Planteamiento y resolución de sistemas. Programacion lineal. El

Planteamiento y resolución de sistemas. Programacion lineal.
El empleo en el sector servicios en el 1987 representaba aproximadamente el 53% del empleo total, en el sector industrial el 35% y en el
sector agrícola el 12%. Si el empleo total del año fue de 11593900.
Calcular los empleos del sector.
Llamamos x a los empleos del sector servicio
Llamamos y a los empleos del sector industrial
Llamamos z a los empleos del sector agricola
Llamamos t a los empleos totales
x = 0,53t
y = 0,35t
z = 0,12t
x = 6144767 empleos sector servicio
y = 4057865 empleos industriales
z = 1391268 empleos agricolas
En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas,
en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra,
carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por
unidad de producto fabricado:
A. en laminas
A. en rollos
A. especiales
Chatarra
8
6
6
Carbón
6
6
4
Aleaciones
2
1
3
Si se disponen de 34 unidades de chatarra, 28 de carbón y 9
aleaciones, ¿Cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán
fabricar con estos materiales?
X acero en láminas
Y acero en rollos
Z aceros especiales
4
3
2
3
3
1
3
2
3
| 17
| 14
| 9
4x + 3y + 3z =17
3y – z = 5
8z = 8
8x + 6y + 6z =34
6x + 6y + 4z =28
2x + y + 3z = 9
2f3 – f1
=
4f2 – 3f1
4
0
0
3
3
-1
3 | 17
-1 | 5
3 | 1
4x + 3y + 3z =17
3x + 3y + 2z =14
2x + y + 3z = 9
3f3 + f2
=
4
0
0
8z = 8 ; z =1 unidad de acero especial
3y – (1) = 5 ; 3y = 6 ; y = 2 unidades de acero en rollos
4x + 3 · (2) + 3 ·(1) = 17 ; 4x = 8 ; x =2 unidades de acero en laminas
3
3
0
3 | 17
-1 | 5
8 | 8
En una granja se venden pollo, pavos y perdices a razón de 2, 1,50 y
4 euros/kg, respectivamente. En una semana, los ingresos totales de la
granja ascendieron a 5700 €. Si se sabe que la cantidad de pollo vendida es superior en 100kg a la de pavo, y que se vendió de perdiz la mitad
que de pavo:
a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de cada tipo de carne. b) Expresa matricialmente el problema.
c) ¿Cuántos kilos se vendieron de cada tipo?
X pollos
a 2€/kg
Y pavos
a 15€/kg
Z perdices
a 4€/kg
2X + 1´5Y + 4Z = 5700
X = Y + 100
Z=½Y
4
1
0
3
-1
-1
F3 – 7F2
=
8
0
2
11400
100
0
4X + 3Y + 8Z = 11400
X - Y = 100
Y – 2Z = 0
=
1 -1 0
0 -1 2
4 3 8
100
0
11400
F3 - 4F1
=
1 -1 0
100
0 -1 2
0
0 0 22 11000
22 Z = 11000 ; Z = 11000 / 22 ;
Z= 500kg de perdices.
- Y + 2Z = 0 ; Y = 2Z ; Y = 1000kg de pavos.
X = 100 + Y ; X = 1100kg de pollos
1 -1 0
100
0 -1 2
0
0 7 8 11000
Fulano de Tal quiere hacer una gran fiesta e invitar a sus amigos a
unas tortillas, así que va de tienda y compra una docena de huevos,
una bolsa de patatas y una botella de aceite. Dado el éxito obtenido,
decide repetir la fiesta y vuelve a comprar una docena de huevos y dos
botellas de aceite. Cuando llega a casa, se acuerda que no tiene patatas.
Vuelve a la tienda para comprar una bolsa de patatas y decide comprar también otra docena de huevos. En la primera ocasión gasto 6 euros; en la segunda ocasión gasto 6,5 euros y en la ultima 3,5 euros.
Calcular si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite.
x precio de los huevos ; y precio de las patatas ; z precio del aceite
x+y+z=6
x + 2z = 6,5
y + x = 3,5
y = 3,5 – x
x + 3,5 – x + z = 6  z = 6 – 3,5 ; z = 2,5 €
x + 2 · 2,5 = 6,5
 x = 6,5 – 5 ; x = 1,5 €
y = 3,5 – 1,5 ; y = 2 €
Hace tres años la edad del padre era el triple de la de su hijo. Dentro
de nueve años la edad del hijo será la mitad de la del padre. Hallar las
edades actuales de ambos.
Edad actual del padre: x
Edad actual del hijo: y
Hace tres años
==> x - 3 = 3· (y - 3)
Dentro de nueve años ==> y + 9 = (x + 9) / 2
Resolvamos el sistema de dos ecuaciones con dos incognitas
x - 3 = 3y - 9 ;
y + 9 = (x + 9) / 2;
x - 3y = - 6
2y + 18 = x + 9
x - 3y = - 6 por 1 ==> x - 3y = - 6
x - 2y = 9 por -1 ==> - x + 2y = - 9
______________
sumando
- y = - 15 ==>
x = - 6 + 3 · 15 ==> x = - 6 + 45
y = 15 años
==> x = 42 años
Los alumnos de los tres cursos de un centro suman 260. La relación
entre los de cuarto de ESO y primero es de 19/18, y la relaciónn de primero y segundo es de 6/5. ¿Cuantos alumnos hay en cada curso?.
¿Cuantos grupos de cada curso hay, en el supuesto de que cada grupo
tenga 35 alumnos como máximo?.
x seran los alumnos de 4º ESO
y seran los alumnos de 1º
z seran los alumnos de 2º
{ x + y + z = 260
{ x / y = 19 / 18
{ y/z=6/5
Despejamos de la 2ª y 3ª ecuación, la x y la z en función de y.
x = 19y / 18
z = 5y / 6
y lo sustituimos en la 1ª ecuación
19y /18 + y + 5y / 6 = 260
19y + 18y + 15y = 260 · 18 ==> 52y = 4680 ==> y = 90 alumnos
x = 19 · (90 / 18) ==>
z = 5 · (90 / 6)
==>
x = 95 alumnos
z = 75 alumnos
Para calcular los grupos por curso, dividiremos los alumnos de cada curso por 35
alumnos como máximo.
De 4º serán: 95 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
De 1º serán: 90 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
De 2º serán: 72 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
Mikel sale con un montón de cromos y vuelve a casa sin ninguno.
Su madre le pregunta que ha hecho con los cromos, a lo que Mikel
responde: A cada amigo que encontré le di la mitad de los cromos que
tenia en ese momento mas uno. Su madre le pregunta que con cuantos
amigos se ha encontrado, a lo que Mikel contesta que con cinco.
¿Cuántos cromos tenia Mikel al salir de casa? Razona la respuesta.
x cromos al salir de casa
Al primer amigo le da x/2 + 1 = (x + 2) / 2 y le queda x – (x + 2) / 2 = (x – 2) / 2
Al segundo amigo le da [(x - 2) / 2] / 2 + 1 = (x – 2) / 4 + 1 = (x + 2) / 4 y le
queda (x – 2) / 2 - (x + 2) / 4 = (2x – 4 – x – 2) / 4 = (x – 6) / 4
Al tercer amigo le da [(x – 6) / 4] / 2 + 1 = (x – 6) / 8 + 1 = (x + 2) / 8 y le
queda (x – 6) / 4 - (x + 2) / 8 = (2x – 12 – x – 2 ) / 8 = (x – 14) / 8
Al cuarto amigo le da [(x – 14) / 8] / 2 + 1 = (x – 14) / 16 + 1 = (x + 2) / 16 y le
queda (x – 14) / 8 – (x + 2) / 16 = (2x – 28 – x – 2) / 16 = (x – 30) / 16
Por último al quinto amigo le da [(x – 30) / 16] / 2 + 1 = (x – 30) / 32 + 1 =
= (x + 2) / 32 y le queda (x – 30) / 16 – (x + 2) / 32 = (2x – 60 – x – 2) / 32 =
= (x – 62) / 32 Como al final no le quedan cromos  x – 62 = 0  x = 62 cromos
Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos: A, B, C.
El alimento del tipo A tiene 10cal. por cada 100gr., el de tipo B tiene
30cal. por cada 100gr., y el C tiene 40cal. por cada 100gr. Si la dieta
consta de 400gr. de alimento por cada dia, si ducha dieta esta restringida a 840cal., y si la cantidad de alimento del tipo A ingerido debe ser el
doble en peso que la cantidad de alimento C. Hallar las cantidades que
debe ingerir de cada uno de los alimentos.
A=X
B=Y
C=Z
X + Y + Z = 4000
X + Y +Z = 4000
(10/100)· X + (30/100)· Y + (40/100)· Z = 840
(0,1X + 0,3Y + 0,4Z = 840) ·10
X – 2Z = 0
X = 2Z
(X + Y + Z = 4000) · (-3)
-3X - 3Y - 3Z = - 1200
X +3Y +4Z = 8400
X + 3Y + 4Z = 8400
-2X + Z = - 3600
(-2X + Z = - 3600) ·2
X – 2Z = 0
-4X + 2Z = - 7200
X – 2Z = 0
-3X
= - 7200
X = 2400gr. de alimento de tipo A
X – 2Z = 0
2400 –2Z = 0
-2Z = -2400
Z= 1200gr. de alimento de tipo C
X + Y + Z = 4000
2400 + Y + 1200 = 4000
Y = 400gr. de alimento de tipo B
Se tienen tres tipos de café: el de clase A, que cuesta 980 pts/kg; el
de clase B, que cuesta 875 pts/kg, y el de clase C, que cuesta 950 pts/kg.
Se desea hacer una mezcla para vender 1050 kg a 940 pts/kg. ¿Cuántos
kg de cada clase se deben de poner si del tercer tipo debe entrar el doble de los otros dos juntos?.
x kg de café A a 980 pts/kg
y kg de café B a 875 pts/kg
z kg de café C a 950 pts/kg
1050 kg de mezcla a 940 pts/kg
x + y + z = 1050
z = 2 ·(x + y)
980·x + 875·y + 950·z = 1050 · 940
Resolviendo por Gauss
e2 – 2e1
x + y + z = 1050
======
- 3z = - 2100
e3 – 196e1
- 21y – 6z = - 8400
x + y + z = 1050
= 2x + 2y – z = 0
196x + 175y + 190z = 197400
 z = 700 kg de café C
- 21y – 6·700 = - 8400 ; -21 y = - 4200  y = 210 kg de café B
x + 210 + 700 = 1050  x = 140 kg de café A
Según RENFE, el nº de viajeros que utilizaron el tren en Enero ascendió a 275700, en Febrero descendió en 25200 viajeros.
Las dos categorías que existen son de 1ª y 2ª. Si la relación para el
mes de Enero ha sido de un 30% de 1ª mas en Enero que en Febrero y
la 2ª clase en Enero representa el 60% del total. ¿Cuantos pasajeros de
1ª y de 2ª han utilizado el servicio?.
Llamamos x a los pasajeros de 1ª
Llamamos y a los pasajeros de 2ª
Llamamos x1 a los de 1ª en Enero y x2 a los de 1ª en Febrero
Llamamos y1 a los de 2ª en Enero y y2 a los de 2ª en Febrero
x1 + y1 = 275700
x2 + y2 = 275700 - 25200 = 250500
x1 = x2 + 0,3x2
y1 = 0,6 · (x1 + y1)
==> x1 = 275700 - y1
x2 + y2 = 250500
275700 - y1 = 1,3x2
y1 = 0,6 ·(275700 - y1) + 0,6y1 ==> y1 = 165420 viajeros
275700 - 165420 = 1,3 · x2 ==> x2 = 110280 / 1,3 ==> x2 = 84831
y2 = 250500 - x2 = 250500 - 84831 = 165669 viajeros
x1 = 275700 - 165420 = 110280 viajeros
Los pasajeros de 1ª seran x = x1 + x2 = 110280 + 84831 ;
x = 195111 viajeros.
Los pasajeros de 2ª seran y = y1 + y2 = 165420 + 165669 ;
y = 331089 viajeros.
Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C, se obtienen 50 años. Además, el doble de las antigüedades de B y de C es
igual al triple de la antigüedad de A, y la diferencia de antigüedad entre B y C es igual al 30 % de la antigüedad de A. Determina los años de
antigüedad de cada empleado.
x años el A, y años el B, z años el C
x + y + z = 50
2·(y + z) = 3x
y – z = 30/100 · x

x + y + z = 50
3x – 2y – 2z = 0
3x – 10y + 10z = 0
x + y + z = 50
e3 + 13 e2
y + z = 30
==
- 13y + 7z = - 150
e2 – 3e1
==
e3 – 3e1
x + y + z = 50
y + z = 30
20 z = 240
x + y + z = 50
- 5y – 5z = - 150
- 13y + 7z = - 150
z = 240 / 20  z = 12
y + 12 = 30  y = 18
x + 18 + 12 = 50  x = 20
20 años de antigüedad el empleado A, 18 años de antigüedad el empleado B y
12 años de antigüedad el empleado C.
Tres amigos, Marcos, Luisa y Miguel, son aficionados a la música.
Entre los tres poseen un total de CD comprendido entre 16 y 22 unidades. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luisa presta 1 CD a Marcos y Miguel presta 2 CD a Luisa, con lo cual los tres amigos tienen al final el
mismo numero de CD. ¿Cuántos CD pueden tener en total?.
Marcos tiene x CD, Luisa tiene y CD y Miguel tiene z CD
16 ≤ x + y + z ≤ 22
Marcos se queda con x – 4 + 1 = x – 3 CD
Luisa se queda con y – 1 + 2 = y + 1 CD
Miguel se queda con z + 4 – 2 = z + 2 CD
Como los tres deben de acabar con el mismo numero de CD
x–3=y+1
x–3=z+2
x–y=4
x–z=6
Llamando x = λ
y=λ–4
z=λ-5
λ = 6 x = 6;
λ=7
x = 7;
λ=8
x = 8;
λ=9
x = 9;
λ = 10 x = 10;
λ = 12 x = 11;
y = 2;
y = 3;
y = 4;
y = 5;
y = 6;
y = 7;
y=x-4
z=x–5
Para que x, y ,z sean positivos λ ≥ 6
z=1
z=2
z=3
z=4
z=5
z=6
x+y+z=9
x + y + z = 12
x + y + z = 15
x + y + z = 18
x + y + z = 21
x + y + z = 24
no vale
no vale
no vale
si vale
si vale
no vale
Marcos 9 CD, Luisa 5 CD y Miguel 4 CD
Las soluciones son dos
Marcos 10 CD, Luisa 6 CD y Miguel 5 CD
Un autobús universitario transporta en hora punta 80 viajeros de
tres tipos: viajeros que pagan el billete entero, que vale 75 céntimos,
viajeros con bono de des-cuento del 20% y estudiantes con bono de
descuento del 40%. Si la recaudación del autobús en ese viaje fue de
39,75 euros, calcula el numero de viajeros de cada clase sabiendo que
el numero de estudiantes era el triple que el del resto de viajeros.
x es el nº de viajeros sin descuento.
y es el nº de viajeros con el 20% de descuento.
z es el nº de viajeros con el 40% de descuento.
x + y + z = 80
z = 3 ·(x + y)
75x + 0,8 ·75 y + 0,6 · 75 z = 3975
x + y + z = 80
3x + 3y – z = 0
x + 0,8 y + 0,6 z = 53
e2 – 3e1

e3 – e1
x + y + z = 80
- 4z = - 240  z = 60
- 0,2 y - 0,4 z = - 27
- 0,2 y – 0,4 · 60 = - 27  - 0,2 y = - 3  y = 3 / 0,2  y = 15
x+ 15 + 60 = 80  x = 5
5 viajeros sin descuento, 15 viajeros con el 20% de descuento y 60 estudiantes.
Un número capicúa tiene cinco cifras. La suma de las cifras es 9. La
cifra de las centenas es la suma de las cifras de las unidades y las decenas. Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número
que resulta disminuye en 9. Hallar el número.
El numero es xyzyx 
Al cambiar el numero xyzxy disminuye en 9 unidades
x+y+z+y+x=9
z=y+x
10000x + 1000y + 100z + 10x + y = 10000x + 1000y + 100z + 10y + x – 9
2x + 2y + z = 9
x+y–z=0
9x – 9y = - 9
F3+F2
=

2x + 2y + z = 9
x +y –z= 0
x -y
= -1

2 2 1 9 F3-F2
1 1 -1 0
=
1 -1 0 -1 F1-2F3
2 2 1 9
0 -2 1 -1
0 4 1 11
2 2 1 9
0 -2 1 -1
0 0 3 9
3z = 9 ; z = 3
-2y+z = -1 ; -2y+3 = -1 ; -2y = -4 ; y = 2
2x+2y+z = 9 ; 2x+4+3 = 9 ; 2x = 2 ; x = 1
El número es 12321
Una compañía de transportes tiene tres camiones diferentes, P, Q y
R, en los que caben exactamente un cierto numero de contenedores de
tres tipos A, B y C, de acuerdo con la siguiente tabla:
A B C
P 5 3 4
Q 2 5 5
R 4 3 6
Si se han de transportar 45 contenedores de tipo A, 44 de tipo B y 58
de tipo C, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si todos los viajes lo
hacen totalmente llenos?.
x nº de viajes el P ; y nº de viajes el Q ; z nº de viajes el R
Contenedor A: 5x + 2y + 4z = 45 5e2 – 3e1
Contenedor B: 3x + 5y + 35 = 44 ====
Contenedor C: 4x + 5y + 6z = 58 5e3 – 4e1
19e3 – 17e2 5x + 2y + 4z = 45
=======
19y + 3z = 85
215z = 645

5x + 2y + 4z = 45
19y + 3z = 85
17y + 14z = 110
z=3
19y + 3·3 = 85  19y = 76  y = 4
5x + 2·4 + 4·3 = 45  5x = 25  x = 5
5 viajes realizo el camion P, 4 viajes realizo el camion Q y 3 viajes realizo el
camion R
Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofas. Para la fabricación de cada uno de estos muebles se necesitaron
unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla. Si la compañía tenia en existencia 400 unidades de madera, 600
unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio, y utilizo todas sus
existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó?
Madera plástico Aluminio
Sillas
1
1
2
Mecedoras
1
1
3
Sofás
1
2
5
x sillas
y mecedoras
z sofas
madera :
x + y + z = 400
plastico :
x + y + 2z = 600
aluminio : 2x + 3y + 5z = 1500
y + 600 = 700  y = 100 ;
e2 – e1
==
e3 – 2e1
x + y + z = 400
z = 200
y + 3z = 700
x + 100 + 200 = 400  x = 100
Hay 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofas.
Una empresa produce un bien, cuya función de oferta es Qo = - 50 +
30p y su función de demanda viene dada por Qd = 100 - 20p. ¿Cuales
son el precio y la cantidad en el punto de equilibrio Qo = Qd?.
Si Qo = Qd ;
- 50 + 30p = 100 - 20p es decir una ecuación con una sola incógnita.
30p + 20p = 100 + 50 ==> 50p = 150 ==> p = 3
Qo = - 50 + 30.3 = - 50 + 90 ==> Qo = 40 pts sera el precio
En el equilibrio
Qd = 100 - 20.3 = 100 - 60 ==> Qd = 40 bienes demandados
Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones
asciende a 31. Para que el número de ejecutivos de la delegación de
Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de
ellos de Madrid a Barcelona. Además, el número de los ejecutivos de
Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciudades. ¿Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad?
x ejecutivos en Madrid
y ejecutivos en Barcelona
z ejecutivos en Valencia
x + y + z = 31
x=y+z+1
x–3=y+3
x + y + z = 31
x–y–z=1
x–y=6
x + y + z = 31
x–y–z=1
x = 16 ejecutivos en Madrid.
16 – y = 6; y = 10 ejecutivos en Barcelona.
16 – 10 – z = 1; z = 5 ejecutivos en Valencia.
2x = 32
Una tienda vende una clase de calcetines a 12€ el par. Al llegar las
rebajas, realiza durante el primer mes un 30% de descuento sobre el
precio inicial y en el segúndo mes hace un 40% también sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de calcetines por
5976€ y que durante las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, ¿a
cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 40%? .
X calcetines a 12€ .
Y calcetines al 30% de 12€ ; 30/100 · 12 = 3´6 ;
Z calcetines al 40% de 12€ ; 40/100 · 12 =4´8 ;
X + Y + Z = 600
12 X + 8`4 Y + 7`2 Z =5976
Y+ Z = 300
1 1 1
0 1 1
30 21 18
1 1 1
0 1 1
0 -3 -4
600
300
14940
600
300
-1020
f3/3
f3 - 3 f2
Z =120 pares al 40%
Y = 300 – 120 = 180 pares al 30%
X = 300 pares sin rebaja.
12 - 3´6= 8´4 € .
12 – 4´8= 7´2 € .
X + Y + Z = 600
Y + Z = 300
120X + 84 Y + 72 Z = 59760
1 1 1
0 1 1
10 7 6
1
0
0
1 1
1 1
0 -1
600
300
4980
f3 - 10f1
600
300
-120
- z = - 120 ;
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dado el sistema ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
x  ay  z  1

2 y  az  2 
x  y  z 1 

a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
b) Resolver el sistema para a  3 , c) resolver el sistema para el valor
de a que lo haga compatible indeterminado, por el método de Gauss
(PAU Septiembre 2007)
a) Llamamos M a la matriz de los coeficientes y M* a la matriz ampliada

Si M  a2  a  0  a = 0 o a  1 .

 Rango (M) = Rango (M*) = 3 
 El sistema es compatible
Si a  0 a  0 y a  1 
determinado. Solucion unica.

Si a  0 ,
1
0
0

0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
2
0
2
1
1
0
1
1
2
1
1
0
0
0
2
1
1
0
0
1
2
0
1
0
0
0
1
2
1
0
0
1
0
2
0·z = 2 sistema incompatible
Si a  1 , el sistema es:
x  y  z  1

2 y  z  2
zy

2
2
y
x 1 
2
  2 
 
 ,  
2
2
2
Si a  3 , resolvemos el sistema por el método de Gauss:
1 3 1 1
1 3 1 1
1 3 1 1






  0 2 3 2  
 0 0 3 2
F3  F3 F1
F2  F2 F3
 0 2 3 2  
1 1 1 1
 0 2 0 0 
 0 2 0 0 






El sistema es:
x 3 y  z  1 
2
1

3 z  2   y  0, z  , x 
3
3
2 y  0 
Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parámetro real a:
x - 2y + z = 0
3x + 2y – 2z = 3
2x+ 2y+ az = 8
a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
b) Resolver el sistema para a = 4.
(PAU Junio 2007)
- 14
-7
|C| = 8a+ 14 = 0  a = ------ = -----8
4
a) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes y la matriz
ampliada:
-7
· Si a ≠ ----- entonces Rango (C) = 3 = Rango (A) = nº de
4 incógnitas  el sistema es compatible determinado.
-7
· Si a = ----- entonces Rango (C) = 2 ≠ Rango (A) (A tiene un
4 menor de orden 3 no nulo)  El sistema es incompatible
b) x - 2y + z = 0
3x + 2y – 2z = 3 
2x + 2y + 4z = 8
-2y + x + z = 0
2y + 3x – 2z = 3 
2y + 2x +4z = 8
-2y + x + z = 0
4x – z = 3

3x + 5z = 8
-2y + x + z = 0
4x – z = 3
23x = 23
23
x = ----- = 1  4x - z = 3  4 - z = 3  z = 1
23
-2y + x + z = 0  -2y +1 + 1 = 0  -2y = -2  y = 1
MATRICES.
¿Como deben ser las matrices rectangulares M y N para que puedan efectuarse las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo.
Si el orden de la matriz M es (m,n) y el de la matriz N es (p,q).
Para poder multiplicar M.N , el numero de columnas de M debe ser igual al numero
de filas de N, es decir n = p.
De igual forma, para poder multiplicar N.M, el numero de columnas de N debe ser
igual al de filas de M, es decir q = m
Por tanto, para poder multiplicar la M.N y la N.M a la vez, deberá verificarse que el
orden de M sea (m,n) y el orden de N sea (n,m) respectivamente.
Dada la matriz A, ¿existe una matriz B, tal que el producto A.B, o
bien el B.A, sea una matriz de una sola fila?.
3 1 4 -1
Poner un ejemplo con A = 2 0 1 3
1 2 -1 5
Siendo B de dimensiones (p,q) y A de dimensiones (3,4)
Si multiplicamos A.B será necesario que el nº de filas de B sea igual al nº de
columnas de A, es decir que p = 4
Esto nos indica que no existe ninguna matriz B de una sola fila.
Si multiplicamos B.A será necesario que el nº de columnas de B sea igual al nº de
filas de A, es decir que q = 3 y para que el resultado de B.A tenga una sola fila, será
necesario que la matriz B posea una sola fila, es decir p = 1
En este caso la matriz B tendrá de dimensiones (1,3)
Si tomamos B = (1 0 0) y multiplicamos B.A nos queda:
3 1 4 -1
B.A = (1 0 0) · 2 0 1 3 = (3 1 4 -1)
1 2 -1 3
0
1
0
Halla At · A y A · At
Dada la matriz A =
1
0
A ·A = 1
0
1
0
1
t
0
1
0
1
0
1
·
0
1
0
1
0
1
t
A·A =
·
0
1
0
0
1
=
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
2
=
0 1 2
Dada la matriz A = 0 0 3 calcula las matrices
0 0 0
2
3
4
5
A , A , A y A . Obtén razonadamente la matriz An para n > 5 .
A2 =
0 1 2
0 0 3
0 0 0
3
0 0 3
0 0 0
0 0 0
A =
·
0 1 2
0 0 3
0 0 0
·
0 1 2
0 0 3
0 0 0
=
0 0 3
0 0 0
0 0 0
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
A4 = A3 · A = O · A = O
A5 = A4 · A = O · A = O
Como consecuencia An = O · A = O
= O
Dada una matriz P 2x2 , a)¿existe una matriz Q tal que el producto
P·Q, o bien el producto Q·P sea una matriz de una sola fila?.
b) Calcular la matriz M = P2 – 3P – 2I, siendo I la matriz identidad
de orden 2 y
-1
3
P=
2
1
a) P2x2 · Qnxm = B1xm Nunca ya que si el resultado tiene una fila, el multiplicando
tambien y aquí P tiene 2 filas
Qn x m · P2x2 = B1 x m Si, siempre que m = 2 y n = 1 ya que asi, si m = 2, el nº de
columnas de la multiplicando coincidira con el nº de filas de la multiplicadora y con el
nº de columnas del resultado.
Ademas, si n =1 , el nº de filas de la multiplicando coincide con el nº de filas del
resultado.
-1
3
2
1
b) M =
-1
3
2
1
·
7
0
0
7
=
-1
3
2
1
- 3·
-3
9
6
3
-
2
2
1
3
1
1
2
0
0
2
-
·
x
y
z
x + 2y + 3z = 7
y + 2z = 3 
- y – 2z = - 3 e3+e2
=
0
0
1
-2·
=
8
-9
-6
2
=
1 2
Dadas las matrices A = 3 2
1 1
escriba las tres ecuaciones del sistema
encontrando todas sus soluciones.
1
3
1
1
7
9
4
3
1 , B=
1
A·X = B
x + 2y + 3z = 7
3x + 2y + z = 9
x+y+z=4
x + 2y + 3z = 7
y + 2z = 3
0z = 0
7
9 y X=
4
y resuélvelo
e2-3e1 x + 2y + 3z = 7

- 4y – 8z = - 12 
e3-e1 - y – 2z = - 3
e3-e2
sistema compatible indeterminado
y = 3 – 2z
x + 2·(3 – 2z) + 3z = 7  x + 6 – 4z + 3z = 7  x = 1 + z
Las infinitas soluciones
x= 1+λ
y = 3 - 2λ
z= λ
x
y
z
2
-3
x
Encontrar x, y , u y v que verifican:
·
1
2x – 3u
2y – 3v
-4
y
-4
0
1
3
=
0
u
v
2x – 3u = -4
0
2 – 3u = -4  3u = 6  u = 2
=
x
y
1
3
x=1
2y – 3v = 0
6 – 3v = 0  3v = 6  v = 2
y=3
Hallar todas las matrices simétricas de segundo orden, que
verifiquen que A2 = I, siendo I la matriz unidad.
Toda matriz A , de segundo orden, debe ser de la forma
a
c
c
b
a
c
A=
2
A =
a
a2 + c2
c
·
c
b
a2 + c2 = 1
c2 + b2 = 1
ac + bc = 0
ac + cb
=
c
1
0
0
1
=
b
ac + cb
c2 + b2
c=0
==> c.(a + b) = 0 ==>
a+b=0
Si c = 0 ==> a2 = 1 ==> a = ± 1 y b = ± 1
Si a = b = 0 ==> a = ±  1 - c2
y b = ±  1 - c2
Con todas estas soluciones, las posibles matrices simétricas se segundo orden, serán
de la forma:
1
0
1
0
,
0
1
-1
0
,
0 -1
-1
,
0
1
 1-c2
0
- 1-c2
c
,
0
Estas dos ultimas para todo c  1
-1
c
,
c
2
- 1-c
c
1-c2
Hallar todas las matrices X de la forma
1 0 1
0 b 1
0 0 c
2
X =
X2 =
a
0
0
1 0
b 1
0 c
X2 =
1
0
0
0
b
0
Si
Si
Si
Si
A=
a 1 0
0 b 1 tales que
0 0 c
1
1
c
a
· 0
0
1
b
0
0
1
c
=
=
a2
0
0
a+b 1
b2 b+c
0
c
1 = a2 
a = 1, -1
0=a+b
b2 = b
b·(b-1) = 0  b = 0, 1
1=b+c
a = 1 y b = 0  0 = 1 + 0 No vale
a = 1 y b = 1  0 = 1 + 1 No vale
a = -1 y b = 0  0 = -1 + 0 No vale
a = -1 y b = 1  0 = - 1 + 1 Si vale y la c = 1 – b = 1 – 1  c = 0
-1
0
0
1
1
0
0
1
0
Hallar X2 + Y siendo X e Y matrices que verifican :
2
0
-4
15
1
-1
-2
9
5X + 3Y =
3X + 2Y =
5X+3Y=A
15 X + 9 Y = 3 A

 - Y = 3A – 5B  Y = -3 A + 5 B
- 15 X – 10 Y = - 5 B
3X+2Y=B
2
0
Y = -3 ·
1
-1
-2
9
+5·
- 4 15
5X+3Y=A
-6+5
-5
12 – 10
- 45 + 45
=
-5
=
2
0
10 X + 6 Y = 2 A


X = 2A – 3B
-9X–6Y=-3B
3X+2Y=B
2
-1
0
1
X = 2·
-4 15
1
3
-2
3
2
X +Y =
-6
7
-6
3
X +Y =
3
=
1
3
-2
3
=
-2
9
-8 + 6
1
3
-1
-5
-2
3
2
0
·
2
4–3
-1
-3·
+
30 – 27
-5 12
=
-1
-5
2
0
+
-8
3
Obtén las matrices A y B que verifican el sistema:
1 2 2
2A + B =
-2 1 0
-4 -3 -2
A – 3B =
-1 0 -1
2A + B = X
2A + B = X

A – 3B = Y
1
 7B = X – 2Y  B = --- ( X – 2Y)
- 2A + 6B = - 2Y
7
2A + B = X
6A + 3B = 3X
1
 7A = 3X + Y  A = --- ( 3X + Y)
7

A – 3B = Y
1
B = --- ·
7
1
A = --- ·
7
1
A – 3B = Y
2
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2 1
0
3
6
6
+
-6
3
0
1
10 8
= --- ·
7
0 1
1
-1
= --- ·
7
-7
6
2
3
4
3 -1
Sea A la matriz de una sola fila ( 2 1 5 ) y sea B la matriz de una
3
sola columna 2 . ¿Se pueden multiplicar A.B y B.A?
4
¿Es A.B = B.A?
A1x3 y B3x1 luego es multiplicable
3
A.B = ( 2 1 5 ) · 2
4
= 2.3 + 1.2 + 5.4 = 28
B3x1 y A1x3 luego son multiplicables
B.A =
3
2
4
A.B  B.A
6 3 15
· ( 2 1 5 ) = 4 2 10
8 4 20
10
2
Sea A =
. Encuentra una matriz cuadrada triangular
2 4
B tal que B · B = A. ¿Es única la matriz B?.
t
a
b
0
c
Sea B =
una matriz triangular de dimension 2x2
a
0
Su traspuestas sera : Bt =
Como B · Bt = A
b
a
b
a
0
·
0
c
10
2
2
4
a2 + b2 = 10
b·c=2
c2 = 4  c = ± 2
=
c
b
c
Si c = 2 ; b = 2 / c = 2 / 2  b = 1 ; a2 + 12 = 10  a2 = 9 a = ± 3
Si c = -2 ; b = 2 / -2  b = -1 ; a2 + (-1)2 = 10  a2 = 9 a = ± 3
3
1
-3
1
3
-1
-3
-1
0
2
0
2
0
-2
0
-2
Hay 4 soluciones diferentes
1
1
Sea la matriz A =
Hallar la ley de formación
0
2
para las potencias sucesivas de A, calcular An y demostrarlo por
inducción.
1
1
1
1
0
2
0
1
3
0
4
A2 = A · A =
22-1
4
0
22
1
7
1
23-1
0
8
0
23
3
2
0
1
1
0
2
·
A3 = A2 · A =
1
1
=
·
=
=
=
·
·
An =
1
2n-1
1
24-1
0
24
4
Comprobacion n = 4 ; A =
0
n
2
1
7
A4 = A3· A =
1
1
·
0
8
1
15
0
16
=
0
2
-1
3
1
Sean las matrices A =
-5
y B=
2
4
Calcula:
-3
1
3A + B ; At ; 2A - 3B ; A · B ; (A · B)t ; At · Bt .
-1
3
1
3A + B = 3 ·
-5
-3 + 1
+
2
-1
2
3
4
4
-3
6–3
1
A =
6
4
8
2A – 3B =
3
-15
-9
3
-
-1
3
2
4
A·B=
-5
21
13
5
=
1
-5
-3
1
1
-3
·
-10
8
-10
-6
-11
5
-17
-5
=
-10 -10
(A · B)t =
8
-1
-6
2
At · Bt =
·
3
4
=
-5
1
-2
4
3
13
=
t
-2
9–5
=
12 + 1
Sean las matrices A =
1 -2 1
0 1 0
-1 3 0
x
, X= y
-2
-x
2
z
e Y=
a) Determine la matriz inversa de A.
b) Halle los valores de x, y, z para los que se cumple A ∙ X = Y.
(PAU JUNIO 2007)
a)
1 -2 1
|A|= 0 1 0
-1 3 0
= 0 + 0 + 0 – (-1) – 0 – 0 = 1
Adj (A) t
Como |A | es distinto de 0, la matriz A tiene inversa: A‾ ¹ =
|A |
0
 = -3
-1
0 1
1 1
0 1
0 0 1
Ad = 3 1 -1
-1 0 1
t
( Ad )
=
0
0
1
3 -1
1 0
-1 1
0
A-1 = 0
1
b)
Planteamos la ecuación matricial:
1 -2 1
0 1 0
-1 3 0
∙
x
y =
-2
-x
2
z
x – 2y - 2 = - x
→
y = 2
- x + 3y = z
Sustituimos y = 2 en las otras dos ecuaciones y se resuelve el sistema formado:
x–4–2=-x
2x = 6
→
-x+6= z
x=3
→
x+z=6
La solución es x = 3, y = 2 y z = 3.
→ z=6–3=3
z=6–x
3 -1
1 0
-1 1
PROGRAMACIÓN LINEAL.
En un taller se fabrican jerseys de lana de dos tipos. El primer tipo
consume, por jersey, 4 madejas de 350 pesetas y 2 madejas de 300 pesetas. El segundo tipo, 3 madejas de 350 pesetas y 3 de 320 pesetas. Los
gastos de fabricación son de 650 pesetas para el primer tipo y de 1900
pesetas para el segundo, siendo sus precios respectivos de venta 5000 y
6600 pesetas. Sabiendo que a la semana no se pueden fabricar más de
100 jerseys y que por limitaciones de tecnología, por cada jersey del segundo tipo hay que confeccionar por lo menos tres del primero, se pide
obtener cual debe ser el número de jerseys de cada tipo, fabricados a la
semana, para obtener el máximo beneficio.
La función z es la del beneficio, que luego haremos máximo.
El beneficio por la venta de 1 jersey de cada tipo será:
precio venta (gastos fabricación + nº madejas . precio + nº madejas . precio)
1er tipo: 5000 - (650 + 4350 + 2300) = 500 - 2650 = 2350
2do tipo: 6600 – (1900 + 3350 +3320) = 6600 - 3910 = 2690
Si se fabrican x jerseys del 1er tipo e y jerseys del 2do tipo
Z = 2350 · x + 2690 · y  función objetivo
Las restricciones serán:
No se pueden fabricar mas de 100 jerseys es decir x + y 100
Por cada jersey del 2do tipo hay que confeccionar al menos 3 del 1er tipo es decir
3y x
x 0
Por último como el nº de jerseys no puede ser negativo
y 0
El problema por tanto será maximizar la función la función Z = 2350x + 2690y
x + y 100
3y x
Cumpliendo las restricciones
x
y
0
0
x+y
3y
100 ; x + y = 100
x ; 3y – x = 0
x
y
0 100
100 0
x y
0 0
300 100
El punto (0,0)  0
100 Es valido
El punto (100,0)  0
100 Es valido
Z = 2350 x + 2690 y ;
A (100,0) ; C(0,0)
3y=x
B
y + x = 100
y + 3y = 100  4y = 100
y = 25 ; x = 75
B( 75, 25)
La región factible es el triangulo ABC incluidos sus lados.
Z(A) = 2350 . 100 + 2690 . 0 = 235000
Z(B) = 2350 . 75 + 2690 . 25 = 176250 + 67250 = 243500
Z(C) = 0
B (75,25) es el punto máximo (optimo) , luego se fabricaran 75 jerseys del primer tipo y
25 jerseys del segundo tipo.
En una encuesta realizada por TV, se detecta que un programa A
con 20 minutos de variedades y 1 minuto de publicidad, capta 30000
espectadores, mientras que otro programa B con 10 minutos de variedades y 1 minuto de publicidad capta 10000 espectadores. En un determinado periodo de tiempo, TV decide dedicar 80 minutos de variedades y los anunciantes 6 minutos de publicidad. ¿Cuántas veces deberá
de aparecer cada programa con objeto de captar el máximo numero de
espectadores?.
Si x es el numero de veces que se emite el programa A.
Si y es el numero de veces que se emite el programa B.
La funcion objetivo a maximizar sera Z = 30000 · x + 10000 · y
En variedades
20 · x + 10 · y  80
x0
En publicidad
1·x+1·y  6
y0
y las restricciones:
20x + 10y  80  2x + y = 8
x+y6
 x+y=6
x
0
4
x
0
6
y
6
0
y
8
0
Tomo (0,0)  0  80 si vale
Tomo (0,0)  0  6 si vale
A(6,0)
C(0,8)
x+y=6
 -x=-2  x=2 e y=4
B:
B(2,4)
2x + y = 8
Evaluemos la funcion objetivo z = 30000 x + 10000 y
Z(A) = 30000 · 6 + 10000 · 0 = 180000
Z(B) = 30000 · 2 + 10000 · 4 = 100000
Z(C) = 30000 · 0 + 10000 · 8 = 80000
Para captar el numero de espectadores maximo que seria de 180000, se necesita que
aparezca 6 veces el programa A y ninguna el programa B.
Sea Z = ½ x + 3y con las restricciones x + 6y  18 ; 8x + 3y  24 ;
x  0 ; y  0 Hallar los valores de x e y para que la Z sea maximo.
La region factible es la misma que antes
C(0,8)
B(18,0) A(2,8/3) son los vértices que sustituiremos en Z
Z(A) = ½ ·2 + 3 ·8/3 = 1 + 8 = 9
Hay 2 puntos con la misma Z , en este caso las soZ(B) = ½ · 18 + 3 · 0 = 9
luciones seran todos los puntos de la recta x + 6y = 18
Z(C) = ½ · 0 + 3 · 8 = 24
Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas que pueden suministrarle, solo le venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El B envía en
cada contenedor 2 cajas de manzanas, 1 de plátanos y 7 de manzanas.
Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km. de distancia y el
B se encuentra a 300 Km., calcula cuantos contenedores habrá que
comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.
Si tomamos x contenedores de A e y contenedores de B.
La función objetivo a minimizar será la distancia a recorrer:
z =150x + 300y
Restricciones:
 Naranjas: 8 cajas · x contenedores + 2 cajas · y contenedores ≥
16 cajas necesarias.
 Plátanos: 1 caja · x contenedores + 1 caja · Y contenedores ≥
5 cajas necesarias.
 Manzanas: 2 cajas · x contenedores + 7 cajas · y contenedores ≥
20 cajas necesarias.
El problema es:
Minimizar la función z = 150x + 300y con las restricciones
8x + 2y ≥ 16
x+y≥5
2x + 7y ≥ 20
x≥0
y≥0
8x + 2y ≥ 16;
Represento 4x + y = 8
x
y
0
8
2
0
2x + 7y ≥ 20;
Represento 2x + 7y = 20
x y
10 0
3 2
x + y ≥ 5; Represento x + y = 5
x y
0 5
5 0
La región factible es el plano abierto con los puntos A, B, C, D, E incluidos sus lados.
B (0,8) E (10,0)
-6y = -24; y = 4
x+y=5
x=5-y
8x + 2y =16
8 (5 - y) + 2y = 16; 40 – 8y + 2y = 16
C=
x = 5 – 4; x = 1
C (1,4)
x+y=5
x=5-y
2x + 7y = 20
2 (5 - y) + 7y = 20;
D=
x = 5 – 2;
x=3
10 - 2y + 7y = 20;
5y = 10; y = 2
D (3,2)
Evaluemos la función objetivo z = 150x + 300y
Z (B) = 150 · 0 + 300 · 8 = 2400
Z (C) = 150 · 1 + 300 · 4 = 1350
Z (D) = 150 · 3 + 300 · 2 = 1050
Z (E) = 150 · 10 + 300 · 0 = 1500
El mínimo se alcanza en D (3,2).
Por tanto, el frutero compra 3 contenedores al mayorista A y 2 contenedores al
mayorista B.
Una empresa farmacéutica fabrica una vitamina en ampollas, que
debe contener, al menos, 10 unidades de vitamina p y 24 unidades de
vitamina q en cada ampolla. Dichas vitaminas se pueden obtener de
dos compuestos A y B. A contiene 1 unidad de vitamina p y 8 unidades
de vitamina q por cada gramo y B contiene 6 unidades de la p y 3 de la
q, también por cada gramo. Si el producto A cuesta 15 céntimos por
gramo y el B cuesta 30 céntimos por gramo, determinar las cantidades
de cada producto que se deben de tomar para cada ampolla, a fin de
que el coste sea mínimo.
Sea x la cantidad tomada de A e y la cantidad tomada de B.
La funcion objetivo sera Z = 15 x + 30 y
Para la vitamina p 1·x + 6·y  18 al menos
Las restricciones seran:
Para la vitamina q 8·x + 3·y  24 al menos
Ademas x  0 e y  0 como minimo.
1·x + 6·y  18
x + 6y = 18
8·x + 3·y  24
8x + 3y = 24
C(0,8)
B(18,0)
y
3
0
Tomo (0,0)  0  18 no vale
x y
0 8
3 0
Tomo (0,0)  0  24 no vale
x
0
18
x + 6y = 18
x + 6y = 18
A:
8x + 3y = 24
- 16x – 6y = - 48
- 15 x = - 30  x = 2 ; 2 + 6y = 18
6y = 16  y = 8 / 3
A ( 2, 8/3)
Z(A) = 15·2 + 30· 8/3 = 30 + 80 = 110 centimos
Z(B) = 15·18 + 30·0 = 270 centimos
Z(C) = 15·0 + 30·8 = 240 centimos
El coste minimo sera de 110 centimos y para ello tomaremos 2 gramos de producto A y
8/3 gr de producto B
Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos
almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2.000 y 3.000
euros por tonelada, res-pectivamente. Cada almazara le vende un
mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda,
el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El
distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de
aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el
distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo
coste? Determínese dicho coste mínimo.
X Tn de aceite al almacen A
Y Tn de aceite al almacen B
Z = 2000 · x + 3000 · y
2≤x≤7
2≤y≤7
x+y≥6
x ≤ 2y
x+y=6
x = 2y
x
0
6
x
0
2
y
6
0
y
0
1
A (4, 2)
Z (A) = 14000
B (7, 7/2)
Z (B) = 24500
C (7, 7)
Z (C) = 35000
D (2, 7)
Z (D) = 25000
E (2, 4)
Z (E) = 16000
-
x y
El coste mínimo es en A, es de 14000 €
Debe comprar 4 Tn a A y 2 Tn a B.
Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kgs de
titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo
A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras
que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de
cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100
metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable
tipo B, 1000 euros.
Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para
maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máximo.
x = metros de cable A · 100 // y = metros de cable B · 100
-Función objetivo  Z = 1500x + 1000y
-Restricciones:
10x + 15y ≤ 195
2x + y ≤ 20
x + y ≤ 14
x≥0
y≥0
 (÷5) 2x + 3y ≤ 39
2x + y ≤ 20
x + y ≤ 14
x≥0
y≥0
2x + 3y = 39  x = 0 y = 13 / x = 39/2 y = 0
2x + y = 20
 x = 0 y = 20 / x = 10 y = 0
x + y = 14
 x = 0 y = 14 / x = 14 y = 0
x=0
20
15
(1)
E
10
D
REGIÓN
C
5
FACTIBLE
A
B
y=0
5
(2)
10
(3)
15
20
Rectas:
(1): 2x + 3y = 39
(2): 2x + y = 20
(3): x + y = 14
Puntos:
A (0,0)
B (10,0)
2x + y = 20
 x=6 ;y=8
C=
C (6,8)
x + y = 14
2x + 3y = 39
 y = 11 ; x = 3 D (3,11)
D=
x + y = 14
E (0,13)
Búsqueda de beneficio máximo
Z (A) = 0 €
Z (B) = 1500 · 10 + 1000 · 0 = 15000€
Z (C) = 1500 · 6 + 1000 · 8 = 17000€  MÁXIMO
Z (D) = 1500 · 3 + 1000 · 11 = 15500€
Z (E) = 1500 · 0 + 1000 · 13 = 13000€
El beneficio máximo es de 17000€ por cada 100 metros cuando se usan 600 metros de
cable de tipo A ( x = 6 · 100) y 800 metros de cable de tipo B ( y = 8 · 100)
Una papelería quiere liquidar hasta 78kg de papel reciclado y hasta
138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los
lotes A están formados por 1 kg del papel reciclado y 3 kg de papel
normal y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El pecio de venta
de cada lote A es de 0,9 euros y el de cada lote B es de 1 euro. ¿Cuántos
lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto
ascienden estos ingresos máximos?
Papel reciclado hasta 78 kg
Papel normal hasta 138 kg
A
1 kg papel reciclado
3 kg papel normal
→ cada lote se vende a 0,9 €
B
2 kg papel reciclado
2 kg papel normal
→ cada lote se vende a 1 €
x lotes de A , y lotes de B para maximizar ingresos
z = 0,9 x + 1 y
x + 2y ≤ 78
3x + 2y ≤ 138
x≥0
y ≥0
x + 2y = 78
x y
0 39
78 0
3x + 2y = 138
x y
0 69
46 0
Los vértices son:
A (0,0)
B (46,0)
D (0,39)
C
x + 2y = 78
3x + 2y = 138
→ 2y = 78 – 30 = 48 ; y = 24
→ 2x = 60 ; x = 30
C (30,24)
z (A) = 0+0 = 0 €
z (B) = 0,9 · 46 + 1 · 0 = 41,4 €
z(C) = 0,9 · 30 + 1 · 24 = 27 + 24 = 51 24 = 27 + 24 = 51 €
z (D) = 0,9 · 0 + 1 · 39 = 39 €
Para que los ingresos sean máximos se deben vender 30 lotes A y 24 lotes B.
Los ingresos ascienden a 51 €.