5.1 La convolución para sistemas discretos

Capítulo
5.1
5
La Operación de Convolución
La convolución para sistemas discretos
En la figura 5.1.1 aparece un diagrama de bloques de un procesador
de señales de tiempo discreto
1
2
(a)
𝑥[𝑛]
𝑦[𝑛]
𝑥
⬚
𝑥[𝑛
𝑇 − 1]
𝑥
1
2
Fig. 5.1.1 Procesador de tiempo discreto
El cual se modela por medio de una ecuación en diferencias o
ecuación de recurrencias
𝑦[𝑛] =
𝑥[𝑛] + 𝑥[𝑛 − 1]
1
1
= 𝑥[𝑛] + 𝑥[𝑛 − 1]
2
2
2
Este tipo de procesadores se denomina no recursivo, dado que su
salida se expresa solo en términos de la secuencia de entrada x[n].
Este procesador simple puede actuar como filtros pasabajas,
reduciendo la amplitud de componentes que varíen rápidamente en la
secuencia de entrada.
1
Consideremos una secuencia de entrada mediante la siguiente tabla
calculemos el valor de la salida
N
x[n]
x[n-1]
y[n]=(x[n]+x[n1])/2
0
5.0
0
2.5
1
6.0
5.0
5.5
2
2.6
6.0
4.3
3
4.1
2.6
3.35
4
2.2
4.1
3.15
5
5.5
2.2
3.85
6
1.7
5.5
3.6
7
5.0
1.7
3.35
Tabla5.1.1 Secuencia de entrada y secuencia de salida
La tabla contiene en la primera línea la secuencia discreta de entrada
al procesador x[n] y en la segunda línea la secuencia retardada x[n-1].
Cada termino de la secuencia de salida y[n] del procesador es el
promedio de x[n] y x[n-1] y representa una estimación en cualquier
instante n.
Puesto que la operación de obtención del promedio en efecto se
mueve a lo largo de la secuencia de entrada, el procesador se
denomina promediador móvil de dos términos. El efecto uniformador
del promediador móvil se ilustra claramente en la figura 5.1.2 parte
inferior secuencia de salida.
Por tanto, si interpolamos ambas señales fig. 5.1.2, al comparar la
entrada con la salida se observa que amplitud de las fluctuaciones de
la secuencia de la salida se reducen en forma considerable, salida es
más suave que la entrada esto es precisamente lo que hace el
procesador.
En el caso general de los procesadores de tiempo discreto están
representados mediante una ecuación en diferencias en donde los
valores actuales de la salida pueden depender de los N y M valores
pasados de la entrada y de la salida.
2
secuencia de entrada
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
secuencia de salida
6
4
2
0
0
1
2
3
4
Fig. 5.1.2 comparando la entrada y la salida del procesador.
Código matlab de la fig.5.1.2
n=[0:1:7];
x=[5.0,6.0,2.6,4.1,2.2,5.5,1.7,5.0];
n1=[0:1:7];
y=[2.5,5.5,4.3,3.35,3.15,3.85,3.6,3.35 ];
subplot(2,1,1),stem(n,x,'linewidth',3),title('secuenciade
entrada'),grid;
subplot(2,1,2),stem(n1,y,'linewidth',3),title('secuencia de salida'),grid
La forma general de la ecuación de un sistema discreto es:
𝑦[𝑛] = 𝑏0 x[n] + b1 x[n − 1] + b2 x[n − 2] + ⋯ + bM x[n − M] − a1 y[n − 1]
− a2 y[n − 2] + ⋯ − aN y[n − N]
M
N
i 0
k 1
yn  bix[n  i]   ak y[n  k ]
Índices de tiempo de la sumatoria de los términos dela salida se
modifican para incluir: 𝑦[𝑛]
𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 𝑜
Por lo que
M
N
i 0
k 0
bix[n  i]   ak y[n  k ]
3
Recordando el operador de transformación en el dominio del tiempo
𝑦[𝑛] = 𝐻{𝑥[𝑛]}
∑𝑁
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑦[𝑛 − 𝑘]
𝐻= 𝑀
∑𝑖=0 𝑏𝑖 𝑥[𝑛 − 𝑖]
La ecuación anterior describe la transformación que realiza el sistema
sobre la señal de entrada y se denomina ecuación de diferencias
lineales o ecuación de recurrencia (se utilizara más tarde).
Representación de una señal o secuencia discreta mediante una suma
de muestras unitarias desplazadas y escaladas:
Primero definamos una señal discreta
secuencia muestra unitaria definida así:
1,
δ[n] = {
0,
que se conoce como la
n=0
n≠0
Ver fig. 5.1.3
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Fig. 5.1.3
unitaria.
función
muestra
Código en matlab: n1=[-4:1:-1]; n2=[0]; n3=[1:1:4]; n=[n1,n2,n3];
x1=zeros.*n1; x2=1; x3=zeros.*n3;
x=[x1,x2,x3];stem(n,x,'filled','linewidth',3),grid
4
1.- La señal muestra unitaria
desplazar ver fig. 5.1.4
se puede escalar en amplitud
3𝛿 [𝑛 − 3] = {
3
2.5
y
1, 𝑛 = 3
0, 𝑛 ≠ 3
2
1.5
1
0.5
0
-4
-2
0
2
4
6
8
Fig. 5.1.4 muestra unitaria escalada y retardada tres instantes de
muestreo.
Códigomatlab:
n1=[-4:1:2]; n2=[3]; n3=[4:1:8]; n=[n1,n2,n3]; x1=zeros.*n1; x2=3;
x3=zeros.*n3;x=[x1,x2,x3]; stem(n,x,'r','filled','linewidth',3),grid
La muestra unitaria es útil para representar cualquier secuencia
discreta como una suma de impulsos desplazados y escalados de
manera formal:
x[n] 

k   xk  n  k 
(5.1.1)
5
Ejemplo 5.1.1
Sea una secuencia discretadefinida
x[n] = 2,3, -2, 1 ver la fig. 5.1.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Fig. 5.1.5
grafica de la
secuenciax[n] = 2,3, -2, 1
-0.5
-1
-1.5
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Código en matlab
n1=[-4:1:-1]; n2=[0]; n3=[1];n4=[2]; n5=[3]; n=[n1,n2,n3,n4,n5];
x1=zeros.*n1;x2=2; x3=3; x4=-2; x5=1; x=[x1,x2,x3,x4,x5];
stem(n,x, 'filled','linewidth',3),grid
Esta secuencia x[n] = 2,3, -2, 1 se puede representar por medio de
una suma de secuencias muestra unitaria escalada y retardada.
Secuencia 𝑥[𝑛] representada mediante una suma de muestras
unitarias desplazadas y escaladas.
6
Fig.5.1.7 2 𝛿[𝑛]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Fig.5.1.8 3𝛿[𝑛 − 1]
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Fig. 5.1.9 −2𝛿[𝑛 − 2]
7
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4
-2
0
2
4
6
8
Fig.5.1.10 𝛿[𝑛 − 3]
La secuencia 𝑥[𝑛] representada mediante la función muestrea unitaria
como una suma infinita de muestras unitarias retrasadas y escaladas:
x[n]  k   xk  n  k   2 n  3 n  1  2 n  2   n  3

Si esta señal muestra unitaria 𝛅[𝐧] se utiliza para excitar un sistema de
tiempo discreto LTI la respuesta a dicha entrada se la conoce como la
respuesta a la muestra unitaria h[n] y caracteriza al sistema en el
dominio del tiempo.
𝜹[𝒏] → 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂𝑳𝑻𝑰 → 𝒉[𝒏]
Procesador no recursivo: “la salida depende de la entrada actual y
de entradas retardadas”:
Sea el modelo matemático de un procesador
8
1
1
𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] + 𝑥[𝑛 − 2]
2
2
Para obtener la respuesta a la muestra unitaria se escribe la ecuación
de recurrencia completa:
𝟏
𝟏
𝐲[𝐧] = 𝐱[𝐧] + 𝟎𝐱[𝐧 − 𝟏] + 𝐱[𝐧 − 𝟐]
𝟐
𝟐
La respuesta a l muestra unitaria se obtiene de los coeficientes
numéricos de la ecuación de recurrencia completa:
𝟏
𝟏
𝐡[𝐧] = , 𝟎,
𝟐
𝟐
Note que los respuesta a la muestra unitaria tiene términos finitos por
lo tanto este procesador se le conoce como filtro “FIR”.
Procesador recursivo (la salida depende de la entrada actual y de
salidas retardadas): Sea el modelo matemático de un procesador
donde la salida depende de la entrada actual y de salidas retardadas:
1
𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] + 𝑦[𝑛 − 1] − 𝑦[𝑛 − 2]
2
Fig. 5.1.11 diagrama de bloques de un procewsador
9
Encontremos la respuesta a la muestra unitaria de este procesador
discreto
(n)
0 1
2
3
4
5
6
7
x[n] = 𝛿[𝑛]
1 0
0
0
0
0
0
0
y[n-1]
0 1
1
½
0
-1/4 -1/4 -1/8
y[n-2]
0 0
1
1
½
0
1 1
1/2
0
-1/4 -1/4 -1/8 0
𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] +
𝑦[𝑛 − 1] −
1
𝑦[𝑛 − 2]
2
-1/4 -1/4
Como se puede observar la entrada es
𝑥[𝑛] = 𝛿[𝑛]𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎
Corresponde la salida:
1
1
1 1
𝑦[𝑛] = ℎ[𝑛] = 1,1, , 0, − , − , − , 𝑜,
2
4, 4 8
Ya que la respuesta a la muestra unitaria tiene términos infinitos este
procesador se le conoce como filtro IIR.
Podemos verificar el anterior resultado si utilizamos el programa
matlab:
Existe un comando en matlab para encontrar la respuesta a la muestra
unitaria “impz”; dicho comando evalúa n valores de la respuesta a la
muestra unitaria, el vector “b” contiene los coeficientes constantes de
x[n] y todos los coeficientes de los retardos de la entrada x [n-N] y el
vector “a” contiene todos los coeficientes constantes de las y[n] y
todos los coeficientes de los retardos de la salida y[n-M], “h“ contiene
los valores de la respuesta a la muestra unitaria y “n” el índice de
tiempo correspondiente.
10
De
1
𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] + 𝑦[𝑛 − 1] − 𝑦[𝑛 − 2]
2
𝟏
𝐲[𝐧] − 𝐲[𝐧 − 𝟏] + 𝐲[𝐧 − 𝟐] = 𝐱[𝐧]
Rescribiendo
𝟐
De la ecuación de recurrencia general:
∑𝑁
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑦[𝑛 − 𝑘]
𝐻= 𝑀
∑𝑖=0 𝑏𝑖 𝑥[𝑛 − 𝑖]
Código del programa:
b=[1];
% para usar el comando impz;
al vector b
leasignamos
loscorrespondes
coeficientes
delasecuencia de entrada𝑥[𝑛].
% para usar el comando impz;
al vector a
leasignamos los correspondes coeficientes de
lassecuencia de salida𝑦[𝑛].
% índice de tiempo.
a=[1,-1,0.5];
n=10;
[h,n]=impz(b,a,n) %comando para obtener la respuesta a la muestra
unitaria ℎ[𝑛].
% con el siguiente resultado:
h=
1.0000
1.0000
0.5000
0
-0.2500
-0.2500
-0.1250
0
0.0625
0.0625
K= 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Los resultados verifican lo que anteriormente hicimos a mano.
11
Ejemplo 5.1.2
Un sistema de segundo orden (ya que contiene una salida y una
entrada retardada dos instantes de tiempo)
𝑦[𝑛] − 1.5𝑦[𝑛 − 1] + 𝑦[𝑛 − 2] = 2𝑥[𝑛 − 2]
∑𝑁
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑦[𝑛 − 𝑘]
𝐻= 𝑀
∑𝑖=0 𝑏𝑖 𝑥[𝑛 − 𝑖]
Completando la ecuación
1𝑦[𝑛] − 1.5𝑦[𝑛 − 1] + 𝑦[𝑛 − 2]
𝐻=
0𝑥[𝑛] + 0𝑥[𝑛 − 1] + 2𝑥[𝑛 − 2]
Obteniendo la respuesta a la muestra unitaria utilizando matlab
b=[0,0,2]; a=[1,-1.5,1]; n=10; [h,n]=impz(b,a,n)
h=
0,
0, 2.0000, 3.0000,
2.8125, -2.8438, -1.4531
n=
0,
1,
2,
3,
4,
5,
2.5000,
6,
7,
0.7500,
8,
-1.3750,
-
9
Si la entrada a dicho sistema es un escalón unitario discreto
obtengamos la salida mediante la convolución en el tiempo con matlab
la salida:
𝑦[𝑛] = ℎ[𝑛] ∗ 𝑢[𝑛]
Código Matlab para obtener la salida convolucionando
h=[0,0,2,3,2.5,0.75,-1.37,-2.81,-2.84,-1.45];
u=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1];
n=0:18;
y=conv(h,u);
stem(n,y,'linewidth',4),grid
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Fig.5.1.12Respuesta del procesador de segundo orden a una entrada
escalón.
Ejemplo 5.1.3
La respuesta a la muestra unitaria de un sistema de tiempo discreto
esta dado modelado por:
hn 0.3 ,
n0
n
n 0
0,
Si la entrada del sistema es xn  2 n  3 n  2
Calcule los valores de y2
y
y5
Solución:
yn  2hn  3hn  2
yn  2(0.3)n  3(0.3)n 2
y2  2(0.3)2  3(0.3)22  2(0.09)  3(1)  0.18  3  2.82
y5  2(0.3)5  3(0.3)52  7.61*102
13
Veamos ahora que utilidad tiene h[n ] para obtener la respuesta de un
sistema
a cualquier entrada a través de una operación que
llamaremos convolución:

y[n]  
xk hn  k 
k  
Esta ecuación se le conoce como suma de convolución.
Evaluación analítica de la convolución discreta:
Cuando evalúe la suma de convolución a través de:
yn  k  xk hn  k 

Tenga en mente que xk 
la sumatoria k.
y hn  k  son funciones de la variable de
Ejemplo 5.1.4
Sea una señal de entrada a un sistema xn  un y
impulso esta modelada por hn  un , entonces
xk   uk 
y
hn  k   un  k 
la respuesta al
usando
yn  k  xk hn  k 

El limite inferior de la sumatoria se simplifica a k = 0 porque u[k] = 0,
k< 0 ( la señal escalón unitario discreto es causal)
El limite superior es k = n, porque h[n – k] =u [n – k] = 0, k > n), por lo
que la respuesta a la muestra unitaria de un sistema causal es cero
para tiempos negativos de k.
Sustituyendo enla suma de convolución:
yn  k  xk hn  k   k 0 uk un  k   k 011  n  1un  rn  1

n
n
14
Note que
nun  rn  n,
 0,
n0
n 0
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Fig.5.1.13 Resultado de convolucionar un secuencia escalón con otra
secuencia escalón.
Códigomatlab:
n=0:8; u=[1,1,1,1,1]; u2=[1,1,1,1,1]; y=conv(u,u2);
stem(n,y, 'filled','linewidth',3),grid
Algoritmo para obtener la
secuencias finitas
operación de convolución de
La convolución y[n] de dos secuencias de longitud finita x[n] y h[n] es
también longitud finita y esta sujeta a las siguientes reglas, que sirven
como útiles pruebas de consistencia:
1.- El índice de inicio de y[n] es igual a la suma de los índices de
inicio de x[n] y h[n].
2.- el índice de terminación de y[n] es igual a la suma de los índices
de terminación de x[n] y h[n].
3.- la longitud Lydey[n] está relacionada con las longitudes Lx y Lhde
x[n] y h[n] por Ly= Lx+ Lh-1.
15
Método de suma por columnas
a.- Alinee la secuencia x[n] debajo de la secuencia h[n].
b.- Alinee con cada muestra de x[n], el producto del arreglo
h[n] por x[n].
c.- Sume las columnas de los arreglos (sucesivamente desplazados)
para generar la secuencia de convolución.
Ejemplo 4.3.5
a) Un procesador FIR tiene una respuesta al impulso dada por
h[n]={ 1, 2, 2 ,3}. Encuentre la respuesta y[n] si la secuencia
entrada esta dada por x[n] = {2, -1, 3}, ambas secuencias x[n] y
h[n] , están ordenadas el primero de sus valores comienzan en n
= 0.
h[n]
x[n]
entrada
2δ[n]
-δ[n-1]
3δ[n-2]
x[n]
=
=
respuesta
2h[n]
=
-h[n-1]
=
3h[n-2]
=
y[n]
=
1
2
2
-1
2
4
-1
2
3
3
4
6
-2
-2
-3
3
6
6
9
-------------------------------------------2
3
5
10 3
9
Prueba:
1.- El índice de inicio de y[n] es igual a la suma de los índices de
inicio de x[n] y h[n]:
Índice de inicio de x[n] =0 + índice de inicio de h[n] =0 esto es igual
al índice de inicio de
y[n] =0 .
2.- el índice de terminación de y[n] es igual a la suma de los índices
de terminación de x[n] y h[n].
Índice de terminación de x[n] = 2 + índice de terminación de h[n] = 3
esto es igual al índice de terminaron de y[n] =5.
3.- la longitud Lydey[n] está relacionada con las longitudes Lx y Lhde
x[n] y h[n] por Ly= Lx+ Lh-1 para este ejemplo: Lx = 3, Lh-1= 4-1 =3 por
lo tanto la longitud de la secuencia de la respuesta es Ly= Lx+ Lh-1=6.
16
Outro ejemplo : h[n]={ 2, 5, 0, 4} y
x[n] = {4, 1, 3}
h[n]
=
2
5
0
4
x[n]
=
4
1
3
----------------------------------------------------------------------------------------8
20 0
16
2
5
0
4
6
15 0
12
______________________________________________________
y[n] =
8
22 11 31 4
12
Prueba:
1.- La convolución inicia en la suma de los índices de inicio de x[n] =-1
y h[n]=-2, en
n = –3.
2.- La convolución termina en la suma de los índices de terminación de
x[n] =1 y h[n]=1, en n=2
3.- La longitud de la secuencia de salida es Ly= Lx+ Lh-1= 3+(4-1)= 6.
Ejemplo 4.3.6
La respuesta a la muestra unitaria de un filtro promediadoresta dado
por h[n]= ½, ½ , Suponga que la entrada aplicada al sistema esta
dada por la secuencia fue x[n]=20,10,16,10,10,12,14 encontrar
La salida mediante la por la operación de Convolución mediante el
método de suma por columnas
h[n]
x[n]
=
=
1/2
20
1/2
10 16
10
10
12
14
__________________________________________________
10 10
5
5
8
8
5
5
5
5
6
6
7
7
__________________________________________________
Y[n]
10 15 13 13 10 11 13 7
17
Actividad
i)
Calcule la convolución de dos secuencias finitas mediante el
método de suma por columnas
a[n] y b[n] son 2 secuencias definidas por
an  2,3,1
bn  1,2,2,1
Y
Obtener las comvoluciones siguientes
𝑦1[𝑛] = 𝑎[𝑛] ∗ 𝑏[𝑛]𝑦
𝑦2[𝑛] = 𝑏[𝑛] ∗ 𝑎[𝑛]
ii)Considere un sistema LTI, causal de respuesta al impulso
h[n] = [4]n para n ≥ 0 y
h[n]=0 para 𝑛 < 0.
Cuya señal de entrada está dada por x[n] = -2δ[n]+4δ [n-1]-δ [n-2].
Determine la respuesta al sistema y[n] en el índice de tiempo n=2.
5.2
Convolución para sistemas de tiempo continúo
La secuencia muestra unitaria tiene la propiedad de selección:
x[k ] 


k  
xn 
 n  k 
En otras palabras la función muestra unitaria
selecciona una
muestra𝑥[𝑘]de la señal x[n] en el índice de tiempo n=k.
18
Así como en el tiempo discreto existe una propiedad que selecciona
una muestra de la secuencia discreta análogamente debe existir en
el en el tiempo continuo una propiedad semejante, consideremos δ[t]
y su desplazamiento δ [t - λ] procederemos a separar el valor de x (λ)
de una señal de tiempo continuo x(t) en el tiempo t= λ, como antes se
forma el producto
x(t) δ [t - λ], pero como estamos tratando señales de tiempo continuo
usaremos en vez de una sumatoria una integral para representar una
suma continua a lo largo de todo el tiempo por lo que tendremos la
siguiente expresión

  x(t)  [t -  ] dt  x(  )
(5.2.1)
La que se conoce como la integral de muestreo o selección.
𝛿(𝑡)Existe sólo en 𝑡 = 𝜏 = 0 y la integral que lo define selecciona el
valor de 𝑥(0)𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑥(𝑡) esto es:
∞
∫ 𝐱(𝐭)𝛅(𝐭)𝐝𝐭 = 𝐱(𝟎)
−∞
Ahora considérese el caso especial en el que la señal 𝑥(𝑡) vale la
consante 1 para todo tiempo t, entonces 𝑥(𝜏) = 1 para cualquier valor
de 𝜏 y la integral integral de la definición se puede escribir como:
∞
∞
∫ 𝛅(𝐭 − 𝛕)𝐝𝐭 = ∫ 𝛅(𝐭)𝐝𝐭 = 𝟏
−∞
−∞
Lo que nos indica que el área bajo la función delta es finita e igual a la
unidad por lo que esta función se le conoce como la función delta
unitaria o función impulso unitario.
Lo que supone una función de extremadamente corta duración y alta
amplitud.
Se utiliza para modelar un fenómeno que tenga una duración corta y
una amplitud considerable como:
a) Un rayo.
b) Un disparo de arma de fuego.
c) Un batazo.
19
Para representar una función 𝑥(𝑡) como una suma continua de
impulsos desplazados y escalados lo que formalmente se escribiría
así:
x(t )  


x( )  [t -  ] d
(5.2.2)
Lo que permite deducir que si un sistema LTI de tiempo continuo se
excita con
𝑥(𝜏)𝛿(𝑡 − 𝜏)la respuesta a esta entrada será 𝑥(𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏) .
La respuesta total en base a la superposición será la suma continua
de las respuestas individuales esto es:
y (t )  


x( ) h [t -  ] d
(5.2.3)
Donde:
∞
∫
representa una suma continua del producto de x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
𝑥(𝜏) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥(𝑡) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 = 𝜏.
ℎ(𝑡 − 𝜏) 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐿𝑇𝐼,
𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝛿(𝑡 − 𝜏).
La ecuac. 5.2.3 se denomina“La integral de convolución” y es útil ya
que con esta integral encontraremos la respuesta de un sistema LTI
a cualquier excitación en la entrada en el dominio del tiempo.
Ejemplo 5.2.1
Sea una red eléctrica cuya respuesta al impulso esta modelada por
2 t
h(t )  A e u (t )
20
Dicha red se excita en la entrada r mediante la una señal
2 t
x(t )  A e u (t )
Predecir la respuesta o salida y(t )
integral de convolución.
del sistema por medio de la
La respuesta del sistema y (t) a la señal de entrada está a dada por la
integral de convolución:
y(t )  


x( ) h [t - ] d
La Expresión para h(t   ) se obtiene sustituyendo t por t  en h(t) y
x( ) sustituyendo t por  en x(t).
Así:
y(t )  


t
-2
-2( t - )
x( ) h [t -  ] d   A e u( )A e
u(t   )d 
0
Note los límites de la integral:
1.-Limite inferior es cero dado 𝐴𝑒 −2𝜏 𝑢(𝜏) = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 < 0
2.-Limite superior es t dado que para un sistema deterministico
ℎ(𝑡 − 𝜏) = 𝐴𝑒 −2(𝑡−𝜏) = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 > 𝑡
y(t ) 
y (t ) 
A
2
t
0
-2
Ae
2  2t t 0d 
0 e
Ae
-2t
(1)A e
2
e
(1)d 
2  2t  t 
0
Ae
2t
t
-2
2
Ae  e e
2
0
2  2t t  0 
Ae
d 
2
A te
 2t
21
La entrada y la salida se muestran a continuación:
2 t
Fig 5.2.1 Entrada del sistema exponencial decreciente x(t )  A e u (t )
2 t
2
fig. 5.2.2 Salida del sistema rampa amortiguada y (t )  A t e u (t )
Ejemplo5.2.2
La respuesta al impulso unitario de un sistema continuo es:
h(t )  4 e
2 t
0,
4 t
 6e ,
t0
t 0
Si la entrada se modela como:
x(t )   (t )  3 (t  1)  5 (t  2.5)
22
Encuentre el valor de la
y(t )
en
el
t  1.5s
tiempo
y(t )  h(t )  3h(t  1)  5h(t  2.5) 
Solución
2t

4t
y(t )  4 e  6 e  3 4 e
y(1.5)  4 e
 2 (1.5)
 6e
 4 (1.5)
2 ( t 1)

 3 4e
 6e
 2 (1.5 1)
4 ( t 1)
 6e

 5 4e
 4 (1.51)

2 ( t  2.5)
 5 4e
 6e
 2 (1.5  2.5)
4 ( t  2.5)
 6e

 4 (1.5  2.5)

El último término del segundo miembro es cero por que la salida de un
sistema causal es cero para tiempos negativos.
4.5
y(1.5)  4 e

6
2
4

 6 e  3 4 e  6 e  0  0.5785
Ejemplo 5.2.3
Una red eléctrica (LTI) tiene la respuesta al impulso unitario
h(t)=𝟑𝒆−𝟒𝒕 u(t), si se aplica una entrada de la red un escalón unitario
de voltaje u(t), utilice la integral de convolución para calcular el valor
de salida y(t) del sistema en el tiempo t = 0.25s.
∞
𝒚(𝒕) = ∫−∞ 𝒙(𝝉)𝒉(𝒕 − 𝝉)𝒅𝝉;
𝒙(𝝉) = 𝒖(𝝉); 𝒉(𝒕 − 𝝉) =
𝟑𝒆−𝟒(𝒕−𝝉) 𝒖(𝒕 − 𝝉) ;
𝒕
𝒕
𝒚(𝒕) = ∫𝟎 𝒖(𝝉)𝟑𝒆−𝟒(𝒕−𝝉) 𝒖(𝒕 − 𝝉)𝒅𝝉 = 𝟑 ∫𝟎 𝒆−𝟒𝒕 𝒆𝟒𝝉 𝒅𝝉 =
𝒕
𝟑
𝒕
𝟑
𝒚(𝒕) = 𝟑𝒆−𝟒𝒕 ∫𝟎 𝒆𝟒𝝉 𝒅𝝉 = 𝒆−𝟒𝒕 𝒆𝟒𝝉 𝟎 = 𝒆−𝟒𝒕 (𝒆𝟒𝒕 - 𝟏)
𝟒
𝟒
23
𝒚(𝒕) =
𝟑
(𝟏 − 𝒆−𝟏 ) = 𝟒. 𝟗𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟐
𝟒
Ejemplo 5.2.4
Usando la integral de convolución determine la respuesta a la red RC
a una entrada escalón unitario de 3V de altura.
Fig.5.2.3Entrada escalón unitario (derecha)al sistema filtro RC de paso
bajo (izquierda).
SOLUCION. La entrada esta definida por 𝑥(t) = 3u(t) que se muestra
en la fig. 4.4.3 Y la respuesta al impulso unitario de una red RC,
h(t) = Ae−αt
Donde
α=
1
RC
La respuesta y(t) utilizando la integral de convolución esta dada por
∞
y(t) = ∫ x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
La expresión para h(t − τ) se obtiene sustituyendo t por (t − τ) en la
respuesta al impulso lo cual da
h(t − τ) = Aeα(t−τ)
t
−α(t−τ)
y(t) = ∫ 3Ae
0
−αt
dτ = Ae
t
∫ eαt dτ
0
24
Note los límites de la integral:
Límite inferior es cero dado 3𝑢(𝜏) = 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 ≥ 0
Y cero para 𝜏 < 0.
Límite superior es t dado que para un sistema determinístico
ℎ(𝑡 − 𝜏) = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 > 𝑡
t
3A −αt ατ t
−αt
y(t) = 3Ae ∫ eαt dτ =
e [e ]0
α
0
y(t) =
y(t) = [
3A −αt αt
e [e − e0 ]∞
0 =
α
3A 0 3A −αt
3A A
3A
e −
e
(1 − e−αt )
] = [ − e−αt ] =
α
α
α
α
α
Para esta red en particular y 𝑅 = 1, 𝐶 = 1 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝜏 = 𝑅𝐶 = 1
1
1
𝛼= =
=1
𝜏 𝑅𝐶
1
𝐴=
=1
𝑅𝐶
25
1
Por tanto la salida es 𝑦(𝑡) = 3(1 − 𝑒 −𝛼𝑡 ) = 3 (1 − 𝑒 −𝑅𝐶𝑡 ) = 3(1 − 𝑒 −𝑡 )
Fig. 5.2.4Respuesta del filtro 𝑦(𝑡) = 3(1 − 𝑒 −𝑡 ).
Actividad
Evalué los siguientes problemas
i)
ii)
Una red eléctrica (LTI) tiene la respuesta al impulso
unitario h(t)=𝟑𝒆−𝟒𝒕 u(t), si se aplica una entrada de la red
un escalón unitario de voltaje u(t), utilice la integral de
convolución para calcular el valor de salida y(t) del sistema
en el tiempo t = 0.25s.
La respuesta al impulso unitario de un sistema
Continuo es:
h(t) =
0
4𝑒 −2𝑡 − 6𝑒 −4𝑡 para t ≥ 0
para t < 0
Si la entrada se modela como: x(t) = δ(t) - 3δ(t-1) + 5δ(t-2.5).
26
Encuentre el valor de la salida y(t) en el tiempo t = 1.5s.
∞
Evalúe la integral: y(t)= ∫−∞ 𝑓1(𝑡)𝑓2(𝑡)𝑑𝑡 : donde
ii)
f1(t) = 2te-2t y f2 = δ(t-0.35x10-3)
Sea x (t) = 2u (t) la entrada a un sistema LTI y h(t) = 3e-tu(t)
la respuesta a la muestra unitaria calcular la salida y(t) por
medio de la integral de convolución.
iii)
Proyecto 1
Simulación de la operación de convolución
Evaluar lo siguiente
i)
ii)
La respuesta de la convolución de una imagen con un filtro
pasabajas.
La respuesta de la convolución de un registro de audio con
un filtro también pasabajas.
Uso del MATLAB para realizar una convolución de imagen
Para realizar una convuloción de un filtro FIR con una imagen, en
MATLAB, primero debemos de conocer los comandos que nos
ayudaran.
1).- imread: será el comando que nos representara en vector o matriz
de la imagen que se desea convolucionar.
2.- convn: es el comando que nos ayuda a hacer la convolucion pero
con la diferencia de que lleva un “n” al final para poder convolucionar
la matriz de imagen x[n] con el vector h[n] que representa al del filtro.
3.- imwrite: será el comando que nos mostrara y creara el archivo
convolucionado.
27
28