RESOLUCIÓN Y DISCUSIÓN DE PROBLEMAS

DP. - AS - 5119 – 2007
"λ"
Matemáticas
ISSN: 1988 - 379X
"λ"
"m"
"m"
"λ"
"a"
"n"
"λ"
RESOLUCIÓN Y DISCUSIÓN DE PROBLEMAS
DE ENUNCIADO VERBAL CON PARÁMETROS
006 - PAU - Universidad de Oviedo – J2001
Un agente inmobiliario puede realizar 3 tipos de operaciones: venta de un piso nuevo, venta de un piso usado y
alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una prima de 120 000 PTAS. Si la operación es la venta de un piso
usado recibe 60 000 PTAS. Se desconoce la prima cuando la operación es un alquiler.
Este mes el número total de operaciones fue 5, la prima total por la venta de pisos fue superior en 200 000 PTAS
a la obtenida por alquileres y la prima total por venta de pisos nuevos fue el triple que por alquileres.
(a) Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el número de operaciones realizadas (en
función del valor desconocido de la prima de alquiler).
(b) Indica una prima a la que es imposible que se hayan pagado los alquileres.
(c) Indica tres primas a las que es posible que se hayan pagado los alquileres.
(d) Si la prima de alquileres fue de 20 000 PTAS, ¿cuántas operaciones de cada tipo se realizaron?
RESOLUCIÓN apartado (a)
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ "Número de ventas de pisos nuevos"
y ≡ "Número de ventas de pisos usados"
z ≡ "Número de alquileres"
DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS
m ≡ "Valor desconocido de la prima por un alquiler"
PLANTEAMIENTO:
x+y+z=5
120000x + 60000y = 200000 + m·z
120000x = 3·m·z
Colocamos términos semejantes en cada miembro, reducimos y obtenemos el siguiente sistema para obtener el
número de operaciones realizadas (en función del valor desconocido de la prima de alquiler)
x+y+z=5
120 000x + 60 000y – mz = 200 000
40 000x – m·z = 0
RESOLUCIÓN apartado (b)
ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DEL SISTEMA:
Para estudiar la compatibilidad del sistema, lo resolvemos por el método de Gauss:
(−120000)  1
1
1
5  (−40000)


(1)
120000 60000 − m 200000 
 40000
0
−m
0 
(1)

Fijamos la 1ª fila y modificamos la 2ª y 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda y derecha,
respectivamente:
1
1
5
1



(−2)  0 − 60000 − m − 120000 − 400000 
(3)  0 − 40000 − m − 40000 − 200000 
Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda
1
1
5
1



− m − 120000
− 400000 
 0 − 60000
0
0
2m + 240000 − 3m − 120000 200000 

Simplificamos la 3º fila:
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1
© Abel Martín
1
1
5
1



0
−
60000
−
m
−
120000
−
400000


0

0
−
m
+
120000
200000


(– m + 120 000) z = 200 000
– m + 1200 = 0 → m = 120 000
m = 120 000
0z = 200 000 → pero 0 ≠ 200 000
SISTEMA INCOMPATIBLE
RESOLUCIÓN apartado (b)
Es imposible que se hayan pagado los alquileres con una prima de 120 000 €.
RESOLUCIÓN apartado (c)
Para m ≠ 120000
Es sistema es compatible determinado
RESUMEN SOLUCIÓN
m = 120 000 ³ SISTEMA INCOMPATIBLE
A ≠ 120 000 ³ SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Para indicar tres primas a las que es posible que se hayan pagado los alquileres, observamos la
matriz del sistema resultante:
1
1
5
1



0
−
60000
−
m
−
120000
−
400000


0

0
−
m
+
120000
200000


Las primas por alquileres podrían ser m = 50 000, m = 55 000, m = 60 000, es decir,
valores distintos de 120.000 PTAS, aunque habría que hacer un estudio mucho más
profundo ya que, dependiendo del contexto, los valores de x, y, z tendrían que ser números
enteros positivos, que por el exceso y laboriosidad de los de cálculos excede los objetivos
del tema y lo dejamos para una posible ampliación.
RESOLUCIÓN apartado (d)
Para m = 20 000
1
1
5
1



 0 − 60000 − 140000 − 400000 
0
0
100000
200000 

100 000 z = 200 000
z=2
- 60 000y – 280 000 = - 400 000
- 60 000y = - 400 000 + 280 000
- 60 000y = - 120 000
y=2
x+2+2=5
x=1
Se realizaron 1 venta de pisos nuevos, 2 ventas de pisos usados y 2 de alquileres"
007 - PAU - Universidad de Oviedo – J2002
En una farmacia se comercializan 3 tipos de champú de cierta marca: normal, con vitaminas y anticaspa. Se
sabe que el precio al que se vende el normal es de 2 euros y el de vitaminas es de 3 euros. Se desconoce el precio
al que vende el anticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenido por las ventas de los 3 tipos de champú el mes
pasado fue de 112 euros y el dinero obtenido en ventas con el champú normal fue 56 euros inferior al dinero total
obtenido en ventas con el resto. Además, el dinero total obtenido en ventas con el champú de vitaminas y el
anticaspa fue el mismo que el que hubiera obtenido vendiendo 28 unidades del anticaspa y ninguna de las demás.
DISCUSIÓN DE UN SISTEMA CON PARÁMETROS
2
DP. - AS - 5119 – 2007
Matemáticas
ISSN: 1988 - 379X
(a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del precio desconocido del champú anticaspa, que puedes
llamar por ejemplo m) donde las incógnitas (x, y, z) sean las unidades vendidas el mes pasado de cada tipo de
champú.
(b) ¿Qué puedes concluir sobre el precio del champú anticaspa a partir de un estudio de la compatibilidad del
sistema?
(c) Si se sabe que el número de unidades vendidas del anticaspa fue 20, utiliza el resultado del apartado (b) para
calcular las unidades vendidas de los otros 2.
RESOLUCIÓN apartado a
D
D
E
T
E
R
M
N
A
C
Ó
N
D
E
N
C
Ó
G
N
T
A
S
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TE
ER
RM
MIIIN
NA
AC
CIIIÓ
ÓN
ND
DE
E IIIN
NC
CÓ
ÓG
GN
NIIIT
TA
AS
S
x ≡ "Número de unidades vendidas el mes pasado de champú normal".
y ≡ "Número de unidades vendidas el mes pasado de champú con vitaminas".
z ≡ "Número de unidades vendidas el mes pasado de champú anticaspa".
D
D
E
T
E
R
M
N
A
C
Ó
N
D
E
A
R
Á
M
E
T
R
O
S
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RM
MIIIN
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AC
CIIIÓ
ÓN
ND
DE
E PPPA
AR
RÁ
ÁM
ME
ET
TR
RO
OS
S
m ≡ "Precio desconocido del champú anticaspa"
PPPLLLA
A
N
T
E
A
M
E
N
T
O
AN
NT
TE
EA
AM
MIIIE
EN
NT
TO
O:::
2x + 3y + mz = 112
2x + 56 = 3y + mz
3y + mz = m·28
Reducimos y obtenemos el siguiente sistema en función del precio desconocido del champú anticaspa
2x + 3y + mz = 112
2x - 3y - mz = - 56
3y + mz = 28m
RESOLUCIÓN apartado b
ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DEL SISTEMA:
m 112 
(−1)  2 3


(1)  2 − 3 − m − 56 
0 3
m 28m 

(1)
( 2)
m
112 
2 3


0
−
6
−
2
m
−
168 

0 3
m
28m 

m
112 
2 3


0
−
6
−
2
m
−
168 

0 0
0
56m − 168 

0z = 56m - 168
56m - 168 = 0 56m = 168
m=3
0z = 0
Infinitas soluciones
Sistema compatible indeterminado para m = 3
m≠3
0z = 56m - 168
p.ej, m = 0 0z = - 168 → Pero 0 ≠ 168
Sistema incompatible
RESUMEN SOLUCIÓN
m = 3 ³ SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
m ≠ 3 ³ SISTEMA INCOMPATIBLE
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3
© Abel Martín
Por lo que resolvemos para m = 3
- 6y - 2·3z = - 168 - 6y = - 168 + 6z - 6y = - 168 + 6z y = 28 - z
2x + 3y + 3z = 112 2x + 3(28 - z) + 3z = 112 2x + 84 - 3z + 3z = 112 2x = 28 x = 14
Se trata de un sistema compatible indeterminado, de solución generalizada:
(14, 28 - z, z)
El precio del anticaspa es de 3€.
RESOLUCIÓN apartado c
Para z = 20:
(14, 28 - z, z) →
(14, 28 - 20, 20)
(14, 8, 20)
Si vendieron 20 unidades de champú anticaspa, ese mismo mes habrán vendido 14
unidades de champú normal y 8 con vitaminas.
RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORA GRÁFICA
Vamos a comprobar con la calculadora gráfica, sustituyendo "m" por diversos valores en el sistema del enunciado:
m = 3
La calculadora gráfica no es capaz
de resolver sistemas compatibles
indeterminados.
SOLV
F1
Si sustituimos en el primer sistema, para m = 3 , z = 20
La calculadora gráfica resuelve el
problema de manera sencilla.
SOLV
F1
Como se puede observar, se confirman nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL.
008.- En una granja se venden pollos, pavos y perdices; los pollos y los pavos, a razón de 2 y 1.5 €/Kg,
respectivamente, aunque de las perdices no se acuerda (supongamos que son "m" €/kg). En cierta semana los
ingresos totales de la granja ascendieron a 5700 €. Además se sabe que la cantidad de pollo vendida superó en 100
Kg a la de pavo y que se vendió de perdiz la mitad que la de pavo.
(a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de "m") para averiguar la cantidad vendida de cada tipo de
carne.
(b) Estudia la compatibilidad del sistema, en función de "m". ¿Puedes dar algún precio al que sea imposible
haber vendido las perdices?
RESOLUCIÓN apartado a
D
D
E
T
E
R
M
N
A
C
Ó
N
D
E
N
C
Ó
G
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A
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RM
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NA
AC
CIIIÓ
ÓN
ND
DE
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NC
CÓ
ÓG
GN
NIIIT
TA
AS
S
x ≡ "Cantidad de kg de pollo vendidos"
y ≡ "Cantidad de kg de pavo vendidos"
z ≡ "Cantidad de kg de perdiz vendidos"
D
D
E
T
E
R
M
N
A
C
Ó
N
D
E
A
R
Á
M
E
T
R
O
S
DE
ET
TE
ER
RM
MIIIN
NA
AC
CIIIÓ
ÓN
ND
DE
E PPPA
AR
RÁ
ÁM
ME
ET
TR
RO
OS
S
m ≡ "Precio del kg de perdiz en €"
PPPLLLA
A
N
T
E
A
M
E
N
T
O
AN
NT
TE
EA
AM
MIIIE
EN
NT
TO
O:::
2x + 1.5y + mz = 5700
→
2x + 1.5y + mz = 5700
x = y + 100
→
x – y = 100
2z = y
→
– y + 2z = 0
RESOLUCIÓN apartado b
DISCUSIÓN DE UN SISTEMA CON PARÁMETROS
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DP. - AS - 5119 – 2007
Matemáticas
ISSN: 1988 - 379X
ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DEL SISTEMA:
Resolvemos el sistema por el método de Gauss
Colocamos las ecuaciones de forma que el parámetro quede lo más abajo y a la derecha posible:
(−2)  1 − 1 0 100 


0 
 0 −1 2
(1)  2 1.5 m 5700 
Fijamos la 1ª y 2ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda:
 1 − 1 0 100 


(3.5)  0 − 1 2
0 
(1)  0 3.5 m 5500 
Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda.
0
100 
 1 −1


2
0 
 0 −1
 0 0 7 + m 5500 


Procedamos a estudiar la compatibilidad del sistema:
(7 + m) z = 5500
7+m=0 → m=-7
m=-7
0z = 5500
SISTEMA INCOMPATIBLE.
Ojo: para m = - 7 el precio sería imposible, pero como el precio no puede ser negativo, se dice que
no se puede dar un precio al que sea imposible haber vendido las perdices
m≠-7
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.
ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
De lo que se deduce que cualquier precio es posible haber vendido las perdices.
RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORA GRÁFICA
Vamos a comprobar con la calculadora gráfica, sustituyendo "m" por diversos valores en el sistema del enunciado:
m = - 7
SOLV
F1
para m = 1 (€)
SOLV
F1
para m = 4 (€)
SOLV
F1
Como se puede observar, se confirman nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL.
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