el cohete de agua

FISICA II (FIS 1102)
PROYECTO DIDACTICO
EL COHETE DE AGUA
(Documento de apoyo didáctico elaborado por el Ing. José B. Puña V.)
Pondremos en práctica la teoría y algunas cosas más en el diseño, dimensionamiento
y funcionamiento de un juguete cuyas propiedades se inscriben en la dinámica de los
fluídos.
El denominado cohete de agua es un artefacto que es propulsado por el agua, para
ello es necesario presentar su principio de funcionamiento: Un sistema formado por
un tanque o depósito contiene agua con su volúmen interior parcialmente lleno, si el
resto del volúmen es llenado por aire a determinada presión, será posible hacer mover
el conjunto si desalojamos agua a través de una abertura en el fondo
convenientemente practicada.
Vayamos por una teoría:
El cohete de agua
El transbordador espacial
¿Qué tienen en común?, pues que ambos funcionan a propulsión a chocho, es decir
su “motor es un cohete”; en otras palabras, debe lanzarse un chorro de materia a gran
velocidad a través de una o varias toberas, esto se basa en el principio de
conservación del momentum lineal.
v
m
ve
me
La figura muestra al cohete en un instante en el que su masa es m , y se
mueve hacia arriba con velocidad v en referencia al piso. En el mismo
instante se expulsa una una masa me con velocidad ve , de tal manera
que el flujo de masa sea constante.
Nuestro sistema está formado por aquellas masas y su diagrama de
conservación del momentum es la que mostramos más adelante.
Transcurrido un intervalo dt la velocidad del cohete aumentará desde v
hasta v + dv , aclaramos que este aumento no afecto a la velocidad de
salida del chorro.
Para que la velocidad v sea incrementada en dv ha tenido que
expulsarse una cierta cantidad de masa dme .
Otros impulsos y frenos podrán actuar desde el exterior, los que
podemos simbolizar por ∑ Fext .
La ecuación del equilibrio de momentum en ambas etapas se muestra a
continuación:
e
=
+
meve
Fext dt
(me+dme )ve
m ⋅ v − me ⋅ ve + ∑ Fext ⋅ dt = ( m − dme ) ⋅ ( v + dv ) − ( me + dme ) ⋅ ve
(1)
que puede agruparse mejor si eliminamos los diferenciales de orden superior.
dm
dv
(2)
− ( v + ve ) ⋅ e
dt
dt
en donde la suma de velocidades equivale a la velocidad de salida del chorro respecto
al cohete vrel .
dm
dv
(2’)
∑ Fext = m ⋅ dt − vrel ⋅ dt e
∑F
ext
= m⋅
Fres
la fuerza debida a la fricción con el aire
W = m⋅ g
el peso del cohete
dm
vrel ⋅ e = E
el empuje del cohete
dt
Obtenemos la ecuación del movimiento del cohete
W
(3)
E − Fres − W = ⋅ a
g
Por lo que la aceleración con la que se eleva el cohete cuando no existe fricción será:
Sean:
a=
vrel dme
⋅
−g
m dt
(4)
dme
?
dt
Apliquemos la teoría de la dinámica de fluídos a los elementos del cohete.
Primero resolvamos un caso general: un depósito que contiene un fluído sometido a
presión por un gas, el cual es evacuado a través de un orificio practicado en el fondo.
¿Cómo se determina la velocidad relativa vrel y la relación
p
1
v1
2
z1
z2
v2
ref
Hallemos la velocidad de salida v2 que es
razonablemente igual a la velocidad vrel :
1
⋅ ρ ⋅ v 2 + ρ ⋅ g ⋅ z + p = cte
(ec. Bernoulli)
2
ρ ⋅ A ⋅ v = cte
(ec. Continuidad)
Que se adecúan así:
1
1
⋅ ρ ⋅ v12 + ρ ⋅ g ⋅ z1 + p1 = ⋅ ρ ⋅ v2 2 + ρ ⋅ g ⋅ z2 + p2 (5)
2
2
(6)
ρ ⋅ A1 ⋅ v1 = ρ ⋅ A2 ⋅ v2
Donde:
Y
A1 es el área de la sección 1
A2 es el área de la sección 2
Resolviendo el sistema:
[ ( p1 − p2 ) + ( z1 − z2 ) ⋅ ρ ⋅ g ] ⋅ 2
v2 =
⎛ ⎛ A ⎞2 ⎞
ρ ⋅ ⎜1 − ⎜ 2 ⎟ ⎟
⎜ ⎝ A1 ⎠ ⎟
⎝
⎠
Adecuándola al caso particular del cohete de agua:
v2 =
( p1 − p2 ) ⋅ 2
ρ
que es la velocidad del chorro de salida relativa al piso
(7)
Por otra parte, recordemos el concepto básico de la expresión de la ecuación de la
continuidad:
dm
ρ ⋅ A2 ⋅ v2 = e
(8)
dt
que, de acuerdo con la segunda ley de Newton:
dm
E = e ⋅ v2 es la fuerza de empuje del cohete
(9)
dt
Agrupando (7), (8) y (9) hallamos:
(10)
E = ρ ⋅ A2 ⋅ v2 2 = 2 ⋅ A2 ⋅ ( p1 − p2 )
Entonces la ecuación (4) se operacionaliza como sigue:
2 ⋅ A2 ⋅ ( p1 − p2 )
(4’)
a=
−g
m
Ahora analicemos las condiciones para que se produzca el vuelo:
Primero: si queremos vencer a la aceleración de la gravedad, requerimos una presión
m⋅ g
mínima:
(11)
( p1 − p2 )min =
2 ⋅ A2
La cual nos señala que: dada una masa m total del cohete y un área A2 de la sección
de salida es posible hallar la presión manométrica del gas contenido en el interior del
cohete.
Ahora que tenemos los elementos teóricos, vayamos por el diseño y luego la
construcción del cohete.