Respuesta en frecuencia - Universidad Tecnológica de Pereira

Respuesta en frecuencia
La respuesta en frecuencia de un circuito es el analisis de una respuesta determinada
de un circuito electrico ante la variacion de la frecuencia de la señal, siendo la
frecuencia ω una variable del sistema.
Las respuestas en frecuencia de circuitos en estado estable senoidal son de importancia en aplicaciones como sistemas de comunicacion y de control. Una aplicacion
especifica se encuentra en los filtros electricos que bloquean o eliminan señales con
frecuencias no deseadas y dejan pasar señales con las frecuencias deseadas.
Una forma de analizar la respuesta en frecuencia de un circuito es por medio de
sus funciones de transferencia y diagramas de bode.
0.1.
Funciones de transferencia
La funcion de transferencia 1 H(ω)(tambien llamada funcion de red) de un circuito
es la relacion fasorial entre una salida Y(ω) y una entrada fasorial X(ω).
H(ω) =
Y(ω)
X(ω)
Y(ω) = H(ω) ∗ X(ω)
La respuesta en frecuencia de un circuito es la grafica de la funcion de transferencia
de este mismo H(ω), en funcion de ω, y que varia desde ω = 0 hasta ω = ı́nf.
Puesto que la entrada y la salida pueden ser una tension o una corriente, existen
cuatro posibles funciones de transferencia.
1
Ver capitulo 14 del Sadiku
1
2
TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS
Figura 1 Figura del ejercicio
H(ω) =
Vo (ω)
Ganancia de tension
Vi (ω)
H(ω) =
Io (ω)
Ganancia de corriente
Ii (ω)
H(ω) =
Vo (ω)
Ganancia de impedancia
Ii (ω)
H(ω) =
Io (ω)
Ganancia de admitancia
Vi (ω)
La funcion H(ω) se pueden analizar en magnitud H(ω) y angulo ϕ(ω) de forma
separada.
La funcion de transferencia H(ω) luego de un proceso de factorizacion y simplificacion pueden expresarse en terminos de sus polinomios numerador N(ω) y el
denominador D(ω) como:
H(s) =
N(s)
D(s)
Donde s = jω, las raices de N(ω) = 0 se llaman los ceros de H(ω) y las raices de
D(ω) son los polos de H(ω).
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0.1. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
3
Consulta: Criterio de Nyquist de estabilidad.
Un valor a tener en cuenta es el valor de frecuencia de potencia media, que se
obtiene cuando:
1
H(ω) = √
2
Example: Ejercicio 2 : Para el circuito RC de la figura, obtenga la funcion de
transferencia Vo /Vs , la frecuencia de potencia media, los polos, ceros y su respuesta
en frecuencia. Considere que vs = Vm cos ωt Example-fin:
Figura 2 Figura del ejercicio
Desarrollo: Por divisor de tension.
2
Ejemplo 14.1 Sadiku
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TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS
Vo =
(1/jωC)Vi
R + (1/jωC)
H(ω) =
1
1 + jωRC
H(ω) = q
1
1 + (ωRC)2
1
1
Si H(ωo ) = √ = q
2
1 + (ωRC)2
2 = 1 + (ωRC)2
ωo =
1
RC
H(ω) = H(ω) = q
1
1 + (ω/ωo )2
ϕ = − tan−1
ω
ωo
El analisis de respuesta en frecuencia seran las graficas de H(ω) y ϕ(ω).
Figura 3 Figura del ejercicio
Se obtienen las graficas:
Example: Ejercicio 3 : Para el circuito de la figura, obtenga la funcion de transferencia Io /Ii , sus polos y sus ceros. Example-fin:
Por divisor de corriente:
3
Ejemplo 14.2 Sadiku
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0.1. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
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Figura 4 Respuesta en frecuencia
Figura 5 Figura del ejercicio
Io =
4 + j2ω
Ii
4 + j2ω + 1/j0,5ω
H(ω) =
j0,5ω(4 + j2ω)
s(s + 2)
= 2
, s = jω
2
1 + j2ω + (jω)
s + 2s + 1
Los ceros estan en
s(s + 2) = 0 ⇒ z1 = 0; z2 = −2
Los polos estan en
s2 + 2s + 1 = (s + 1)2 = 0;
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polos repetidos en p = −1
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TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS
0.2.
Resonancia
El concepto de resonancia se aplica en varia areas de la ciencia y de la ingenieria. La
resonancia se presenta en circuitos que tienen al menos una bobina y un capacitor y
se da en una frecuencia que haga que la reactancia inductiva sea igual a la reactancia
capacitiva, provocando que la energia oscile de una forma a otra. Los circuitos
resonantes (serie o paralelo) son usados como filtros pasabanda o rechazabanda.
0.2.1.
Resonancia serie
Consideremos el siguiente circuito RLC serie:
Figura 6 Circuito RLC serie
1
)
ωC
La frecuencia de resonancia hace que las reactancias inductiva y capacitiva sean
iguales.
Z = R + jXL − jXC = R + j(ωL −
ωL −
1
=0
ωC
1
ωo = √
LC
En la resonancia ocurre lo siguiente:
a) La combinacion LC actua como un corto y la fuente solo ve la R.
b) La corriente y el voltaje estan en fase co fp = 1.
c) La magnitud de H(ω) = R es minima y la corriente es maxima.
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0.3. FILTROS PASIVOS
0.2.2.
Resonancia paralelo
Consideremos el siguiente circuito RLC paralelo:
Figura 7 Circuito RLC paraleo
Y = G + jBC − jBL = G + j(ωC −
1
)
ωL
La frecuencia de resonancia hace que las susceptancias inductiva y capacitiva sean
iguales.
ωC −
1
=0
ωL
1
ωo = √
LC
0.3.
Filtros Pasivos
Un filtro es un circuito que se diseña para dejar pasar señales con frecuencias
deseadas y rechazar o atenuar otras.
Un filtro se puede clasificar por su tecnologia o por su numero de elementos.
Tenemos filtros pasivos de primer orden, segundo orden u orden superior.
Tenemos filtros activos que usan amplificadores operaciones como filtro chebyshev,
butterworth.
Un filtro es pasivo se consiste en solo elementos pasivos R,L y C.
Tenemos 4 tipos de filtros:
Filtro pasa-bajo: Atenua la magnitud de las señales de frecuencias por encima
de la frecuencia de corte.
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TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS
Filtro pasa-alto: Atenua la magnitud de las señales de frecuencias por debajo de
la frecuencia de corte.
Filtro pasa-banda: Atenua la magnitud de las señales de frecuencias por encima
de la frecuencia de corte alta y por debajo de la frecuencia de baja.
Filtro rechaza-banda: Atenua la magnitud de las señales entre las frecuencias
corte alta y baja.
Figura 8 Tabla Resumen
0.3.1.
Ejemplos de filtros
Filtro pasa-bajo
Filtro pasa-alto
Filtro pasa-banda
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0.3. FILTROS PASIVOS
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Figura 9 Tabla Resumen
Filtro rechaza-banda
0.3.2.
Circuito RLC serie resonante como filtro
0.3.3.
Circuito RLC paralelo resonante como filtro
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TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS
Figura 10 Pasa bajo
Figura 11 Pasa bajo
Figura 12 Pasa bajo
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0.3. FILTROS PASIVOS
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Figura 13 Pasa bajo
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