Guion curso Hamiltonianos

Control de Sistemas
Subactuados
mediante IDA-PBC
Fabio Gómez-Estern
Curso de doctorado
Control no lineal
2007
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Descripción matemática de sistemas dinámicos:
Ecuaciones de Hamilton
Pasividad
Sistemas Hamiltonianos Generalizados
Estabilidad
Control mediante IDA-PBC
IDA-PBC en mecánicos subactuados
Ejemplos
Método de solución de PDEs
Fricción en IDA-PBC
Estabilización de oscilaciones en PCH
Descripción matemática de sistemas
robóticos I
l
Ecuaciones de Lagrange en robótica: n g.d.l.
l
Función Hamiltoniana H(p,q)
Hamiltoniano
l
Ecuaciones de Hamilton
Momento generalizado
Descripción matemática de sistemas
robóticos II
l
Ecuaciones de Hamilton en variables de estado
Propiedades
•Descripción típica en control
•H = energía sii el sistema es
autónomo y está descrito en
sistema de referencia inercial
•En sistemas autónomos (H no
depende explícitamente de t) H se
conserva, la energía no siempre
(ejemplos)
•Trayectorias
Trayectorias
Sistemas Hamiltonianos mecánicos y
eléctricos
l
Sist. Inerciales y autónomos
l
l
Mecánicos H=T(q,p)+V(q) (Cinética+Potencial)
Eléctricos H=Q+V (Carga eléctrica en condensadores+flujo
magnético en inductores)
l
En cualquiera de los casos, las trayectorias están
descritas por la estructura generalizada
l
Donde J es antisimétrica, R>0 es la disipación y u es el
vector de fuerzas generalizadas. Ejemplos
Estabilidad en sistemas Hamiltonianos
l
l
l
l
Sin disipación: H es constante (dem)
Con disipación: H es decreciente
En sistemas Hamiltonianos con disipación, H es una
candidata a Función de Lyapunov
Posiblemente sea necesario el principio de
invariancia de LaSalle
l
l
l
Ejemplo 1: péndulo simple (no lineal)
Ejemplo 2: péndulo simple invertido (no lineal)
Ejemplo 3: circuito RLC
Pasividad
l
l
l
l
l
l
En sistemas eléctricos y mecánicos autónomos, la energía se
disipa por la fricción y elementos resistivos
Cuando se ejercen fuerzas externas, la naturaleza disipativa de
los sistemas se puede expresar como un balance entre la
energía acumulada y la entregada por el actuador
“Desigualdad de disipación”
S es la función de almacenamiento, y s la tasa de suministro. U
es la entrada e y la salida
Los sistemas Hamiltonianos son pasivos
Útil para estabilizar sistemas
Sistemas subactuados
l
l
l
Los ejemplos mecánicos anteriores corresponden a
sistemas con tantos GDL como actuadores
En tales casos el problema de regulación y
seguimiento de trayectorias siempre tiene solución,
porque la dinámica de p es invertible (Ejemplo)
En numerosos problemas reales es mayor el
número de grados de libertad que de actuadores
reales:
l
l
l
l
Aviones:6 GDL y 3 actuadores (+ gas)
Motocicletas: 5 GDL y 2 actuadores (+gas)
Sistemas robóticos flexibles
Ahorro tecnología en robótica