Prácticas de diseño de filtros FIR e IIR. Tratamiento Digital de

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D. REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA Y PRESENTACIÓN
DE RESULTADOS
1.
DISEÑO DE FILTROS IIR
1.1 Diseño de filtros IIR empleando prototipos analógicos
En este apartado se va a partir de un prototipo analógico para convertirlo en un sistema
digital empleando las transformaciones invariante de impulso y bilineal.
Se desea diseñar un sistema para procesar una señal analógica xa(t) (limitada en banda a
3 kHz) con un filtro digital como se indica en la figura.
Los requisitos exigidos al módulo de la respuesta en frecuencia H ( jω ) son:
• Debe ser mayor que 0'89125 en la banda de frecuencias comprendidas entre 0 y 800
Hz.
• No debe superar 0'001 a partir de los 1400 Hz.
a) Represente la plantilla de especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia,
expresada en dB's, del filtro analógico H ( jω ) que se desea simular.
b) Obtenga la plantilla de especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia,
expresada en dB's, del filtro discreto H D ( e jΩ ) de respuesta al impulso real que cumpla lo
indicado.
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c) El diseño del filtro anterior se decide realizar a partir de un prototipo analógico
H c ( jω ) y empleando la transformación invariante de impulso. Obtenga la plantilla de
especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia de dicho filtro analógico.
Considere Td =2.
d) Calcule el orden del filtro elíptico analógico (consulte ellipord.m) que cumple las
especificaciones de la plantilla, y obtenga la función de sistema H c ( s ) que lo caracteriza.
Emplee la función ellip.m con la opción ‘s’.
e) Convierta el prototipo analógico H c ( s ) en uno digital H D (z ) mediante la
transformación invariante de impulso (función impinvar.m), y dibuje el módulo de la
respuesta en frecuencia (función ramp.m):
0
-20
dB
-40
-60
-80
-100
0
1
2
3
4
f) Si el diseño del filtro analógico inicial se decide realizar empleando la transformación
bilineal, obtenga la plantilla de especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia del
nuevo filtro analógico prototipo. Considere Td =2.
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g) Calcule el orden del filtro elíptico analógico que cumple las especificaciones de la
plantilla del apartado f, y obtenga la función de sistema H c ( s ) que lo caracteriza.
h) Convierta el prototipo analógico H c ( s ) en uno digital H D (z ) mediante la
transformación bilineal (función bilinear.m). Dibuje el módulo de la respuesta en frecuencia
del nuevo filtro.
0
-20
dB
-40
-60
-80
-100
0
1
2
3
4
:
i) Comente los resultados.
1.2 Diseño de fitros IIR por ubicación de polos y ceros
Para eliminar el ruido de la red eléctrica introducido de forma indeseada en una señal
de electrocardiograma muestreada a 1000 Hz, se procede a diseñar un filtro digital de orden
dos con respuesta al impulso real empleando el método de ubicación de polos y ceros, de
manera que cumpla las siguientes especificaciones:
• Frecuencia a eliminar: 50 Hz
• Ancho de la banda eliminada a 3 dB: ± 10 Hz
• H (z ) z =1 = 1
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Suponga que la relación entre el módulo de los polos (r) y el ancho de banda a 3 dB
(BW) es:
⎛ BW ⎞
⎟⎟ ⋅ π para r > 0.9
r ≈ 1 − ⎜⎜
⎝ fs ⎠
a) Representar el diagrama de polos y de ceros de la función de sistema del filtro.
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
b) Representar el módulo de la respuesta en frecuencia.
20
0
dB`s
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
1
2
3
4
c) Representar la respuesta al impulso del filtro.
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2.
DISEÑO DE FILTROS FIR
2.1 Método de la Ventana
2.1.1 Ventanas
En este apartado se van a estudiar distintas funciones de ventana, útiles tanto en el
diseño de filtros digitales como en el análisis espectral de secuencias de larga duración. Se
pretende observar la forma de la ventana en el dominio del tiempo y su correspondiente
espectro de amplitud, analizando cómo influye en este último la longitud empleada en cada
caso. La elección correcta de la ventana consiste en optar por aquella que llegue a un buen
compromiso entre un lóbulo principal estrecho (que conducirá a un filtro muy selectivo) y
lóbulos laterales de amplitud reducida (disminuye la distorsión en las bandas de paso y
atenuada).
a) Observar la forma de las ventanas rectangular (instrucción Boxcar), triangular
(instrucción triang), de Hanning, de Hamming y de Kaiser (con ß=7'865) para unas longitudes
de 128 y 64 muestras. Dibuje en escala semilogarítmica el módulo del espectro para las tres
ventanas, e indique los valores de ALSmáx (amplitud máxima relativa de los lóbulos
secundarios, en dB’s), ωLS (pulsación que se corresponde con ALSmáx) y aLP (anchura del
lóbulo principal).
Para representar el módulo del espectro puede emplear el siguiente programa:
Wv=fft(ventana, 1024);
% calcula la T. de Fourier de la secuencia.
magv=abs(Wv/max(Wv));
% obtiene el módulo del espectro .
magvdB=20*log10(magv);
% Para representar en escala semilogarítmica
magvdB(514:1024)=[];
%
w=(0:512)/512*pi;
% w es la variable del eje de abcisas.
plot(w, magvdB);
% Dibuja el módulo del espectro en escala semilog.
L = 128:
VENTANA
ALSmáx (dB)
ωLS
aLP
ALSmáx (dB)
ωLS
aLP
RECTANGULAR
TRIANGULAR
HANNING
HAMMING
KAISER
L = 64:
VENTANA
RECTANGULAR
TRIANGULAR
HANNING
HAMMING
KAISER
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b) ¿Es función de la longitud de la ventana la amplitud de los lóbulos secundarios?.
¿Y la anchura del lóbulo principal?.
2.1.2 Filtros enventanados
En este apartado se pretende diseñar un filtro FIR causal de fase lineal empleando el
método de la ventana. Para ello se va a partir de la respuesta en frecuencia de un filtro ideal
indicada en la figura 2.1, imponiéndole la plantilla de especificaciones que aparece en la
figura 2.2.
fig. 2.1: respuesta en frecuencia deseada
fig. 2.2: plantilla de especificaciones del filtro a diseñar
El sistema resultante hD[n] (una función sinc) es no causal. Para convertirlo en causal
hay que aplicar la propiedad de desplazamiento en el tiempo.
hD [n ] → H D (Ω )
hD [n − no ] → H D (Ω ) ⋅ e − jΩno
a) Genere algunas muestras de la respuesta al impulso ideal desplazada empleando los
siguientes comandos:
x=1:63;
t=0.2*(x-32)/pi;
hi=0.2*sinc(t)/pi;
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Una vez obtenida, trunque dicha respuesta al impulso empleando las ventanas
rectangular, de Hamming y de Kaiser (ß=7'865) de longitud 63. Dibuje el módulo de la
respuesta en frecuencia de los filtros enventanados, representando con detalle (utilice la
instrucción zoom) las bandas de paso y transición.
• Módulo del espectro para la ventana rectangular (L = 63)
20
0
dB`s
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
1
2
3
4
• Banda de paso y transición para la ventana rectangular (L = 63):
5
0
dB`s
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
0
0.1
0.2
0.3
0.4
• Módulo del espectro para la ventana de Hamming (L = 63):
20
0
dB`s
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
1
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3
4
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• Banda de paso y transición para la ventana de Hamming (L = 63):
5
0
dB`s
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
0
0.1
0.2
0.3
0.4
• Módulo del espectro para la ventana de Kaiser (L = 63):
0
-20
dB´s
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
0
1
2
3
4
• Banda de paso y transición para la ventana de Kaiser (L = 63):
5
0
dB`s
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
0
0.1
0.2
0.3
0.4
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b) Indique los filtros enventanados (L=63) que cumplen las condiciones de diseño.
c) Repita el apartado "a" cambiando la longitud de las ventanas de L=63 a L=127. Para
ello debe modificar los comandos anteriormente propuestos:
x=1:127;
t=0.2*(x-64)/pi;
hi=0.2*sinc(t)/pi;
• Módulo del espectro para la ventana rectangular (L = 127):
20
0
dB`s
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
1
2
3
4
• Banda de paso y transición para la ventana rectangular (L = 127):
10
0
dB
-10
-20
-30
-40
-50
-60
0
0.1
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0.2
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0.3
0.4
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• Módulo del espectro para la ventana de Hamming (L = 127):
20
0
-20
dB
-40
-60
-80
-100
-120
0
1
2
3
4
• Banda de paso y transición para la ventana de Hamming (L = 127):
10
0
dB
-10
-20
-30
-40
-50
-60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
• Módulo del espectro para la ventana de Kaiser (L = 127):
0
-20
dB´s
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
0
1
2
3
4
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• Banda de paso y transición para la ventana de Kaiser (L = 127):
10
0
dB
-10
-20
-30
-40
-50
-60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
d) Indique los filtros enventanados (L=127) que cumplen las condiciones de diseño.
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2.2 Método de Parks-McClellan. Eliminación mediante un filtro FIR
del ruido de red de una señal de electrocardiograma (ecg).
Una característica muy común a los circuitos electrocardiógrafos consiste en que a la
señal que digitaliza le suele añadir, de manera indeseada, un ruido proveniente de la red
eléctrica convencional y que se suele centrar en torno a los 50 Hertzios. De esta forma, la
señal del electrocardiograma se encuentra empobrecida con un ruido que es necesario
eliminar.
Se va a partir de un registro de 4000 muestras de una señal de electrocardiograma
muestreada a 1000 Hz, denominado elecnois.mat.
a) Representar la forma de la señal de ecg en el dominio del tiempo, observando la
presencia del ruido de la red.
b) Representar el módulo del espectro de la señal de ecg.
En el proceso de eliminación del ruido de la red se desea utilizar un filtro FIR banda
eliminada por las características de fase lineal que pueden ofrecer este tipo de sistemas. Se
sigue el procedimiento indicado en la figura 2.3, es decir, diseñar directamente el filtro y
eliminar el ruido.
Las especificaciones del filtro deseado son las siguientes:
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Banda eliminada: 47-53 Hz
Frecuencias de corte de la banda de paso: 44-56 Hz
Atenuación mínima de la banda eliminada: 50 dB
Desviación de la banda de paso: 0'122
Frecuencia de muestreo: 1000 Hz
c) Obtener el orden del filtro empleando la instrucción firordm.m.
Diseñar a continuación el sistema empleando el método de Parks-McClellan. Para ello
utilice los siguientes comandos:
f = [0 0.088 0.094 0.106 0.112 1];
m = [1 1 0 0 1 1];
bk=remez (orden_filtro, f, m);
d) Representar el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro del filtro obtenido.
e) Realizar el proceso de filtrado empleando la instrucción filter. Representar la señal de
ecg filtrada en el dominio del tiempo, observando la ausencia del ruido de la red.
f) Representar el módulo del espectro de la señal de ecg filtrada.
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