Tema 7 Valoracion - RUA

A pu n t es de I n gen iería Fin an ciera
TEMA 7: Opciones V: Modelos
de Valoración
© CARLOS FORNER RODRÍGUEZ
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad, UNIVERSIDAD DE ALICANTE
En temas anteriores hemos estudiado qué variables afectan a la prima
que el comprador de una opción debe pagar al vendedor por adquirir el
derecho y qué límites y relaciones deben cumplir dichas primas. En este tema
estudiaremos qué modelos se han desarrollado para poder estimar estas
primas: el modelo binomial y el modelo Black-Scholes (en tiempo continuo).
El modelo binomial es un modelo en tiempo discreto donde suponemos
que a lo largo de la vida de la opción el precio del subyacente experimenta un
número determinado de movimientos al alza o a la baja. Por ejemplo, una
opción con vencimiento dentro de 3 meses donde el subyacente puede
experimentar un cambio al alza o a la baja cada mes (un total de tres
movimientos). El modelo Black-Scholes es un modelo en tiempo continuo donde
el precio del subyacente puede experimentar cambios en cualquier momento
del tiempo.
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Apuntes de Ingeniería Financiera
Carlos Forner
Apuntes de
Ingeniería Financiera
TEMA 7: OPCIONES V:
MODELOS DE VALORACIÓN
© Carlos Forner Rodríguez
Universidad de Alicante
Departamento de Economía
í Financiera y Contabilidad
Apuntes de Ingeniería Financiera
Tema 7: Opciones V:
Valoración
V l
ió
Carlos Forner
Índice
d ce
1 Modelo Binomial
1.
1.1. Opciones Europeas
1 2 Opciones Americanas
1.2.
2. Modelo Black-Scholes (tiempo
continuo)
3. Convergencia entre ambos modelos
Apéndice
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Carlos Forner
Apuntes de Ingeniería Financiera
Tema 7: Opciones V:
Valoración
V l
ió
Carlos Forner
1. Modelo
ode o Binomial
o a
Supuestos de partida:
•
•
•
•
Los mercados de capitales son perfectos.
El tipo de interés (r) permanece constante a lo largo de la vida de
la opción.
opción
El activo subyacente no genera rendimientos durante la vida de la
opción.
El precio del activo subyacente sigue un proceso binomial
multiplicativo en tiempo discreto  Existe una probabilidad “q” de
que la cotización del subyacente aumente un U% y una
probabilidad (1
(1--q) de que baje un D%.
u  (1 
U
)  multiplicador
lti li d all alza
l
100
d  ((1 
D
)
100
 multiplicador
p
a la baja
j
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Valoración
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ió
Carlos Forner
1. Modelo
ode o Binomial
o a
Supongamos que entre la fecha inicial y la de vencimiento hay 3 periodos
(n=3)  la evolución del activo subyacente será la siguiente:
t=0
t=1
t=2
t=3
u3P
u2P
uP
u
u2d
dP
P
udP
dP
udP2P
d2P
d3P
3
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Valoración
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1. Modelo
ode o Binomial
o a
Como el precio (prima) de una opción es una función del precio del
subyacente
b
t P  ell precio
i (prima)
( i ) de
d una opción
ió también
t bié seguirá
i á un
proceso binomial multiplicativo. Por ejemplo, si se trata de una put:
t=0
t 0
t=1
t 1
t=2
t 2
t=3
t 3
Putuuu=max(0;K
=max(0;K--u3P)
Putuu
Putu
Putuud=max(0;K
=max(0;Ku2dP
( ; -u2dP))
Put
Put
udP
ud
Putd
Putudd=max(0;K
=max(0;KP
-ud2P)
Putdd
Putddd=max(0;K
=max(0;K--d3P)
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Valoración
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Carlos Forner
1. Modelo
ode o Binomial
o a
facto de capitali
capitalización
ación pa
para
a un
n pe
periodo
iodo
R  (1  r ) (T t ) / n  factor
(1/R: factor de descuento)
p
Rd
ud
 Probabilidad neutral al riesgo
La probabilidad neutral al riesgo nos permite movernos en un mundo
neutral al riesgo  la tasa de descuento es el activo libre de riesgo
(tipo de interés del mercado).
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ió
t=0
t=1
1.
Carlos Forner
Modelo Binomial
1
1.2.
2 O
Opciones
i
europeas
t=2
t=3
Putuuu
Putuu=[pPutuuu+(1
+(1--p)Putuud]/R
Putu
Put
u2dP
Putuud
Putud =[pPutuud
udP
+(1--p)Putudd]/R
+(1
Putd
PPutudd
Putdd =[pPutudd+(1+(1-p)Putddd]/R
Putddd
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t=0
1.
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Modelo Binomial
1
1.2.
2 O
Opciones
i
europeas
t=1
t=2
t=3
Putuuu
Putuu
Putu=[pPutuu+(1
+(1--p)Putud]/R
Put
u2dP
Putuud
udP
Putud
Putd=[pPutud+(1
+(1--p)Putdd]/R
PPutudd
Putdd
Putddd
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Valoración
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t=0
1.
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Modelo Binomial
1
1.2.
2 O
Opciones
i
europeas
t=1
t=2
t=3
Put
P tuuu
Putuu
Putu
Put =[[pPutu+(1
+(1--p)Putd]/R
u2dP
Putuud
udP
Putudd
Putd
PPutudd
Putdd
Putddd
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1.
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Modelo Binomial
1 2 Opciones
1.2.
O i
americanas
i
El esquema del árbol de decisión de la opción es el mismo que para las
opciones
opc
o es eu
europeas,
opeas, pero
pe o a
ahora
o ae
el valor
a o de los
os nódulos
ódu os se
será
áe
el mayor
ayo de
de:
• el dado por la ecuación para opciones europeas
• el resultado de ejercer la opción antes de vencimiento
t=0
t=1
t=2
Putuu= el mayor de:
• [pPutuuu+(1-p)Putuud]/R
• K-u2P (ejercicio anticipado)
Putu
Put
Putd
Putud =el mayor de:
udP
• [pPutuud+(1p)Putudd]/R
• K-udP (ejercicio anticipado)
Putdd =el mayor de:
• [pPutudd+(1-p)Putddd]/R
• K-d2P (ejercicio anticipado)
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t=3
Putuuu
u2dP
dPutuud
PPutudd
Putddd
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Valoración
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t=0
1.
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Modelo Binomial
1 2 Opciones
1.2.
O i
americanas
i
t=1
t=2
t=3
P tuuu
Put
Putu= mayor de:
• [pPutuu+(1-p)Putud]/R
• K-uP (ejercicio anticipado)
Put
Putd= mayor de:
• [pPutud+(1-p)Putdd]/R
• K
K-dP
dP (ejercicio anticipado)
Putuu
u2dP
Putuud
udP
Putudd
PPutudd
Putdd
Putddd
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Valoración
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2. Modelo
ode o BlackBlack
ac -Scholes
Sc o es
Supuestos:
• Los mercados de capitales
p
son perfectos.
p
• El tipo de interés (r) y la volatilidad () permanecen constantes a lo largo
de la vida de la opción.
• El activo subyacente no genera rendimientos durante la vida de la opción
opción.
• La opción es europea.
• La cotización del activo subyacente sigue un recorrido aleatorio (random
walk), lo que significa que cambios proporcionales en el precio de las
acciones en un corto periodo de tiempo se distribuye como una normal.
Esto implica, por otro lado, que el precio de las acciones en cualquier
momento futuro
f
tiene
i
llo que se conoce como una distribución
di ib ió lognormal
l
l.
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Tema 7: Opciones V:
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2. Modelo
ode o BlackBlack
ac -Scholes
Sc o es
Callt  Pt  N ( d1 )  K  e
 rc ( T  t )
 N (d 2 )
donde:
Ln
d1 
 K 
 rc  
Pt
2
2
 (T  t )
 T t
d 2  d1   T  t
rc : tipo de interés en tiempo continuo 
rc y (T-t) expresados en la misma unidad de tiempo.
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2. Modelo
ode o BlackBlack
ac -Scholes
Sc o es
Extensiones de la fórmula Black
Black--Scholes:
- Subyacente reparte dividendos  rentabilidad por dividendos = q
Callt  Pt  e
Ln
d1 
 q (T  t )
 
Pt
K
 rc  q  
 N ( d1 )  K  e
2
2
 (T  t )
 T t
 rc ( T  t )
 N (d 2 )
d 2  d1   T  t
- El subyacente
b
t es un Futuro
F t
(modelo
( d l de
d Black)
Bl k)  q=r :
Callt
 Ft  e  rc (T t )  N ( d1 )  K  e  r ( T  t )  N ( d 2 )
c
Ln
d1 
  
Ft
K
 
2
2
(T  t )
 T t
d 2  d1   T  t
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Tema 7: Opciones V:
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2. Modelo
ode o BlackBlack
ac -Scholes
Sc o es
Fuente: www.elmundo.es
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Valoración
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3. Convergencia
3
Co e ge c a e
entre
t e ambos
a bos modelos
ode os
El modelo Binomial converge a Black-Scholes cuando n y :
ue

(T t )
n
d
1
Re
u
rc
(T t )
n
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Apéndice
pé d ce
• MEFF ofrece una calculadora de opciones:
Funte: www.meff.es
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APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA
CARLOS FORNER
EJERCICIOS
Ejercicio 7.1
El precio de unas acciones es de 40 u.m. Durante cada uno de los dos próximos
periodos de tres meses se espera que suba en un 10% o que baje en un 10%. El tipo
de interés libre de riesgo es el 12% anual.
• ¿Cuál es el valor de una opción put europea a 6 meses con un precio de
ejercicio de 42 u.m.?
• ¿Cuál es el valor de una opción put americana a seis meses con un precio de
ejercicio de 42 u.m.?
Ejercicio 7.2
Consideremos una opción americana de venta a cinco meses sobre acciones que no
distribuyen dividendos siendo el precio de las acciones 50 dólares, el precio de ejercicio
50 dólares, el tipo de interés libre de riesgo el 10% continuo anual, y la volatilidad del
40% anual. Supongamos que dividimos la vida de la opción en cinco intervalos de
duración un mes (=0,0833 años).Valore esta opción con el modelo Binomial.
Ejercicio 7.3
El precio de las acciones actualmente es de 50 dólares. Durante cada uno de los dos
próximos periodos de tres meses se espera que suba en un 6% o que baje en un 5%.
El tipo de interés libre de riesgo es del 5% anual compuesto continuo.
• ¿Cuál es el valor de una opción europea de compra a seis meses con un
precio de ejercicio de 51 dólares?
• ¿Cuál es el valor de una opción europea de venta a seis meses con un precio
de ejercicio de 51 dólares?
• ¿Cuál es el valor de una opción americana de compra a seis meses con un
precio de ejercicio de 51 dólares?
• ¿Cuál es el valor de una opción americana de venta a seis meses con un
precio de ejercicio de 51 dólares?
Ejercicio 7.4
Consideremos la situación en la que el precio de las acciones seis meses antes del
vencimiento de una opción es de 42 dólares, el precio de ejercicio es de 40 dólares, el
tipo de interés continuo libre de riesgo es el 10% anual, y la volatilidad es el 20%
anual. ¿Cuál será el valor de la opción si es de compra?, ¿y si es de venta? (Utilice el
modelo Black-Scholes).
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