3. Problemas resueltos Matrices, sistemas de ecuaciones y

MATRICES.
¿Cómo deben ser las matrices rectangulares M y N para que puedan efectuarse las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo.
Si el orden de la matriz M es (m,n) y el de la matriz N es (p,q).
Para poder multiplicar M:N , el numero de columnas de M debe ser igual al número
de filas de N, es decir n = p.
De igual forma, para poder multiplicar N·M, el numero de columnas de N debe ser
igual al de filas de M, es decir q = m
Por tanto, para poder multiplicar la M·N y la N·M a la vez, deberá verificarse que el
orden de M sea (m,n) y el orden de N sea (n,m) respectivamente.
Dada la matriz A, ¿existe una matriz B, tal que el producto A.B, o
bien el B.A, sea una matriz de una sola fila?.
𝟑
𝐏𝐨𝐧𝐞𝐫 𝐮𝐧 𝐞𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝐜𝐨𝐧 𝐀 = (𝟐
𝟏
𝟏
𝟎
𝟐
𝟒
𝟏
−𝟏
−𝟏
𝟑)
𝟑
Siendo B de dimensiones (p,q) y A de dimensiones (3,4)
Si multiplicamos A·B será necesario que el nº de filas de B sea igual al nº de
columnas de A, es decir que p = 4
Esto nos indica que no existe ninguna matriz B de una sola fila.
Si multiplicamos B·A será necesario que el nº de columnas de B sea igual al nº de
filas de A, es decir que q = 3 y para que el resultado de B·A tenga una sola fila, será
necesario que la matriz B posea una sola fila, es decir p = 1
En este caso la matriz B tendrá de dimensiones (1,3)
Si tomamos B = (1 0 0) y multiplicamos B·A nos queda:
3 1
(
)
𝐵 · 𝐴 = 1 0 0 · (2 0
1 2
4 −1
1
3 ) = (3 1 4 − 1 )
−1 3
1
𝟎
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐀 = (
𝟏
0 1
0 1
At · A = (1 0) · (
1 0
0 1
0 1
1 0
𝐴 · 𝐴𝑡 = (
𝟏 𝟎
) 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚 𝐀𝐭 · 𝐀 𝐲 𝐀 · 𝐀𝐭
𝟎 𝟏
1
0
) = (0
1
1
0 1
1 0)
0 1
0 1
0
1 0
) · (1 0) = (
)
1
0 2
0 1
𝟎 𝟏 𝟐
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐀 = (𝟎 𝟎 𝟑) 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚 𝐥𝐚𝐬 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐀𝟐 , 𝐀𝟑 , 𝐀𝟒
𝟎 𝟎 𝟎
𝟓
𝐲 𝐀 . Obtén razonadamente la matriz An para n > 5 .
0 1
𝑨 = (0 0
0 0
2
0 1 2
0 0
3) · (0 0 3) = (0 0
0
0 0 0
0 0
3
0)
0
0 0
𝑨𝟑 = (0 0
0 0
3
0 1 2
0 0
0) · (0 0 3) = (0 0
0
0 0 0
0 0
0
0) = O
0
𝟐
A4 = A3 · A = O · A = O
A5 = A4 · A = O · A = O
Como consecuencia An = O · A = O
Dada una matriz P 2x2 , a)¿existe una matriz Q tal que el producto
P·Q, o bien el producto Q·P sea una matriz de una sola fila?.
b) Calcular la matriz M = P2 – 3P – 2I, siendo I la matriz identidad
−𝟏 𝟑
de orden 2 y 𝑷 = (
)
𝟐 𝟏
a) P2x2 · Qnxm = B1xm Nunca ya que si el resultado tiene una fila, el multiplicando
tambien y aquí P tiene 2 filas
Qn x m · P2x2 = B1 x m Si, siempre que m = 2 y n = 1 ya que asi, si m = 2, el nº de
columnas de la multiplicando coincidira con el nº de filas de la multiplicadora y con el
nº de columnas del resultado.
Ademas, si n =1 , el nº de filas de la multiplicando coincide con el nº de filas del
resultado.
𝑏) 𝑀 = (
1 0
−1 3
−1 3
−1 3
)·(
)−3·(
)−2·(
)=
0 1
2 1
2 1
2 1
7 0
−3 9
2 0
8 −9
=(
)−(
)−(
)= (
)
0 7
6 3
0 2
−6 2
𝟏 −𝟐
−𝟐 𝟑
−𝟏
𝑫𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒍𝒂𝒔 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆𝒔 𝑨 = (
) ,𝑩 = (
) ,𝑪 = (
𝟑 −𝟒
𝟏 𝟐
𝟒
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒂) (𝑨 − 𝟐𝑩) · 𝑪𝒕 , 𝒃) 𝑫𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 {
−𝟑
).
𝟏
𝟐𝑿 − 𝟑𝒀 = 𝑨
𝑿+𝒀=𝑩
𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂𝒔 m𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆𝒔 𝑿 𝒆 𝒀
1
a) (𝐴 − 2𝐵) · 𝐶 𝑡 = [(
3
19 12
(
)
23 −4
−2
−1 4
−4 6
5
)−(
)] · (
)= (
−4
−3 1
2 4
1
2𝑋 − 3𝑌 = 𝐴
2𝑋 − 3𝑌 = 𝐴
b) {
=> {
𝑋+𝑌 =𝐵
−2𝑋 − 2𝑌 = −2𝐵
1
𝑌 = −5 · (
−1
−8
)·(
−3
−8
4
)=
1
+ −5𝑌 = 𝐴 − 2𝐵 =>
5 −8
)
1 −8
2𝑋 − 3𝑌 = 𝐴
{
= + =>
3𝑋 + 3𝑌 = 3𝐵
X=
1
5𝑋 = 𝐴 + 3𝐵 => 𝑋 = 5 · (𝐴 + 3𝐵)
1
1
· [(
3
5
1 −5 7
−2
−6 9
)+(
)] = · (
)
−4
3 6
6 2
5
3
𝐱
𝟏 𝟐 𝟑
𝟕
𝐃𝐚𝐝𝐚𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐀 = (𝟑 𝟐 𝟏) , 𝐁 = (𝟗) 𝐲 𝐗 = (𝐲)
𝐳
𝟒
𝟏 𝟏 𝟏
𝐞𝐬𝐜𝐫𝐢𝐛𝐚 𝐥𝐚𝐬 𝐭𝐫𝐞𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐀 · 𝐗 = 𝐁 𝐲 𝐫𝐞𝐬𝐮é𝐥𝐯𝐞𝐥𝐨
𝐞𝐧𝐜𝐨𝐧𝐭𝐫𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐭𝐨𝐝𝐚𝐬 𝐬𝐮𝐬 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬.
1 2
(3 2
1 1
x
3
7
y
1) · ( ) = (9)
z
1
4
1 2
3
𝑟𝑎𝑔 (0 −4 −8
0 −1 −2
1 2
𝑟𝑎𝑔 (0 1
0 0
3
2
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
1 2
𝑟𝑎𝑔 (3 2
1 1
3
1
1
⋮
⋮
⋮
7 𝑓2 − 3𝑓1
9) ====
4 𝑓3 − 𝑓1
7
1 2
3
−12) = 𝑟𝑎𝑔 (0 1
2
−3
0 −1 −2
7
𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
3) => {
𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 2
0
⋮
⋮
⋮
7
3 )=
−3
rag C = rag A < nº incognitas => sistema
compatible indeterminado => ∃ ∞ 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 => {
x + 2y + 3z = 7
y + 2z = 3
0z = 0
y = 3 – 2z
x = 1 + λ
x + 2·(3 – 2z) + 3z = 7  x + 6 – 4z + 3z = 7  x = 1 + z { y = 3 − 2λ ∀𝝀 ∈ 𝑹
z = λ
𝐱 𝐲
𝟐 −𝟑
−𝟒
𝐄𝐧𝐜𝐨𝐧𝐭𝐫𝐚𝐫 𝐱, 𝐲 , 𝐮 𝐲 𝐯 𝐪𝐮𝐞 𝐯𝐞𝐫𝐢𝐟𝐢𝐜𝐚𝐧: (
)·(
)=(
𝐮 𝐯
𝟏 𝟎
𝟏
2𝑥 − 3𝑢
(
𝑥
=> {
𝟎
)
𝟑
2x – 3u = −4
x = 1
2𝑦 − 3𝑣
−4 0
2 − 3𝑢 = −4
)=(
) => {
=> {
=>
2y – 3v = 0
𝑦
1 3
6 − 3𝑣 = 0
y = 3
3𝑢 = 6
𝑢=2
=> {
3𝑣 = 6
𝑣=2
La matriz resultante es
1 3
(
)
2 2
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐭𝐨𝐝𝐚𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐬𝐢𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧, 𝐪𝐮𝐞
𝐯𝐞𝐫𝐢𝐟𝐢𝐪𝐮𝐞𝐧 𝐪𝐮𝐞 𝐀𝟐 = 𝐈, 𝐬𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐈 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐮𝐧𝐢𝐝𝐚𝐝.
Toda matriz A , simetrica de segundo orden, debe ser de la forma A = (
a
c
𝑨𝟐 = (
c
a
)·(
b
c
2
2
c
ac + cb) = (1
) = (a + c
b
0
ac + cb c 2 + b2
a
c
c
)
b
0
)
1
a2 + c 2 = 1
c = 0
{ac + cb = 0 => c. (a + b) = 0 => {
a
+
b = 0
c 2 + b2 = 1
Si c = 0 ==> a2 = 1 ==> a = ± 1 y b = ± 1
Si a + b = 0 ==> a = ±√1 − c 2 𝑦 𝑏 = ± √1 − c 2
Con todas estas soluciones, las posibles matrices simétricas de segundo orden, serán
de la forma:
(
2
1 0
−1 0
−1 0
1 0
), (
), (
), (
) , (√1 − c
0 −1
0 1
0 −1
1 1
𝑐
2
𝑦 (−√1 − c
𝑐
𝑐
)
√1 − c 2
𝑐
)
−√1 − c 2
Estas dos últimas ∀ c  1
5
𝐚
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐭𝐨𝐝𝐚𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐗 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚 (𝟎
𝟎
𝟏 𝟎 𝟏
𝑿𝟐 = ( 𝟎 𝒃 𝟏)
𝟎 𝟎 𝒄
a
𝑋 = 𝑋 · 𝑋 = (0
0
2
𝑎2
(0
0
Si
Si
Si
Si
1 0
a
)
·
(
b 1
0
0 c
0
𝑎+𝑏
𝑏2
0
1 0
𝑎2
b 1) = ( 0
0 c
0
1
1
𝑏 + 𝑐 ) = (0
0
𝑐
𝑎+𝑏
𝑏2
0
𝟏 𝟎
𝐛 𝟏) 𝐭𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐪𝐮𝐞
𝟎 𝐜
1
𝑏 + 𝑐)
𝑐
1 = 𝑎2
0 1
𝑎 = ±1
0
=
𝑎
+
𝑏
=> { 𝑏 = 0
b 1) => { 2
𝑏 =𝑏
0 c
𝑏=1
1=𝑏+𝑐
a = 1 y b = 0  0 = 1 + 0 No vale
a = 1 y b = 1  0 = 1 + 1 No vale
a = -1 y b = 0  0 = -1 + 0 No vale
a = -1 y b = 1  0 = - 1 + 1 Si vale y la c = 1 – b = 1 – 1  c = 0
−1 1 0
La única matriz valida es 𝐴 = ( 0 1 1)
0 0 0
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐗 𝟐 + 𝐘 𝐬𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐗 𝐞 𝐘 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐯𝐞𝐫𝐢𝐟𝐢𝐜𝐚𝐧 ∶
𝟐
𝟎
𝟓𝐗 + 𝟑𝐘 = (
)
−𝟒
𝟏𝟓
{
𝟏 −𝟏
𝟑𝐗 + 𝟐𝐘 = (
)
−𝟐 𝟗
15 X + 9 Y = 3 A
5X + 3Y = A
{
=> {
=> − Y = 3A – 5B
− 15 X – 10 Y = − 5 B
3X + 2Y = B
 Y = −3 A + 5 B => Y = −3 · (
2
−4
0
1 −1
−1 −5
)+5·(
)= (
)
15
−2 9
2
0
10 X + 6 Y = 2 A
5X + 3Y = A
{
=> {
=> X = 2A – 3B
−9X– 6Y = −3B
3X + 2Y = B
2
−4
0
1 −1
1 3
)−3·(
)= (
)
15
−2 9
−2 3
X=2·(
1 3
1
)·(
−2 3
−2
𝑋2 + 𝑌 = (
3
−6 7
−1 −5
−5 12
−1 −5
)+(
)=(
)+(
)=(
)
3
−6 3
2
0
−8 3
2
0
Obtén las matrices A y B que verifican el sistema:
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐𝐀 + 𝐁 = (
)
−𝟐
𝟏
𝟎
{
−𝟒 −𝟑 −𝟐
𝐀 – 𝟑𝐁 = (
)
−𝟏 𝟎 −𝟏
{
2A + B = X
1
2A + B = X
=> {
=> 7B = X – 2Y  B = 7 · ( X – 2Y)
A – 3B = Y
− 2A + 6B = − 2Y
{
2A + B = X
6A + 3B = 3X
1
=> {
=> 7A = 3X + Y  A = 7 · ( 3X + Y)
A – 3B = Y
A – 3B = Y
1
1 2 2
−𝟖 −𝟔
)− (
−2 1 0
−𝟐 𝟎
𝐵 = 7 · [(
𝐴=
1
−𝟒
10
)] = 7 · (
−𝟐
0
8 6
)
1 2
1
1 −1 3 4
3 6 6
−4 −3 −2
· [(
)+ (
)] = · (
)
−6 3 0
−1 0 −1
7
7 −7 3 −1
𝐒𝐞𝐚 𝐀 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐬𝐨𝐥𝐚 𝐟𝐢𝐥𝐚 (𝟐
𝟏 𝟓) 𝐲 𝐬𝐞𝐚 𝐁 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐝𝐞
𝟑
𝐮𝐧𝐚 𝐬𝐨𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐥𝐮𝐦𝐧𝐚 (𝟐) . ¿ 𝐒𝐞 𝐩𝐮𝐞𝐝𝐞𝐧 𝐦𝐮𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐫 𝐀. 𝐁 𝐲 𝐁. 𝐀?.
𝟒
¿ 𝐄𝐬 𝐀. 𝐁 = 𝐁. 𝐀?
𝐴1𝑥3 𝑦 𝐵3𝑥1 luego es multiplicable.
𝐴 · 𝐵 = (2 1
3
5) · (2) = 2 · 3 + 1 · 2 + 5 · 4 = 28
4
𝐵3𝑥1 𝑦 𝐴1𝑥3 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
3
𝐵 · 𝐴 = (2) · (2 1
4
6 3
5) = (4 2
8 4
Se puede comprobar que
15
10)
20
A·B  B·A
7
𝟏𝟎 𝟐
𝐒𝐞𝐚 𝐀 = (
) . 𝐄𝐧𝐜𝐮𝐞𝐧𝐭𝐫𝐚 𝐮𝐧𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐝𝐚 𝐭𝐫𝐢𝐚𝐧𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫
𝟐 𝟒
𝐁 𝐭𝐚𝐥 𝐪𝐮𝐞 𝐁 · 𝐁 𝐭 = 𝐀. ¿ 𝐄𝐬 ú𝐧𝐢𝐜𝐚 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐁?.
𝑎
0
𝑏
) una matriz triangular de dimension 2x2. Su traspuestas sera
𝑐
𝑆𝑒𝑎 𝐵 = (
a
b
Bt = (
0
a
) . Como B · Bt = A => (
c
0
a
b
)·(
b
c
0
10 2
)= (
)
c
2 4
𝑎2 + 𝑏 2 = 10
{ 𝑏·𝑐 =2
=> 𝑐 = ±2 ;
2
𝑐 =4
2
2
𝑆𝑖 𝑐 = 2 ; 𝑏 = 𝑐 = 2 => 𝑏 = 1 ; 𝑎2 + 12 = 10 => 𝑎2 = 9 => 𝑎 = ±3
𝑆𝑖 𝑐 = −2 ; 𝑏 =
2
2
=
=> 𝑏 = −1 ; 𝑎2 + (−1)2 = 10 => 𝑎2 = 9 => 𝑎 = ±3
𝑐 −2
3 1
−3 1
3 −1
−3 −1
Hay 4 soluciones diferentes (
);(
);(
);(
)
0 2
0 2
0 −2
0 −2
𝟏
𝐒𝐞𝐚 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐀 = (
𝟎
𝟏
) . 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐥𝐞𝐲 𝐝𝐞 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐚𝐬
𝟐
𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚𝐬 𝐬𝐮𝐜𝐞𝐬𝐢𝐯𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐀, 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐀𝐧 𝐲 𝐝𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐫𝐥𝐨 𝐩𝐨𝐫 𝐢𝐧𝐝𝐮𝐜𝐜𝐢ó𝐧.
A2 = A · A = (
1 1
1 1
1 3
)·(
)=(
) = (1
0 2
0 2
0 4
0
𝐴3 = 𝐴2 · 𝐴 = (
𝐴𝑛 = (
1
0
1 2n − 1
)
0
2n
3
3
1 1
1 7
1)
)·(
)= (
) = (1 2 −
2
0 2
0 8
0
23
Comprobacion n = 4 ; 𝐴4 = (1
0
1 7
1 1
1 15
)·(
)=(
)
0 8
0 2
0 16
A4 = A3 · A = (
22 − 1)
22
24 − 1)
24
−𝟏
𝐒𝐞𝐚𝐧 𝐥𝐚𝐬 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐀 = (
𝟐
𝟑
𝟏
) 𝐲𝐁=(
𝟒
−𝟑
−𝟓
) 𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚:
𝟏
𝟑𝐀 + 𝐁 ; 𝐀𝐭 ; 𝟐𝐀 − 𝟑𝐁 ; 𝐀 · 𝐁 ; (𝐀 · 𝐁)𝐭 ; 𝐀𝐭 · 𝐁 𝐭 .
−1
2
3A + B = 3 · (
−3 + 1 9 − 5
−2 4
3
1 −5
)+(
)=(
)=(
)
3 13
4
6 − 3 12 + 1
−3 1
−1 2
)
3 4
𝐴𝑡 = (
−2 6
3 −15
−5 21
2A – 3B = (
)−(
)=(
)
4 8
−9
3
13 5
−10
−1 3
1 −5
)·(
)=(
−10
2 4
−3 1
𝐴·𝐵 = (
8
)
−6
(𝐴 · 𝐵)𝑡 = (−10 −10)
8
−6
−1 2
1 −3
−11
)·(
)=(
3 4
−5 1
−17
At · Bt = (
5
)
−5
9
𝟏 −𝟐
𝐒𝐞𝐚𝐧 𝐥𝐚𝐬 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐀 = ( 𝟎
𝟏
−𝟏 𝟑
𝐱
−𝐱
𝟏
𝟎) , 𝐗 = ( 𝐲 ) 𝐞 𝐘 = ( 𝟐 )
𝐳
−𝟐
𝟎
𝐚) 𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐞 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚 𝐝𝐞 𝐀. 𝐛) 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐱, 𝐲, 𝐳
𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐜𝐮𝐦𝐩𝐥𝐞 𝐀 ∙ 𝐗 = 𝐘.
(PAU JUNIO 2007)
1 −2 1
𝑎) |𝐴| = | 0
1 0| = −(−1) = 1 => 𝐴−1 =
−1 3 0
0 0 1
0 0
𝛼 = (−3 1 1) ; 𝐴𝑑 = ( 3 1
−1 0 1
−1 0
𝑡
(𝐴𝑑 )
|𝐴|
1
0 3 −1
−1) ; (𝐴𝑑 )𝑡 = (0 1
0);
1
1 −1 1
0 3 −1
𝐴−1 = (0 1
0)
1 −1 1
𝑥
−𝑥
1 −2 1
𝑏) Planteamos la ecuación matricial: ( 0
1 0) · ( 𝑦 ) = ( 2 ) =>
𝑧
−2
−1 3 0
x – 2y − 2 = − x
x = 3
2x = 6
{
=> {x – 4 – 2 = − x => {
=> {
y = 2
z = 6– x
x + z = 6
−x + 6 = z
− x + 3y = z
=> 𝑧 = 6 − 3 = 3 ;
La solución es x = 3, y = 2 y z = 3.
𝒂−𝟐
𝟐
−𝟏
𝒂
𝟐 );
Se consideran las matrices 𝑨 = ( 𝟐
𝟐𝒂
𝟐 · (𝒂 + 𝟏) 𝒂 + 𝟏
𝒙
𝟎
𝑿 = (𝒚) 𝒚 𝑶 = (𝟎) . 𝒂) 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒐𝒔
𝒛
𝟎
𝒄𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝑨−𝟏 . 𝒃) 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒂 = −𝟏 , 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝑨−𝟏 .
𝒄) 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒂 = 𝟎, 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍
𝑨 · 𝑿 = 𝑶 . 𝒅) 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒂 = −𝟏 , 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆𝒔𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
𝟏 −𝟏 𝟐
𝑨 · 𝑿 − 𝑩 = 𝑰 , 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑩 = (𝟎 𝟏 𝟏)
𝟏 −𝟏 𝟐
a−2
2
a) | 2
a
2a
2a + 2
−1
2 | = a · (a − 2) · (a + 1) + 8a − 2 · (2a + 2) + 2a2
a+1
−4 · (a + 1) − 2 · (a − 2) · (2a + 2) = a3 − a2 − 2a + 8a − 4a − 4 + 2a2 − 4a
−4 − 4a2 + 4a + 8 = a3 − 3a2 + 2a
|C| = 0 => a3 − 3a2 + 2a = 0 => 𝑎 · (a2 − 3a + 2) = 0
=> {
a=0
a=2
a − 3a + 2 = 0 => {
a=1
2
∀a ≠ 0,1,2 ∄ A−1
−3 2 −1
b) Para a = −1 => 𝐴 = ( 2 −1 2 ) => |A| = −8 + 2 = −6
−2 0
0
0 4 −2
α = (0 −2 4 )
3 −4 −1
0 −4 −2
0
0
3
t
Ad = (0 −2 −4) (Ad ) = (−4 −2 4 )
3 4 −1
−2 −4 −1
0
0
3
1
A−1 = − · (−4 −2 4 )
6
−2 −4 −1
−2 2 −1
−2 2
c) Para a = 0 => A = ( 2 0 2 ) . A · X = O => ( 2 0
0 2 1
0 2
{
x
−1
0
2 ) . (y) = (0)
z
1
0
−2x + 2y − z = 0
−2 2 −1
−2 2 −1
−2 2 −1
f + f1
f − f1
2x + 2z = 0
𝑟𝑎𝑔 ( 2 0 2 ) 2
rag ( 0 2 1 ) 3
rag ( 0 2 1 )
=
=
2y + z = 0
0 2 1
0 2 1
0 0 0
11
{
−2x + 2y − z = 0
=> 𝑧 = −2𝑦 ; −2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑦 = 0 => 𝑥 = 2𝑦 =>
2y + z = 0
𝑥 = 2𝜆
{ 𝑦 = 𝜆 ∀𝜆 ∈ 𝑅
𝑧 = −2𝜆
𝑑) 𝐴𝑋 − 𝐵 = 𝐼 ; 𝐴𝑋 = 𝐼 + 𝐵 ; 𝐴 · 𝑋 = 𝐶 ; 𝐴−1 · 𝐴 · 𝑋 = 𝐴−1 · 𝐶 => 𝑋 = 𝐴−1 · 𝐶
0
0
3
2
1
𝑋 = − · (−4 −2 4 ) · (0
6
−2 −4 −1
1
−1 2
3 −3
9
1
2 1) = − · (−4 −4
2 )
6
−1 3
−5 −5 −11
𝟐 𝟏 −𝒂
Dada la matriz: 𝑴 = (𝟐𝒂 𝟏 −𝟏)
𝟐 𝒂 𝟏
a) Determinar el rango de M según los valores del parametro a
b) Determinar para que valores de a existe la matriz inversa de M.
Calcular dicha matriz inversa de a=2
2
|𝑀| = |2𝑎
2
1
1
𝑎
2
𝑟𝑔𝑀 = 𝑟𝑔 (2𝑎
2
1
1
𝑎
−𝑎
−1)
1
−𝑎
−1| = 2 − 2 − 2𝑎3 + 2𝑎 − 2𝑎 + 2𝑎 = −2𝑎3 + 2𝑎
1
2ª = 0 𝑎 = 0
|𝑀| = 0 ; −2𝑎3 + 2𝑎 = 0 2𝑎(−𝑎2+1) = 0
-𝑎2 + 1 = 0 𝑎 = ±1
2 1 0
2 1
𝑎 = 0 𝑟𝑔 (0 1 1) |𝑀´| = |
|=2
0 1
2 0 1
≠ 0 ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 𝑒𝑛 𝑀
𝑟𝑔𝑀 = 2
2 1 −1
2 −1
𝑎 = 1 𝑟𝑔 (2 1 −1) |𝑀´| = |
|
2 1
2 1 1
≠ 0 ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 𝑒𝑛 𝑀
𝑟𝑔𝑀 = 2
2
1
1
2 1
𝑎 = −1 𝑟𝑔 (−2 1 −1) |𝑀´| = |
|=4
−2 1
2 −1 1
≠ 0 ∃𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 𝑒𝑛 𝑀
𝑟𝑔𝑀 = 2
∀𝑎 ≠ 0,1, −1 |𝑀| ≠ 0 ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 𝑒𝑛 𝑀 𝑟𝑔𝑀 = 3
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃ 𝑀−1 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒 |𝑀| ≠ 0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 ∀ 𝑎 ≠ 0,1, −1
2 1 −2
𝑎 = 2 𝑀 = (4 1 −1) |𝑀| = −12
2 2 1
3 6 6
3 −6 6
3 −5 1
1
𝑀𝛼 = (5 6 2 ) 𝑀𝑑 = (−5 6 −2)
𝑀−1 = − 12 (−6 6 −6)
1 6 −2
1 −6 −2
6 −2 −2
13
Planteamiento y resolución de sistemas.
El empleo en el sector servicios en el 1987 representaba aproximadamente el 53% del empleo total, en el sector industrial el 35% y en el
sector agrícola el 12%. Si el empleo total del año fue de 11593900.
Calcular los empleos del sector.
Llamamos x a los empleos del sector servicio. Llamamos y a los empleos del sector
industrial. Llamamos z a los empleos del sector agrícola. Llamamos t a los empleos
totales
x = 0,53t
{y = 0,35t
z = 0,12t
x = 6144767 empleos sector servicio
y = 4057865 empleos industriales
z = 1391268 empleos agrícolas
En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas,
en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra,
carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por
unidad de producto fabricado:
A. en laminas
A. en rollos
A. especiales
Chatarra
8
6
6
Carbón
6
6
4
Aleaciones
2
1
3
Si se disponen de 34 unidades de chatarra, 28 de carbón y 9
aleaciones, ¿Cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán
fabricar con estos materiales?
8𝑥 + 6𝑦 + 6𝑧 = 34
𝑥 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛 láminas ; y acero en rollos ; z aceros especiales {6𝑥 + 6𝑦 + 4𝑧 = 28 =
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 9
4𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 17
{3𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 14
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 9
4
= 𝑟𝑎𝑔 (0
0
3
3
3 −1
−1 3
4
Por Gauss 𝑟𝑎𝑔 (3
2
3 3
3 2
1 3
⋮ 17
4 3
3𝑓3 + 𝑓2
= 𝑟𝑎𝑔 (0 3
⋮ 5)
=====
⋮ 1
0 0
2𝑓3 − 𝑓1
⋮ 17
⋮ 14) ====== =
4𝑓2 − 3𝑓1
⋮ 9
3
−1
8
⋮ 17
⋮ 5 ) =>
⋮ 8
4𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 17
{
8𝑧 = 8 ; 𝑧 = 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑎𝑙
3𝑦 − 𝑧 = 5
8𝑧 = 8
3y – (1) = 5 ; 3y = 6 ;
y = 2 unidades de acero en rollos
4x + 3 · (2) + 3 ·(1) = 17 ; 4x = 8 ; x = 2 unidades de acero en laminas
En una granja se venden pollo, pavos y perdices a razón de 2, 1,50 y
4 euros/kg, respectivamente. En una semana, los ingresos totales de la
granja ascendieron a 5700 €. Si se sabe que la cantidad de pollo
vendida es superior en 100kg a la de pavo, y que se vendió de perdiz la
mitad que de pavo:
a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad
vendida de cada tipo de carne. b) Expresa matricialmente el problema.
c) ¿Cuántos kilos se vendieron de cada tipo?
x pollos
a 2€/kg
y pavos
a 15€/kg
z perdices
a 4€/kg
2𝑥 + 1′ 5𝑦 + 4𝑧 = 5700
4𝑥 + 3𝑦 + 8𝑧 = 11400
𝑥
=
𝑦
+
100
𝑥 − 𝑦 = 100
{
=> {
=> 𝑦 = 2𝑧 =>
1
𝑦
=
2𝑧
𝑧=2 𝑦
4𝑥 + 3 · 2𝑧 + 8𝑧 = 11400
=> {
=> 𝑥 = 2𝑧 + 100 => 4 · 2𝑧 + 400 + 6𝑧 + 8𝑧
𝑥 − 2𝑧 = 100
= 11400
=> 22𝑧 = 11000 => z = 𝟓𝟎𝟎𝐤𝐠 𝐝𝐞 𝐩𝐞𝐫𝐝𝐢𝐜𝐞𝐬.
y = 2z ;
y = 1000kg de pavos.
15
x= 100 + y ;
x = 1100kg de pollos
Fulano de Tal quiere hacer una gran fiesta e invitar a sus amigos a
unas tortillas, así que va de tienda y compra una docena de huevos,
una bolsa de patatas y una botella de aceite. Dado el éxito obtenido,
decide repetir la fiesta y vuelve a comprar una docena de huevos y dos
botellas de aceite. Cuando llega a casa, se acuerda que no tiene patatas.
Vuelve a la tienda para comprar una bolsa de pata-tas y decide
comprar también otra docena de huevos. En la primera ocasión gasto 6
euros; en la segunda ocasión gasto 6,5 euros y en la ultima 3,5 euros.
Calcular si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite.
x precio de los huevos ; y precio de las patatas ; z precio del aceite
𝑥+𝑦+𝑧 =6
𝑥 + 3,5 − 𝑥 + 𝑧 = 6
{ 𝑥 + 2𝑧 = 6,5 => 𝑦 = 3,5 − 𝑥 => {
=> 𝑧 = 6 − 3,5 = 2,5
𝑥 + 2𝑧 = 6,5
𝑦 + 𝑥 = 3,5
z = 2,5 €
=>
x = 6,5 – 2·2,5 = 1,5 €
=> y = 3,5 -1,5 = 2 €
Hace tres años la edad del padre era el triple de la de su hijo. Dentro
de nueve años la edad del hijo será la mitad de la del padre. Hallar las
edades actuales de ambos.
Edad actual del padre: x
Hace tres años
+ 9) / 2
Edad actual del hijo: y
==> x - 3 = 3· (y - 3)
Dentro de nueve años ==> y + 9 = (x
Resolvamos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas {
𝑥 − 3 = 3𝑦 − 9
𝑦+9=
𝑥+9
=>
2
𝑥 − 3𝑦 = −6
𝑥 − 3𝑦 = −6 𝑝𝑜𝑟 1
𝑥 − 3𝑦 = −6
=> {
=> {
⊕ −𝑦 =
2𝑦 + 18 = 𝑥 + 9
𝑥 − 2𝑦 = 9 𝑝𝑜𝑟 − 1
−𝑥 + 2𝑦 = −9
−15
{
y = 15 años
x = - 6 + 3 · 15 ==> x = - 6 + 45
==> x = 42 años
Los alumnos de los tres cursos de un centro suman 260. La relación
entre los de cuarto de ESO y primero es de 19/18, y la relación de
primero y segundo es de 6/5. ¿Cuántos alumnos hay en cada curso?.
¿Cuántos grupos de cada curso hay, en el supuesto de que cada grupo
tenga 35 alumnos como máximo?.
x serán los alumnos de 4º ESO y serán los alumnos de 1º z serán los alumnos de 2º
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 260
𝑥
{
𝑦
𝑦
19
= 18
Despejamos de la 2ª y 3ª ecuación, la x y la z en función de y.
6
=5
𝑧
19 𝑦
𝑥 = 18
{
5𝑦 y lo sustituimos en la 1ª ecuación =>
𝑧= 6
19 𝑦
18
+𝑦+
5𝑦
6
= 260 =>
19y + 18y + 15y = 260 · 18 ==> 52y = 4680 ==> y = 90 alumnos
x = 19 · (90 / 18) ==> x = 95 alumno;
z = 5 · (90 / 6)
==> z = 75 alumnos
Para calcular los grupos por curso, dividiremos los alumnos de cada curso por 35
alumnos como máximo.
De 4º serán: 95 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
De 1º serán: 90 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
De 2º serán: 72 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
Mikel sale con un montón de cromos y vuelve a casa sin ninguno.
Su madre le pregunta que ha hecho con los cromos, a lo que Mikel
responde: A cada amigo que encontré le di la mitad de los cromos que
tenía en ese momento mas uno. Su madre le pregunta que con cuantos
amigos se ha encontrado, a lo que Mikel contesta que con cinco.
¿Cuántos cromos tenia Mikel al salir de casa? Razona la respuesta.
x cromos al salir de casa
Al primer amigo le da x/2 + 1 = (x + 2) / 2
y le queda x – (x + 2) / 2 = (x – 2) / 2
Al segundo amigo le da [(x - 2) / 2] / 2 + 1 = (x – 2) / 4 + 1 = (x + 2) / 4
y le queda (x – 2) / 2 - (x + 2) / 4 = (2x – 4 – x – 2) / 4 = (x – 6) / 4
Al tercer amigo le da [(x – 6) / 4] / 2 + 1 = (x – 6) / 8 + 1 = (x + 2) / 8
y le queda (x – 6) / 4 - (x + 2) / 8 = (2x – 12 – x – 2 ) / 8 = (x – 14) / 8
Al cuarto amigo le da [(x – 14) / 8] / 2 + 1 = (x – 14) / 16 + 1 = (x + 2) / 16
y le queda (x – 14) / 8 – (x + 2) / 16 = (2x – 28 – x – 2) / 16 = (x – 30) / 16
Al quinto amigo le da [(x – 30) / 16] / 2 + 1 = (x – 30) / 32 + 1 = (x + 2) / 32
y le queda (x – 30) / 16 – (x + 2) / 32 = (2x – 60 – x – 2) / 32 = = (x – 62) / 32
Como al final no le quedan cromos  x – 62 = 0  x = 62 cromos
17
Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos: A, B, C.
El alimento del tipo A tiene 10cal. por cada 100gr., el de tipo B tiene
30cal. por cada 100gr., y el C tiene 40cal. por cada 100gr. Si la dieta
consta de 400gr. de alimento por cada día, si ducha dieta esta restringida a 840cal., y si la cantidad de alimento del tipo A ingerido debe ser el
doble en peso que la cantidad de alimento C. Hallar las cantidades que
debe ingerir de cada uno de los alimentos.
A= X B=Y C=Z
X + Y + Z = 4000
{(10/100) · X + (30/100) · Y + (40/100) · Z = 840 =>
X = 2Z
X + Y + Z = 4000
(0,1X
+
0,3Y + 0,4Z = 840) · 10 => {(X + Y + Z = 4000) · (−3) =>
{
X + 3Y + 4Z = 8400
X – 2Z = 0
−3X – 3Y – 3Z = − 1200
(−2X + Z = − 3600) · 2
{ X + 3Y + 4Z = 8400 => {
=>
X – 2Z = 0
−2X + Z = − 3600
{
−4X + 2Z = − 7200
⊕ −3X = − 7200 => X = 2400gr. de alimento de tipo A
X – 2Z = 0
X – 2Z = 0 => 2400 – 2Z = 0 => −2Z = −2400; Z= 1200gr. de alimento de tipo C
X + Y + Z = 4000 => 2400 + Y + 1200 = 4000 ;
Y = 400gr. de alimento de tipo B
Se tienen tres tipos de café: el de clase A, que cuesta 980 pts/kg; el
de clase B, que cuesta 875 pts/kg, y el de clase C, que cuesta 950 pts/kg.
Se desea hacer una mezcla para vender 1050 kg a 940 pts/kg. ¿Cuántos
kg de cada clase se deben de poner si del tercer tipo debe entrar el doble de los otros dos juntos?.
x kg de café A a 980 pts/kg
y kg de café B a 875 pts/kg
z kg de café C a 950 pts/kg
1050 kg de mezcla a 940 pts/kg
x + y + z = 1050
z = 2 · (x + y)
{
=
980 · x + 875 · y + 950 · z = 1050 · 940
x + y + z = 1050
2x + 2y – z = 0
> {
196x + 175y + 190z = 197400
x + y + z = 1050
𝑒2 − 2𝑒1
Resolviendo por Gauss ====== => { − 3z = − 2100
𝑒3 − 196𝑒1
− 21y – 6z = − 8400
 z = 700 kg de café C
- 21y – 6·700 = - 8400 ; -21 y = - 4200  y = 210 kg de café B
x + 210 + 700 = 1050  x = 140 kg de café A
19
Según RENFE, el nº de viajeros que utilizaron el tren en Enero ascendió a 275700, en Febrero descendió en 25200 viajeros.
Las dos categorías que existen son de 1ª y 2ª. Si la relación para el
mes de Enero ha sido de un 30% de 1ª mas en Enero que en Febrero y
la 2ª clase en Enero representa el 60% del total. ¿Cuantos pasajeros de
1ª y de 2ª han utilizado el servicio?.
Llamamos x a los pasajeros de 1ª
Llamamos y a los pasajeros de 2ª
Llamamos x1 a los de 1ª en Enero y x2 a los de 1ª en Febrero
Llamamos y1 a los de 2ª en Enero y y2 a los de 2ª en Febrero
𝑥1 + 𝑦1 = 275700
𝑥 + 𝑦2 = 275700
{ 2
− 25200 = 250500 => 𝑥1 = 275700 − 𝑦1
𝑥1 = 𝑥2 + 0,3 · 𝑥2
𝑦1 = 0,6 · (𝑥1 + 𝑦1 )
x2 + y2 = 250500
275700 - y1 = 1,3x2
y1 = 0,6 ·(275700 - y1) + 0,6y1 ==> y1 = 165420 viajeros
275700 - 165420 = 1,3 · x2 ==> x2 = 110280 / 1,3 ==> x2 = 84831 viajeros
y2 = 250500 - x2 = 250500 - 84831 = 165669 viajeros
x1 = 275700 - 165420 = 110280 viajeros
Los pasajeros de 1ª seran x = x1 + x2 = 110280 + 84831;
x = 195111 viajeros.
Los pasajeros de 2ª seran y = y1 + y2 = 165420 + 165669 ;
y = 331089 viajeros.
Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C, se obtienen 50 años. Además, el doble de las antigüedades de B y de C es
igual al triple de la antigüedad de A, y la diferencia xde antigüedad entre B y C es igual al 30 % de la antigüedad de A. Determina los años de
antigüedad de cada empleado.
x años el A, y años el B, z años el C
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50
(𝑦
2
·
+
𝑧)
=
3𝑥
{
=> { 3𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0 => { −5𝑦 − 5𝑧 = −150
30
3𝑥 − 10𝑦 + 10𝑧 = 0
−13𝑦 + 7𝑧 = −150
𝑦 − 𝑧 = 100 · 𝑥
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50
𝑦 + 𝑧 = 30
{
=> { 𝑦 + 𝑧 = 30
=> z = 240 / 20  z = 12
−13𝑦 + 7𝑧 = −150
20𝑧 = 240
y + 12 = 30  y = 18
x + 18 + 12 = 50  x = 20
20 años de antigüedad el empleado A, 18 años de antigüedad el empleado B y
12 años de antigüedad el empleado C.
21
Tres amigos, Marcos, Luisa y Miguel, son aficionados a la música.
Entre los tres poseen un total de CD comprendido entre 16 y 22 unidades. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luisa presta 1 CD a Marcos y Miguel presta 2 CD a Luisa, con lo cual los tres amigos tienen al final el
mismo número de CD. ¿Cuántos CD pueden tener en total?.
Marcos tiene x CD, Luisa tiene y CD y Miguel tiene z CD
16 ≤ x + y + z ≤ 22
Marcos se queda con x – 4 + 1 = x – 3 CD
Luisa se queda con y – 1 + 2 = y + 1 CD
Miguel se queda con z + 4 – 2 = z + 2 CD
Como los tres deben de acabar con el mismo numero de CD
x–3=y+1
x–3=z+2
x–y=4
x–z=6
x
Llamando y    4
z   5
λ=6
λ=7
λ=8
λ=9
λ = 10
λ = 12
x = 6;
x = 7;
x = 8;
x = 9;
x = 10;
x = 11;
y=x-4
z=x–5
Para que x, y ,z sean positivos λ ≥ 6
y = 2;
y = 3;
y = 4;
y = 5;
y = 6;
y = 7;
z=1
z=2
z=3
z=4
z=5
z=6
x+y+z=9
x + y + z = 12
x + y + z = 15
x + y + z = 18
x + y + z = 21
x + y + z = 24
no vale
no vale
no vale
si vale
si vale
no vale
Marcos 9 CD, Luisa 5 CD y Miguel 4 CD
Las soluciones son dos
Marcos 10 CD, Luisa 6 CD y Miguel 5 CD
Un agricultor tiene repartido sus 10 Ha de terreno en barbecho y
cultivos de trigo y cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 Ha
más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 Ha
menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y de cebada.
¿Cuántas Ha hay dedicadas a cada uno de los cultivos y cuantas están
en barbecho?
Sea x el nº de Ha de barbecho
y el nº de Ha de trigo
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎
𝒚
=
𝒛
+
𝟐
{
=> { 𝒚 − 𝒛 = 𝟐
𝒙=𝒚+𝒛−𝟔
𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = −𝟔
z el nº de Ha de cebada
{
{
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎
𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = −𝟔
+ 𝟐𝒙 = 𝟒 => 𝒙 = 𝟐 𝑯𝒂 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒓𝒃𝒆𝒄𝒉𝒐
𝒚−𝒛=𝟐
𝒚−𝒛=𝟐
=> {
+ −𝟐𝒛 = −𝟔 => 𝒛 = 𝟑 𝑯𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒆𝒃𝒂𝒅𝒂
𝟐 − 𝒚 − 𝒛 = −𝟔
−𝒚 − 𝒛 = −𝟖
𝒚 − 𝟑 = 𝟐 => 𝒚 = 𝟓 𝑯𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐
23
Un autobús universitario transporta en hora punta 80 viajeros de
tres tipos: viajeros que pagan el billete entero, que vale 75 céntimos,
viajeros con bono de descuento del 20% y estudiantes con bono de
descuento del 40%. Si la recaudación del autobús en ese viaje fue de
39,75 euros, calcula el número de viajeros de cada clase sabiendo que
el numero de estudiantes era el triple que el del resto de viajeros.
(PAU).
x es el nº de viajeros sin descuento.
y es el nº de viajeros con el 20% de descuento.
z es el nº de viajeros con el 40% de descuento.
x  y  z  80
x  y  z  80
 3x  3 y  z  0
z  3  x  y 
75x  0,8  75y  0,6  75z  3975
x  0,8 y  0,6 z  53
1 80 f 2  3 f1
1
1
80 
x  y  z  80
1 1
1




rg  3 3  1 0  
rg  0
0
 4  240   0,2 y  0,4 z  27
 1 0,8 0,6 53 f  f
 0  0,2  0,4  27 
 4 z  240

 3


1
 z = 60
- 0,2 y – 0,4 · 60 = - 27  - 0,2 y = - 3  y = 3 / 0,2  y = 15
x + 15 + 60 = 80  x = 5
5 viajeros sin descuento, 15 viajeros con el 20% de descuento y 60 estudiantes.
Un número capicúa tiene cinco cifras. La suma de las cifras es 9. La
cifra de las centenas es la suma de las cifras de las unidades y las decenas. Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número
que resulta disminuye en 9. Hallar el número.
El numero es xyzyx 
Al cambiar el numero xyzxy disminuye en 9 unidades
x + y + z + y + x = 9
z
{ = y + x
10000x + 1000y + 100z + 10x + y = 10000x + 1000y + 100z + 10y + x – 9
2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 9
2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 9
{ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 => { 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
9𝑥 − 9𝑦 = 0
𝑥 − 𝑦 = −1
2 2
1
𝑟𝑎𝑔 (1 1 −1
1 −1 0
3z = 9 ; z = 3
9
2
0 ) = 𝑟𝑎𝑔 (0
−1
0
2 1
−2 1
4 1
9
2 2 1
−1) = (0 −2 1
11
0 0 3
9
−1)
9
-2y+z = -1 ; -2y+3 = -1 ; -2y = -4 ; y = 2
2x+2y+z = 9 ; 2x+4+3 = 9 ; 2x = 2 ; x = 1
El número es 12321
Una compañía de transportes tiene tres camiones diferentes, P, Q y
R, en los que caben exactamente un cierto número de contenedores de
tres tipos A, B y 𝐂, 𝐝𝐞 𝐚𝐜𝐮𝐞𝐫𝐝𝐨 𝐜𝐨𝐧 𝐥𝐚 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚:
25
𝑨 𝑩 𝑪
𝑷 𝟓 𝟑 𝟒 Si se han de transportar 45 contenedores de tipo A, 44
𝑸 𝟐 𝟓 𝟓
𝑹 𝟒 𝟑 𝟔
de tipo B y 58 de tipo C, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si
todos los viajes lo hacen totalmente llenos?. (PAU).
x nº de viajes el P ; y nº de viajes el Q ; z nº de viajes el R
Contenedor A: 5x + 2y + 4z =
{Contenedor B: 3x + 5y + 35 =
Contenedor C: 4x + 5y + 6z =
5x + 2y + 4z =
> { 19𝑦 + 3𝑧 = 85
215𝑧 = 645
45 5x + 2y + 4z = 45
44 { 19𝑦 + 3𝑧 = 85
=
17𝑦 + 14𝑧 = 110
58
45
 z=3
19y + 3·3 = 85  19y = 76  y = 4
5x + 2·4 + 4·3 = 45  5x = 25  x = 5
3 viajes realizo el camión R
4 viajes realizo el camión Q
5 viajes realizo el camión P
Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y
sofás. Para la fabricación de cada uno de estos muebles se necesitaron
unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la
tabla. Si la compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600
unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio, y utilizo todas sus
existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás
𝑴𝒂𝒅𝒆𝒓𝒂 𝑷𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝑨𝒍𝒖𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐
𝑺𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔
𝟏
𝟏
𝟐
𝒇𝒂𝒃𝒓𝒊𝒄ó? (
)
𝑴𝒆𝒄𝒆𝒅𝒐𝒓𝒂𝒔
𝟏
𝟏
𝟑
𝑺𝒐𝒇𝒂𝒔
𝟏
𝟐
𝟓
(PAU).
x sillas
y mecedoras
z sofás
madera ∶
x + y + z = 400
x + y + z = 400
x + y + 2z = 600
𝑧 = 200
{ plastico ∶
==> {
𝑦 + 3𝑧 = 700
aluminio ∶ 2x + 3y + 5z = 1500
y + 600 = 700  y = 100 ;
x + 100 + 200 = 400  x = 100
Hay 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.
Una empresa produce un bien, cuya función de oferta es
Qo = - 50 + 30p y su función de demanda viene dada por
Qd = 100 - 20p. ¿Cuales son el precio y la cantidad en el punto de
equilibrio Qo = Qd?.
Si Qo = Qd ;
- 50 + 30p = 100 - 20p es decir una ecuación con una sola incógnita.
30p + 20p = 100 + 50 ==> 50p = 150 ==> p = 3
Qo = - 50 + 30.3 = - 50 + 90 ==> Qo = 40 pts sera el precio
En el equilibrio
Qd = 100 - 20.3 = 100 - 60 ==> Qd = 40 bienes demandados
Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones
asciende a 31. Para que el número de ejecutivos de la delegación de
Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de
ellos de Madrid a Barcelona. Además, el número de los ejecutivos de
Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciudades. ¿Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad?
(PAU).
x ejecutivos en Madrid
y ejecutivos en Barcelona
z ejecutivos en Valencia
x + y + z = 31
x + y + z = 31
x + y + z = 31
x
=
y
+
z
+
1
{
=> { 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1 => {
⊕ 2𝑥 = 32
𝑥−𝑦−𝑧=1
𝑥−𝑦 =6
x– 3 = y + 3
x = 16 ejecutivos en Madrid.
16 – y = 6; y = 10 ejecutivos en Barcelona.
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1 => 16 – 10 – z = 1 ; z = 5 ejecutivos en Valencia.
27
Una tienda vende una clase de calcetines a 12€ el par. Al llegar las
rebajas, realiza durante el primer mes un 30% de descuento sobre el
precio inicial y en el segundo mes hace un 40% también sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de calcetines por
5976€ y que durante las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, ¿a
cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 40%? .
X calcetines a 12€ .
Y calcetines al 30% de 12€ ;
Z calcetines al 40% de 12€ ;
30/100 · 12 = 3´6 ;
40/100 · 12 = 4´8 ;
12 - 3´6 = 8´4 € .
12 – 4´8 = 7´2 € .
X + Y + Z = 600
X + Y + Z = 600
{12 X + 8`4 Y + 7`2 Z = 5976 ==> {
Y + Z = 300
Y + Z = 300
120X + 84 Y + 72 Z = 59760
Por Gauss
1
𝑟𝑎𝑔 ( 0
30
1
= 𝑟𝑎𝑔 (0
0
1
1
1
1
21 18
1
1
1
1
−3 −4
⋮
600
1
⋮
300 ) = 𝑟𝑎𝑔 ( 0
⋮ 14940
10
⋮
600
1
⋮
300 ) = 𝑟𝑎𝑔 (0
⋮ −1020
0
1 1
1 1
7 6
⋮ 600
⋮ 300 ) =
⋮ 4980
1 1
1 1
0 −1
X + Y + Z = 600
==> { Y + Z = 300
==> Z = 120 pares al 40%
−𝑍 = −120
Y = 300 – 120 = 180 pares al 30%
X = 600 – 180 – 120 ==> X = 300 pares sin rebaja.
⋮ 600
⋮ 300 )
⋮ −120
29
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dado el sistema ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
x  ay  z  1

2 y  az  2 
x  y  z 1 

a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
b) Resolver el sistema para a  3 , c) resolver el sistema para el valor
de a que lo haga compatible indeterminado, por el método de Gauss.
(PAU Septiembre 2007)
a) Llamamos C a la matriz de los coeficientes y A a la matriz ampliada
1 a 1
C  0 2 a  2  a2  2  a  a2  a
1 1 1
Si C  a 2  a  0 

a0
a 1
 Rango (C) = Rango (A) = 3 = nº de incognitas 
 El
∀ a  0 y a  1 
sistema es compatible determinado. Solución única.
Si a  0
f
2
 2 f1

x  z 1
1 0 1 1
1 0 1 1

 f 3  f1 

rg  0 2 0 2 
 rg  0 2 0 2 
2y  2
1 1 1 1 
0 1 0 0
x  y  z 1




x  z 1
1 0 1 1 


rg  0 2 0 2   y  1
 Sistema incompatible, no existe
0 0 0  2
0 z  2


solución.
b) Si a  3 , resolvemos el sistema por el método de Gauss:
 1 3 1 1  f 3  f1  1 3 1 1  f 3  f 2  1 3 1 1 






rg  0 2 3 2  
rg  0 2 3 2  
rg  0 2 3 2 
1 1 1 1
0 0 3 2
0  2 0 0






x  3y  z  1
El sistema es: 2 y  3 z  2
3z  2
z = 2/3  2y = 2 -2 = 0  y = 0
x + 2/3 = 1  x = 1/3
c) Si a  1 , el sistema es:
x  y  z 1
2y  z  2
𝑧 = 2 − 2𝑦 ; 𝑥 = 1 − 𝑦 − 𝑧 => 𝑥 = 1 − 𝑦 − 2 + 2𝑦 => 𝑥 = −1 + 𝑦
{
𝑥 = −1 + 𝜆
𝑦=𝜆
𝑧 = 2 − 2𝜆
∀𝜆 ∈ 𝑅
31
Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟎
parámetro real a: {𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟑 𝐚) 𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐢𝐫 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐩𝐚𝐫𝐚
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒂𝒛 = 𝟖
los distintos valores de a. b) Resolver el sistema para a = 4.
(PAU Junio 2007)
|𝐶| = 8𝑎 + 14 = 0 => 𝑎 = −
14
7
=−
8
4
a) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada:
7
Rag (C) = 3 = Rag (A) = nº de incógnitas  el sistema es
4
compatible determinado.
𝑆𝑖 𝑎 ≠ −
1 −2
1
7
−2
𝑆𝑖 𝑎 = − 4 => 𝑟𝑎𝑔 (3 2
2 2 −7/4
1 −2
1
−5
𝑟𝑎𝑔 (0 8
15
0 6 −4
⋮ 0 𝑓2 − 3𝑓1
⋮ 3) ==
⋮ 8 𝑓3 − 2𝑓1
⋮ 0 4𝑓3 − 3𝑓2
1 −2 1
⋮ 3) == 𝑟𝑎𝑔 (0 8 −5
⋮ 8
0 0
0
⋮
⋮
⋮
0
3)=
23
Rango (C) = 2 ≠ Rango (A)  El sistema es incompatible
x – 2y + z = 0
1 −2
𝑏) { 3x + 2y – 2z = 3 => 𝑟𝑎𝑔 (3 2
2 2
2x + 2y + 4z = 8
1
−2
4
⋮ 0 𝑓2 − 3𝑓1
=
⋮ 3)
𝑓
−
⋮ 8 3 2𝑓1
1 −2 1
𝑟𝑎𝑔 (0 8 −5
0 6
2
⋮ 0 4𝑓3 − 3𝑓2
1 −2
⋮ 3) == 𝑟𝑎𝑔 (0 8
⋮ 8
0 0
1
−5
23
⋮ 0
⋮ 3 ) =>
⋮ 23
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
{ 8𝑦 − 5𝑧 = 3 => 𝑧 = 1 ; 8𝑦 − 5 = 3 => 8𝑦 = 8 => 𝑦 = 1 ;
23𝑧 = 23
𝑥 − 2 + 1 = 0 => 𝑥 = 1
𝐱−𝐲=𝐚
𝐱 + 𝐚𝟐 𝐳 = 𝟐𝐚 + 𝟏
𝐒𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐢𝐝𝐞𝐫𝐚 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐥: {
𝐱 − 𝐲 + 𝐚 · (𝐚 − 𝟏)𝐳 = 𝟐𝐚
𝐚)𝐃𝐢𝐬𝐜ú𝐭𝐚𝐬𝐞 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐬𝐞𝐠ú𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐢𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐚𝐫á𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨
𝐫𝐞𝐚𝐥 𝐚. 𝐛) 𝐑𝐞𝐬𝐮é𝐥𝐯𝐞𝐬𝐞 𝐝𝐢𝐜𝐡𝐨 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐚 = 𝟑.
(𝐏𝐀𝐔 𝐌𝐨𝐝𝐞𝐥𝐨 𝟏𝟗𝟗𝟗 − 𝟎𝟎)
1 −1
0
|𝐶| = |1 0
𝑎2 | = −𝑎2 + 𝑎2 − 𝑎 + 𝑎2 = 𝑎2 − 𝑎
1 −1 𝑎2 − 𝑎
|𝐶| = 0 ; 𝑎2 − 𝑎 = 0 ; a · (a − 1) = 0 => {𝑎 = 0
𝑎=1
𝑎) ∀𝑎 ≠ 0,1 => |𝐶| ≠ 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 3 = 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 𝑛º 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 =>
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 => 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎
0 −1 0
𝑎 = 0 => 𝑟𝑎𝑔 (1 0 0
1 −1 0
1 0 0
𝑟𝑎𝑔 (0 −1 0
0 −1 0
⋮
⋮
⋮
⋮ 0
1
)
=
𝑟𝑎𝑔
(
⋮ 1
1
⋮ 0
0
1 𝑓3 − 𝑓2
1
)
𝑟𝑎𝑔
(
−1
0
=
0
0
0 0
−1 0
0 0
0 0
−1 0
−1 0
⋮ 1 𝑓2 − 𝑓1
⋮ 0) =
⋮ 0
⋮ 1
𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
⋮ −1) => {𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 3 =>
⋮ 1
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 , ∄ 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
1 −1 0
𝑎 = 1 => 𝑟𝑎𝑔 (1 0 1
1 −1 0
⋮ 1 𝑓2 − 𝑓1
1 −1 0
⋮ 3) = 𝑟𝑎𝑔 (0 1 1
⋮ 2 𝑓3 − 𝑓1
0 0 0
⋮
⋮
⋮
1
2)
1
33
=> {
𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
=> 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 , ∄ 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 3
b) Resolver para a = 3
1 −1
rag (1 0
1 −1
𝟑
𝟏
𝒛=𝟔=𝟐 ;
0
9
6
⋮
⋮
⋮
3 𝑓2 − 𝑓1
1 −1 0
7) = 𝒓𝒂𝒈 (0 1 9
6 𝑓3 − 𝑓1
0 0 6
𝟗
𝟏
𝑥−𝑦 =3
⋮ 3
⋮ 4) => {𝑦 + 9𝑧 = 4 =>
⋮ 3
6𝑧 = 3
𝟏
𝟓
𝒚 + 𝟐 = 𝟒 => 𝑦 = − 𝟐 ; 𝒙 + 𝟐 = 𝟑 => 𝑥 = 𝟐
PROGRAMACIÓN LINEAL.
Con 6 kg de un fármaco se desea elaborar pastillas grandes (40 g
cada una) y pequeñas (20 g de cada una) siendo un total de 6000; de
manera que el número de pastillas grandes no sea inferior a 30 pero
tampoco superior al doble del número de las pequeñas. Si el beneficio
que se obtiene en la venta es de 0,25€ por pastilla grande, y 0,15€ por
cada pequeña, ¿Cuántas pastillas hay que vender de cada clase si se
busca el máximo beneficio posibles?
Planteamos un sistema de inecuaciones con las condiciones del problema:
x = pastillas grandes
y = pastillas pequeñas
Función objetivo es: f (x,y)= 0,25x + 0,15y
40x  20y  6000
x  30
x  2y
2 x  y  300
simplificamos x  30
x  2y
Dibujamos la región factible:
 x  0  y  300
y  300  2 x 

 x  150  y  0 
x  30
 x  0  y  0

x  2y 

 x  300  y  150
X=30
Hallamos sus vértices:
A
y  300  2 x  y  300  60  240
(30, 240)
x  30
x
 300  2 x  x  600  4 x  5 x  600  x  120
2
B
x
120
x  2y  y   y 
 60
2
2
y  300  2 x 
(120, 60)
x  30
C
x  2y  y 
x
30
y
 15
2
2
(30, 15)
Con la función objetivo: f (x,y)= 0,25x+0,15y el máximo lo alcanzará en alguno de los
vértices de la región factible:
F(30,240) = 0,25 · 30 + 0.15 · 240 = 43,5
F(120,60) = 0.25 · 120 + 0.15 · 60 = 39
F(30,15) = 0,25 · 30 + 0.15 · 15 = 9,75
Para que el beneficio sea maximo habrá que vender 30 pastillas grandes y 240 pastillas
pequeñas, y el beneficio es de 43.5 €
35
Consideramos el recinto del plano limitado por las siguientes
inecuaciones: y – x ≤ 4 ; y + 2x ≥ 7 ; –2x – y + 13 ≥ 0 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
a) Represente el recinto y calcule sus vértices
b) Halle en qué puntos de ese recinto alcanza los valores máximo y
mínimo la función F(x, y)= 4x + 2y – 1
a) Planteamos las inecuaciones y dibujamos la región factible
𝑦−𝑥 ≤4
𝑦 + 2𝑥 ≥ 7
−2𝑥 − 𝑦 + 13 ≥ 0 =>
𝑥≥0
{
𝑦≥0
Dibujamos las rectas
𝑥 = 0 => 𝑦 = 4
𝑥 = −4 => 𝑦 = 0
𝑥 = 0 => 𝑦 = 7
7
2𝑥 + 𝑦 = 7 => {
𝑥 = 2 => 𝑦 = 0
𝑥 = 0 => 𝑦 = 13
−2𝑥 − 𝑦 = −13 => {
13
𝑥 = 2 => 𝑦 = 0
{
𝑦 − 𝑥 = 4 => {
7
Vértices de la región: A (2 , 0),
𝐵: {
𝐶: {
−𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥=1
=> −3𝑥 = −3 => {
; B (1, 5),
𝑦=5
2𝑥 + 𝑦 = 7
−𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥=3
=> −3𝑥 = −9 => {
; C (3,7)
𝑦=7
−2𝑥 − 𝑦 = −13
13
D ( 2 , 0)
b) Calculamos el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices
7
F ( , 0) = 13
2
F (1, 5) = 13
F(3, 7) = 25
13
F( , 0) = 25
2
El máximo se alcanza en cualquier punto del segmento CD y el mínimo en
cualquier punto del segmento AB.
37
En un taller se fabrican jerseys de lana de dos tipos. El primer tipo
consume, por jersey, 4 madejas de 350 pesetas y 2 madejas de 300 pesetas. El segundo tipo, 3 madejas de 350 pesetas y 3 de 320 pesetas. Los
gastos de fabricación son de 650 pesetas para el primer tipo y de 1900
pesetas para el segundo, siendo sus precios respectivos de venta 5000 y
6600 pesetas. Sabiendo que a la semana no se pueden fabricar más de
100 jerseys y que por limitaciones de tecnología, por cada jersey del segundo tipo hay que confeccionar por lo menos tres del primero, se pide
obtener cual debe ser el número de jerseys de cada tipo, fabricados a la
semana, para obtener el máximo beneficio.
La función z es la del beneficio, que luego haremos máximo.
El beneficio por la venta de 1 jersey de cada tipo será:
precio venta (gastos fabricación + nº madejas . precio + nº madejas . precio)
1er tipo: 5000 - (650 + 4350 + 2300) = 500 - 2650 = 2350
2do tipo: 6600 – (1900 + 3350 +3320) = 6600 - 3910 = 2690
Si se fabrican x jerseys del 1er tipo e y jerseys del 2do tipo
Z = 2350 · x + 2690 · y  función objetivo
Las restricciones serán:
No se pueden fabricar mas de 100 jerseys es decir x + y 100
Por cada jersey del 2do tipo hay que confeccionar al menos 3 del 1er tipo es decir
3y ≤ x
x 0
Por último como el nº de jerseys no puede ser negativo
y 0
El problema por tanto será maximizar la función la función Z = 2350x + 2690y
x + y 100
3y ≤ x
Cumpliendo las restricciones
x
y
x+y
3y
100 ; x + y = 100
x ; 3y – x = 0
0
0
x
y
0 100
100 0
x y
0 0
300 100
El punto (0,0)  0 ≤ 100 Es valido
El punto (100,0)  0 ≤ 100 Es valido
Z = 2350 x + 2690 y ;
A (100,0) ; C(0,0)
3y=x
B
y + x = 100
y + 3y = 100  4y = 100
y = 25 ; x = 75
B( 75, 25)
39
La región factible es el triangulo ABC incluidos sus lados.
Z(A) = 2350 . 100 + 2690 . 0 = 235000
Z(B) = 2350 . 75 + 2690 . 25 = 176250 + 67250 = 243500
Z(C) = 0
B (75,25) es el punto máximo (optimo) , luego se fabricaran 75 jerseys del primer tipo y
25 jerseys del segundo tipo.
En una encuesta realizada por TV, se detecta que un programa A
con 20 minutos de variedades y 1 minuto de publicidad, capta 30000
espectadores, mientras que otro programa B con 10 minutos de variedades y 1 minuto de publicidad capta 10000 espectadores. En un determinado periodo de tiempo, TV decide dedicar 80 minutos de variedades y los anunciantes 6 minutos de publicidad. ¿Cuántas veces deberá
de aparecer cada programa con objeto de captar el máximo número de
espectadores?.
Si x es el numero de veces que se emite el programa A.
Si y es el numero de veces que se emite el programa B.
La funcion objetivo a maximizar sera Z = 30000 · x + 10000 · y
En variedades
20 · x + 10 · y  80
x0
En publicidad
1·x+1·y  6
y0
y las restricciones:
20x + 10y  80  2x + y = 8
x
0
4
y
8
0
Tomo (0,0)  0  80 si vale
x+y6
A(6,0)
 x+y=6
x
0
6
y
6
0
Tomo (0,0)  0  6 si vale
C(0,8)
x+y=6
 -x=-2  x=2 e y=4
B:
B(2,4)
2x + y = 8
Evaluemos la funcion objetivo z = 30000 x + 10000 y
Z(A) = 30000 · 6 + 10000 · 0 = 180000
Z(B) = 30000 · 2 + 10000 · 4 = 100000
Z(C) = 30000 · 0 + 10000 · 8 = 80000
Para captar el numero de espectadores maximo que seria de 180000, se necesita que
aparezca 6 veces el programa A y ninguna el programa B.
Sea Z = ½ x + 3y con las restricciones x + 6y  18 ; 8x + 3y  24 ;
x  0 ; y  0 Hallar los valores de x e y para que la Z sea maximo.
La region factible es la misma que antes
41
C(0,8)
B(18,0) A(2,8/3) son los vértices que sustituiremos en Z
Z(A) = ½ ·2 + 3 ·8/3 = 1 + 8 = 9
Hay 2 puntos con la misma Z , en este caso las soZ(B) = ½ · 18 + 3 · 0 = 9
luciones seran todos los puntos de la recta x + 6y = 18
Z(C) = ½ · 0 + 3 · 8 = 24
Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2.000 y 3.000
euros por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda, el
distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de aceite
que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste?
Determínese dicho coste mínimo.
X Tn de aceite al almacen A
Y Tn de aceite al almacen B
Z = 2000 · x + 3000 · y
2≤x≤7
2≤y≤7
x+y≥6
x ≤ 2y
x+y=6
x = 2y
x
0
6
x
0
y
6
0
y
0
x y
2 1
A (4, 2)
Z (A) = 14000
B (7, 7/2)
Z (B) = 24500
C (7, 7)
Z (C) = 35000
D (2, 7)
Z (D) = 25000
E (2, 4)
Z (E) = 16000
-
El coste mínimo es en A, es de 14000 €
Debe comprar 4 Tn a A y 2 Tn a B.
Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas que pueden suministrarle, solo le venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El B envía en
cada contenedor 2 cajas de manzanas, 1 de plátanos y 7 de manzanas.
Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km. de distancia y el
B se encuentra a 300 Km., calcula cuantos contenedores habrá que
comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.
Si tomamos x contenedores de A e y contenedores de B.
La función objetivo a minimizar será la distancia a recorrer:
z =150x + 300y
Restricciones:
 Naranjas: 8 cajas · x contenedores + 2 cajas · y contenedores ≥
16 cajas necesarias.
 Plátanos: 1 caja · x contenedores + 1 caja · Y contenedores ≥
5 cajas necesarias.
 Manzanas: 2 cajas · x contenedores + 7 cajas · y contenedores ≥
20 cajas necesarias.
43
El problema es:
Minimizar la función z = 150x + 300y con las restricciones
8x + 2y ≥ 16
x+y≥5
2x + 7y ≥ 20
x≥0
y≥0
8x + 2y ≥ 16;
Represento 4x + y = 8
x
y
0
8
2
0
2x + 7y ≥ 20;
Represento 2x + 7y = 20
x y
10 0
3 2
x + y ≥ 5; Represento x + y = 5
x y
0 5
5 0
La región factible es el plano
abierto con los puntos A, B, C,
D, E incluidos sus lados.
x+y
=5
x=5-y
B (0,8) E (10,0)
C=
8x +
2y =16
8 (5 - y) + 2y =
16; 40 – 8y + 2y = 16
-6y = -24; y = 4
x=1
x = 5 – 4;
C (1,4)
x+y=5
x=5-y
2x + 7y = 20
2 (5 - y) + 7y = 20;
D=
x = 5 – 2;
x=3
D (3,2)
Evaluemos la función objetivo z = 150x + 300y
10 - 2y + 7y = 20;
5y = 10; y = 2
Z (B) = 150 · 0 + 300 · 8 = 2400
Z (C) = 150 · 1 + 300 · 4 = 1350
Z (D) = 150 · 3 + 300 · 2 = 1050
Z (E) = 150 · 10 + 300 · 0 = 1500
El mínimo se alcanza en D (3,2).
Por tanto, el frutero compra 3 contenedores al mayorista A y 2 contenedores al
mayorista B.
Una aerolínea quiere optimizar el número de filas de clase preferente y de clase turista en un avión. La longitud útil del avión para instalar las filas de asientos es de 104 m, necesitándose 2 m para instalar
una fila de clase preferente y 1,5 para las de clase turista. La aerolínea
precisa instalar al menos 3 filas de clase preferente y que las filas de
clase turista sean como mínimo el triple de las de clase preferente. Los
beneficios por fila de clase turista son de 152 € y de 206 € para la clase
preferente. ¿Cuántas filas de clase preferente y cuántas de clase turista
se deben instalar para obtener el beneficio máximo? Indicar dicho beneficio.
(PAU Junio común 2006-07).
Sean x= Número de filas de clase preferente e y = Número de filas de clase turista.
45
Planteamos el sistema de inecuaciones, dibujamos la región factible y calculamos sus
vértices:
4𝑥 + 3𝑦 = 208
2𝑥 + 1,5y ≤ 104
𝑥=3
𝑥 ≥ 3
𝑦 = 3𝑥
𝑦 ≥ 3x
=>
𝑥=0
x≥0
𝑦=0
{
y≥0
{
208
𝑥 = 0 => 𝑦 = 3 = 69,3
4x + 3y = 208 => {
Se dibuja la recta
𝑦 = 0 => 𝑥 = 52
y el punto (0,0) => 0 ≤ 104, luego vale la región por debajo de la recta
𝑥 = 0 => 𝑦 = 0
Se dibuja la recta y el punto (10,0) => 0 ≥ 30,
𝑥 = 50 => 𝑦 = 50
No vale la región por debajo de la recta , luego valdrá por encima
y = 3x => {
Tomando los valores de 𝑥 ≥ 3, 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑥 ≥ 0 𝑦𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑦 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑦 ≥ 0
Queda como región factible el triangulo de vértices A, B y C de la figura en azul
Los vértices de la región factible son:
196
4𝑥 + 3𝑦 = 208
𝐴≡{
12 + 3𝑦 = 208 => 3𝑦 = 196 => 𝑦 = 3 => A(3, 196/3)
𝑥=3
4𝑥 + 3𝑦 = 208
𝐵≡{
𝑦 = 3𝑥
𝐶≡ {
4𝑥 + 9𝑥 = 208 => {
𝑦 = 3𝑥
𝑦 = 9 => C(3, 9)
𝑥=3
𝑥=
208
13
= 16
𝑦 = 3 · 16 = 48
=> B(16, 48)
La función beneficio es:
f(x,y) = 206 x + 152 y
Estudiamos cómo se comportan los vértices de la región factible:
Z(A) = 206·3 + 152·196/3 = 10548,67 €
Z(B) = 206·16 + 152·48 = 10592 €
Z(C) = 206·3 + 152·9 = 1986 €
Para obtener el beneficio máximo se deben instalar: 16 filas de clase preferente y 48
filas de clase turista. El beneficio será de 10.592 €.
Una empresa farmacéutica fabrica una vitamina en ampollas, que
debe contener, al menos, 10 unidades de vitamina p y 24 unidades de
vitamina q en cada ampolla. Dichas vitaminas se pueden obtener de
dos compuestos A y B. A contiene 1 unidad de vitamina p y 8 unidades
de vitamina q por cada gramo y B contiene 6 unidades de la p y 3 de la
q, también por cada gramo. Si el producto A cuesta 15 céntimos por
gramo y el B cuesta 30 céntimos por gramo, determinar las cantidades
de cada producto que se deben de tomar para cada ampolla, a fin de
que el coste sea mínimo.
Sea x la cantidad tomada de A e y la cantidad tomada de B.
La funcion objetivo sera Z = 15 x + 30 y
47
Para la vitamina p 1·x + 6·y  18 al menos
Las restricciones seran:
Para la vitamina q 8·x + 3·y  24 al menos
Ademas x  0 e y  0 como minimo.
1·x + 6·y  18
x + 6y = 18
8·x + 3·y  24
8x + 3y = 24
y
3
0
Tomo (0,0)  0  18 no vale
x y
0 8
3 0
Tomo (0,0)  0  24 no vale
x
0
18
C(0,8) B(18,0)
x + 6y = 18
x + 6y = 18
A:
8x + 3y = 24
- 16x – 6y = - 48
- 15 x = - 30  x = 2 ; 2 + 6y = 18
6y = 16  y = 8 / 3
A ( 2, 8/3)
Z(A) = 15·2 + 30· 8/3 = 30 + 80 = 110 centimos
Z(B) = 15·18 + 30·0 = 270 centimos
Z(C) = 15·0 + 30·8 = 240 centimos
El coste minimo sera de 110 centimos y para ello tomaremos 2 gramos de producto A y
8/3 gr de producto B
Una empresa de instalaciones disponible de 195 kg de cobre, 20 kg
de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de
tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg
de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por
100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros , y por 100 metros de
cable de tipo B, 1000 euros. Calcular los metros de cable de cada tipo
que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa.
Obtener dicho beneficio máximo.
(PAU modelo 2009-10).
a) escribimos la función objetivo , las restricciones y dibujamos la región factible
49
Max f(x,y) = 1500 x + 1000 y
10x + 15y ≤ 195
2𝑥 + 𝑦 ≤ 20
𝑥 + 𝑦 ≤ 14
=>
𝑥≥0
{
𝑦≥0
2𝑥 + 3𝑦 = 39 => {
𝑥 = 0 => 𝑦 = 13
39
𝑥 = 2 => 𝑦 = 0
𝑥 = 0 => 𝑦 = 20
2𝑥 + 𝑦 = 20 => {
𝑥 = 10 => 𝑦 = 0
𝑥 = 0 => 𝑦 = 14
𝑥 + 𝑦 = 14 => {
𝑥 = 14 => 𝑦 = 0
{
25
20
0, 20
Cobre
Titanio
15
0, 14
0, 13
Aluminio
195=10x+15y
10
14=x+y
20=2x+y
5
0
10, 0
0
5
10
b)
A(0,0) B(10,0) E(0,13)
D:{
C: {
14, 0
15
𝑥 + 𝑦 = 14
2𝑥 + 𝑦 = 20
19.5, 0
20
25
𝑥 = 6 ; 𝑦 = 14 − 6 => 𝑦 = 8 𝐶(6,8)
𝑥 + 𝑦 = 14
𝑦 = 11 => ; 𝑥 = 14 − 11 = 3 => 𝐷(3,11)
2𝑥 + 3𝑦 = 39
c)
Z(A) = 0 €
Z(B) = 1500·10 + 1000·0 = 15000 €
Z(C) = 1500·6 + 1000·8 = 9000 + 8000 = 17000 €
Z(D) = 1500·3 + 1000·11 = 4500 + 11000 = 15500 €
Z(E) = 1500·0 + 1000·11 = 11000 €
El beneficio máximo es de 17000€ por cada 100 metros cuando se usan 600 metros de
cable de tipo A ( x = 6 · 100) y 800 metros de cable de tipo B ( y = 8 · 100)
Una papelería quiere liquidar hasta 78kg de papel reciclado y hasta
138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los
lotes A están formados por 1 kg del papel reciclado y 3 kg de papel
normal y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El precio de venta
de cada lote A es de 0,9 euros y el de cada lote B es de 1 euro. ¿Cuántos
lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos?
(PAU modelo 2006-07)
Papel reciclado hasta 78 kg
Papel normal hasta 138 kg
A
1 kg papel reciclado
3 kg papel normal
→ cada lote se vende a 0,9 €
51
B
2 kg papel reciclado
2 kg papel normal
→ cada lote se vende a 1 €
x lotes de A , y lotes de B para maximizar ingresos
z = 0,9 x + 1 y
x + 2y ≤ 78
3x + 2y ≤ 138
x≥0
y ≥0
x + 2y = 78
3x + 2y = 138
x y
0 39
78 0
x y
0 69
46 0
Los vértices son:
A (0,0)
B (46,0)
D (0,39)
x + 2y = 78 → 2y = 78 – 30 = 48 ; y = 24
C {
3x + 2y = 138 → 2x = 60 ; x = 30
z (A) = 0+0 = 0 €
z (B) = 0,9 · 46 + 1 · 0 = 41,4 €
z(C) = 0,9 · 30 + 1 · 24 = 27 + 24 = 51 24 = 27 + 24 = 51 €
C (30,24)
z (D) = 0,9 · 0 + 1 · 39 = 39 €
Para que los ingresos sean máximos se deben vender 30 lotes A y 24 lotes B.
Los ingresos ascienden a 51 €.
EJERCICIO 1
Consideramos el recinto del plano limitado por las siguientes inecuaciones:
y–x≤4
y + 2x ≥ 7
–2x – y + 13 ≥ 0
x≥0
y≥0
c) Represente el recinto y calcule sus vértices
d) Halle en qué puntos de ese recinto alcanza los valores máximo y mínimo la función F(x, y)= 4x
+ 2y – 1
c)
Planteamos las inecuaciones y dibujamos la región factible
𝑥−𝑦≤4
𝑦 + 2𝑥 ≥ 7
−2𝑥 − 𝑦 + 13 ≥ 0
𝑥≥0
{
𝑦≥0
7
13
2
2
Vértices de la región: A ( , 0), B (1, 5), C (3,7) y D ( , 0)
d) Calculamos el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices
7
F ( , 0)=13
2
F (1, 5)= 13
F(3, 7)=25
13
F( , 0)= 25
2
El máximo se alcanza en cualquier punto del segmento CD y el mínimo en cualquier punto del
segmento AB.
Tani
a
Sánc
hez
Arias
2ºB
53