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Complejo Educativo Mas Camarena
UNIDAD 2
POLINOMIOS
EXPERTOS 2
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2.4-División Euclídea y Regla de Ruffini. Teorema del Resto.
*División Euclídea
La división Euclídea es una división normal (“la de la caja”) entre polinomios .El procedimiento empieza
buscando un monomio que multiplicado al monomio de mayor grado del divisor se aproxime al monomio de
mayor grado del dividendo (si no lo encontramos simplemente se divide el monomio de mayor grado del
dividendo entre el monomio de mayor grado del divisor). Una vez hallado multiplico ese monomio por todo el
divisor y coloco el resultado cambiado de signo debajo del dividendo. Realizo la suma de monomios y continúo
el procedimiento bajando los monomios que no han sido sumados. Continúo el proceso hasta que el resto
tenga menor grado que el divisor.
¡OJO! Si es necesario el dividendo se completará dejando huecos para que nos sea más fácil seguir el
proceso.
(
)(
)
EJEMPLO: 6 x + 5 x − 7 x + 3 x + 2 : 2 x + 3 x − 1
4
3
2
2
2
Paso 1: Busco qué monomio multiplicado por 2x se acerque a 6x4 Æ es 3x2
Paso 2: Multiplico el divisor por 3x2 y coloco el resultado cambiado de signo debajo del dividendo y
realizo la suma, bajo también los monomios que no han sido usados.
+ 3x
2x 2 + 3x − 1
+2
6x 4
+ 5x 3
− 7x 2
− 6x 4
/
3x 2
− 9x 3
− 4x 3
+ 3x 2
− 4x 2
+ 5x 3
− 9x 3
− 4x 3
4x 3
− 7x 2
+ 3x 2
− 4x 2
+ 6x 2
2x 2
+ 3x
− 7x 2
+ 3x 2
− 4x 2
+ 6x 2
2x 2
− 2x 2
+ 3x
+2
+ 3x
− 2x
+x
− 3x
− 2x
+2
+ 3x
+2
Paso 3: Busco un monomio que al multiplicarlo por 2x obtenga -4x3Æes -2x
Paso 4: Multiplico el divisor por 3x2 y coloco el resultado cambiado de signo debajo del dividendo y
realizo la suma, bajo también los monomios que no han sido usados.
6x 4
− 6x 4
/
/
2
+2
2 x 2 + 3x − 1
3x 2 − 2x
+ 3x
− 2x
+x
+2
+2
Paso 5: Busco un monomio que al multiplicarlo por 2x obtenga 2x2Æes 1
Paso 6: Multiplico el divisor por 3x2 y coloco el resultado cambiado de signo debajo del dividendo y
realizo la suma, bajo también los monomios que no han sido usados.
6x 4
− 6x 4
/
+ 5x 3
− 9x 3
− 4x 3
4x 3
/
2
2 x 2 + 3x − 1
3x 2 − 2 x + 1
+2
+1
+3
/
Paso 7 : La división se acaba porque el resto tiene grado menor que el dividendo
Por tanto C(x)= 3x 2 − 2x + 1 Y R(x)=-2x+3
Luisa Cuadrado
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*Regla de Ruffini:
Es una regla que simplifica las divisiones únicamente cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la
forma x-a (siendo a positivo o negativo).
Empezamos colocando los coeficientes del divisor completos y ordenados en una fila (si es necesario se
colocarán ceros), a la izquierda de esta línea se coloca una línea perpendicular y debajo otra paralela en la
intersección de ambas se coloca el término independiente del divisor cambiado de signo El primer término se
baja como está y se multiplica por el término independiente colocando el resultado debajo del segundo
coeficiente. Después se SUMAN ambos, colocando el resultado en la fila inferior. Continúo el procedimiento
hasta el último coeficiente. El resto sería el último resultado obtenido y para hallar el cociente basta con
añadirle a los coeficientes ordenados obtenidos, los monomios de un grado menor que el dividendo
(
)
EJEMPLO: 5 x − 2 x + 1 : ( x − 2 )
4
Paso 1: Coloco y bajo el primer término como está.
5
0
0
-2
1
↓
2
5
Paso 2: Multiplico el término independiente por el coeficiente que he bajado y lo coloco debajo del
segundo coeficiente, SUMANDO ambos.
Paso 3: Multiplico el término independiente por el coeficiente que he obtenido al hacer la suma y lo
coloco debajo del siguiente coeficiente, SUMANDO ambos.
Paso 4: Multiplico el término independiente por el coeficiente que he obtenido al hacer la suma y lo
coloco debajo del siguiente coeficiente, SUMANDO ambos. Hasta llegar al último coeficiente.
5
2
5
0
0
-2
1
10
20
40
76
10
20
38
77
Paso 5: El resto sería el último resultado obtenido y para hallar el cociente basta con añadirle a los
coeficientes ordenados obtenidos, los monomios de un grado menor que el dividendo. Esto es:
R (x ) = 77
C (x ) = 5x 3 + 10x 2 + 20x + 38
Departamento de Ciencias
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*Teorema del Resto
El teorema del Resto dice:”El resto de dividir un polinomio
polinomio
P(x) para x = a ; es decir, R = P (a )
P(x) por ( x − a ) es igual al valor numérico del
P (x ) x − a
P (a ) C (x )
Lo demostramos:
Por la demostración de la división euclídea tenemos que
P(x)=(x-a)C(x)+R
y si calculo el valor numérico del polinomio en x=a
P(a)=(a-a)C(a)+R Æ P(a)=R
Permite obtener el resto de una división sin necesidad de hacer la división.
Nota: Un polinomio es divisible entre otro si el resto de hacer la división entre ambos da cero.
EJEMPLOS:
1.
¿Cuál es el resto de la división ( 2 x − 3 x − 5 x − 5) : ( x − 2) ?
3
2
P( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 5 x − 5
( x − a) = ( x − 2) → a = 2
P (2) = 2( 2)3 − 3( 2) 2 − 5( 2) − 5 = 2(8) − 3(4) − 10 − 5 = −11
2. ¿Cuál es el resto de la división ( 2 x − 3 x − 5 x − 5) : ( x + 2) ?
3
2
P( x) = 2 x3 − 3x 2 − 5 x − 5
( x − a) = ( x + 2) = ( x − (−2)) → a = −2
P ( −2) = 2( −2)3 − 3( −2) 2 − 5( −2) − 5 = 2( −8) − 3( 4) + 10 − 5 = −16 − 12 + 10 − 5 = −23
3. Utilizando el teorema del resto, halla el valor de m en los polinomios siguientes sabiendo que:
x 4 + mx3 − x 2 − 2 x es divisible por x − 1
1 + m −1 − 2 = 0 → m − 2 = 0 → m = 2
3
2
b) x − mx − 4 x + 4 es divisible por x + 2
4
8 − 4m − 8 + 4 = 0 → m = = 1 → m = 1
4
a)
Departamento de Ciencias
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