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Curso l Física I
Autor l Lorenzo Iparraguirre
ANEXO 5.1:
Demostración del Teorema del Trabajo y Energía Cinética
Vamos a destinar cierto esfuerzo a demostrar este teorema porque debe quedar claro que si
bien no agrega nada a las leyes de la Dinámica, ya que como se verá se deduce directamente
de ellas, resulta muy útil en la práctica para resolver con más facilidad muchas situaciones de
mecánica, así como también para tomarlo como base para muchos razonamientos sobre temas
de energía en general.
Consideremos el movimiento desde un punto A hasta otro B, de una partícula puntual de masa

m sobre la que actúa un sistema de fuerzas del cual FR es la fuerza resultante.

El trabajo de FR en el intervalo considerado es
B
WAB =

F
R

 r cos 
A
Vamos a escribir sumatoria en vez de integral para que las ideas sean más simples. Para pensar en términos de sumatoria lo ideal es imaginar el intervalo AB subdividido en pequeños
intervalitos cada uno designado con un índice (i), como se muestra en la figura A5.1.1.
FR,i
B
tB
i
vi
ri
ti+1
ti
A
tA
Fig. A5.1.1: Elementos a tener en cuenta para el cálculo del trabajo de la fuerza resultante sobre una partícula a lo largo del trayecto AB.
 
Ahora bien, lo que se desplaza la partícula en ti es ri  vi t i . Sustituyendo esto y escribiendo en términos de sumatoria la expresión para el trabajo de la resultante es:




WAB =  FR ,i vi t i cos i =  FR ,i t i vi cos i
Aquí haremos ntervenir las Leyes de la Dinámica. Según la Ley del Impulso, para cualquier


intervalo tenemos FR t  m v , con lo cual
 
WAB =  m vi vi cos i
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
Ahora bien, en cada intervalo i, i es el ángulo entre v i (que es la dirección tangencial) y



vi (que es la dirección de la fuerza), de manera que vi cos i es la proyección de v sobre

la dirección de v i (figura A5.1.2).
Fi
O
vi+1
vi
i

i
vi
vi
L M
N
K



Fig. A5.1.2. Resta vectorial de dos velocidades consecutivas: vi  vi 1  vi
Vemos en la figura A5.1.2:

KL es el vector v i , que es la velocidad en el intervalo i

KO es el vector vi 1 , que es la velocidad en el intervalo siguiente, después de transcurrir ti
 

LO es el vector vi  vi 1  vi (resta vectorial)

Proyectando O perpendicularmente sobre la dirección de v i tenemos el punto M, de manera


que LM es la proyección de vi sobre la dirección de v i , lo que significa:

LM = vi cos i
Trazando con el compás un arco de circunferencia desde O, con centro en K, determinamos el

punto N tal que KN mide lo mismo que KO, es decir indica el módulo de vi 1 . Esto significa
que LN mide lo mismo que la diferencia de los módulos vi = vi+1 – vi (ojo: resta de módulos).

Ahora bien, a medida que el intervalo t se hace suficientemente pequeño, así se harán vi y
el ángulo  proporcionalmente pequeños, y podremos ver que el punto N va a tender a coincidir con el M: la distancia entre M y N va a ser cada vez más pequeña comparada con la distancia LM .
Para justificar con un poco más esta afirmación, en la próxima figura se muestra, para la mis

ma v i y la misma Fi (aplicada con el mismo i), los puntos M y N para un cierto intervalo t,
y los M’ y N’ que corresponderían para un intervalo t’ menor. Se ve claramente cómo al

acortarse vi por achicarse el intervalo de tiempo, se achica el ángulo i y se achican los segmentos LM y LN, pero M y N se aproximan mucho más que lo que se achican estos intervalos.
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O
Fi
vi+1
vi
vi+1’
i
vi’
’

vi
L
M’ N’
M
N
K
Fig. A5.1.3: Ilustración de cómo se modifican las relaciones mostradas en la figura
A5.1.2, cuando se considera un intervalo de tiempo t’ < t.
Esto significa que para intervalos suficientemente pequeños será válido escribir:
LM  LN
Lo cual equivale a decir:

vi  vi cos i
Con esto el trabajo puede escribirse simplemente:
WAB =
 m v v
i
i
En donde vi vi es el producto del módulo de la velocidad por lo que varía dicho módulo, en
cada intervalo pequeño en los que se ha subdividido el trayecto AB.
Ahora bien, aplicando los métodos del cálculo de integrales esto se resolvería inmediatamente, pero aquí tratamos de hacer el cálculo sin conocer esos métodos.
Y para ello recurriremos nuevamente al truco del área (figura A5.1.4).

Graduamos un eje con los valores de vi (módulo de v i ), mostrando todas las subdivisiones vi
desde vA hasta vB.
Luego decimos, para cada intervalito tenemos que multiplicar su longitud vi por el valor de
vi que le corresponde. Si dibujamos vi para arriba con la misma escala sobre cada intervalito
tendremos un rectángulo de base vi . y altura vi (sombreado en la figura), cuya área será el
producto vi vi .
La suma de todos los productos vi vi será la suma de todas las áreas de todos estos rectangulitos, que es el área del trapecio ABCD.
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C
vB
vi
D
A
0
vA
vA
B
vi
eje v
vB
Fig. A5.1.4.
Pero el trapecio ABCD se forma quitando el triángulo 0AD (que tiene base y altura iguales de
longitud vA), del triángulo 0BC (ídem de longitud vB ).
De manera que:
Área(OAD) = ½ vA2
Área(OBC) = ½ vB2
Área(ABCD) = ½ vB2  ½ vA2
Finalmente con esto se puede expresar el trabajo de la fuerza resultante como:
WAB = ½ m vB2  ½ m vA2
Y queda completa la demostración, definiendo:
Ec = ½ m v2
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