Resolución Numérica de Problemas de Transmisión de Calor

Resolución Numérica de Problemas de Transmisión
de Calor. Método de las diferencias finitas.
1. División del espacio considerado en una serie de elementos
cuyas propiedades vienen representadas por un punto central
(nodo).
2. Aplicación de balances de energía a cada elemento,
obteniendo la ecuación característica para cada nodo.
3. Resolución simultánea de todos los balances, para obtener
el perfil de temperaturas.
4. Si el caso lo requiere cálculo del flujo de calor con la ley de
Fourier y el perfil de temperaturas.
1. División del espacio considerado en una serie de elementos
cuyas propiedades vienen representadas por un punto central
(nodo).
Tipos de nodos
a) Nodos en elementos centrales
. . .
. . .
. . .
i, j+1
Δy
i-1, j
i, j
Δy
i+1, j
Δx
i, j-1
Δx
Tipos de nodos
b) Nodos en elementos laterales
. .
. .
. .
i, j+1
i, j
i, j-1
Δy
i+1, j
Δx/2
c) Nodos en elementos de esquina
i, j
i, j-1
i+1, j
.
Δy/2
Δx/2
2. Aplicación de balances de energía a cada elemento,
obteniendo la ecuación característica para cada nodo.
E+G=S+Ac
Entrada-Salida
Conducción, convección...
Generación:
Acumulación: Régimen estacionario y Régimen no estacionario
3. Resolución simultánea de todos los balances, para obtener
el perfil de temperaturas.
Microsoft Excel
Referencia circular
Fórmulas que hacen referencia a sus propias celdas
Cuando una fórmula hace referencia a su propia celda, directa o indirectamente, se
denomina referencia circular. Para calcular esta fórmula, Microsoft Excel deberá calcular
cada celda implicada en la referencia circular utilizando los resultados de la iteración
anterior. Si no se cambia el valor predeterminado de la iteración, Excel detendrá los
cálculos tras 100 iteraciones o después de que todos los valores en la referencia circular
cambien menos de 0,001 entre iteraciones, independientemente de cuál sea la primera.
4. Si el caso requiere el cálculo del flujo de calor con la ley de
Fourier o la ley de Newton del enfriamiento y el perfil de
temperaturas.
Q = −k A
Ti +1, j − Ti , j
ΔT
dT
≅ −k
= −k (WΔy )
Δx
dx
Δx
Q = h A(T∞ − Ti , j )
Caso 1: Conducción en estado estacionario.
Hállese la distribución de temperatura en los nodos de la placa representada en la
figura (5 cm X 10 cm), suponiendo que en las esquinas la temperatura es el valor
medio del de las dos caras en las que se encuentran. Determínese también el flujo
de calor que atraviesa el plano central vertical si la conductividad de la placa es de
1 W/mºK.
T=100 ºC
T=100 ºC
T=600 ºC
T=900 ºC
T=400 ºC
Δy= Δx=1 cm
T=600 ºC
T=900 ºC
T=400 ºC
Caso 1: Conducción en estado estacionario
Q1 =
Ti , j +1 − Ti , j
Δy
k (WΔx )
Ti −1, j − Ti , j
Q3 =
Δx
k (WΔy )
Δy
Δx
Q4 =
Ti , j −1 − Ti , j
Δy
k (WΔx )
Q2 =
Ti +1, j − Ti , j
Δx
k (WΔy )
Caso 1: Conducción en estado estacionario
E+G=S+Ac
(E-S)+G=Ac
Estado estacionario sin generación
G=Ac=0
Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0
Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j
=0
+
+
+
Δy
Δx
Δx
Δy
k (WΔy )
k (WΔy )
k (WΔx )
k (WΔx )
Ti , j +1 − Ti , j + Ti +1, j − Ti , j + Ti −1, j − Ti , j + Ti , j −1 − Ti , j = 0
Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1 − 4Ti , j = 0
Ti , j =
Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1
4
2. Estructurar la hoja de Cálculo e incluir condiciones de contorno
Ti , j =
Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1
4
Caso 2: Conducción en estado estacionario con convección.
En la figura se muestra la sección transversal de una viga de hierro (ρ=7880 kg/m3, cp=1257 J/(kg K) y
k=35.1 W/(m K)) de dimensiones 20 x 10 cm (y longitud muy larga) situada en el suelo y cubierta
parcialmente de nieve.La nieve hace que la temperatura de las paredes laterales sea de 0ºC (incluir las 4
esquinas)
La parte superior de la viga está en contacto con aire a 15ºC. El coeficiente individual de transferencia de
energía entre la parte superior de la viga y el aire es de 100 W/(m2K)
La parte inferior de la viga puede considerarse aislada
1) Obtener el perfil de temperaturas del sistema.
2) Determinar el flujo de calor por unidad de longitud de viga que pierde o gana la viga a
través de la superficie superior en contacto con el aire.
Resuélvase el problema por métodos numéricos. Tómese un valor de 2 cm para los incrementos de x e y.
Aire T=15ºC
20 cm
Nieve
T= 0ºC VIGA
10 cm
Nieve
T= 0ºC
La viga está aislada del suelo
Nodos de temperatura conocida: T=0ºC
Nodos en elementos centrales, con transporte de calor por conducción por sus cuatro caras
Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras; una de
ellas está aislada térmicamente.
Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras, y
transporte de calor por convección por la cuarta
Nodos en elementos centrales, con transporte de calor por conducción por sus cuatro caras
Q1 =
Ti , j +1 − Ti , j
Δy
k (WΔx )
T −T
Q3 = i −1, j i , j
Δx
k (WΔy )
Δy
Δx
Q4 =
Ti , j −1 − Ti , j
Δy
k (WΔx )
Q2 =
Ti +1, j − Ti , j
Δx
k (WΔy )
Conducción en estado estacionario
E+G=S+Ac
(E-S)+G=Ac
Estado estacionario sin generación
G=Ac=0
Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0
Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j
=0
+
+
+
Δy
Δx
Δx
Δy
k (WΔy )
k (WΔy )
k (WΔx )
k (WΔx )
Ti , j +1 − Ti , j + Ti +1, j − Ti , j + Ti −1, j − Ti , j + Ti , j −1 − Ti , j = 0
Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1 − 4Ti , j = 0
Ti , j =
Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1
4
Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras; una de
ellas está aislada térmicamente.
Ti , j +1 − Ti , j
Q1 =
Δy
k (ΔxW )
Ti −1, j − Ti , j
Q3 =
Δx
⎛ Δy ⎞
k ⎜W
⎟
2
⎝
⎠
Δy/2
Δx
Q4 = 0
Ti +1, j − Ti , j
Q2 =
Δx
⎛ Δy ⎞
k ⎜W
⎟
⎝ 2 ⎠
E+G=S+Ac
(E-S)+G=Ac
Estado estacionario sin generación
G=Ac=0
Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0
Ti −1, j − Ti , j
Ti , j +1 − Ti , j
Ti +1, j − Ti , j
+
+
+0 =0
Δx
Δx
Δy
⎛ Δy ⎞
⎛ Δy ⎞
k (WΔx )
k
k ⎜W
⎜W
⎟
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
Ti , j +1 − Ti , j +
Ti , j +1 +
Ti +1, j − Ti , j
2
Ti +1, j + Ti −1, j
Ti , j =
2
Ti , j +1
2
+
+
Ti −1, j − Ti , j
2
− 2Ti , j = 0
Ti +1, j + Ti −1, j
4
=0
Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras, y transporte
de calor por convección por la cuarta.
Q1 =
Ti −1, j − Ti , j
Q3 =
Δx
⎛ Δy ⎞
k ⎜W
⎟
2
⎝
⎠
Ti , j +1 − Ti , j
1
h(ΔxW )
Δy/2
Δx
Ti , j −1 − Ti , j
Q4 =
Δy
k (ΔxW )
Ti +1, j − Ti , j
Q2 =
Δx
⎛ Δy ⎞
k ⎜W
⎟
⎝ 2 ⎠
E+G=S+Ac
(E-S)+G=Ac
Estado estacionario sin generación
G=Ac=0
Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0
Ti , j +1 − Ti , j
Ti +1, j − Ti , j
Ti −1, j − Ti , j
Ti , j −1 − Ti , j
+
+
+
=0
Δx
Δx
Δy
1
h(WΔx )
⎛ Δy ⎞
⎛ Δy ⎞
k (WΔx )
k ⎜W
k ⎜W
⎟
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j
+
+
+
=0
1
1
1
1
h(Δx )
k
⎛k⎞
⎛1⎞
k⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
k Ti +1, j − Ti , j k Ti −1, j − Ti , j
h(Δx ) Ti , j +1 − Ti , j +
+
+ k Ti , j −1 − Ti , j = 0
2
2
[
Ti , j
] [
] [
] [
]
⎡ Ti +1, j + Ti −1, j
⎤
⎡ Ti +1, j + Ti −1, j
⎤
+ Ti , j −1 ⎥ Bi Ti , j +1 + ⎢
+ Ti , j −1 ⎥
h(Δx )Ti , j +1 + k ⎢
2
2
⎣
⎦=
⎣
⎦
=
h(Δx ) + 2k
Bi + 2
T=0ºC
Ti , j =
Ti , j =
Ti , j
Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1
Ti , j +1
2
+
4
Ti +1, j + Ti −1, j
4
⎡ Ti +1, j + Ti −1, j
⎤
+ Ti , j −1 ⎥
Bi Ti , j +1 + ⎢
2
⎣
⎦
=
Bi + 2
Caso 3: Conducción en estado estacionario con convección en bloques de
distintos materiales.
En la figura se muestra una estructura muy profunda (profundidad= W) adosada a un horno cuya pared está
a 500ºC. Consta de :
a) una lámina de acero (k= 40 W/mK) de 2 cm de espesor que sirve de soporte a otros dos materiales
b) un bloque de material (k = 10 W/mK) de 8 cm de altura y 10 cm de anchura, unido a la superficie del
horno
El sistema, excepto por la zona unida a la pared del horno está totalmente rodeado de aire a 20ºC. El aire de
alrededor circula rápidamente de modo que el coeficiente de convección entre el aire y los distintos
materiales es lo suficientemente alto para considerar que la temperatura superficial de éstos es 20ºC.
A través del acero circula una corriente eléctrica que libera una energía de 15 000 W/m3.
a) obtener el perfil de temperaturas del sistema
b) determinar el flujo de calor por unidad de anchura del sistema que se pierde al aire
Resuélvase el problema por métodos numéricos. Tómese un valor de 1 cm para los incrementos de x e y.
Condición de contorno. T= 500ºC
Condición de contorno. T= 20ºC
Conducción por las 4 caras. Un único material
Conducción por las 4 caras. Un único material
Conducción por las 4 caras. Elemento constituido
por dos materiales
Conducción en estado estacionario
Q1 =
Ti , j +1 − Ti , j
Δy
k (WΔx )
Ti −1, j − Ti , j
Q3 =
Δx
k (WΔy )
Δy
Δx
Q4 =
Ti , j −1 − Ti , j
Δy
k (WΔx )
Q2 =
Ti +1, j − Ti , j
Δx
k (WΔy )
Conducción en estado estacionario
E+G=S+Ac
(E-S)+G=Ac
Estado estacionario
Ac=0
Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Generacion = 0
Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j
+
+
+
+ φΔxΔyW = 0
Δy
Δx
Δx
Δy
k (WΔy )
k (WΔy )
k (WΔx )
k (WΔx )
Ti , j +1 − Ti , j + Ti +1, j − Ti , j + Ti −1, j − Ti , j + Ti , j −1 − Ti , j +
Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1 +
φ
Ti , j = k
φ
k
Δx − 4Ti , j = 0
2
k
Δx Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1
2
4
φ
Δx 2 = 0
Conducción en estado estacionario
Ti , j +1 − Ti , j
Q1 =
Δy
k1 (WΔx )
Ti −1, j − Ti , j
Q3 =
Δx
k (WΔy )
k =
Δy
Δx
k1 + k 2
2
Q4 =
Ti , j −1 − Ti , j
Δy
k2 (WΔx )
Q2 =
Ti +1, j − Ti , j
Δx
k (WΔy )
Conducción en estado estacionario
E+G=S+Ac
(E-S)+G=Ac
Estado estacionario
Ac=0
Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Generacion = 0
Ti , j +1 − Ti , j
Ti +1, j − Ti , j
Ti −1, j − Ti , j
Ti , j −1 − Ti , j
Δy
+
+
+
+ φΔx W = 0
Δy
Δx
Δx
Δy
2
k (WΔy )
k (WΔy )
k1 (WΔx )
k 2 (WΔx )
Δy
k1 Ti , j +1 − Ti , j + k Ti +1, j − Ti , j + k Ti −1, j − Ti , j + k 2Ti , j −1 − Ti , j + φΔx W = 0
2
(
)
(
Ti , j =
)
(
)
(
)
k1Ti , j +1 + k2Ti , j −1 + k Ti +1, j + Ti −1, j + φΔx
k1 + k2 + 2 k
Δy
2
Celdas en elementos laterales con convección por una de sus caras
Ti , j +1 − Ti , j
Q1 =
Δy
⎛ Δx ⎞
k⎜ W ⎟
⎝ 2 ⎠
Ti −1, j − Ti , j
Q3 =
1
h(WΔy )
Δy
Δx/2
Ti , j −1 − Ti , j
Q4 =
Δy
⎛ Δx ⎞
k⎜ W ⎟
⎝ 2 ⎠
Q2 =
Ti +1, j − Ti , j
Δx
k (WΔy )
E+G=S+Ac
(E-S)+G=Ac
Estado estacionario
Ac=0
+ Q + Q4 T=i , j0−1 − Ti , j
Ti , j +1 − Ti , j
Ti +1, j − Ti , j Q1 T+i −Q
Δx
1, 2j − Ti ,3j
+φ
ΔyW = 0
+
+
+
1
Δx
Δy
Δy
2
(
)
h
W
y
Δ
(
)
k
W
y
Δ
⎛ Δx ⎞
⎛ Δx ⎞
k ⎜W
k ⎜W
⎟
⎟
2
2
⎠
⎝
⎠
⎝
Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j φΔx 2
+
+
+
+
=0
1
1
1
1
2
k (1)
h(Δx )
⎛1⎞
⎛1⎞
k⎜ ⎟
k⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
⎝ 2⎠
⎡ Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j ⎤
φΔx 2
k⎢
+
+
⎥ + h(Δx ) Ti −1, j − Ti , j + 2 = 0
2
1
2
⎣
⎦
[
]
⎡ Ti , j +1 + Ti , j −1
⎤
φΔx 2
k⎢
+ Ti +1, j − 2Ti , j ⎥ + h(Δx ) Ti −1, j − Ti , j +
=0
2
2
⎣
⎦
[
]
⎛ φΔx 2 ⎞ ⎡ Ti , j +1 + Ti , j −1
⎛ φΔx 2 ⎞
⎡ Ti , j +1 + Ti , j −1
⎤
⎤
⎟⎟ ⎢
⎟⎟
+ Ti +1, j ⎥ + h(Δx )Ti −1, j + ⎜⎜
+ Ti +1, j ⎥ + Bi Ti −1, j + ⎜⎜
k⎢
2
2
2
2
k
⎦
⎦
⎝
⎠=⎣
⎝
⎠
Ti , j = ⎣
2k + h(Δx )
2 + Bi
Celdas en elementos laterales con convección por dos de sus caras
Ti , j +1 − Ti , j
Q1 =
Δy
⎛ Δx ⎞
k⎜ W ⎟
⎝ 2 ⎠
Q3 =
Ti −1, j − Ti , j
1
⎛ Δy ⎞
h⎜W
⎟
2
⎝
⎠
Δy/2
Δx/2
Ti , j −1 − Ti , j
Q4 =
Δy
⎛ Δx ⎞
k⎜ W ⎟
⎝ 2 ⎠
Ti +1, j − Ti , j
Q2 =
Δx
⎛ Δy ⎞
k ⎜W
⎟
⎝ 2 ⎠
E+G=S+Ac
(E-S)+G=Ac
Estado estacionario
Ac=0
Q3i ,+j Q4 = 0Ti , j −1 − Ti , j
Ti , j +1 − Ti , j
Ti +1, j − Ti , j Q1 +TQi −21, +
Δx Δy
j −T
+
+
+
+φ
W =0
Δx
1
Δy
1
2 2
⎛ Δx ⎞
⎛ Δy ⎞
⎛ Δy ⎞
⎛ Δx ⎞
h⎜W
h⎜W
k ⎜W
⎟
⎟
⎟
k ⎜W
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
2
⎝
⎠ 2
Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j
Δx
+
+
+φ
=0
+
1
1
1
1
4
⎛1⎞
⎛ Δx ⎞
⎛1⎞
⎛ Δx ⎞
h⎜ ⎟
k⎜ ⎟
h⎜ ⎟
k⎜ ⎟
2
2
2
2
Ti , ⎝j +1 − T⎠i , j Ti +1, j⎝ − T⎠i , j Ti −1, j⎝− Ti ,⎠j Ti , j −1 −⎝Ti ,⎠j
Δx 2
+
+φ
=0
+
+
1
1
1
1
4
hΔx
hΔx
k
k
[
]
hΔx Ti , j +1 + Ti −1, j − 2Ti , j +
[
] [
hΔx Ti , j +1 + Ti −1, j + k Ti +1, j + Ti , j −1
Ti , j =
2hΔx + 2k
φΔx 2
]
4
[
]
+ k Ti +1, j + Ti , j −1 − 2Ti , j = 0
⎛ φΔx 2 ⎞
⎛ φΔx 2 ⎞
⎟⎟ Bi Ti , j +1 + Ti −1, j + Ti +1, j + Ti , j −1 + ⎜⎜
⎟⎟
+ ⎜⎜
4
4
k
⎝
⎠=
⎝
⎠
2 Bi + 2
[
] [
]