Comprobación de la seguridad hidrológica de aliviaderos mediante

IV Jornadas de Ingeniería del Agua
La precipitación y los procesos erosivos
Córdoba, 21 y 22 de Octubre 2015
Comprobación de la seguridad
hidrológica de aliviaderos mediante un análisis
multivariado con la técnica de las cópulas
Luis Mediero Orduña, Luis Garrote de Marcos
Departamento de Ingeniería Civil: Hidráulica, Energía y Medio Ambiente.
Universidad Politécnica de Madrid. ETS Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos.
c/ Profesor Aranguren s/n, 28040, Madrid
Ana I. Requena Rodríguez
Centre Eau, Terre et Environnement,
Institut National de la Recherche Scientifique (INRS).
490 rue de la Couronne G1K 9A9, Quebec (Canadá)
1. Introducción
Tanto la comprobación de la seguridad hidrológica de una presa existente como el diseño
del aliviadero de una presa nueva requieren la estimación de un hidrograma completo de
avenida asociado a un determinado periodo de retorno. En la práctica, se utilizan métodos
hidrometeorológicos, basados en la estimación de un hietograma de diseño que reparte
temporalmente la precipitación máxima diaria correspondiente al periodo de retorno
considerado. El hidrograma de diseño de la presa se obtiene introduciendo dicho
hietograma de diseño en un modelo hidrológico agregado tipo HEC-HMS como dato de
entrada. Como consecuencia, el método tradicionalmente usado en la práctica supone que
el hietograma asociado a un determinado periodo de retorno genera un hidrograma de
avenida del mismo periodo de retorno, lo que implica una gran simplificación.
Recientemente, los métodos multivariados que consideran varias variables del hidrograma
de avenida, tales como el caudal punta, el volumen del hidrograma y la duración del
hidrograma, permiten evitar dichas simplificaciones, mejorando la caracterización del
hidrograma de avenida mediante el estudio estadístico de las series de caudales registrados
en estaciones de aforo (Jiménez-Álvarez y Mediero, 2014; Mediero et al., 2010; De Michele
et al., 2005). Dentro de los métodos multivariados, el uso de la técnica de las copulas se ha
extendido ampliamente, presentando como mayor ventaja la mejora de la caracterización
de la relación de dependencia entre las variables del hidrograma, así como una mejor
caracterización estadística de cada una de las variables al permitir el uso de diferentes
funciones de distribución marginales (Gräler et al., 2013; Requena et al., 2013; Mediero,
2014; Requena et al., 2015).
D.23.
Además, desde el punto de vista de la seguridad hidrológica de la presa, el periodo de
retorno de un hidrograma de avenida no está dado por el periodo de retorno del caudal
punta del hidrograma, ni por el del volumen de hidrograma, ni por el de ocurrencia natural
de dicho hidrograma. En el caso de una presa, el periodo de retorno de un hidrograma debe
estar ligado a la probabilidad de alcanzar un determinado nivel máximo de embalse durante
el proceso de laminación, para tener en cuenta el riesgo de sobrevertido (Mediero et al.,
2010). Por tanto, la estimación de dicho periodo de retorno debe estar basada en la
ordenación de los posibles hidrogramas de entrada a un embalse en función del nivel
máximo alcanzado durante el proceso de laminación.
Este estudio presenta la aplicación de la técnica de las cópulas en un estudio bivariado para
evaluar la seguridad hidrológica del aliviadero de una presa, considerando el caudal punta y
el volumen del hidrograma como variables que caracterizan un hidrograma de avenida.
2. Metodología
La metodología tiene como primer objetivo obtener la distribución de probabilidad conjunta
de caudal punta y volumen de hidrograma a la entrada de un embalse, a partir de los datos
observados de caudales en una estación de aforos. La distribución conjunta de probabilidad
está formada por las leyes de frecuencia marginales de cada una de las variables y la
caracterización de la ley de dependencia existente entre ambas, representada por la cópula
(Sklar, 1959):
FX ,Y ( x, y)  C FX ( x), FY ( y), x, y  
donde
[1]
FX (x) y FY ( y) son las funciones de distribución de probabilidad acumulada de
las variables y
C : [0,1]2  [0,1] es la función cópula utilizada para representar la ley de
dependencia entre ambas.
Por tanto, el primer paso consiste en ajustar las leyes de frecuencia marginales. El segundo
consiste en identificar y ajustar la cópula que permite una apropiada caracterización de la
dependencia entre las variables marginales. Una vez obtenida la distribución de probabilidad
conjunta, se puede obtener el conjunto de hidrogramas de avenida que tienen el periodo de
retorno de diseño del aliviadero de la presa.
En primer lugar, se ha desarrollado un generador estocástico de hidrogramas de entrada al
embalse que permite generar un número amplio de hidrogramas de avenida, respetando las
características estadísticas de cada una de sus variables, en este caso las leyes de frecuencia
de caudales punta y volúmenes de hidrograma, y la relación de dependencia entre las
mismas. A continuación, se han laminado los hidrogramas generados, teniendo en cuenta las
características de la presa y el embalse (curva cota-volumen en el embalse, longitud útil de
vertido por el aliviadero, etc.), obteniendo el máximo nivel de embalse alcanzado durante el
proceso de laminación para cada uno de ellos. Finalmente, los hidrogramas se han ordenado
D.23.
según dicho nivel máximo de embalse, obteniendo el nivel máximo asociado a un
determinado periodo de retorno y, consecuentemente, el conjunto de hidrogramas que
producen dicho nivel de embalse, es decir que tienen dicho periodo de retorno.
Se utiliza como caso de estudio una presa virtual localizada en una estación de aforos de la
que se han obtenido las series, de 62 años de longitud, de caudales máximos y volúmenes
máximos anuales. Se utilizan tres presas virtuales con características de laminación
diferentes para analizar los resultados de la metodología, definidas mediante el volumen útil
3
del embalse (Vu) y la longitud del labio del vertedero (L): (i) Vu = 20 hm , L = 50 m y cota del
3
3
labio 9,5 m; (ii) Vu = 600 hm , L = 30 m y cota del labio 45 m; (iii) Vu = 1500 hm , L = 20 m y
cota del labio 55 m. Todas las presas tienen un aliviadero de labio fijo.
3. Ajuste de las leyes de frecuencia marginales
Se ha seguido la metodología propuesta por el CEDEX para estimar las leyes de frecuencia
marginales de las variables caudal punta y volumen de hidrograma (Jiménez-Álvarez et al.,
2012; Jiménez-Álvarez et al., 2013; Jiménez-Álvarez et al., 2014). En resumen, con objeto del
desarrollo del mapa de caudales máximos en la España Peninsular, se desarrolló una
metodología de regionalización, cuyos resultados indicaron que las mejores funciones de
distribución en dicho territorio son: Gumbel, Valores Extremos Generalizados (GEV, en
inglés) y Valores Extremos de Dos Componentes (TCEV, en inglés). El método de ajuste que
llevó a mejores resultados fue el de los L-Momentos. Finalmente, la utilización de un valor
regional del L-Coeficiente de Sesgo (LCS) permite reducir la gran incertidumbre existente en
las estimaciones de los cuantiles de caudal para altos periodos de retorno cuando se utilizan
únicamente las observaciones locales registradas en el punto de estudio.
Figura 1. Leyes de frecuencia marginales ajustadas a las series de caudal punta y volumen de
hidrograma observadas en la estación de aforo utilizada como caso de estudio
El caso de estudio seleccionado se encuentra en una región en la que se recomienda la
función de distribución GEV. Como resultado se obtienen las funciones de distribución
marginales presentadas en la Figura 1.
D.23.
4. Selección y ajuste de la cópula
Las cópulas han sido aplicadas recientemente al campo de la hidrología. Las familias de
cópulas más utilizadas para representar las relaciones de dependencia entre las variables de
un hidrograma de avenida han sido las de valores extremos y Arquimedianas. Dentro de la
familia de cópulas Arquimedianas, destacan las cópulas Frank, Clayton y Gumbel. En el caso
de la familia de valores extremos, la cópula Gumbel, que también pertenece a esta familia,
ha sido la más utilizada, presentando la ventaja de poder representar la dependencia entre
los valores extremos de las variables.
En este estudio se han considerado las cópulas Frank, Clayton y Gumbel como posibles
candidatas. La selección de la cópula que mejor caracteriza dicha dependencia debe
considerar diferentes aspectos: (i) la capacidad de la cópula para representar la dependencia
entre las variables; (ii) el análisis estadístico para evaluar formalmente si la población
observada procede de una determinada cópula; y (iii) el estudio de la relación de
dependencia existente entre los valores extremos de las variables. Con objeto de reducir la
extensión de este apartado, se ha simplificado la selección de la mejor cópula mediante la
utilización del estadístico de Cramér-von-Mises (Sn):

 R
S 
S 
  R

Sn   Cn  i , i   C n  i , i 
 n  1 n  1 
i 1 


  n  1 n 1
ni
2
[2]
donde, C n es la cópula empírica, C n es la cópula paramétrica estimada a partir de las
observaciones y Ri y Si son los rangos asociados a las series observadas de las variables.
En la Tabla 1 se presentan los resultados del parámetro de la copula (θn), del estadístico Sn y
del p-valor asociado al mismo. Como puede verse, se ha seleccionado la cópula Gumbel por
tener asociado el mínimo valor del estadístico Sn, con un p-valor mayor a 0.05.
Tabla 1. Resultados del ajuste de las cópulas Frank, Clayton y Gumbel a las series observadas de
caudal punta y volumen de hidrograma.
Cópula
Frank
Clayton
Gumbel
θn
14,147
6,004
4,002
Sn
0,0229
0,0261
0,0228
p-valor
0,1587
0,0537
0,1156
En la Figura 2 se muestran los ajustes de cada una de las cópulas candidatas a las
observaciones mediante la generación aleatoria de 500.000 parejas sintéticas de caudal
punta y volumen de hidrograma. Se puede apreciar que las tres cópulas proporcionan nubes
de puntos que envuelven las observaciones. Sin embargo, el comportamiento asintótico de
dos de ellas (Frank y Clayton) es muy distinto del comportamiento de la tercera (Gumbel).
D.23.
Este comportamiento se conoce con el nombre de “dependencia de cola” y describe la
relación entre las dos variables en episodios extremos. En el caso de las cópulas Frank y
Clayton los valores extremos de una de las variables se presentan acompañados de valores
moderados de la otra. En el caso de la cópula de Gumbel, los valores extremos de ambas
variables se presentan simultáneamente. En el caso de hidrogramas de avenida resulta más
lógico suponer esta última hipótesis.
Figura 2. Ajuste de las cópulas Clayton, Frank y Gumbel a las parejas observadas de caudal punta y
volumen de hidrograma (puntos azules), mediante la generación de 500.000 parejas sintéticas
(puntos rojos)
5. Identificación de los hidrogramas de avenida asociados a un
periodo de retorno
Una vez identificada la función de distribución conjunta formada por las leyes de frecuencia
marginales y la cópula que representa la relación de dependencia entre ellas, el siguiente
paso consiste en la identificación de los hidrogramas de avenida que tienen asociado un
determinado periodo de retorno, que será el de diseño de la presa.
D.23.
Existen diferentes periodos de retorno bivariados, basados en diferentes formas de
caracterizar la probabilidad conjunta bivariada (Salvadori et al., 2007), pero en el presente
estudio se utiliza un periodo de retorno bivariado basado en la probabilidad de sobrevertido
de la presa (Mediero et al., 2010). Dicho periodo de retorno se basa en el hecho de que el
riesgo de sobrevertido de la presa, para un determinado hidrograma de avenida, está
asociado al máximo nivel de embalse alcanzado durante la laminación de dicho hidrograma.
Para obtener este periodo de retorno, en primer lugar, se genera un número elevado de
parejas de caudal punta y volumen de hidrograma mediante la función de distribución
conjunta obtenida en el apartado anterior. En segundo lugar, se asigna una forma de
hidrograma a cada pareja de caudal punta y volumen de hidrograma y se lamina teniendo en
cuenta las características del embalse y de los órganos de desagüe de la presa. En tercer
lugar, se ordenan los hidrogramas de avenida según el nivel máximo de embalse alcanzado
durante la laminación, para obtener la ley de frecuencia de niveles máximos de embalse.
Finalmente, se obtienen las curvas de periodo de retorno, identificando el conjunto de
parejas de caudal punta y volumen que alcanzan el nivel máximo de embalse
correspondiente al periodo de retorno de la presa.
Los resultados para las tres presas consideradas se muestran en las Figuras 3, 4 y 5. Se ha
3
seleccionado una primera presa con poca capacidad de laminación (Vu = 20 hm y L = 50 m),
es decir, volumen de embalse pequeño y gran longitud de vertido, una presa con una
3
capacidad intermedia, Vu = 600 hm y L = 30 m, y una tercera con una gran capacidad de
3
laminación (Vu = 1500 hm y L = 20 m), es decir, gran capacidad de embalse y corta longitud
de vertido. Todas las presas tienen un aliviadero de labio fijo, por lo que la cota del umbral
del labio del aliviadero se sitúa a la cota del Nivel Máximo Normal (NMN).
3
Figura 3. Resultados para la presa con poca capacidad de laminación, Vu = 20 hm y L = 50 m: a) ley
de frecuencia de los niveles máximos alcanzados en el embalse durante la laminación; b) curvas de
periodo de retorno en el espacio bivariado de caudal punta y volumen de hidrograma.
Los resultados se resumen en la ley de frecuencia de los niveles máximos alcanzados en el
embalse durante la laminación de los 500.000 hidrogramas generados mediante la función
de distribución bivariada basada en una cópula Gumbel y las curvas de periodo de retorno
D.23.
en el espacio bivariado de caudal punta y volumen de hidrograma. Los hidrogramas
asociados a un determinado periodo de retorno serán aquellos coincidentes con la curva
correspondiente a dicho periodo de retorno. En color azul se presentan los hidrogramas con
periodo de retorno inferior a 2 años; en color rojo aquellos entre 2 y 10 años de periodo de
retorno; en verde los hidrogramas que tienen periodos de retorno comprendidos entre 10 y
100 años; en rosa los que tienen entre 100 y 500 años de periodo de retorno; en azul claro
los que tienen entre 500 y 1000 años; y finalmente, en negro, los que tienen periodos de
retorno superiores a 1000 años.
Se puede observar cierta variabilidad en las curvas de periodo de retorno, debido a que se
ha utilizado una serie amplia de posibles formas de hidrograma, en lugar de un único
hidrograma sintético que permitiría homogeneizar los resultados.
3
Figura 4. Resultados para la presa con capacidad de laminación intermedia, Vu = 600 hm y L = 30 m:
a) ley de frecuencia de los niveles máximos alcanzados en el embalse durante la laminación; b)
curvas de periodo de retorno en el espacio bivariado de caudal punta y volumen de hidrograma.
Habría que destacar que las curvas de periodo de retorno incluyen un conjunto hidrogramas
con diferentes combinaciones de caudal punta y volumen de hidrograma, que llevan a un
mismo nivel máximo en el embalse durante la laminación. La pendiente de estas curvas
indica la dependencia del periodo de retorno de los hidrogramas respecto de una de las
variables. En el caso de una presa con poca capacidad de laminación (Figura 3), las curvas de
periodo de retorno serán muy verticales, indicando que la variable que más influye en el
periodo de retorno es el caudal punta de hidrograma. Como consecuencia, en presas de muy
poca capacidad de laminación, por ejemplo azudes en ríos grandes, un estudio univariado
del caudal punta sería suficiente para evaluar la seguridad de la presa, ya que dicha variable
condiciona el periodo de retorno.
En presas con mucha capacidad de laminación (Figura 5), las curvas de periodo de retorno
presentan una pendiente muy horizontal, indicando que el periodo de retorno de los
hidrogramas viene determinado por el periodo de retorno de la variable volumen de
hidrograma.
D.23.
3
Figura 5. Resultados para la presa con gran capacidad de laminación, Vu = 1500 hm y L = 20 m: a)
ley de frecuencia de los niveles máximos alcanzados en el embalse durante la laminación; b) curvas
de periodo de retorno en el espacio bivariado de caudal punta y volumen de hidrograma.
Entre ambos casos límite de azudes en grandes ríos con poca capacidad de laminación e
hiperembalses con gran capacidad de laminación, se encuentra la gran mayoría de presas
existentes, caracterizadas por la Figura 4. Se puede observar que las curvas de periodo de
retorno tienen una pendiente intermedia, indicando que tanto el caudal punta como el
volumen de hidrograma tienen influencia sobre el periodo de retorno de los hidrogramas. En
este caso, un estudio bivariado resulta indispensable para determinar los hidrogramas
asociado a un determinado periodo de retorno, ya que no existe una única variable que lo
condicione.
6. Conclusiones
Este trabajo ha presentado una metodología para realizar un análisis de frecuencia bivariado
mediante la técnica de las cópulas con aplicación al diseño y comprobación de la seguridad
hidrológica de una presa. Se han considerado las variables de caudal punta y volumen de
hidrograma para caracterizar un hidrograma de avenida.
La metodología se fundamenta en la obtención de la función de distribución conjunta
bivariada, que está formada por las leyes de frecuencia marginales univariadas y una cópula
que caracteriza la relación de dependencia entre las variables. En el caso de estudio
utilizado, se ha seleccionado una función de Valores Extremos Generalizados para las dos
leyes de frecuencia marginales y una cópula Gumbel.
Como resultado, mediante la ley de frecuencia del nivel máximo alcanzado en el embalse
durante la laminación se obtienen las curvas que identifican el conjunto de hidrogramas de
avenida que tienen un mismo periodo de retorno, ya que dicho nivel se encuentra
íntimamente relacionado con la probabilidad de sobrevertido de la presa.
D.23.
Se ha observado que, en algunos casos, el periodo de retorno viene determinado por una de
las variables del hidrograma, ya sea el caudal punta o el volumen de hidrograma. En presas
con poca capacidad de laminación, las curvas de periodo de retorno son prácticamente
verticales, indicando que el periodo de retorno de los hidrogramas está condicionado por el
periodo de retorno del caudal punta. Por otra parte, las pendientes de las curvas de periodo
de retorno en presas de gran capacidad de laminación son prácticamente horizontales,
indicando una gran dependencia respecto del volumen del hidrograma. Sin embargo, la
mayoría de las presas existentes se encuentra en un caso intermedio de los anteriores,
donde un estudio bivariado es esencial para determinar los hidrogramas asociados a un
determinado periodo de retorno.
Además, la metodología presentada ha puesto de manifiesto que no debe utilizarse un único
hidrograma de diseño, ya que diferentes hidrogramas, con diferentes combinaciones de
caudal punta y volumen de hidrograma, dan como resultado el mismo nivel máximo de
embalse durante su laminación y, por tanto, tienen el mismo periodo de retorno.
En resumen, la metodología bivariada basada en cópulas presentada mejora los resultados
obtenidos mediante los métodos tradicionales, gracias a una mejor caracterización de las
características de los hidrogramas de avenida, la consideración de un conjunto amplio de
posibles hidrogramas generados por la cuenca de estudio y la superación de la suposición
extremadamente simplificada consistente en que el hietograma de lluvia para un
determinado periodo de retorno genera el hidrograma de avenida del mismo periodo de
retorno.
Agradecimientos
Este trabajo ha sido realizado gracias a la financiación del proyecto CGL2014-52570 'Impacto
del cambio climático sobre la ley de frecuencia bivariada de avenidas' del Ministerio de
Economía y Competitividad.
Referencias
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