Solución

Experimentos de aula y problemas actuales para motivar el aprendizaje de la Física General
La descripción de la música con la física
•
Supongamos que en un piano las notas Do central (fDo = 262 Hz) y La3 (fLa = 440
Hz) se generan haciendo sonar el armónico fundamental en dos cuerdas con
iguales μ y L.
¿Cuál es el cociente de sus tensiones?
¿Cuáles son las frecuencias de los armónicos 2 y 3 de la cuerda Do?
Si ahora se supone que es preferible que ambas cuerdas tengan la misma tensión y
se sabe que la densidad lineal de la cuerda Do es 0,0025 kg/m ¿cuál debe ser la
densidad de la cuerda La3, si la longitud de ambas cuerdas es la misma?
Solución
a) Como f =
FT 1
FT 2
=
1
2L
f1
f2
FT
siendo FT la tensión y μ la densidad lineal de la cuerda:
µ
= 1.68
y el cociente es:
FT 1
FT 2
= 2.82
b) Las frecuencias de los armónicos segundo y tercero son:
f 2 = 2 f1 = 524 Hz
;
f3 = 3 f1 = 786 Hz
c)
262 Hz =
1
2 LDo
FT
0.0025
⇒
FT
= 26.2
LDo
2
1
440 Hz =
2 LLa
•
FT
µ La
1
=
2 LDo
FT
µ La
⇒ µ La
1  FT 
686.4
=
= 8.9 ⋅10−4 kg / m3
 =
2 
880  LDo 
8802
En un violonchelo, una de las cuerdas (con longitud L) genera un La (fLa = 440
Hz) ¿Qué frecuencia generará si, presionando la cuerda con el dedo contra el
mástil, una persona reduce la longitud de vibración a L’ = 2L/3?
Solución
Como f =
1
2L
FT
= 440 Hz , al acortar la longitud a L’, la frecuencia aumenta
µ
Proyecto de innovación y mejora de la calidad docente UCM 2011/2012 PIMCD 254
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Experimentos de aula y problemas actuales para motivar el aprendizaje de la Física General
f '=
1 FT
3
=
2L ' µ
2 ⋅ 2L
FT
µ
=
3
440 = 660 Hz este valor corresponde a un Mi, la
2
quinta de La.
Esta es la forma en que se varía la nota al tocar instrumentos de cuerda como los
violonchelos, violines, guitarras,…
•
Una forma de afinar las cuerdas de guitarras y otros instrumentos similares se
basa en la creación de armónicos en una cuerda de referencia y en la siguiente
más aguda.
a) Sabiendo que las frecuencias de las dos cuerdas consecutivas La y Re son fLa =
440 Hz, fRe = 586.667 Hz, demostrar que al crear el cuarto armónico de La
(armónico del quinto traste) y el tercer armónico de Re (armónico del séptimo
traste) ambas cuerdas deberían emitir la misma frecuencia.
b) Si la cuerda La emite en la frecuencia correcta, pero la Re no (aunque casi), al
crear los armónicos tal y como se describe en el apartado a) se escucha el
fenómeno de la pulsación. En cierta ocasión, se escucha esta pulsación con una
frecuencia f pulsación = 0.5 Hz y además, al reducir la tensión de la cuerda
ligeramente, la pulsación desaparece (la frecuencia de pulsación se hace cero).
Determinar la frecuencia con la que emitía la cuerda Re en su armónico
fundamental cuando no estaba perfectamente afinada.
Solución
a) El tercer armónico de Re y el cuarto armónico de La poseen la misma frecuencia, en
efecto: 4·fLa = 3·fRe = 1760 Hz
b) Como la frecuencia de pulsación es f pulsación =| 4 f La − 3 f 'Re | , donde f’Re indica que no
es la frecuencia correcta. La frecuencia de pulsación es independiente de si la cuerda
Re emite una frecuencia superior o inferior a la que debe. Sin embargo, al reducir la
tensión la frecuencia de la cuerda también lo hace. Como nos dice el enunciado que al
reducir la tensión la frecuencia de pulsación también disminuye, quiere decir que la
frecuencia f’Re era mayor que la que debía. Por tanto:
3·f’Re = 1760.5 Hz
y f’Re = 586.83 Hz.
Estas condiciones son realistas. Como vemos, se puede afinar de esta manera con una
precisión de décimas de Hz.
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