Operatoria algebraica

Eje temático: Algebra y funciones
Contenidos: Operatoria algebraica – Ecuaciones de primer grado
Nivel: 1° Medio
Operatoria algebraica
1. Operatoria algebraica
1.1. Términos semejantes
Un término algebraico es el producto de un factor numérico (número real) por
un factor literal (símbolos o letras).
Ejemplo:
Término algebraico
2a
-5x2y
Mn
-1/2 a b c
-0,8
Factor numérico
2
-5
1
-1/2
-0,8
Factor literal
a
x y
Mn
abc
No tiene
2
Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte
literal. Por ejemplo:
-2a2b y 5a2b son términos semejantes, pues ambos tienen la misma parte
literal que es a2b.
Los términos semejantes se pueden reducir sumando o restando los
coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo:
-2a2b + 5a2b = 3a2b
10x2z3 – 22x2z3 = -12x2z3
Si en una expresión algebraica los términos no son semejantes, entonces no se
pueden reducir, y constituye un binomio. Por ejemplo:
La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que no son
términos semejantes, (sus factores literales son diferentes), por lo tanto esta
operación es un binomio.
1.2. Eliminación de paréntesis
- ¿Cómo reducir 2a – (3a – 5b)?
Para poder sumar o restar correctamente los términos algebraicos que son
semejantes, es necesario eliminar el paréntesis.
2a – 3a + 5b = -a + 5b
- Si M = 4x – 8
valor de M – P?
y
P = 4x + 9, ¿cuál es el valor de M + P? ¿Cuál es el
M + P = (4x – 8) + (4x + 9) = 8x + 1
M – P = (4x – 8) – (4x + 9) = 4x – 8 – 4x – 9 = -17
Para eliminar el paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las
siguientes reglas:
1) Si aparece un signo “ + ” delante de un paréntesis (o ningún signo), se
elimina el paréntesis y se conservan los signos de los términos que aparezcan
dentro del paréntesis.
2) Si aparece un signo “ - ” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis y
se cambian los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.
Ejemplo:
2ab – (a + ab) + (3 a – 4ab)
= ab – a – ab + 3a – 4ab,
= -3ab + 2 a
Aplicando las reglas anteriores, tenemos:
Reduciendo términos semejantes:
1.3 Multiplicación de expresiones algebraicas
Se define un monomio como un término algebraico. Un binomio es una suma o
resta de dos términos algebraicos no semejantes (que no se pueden reducir).
Un trinomio es la suma o resta de tres términos algebraicos que no son
semejantes. Polinomio es una suma de más de tres términos que no se pueden
reducir.
Multiplicación de monomios: para multiplicar monomios se multiplican los
coeficientes numéricos y los factores literales de cada término algebraico.
Recuerda que para multiplicar literales se aplica la propiedad de la
multiplicación de potencias de igual base que dice: “para multiplicar potencias
de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”.
Ejemplo: 2x2y3z· 4x4y2 = 8x6y5z
Multiplicación de monomio por polinomio: en este caso se aplica la
propiedad distributiva; esto es: “el monomio c multiplica por cada uno de los
términos del polinomio”.
Ejemplo:
2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab· 3a - 2ab· ab2 + 2ab· 4b2c2 = 6a2b – 2a2b3 +
8ab3c2
Multiplicación de binomio por binomio: se multiplica cada uno de los términos
del primer binomio por cada uno de los términos del segundo binomio.
Ejemplo:
(2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a· 4a2 + 2a· 5ab3 – 3b2c· 4a2 – 3b2c· 5ab3
= 8a3 + 10 ab3 – 12a2b2c – 15 ab5c
Multiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior,
se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de
los términos del segundo.
Ejemplo:
(2x – 3y + 4z2)· (5x + 2xy + 4xz2)
= 2x· 5x + 2x· 2xy + 2x· 4xz2 – 3y· 5x – 3y 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2· 5x + 4z2·
= 10x2 +
2xy + 4z2· 4xz2
2
2 2
2
2
2
2
4
4x y + 8x z – 15xy – 6xy – 12xyz + 20xz + 8xyz + 16xz
Ejemplo:
(7x + 3 y) (5x – 8y )= 35x2 - 56 xy + 15 xy – 24y2 = 35 x2 – 41xy – 24y2
1.4. Productos notables
Son productos de polinomios que tienen términos semejantes. Estos generan
reglas que es conveniente memorizar, pues permiten obtener el resultado más
rápidamente y no es necesario hacer la multiplicación término a término.
Algunos de los productos notables más frecuentes son:
1. Suma por su diferencia:
(a + b) (a – b) = a2 – b2
2. Cuadrado de binomio:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3. Multiplicación de binomios con término común:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
4. Cuadrado de trinomio:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
5. Cubo de binomio:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Puedes ver un mapa conceptual acerca de los productos notables en una
presentación Power Point: Productos notables
Puedes estudiar la interpretación geométrica de los productos notables en los
siguientes sitios: Visualización productos notables
Desarrollo productos notables
Para un reforzamiento de productos notables puedes visitar la siguiente
presentación Power Point:
http://www.rmm.cl/usuarios/joliv/doc/200511112241000.ALGEBRA.ppt?PHPSE
SSID=4a43be62adc6648d54387e6bcab17159
1.5. Factorización
Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones de términos algebraicos que
son productos notables en multiplicaciones de factores polinomiales. Los casos
de factorización que estudiaremos son los siguientes:
1. Factor común en “un monomio por un polinomio”:
Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común.
Ejemplo:
15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3
Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede
colocar de la forma:
15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 · (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde
a su factorización. Puedes verificar mentalmente su distribución para
comprobar que el producto es el planteamiento inicial.
2. Diferencia de cuadrados en “suma por su diferencia”:
Toda diferencia de cuadrados se puede factorizar mediante el producto de la
suma por la diferencia de sus raíces.
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
Ejemplo:
25a2 – 16b4. Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de
5a y el de 4b2:
Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a – 4b2)
Como observación, te hacemos notar que el binomio 2a – 3 b se podrá
factorizar en producto de suma por diferencia como:
3. Factorización de un trinomio cuadrático perfecto en “cuadrado
de binomio”:
Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un
cuadrado de binomio. Se reconoce por tener dos términos cuadrados perfectos
y el tercer término es el doble producto de sus raíces.
Recuerda que un cuadrado perfecto es un término algebraico que tiene raíz
exacta.
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Ejemplo:
16x2 – 24xy + 9y2
En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2
y 9y2 = (3y)2
Además verificamos mentalmente que -2· 4x· 3y es igual a -24xy; por lo
tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio (4x – 3y)2
Si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la
expresión dada.
4. Factorización de un trinomio cuadrático no perfecto si el
coeficiente cuadrático es 1:
Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”,
podemos factorizar una expresión del tipo:
x2 + px + q en un producto de binomios con un término en común:
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Ejemplo: x2 – 10x + 24
El trinomio se factoriza de la forma: (x + a) (x + b), donde a y b son números
tales que:
a + b = -10 y ab = 24.
Encuentra ahora todas las parejas de números cuyo producto es 24
R: (2· 12) (3· 8) (4· 6) (1· 24) y que además la suma de éstos sea -10. Ambos
números deberán ser negativos. Por lo tanto:
x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x – 6)
5. Factorización de trinomio cuadrático no perfecto si el coeficiente
cuadrático es diferente de 1:
Ejemplo: 2x2 + 7x – 15
Para poder factorizar trinomios de este tipo multiplicaremos y dividiremos
(para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático,
que en este caso es 2:
En esta fracción, el numerador se puede factorizar de la forma (2x + a) (2x +
b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = –30. Estos números
son: 10 y –3. Conociendo los números, se simplifica la expresión por 2 para
obtener la factorización correcta:
por lo tanto: 2x2 + 7x – 15 = (x + 5) (2x – 3)
6. Diferencia de cubos perfectos
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
Ejemplo:
125z3 – 64y6
La expresión 125z3 es el cubo de 5z, y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto:
125z3 – 64y6 = (5z)3 – (4y2)3
Considerando que a = 5z y b = 4y2 en la expresión dada, tenemos que:
(5z)3 – (4y2)3 = (5z – 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4)