando de nuevo Manning):
8
8
0,311
0,311
3
Qll =
⋅ S ⋅D =
⋅ 0, 001 ⋅1, 2 3 = 1,1423m3 / s
n
0, 014
La velocidad media cuando la tubería va llena es:
Vll =
Qll 1,1423
=
= 1, 01m / s
A π ⋅1, 2 2
4
La velocidad cuando transporta el caudal de diseño es:
Q1 0,8083
V
Thormann − Franke
=
= 0, 7076
→
= 1, 06 →
Qll 1,1423
Vll
V = 1, 06 ⋅Vll = 1, 06 ⋅1, 01 = 1, 07 m / s
Cumple, por tanto, la condición que la velocidad < 5 m/s y mayor que 0.6 m/s.
Por último, el tiempo de recorrido del colector AB será:
tr =
L 300
=
= 280,37 s = 4, 673min
V 1, 07
TRAMO BC:
En este tramo vierten las cuencas 1, 2 y 3.
El tiempo de concentración global será el máximo de los tiempos de concentración de
cada recorrido.
•
Recorrido 1: AB Cuenca 1 tc1 = te1 + trAB = 22 min + 4, 673min = 26, 673min
•
Recorrido 2: Cuenca 2 tc2 = te2 = 11min
•
Recorrido 3: Cuenca 3 tc3 = te3 = 15 min
El tiempo de concentración es: tc = máx tc1 , tc2 , tc3 = 26, 673min
{
}
La intensidad de lluvia para una duración igual al tiempo de concentración global es:
0,1
I = 63,5 ⋅103,529−1,679⋅(26,673) = 1000,3527 mm / d = 41, 6814mm / h = 0,11578m3 / s ⋅ Ha
Calculamos el caudal de lluvia mediante el Método Racional.
Q = C⋅I ⋅ A
Dado que tenemos varias subcuencas con diferentes coeficientes de escorrentía,
obtendremos un coeficiente genérico mediante una ponderación en función de la
superficie de cada cuenca.
n
∑ Ci ⋅ Ai
C=
i =1
=
AT
0, 7 ⋅ 9 + 0, 6 ⋅ 6 + 0, 5 ⋅ 7
= 0, 6091
9+6+7
Así, el caudal de lluvia para el tiempo de concentración global será:
1,2,3
Qlluvia
= 0, 6091 ⋅ 0,11578m3 / s ⋅ Ha ⋅ 22 Ha = 1,5515m3 / s
1,2,3
Qlluvia = Qlluvia
= 1,5515m3 / s
Como no consideramos caudal de aguas negras, este será el caudal de diseño del
colector BC.
Nos dicen que la relación entre el caudal de diseño y el caudal para la tubería llena
debe ser del 85%.
Qll =
Q
1,5515
=
= 1,8253m3 / s
0,85
0,85
Usando la ecuación de Manning, podemos obtener el diámetro correspondiente a ese
caudal:
8
0,311
Q=
⋅ S ⋅ D3
n
3
→
Q ⋅ n 8
D=
0, 311 ⋅ S
En nuestro caso:
3
1,8253 ⋅ 0, 014 8
D=
= 1, 43m
0,311 ⋅ 0, 001
Tomamos como diámetro nominal:
DN = 1500mm
Para este diámetro nominal, el caudal que puede transportar la tubería llena es:
Qll =
8
8
0,311
0,311
⋅ S ⋅ D3 =
⋅ 0, 001 ⋅1,5 3 = 2, 0711m3 / s
n
0, 014
La velocidad media cuando la tubería va llena es:
Vll =
Qll 2, 0711
=
= 1,172m / s
A π ⋅1,52
4
La velocidad media cuando transporta el caudal de diseño es:
Q 1,5515
V
Thormann − Franke
=
= 0, 75
→ = 1, 07 →
Qll 2, 0711
Vll
V = 1, 07 ⋅1,172m / s = 1, 254m / s
Por tanto, se cumple que la velocidad de circulación es < 5m/s, y mayor que 0.6 m/s
0
