RESOLUCIÓN Y DISCUSIÓN DE PARÁMETROS

Curso ON LINE
Tema 4
RESOLUCIÓN Y DISCUSIÓN
DE
PROBLEMAS DE ENUNCIADO VERBAL CON
PARÁMETROS
005
Una empresa manda sus pedidos por correo ordinario o bien utilizando un servicio
de mensajeros. Cada paquete enviado por correo ordinario supone un coste a la
empresa de 20 PTAS, y el coste de cada paquete enviado por mensajero es una
cantidad A que establece el servicio de mensajeros cada mes. Cierto mes el número
total de paquetes enviados fue de 1 200 y el coste total de los mismos fue de 33 000
PTAS.
(a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar el número de paquetes
enviados por correo ordinario y el número de los enviados por mensajero.
(b) Estudia su compatibilidad. Si se sabe que el coste por mensajero es superior al
coste por correo, ¿el sistema tiene solución única?
(c) Resuelve el sistema si A = 35 PTAS
2B
Selectividad Universidad de Oviedo Septiembre 2000 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
RESOLUCIÓN apartado a
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x: Número de envíos por correo ordinario.
y: Número de envíos por servicio de mensajería.
DETERMINACIÓN DEL PARÁMETRO
A: Precio del paquete enviado por mensajero.
PLANTEAMIENTO:
x + y = 1 200
20x + A·y = 33 000
RESOLUCIÓN apartado b
Discutimos y resolvemos el sistema por el método de Gauss:
(−20)  1 1 1200 


(1)  20 A 33000 
Fijamos la 1ª fila y modificamos la segunda con las operaciones indicadas a la izquierda
1
1200 
1


 0 A − 20 9000 
Procedamos a estudiar la compatibilidad del sistema:
(A – 20) y = 9 000
0 = 9 000 ¸ Sistema INCOMPATIBLE
A – 20 = 0
A = 20 ¸ Sistema INCOMPATIBLE
Cuando el precio del paquete enviado por mensajería es de 20 PTAS el problema no tiene
solución.
A ≠ 20
Ejemplo: a = 40 ¸ 20 y = 9 000 ¸ y = 450
Sistema COMPATIBLE DETERMINADO
A ≠ 20
x + y = 1200 ¸ x +
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¸
y=
9000
A − 20
9000
9000
= 1200 → x = 1200 –
A − 20
A − 20
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33
 Abel Martín
"Sistemas de ecuaciones"
x=
1200( A − 20) − 9000
1200 A − 24000 − 9000
1200 A − 33000
=
=
A − 20
A − 20
A − 20
 1200 A − 33000 9000 
SOLUCIÓN generalizada
,


A − 20
A − 20 

Para que pueda tener solución, tanto los valores de x (número de envíos por correo ordinario)
como de y (número de envíos por mensajería) han de ser positivos:
Si se sabe que el coste por mensajero es superior al coste por correo quiere decir que A > 20 [*]
1200 A − 33000
> 0 cuando 1200A – 33000 > 0
A − 20(*)
1200A > 33000 ¸ A > 27.5
Los valores de y son positivos para A > 27.5
= Si A > 0 ¸
9000
>0
A − 20(*)
Como 9000 > 0 → Los valores de y son siempre positivos
Tendrá solución única para los valores A ≥ 28
RESOLUCIÓN apartado c
 1200 A − 33000 9000 
,


A − 20
A − 20 

 1200 ⋅ 35 − 33000 9000 
Para A = 35 ¸ 
,

35 − 20 
35 − 20

Para A = 35 ¸ (600, 600)
ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
Cuando el precio del paquete enviado por mensajero alcanza las 35 PTAS, tanto el número de
envíos por correo ordinario como el número de envíos por servicio de mensajería serán de 600
unidades.
RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORA GRÁFICA
Comprobamos con la calculadora gráfica, sustituyendo A por dichos valores en el sistema del
enunciado, si las respuestas obtenidas son las esperadas:
A = 20
SOLV
F1
„
La calculadora gráfica no es capaz de resolver sistemas incompatibles
A < 28 (por ejemplo A = 24)
SOLV
F1
„
La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Se obtienen expresiones negativas,
imposibles en el contexto del problema.
A = 35
34
Matemáticas y TIC
Curso ON LINE
Tema 4
SOLV
F1
„
La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Es un sistema compatible
determinado.
Como se puede observar, se confirman nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL.
006
Un agente inmobiliario puede realizar 3 tipos de operaciones: venta de un piso
nuevo, venta de un piso usado y alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una
prima de 120 000 PTAS. Si la operación es la venta de un piso usado recibe 60 000
PTAS. Se desconoce la prima cuando la operación es un alquiler.
Este mes el número total de operaciones fue 5, la prima total por la venta de pisos
fue superior en 200 000 PTAS a la obtenida por alquileres y la prima total por venta
de pisos nuevos fue el triple que por alquileres.
(a) Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el número de
operaciones realizadas (en función del valor desconocido de la prima de alquiler).
(b) Indica una prima a la que es imposible que se hayan pagado los alquileres.
(c) Indica tres primas a las que es posible que se hayan pagado los alquileres.
(d) Si la prima de alquileres fue de 20 000 PTAS, ¿cuántas operaciones de cada
tipo se realizaron?.
2B
PAU Universidad de Oviedo Junio 2001 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
RESOLUCIÓN apartado a
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ "Número de ventas de un piso nuevo"
y ≡ "Número de ventas de un piso usado"
z ≡ "Número de alquileres"
DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS
m ≡ "Valor desconocido de la prima por un alquiler"
PLANTEAMIENTO:
x+y+z=5
120 000x + 60 000y = 200 000 + m·z
120 000x = 3·m·z
Colocamos términos semejantes en cada miembro, reducimos y obtenemos el siguiente sistema para obtener el
número de operaciones realizadas (en función del valor desconocido de la prima de alquiler)
x+y+z=5
120 000x + 60 000y – mz = 200 000
40 000x – m·z = 0
RESOLUCIÓN apartado b
Resolvemos el sistema por el método de Gauss:
(−120000)
(1)
1
1
5  (−40000)
 1


m
120000
60000
−
200000


 40000

m
(1)
0
−
0


Fijamos la 1ª fila y modificamos la 2ª y 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda y derecha,
respectivamente:
1
1
5
1



(−2)  0 − 60000 − m − 120000 − 400000 
(3)  0 − 40000 − m − 40000 − 200000 
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35
 Abel Martín
"Sistemas de ecuaciones"
Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la
izquierda
1
1
5
1



− m − 120000
− 400000 
 0 − 60000
0
0
2m + 240000 − 3m − 120000 200000 

Simplificamos la 3º fila:
1
1
5
1



 0 − 60000 − m − 120000 − 400000 
0
0
− m + 120000 200000 

Obtendremos una solución imposible cuando al estudiar la compatibilidad del sistema obtenemos
un sistema INCOMPATIBLE
(– m + 120 000) z = 200 000
Será incompatible cuando:
m = 120 000
– m + 120 000 = 0
Es imposible que se hayan pagado los alquileres con una prima de 120 000 PTAS.
RESOLUCIÓN apartado c
COMPROBACIÓN:
Para indicar tres primas a las que es posible que se hayan pagado los alquileres:
Basta observar la matriz del sistema resultante:
1
1
5
1



 0 − 60000 − m − 120000 − 400000 
0
0
− m + 120000 200000 

(– m + 120 000)z = 200 000
Hay que tener en cuenta que tanto x, y, z, m, atendiendo al contexto del problema, tienen que ser números
enteros positivos; comencemos, por tanteo, dándole valores a "z":
z=
200000
− m + 120000
Para z = 1
200000
→ – m + 120 000 = 200 000
− m + 120000
– m = 200 000 – 120 000
– m = 80 000 → m = – 80 000
(La prima por alquiler tiene que ser positiva y entera)
1=
NO VÁLIDA
Para z = 2
2=
200000
→ – 2m + 240 000 = 200 000
− m + 120000
– 2m = 200 000 – 240 000
– 2m = – 40 000 → m = 20 000
Para m = 20 000
¿VÁLIDA?
1
1
5
1



0
−
60000
−
140000
−
400000


0

0
100000
200000


100 000z = 200 000
z = 2
– 60 000y – 140 000z = – 400 000
– 60 000y – 280 000 = – 400 000
– 60 000y –= – 400 000 + 280 000
36
Matemáticas y TIC
Válida
Curso ON LINE
Tema 4
– 60 000y –= – 120 000
y = 2 Válida
x+y+z=5 → x=5–2–2
x = 1 Válida
Para z = 3
3=
200000
− m + 120000
→ – 3m + 360 000 = 200 000
– 3m = 200 000 – 360 000
– 3m = – 160 000
→ m = 160 000/3
NO VÁLIDA
(La prima por alquiler tiene que ser positiva y entera)
Para z = 4
4=
200000
− m + 120000
→ – 4m + 480 000 = 200 000
– 4m = 200 000 – 480 000
– 4m = – 280 000
→ m = 70 000
¿VÁLIDA?
Para m = 70 000
1
1
5
1



0
−
60000
−
190000
−
400000


0

0
50000
200000


50 000z = 200 000
z = 4
Válida
– 60 000y – 190 000z = – 400 000
– 60 000y – 760 000 = – 400 000
– 60 000y –= – 400 000 + 760 000
– 60 000y –= 360 000
y = – 6 No Válida
Sólo es válida para m = 20 000
RESOLUCIÓN apartado d
Este apartado ya ha sido resuelto en el anterior, obteniéndose como solución:
1 venta de un piso nuevo, 2 ventas de pisos usados y 2 alquileres.
RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORA GRÁFICA
Vamos a comprobar con la calculadora gráfica, sustituyendo "m" por diversos valores en el sistema del
enunciado:
m = 120 000
SOLV
F1
„
La calculadora gráfica no es capar de resolver sistemas incompatibles
m ≠ 120 000 , por ejemplo m = 20 000
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37
 Abel Martín
"Sistemas de ecuaciones"
SOLV
F1
„
La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Es un sistema compatible determinado.
m ≠ 120 000 , por ejemplo m = 70 000
SOLV
F1
„
La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Es un sistema compatible determinado, pero... con
soluciones negativas
m ≠ 120 000 , por ejemplo m = 40 000
SOLV
F1
„
La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Es un sistema compatible determinado, pero... con
soluciones fraccionarias
Como se puede observar, se confirman nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL.
007
En una farmacia se comercializan 3 tipos de champú de cierta marca: normal, con
vitaminas y anticaspa. Se sabe que el precio al que se vende el normal es de 2 euros y
el de vitaminas es de 3 euros. Se desconoce el precio al que vende el anticaspa. Por
otro lado, el dinero total obtenido por las ventas de los 3 tipos de champú el mes
pasado fue de 112 euros y el dinero obtenido en ventas con el champú normal fue 56
euros inferior al dinero total obtenido en ventas con el resto. Además, el dinero total
obtenido en ventas con el champú de vitaminas y el anticaspa fue el mismo que el que
hubiera obtenido vendiendo 28 unidades del anticaspa y ninguna de las demás.
(a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del precio desconocido del champú
anticaspa, que puedes llamar por ejemplo m) donde las incógnitas (x, y, z) sean las
unidades vendidas el mes pasado de cada tipo de champú.
(b) ¿Qué puedes concluir sobre el precio del champú anticaspa a partir de un
estudio de la compatibilidad del sistema?.
(c) Si se sabe que el número de unidades vendidas del anticaspa fue 20, utiliza el
resultado del apartado (b) para calcular las unidades vendidas de los otros 2.
PAU Universidad de Oviedo Junio 2002 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
RESOLUCIÓN apartado a
D
S
A
T
N
G
Ó
C
N
E
D
N
Ó
C
A
N
M
R
E
T
E
D
S
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NIIIT
GN
ÓG
CÓ
NC
E IIIN
DE
ND
ÓN
CIIIÓ
AC
NA
MIIIN
RM
ER
TE
ET
DE
x ≡ "Número de unidades vendidas el mes pasado de champú normal"
y ≡ "Número de unidades vendidas el mes pasado de champú con vitaminas"
z ≡ "Número de unidades vendidas el mes pasado de champú anticaspa"
D
S
O
R
T
E
M
Á
R
A
E
D
N
Ó
C
A
N
M
R
E
T
E
D
S
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TR
ET
ME
ÁM
RÁ
AR
E PPPA
DE
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ÓN
CIIIÓ
AC
NA
MIIIN
RM
ER
TE
ET
DE
m ≡ "Precio desconocido del champú anticaspa"
PPPLLLA
O
T
N
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M
A
E
T
N
A
O:::
TO
NT
EN
MIIIE
AM
EA
TE
NT
AN
2x + 3y + mz = 112
2x + 56 = 3y + mz
3y + mz = m·28
38
Matemáticas y TIC
2B
Curso ON LINE
Tema 4
Reducimos y obtenemos el siguiente sistema en función del precio desconocido del champú anticaspa
2x + 3y + mz = 112
2x - 3y - mz = - 56
3y + mz = 28m
RESOLUCIÓN apartado b
Observado el sistema, lo resolvemos por el método de reducción tomando las 2 primeras
ecuaciones:
1) 2 x + 3 y + mz = 112

1) 2 x − 3 y − mz = −56
→ 4x = 56 → x = 14
Se han vendido el mes pasado 14 unidades de champú normal.
Sustituimos este valor en el sistema:
28 + 3y + mz = 112
28 - 3y - mz = - 56
3y + mz = 28m
→
→
→
3y + mz = 84
- 3y - mz = - 84
3y + mz = 28m
Resolvemos por igualación de la 1ª y 3ª ecuaciones:
3y + mz = 3y + mz
28m = 84
m=3
El precio del champú anticaspa es de 3 euros.
m=3
3y + 3z = 84 → 3y = 84 - 3z
y = 28 - z
Se trata de un sistema compatible indeterminado, de solución generalizada:
(14, 28 - z, z)
RESOLUCIÓN apartado c
Para z = 20:
(14, 28 - z, z)
(14, 28 - 20, 20)
(14, 8, 20)
Si vendió 20 unidades de champú anticaspa, ese mismo mes habrá vendido 14 unidades de
champú normal y 8 con vitaminas.
008
En una granja se venden pollos, pavos y perdices; los pollos y los pavos, a razón de
2 y 1.5 €/Kg, respectivamente, aunque de las perdices no se acuerda (supongamos que
son "m" €/kg). En cierta semana los ingresos totales de la granja ascendieron a 5700
€. Además se sabe que la cantidad de pollo vendida superó en 100 Kg a la de pavo y
que se vendió de perdiz la mitad que la de pavo.
(a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de "m") para averiguar la cantidad
vendida de cada tipo de carne.
(b) Estudia la compatibilidad del sistema, en función de "m". ¿Puedes dar algún
precio al que sea imposible haber vendido las perdices?.
2B
RESOLUCIÓN apartado a
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39
 Abel Martín
"Sistemas de ecuaciones"
D
S
A
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N
G
Ó
C
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E
D
N
Ó
C
A
N
M
R
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T
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D
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GN
ÓG
CÓ
NC
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DE
ND
ÓN
CIIIÓ
AC
NA
MIIIN
RM
ER
TE
ET
DE
x ≡ "Cantidad de kg de pollo vendidos"
y ≡ "Cantidad de kg de pavo vendidos"
z ≡ "Cantidad de kg de perdiz vendidos"
D
S
O
R
T
E
M
Á
R
A
E
D
N
Ó
C
A
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M
R
E
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RÁ
AR
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DE
ND
ÓN
CIIIÓ
AC
NA
MIIIN
RM
ER
TE
ET
DE
m ≡ "Precio del kg de perdiz"
PPPLLLA
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E
M
A
E
T
N
A
O:::
TO
NT
EN
MIIIE
AM
EA
TE
NT
AN
2x + 1.5y + mz = 5700
→
2x + 1.5y + mz = 5700
x = y + 100
→
x – y = 100
2z = y
→
– y + 2z = 0
RESOLUCIÓN apartado b
Resolvemos el sistema por el método de Gauss
Colocamos las ecuaciones de forma que el parámetro quede lo
más abajo y a la derecha posible:
(−2)  1 − 1 0 100 


0 
 0 −1 2
(1)  2 1.5 m 5700 
Fijamos la 1ª y 2ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda:
 1 − 1 0 100 


(3.5)  0 − 1 2
0 
(1)  0 3.5 m 5500 
Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la
izquierda.
0
100 
 1 −1


2
0 
 0 −1
 0 0 7 + m 5500 


7+m=0 → m=-7
Procedamos a estudiar la compatibilidad del sistema:
(7 + m) z = 5500
m = - 7 ¸ 0z = 5500 ¸ SISTEMA INCOMPATIBLE.
para m = - 7 el precio sería imposible, pero como el precio no puede ser negativo, se dice que no
se puede dar un precio al que sea imposible haber vendido las perdices
m ≠ - 7 ¸ SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.
ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
De lo que se deduce que cualquier precio es posible haber vendido las perdices.
40
Matemáticas y TIC