Procesamiento y análisis de imágenes digitales II

Escuela Tecnología Médica
Universidad de Chile
Procesamiento y análisis de
imágenes digitales II
Alejandra García, TM
Centro de Estudios Moleculares de la Célula, FONDAP,
Facultad de Medicina, Universidad de Chile
Teorema de
Convolución
Kernel
Una convolución es un operador matemático que
transforma dos funciones f y g en una tercera
función.
H (xi,yj,r):
H es un filtro lineal si cumple
comutatividad y distributividad:
Y ->
H (a I1 + b I2) = a H I1 + b H I2
, I1/2 imágenes
, a,b escalares
X ->
H (xi,yj,r):
H (xi,yj,r) · I(x,y)
Y ->
X ->
Mean: Simplest (Low Pass)
1 1 1
H =1/9 · 1 1 1
1 1 1
Simplest High Pass
-1 -1 -1
H = -1 8 -1
-1 -1 -1
Métodos de
Dominio de la
Frecuencia
Frecuencia
Es una medida para
indicar el número de
repeticiones
de
cualquier fenómeno
o suceso periódico
en la unidad de
tiempo.
En una imagen en el
dominio frecuencial
se sabe dónde se
encuentran
los
distintos rangos de
frecuencias
Espectro:
es
la
representación de las
frecuencias
que
componen una señal
Transformadas de la Imagen
•En la codificación por transformación, se utiliza una transformada
lineal, reversible, para hacer corresponder la imagen con un conjunto
de coeficientes de la transformada, que después se cuantifican y se
codifican.
Transformadas de la Imagen
Algunos ejemplos de transformadas:
1. La transformada de Fourier.
2. La transformada discreta del coseno.
3. La transformada de Hadamard.
4. La transformada de Walsh.
Transformada de Fourier
• El matemático Fourier imaginó la superficie del océano
como la suma de ondas sinusoidales. Las grandes
ondas causadas por la marea o por los barcos (bajas
frecuencias) tenían largas longitudes de onda, mientras
que las pequeñas ondas causadas por el viento u
objetos arrojados (altas frecuencias) tenían pequeñas
longitudes de onda.
• La teoría de Fourier muestra
como la mayoría de las funciones
reales pueden ser representadas en
términos de sinusoidales.
Transformada de Fourier
• La transformada de Fourier de una función continua e integrable
de una variable real x se define por
Definiciones:
• La variable ‘u’ recibe el nombre de variable de
frecuencia.
•El módulo de F(u), |F(u)|= (R(u)2+ I(u)2)1/2 recibe el
nombre del espectro de Fourier.
•Su ángulo P(u)=arctg(I(u)/R(u)) recibe el nombre de
fase.
Transformada de Fourier
•Abarca señales de tiempo de una longitud infinita , estas
son señales no repetitivas continuas.
•Transformará cualquier señal continua de tiempo en
forma arbitraria, en un espectro continuo con una
extensión de frecuencias infinita.
•FFT (Fast Fourier Transform) es un eficiente algoritmo
que permite calcular la transformada de Fourier discreta
(DFT) y su inversa.
Fourier y su Transformada
Amplitud: cuánto de cada componente sinusoidal está
presente en la imagen.
Fase: dónde reside cada componente sinusoidal en la
imagen.
http://apphys.uned.es
El espectro de Fourier
no debe interpretarse
como una imagen, sino
como el desplegado en 2D
de
la
potencia
(o
amplitud) de la imagen
original.
Propiedades
La simetría y periodicidad
Ondas periódicas son aquellas ondas
que muestran periodicidad respecto
del tiempo, esto es, describen ciclos
repetitivos.
La rotación
Si rotamos la función f(x,y) a un ángulo determinado, la
transformada también será afectada por una rotación del mismo
ángulo. Esta propiedad también se da a la inversa, es decir, si la
transformada se rota en un determinado ángulo, la transformada
inversa también se verá rotada ese mismo ángulo.
Filtro Pasa bajo, Pasa alto y Pasa Banda
Pasa Bajo. Deja pasar
bajas frecuencias. Los
bordes y transiciones
bruscas
como
ruido
contribuyen
en
el
contenido
de
altas
frecuencias:
2
410
≤
3193
≤≤F
F≤F≤ FF
Pasa Alto. El realce
consiste en dejar pasar
altas frecuencias.
Pasa Banda: Seleccionar
los rangos de frecuencias
que deseamos.
F
310
FFFF=
====1
2192
1
≤≤F
1111≤
≤≤F≤
FFF≤
≤≤192
239
≤1
http://www.innovanet.com.ar/gis/TELEDETE/TELEDETE/ej4.htm
Filtro Homomórfico
Las imágenes consisten en luz reflejada por los objetos y están
formadas por dos componentes: la cantidad de luz invidente en el
objeto y la cantidad de luz reflejada:
Consiste en el filtrado lineal de la imagen transformada para separar
los componentes de iluminación y reflectancia
http://apphys.uned.es
Restauración de
la Imagen
Restauración v/s Mejora
•Restauración: Recuperación de imágenes y suele basarse en el
conocimiento de la causa de degración de la imagen.
•Mejora: se basa en los aspectos psico-físicos del sistema visual
humano.
Técnicas de Restauración
Deterministas
•Se supone conocida la función que degradó la imagen
•Se realiza la transformada inversa
•Son válidas si tienen poco ruido
Estocásticas
•Se intenta buscar visualmente la función que degradó la
imagen
Degradaciones Sencillas
Movimiento Relativo de cámara y objeto
Turbulencia atmosférica
Correcciones Ópticas
Telescopio Hubble.
Conocimiento de su óptica, permite restaurar imágenes
adquiridas.
Desplazamiento Lineal Uniforme
Filtro de mínimos cuadrados. Weiner
Es necesario conocer el espectro del ruido
Si no se conoce hay varias opciones
Se calcula a partir de una imagen
Se estima el espectro (gaussiano, ruido, etc)
Se sustituye la relación señal/ruido por una
constante en la fórmula:
Variando la constante obtenemos distintas calidades de
restauración.
A
B
A) Imagen borrosa
B) Espectro de la T. de
Fourier
C) Frecuencia en respuesta
al filtro de Weiner
C
D
D) Espectro de la frecuencia
de la imagen filtrada con
Weiner.
E) Restauración de la imagen
con Weiner
F) Imagen final restaurada
E
F
Ruido Sinusoidal
Filtro de rechazo de banda de radio 1
Frecuencia sinusoidal aparece como 4 puntos visibles.
Eliminación de esos puntos y realizamos la transformada
inversa, obtenemos la imagen restaurada
Interferencia periódica
Imagen satelital de los cráteres
en el planeta Marte
Espectro de Fouier muestra
interferencia
Interferencia: es cualquier proceso que altera, modifica
o destruye una señal durante su trayecto.
Similar al ruido sinusoidal, pero más sutil.
Transformación Geométrica
Determinados algoritmos permiten calcular:
•Ángulos de Rotación
•Flip
• Zoom
Introducen un pequeño grado de error que distorsionará
la imagen rotada en determinados ángulos.