Reflectometría óptica en el dominio del tiempo

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
PREPARADO POR:
IE-1020 Temas Especiales 1 Circuitos integrados ópticos
M.Sc. LUIS DIEGO MARÍN NARANJO
Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.6 1
1.6 Ecuaciones de Fresnel
1.6.1 Reflexión de amplitud y coeficientes de transmisión (r y t)
Aunque la representación de un rayo con un frente de onda de fase constante es útil para entender la
refracción y reflexión, para obtener la magnitud de las ondas refractadas y reflejadas y sus fases
relativas, se necesita considerar el campo eléctrico en la onda de luz. El campo eléctrico puede estar
perpendicular a la dirección de propagación, como se muestra en la figura 1.15.
Onda transmitida
Onda
evanescente
x hacia
adentro del
plano
Onda
incidente
Onda
reflejada
Onda
incidente
Onda
reflejada
Figura 1.15 Onda viajera de luz en un medio más denso que incide en un medio menos denso. El plano
de incidencia es el plano del papel y es perpendicular a la interfaz entre los medios. El campo eléctrico
esta normal a la dirección de propagación y puede resolverse en componentes paralelo () y
perpendicular (). (a)  i <  c una parte de la onda se transmite dentro del medio menos denso y algo es
reflejado. (b)  i >  r la onda incidente sufre reflexión interna total y existe una onda evanescente que
decae en el medio n2
Se puede descomponer el campo Ei de la onda incidente en dos componentes; uno en el plano de
incidencia Ei y el otro perpendicular al plano de incidencia Ei. El plano de incidencia contiene los
rayos incidente y reflejado, que en la figura corresponde al plano de la figura.
Igualmente, para las ondas reflejada y transmitida, se tienen componentes de campo paralelo y
perpendicular al plano de incidencia, esto es, Er, Er, Et y Et.
Es aparente de la figura que las ondas incidente, reflejada y transmitida tienen un componente a lo largo
de z, esto es, tienen una velocidad efectiva a lo largo de z. Los campos Ei, Er, Et están todos
perpendiculares a la dirección z, y estas se denominan ondas de campo eléctrico transversal (TE).
Por otro lado, las ondas con campos Ei, Er, Et tienen sólo los componentes de campo magnético
perpendiculares a la dirección z, y estas se denominan ondas de campo magnético transversal (TM).
Las ondas incidente, reflejada y refractada con representación exponencial de una onda viajera son:
Ei = Ei0 exp j(t – ki  r)]
(1.6.1)
Er = Er0 exp j(t – kr  r)]
(1.6.2)
Et = Et0 exp j(t – kt  r)]
(1.6.3)
Aquí r es el vector de posición, los vectores de onda ki, kr, kt describen las direcciones de las ondas
incidente, reflejada y transmitida, y Ei0, Er0, Et0 son las amplitudes respectivas.
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Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.6 2
Cualquier cambio de fase tal como r y t en las ondas reflejada y transmitida con respecto a la fase de la
onda incidente está incorporada en las amplitudes complejas Er0 y Et0.
El objetivo ahora es hallar Er0 y Et0 con respecto a Ei0.
Se debe tener presente que se establecen ecuaciones similares para el campo magnético de las ondas
incidente, reflejada y transmitida, pero estarán perpendiculares a los correspondientes campos eléctricos.
Los campos eléctrico y magnético en cualquier punto en la onda, desde estar perpendiculares
mutuamente, como un requisito de la teoría de onda electromagnética.
Esto significa que con E en la onda EM, se tiene un campo magnético asociado B con este, tal que B =
(n/c0) E. Igualmente E tendrá un campo magnético asociado B con este tal que B = (n/c0) E.
Existen dos reglas fundamentales muy útiles en electromagnetismo, que gobiernan el comportamiento de
campos eléctricos y magnéticos en la frontera de dos medios dieléctricos, que se establecen de manera
arbitraria como 1 y 2, y se conocen como condiciones de frontera.
La primera regla establece que el campo eléctrico que es tangencial a la superficie de la frontera,
Etangencial, debe ser continuo a través de la frontera desde el medio 1 al 2, esto es, en la frontera y = 0 en la
figura 1.15.
Etangencial (1) = Etangencial (2)
(1.6.4)
La segunda regla es que el componente tangencial del campo magnético Btangencial, en la frontera debe ser
continuo a través de la frontera desde el medio 1 al 2, considerando que los dos medios son no
magnéticos (r = 1).
Btangencial (1) = Btangencial (2)
(1.6.5)
Usando las condiciones de frontera para los campos en y = 0 y las relaciones entre los campos eléctrico y
magnético, se encuentran las ondas reflejada y transmitida en términos de la onda incidente.
Las condiciones de frontera pueden satisfacerse sólo si el ángulo de reflexión y el ángulo de incidencia
son iguales, r = i, y las ondas transmitida e incidente obedecen la ley de Snell, n1 sen 1 = n2 sen 2.
Al aplicar las condiciones de frontera sobre la onda EM que va de un medio 1 al 2, las amplitudes de las
ondas reflejada y transmitida pueden fácilmente ser obtenidas en términos de n1, n2 y el ángulo de
incidencia i. Estas relaciones se llaman ecuaciones de Fresnel.
Si se define n = n2/n1 como el índice de refracción relativo del medio 2 al del medio 1, entonces los
coeficientes de reflexión y transmisión para E son:




E
cos  i - n 2 - sen2i
r = r 0,  
1/ 2
Ei 0, 
cos  i  n 2 - sen2i
(1.6.6a)
Et 0, 
2 cos i

1/ 2
Ei 0, 
cos i  n 2 - sen2i
(1.6.6b)
t =

1/ 2

Los coeficientes de reflexión y transmisión correspondientes para E son:
E
n2 - sen2i 1 / 2 - n2cos i
r = r 0, 
Ei 0,
n2 - sen2i 1 / 2  n2cos i
t =
Et 0,
Ei 0,

n
2 n cos  i
2
- sen 2 i

1/ 2
 n 2cos  i
(1.6.7a)
(1.6.7b)
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1.6 3
Los coeficientes están relacionados por:
r + n t = 1
∧
r +1 = t
(1.6.8)
La implicación de estas ecuaciones es que permiten determinar las amplitudes y las fases de las ondas
reflejada y transmitida de los coeficientes r, r, t ∧ t. Se considera Ei0 como un número real, por lo
que los ángulos de fase de r ∧ t corresponden a cambios de fase respecto a la onda incidente.
Por ejemplo, si r es una cantidad compleja se puede escribir como r = r exp (-j), donde r y 
representan la amplitud y fase relativas de la onda reflejada con respecto a la onda incidente, para el
campo perpendicular al plano de incidencia.
Si r es una cantidad real, un número positivo representa que no hay desplazamiento de fase y un
número negativo es un desplazamiento de fase de 180° (ó ).
Como con todas las ondas, un signo negativo corresponde a un desplazamiento de fase de 180°. Se
pueden obtener coeficientes complejos de las ecuaciones de Fresnel sólo si los términos bajo las raíces
cuadradas se vuelven negativos, y esto ocurre sólo cuando n < 1 (o n1 > n2) y también cuando i > c al
ángulo crítico. Así ocurren otros cambios de fase que no son 0° o 180° con reflexión interna total.
Las ecuaciones de Fresnel para incidencia normal se simplifican en gran medida al utilizar i = 0 en las
ecuaciones (1.6.6) y (1.6.7):
r = r =
n1 - n2
n1  n2
∧
t = t =
2 n1
n1  n2
(1.6.9)
La figura 1.16 (a) muestra la variación de los coeficientes de reflexión r ∧ r con el ángulo de incidencia
 i, para una onda de luz viajando de un medio más denso n1 = 1,44 a uno menos denso n2 = 1,00 como
predicen las ecuaciones de Fresnel.
Magnitud de coeficientes de reflexión
Cambios de fase en grados
RIT
Angulo de incidencia i
Angulo de incidencia i
Figura 1.16 Reflexión interna: (a) Magnitud de los coeficientes de reflexión contra ángulo de incidencia.
El ángulo crítico es 44°. (b) Cambios de fase correspondientes contra ángulo de incidencia
La figura 1.16 (b) muestra los cambios en la fase de la onda reflejada  ∧  con el ángulo de incidencia
 i. El ángulo crítico es determinado por senc = n2/n1 y en este caso es 44°. Es claro que para
incidencia cercana a la normal, no hay cambio de fase de la onda reflejada. El coeficiente de reflexión
en ecuación (1.6.9) es una cantidad positiva para n1 > n2, lo que significa que la onda reflejada no sufre
cambio de fase. Esto se confirma por  ∧  en la figura 1.16 (b).
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Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.6 4
Conforme el ángulo de incidencia se incrementa, eventualmente r se vuelve cero a un ángulo cercano a
35°. Se puede hallar este ángulo especial etiquetado como B, al resolver la ecuación de Fresnel
(1.6.7a) para r = 0. El campo en la onda reflejada estará entonces perpendicular al plano de incidencia
y por eso bien definido como se ilustra en la figura 1.17.
Placa de vidrio
E paralelo al plano
E normal al plano
Luz incidente
Luz reflejada
Figura 1.17 Al ángulo de incidencia de Brewster  i = B la luz reflejada contiene sólo oscilaciones de
campo normales al plano de incidencia
Este ángulo se denomina ángulo de polarización p o ángulo de Brewster B y por ecuación (1.6.7a) es:
tan  B 
n2
n1
(1.6.10)
La onda reflejada se dice que está linealmente polarizada, debido a que contiene oscilaciones de campo
eléctrico que están contenidos dentro de un plano bien definido, el cual está perpendicular al plano de
incidencia y también a la dirección de propagación.
Las oscilaciones de campo eléctrico en luz no polarizada por otro lado, puede estar en cualquier número
infinito de direcciones que están perpendiculares a la dirección de propagación.
En luz linealmente polarizada, las oscilaciones del campo están contenidas dentro de un plano bien
definido. La luz emitida desde muchos tipos de fuentes como lámparas incandescentes o un LED es no
polarizada. La luz no polarizada puede verse como una colección de ondas EM cuyos campos están
orientados aleatoriamente en una dirección que es perpendicular a la dirección de propagación.
Para ángulos de incidencia mayores que B pero menores que c, la ecuación de Fresnel (1.6.7a) da un
número negativo para r, lo cual indica un desplazamiento de fase de 180° como se muestra en  en la
figura 1.16 (b). La magnitud tanto de r y r se incrementa con i como se muestra en la figura 1.16a.
Al ángulo crítico y más allá, esto es i  c, las magnitudes r y r se vuelven la unidad, tal que la onda
reflejada tiene la misma amplitud que la onda incidente.
La onda incidente ha sufrido reflexión interna total RIT. Cuando i > c, en presencia de RIT, las
ecuaciones (1.6.6) y (1.6.7) son cantidades complejas, dado que sen i > n y los términos bajo las raíces
cuadradas se hacen negativas.
Los coeficientes de reflexión se vuelven cantidades complejas tipo r = 1 exp (-j) y r = 1 exp (-j)
con los ángulos de fase  ∧  teniendo valores que no sean 0° o 180°. La onda reflejada sufre por eso
cambio de fase  ∧ , en los componentes E ∧ E. Estos cambios de fase dependen del ángulo de
incidencia, según se muestra en la figura 1.16 (b), y de n1 y n2.
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Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.6 5
Un examen de la ecuación (1.6.6) para r muestra que para i > c se tiene r = 1, pero el cambio de
fase es dado por:

sen2i  n 2
1 
tan   
cos  i
2 

1/ 2
(1.6.11)
Para el componente E el cambio de fase  es dado por:

1 
sen2i  n 2
1
tan   π  
2 
n 2 cos i
2

1/ 2
(1.6.12)
Se puede resumir que en reflexión interna (n1 > n2) la amplitud de la onda reflejada debido al RIT, es
igual a la amplitud de la onda incidente, pero su fase se ha desplazado por una cantidad determinada por
las ecuaciones (1.6.11) y (1.6.12). El hecho que  tenga un desplazamiento adicional  que hace 
negativo para i > c, se debe a la escogencia para la dirección del campo óptico reflejado Er, en la
figura 1.15. Este desplazamiento  puede ser ignorado si simplemente se invierte Er,.
Los coeficientes de reflexión en la figura 16 consideraron el caso en que n1 > n2. En este caso, cuando
la luz se aproxima a la frontera desde el lado con índice de refracción más alto, se dice que la reflexión
es interna y a incidencia normal no hay cambio de fase.
Por otro lado, si la luz se aproxima a la frontera desde el lado con índice de refracción más bajo, n1 < n2,
se dice que la reflexión es externa. Así en reflexión externa, la luz se refleja por una superficie de un
medio ópticamente más denso. Hay una diferencia importante entre los dos tipos. La figura 1.18
muestra como dependen los coeficientes de reflexión r ∧ r con el ángulo de incidencia  i para reflexión
externa (n1 = 1,00 y n2 = 1,44).
Reflexión externa
Ángulo de incidencia  i
Figura 1.18 Coeficientes de reflexión externa r ∧ r contra ángulo de incidencia i (n1 = 1,00 y n2 = 1,44)
A incidencia normal ambos coeficientes son negativos, lo que significa que en reflexión externa a
incidencia normal hay un desplazamiento de fase de 180°.
Más aún, r se hace cero al ángulo de
Brewster dado por ecuación (1.6.10).
A este ángulo de incidencia, la onda reflejada esta polarizada en el componente E solamente. La luz
transmitida tanto en reflexión interna como externa no experimenta cambio de fase.
¿Qué le ocurre a la onda transmitida cuando i > c? De acuerdo a las condiciones de frontera, debe
haber todavía un campo eléctrico en el medio 2, de otro modo no se satisfacen las condiciones de
frontera. Cuando i > c, el campo en el medio 2 es una onda que viaja cerca de la superficie de la
frontera a lo largo de la dirección z, según muestra la figura 1.19.
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1.6 6
Amplitud de onda
evanescente
Onda evanescente
Onda incidente
Onda reflejada
Frente de onda
Figura 1.19 Cuando i > c para una onda plana que es reflejada, hay una onda evanescente en la
frontera cuya magnitud decae dentro del medio 2
Esta onda se denomina onda evanescente y avanza a lo largo de z, con su campo disminuyendo
conforme se mueve dentro del medio 2, esto es:
(1.6.13)
Et , ( x, y, z )  e- y e j( t k z )
2
iz
Donde kiz = ki sen i es el vector de onda de la onda incidente a lo largo del eje z, y 2 es el coeficiente
de atenuación para el campo eléctrico penetrando dentro del medio 2:
2

2πn2  n1 
  sen2i  1
2 
0  n2 


1/ 2
(1.6.14)
Donde 0 es la longitud de onda en el espacio libre. De acuerdo a la ecuación (1.6.13), la onda
evanescente viaja a lo largo de z y tiene una amplitud que decae exponencialmente conforme se mueve
de la frontera dentro del medio 2 (a lo largo y). El campo de la onda evanescente es e-1 en el medio 2
cuando y = 1/2, lo cual se denomina profundidad de penetración.
No es difícil demostrar que la onda evanescente es predicha correctamente por ley de Snell con i > c.
La onda evanescente se propaga a lo largo de la frontera (a lo largo de z), con la misma rapidez que el
componente z de la velocidad de las ondas incidente y reflejada. En las ecuaciones (1.6.1) y (1.6.2) se
asumió que las ondas incidente y reflejada eran ondas planas, o sea, de extensión infinita. Si se
extienden los frentes de onda plana en la onda reflejada, estos cortarían la frontera, según la figura 1.19.
La onda evanescente viajando a lo largo de z puede verse como que surge de estos frentes de onda
planos en la frontera, figura 1.19. La onda evanescente es importante en la propagación de luz en guías
de onda ópticas como fibras ópticas. Si la onda incidente es un haz angosto de luz (como la salida de un
láser) entonces el haz reflejado tendría la misma sección transversal.
Todavía sería una onda evanescente en la frontera, pero saldría sólo dentro un área de la sección
transversal del haz reflejado en la frontera.
1.6.2 Irradiancia, reflectancia y transmitancia
Es necesario frecuentemente calcular la irradiancia (y obtener el flujo) de las ondas reflejada y
transmitida de luz que viaja en un medio n1 e incide en una frontera donde cambia el índice de refracción
a n2. En algunos caso, se está solamente interesado en incidencia normal donde i = 0°. Por ejemplo,
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1.6 7
en un diodo láser la luz es reflejada desde los extremos de una cavidad óptica, donde se presenta un
cambio en el índice de refracción.
Para una onda de luz que viaja con velocidad v en un medio con permitividad relativa r, la irradiancia
Ee se define en términos de la amplitud del campo eléctrico E0:
1
Ee  v r 0 E02
2
(1.6.15)
Aquí (½) v r 0 E02 representa la energía en el campo por unidad de volumen. Cuando se multiplica por
la velocidad v se obtiene la razón a la cual la energía es transferida a través de un área unitaria. Dado
que v = c/n y r = n2, la irradiancia es proporcional a n E02 .
La reflectancia R mide la intensidad de la luz reflejada con respecto a la luz incidente y puede ser
definida separadamente para componentes de campo eléctrico paralelo y perpendicular al plano de
incidencia. La reflectancia R ∧ y R se definen como:
R = r 
2
E r 0 ,
Ei 0,
2
2
2
∧
R = r
2

Er 0,
(1.6.16)
2
Ei 0,
Aunque los coeficientes de reflexión pueden ser números complejos que pueden representar cambios de
fase, las reflectancias son necesariamente números reales que representan cambios de intensidad. La
magnitud de un número complejo es definida en términos de su producto con su complejo conjugado.
Por ejemplo, cuando Er0, es un número complejo entonces:
Er0,2 = (Er0,) (Er0,)*
Donde (Er0,)* es el complejo conjugado de (Er0,).
De las ecuaciones (1.6.6a) y (1.6.7a) con incidencia normal, esto es simplemente:
R =R = R =  n1  n2 
2
(1.6.17)
 n1  n2 
Dado que un medio como el vidrio tiene un índice de refracción cercano a 1,5, esto significa que cerca
del 4 % de la radiación incidente sobre una superficie aire-vidrio será reflejada.
La transmitancia T relaciona la intensidad de la onda transmitida a la de la onda incidente, de manera
similar a la reflectancia. Se debe considerar sin embargo, que la onda transmitida está en un medio
diferente y también que su dirección, con respecto a la frontera, es diferente de la de la onda incidente
debido a la refracción.
Para incidencia normal, los haces transmitido y reflejado también son normales, y las transmitancias
están definidas por:
2
T =  n2  t 2  n2 Et 0, 2
 
 n1 
∧
n1 Ei 0,
T =T = T =
T =  n2  t
n 
 1
2
2

n 2 Et 0,
(1.6.18)
2
n1 Ei 0,
4 n1n2
n1  n2 2
Además las fracciones de luz reflejada y transmitida deben sumar la unidad, esto es, R + T = 1.
(1.6.19)
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1.6 8
Cuando la luz incide a un ángulo  i como en la figura 1.1.5, entonces la luz transmitida tendrá un ángulo
 t con respecto a la normal. Las transmitancias correspondientes están dadas por:
T =  n2 cos t  t 2
T =  n2 cos t  t
∧
 n1 cos i 
2
(1.6.20)
 n1 cos i 
Cada transmitancia en ecuación (1.6.20) es respecto a la intensidad incidente en la polarización indicada.
1.6.3 Desplazamiento de Goos-Hänchen y tunelización óptica
Un haz de luz que viaja en un medio ópticamente más denso sufre reflexión total interna cuando incide
sobre un medio menos denso, a un ángulo de incidencia mayor que el ángulo crítico, como se muestra en
la figura 1.12 (c). Un observación simple de la trayectoria del rayo da la impresión que el rayo
reflejado emerge desde el punto de contacto del rayo incidente con la interfaz, según la figura 1.12 (c).
Sin embargo, con experimentación óptica cuidadosa en los haces incidente y reflejado, se ha hallado que
la onda reflejada parece estar lateralmente desplazada desde el punto de incidencia sobre la interfaz,
según ilustra la figura 1.20.
y
y
B
Virtual reflecting
Plano reflectante
virtualplane
B
d
A
A
i
z
Incident
Luz incidente
light
Incident
light
Virtual
reflecting plane
n2
d
r
n2
z
z
i
n 1 > n2 
r
z
Reflected
Luz reflejada
light
n1 > n2
Reflected
light
Figura 1.20 El haz reflejado en reflexión interna total parece estar desplazado lateralmente por una
cantidad z en la interfaz, como si se reflejara desde un plano virtual a una profundidad d en el medio 2
Aunque los ángulos de incidencia y reflexión son los mismos, como se espera de la ecuación de Fresnel,
el haz reflejado está desplazado lateralmente y parece ser reflejado desde un plano virtual dentro del
medio ópticamente menos denso. Este fenómeno es conocido como desplazamiento Goos-Hänchen.
El desplazamiento lateral del haz reflejado puede entenderse al considerar que el haz reflejado
experimenta un cambio de fase  según la figura 1.16 (b), y que el campo eléctrico se extiende en el
segundo medio aproximadamente con una penetración  = 1/. Se sabe que otros cambios de fase que
no sean 0° o 180° ocurren solamente cuando hay reflexión interna total.
Se puede representar de manera equivalente este cambio de fase y la penetración en el segundo medio, al
desplazar la onda reflejada a lo largo de la dirección de propagación de la onda evanescente, esto es, a lo
largo de z por una cantidad z, según se muestra la figura 1.20.
El desplazamiento lateral depende del ángulo de incidencia y la profundidad de penetración. Se puede
representar la reflexión como si ocurriera desde un plano virtual colocado a alguna distancia d desde la
interfaz (d no es igual a ), entonces por simples consideraciones geométricas, z = 2 d tan i. El valor
real de d es más complicado de calcular, pero su orden de magnitud es la profundidad de penetración.
Para luz a  = 1000 nm incidente a 85° a una interfaz vidrio-vidrio (n1 = 1,450 y n2 = 1,430) y sufriendo
RIT,  = 0,78, lo que significa que z  18 m.
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Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.6 9
La reflexión interna total ocurre donde sea que se propague una onda en un medio ópticamente más
denso, tal como el medio A en la figura 1.20, que incide a un ángulo mayor que el ángulo crítico en la
interfaz AB, con un medio B de menor índice de refracción.
Si se comprime el grosor d del medio B, como en la figura 1.21, se observa que cuando B es
suficientemente delgado, emerge un haz de luz atenuado en el otro lado de B en C.
Luz tunelizada ópticamente
Luz reflejada
Luz incidente
Figura 1.21 El haz reflejado en reflexión interna total parece estar desplazado lateralmente por una
cantidad z en la interfaz, como si se reflejara desde un plano virtual a una profundidad d en el medio 2
Este fenómeno en el cual una onda incidente es parcialmente transmitida a través de un medio donde
sería prohibida en términos de óptica geométrica simple, se denomina tunelización óptica, y es una
consecuencia de la naturaleza de onda de la luz. Se debe al hecho que el campo de la onda evanescente
penetra dentro del medio B y alcanza la interfaz BC antes que se desvanezca.
El tunelizado óptico se ilustra en la figura 1.21 y se denomina reflexión interna total frustrada RITF:
la cercanía del medio C frustra la RIT. La onda transmitida en C porta algo de intensidad de luz y así se
reduce la intensidad de la onda reflejada. El campo de la onda evanescente en B decae y tiene un valor
finito en la interfaz BC, donde las oscilaciones del campo son capaces de excitar una onda transmitida.
La reflexión interna total frustrada se utiliza en separadores de haz como los mostrados en la figura 1.22.
Haz reflejado
B – película transparente
de
bajo
índice
de
refracción
RIT
Haz reflejado
RITF
Transmitido
Prisma de vidrio
Haz
incidente
Figura 1.22 (a) Una luz incidente en la cara larga de un prisma de vidrio sufre RIT; (b) Dos prismas
separados por una capa delgada de menor índice de refracción forman un cubo separador de haz
Un haz de luz que entra al prisma de vidrio A sufre RITF en la cara hipotenusa (i > c en la interfaz
vidrio-aire), y se vuelve reflejada; el prisma deflecta la luz como en la figura 1.22 (a). En el cubo
separador de haz de la figura 1.22 (b), dos prismas A y C están separados por una capa delgada B, de
bajo índice de refracción.
Algo de la energía de luz a través es ahora tunelizada a través de la película delgada y transmitida a C y
hacia afuera del cubo. NIRF en la cara hipotenusa de A conduce a un haz transmitido y por ello a la
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IE-1020 Temas Especiales 1 Circuitos integrados ópticos
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Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.6 10
separación del haz en dos haces. La cantidad de división de los dos haces depende del grosor de la capa
delgada B y su índice de refracción.
Cubos separadores de haz (Thorlabs)
Ejemplo 1.6.1 Reflexión de luz desde un medio menos denso (reflexión interna).
Un rayo de luz está viajando en un medio de vidrio con índice de refracción n1 = 1,450 e incide sobre un
medio menos denso de índice de refracción n2 = 1,430. Suponer que la longitud de onda de esta luz en
el espacio libre es 1000 nm.
(a) ¿Cuál debería ser al ángulo mínimo de incidencia para RIT?
(b) ¿Cuál es el cambio de fase en la onda reflejada cuando i = 85° y cuando i = 90°?
(c) ¿Cuál es la profundidad de penetración de la onda evanescente dentro del medio 2 cuando i = 85° y
cuando i = 90°?
Solución.
(a) El ángulo crítico c para RIT es dado por sen c = n2/n1 = 1,430/1,450 = c = 80,47°.
(b) Dado que el ángulo de incidencia i > c, entonces hay un cambio de fase en la onda reflejada. El
cambio de fase en Er es dada por . Con n1 = 1,450, n2 = 1,430 y i = 85° se tiene:

sen 2 i  n 2
1 
tan    
cos  i
2 

1/ 2
2

 1,430  
2

sen
(
85
)





 1,450  



cos (85 )
1/ 2
= 1,61449 = tan 1 (116,45°)
2
El cambio de fase es  = +116,45°.
El cambio de fase en Er es dada por . Con n1 = 1,450, n2 = 1,430 y i = 85° se tiene:

1 
sen2 i  n 2
1
tan   π  
2 
n 2 cos i
2

1/ 2

1
1 
tan  
2
n
2 
Se obtiene:
2
1  n 
1
1 
tan    π    1  tan  
2   n2 
2
2 
2
 1,450 
1


 tan 116,45 
1
,
430
2




Esto produce  = -62,134° (si se fuera a invertir el campo reflejado el cambio de fase sería +117,866°.
Se repite el cálculo con i = 90° para hallar  = 180° ∧  = 0°.
Notar que siempre que i > c la magnitud de los coeficientes de reflexión son la unidad. Sólo cambia
la fase.
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1.6 11
(c) La amplitud de la onda evanescente al penetrar el medio 2 es:
Et , ( y )  Et0, e - 2 y
(1.6.13)
j( t kiz z )
Se ignora la dependencia en z e
dado que sólo da una propiedad de propagación a lo largo de z.
-1
La fuerza del campo cae a e cuando y = 1/2 =  , la cual es la profundidad de penetración. La
constante de atenuación 2 es:
2

2πn2  n1 
  sen2i  1
2 
0  n2 


1/ 2
Esto es:
2

2π(1,430)  1,450 
2 
sen 2 85  1



6
110 m  1,430 

1/ 2
= 1,28 × 106 m-1
La profundidad de penetración es  = 1/2 = 1/1,28 × 106 m-1 = 7,8 × 10-7 m = o sea 0,78 m. Para 90°
repitiendo cálculos se halla que 2 = 1,5 × 106 m-1, entonces  = 1/2 = sea 0,66 m. Se nota que la
penetración es mayor para ángulos de incidencia menores. Esta es una consideración importante en el
análisis de las propiedades de propagación en fibras ópticas.
Ejemplo 1.6.2 Reflexión a incidencia normal, y reflexión interna y externa
Considerar la reflexión de luz a incidencia normal en la frontera de un medio de vidrio con índice de
refracción 1,5 y aire con índice de refracción 1,003.
(a) Si la luz viaja de aire a vidrio, ¿Cuál es el coeficiente de reflexión y la intensidad de la luz reflejada?
(b) Si la luz viaja de vidrio a aire, ¿Cuál es el coeficiente de reflexión y la intensidad de la luz reflejada?
Solución.
(a) La luz viaja en aire y se vuelve parcialmente reflejada en la superficie del vidrio que corresponde a
reflexión externa. Así n1 = 1,0003 y n2 = 1,5, entonces:
r = r = n1  n2  1,0003  1,5 = -0,2
n1  n2
1,0003  1,5
Esto es negativo, lo que significa un desplazamiento de fase de 180°. La reflectancia R que da la
potencia reflejada fraccional es:
R= r =0,04 o 4 %
(b) La luz viaja en vidrio y se vuelve parcialmente reflejada en la interfaz vidrio-aire que corresponde a
reflexión interna. Así n1 = 1,5 y n2 = 1,003 entonces:
r = r = n1  n2  1,5  1,0003 = 0,2
n1  n2
1,5  1,0003
No hay un desplazamiento de fase. La reflectancia R es de nuevo R= r =0,04 o 4 %.
En ambos casos la cantidad de luz reflejada es la misma.
Ejemplo 1.6.3 Reflexión y transmisión al ángulo de Brewster
Un haz de luz viajando en aire incide sobre una placa de vidrio de índice de refracción 1.5. ¿Cuál es el
ángulo de Brewster? ¿Cuáles son las intensidades relativas de la luz transmitida y reflejada para
polarización perpendicular y paralela al plano de incidencia al ángulo de incidencia de Brewster?
Solución.
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1.6 12
La luz viaja en aire e incide una superficie de vidrio al ángulo de Brewster, donde n1 = 1,0003 y n2 = 1,5,
n
n = n2/n1 = 1,5, y tan  B  2 , tal que B = 56,31°. Se usan las ecuaciones de Fresnel para hallar las
n1
amplitudes reflejada y transmitida.
Para polarización perpendicular, de la ecuación (1.6.6a) se tiene:


E
cos 56,31 - 1,52 - sen 2 56,31
r = r 0, 
Ei 0 , 
cos 56,31  1,52 - sen 2 56,31


1/ 2
1/ 2
= -0,385
Evaluando se encuentra:
r = 0
Las reflectancias son R = r = 0,148 y R = 0 por lo que la luz reflejada no tiene polarización paralela
en el plano de incidencia. Notar el signo negativo en r que indica un cambio de fase de  rad.
Los coeficientes de transmisión de ecuaciones (1.6.6b) y (1.7.7.b) son:
2 cos 56,31
t =
= 0,615
1/ 2
cos 56,31  1,52 - sen2 56,31 
2
t =
1,5
2 (1,5) cos 56,31
2
- sen2 56,31

1/ 2
 1,52 cos 56,31
= 0,667
Se nota que r + nt = 1 y r + 1 = t, como se espera.
Para hallar la transmitancia para cada polarización se requiere el ángulo de refracción. Por ley de Snell
se obtiene (1,003) sen 56,31 ° = (1,5) sen  t, para encontrar que  t = 33,69°. Entonces por (1.6.20):

T =  1,5 cos33,69  (0,615) 2 = 0,852
 1,0003cos 56,31 
∧

T =  1,5 cos33,69  (0,667) 2 = 1
 1,0003cos 56,31 
Se nota claramente que la luz con polarización paralela al plano de incidencia tiene mayor intensidad.
Notar que R + T = 1 para ambas polarizaciones.
Si se fuera a reflejar luz desde una placa de vidrio, manteniendo el ángulo de incidencia a 56,31°, la luz
reflejada estaría polarizada con el componente del campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia.
La luz transmitida tendrá será parcialmente polarizada, o sea, tendrá un campo más grande en el plano
de incidencia (paralelo). Al usar una pila de placas de vidrio, se puede incrementar la polarización de la
luz transmitida (un polarizador de pila de placas fue inventada en 1812 por F. J. Arago).