Parte 2: Modelos de ahorro sin incertidumbre

Parte II
MODELOS DE AHORRO
SIN INCERTIDUMBRE
21
Capítulo 3
Racionalidad
Durante los siguiente capítulos vamos a dar los fundamentos de la elección racional para poder utilizar el enfoque de equilibrio general a la hora de valorar
activos …nancieros. Este capítulo explica con detalle la funadamentación y construcción de la función de utilidad a partir de los conceptos más primitivos que
son las preferencias y el conjunto de elección. También se describen en detalle
las características principales de cada uno de ellos.
3.1
Conjunto de Elección
En todo proceso de elección racional por parte de los agentes económicos es necesario de…nir el conjunto de alternativas posibles. Para ello se de…en a X como
el conjunto de todas las alternativas posibles sobre las cuales los individuos pueden de…nir sus preferencias. El conjunto X representa el conjunto de elementos
o cosas, siendo un conjunto potencialmente muy amplio. El conjunto de alternativas puede incluir una gran cantidad de elementos ya sean tangibles (bienes,
personas), intangibles (colores, sensaciones, etc...) o simplemente elementos binarios (por ejemplo: salud, ausencia de salud). Denotamos a x 2 X; como un
elemento del conjunto de alternativas. Para añadir una cierta estructura en este
conjunto suponemos que el conjunto de alternativas es un espacio de dimensión
…nita X µ RL ; donde L muestra el número de elementos que forman parte del
conjunto de alternativas. Por lo tanto en este caso un elemento es un vector x
de dimensión 1 £ L; que denota en cada entrada la cantidad de elementos de
cada tipo que se incluye x :
x = (x1 ; : : : ; xL )
El conjunto de alternativas puede representarse grá…camente si los elementos
de conjunto son dos o incluso tres. Para del analisis de realizará en el caso de
dos alternativas.
3.2
Preferencias
Los individuos tienen de…nidas preferencias sobre el conjunto de elección. Las
preferencias son consideradas como una exógenas, de forma que no analizamos
23
CAPÍTULO 3. RACIONALIDAD
24
cuál es la motivación detrás de las preferencias de cada individuo, sino que son
tomadas como dadas.
De…nición (Preferencias): Las preferencias son una relación binaria de…nida sobre los elementos del conjunto de alternativas X:
Una relación binaria compara elementos a pares de la siguiente forma, si
x; y 2 X entonces podemos decir que \x es al menos tan preferido que y",
denotándolo con el siguiente signo %;
x % y:
A partir de la relación básica es posible de…nir dos conceptos más.
² Preferencia estricta: Suponga las siguientes preferencias % de…nidas
sobre X; entonces se de…ne \ Â " como preferencia estricta si,
x  y , x % y;
pero
:y  x;
es decir “x es al menos tan preferido que y” pero lo contrario no es cierto.
² Relación de indiferencia: Sean las siguientes preferencias % de…nidas
sobre X; se de…ne \ s " como una relación de indiferencia si,
x s y , x % y;
e y % x:
Un individuo está indiferente frente a dos alternativas cuando, ambas son
igualmente preferidas. La situación de indiferencia no debería confundirse
con aquellas situaciones en las cuales un individuo es incapaz de elegir
alguna alternativa debido a su indecisión. La indiferencia mani…esta que
ambas alternativas son igualmente preferidas por parte del individuo.
3.3
Propiedades de las Preferencias
A continuación enunciamos algunas de las propiedades básicas que cumplen
el tipo de preferencias que utilizaremos para analizar la elección racional del
individuo.
1. Re‡exividad: Sea x 2 X; las preferencias son re‡exivas si x % x: Esta
propiedad indica que cada elemento del conjunto de alternativas X es al
menos tan preferido como sí mismo.
2. Completitud: Sean x; y 2 X; las preferencias son completas si x % y; y %
x o ambas. Si las preferencias son completas el individuo tiene de…nidos
sus gustos sobre las distintas alternativas. De forma que no está indeciso,
una violación de la propiedad por ejemplo sería toda situación a la que se
enfrenta un individuo en la cual no capaz de elegir, por ejemplo si está en
un restaurante y le ofrecen el menú en chino. En caso de elegir siempre
podríamos justi…car que su elección no se basa en criterios de preferencias,
sino en criterios aleatorios pero en cualquier caso no es el tipo de problema
que nos interesa desde el punto de vista económico.
3. Transitividad: Sean x; y; z 2 X; las preferencias son transitivas si x % y;
y % z; entonces x % z: La propiedad transitiva es una propiedad de
consistencia en las preferencias de los individuos.
3.4. FUNCIÓN DE UTILIDAD
25
4. Monoticidad: Una relación de preferencia % de…nida en X es monótona
si x 2 X y y À x implica que y  x: Las preferencias son estrictamente
monótonas si y ¸ x; y 6= x y y  x: Las monoticidad indica que más estrictamente de alguno de los elementos es preferido por parte del individuo.
Esto implica que para mejorar debemos movernos en dirección nord-este
en el caso de que el conjunto de elección tenga tan sólo dos dimensiones.
5. Insaciabilidad local: Una relación de preferencia % de…nida en X es
localmente no saciable si para cada x 2 X y cada ² > 0; existe un y 2 X
tal que ky ¡ xk ² y y  x: La insaciabilidad local implica que el individuo nunca alcanza un punto de máxima saciedad. La saciabilidad es un
concepto menos estricto que la monoticidad, pues implica que simpre hay
alguna dirección en la cuál es posible encontrar elementos estrictamente
más preferidos.
6. Convexidad: Una relación de preferencia % de…nida en X es convexa
si para cada x 2 X; el contorno superior es convexo, es decir, y % x y
z % x; entonces ® ¢ y + (1 ¡ ®) ¢ z % x para 8® 2 [0; 1]: La interpretación
económica de la convexidad es que los individuos pre…eren combinaciones
de cestas de bienes, antes que cestas extremas, que contengan mucho de
un elemento y poco del otro.
De…nición (Racionalidad): Una relación de preferencias % de…nida sobre
X es racional, si es completa y transitiva.
La utilización de la palabra racional no implica ningún juicio de valor sobre
las preferencias en sí mismas, ni tampoco sobre la capacidad de los individuos a
la hora de elegir. El concepto de racionalidad económica se basa en el capacidad
de los individuos para elegir de forma consistente de acuerdo con sus preferencias
elementos del conjunto de elección.
3.4
Función de Utilidad
Los economistas utilizamos funciones para representar las preferencias de los
individuos, pero eso es una simpli…cación que podemos hacer bajo unos determinados supuestos. Debreu (1959) demostró cuales eran las condiciones su…cientes
para representar formalmente las preferencias mediante funciones de utilidad.
Teorema (Debreu): Si las preferencias % de…nidas en X µ RL son racionales (completas y transitivas) y continuas, entonces existe una función de
utilidad u : X ! R continua que las representa.
De…nición (Función de utilidad): Sea u : X ! R una función de utilidad
que representa la relación de % de…nida sobre x; y 2 X; de forma que si ,
x % y , u(x) ¸ u(y):
La utilización de funciones de utilidad permite simpli…car el análisis de la elección racional de los individuos, utilizando la teoría de la optimización matemática.
3.5
Propiedades de la Función de Utilidad
Las funciones de utilidad tienen las siguientes propiedades.
CAPÍTULO 3. RACIONALIDAD
26
1. Completitud: Una función de utilidad es completa si para 8x; y 2 X
entonces se cumple,
x % y , u(x) ¸ u(y);
x  y , u(x) > u(y);
x v y , u(x) = u(y):
2. Transitividad: Sean x; y; z 2 X elementos del conjunto de elección, decimos que una función de utilidad u(¢) cumple la propiedad transitiva si,
u(x) ¸ u(y);
u(z) ¸ u(z):
por lo tanto esto implica que,
u(x) ¸ u(z):
3. Ordinalidad: Las funciones de utilidad tienen la propiedad ordinal, de
forma que la representación de las preferencias se mantiene invariante ante
transformaciones monótonas. Es decir si u : X ! R representa la relación
de % de…nida sobre x; y 2 X; tal que x % y; entonces si v : R ! R es
una transformación monótona de u(¢), también representa las preferencias
de…nidas sobre X:
x % y , u(x) ¸ u(y) , v (u(x)) ¸ v (u(y)) ;
por lo tanto si la función de utilidad tiene la propiedad ordinal existen
in…nitas funciones de utilidad u(¢) que representan las preferencias %; pues
existen in…nitas transformaciones monótonas crecientes.
3.6
Problemas
1. De…nir el concepto de racionalidad, y poner 3 ejemplos en los cuales las
preferencias de los individuos no sean racionales.
2. Demostrar formalmente y grá…camente que las curvas de indiferencia no
pueden cortarse.
3. ¿Cuáles son las propiedades básicas que deben satisfacer las preferencias
de los individuos para ser representadas mediante una función de utilidad?
4. ¿Qué es una función de utilidad?, ¿qué propiedades tiene?
5. La función de utilidad es una representación ordinal de la preferencias,
%; explique por qué existen in…nitas funciones de utilidad que pueden
representarlas.
Capítulo 4
Modelos de elección
intertemporal
4.1
Introducción
El propósito de este capítulo es introducir el modelo básico de ahorro desde la
perspectiva del comportamiento racional del individuo. El capítulo utiliza un
marco de equilibrio parcial donde los precios relativos están dados, ello permite
formular las decisiones de los individuos como función de los precios, permitiendo
analizar como varían las decisiones de los individuos ante cambios en los mismos.
El capítulo se estructura de la siguiente forma, la sección 2 analiza la elección
intertemporal básica en un marco de mercados perfectos de capitales. La sección
3 reformula el modelo básico con una estructura de mercados Arrow-Debreu, que
es equivalente a una estructura secuencial de mercados. La sección 4 formula
decisiones de cartera, cuando los individuos tienen a su disposición más de
un activo para invertir sus recursos, ello permite enunciar el teorema de noarbitraje en los mercados de activos perfectos. La sección 5 presenta un sencillo
modelo con restricciones de liquidez exógenas y la sección 6 concluye con una
introducción a las restricciones de participación en el mercado.
4.2
Elección Intertemporal
En este capítulo introducimos los fundamentos de la elección intertemporal del
consumidor en un entorno sin incertidumbre. Es decir, se trata de analizar el
fundamento microeconómico de las decisiones consumo/ahorro de los individuos.
A lo largo de este capítulo utilizaremos un sencillo modelo de dos periodos para
analizar la asignación intertemporal de recursos. Para ello es necesario de…nir
los elementos básicos del mismo, que están formados por las preferencias de los
individuos y la restricción de recursos a la que se enfrentan en cada periodo.
27
CAPÍTULO 4. MODELOS DE ELECCIÓN INTERTEMPORAL
28
4.2.1
Preferencias
Supondremos que las preferencias de los individuos pueden representarse mediante una función de utilidad del tipo:
(4.1)
U (ct ; ct+1 ) = u(ct ) + ¯u(ct+1 ):
Esta función de utilidad cumple los siguientes supuestos:
1. Es una función continua, diferenciable, creciente y estrictamente cóncava
(u0 > 0 y u00 < 0).
2. Aditivamente separable en el tiempo. Esto implica que la utilidad de hoy
no afecta a la utilidad de mañana aunque si que afecta a la utilidad total
del individuo.
3. El consumo futuro está descontado por un factor de descuento, ¯ 2
(0; 1): Signi…ca que los individuos valoran más el consumo presente que el
consumo futuro, es decir son impacientes. Un factor de descuento cercano
a cero implica que el individuo es muy impaciente, valorando muy poco
el consumo futuro; en cambio, un factor de descuento cercano a la unidad
implica que el individuo es muy paciente, valorando el consumo futuro
igual que el consumo presente. Nótese que la tasa a la cuál el individuo
descuenta el futuro viene dada por R = 1=¯ ¡ 1, que es la tasa subjetiva
de descuento. De esta forma podríamos describirla función de utilidad de
la siguiente forma:
U (ct ; ct+1 ) = u(ct ) +
1
u(ct+1 ):
1+R
Grá…camente podemos dibujar las preferencias sobre el consumo presente
y el consumo futuro mediante la utilización de curvas de indiferencia:
Figura 1: Conjunto elección consumo presente y futuro
3.5
Ct+1
2
0.5
0
1
2
Ct
4.2. ELECCIÓN INTERTEMPORAL
4.2.2
29
Restricción de Recursos
A contínuación se analizan las restricciones a las que se enfrentan los individuos
en la elección intertemporal de recursos. Los individuos en cada momento del
tiempo disponen de una determinada cantidad de recursos que pueden dedicar
a consumir o a ahorrar. La cantidad ahorrada por los individuos en el primer
periodo formará parte de la renta de los individuos en el siguiente periodo,
pero capitalizada a la tasa de interés de mercado. Los individuos tienen un
comportamiento precio-aceptante con respecto a los precios, de forma que los
toman como dados:
ct + at+1 = wt ;
(4.2)
ct+1 = (1 + rt+1 )at+1 + wt+1 ;
(4.3)
siendo ct ; ct+1 el consumo en el periodo t y t + 1, respectivamente; wt y wt+1 la
dotación de bienes de que los individuos disponen en cada momento del tiempo.
Por tanto at+1 constituye el ahorro en el periodo t y son activos …nancieros
que el individuo acumula para el periodo siguiente, t + 1, y que obtienen un
rendimiento rt+1 , que es la rentabilidad de ese ahorro/inversión. Nótese que
no imponemos ninguna restricción en el signo del ahorro, de forma que los
individuos pueden endeudarse (en el caso en que at+1 < 0), interpretándose
entonces rt+1 ; como el coste …nanciero del préstamo del primer periodo, que
debe devolverse en el periodo siguiente. A estas dos restricciones se las conoce
como restricciones secuenciales, pues son las que se enfrenta el individuo
en cada momento del tiempo. Es posible sustituir una restricción en la otra a
través del ahorro, despejando at+1 de la ecuación (4.3) y sustituyendo este valor
en la ecuación (4.2), obteniendo la restricción intertemporal de recursos:
ct +
ct+1
wt+1
= wt +
:
1 + rt+1
1 + rt+1
(4.4)
Esta restricción nos dice que el valor presente del consumo a lo largo de
los dos periodos debe ser igual al valor presente de la dotación del individuo
a lo largo de los dos periodos. Obsérvese que el ahorro constituye la forma en
la cual un individuo puede transformar consumo presente en consumo futuro
y viceversa. El factor 1=1 + rt+1 mide el coste de oportunidad de una unidad
adicional de consumo mañana a precios de hoy (el precio del consumo futuro en
términos de consumo presente), que depende de los tipos de interés de mercado,
rt+1 . En valor futuro podríamos reescribir la ecuación de la siguiente forma:
(1 + rt+1 )ct + ct+1 = (1 + rt+1 )wt + wt+1 :
(4.5)
Grá…camente podemos dibujar el conjunto de elección de la siguiente forma,
CAPÍTULO 4. MODELOS DE ELECCIÓN INTERTEMPORAL
30
Figura 2: Conjunto elección intertemporal
Ct+1
3
1.5
0
0
- (1+r )
1
2
Ct
Suponemos que el consumo del individuo en cada momento del tiempo es
estrictamente no negativo, es decir, ct ; ct+1 ¸ 0: La pendiente de la restricción
presupuestaria es ¡(1 + rt+1 ): La motivación de los individuos para ahorrar
o pedir prestado es sincronizar el ‡ujo de ingresos con el ‡ujo de consumo
deseado. Si el patrón intertemporal de la dotación de recursos coincidiera con
el de consumo los individuos no tendrían ningún incentivo a ahorrar ni pedir
prestado.
Nota
El supuesto implícito en este análisis es la existencia de un mercado perfecto
de capitales. Si los mercados de capitales no son perfectos existen restricciones
en el intercambio intertemporal, éstas pueden venir dadas por restricciones de
liquidez y/o restricciones de préstamo. Estos temas serán tratados más adelante.
4.2.3
Estática Comparada
Cambios en el nivel de ingresos en cada uno de los periodos o en los tipos de
interés modi…can el conjunto de elección de los individuos.
1) Variaciones de Renta.
Los aumentos en la dotación de bienes, con independencia del periodo en
que tengan lugar, desplazan el conjunto de elección paralelamente al original sin
modi…car la pendiente, pues los tipos de interés en la economía no han cambiado.
De forma que variaciones en la renta incrementan o dismunyen la capacidad de
consumo/ahorro con independencia del periodo en el cual se produzcan dado
que no existen restricciones a la hora de transferir recursos intertemporalmente:
4.2. ELECCIÓN INTERTEMPORAL
31
Figura 3: Variaciones de renta
Ct+1
3
- (1+r )
1.5
Dis. Renta
0
0
1
2
Ct
2) Variaciones en los Tipos de Interés.
La variaciones en el tipo de interés afectan a las decisiones de prestar o pedir
prestado en el mercado …nanciero. Un incremento de precios de los préstamos
aumenta la rentabilidad del ahorro y disminuye la capacidad de endeudamiento
de los individuos, mientras que una disminución de la rentabilidad incrementa
la capacidad para endeudarse y disminuye la rentabilidad futura de este ahorro.
Figura 4: Variaciones tipo de interés
Ct+1
3
- (1+r )
1.5
- (1+r' )
0
0
1
2
Ct
4.2.4
Elección Óptima
Solución grá…ca
Si suponemos una solución interior, la solución del problema de elección se
encuentra en el punto de tangencia entre la restricción intertemporal de recursos
y las curvas de indiferencia que representan las preferencias del individuo.
32
CAPÍTULO 4. MODELOS DE ELECCIÓN INTERTEMPORAL
Figura 5: Elección intertemporal óptima
3.5
Ct+1
2
C*t+1
RMS=UC(t)/UC(t+1) = !+r
Wt+1
0.5
0
Wt
C*t
1
2
Ct
En un óptimo interior se cumple, RM S = (1 + rt+1 ), es decir, la elección
óptima implica en primer lugar igualar la relación marginal de sustitución entre
el consumo presente y el consumo futuro al tipo de interés de mercado. Pero
esta condición es sólo necesaria pues existen in…nitos puntos donde esta relación
es cierta, por lo tanto la solución del problema debe pertencer a la frontera del
conjunto presupuestario, es decir que la restricción presupuestaria deb cumplirse
con igualdad. Eso simpre será cierto si las preferencias son mótonas y no existen
soluciones de esquina en el problema de elección. De todas formas desde el punto
de vista de la teoría del ahorro no nos preocuparemos mucho de las soluciones
de esquina ni de las preferencias que exhiben saciedad local. En cambio, como
veremos más adelante, las soluciones de esquina si que serán importantes en las
decisiones de cartera.
En este caso dadas las preferencias del individuo y la dotación inicial de
recursos observamos que la elección óptima implica ahorrar recursos en el momento t; y así poder consumir más en el segundo periodo. Al tipo de interés
vigente el individuo tiene una renta relativa superior en el primer periodo en
relación con el segundo periodo. A pesar de ello es importante tener en cuenta
que la elección óptima es una combinación de las preferencias de los individuos
y los precios de mercado, que delimintan lo económicamente factible de lo no
factible.
Solución formal
El problema formal consiste en solucionar el siguiente problema de optimización
con restricciones.
max
u(ct ) + ¯u(ct+1 );
fct ;ct+1 ;at+1 g
s:a:
ct + at+1 = wt ;
ct+1 = (1 + rt+1 )at+1 + wt+1 ;
ct ; ct+1 ¸ 0:
En este caso la función objetivo es estrictamente cóncava y el conjunto de
elección es un conjunto compacto (cerrado y acotado) y convexo. Por lo tanto
4.2. ELECCIÓN INTERTEMPORAL
33
según el Teorema de Weierstrass, este problema tiene solución. La estricta
convexidad de las preferencias garantiza que la solución sea única.
Para poder solucionar formalmente el problema y obtener las funciones de
consumo y ahorro vamos a plantear distintas estrategias que como veremos son
equivalentes.
1) OPTIMIZACIÓN UNIDIMENSIONAL
La forma más sencilla de solucionar el problema es sustituir las restricciones
dentro de la función objetivo, esto sólo lo podremos hacer cuando las soluciones
sean interiores. Por ahora supondremos que la solución es interior. Al sustituir
las restricciones en la función objetivo el nuevo problema de optimización es el
siguiente:
max u(wt ¡ at+1 ) + ¯u(wt+1 + (1 + rt+1 )at+1 ):
fat+1 g
Como puede observarse el consumo de cada periodo no aparece de forma explicta, por lo tanto la única variable de elección es el ahorro o el nivel de activos.
Por lo tanto se ha reducido un problema de optimización en multidimensional
en un sencillo problema unidimensional. Para encontrar el óptimo basta con
derivar respecto el nivel de activos, at+1 :
u0 (wt ¡ at+1 )(¡1) + ¯u0 (wt+1 + (1 + rt+1 )at+1 )(1 + rt+1 ) = 0:
Arreglando términos obtenemos:
u0 (wt ¡ at+1 ) = ¯u0 (wt+1 + (1 + rt+1 )at+1 )(1 + rt+1 ):
La siguiente expresión depende del nivel de activos y puede interpretarse de la
siguiente forma. Si el nivel de activos es positivo at+1 > 0 entonces el individuo
iguala el coste marginal de ahorrar una unidad adicional al bene…cio marginal
de obtener una unidad adicional mañana. Si at+1 < 0 entonces en individuo
iguala el bene…cio marginal de consumir una unidad adicional en el presente,
endeudándose, al coste marginal de consumir dicha unidad, es decir el tipo de
interés de mercado. Si at+1 = 0 entonces el individuo no desea transferir riqueza
en el tiempo por lo tanto, la estrategia óptima es consumir en cada momento t;
la dotación de recursos del periodo.
Para ver si la condición necesaria de primer orden es su…ciente para caracterizar un máximo debemos comprobar el signo de la segunda derivada de la
función objetivo:
u00 (wt ¡ at+1 ) + ¯u00 (wt+1 + (1 + rt+1 )at+1 )(1 + rt+1 )2 < 0:
Las segundas derivadas de la función de utilidad son negativas, u00 < 0; ya que
hemos supuesto que la utilidad marginal es decreciente. Si el tipo de interés es
positivo (1 + rt+1 )2 > 0 entonces la expresión resultante será siempre negativa.
De esta forma las condiciones necesarias son su…cientes para caracterizar una
solución del problema.
2) MÉTODO DE LAGRANGE
Otra opción es transformar el problema original en uno nuevo utilizando el
método de Lagrange. El nuevo problema de elección es:
max
fct ;ct+1 ;at+1 ;¸t ;¸t+1 g
$ = u(ct )+¯u(ct+1 )+¸t (wt ¡ct ¡at+1 )+¸t+1 (wt+1 +(1+rt+1 )at+1 );
34
CAPÍTULO 4. MODELOS DE ELECCIÓN INTERTEMPORAL
donde ¸t y ¸t+1 son los multiplicadores de Lagrange asociados a cada restricción.
Las condiciones necesarias de primer orden son:
[ct ]
[ct+1 ]
[at+1 ]
[¸t ]
[¸t+1 ]
u0 (ct ) ¡ ¸t 0
(= 0 si ct > 0)
¯u (ct+1 ) ¡ ¸t+1 0
(= 0 si ct+1 > 0)
¡¸t + ¸t+1 (1 + rt+1 ) 0
(= 0 si at+1 6= 0)
wt ¡ ct ¡ at+1 = 0
(1 + rt+1 )at+1 + wt+1 ¡ ct+1 = 0
0
En una solución interior las condiciones de primer orden se cumplen con
igualdad (ct ; ct+1 > 0 y at+1 6= 0): Combinando las dos primeras ecuaciones
obtenemos:
u0 (ct )
¸t
=
:
¯u0 (ct+1 )
¸t+1
Esta ecuación iguala la relación marginal de sustitución (entre el consumo
presente, ct y el consumo futuro, ct+1 ) al ratio de precios sombra que están
representados por los multiplicadores de Lagrange. Esta expresión muestra la
valoración subjetiva de consumo en cada periodo realizada por el individuo.
La relación entre los precios sombra de cada periodo se re‡eja en la siguiente
expresión que se obtiene derivando respecto el nivel de activos:
¸t = ¸t+1 (1 + rt+1 ):
Al igual que en el caso anterior esta ecuación depende del signo del nivel de
activos. Mide el efecto de sacri…car una unidad de consumo presente, que en el
futuro valdrá (1 + rt+1 ); o alternativamente mide cuántas unidades de consumo
de mañana serían necesarias para obtener una de hoy, es decir mide el coste de
oportunidad del consumo de cada periodo a precios de mercado. Sustituyendo
esta expresión en la anterior obtenemos la Ecuación de Euler:
u0 (ct ) = ¯u0 (ct+1 )(1 + rt+1 ):
La Ecuación de Euler iguala la utilidad marginal de una unidad consumida
hoy a la utilidad marginal de una unidad ahorrada. Una unidad ahorrada hoy
genera 1 + rt+1 unidades de consumo mañana, y éstas generan una utilidad
marginal al individuo de ¯u0 (ct+1 ). Si el nivel de activos óptimo fuese cero, es
decir, at+1 = 0; entonces la Ecuación de Euler no se cumple, debido a que al
actual tipo de interés los individuos consumen en cada momento su dotación de
recursos, c¤t = wt y c¤t+1 = wt+1 :
La condición de primer orden (Ecuación de Euler) conjuntamente con la
restricción presupuestaria, forma un sistema matemático de ecuaciones e incognitas, que permite obtener el consumo óptimo de cada periodo y el nivel
de activos. Las funciones de consumo y de ahorro de cada periodo dependen
exclusivamente de variables exógenas (renta de cada periodo y tipo de interés),
c¤t
c¤t+1
a¤t+1
= c(wt ; wt+1 ; rt+1 )
= c(wt ; wt+1 ; rt+1 )
= a(wt ; wt+1 ; rt+1 )
4.2. ELECCIÓN INTERTEMPORAL
35
Interpretación de la Ecuación de Euler
A partir de la ecuación de Euler, es posible determinar cual será el consumo relativo que se realizara entre cada periodo, en función de cual sea la relación entre
el factor de descuento subjetivo del individuo y el tipo de interés de mercado.
u0 (c )=¯u0 (c ) = (1 + rt+1 )
| t {z t+1}
| {z }
Relación Marginal de sustitución Precios relativos
A partir de la ecuación de Euler, es posible determinar cual será el consumo relativo que se realizara entre cada periodo, en función de cual sea la
relación entre el factor de descuento subjetivo del individuo y el tipo de interés
de mercado.
u0 (ct )
= ¯(1 + rt+1 )
u0 (ct+1 )
² Si ¯(1 + rt+1 ) = 1; entonces u0 (ct ) = u0 (ct+1 ) la utilidad marginal en cada
periodo es igual, por lo tanto el consumo en los dos periodos se iguala, es
decir, ct = ct+1 :
Con independencia de la forma funcional es posible derivar el ahorro asociado a asignaciones simétricas de consumo, donde ct = ct+1 : Sustituyendo
las restricciones secuenciales en la ecuación de Euler:
u0 (wt ¡ at+1 ) = u0 (wt+1 + (1 + rt+1 )at+1 )
dado que la utilidad marginal de los dos periodos se iguala, entonces esto
implica que:
wt ¡ at+1 = wt+1 + (1 + rt+1 )at+1
aislando el ahorro obtenemos:
a¤t+1 =
(wt ¡ wt+1 )
2 + rt+1
para obtener el consumo respectivo de cada periodo basta con sustituir el
ahorro en la restricción presupuestaria:
µ
¶
wt ¡ wt+1
c¤t = wt ¡
2 + rt+1
µ
¶
wt ¡ wt+1
c¤t+1 = wt+1 + (1 + rt+1 )
2 + rt+1
² Si ¯(1 + rt+1 ) > 1; entonces u0 (ct ) > u0 (ct+1 ) la utilidad marginal del
consumo hoy es mayor que la utilidad marginal del consumo mañana, por
lo tanto debido a la relación inversa entre consumo y utilidad marginal, el
consumo en t es menor que el consumo en t + 1, ct < ct+1 : De esta forma
cuando la tasa de descuento del individuo es menor que la del mercado
entonces el consumo es creciente.
² Si ¯(1 + rt+1 ) < 1; entonces u0 (ct ) < u0 (ct+1 ) la utilidad marginal del
consumo en t es menor que en t + 1; por lo tanto ct > ct+1 : En este caso
la tasa de descuento individual es menor que la del mercado, por lo tanto
la respuesta óptima implica un patrón de consumo decreciente.
36
CAPÍTULO 4. MODELOS DE ELECCIÓN INTERTEMPORAL
Ejemplo: Veamos un ejemplo particular, con una función de utilidad es
isoelástica:
c1¡¾
u(ct ) = t
1¡¾
donde ¾ 2 (0; 1) denota la inversa de la elasticidad intertemporal de sustitución
entre el consumo presente y el consumo futuro. La ecuación de Euler para esta
forma funcional en concreto puede escribirse de la siguiente forma:
µ
ct
ct+1
¶¡¾
= ¯(1 + rt+1 )
arreglando términos obtenemos:
1
ct+1
= (¯(1 + rt+1 )) ¾
ct
Si ¯(1 + rt+1 ) = 1; entonces ct = ct+1 con independencia de cual sea el valor de
¾: Esto es debido a que coincide la valoración subjetiva de los individuos y el tipo
de interés de mercado. Si ¯(1 + rt+1 ) 6= 1; cuanto mayor es ¾ más cóncava es la
función de utilidad y por lo tanto peor están los individuos ante variaciones en
el consumo entre ambos periodos con independencia de la relación ¯(1 + rt+1 ):
1
En el límite, lim (¯(1 + rt+1 )) ¾ = 1: Esto signi…ca que cuando mayor sea ¾;
¾!1
para el individuo da igual que ¯(1 + rt+1 ) 6= 1; pues el individuo está dispuesto
a ahorrar o a endeudarse a cualquier precio con tal de alisar consumo entre
periodos.
4.3
Formulación Arrow-Debreu
Es importante resaltar como el tratamiento de este tipo de problema no di…ere
conceptualmente del problema de elección óptima del consumidor entre bienes
distintos. La formulación Arrow-Debreu implica que dos bienes del mismo tipo
consumidos en diferentes momentos del tiempo son considerados como bienes
distintos con precios asociados diferentes. Para ello es necesario rede…nir el
concepto de precio utilizado, indiciando los bienes no solo por el tipo sino por
el momento en que se consumen. De esta manera, podemos reescribir el modelo
de elección intertemporal como un modelo de elección estático, donde todas las
elecciones se realizan en el momento inicial t = 0: En esta nueva reinterpretación,
al igual que que en el caso anterior, los individuos son precio-aceptantes respecto
a los precios y al ‡ujo intertemporal de ingresos (presente y futuro), y eligen una
cesta de bienes de consumo fct ; ct+1 g: Para ello …rma con el resto de agentes
contratos intertemporales de consumo.
De…nición (Contrato intertemporal): Un contrato es una promesa de
pago en un momento determinado del tiempo de una cierta cantidad de consumo
medida en unidades físicas.
Para analizar la formulación Arrow-Debreu tan sólo debemos reescribir la
restricción de recursos, pues las preferencias permanecen inalteradas. Partiendo
de la restricción intertemporal del recursos,
1 ¢ ct +
1
1
¢ ct+1 = 1 ¢ wt +
¢ wt+1
1+rt+1
1+rt+1
4.4. MODELO DE SELECCIÓN DE CARTERA
37
Rede…niendo los precios, pt = 1 y pt+1 = 1+r1t+1 ; el problema que solucionan
los individuos en el periodo inicial t es el siguiente:
max u(ct ) + ¯u(ct+1 )
fct ;ct+1 g
s:a:
pt ct + pt+1 ct+1 = pt wt + pt+1 wt+1
ct ; ct+1 ¸ 0
Nótese que ahora este problema no di…ere en absoluto del problema estándar
de un consumidor que debe elegir entre dos bienes distintos en un momento
del tiempo. El individuo elige dos bienes, consumo hoy y consumo mañana
fct ; ct+1 g, dada su renta (que es el valor monetario de la dotación que posee de
ambos bienes) y los precios de ambos bienes fpt ; pt+1 g.
En cuanto a las unidades en que están medidas dichas cantidades, es importante que quede claro que los bienes están medidos en unidades físicas, de forma
que pt ¢ wt signi…ca renta (valor monetario de la dotación de bienes), siendo wt ,
la renta real del periodo medida en unidades físicas.
La ecuación de Euler asociada al problema en formulación Arrow-Debreu
está dada por la siguiente expresión:
pt
u0 (ct )
=¯
0
u (ct+1 )
pt+1
Nótese que el ratio de precios Arrow-Debreu equivale al tipo de interés, pt =pt+1 =
(1 + rt+1 ): Es posible realizar un análisis análogo al anterior analizando la relación entre pt =pt+1 y ¯: Si (pt =pt+1 )¯ = 1; entonces ct = ct+1 : Para asignaciones
simétricas es posible hallar los precios relativos facilmente, pues la ecuación de
Euler se convierte en la siguiente expresión:
1=¯
pt
;
pt+1
dado que u0 (ct ) = u0 (ct+1 ): Si normalizamos pt = 1 entonces pt+1 = ¯; de
forma que el precio del bien de consumo valorado en t es menor que el precio
del consumo en t: Esto es debido a que los individuos descuentan el futuro y
pre…eren una unidad de consumo presente que futura. La determinación de los
precios de equilibrio será analizada con más detalle en el próximo capítulo
4.4
Modelo de Selección de Cartera
Hasta ahora el análisis realizado se basa en el supuesto que los individuos sólo
ahorran en un tipo de activo …nanciero que da un rendimiento positivo sin
incertidumbre. En esta sección expandimos el conjunto de activos de uno a I
activos, de forma que ahora los individuos tienen más opciones a la hora de
ahorrar.
De…nición (Activo Financiero): Un activo …nanciero es un bien que
genera un ‡ujo de servicios a lo largo de tiempo. El activo es un derecho emitido
por las agentes que necesitan …nanciación, constituyendo un medio de riqueza
para los agentes que las poseen.
Las características básicas de un activos …nanciero son: liquidez, riesgo y
rentabilidad. En este modelo de dos periodos, el ‡ujo de servicios es sólo un
38
CAPÍTULO 4. MODELOS DE ELECCIÓN INTERTEMPORAL
periodo. Si el individuo realiza un ahorro positivo de recursos, percibe en el
siguiente periodo el ‡ujo de servicios; mientras que si realiza un ahorro negativo,
recibe el ‡ujo de servicios en este periodo y lo paga al siguiente. Al igual que
en la sección anterior, suponemos que no existe incertidumbre con respecto a
la corriente futura de los servicios que generarán los activos …nancieros. La
nueva restricción presupuestaria secuencial re‡eja la expansión en el número de
opciones de inversión …nanciera:
ct + at+1 + qt1 b1t+1 + ::: + qtI bIt+1 = wt
1
I
ct+1 = wt+1 + (1 + rt+1 )at+1 + qt+1
b1t+1 + ::: + qt+1
bIt+1 :
Sea I el número de activos …nancieros que existen en la economía, qti es el
precio del activo i en el momento t; y bit es la cantidad de activos de tipo i que
posee un individuo. No se impone ninguna restricción en el signo de bit ; de forma
que el individuo puede comprar o vender en corto. En notación compacta es
posible rescribir la restricción secuencial de la siguiente forma:
ct + at+1 +
I
X
qti bit+1 = wt
i=1
ct+1 = (1 + rt+1 )at+1 +
I
X
i
qt+1
bit+1 + wt+1 :
i=1
La rentabilidad que obtiene un individuo al invertir en este tipo de activos se
calcula como el ratio entre el precio de compra y el precio de venta. Más adelante
vermos como es posible convertir estas restricciones en una intertemporal como
la de la sección anterior. El problema de selección de cartera de un individuo
es el siguiente:
max i
u(ct ) + ¯u(ct+1 )
I
fct ;ct+1 ;at+1 ;fbt+1 gi=1 g
s:a:
ct + at+1 +
I
X
qti bit+1
wt
i=1
ct+1
(1 + rt+1 )at+1 +
I
X
i
qt+1
bit+1 + wt+1
i=1
ct ; ct+1 ¸ 0
Formalmente podemos dividir este problema en dos. Un problema dinámico
de asignación de recursos donde el individuo decide cuanto consumir hoy y
mañana, y otro problema de selección de cartera entre los diversos activos que
están disponibles.
Las condiciones necesarias del problema de optimización son las siguientes,
[ct ]
[ct+1 ]
[at+1 ]
[bit+1 ]
[bjt+1 ]
u0 (ct ) ¡ ¸t 0
(= 0 si ct
¯u (ct+1 ) ¡ ¸t+1 0
(= 0 si ct+1
¡¸t + ¸t+1 (1 + rt+1 ) 0
(= 0 si at+1
i
¡qti ¸t + ¸t+1 qt+1
0
(= 0 si bit+1
j
j
¡qt ¸t + ¸t+1 qt+1 0
(= 0 si bjt+1
0
> 0)
> 0)
6= 0)
6= 0)
6= 0)
4.4. MODELO DE SELECCIÓN DE CARTERA
39
En una solución interior respecto al nivel de activos de cada tipo debe cumplirse la Ecuación de Euler estandar de todo modelo dinámico.
u0 (ct ) = ¯u0 (ct+1 )(1 + rt+1 )
de las condiciones adicionales derivamos la denominada condición de noarbitraje, que nos dice que la rentabilidad neta de cada uno de estos activos
debe igualarse.
¸t
i
qt ¸t
qtj ¸t
= ¸t+1 (1 + rt+1 )
i
= ¸t+1 qt+1
j
= ¸t+1 qt+1
obteniendo,
j
qt+1
qtj
=
i
qt+1
;
qti
para 8t, i 6= j: Alternativamente podemos obtener las siguientes expresiones si
relacionamos estas condiciones de primer orden con las del ahorro,
qti =
i
qt+1
;
1 + rt+1
8i:
El precio de un bien hoy tiene que ser igual al valor actual del bien de
mañana. Cualquier desviación del precio es una oportunidad para ganar dinero.
1 + rt+1 =
i
qt+1
qti
si el individuo decide endeudarse, entonces puede ,o bien determinar at+1 < 0;
o bien vender en corto activos de qti : De la condición de arbitraje se deriva que
si un individuo se endeuda, no puede ahorrar en ningún otro tipo de activos, es
decir, el modelo mide el nivel relativo de endeudamiento de forma que si en el
momento t compra un determinado tipo de activos y vende de otros, lo único
que nos interesa es su posición neta …nal, deudora o acreedora.
¿Qué ocurre si la condición de arbitraje no se satisface para alguno de los
activos?
Si la condición de arbitraje no se satisface eso implica que hay algún tipo de
activos que permite obtener una rentabilidad neta superior a los otros,
1 + rt+1 >
i
qt+1
qti
Existe un coste de oportunidad para realizar arbitraje, puesto que desde el
punto de vista individual lo óptimo es vender activos del tipo \i"; y comprar
activos que ofrecen una mayor rentabilidad. Si el mercado de activos es competitivo, la existencia de oportunidades para arbitraje provocará un cambio en
los precios relativos, puesto que las decisiones de los agentes a estos precios la
oferta y la demanda no coinciden. De forma que las cantidades que se desean
intercambiar en este mercado no son iguales por lo tanto estos precios no son
de equilibrio.
CAPÍTULO 4. MODELOS DE ELECCIÓN INTERTEMPORAL
40
En el mercado 1 del activo (at+1 ); existe un exceso de oferta de liquidez, si
la demanda de liquidez permaneciera …ja este exceso de oferta se vería re‡ejado
en un aumento de la oferta que disminuiría el precio 1 + rt+1 ; cayendo la rentabilidad de este tipo de activos. Mientras en el mercado 2 ocurre exactamente
lo contrario, a una menor rentabilidad cae la oferta de liquidez, desplazandose
i
hacia la izquierda la curva de oferta, incrementándose el precio qt+1
=qti : Estos
ajustes se provocarán hasta que los individuos no tengan ningún incentivo a
modi…car sus decisiones.
Para analizar con más detalle la existencia de oportunidades de arbitraje es
necesario utilizar modelos de equilibrio general, este será el objeto del próximo
capítulo.
Es relativamente sencillo comprobar que a pesar de incluir más activos la
restricción presupuestaria intertemporal es la misma. Para verlo basta con sustituir el nivel de activos at+1 de la restricción en el primer periodo:
at+1 = wt ¡
en la restricción en t + 1 :
"
ct+1 = (1 + rt+1 ) wt ¡
I
X
I
X
i=1
qti bit+1
i=1
qti bit+1 ¡ ct ;
#
¡ ct +
I
X
i
qt+1
bit+1 + wt+1 :
i=1
Despejando obtenemos la siguiente expresión:
I
ct +
i
X
qt+1
wt+1
ct+1
i
¡ wt ¡
=
bit+1 (qt+1
):
¡
1 + rt+1
1 + rt+1
1 + rt+1
i=1
Podemos encontrarnos en dos situaciones:
1. Si la condición de no-arbitraje se cumple entonces el rendimiento de todos
los activos debe ser igual, por lo tanto la siguiente ecuación debe cumplirse:
i
qt+1
¡
i
qt+1
= 0:
1 + rt+1
2. Si la condición de no-arbitraje no se cumple entonces, pueden ocurrir dos
cosas:
(a)
i
qt+1
>
(b)
i
qt+1
;
1 + rt+1
Dado que el precio es superior al de no-arbitraje la estrategia óptima
de inversión es no comprar este activo bit+1 = 0: Todo ello para cada
i donde esto sea verdad.
i
qt+1
<
i
qt+1
1 + rt+1
4.5. RESTRICCIONES DE LIQUIDEZ
41
Si el precio es inferior al ‡ujo descontado de pagos los individuos
van a aprovechar esta oportunidad y realizarán arbitraje, por el cual
i
qt+1
obtendrán un bene…cio adicional que denotaremos por ¼ = 1+r
¡
t+1
i
qt+1 : De esta forma la restricción intertemporal de recursos vendrá
dada por:
ct+1
¼ + wt+1
ct +
= wt +
1 + rt+1
1 + rt+1
4.5
Restricciones de Liquidez
El modelo que analizamos a continuación es una variante del modelo de elección intertemporal analizado anteriormente. En el modelo estandar la única
restricción a la que se enfrentan los individuos para transferir recursos intertemporalmente es la restricción presupuestaria. Ésta delimita la capacidad de
ahorrar o endeudarse al ‡ujo presente de ingresos futuros. A continuación supondremos que existen restricciones addicionales al intercambio en el mercado
por parte de los agentes. Supongamos que por alguna razón no explicitada
los individuos encuentran restricciones a su capacidad para transferir consumo
intertemporalmente.
En ese sentido decimos que hay mercados incompletos pues los individuos no pueden realizar todas las transaciones que desearían. Por ejemplo, una
restricción adicional sería suponer que el nivel de activos debe ser no negativo.
Sería el caso de la siguiente restricción de liquidez, at+1 ¸ 0. Su interpretación
en términos de contratos implica que los individuos pueden vender bienes de
consumo en t + 1; pero en el momento t no pueden consumir más que su dotación de recursos. A pesar que el intercambio de bienes en el mercado de consumo
en t pueda ser bene…cioso para todos los individuos, eliminamos esa posibilidad.
En términos de la formulación Arrow-Debreu, esto implica la imposibilidad por
parte de los agentes de …rmar cierto tipo de contratos.
Este tipo de restricciones puede modi…ca el conjunto elección del individuo,
pues restringe el consumo del primer periodo a no ser superior a un cierto nivel
de su renta.
Figura 6: Conjunto de elección ante restricciones de liquidez
2
Ct+1
- ( 1+ r )
0
0
at+1>=A
2
Ct
42
CAPÍTULO 4. MODELOS DE ELECCIÓN INTERTEMPORAL
Formalmente, veamos como solucionar el problema de elección intertemporal
cuando se añaden restricciones de liquidez. Para el caso general supondremos
que el nivel de activos ha de cumplir la siguiente condición, at+1 ¸ ¡A donde
A es una constante que no es lo su…ciente grande como para no ser efectiva. Es
posible obtener este valor a partir de la restricción presupuestaria del consumidor
wt+1
A < 1+r
:
t+1
max
fct ;ct+1 ;at+1 g
s:a:
u(ct ) + ¯u(ct+1 )
ct + at+1 = wt
ct+1 = (1 + rt+1 ) ¢ at+1 + wt+1
at+1 ¸ ¡A
ct ; ct+1 ¸ 0
La solución a este problema depende de si la restricción de liquidez es operativa o no.
Caso 1(Restricción operativa): at+1 = ¡A
La restricción de liquidez es operativa, de forma que el individuo a pesar de
que le gustaría pedir prestado recursos para consumir más que su nivel de renta
en el primer periodo, se encuentra restringido a consumir la renta del primer
periodo. De forma que la elección óptima de este individuo es:
c¤t = wt + A
c¤t+1 = wt+1 ¡ A(1 + rt+1 )
Si A = 0; la mejor opción que tiene el individuo es el consumo de autarquía
(consumir en cada momento su dotación de bienes, no habría intercambio con
otros agentes en la economía). Si la restricción de liquidez es operativa, la
Ecuación de Euler no se cumple debido a la existencia de la restricción de
liquidez, por lo tanto la solución del problema del consumidor no implica igualar
la relación marginal de sustitución al tipo de interés de mercado.
u0 (ct )
> 1 + rt+1
¯u0 (ct+1 )
Esto implica que la relación marginal de sustitución entre el consumo presente y el consumo futuro es superior al tipo de interés. El bienestar del individuo
cuando no existe dicha restricción, pues puede alcanzar curvas de indiferencia
superiores.
4.6. RESTRICCIONES DE PARTICIPACIÓN
43
Figura 7: Solución grá…ca con restricción de liquidez operativa
12
Ct+1
UC(t)/UC(t+1) > B (1 + r )
0
Ct
Caso 2 (Restricción no operativa): at+1 > 0
Estamos en el caso anteriormente analizado, el individuo tiene incentivos a
mantener una posición de activos superior a la marcada por la restricción. La
solución del problema sin la restricción de liquidez es equivalente a la solución
del problema con una restricción adicional que en equilibrio no es operativa.
Estamos en el caso de las secciones anteriores.
Figura 7: Solución grá…ca con restricción de liquidez no operativa
Ct+1
Wt+1
RMS=UC(t)/UC(t+1) = !+r
C*t+1
0.5
0
4.6
Wt
C*t
2
Ct
Restricciones de Participación
Otra de las incompletitudes que serán analizadas con más detalle en el capítulo
dedicado a mercados incompletos en la capacidad de decisión que tienen los
individuos para participar o no en el mercado. Por lo tanto bajo ciertas circunstancias los individuos pueden tener incentivos de salir del mercado de crédito
y no pagar sus deudas. Esto tendrá efectos en el mercado de crédito, pues los
prestamistas a la hora de dar crédito tendrán en cuenta esta posibilidad por lo
CAPÍTULO 4. MODELOS DE ELECCIÓN INTERTEMPORAL
44
tanto, para evitar que los deudores declaren la fallida en los préstamos, éstos
les van a prestar menos recursos de los que realmente desearían pedir prestado.
En un problema de dos periodos, un individuo tiene incentivos a permanecer
en el mercado cuando se cumple la siguiente restricción:
U (wt ¡ at+1 ) + ¯U (wt+1 + (1 + rt+1 )at+1 ) ¸
|
{z
}
Utilidad participar en el mercado
U (wt ¡ at+1 ) + ¯U (wt+1 )
|
{z
}
Utilidad de salir del mercado
En la parte izquierda está en nivel de utilidad asociado a permancer en el
mercado, mientras que en el lado izquierdo …gura el nivel de utilidad asociado
a salir del mercado y no pagar las deudas contraidas. Por lo tanto un individuo
saldrá del mercado y no pagará sus deudad si:
U(wt+1 + (1 + rt+1 )at+1 ) < U (wt+1 )
suponemos que cuando la restricción se cumple con igualdad el individuo permanece en el mercado. Esto signi…ca que en un modelo con dos periodos siempre
que at+1 < 0; los individuos declararán bancarrota. Dado que no hay problemas de información el prestamista será consciente de que el prestatario no le
devolverá el crédito, por lo tanto este intercambio no se realizará, de esta forma aparecen de forma endógena incompletitudes de mercado. El problema del
consumidor cuando existe opciones de salir del mercado puede escribirse de la
siguiente:
max
u(ct ) + ¯fu(ct+1 ); u(wt+1 )g
fct ;ct+1 ;at+1 g
s:a:
ct + at+1 = wt
ct+1 = (1 + rt+1 ) ¢ at+1 + wt+1
ct ; ct+1 ¸ 0
La ausencia de problemas de información añadirá una restricción adicional al
problema, de forma que la solución de este problema deberá satisfacer también
la siguiente restricción:
U (ct+1 ) ¸ U (wt+1 )
Por lo tanto no habrá bancarrota en equilibrio. El equilibrio en este tipo de
economías se analizará con mayor detalle en el capítulo de mercados incompletos.
4.7
Problemas
1. (Elección intertemporal). Demostrar que las condiciones de primer
orden asociadas a solucionar con la restricción secuencial es equivalente
a la restricción intertemporal (téngase en cuenta que ahora sólo hay un
multiplicador de Lagrange asociado).
2. (Elección intertemporal). Suponga que la función de utilidad es la
siguiente, u(ct ) = ln ct :
(a) Demostrar que la función de utilidad propuesta satisface las hipótesis
básicas.
4.7. PROBLEMAS
45
(b) Derivar la Ecuación de Euler asociada a esta función de utilidad.
(c) Hallar las funciones de consumo en cada periodo y la función de
ahorro.
(d) Compruebe que las demandas óptimas (c¤t ; c¤t+1 ) agotan toda la renta.
(e) Demostrar bajo qué condiciones el nivel de activos es negativo.
3. (Elección intertemporal) Si la función de utilidad es, u(ct ) = (c1¡¾
¡
t
1)=(1 ¡ ¾):
(a) Demuestre que ¾ es la inversa de la elasticidad de sustitución entre
el consumo presente y futuro.
(b) Solucionar los apartados del ejercicio anterior para esta nueva función
de utilidad.
(c) ¿Qué resultados se obtienen cuando ¾ = 1?
4. (Elección intertemporal+Impuestos). Con las mismas preferencias
que en el problema anterior suponga que el individuo se enfrenta a un
impuesto sobre el consumo de cada periodo, ¿ c; de forma que la nueva
restricción intertemporal tiene la siguiente forma:
µ
¶
ct+1
wt+1
(1 + ¿ c ) ct +
= wt +
1 + rt+1
1 + rt+1
(a) ¿Qué efectos tiene el impuesto sobre la elección intertemporal?. ¿Crea
alguna distorsión en las decisiones de ahorro?
(b) ¿Qué ocurriría si el impuesto de consumo sólo existiera en el primer
periodo?, ¿cambiarían las condiciones de primer orden?
5. (Formulación Arrow-Debreu 1). Si la función de utilidad es u(¢) =
ln ct :
(a) Dibujar la restricción Arrow-Debreu y solucionar el modelo gra…camente.
(b) Solucionar el problema de elección en t y derivar las cantidades consumidas en cada momento del tiempo.
(c) Explicar el concepto de contrato intertemporal en relación al concepto
de ahorro utilizado en la sección anterior. Nótese que en este caso
no existe ningún mecanismo adicional a los contratos para transferir
recursos entre dos periodos.
(d) Reinterprete la ecuación de Euler.
(e) ¿Cuál es la relación de precios existente entre dos periodos?
6. (Formulación Arrow-Debreu 2) Considere el problema de un individuo que debe decidir la asignación intertemporal de consumo entre dos
periodos. Suponga que las preferencias son representables mediante la
siguiente función de utilidad U (ct ; ct+1 ) = ct + ln ct+1 ; y la restricción
presupuestaria es de tipo Arrow-Debreu,
pt ct + pt+1 ct+1 = pt wt + pt+1 wt+1 ;
Con esta información responda a las siguientes cuestiones:
46
CAPÍTULO 4. MODELOS DE ELECCIÓN INTERTEMPORAL
(a) Solucionar grá…camente el problema de elección.
(b) Hallar las funciones de consumo.
(c) Si ¯ = 0:6; rt+1 = 20% y las dotaciones de recursos de cada periodo
son wt = 10; wt+1 = 20. Hallar numéricamente los consumo óptimos.
(d) Explicar el concepto de contrato intertemporal en relación al concepto
de ahorro.
7. (Restricciones de liquidez). Considere el problema de un individuo
que debe decidir la asignación intertemporal de consumo entre dos periodos. Suponga que las preferencia son representables mediante la siguiente
función de utilidad U (ct ; ct+1 ) = ct c¯t+1 ; y la restricción presupuestaria es
de tipo secuencial. Con esta información responda a las siguientes cuestiones.
(a) Solucionar grá…ca y formalmente el problema de elección si ¯ = 0:5;
rt+1 = 11% y las dotaciones de recursos de cada periodo son wt =
wt+1 = 10:
(b) Suponga que existe la siguiente restricción de liquidez, at+1 ¸ ¡1:
Afectará dicha restricción a la solución obtenida en el apartado anterior?. ¿Cuál será el nuevo patrón intertemporal de consumo de
equilibrio?
(c) ¿Qué signi…cado económico tendría at+1 ¸ 1?
8. (Restricciones de liquidez). Analizar el caso de restricciones de liquidez del siguiente tipo, at+1 ¸ ¡A, donde A > 0.
(a) Soluciónelo grá…ca y formalmente.
(b) ¿Qué ocurre cuando A ! 1; es decir se hace arbitrariamente grande?
(c) ¿Qué signi…cado económico tiene A < 0?, ¿dé una interpretación y
solucione el problema?
Capítulo 5
Introducción al Sistema
Financiero
5.1
Introducción
En este capítulo se introduce la noción de sistema …nanciero y se analiza la
determinación de precios de los distintos activos en cada mercado. Para ello es
necesario analizar, además de la decisión óptima individual, y la interacción en
el mercado de tanto oferentes como demandantes.
De…nición (Sistema Financiero): El sistema …nanciero es un conjunto
de instituciones que tienen por …nalidad canalizar el ahorro de los agentes que
tienen capacidad de …nanciar hacia aquellos que tienen necesidades …nancieras.
La existencia de un sistema …nanciero en la economía va a permitir mejorar
el bienestar de los individuos respecto a una situación en la que no existiera
este tipo de institución. Para modelizar el sistema …nanciero en su conjunto y
analizar los determinantes de los precios de los activos en un mundo sin incertidumbre es necesario utilizar modelos de equilibrio general dinámico, basados
en economías de intercambio puro. Los precios de equilibrio son aquellos resultantes de hacer compatibles las decisiones de compra y venta de todos los
individuos en el mercado.
El capítulo se estructura de la siguiente forma, la sección 2 introduce la estructura básica que aparece en todo modelo de equilibrio general. La sección 3
analiza la determinación de los precios en mercados con estructura secuencial,
mientras que la sección 4 el mismo tipo de economías con estrutura de mercado
de tipo Arrow-Debreu. La sección 5 analiza los efectos de restricciones de liquidez en la determinación de precios de equilibrio en los mercados y por último
la sección 6 analiza la determinación de precios en un modelo con multiples
activos.
5.2
Preferencias y Dotaciones
La características básicas de la economía son similares a las del capítulo anterior.
Suponemos una economía de dos periodos, en la cual hay existe un número de
individuos I; donde i¡ denota al individuo i-esimo. En cada momento del
47
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN AL SISTEMA FINANCIERO
48
tiempo existe un bien de consumo, denotado por cit y cit+1 . La preferencias de
los individuos están representadas mediante la siguiente función de utilidad,
U (cit ; cit+1 ) = u(cit ) + ¯ i u(cit+1 );
donde ¯ i 2 (0; 1) es el factor de descuento subjetivo de cada individuo. Las
preferencias cumplen las siguientes propiedades: u0 > 0 y u00 < 0:
En cada momento del tiempo cada individuo dispone de una dotación de
recursos que está dada por, !i = (!it ; !it+1 ): De esta forma los individuos tendrán incentivos a intercambiar recursos en la medida que su dotación inicial no
coincide con el elemento más preferido en el conjunto de elección determinado
por la restricción presupuestaria.
5.3
Mercados Secuenciales
A continuación describimos el modelo básico de equilibrio general con una estructura secuencial de mercados que abre y cierra en cada periodo. En el momento t existe un mercado para intercambiar bienes de consumo en t, es decir
cit : Una vez cierra este mercado, abre otro en el siguiente periodo donde sólo se
puede intercambiar el bien de consumo en t + 1; es decir cit+1 : En t + 1; existe
un mercado para intercambiar cit+1 ; pero el mercado del bien del consumo del
periodo anterior ya ha sido cerrado. Existe un mercado adicional que permite
a los individuos transferir riqueza en el tiempo, ait+1 ; de forma permite comprar en los mercados de bienes una cantidad superior a la dotación de recursos
dispible en cada periodo.
La estructura de mercado queda plasmada en la siguiente noción de equilibrio:
De…nición (Equilibrio Secuencial): Un equilibrio secuencial es una asignación de recursos para cada individuo i, fcit ; cit+1 ; ait+1 gIi=1 y un precio frt g tal
que:
1. El individuo i elige fcit ; cit+1 ; ait+1 g al solucionar:
max
u(cit ) + ¯i u(cit+1 )
s:a:
cit + ait+1 = ! it
fcit ;cit+1 ;ait+1 g
cit+1 = (1 + rt+1 )ait+1 + !it+1
cit ; cit+1 ¸ 0
2. Los mercados se vacían (demanda-oferta
X
X
cit
!it
i
X
i
i
cit+1
X
i
X
0)
8i;
!it+1
8i;
i
ait+1 = 0
8i;
5.3. MERCADOS SECUENCIALES
49
La obtención de los precios de equilibrio pasa por solucionar los problemas
de elección intertemporal de cada individuo, y encontrar los precios que hacen
compatibles los deseos de cada individuo, de forma que a los precios existentes,
ningún individuo tiene incentivos a cambiar su decisión.
Dada la estructura temporal del modelo, con sólo dos mercados de consumo,
por la ley de Walras, si uno está en equilibrio el otro también tiene que estar
en equilibrio. De esta forma encontrando el precio que equilibra la oferta y
la demanda en un mercado, obtenemos que ese precio también equilibra el otro
mercado. Para obtener los precios de equilibrio bastan con sustituir las funciones
de consumo de cada individuo en cada mercado.
Veamos un caso particular para ver como es posible obtener el precio de
equilibrio en una economía en la que hay tan solo dos individuos, es decir I =
2: Entre paréntesis denotamos la función de exceso de oferta, que re‡eja la
diferencia entre el nivel de consumo óptimo al nivel de precios y la dotación de
recursos del periodo.
(b
c1t ¡ ! 1t ) + (b
c2t ¡ !2t )
0
8t:
Para cualquier precio elegido al azar, no podemos esperar que esta ecuación
se cumpla con igualdad. Si cada individuo consume su dotación, no existe
intercambio por lo tanto no es necesario explicitar precios relativos pues no
existen relaciones de intercambio entre individuos. Si existe intercambio puede
ocurrir que:
(b
c1t ¡ !1t ) > (! 2t ¡ b
c2t );
dado que la diferencia entre el nivel de consumo y la dotación es el nivel de
activos, podemos sustituir la restricción anterior por la siguiente expresión:
a1t+1 > ¡a2t+1
Esto implica que a los precios actuales, los planes de los individuos no son
mutuamente consistentes. El individuo 1 quiere prestar más recursos que los
que está dispuestos a pedir prestados en individuo 2. Esto signi…ca que el precio
actual es excesivamente alto, pues en el mercado de prestamos existe un exceso
de oferta. A los precios de equilibrio debe cumplirse que si b
c1t ¡ !1t > 0; entonces
2
2
ct ¡ !t < 0 y en la misma intensidad. Es decir a los precios de equilibrio
b
las necesidades …nancieras del individuo 2 son satisfechas por la capacidad de
…nanciar del individuo 1:
Para que los individuos intercambien recursos en la economía deben tener
incentivos importantes a hacerlo, de forma que esperan bene…ciarse con el proceso de intercambio acudiendo al mercado. A continuación analizamos dos casos
particulares, en el primero los individuos tendrán las mismas preferencias pero
distinta dotación inicial de recursos. En el segundo caso los individuos tendrán
distintas preferencias e igual dotación de recursos.
5.3.1
Individuos homogéneos y distintas dotaciones de recursos
Las preferencias de los individuos están representadas mediante la siguiente función de utilidad, u(¢) = ln ct ; suponemos que ambos individuos tienen el mismo
factor de descuento intertemporal, es decir ¯ i = ¯; 8i: Para que exista intercambio en esta economía, en la cual ambos individuos valoran por igual el futuro, es
50
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN AL SISTEMA FINANCIERO
necesario que cada uno de ellos tenga una dotación de factores distinta, ! i 6= !j ;
i 6= j: Si no éstos no tendrían ningún incentivo a intercambiar recursos, pues
serían exactamente iguales. Solucionamos el modelo en dos etapas, siguiendo
la de…nición de equilibrio competitivo. El primer lugar se derivan las funciones
de consumo y ahorro de cada individuo, y en segundo lugar se encuentran los
precios de equilibrio que vacían los mercados de cada periodo y obtenemos las
cantidades consumidas a los precios de equilibrio..
Etapa 1: Problema de los agentes
La solución del problema de elección de los consumidores está dada por la
siguientes funciones de consumo y ahorro,
µ
¶
!it+1
1
!it +
cit =
b
1+¯
1 + rt+1
µ
¶
!it+1
¯
i
i
ct+1 =
b
!t +
¢ (1 + rt+1 )
1+¯
1 + rt+1
µ
¶
! it+1
1
ait+1 =
b
¯! it ¡
1+¯
1 + rt+1
8
< =0 consumo de autarquía
!i
>0 vende liquidez
si ¯! it ¡ 1+rt+1
t+1 :
<0 compra liquidez
Etapa 2: Determinación de precios
Es necesario encontrar el equilibrio entre oferta y demanda en uno de los
mercados de activos. Por la ley de Walras si N ¡ 1 mercados están en equilibrio,
entonces todos los mercados están en equilibrio. Para ello buscaremos el precio
de equilibrio en el mercado de bienes de consumo en el momento t:
cb1t + b
c2t = ! 1t + !2t
µ
¶
µ
¶
!1t+1
!2t+1
1
1
1
2
!t +
+
!t +
= ! 1t + !2t
1+¯
1 + rt+1
1+¯
1 + rt+1
¸
1
1
! 1t + !2t +
(!1t+1 + ! 2t+1 ) = !1t + !2t
1+¯
1 + rt+1
1
(!1 + !2t+1 ) = (1 + ¯) ¢ (!1t + ! 2t )
(!1t + ! 2t ) +
1 + rt+1 t+1
de esta expresión podemos aislar los precios relativos,
¶
µ
1 !1t+1 + !2t+1
1 + rbt+1 =
¯
!1t + !2t
El precio de equilibrio 1+ rbt+1 depende del factor de descuento intertemporal de
los agentes y del ratio entre la dotación agregada de recursos de cada periodo.
Veamos algunos ejemplos.
1. Dotación Agregada Constante
Supongamos que la dotación agregada de recursos no cambia en el tiempo.
Esto implica que el tipo de interés de mercado es igual a la inversa del
factor de descuento de los individuos,
1 + rt+1 =
1
¯
5.3. MERCADOS SECUENCIALES
51
Cuanto más pacientes sean los individuos (mayor ¯) menor será la rentabilidad del ahorro. Mientras que cuanto menos pacientes sean los individuos
(menor ¯) mayor será la rentabilidad del ahorro. Como casos extremos
podemos ver que si ¯ = 1 entonces la rentabilidad es 0; es decir el precio
del segundo periodo es igual que el del primer periodo. Cuando ¯ ! 0;
entonces rt+1 ! 1:
2. Crecimiento Económico
Supongamos que la dotación agregada de recursos no es constante en el
tiempo, es decir que la cantidad de recursos de la economía en el momento
t; puede ser crecer en el tiempo, y denotamos por g a la tasa de crecimiento
de la dotación agregada de recursos.
! t+1
= 1+g
!t
g 2 R+ :
Si g = 0 entonces estamos en el caso anterior. Si g > 0 entonces podemos
reescribir el precio de equilibrio de la siguiente forma,
1 + rt+1 =
(1 + g)
¯
dado que ¯ < 1; este ratio es siempre positivo. Por lo tanto el tipo
de interés simpre es mayor que la unidad, es decir 1 + rt+1 > 1: Esto
es esquivalente a sustituir esta expresión por una nueva tasa de descuento
temporal corregida por la variación en el tamaño de la dotación de recursos
¯
de la economía, ē = 1+g
: Sustituyendo esta expresión obtenemos una
ecuación similar a la anterior con el nuevo factor de descuento.
A continuación analizamos un sencillo ejemplo numérico para ilustrar como
obtener las asignaciones de equilibrio a partir de los precios de equilibrio y las
dotaciones de recursos. Sea !t = !t+1 = 3; la distribución de recursos para
cada individuo está dada por:
!1
!2
= (!1t ; ! 1t+1 ) = (2; 1)
= (!2t ; ! 2t+1 ) = (1; 2)
Si el tipo de interés es positivo el individuo 1 tiene una mayor renta en valor
presente, para cualquier tipo de interés. En este caso la evaluamos al tipo de
interés de equilibrio:
!1t+1
1 + rbt+1
!2t+1
!2t +
1 + rbt+1
!1t +
= 2+¯
= 1 + 2¯
Las funciones de consumo de cada individuo están dadas por las siguientes
expresiones,
2+¯
c1t = b
b
c1t+1 =
1+¯
cb2t = b
c2t+1 =
1 + 2¯
1+¯
52
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN AL SISTEMA FINANCIERO
Como el factor de descuento cumple ¯ 2 (0; 1) entonces 2 + ¯ > 1 + 2¯; por
lo tanto el individuo tipo 1 siempre consumirá más bienes que el individuo 2.
Esto es debido a que es más rico, pues el valor presente de su ‡ujo de recursos
es superior al del individuo 2. Para veri…car que la restricción de recursos se
cumple con igualdad a los precios de equilibrio basta con comprobarlo:
cb1t + b
c2t =
2+¯
1 + 2¯
+
=3
1+¯
1+¯
Podemos calcular el nivel de activos óptimo a partir de la restricción intertemporal:
b1t+1
a
b2t+1
a
=
=
¯
2¯ ¡ ¯
=
1+¯
1+¯
¯ ¡ 2¯
¯
=¡
1+¯
1+¯
Como podemos observar los deseos de acumular activos coinciden. La existencia
de una asignación intertemporal de consumo simétrica es debida a la perfecta
coincidencia entre el tipo de interés y el factor subjetivo de descuento. Para ello
¤
basta con sustituir los precios de equilibrio (1 + rt+1
) en la Ecuación de Euler:
cit+1 = ¯cit (1 + rt+1 ) = ¯cit
1
= cit :
¯
Por lo tanto el consumo en cada momento del tiempo es igual. Si la dotación
agregada de recursos creciera a una tasa constante (1 + g) entonces los precios
¤
relativos de equilibrio serían 1 + rt+1
= (1 + g)=¯: Sustituyendo en la correspondiente Ecuación de Euler obtenemos:
cit+1 = cit (1 + g) =) cit+1 > cit :
Por lo tanto el consumo es creciente en el tiempo. Esto es debido a que en
el segundo periodo la dotación agregada de recursos es superior, de forma que
en este periodo los individuos pueden consumir más. El mayor tipo de interés
re‡eja la relativa escasez de recursos en el primer periodo.
5.3.2
Individuos heterogéneos y con igual dotación recursos
Supongamos que ambos individuos tienen la misma dotación de recursos en
cada momento del tiempo, es decir, !1t = !1t+1 = !2t = ! 2t+1 : Para que ambos
individuos intercambien recursos ambos individuos deben tener diferentes tasas
de descuento, pues si no al igual que en el caso anterior serían iguales por lo
tanto no intercambiarían bienes. Si ¯1 6= ¯ 2 . A continuación solucionamos el
problema para la siguiente función de utilidad u(¢) = ln ct
Etapa 1: Obtención de las funciones de consumo de cada individuo son,
µ
¶
! it+1
1
i
i
!t +
;
8i
ct =
b
1 + rt+1
1 + ¯i
µ
¶
! it+1
¯i
i
cit+1 =
b
!
+
¢ (1 + rt+1 );
8i
t
1 + rt+1
1 + ¯i
5.4. MERCADOS ARROW-DEBREU
ait+1
b
1
=
1 + ¯i
µ
¯
i
! it
53
! it+1
¡
1 + rt+1
¶
;
8i
Etapa 2: Determinación del precio de equilibrio.
Para obtener los precios de equilibrio suponemos que el mercado de consumo
presente se equilibra,
c1t + b
b
c2t !1t + ! 2t
sustituyendo las funciones de consumo en el mercado obtenemos,
¶
¶
µ
µ
!1t+1
!2t+1
1
1
1
2
+
! 1t + !2t
!t +
!t +
1 + rt+1
1 + rt+1
1 + ¯1
1 + ¯2
¸ µ
¶
! 1t+1
1
1
1
+
¢ 2 !t +
2!1t
1 + rt+1
1 + ¯1 1 + ¯2
¸ µ
¶
1
2 + ¯1 + ¯2
¢
1
+
1 1
1 + rt+1
(1 + ¯ 1 )(1 + ¯ 2 )
operando obtenemos la siguiente expresión para la rentabilidad del ahorro,
1 + rt+1 =
2 + ¯ 1 + ¯2
¯1 + ¯2 + 2¯1 ¯2
Podemos observar que si ¯1 = ¯ 2 entonces estamos en el caso anterior. La
rentabilidad del ahorro depende de la relación entre los factores de descuento
de los individuos. Las demandas óptimas del individuo 1,
µ
¶
¯1 + ¯2 + 2¯ 1 ¯2
1
1
ct =
b
1+
1 + ¯1
2 + ¯1 + ¯2
µ
¶ µ
¶
¯1
¯ 1 + ¯ 2 + 2¯ 1 ¯2
2 + ¯1 + ¯2
1
ct+1 =
b
1+
¢
1 + ¯1
2 + ¯1 + ¯2
¯ 1 + ¯ 2 + 2¯1 ¯ 2
si ¯ 1 > ¯ 2 signi…ca que el individuo 1 es más paciente que el individuo 2, por
lo tanto c1t > c2t ! c1t+1 < c2t+1 : Si ambos individuos tienen la misma dotación
de recursos entonces el individuo menos paciente es quien más consume en el
primer periodo.
5.4
Mercados Arrow-Debreu
La estructura de mercado Arrow-Debreu es conceptualemente distinta a la estructura secuancial de mercado, a pesar de ello veremos que son equivalentes.
Esto implica que bajo cualquiera de estas estructuras las asignaciones resultantes en la economía no se verán afectadas por el tipo de estructura de mercado.
En un marco teórico de Arrow-Debreu se basa en la rede…nición del concepto
de bien, como ya hemos comentado anteriormente. Por lo tanto bajo esta estructura todos los mercados están abiertos en t = 0: En el periodo inicial todos
los individuos …rman contratos de intercambio con otros individuos para cada
periodo, en el caso del modelo de dos periodos para t y t + 1:
En esta economía no existe el concepto de ahorro, ni ningún activo que permita transferir recursos en el tiempo, la única forma es utilizar la estructura de
54
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN AL SISTEMA FINANCIERO
contratos intertemporales que ofrece esta economía. En este entorno un contrato es una promesa de transferencia o percepción de una determinada cantidad
de consumo medida en unidades física transferida por parte del individuo i en
el momento t: Esto es posible porque en el periodo inicial todos los mercados
están abiertos al intercambio de bienes. Es importante remarcar que la …rma de contratos y el consumo de bienes se realizan en distintos momentos del
tiempo. Todos los contratos se …rman en t = 0; mientras que el consumo de
bienes tiene lugar el en tiempo, de forma que la transferencia de bienes entre
individuos se realiza a medida que los individuos perciben sus correspondientes
dotaciones de recursos, pues en el momento t todavía no existen los bienes que
se intercambiarán en t + 1:
A continuación se de…ne la noción de equilibrio asociado a esta estructura
de mercado.
De…nición (Equilibrio Arrow-Debreu): Un equilibrio Arrow-Debreu es
una asignación de recursos fcit ; cit+1 g y un precio fpt ; pt+1 g tal que:
1. Los individuos i = 1; 2 eligen fcit ; cit+1 g de solucionar:
max
fcit ;cit+1 ;ait+1 g
s:a:
u(cit ) + ¯u(cit+1 )
pt cit + pt+1 cit+1 = pt ! it + p!it+1t+1
cit ; cit+1 ¸ 0
2. Los mercados se equilibran (oferta=demanda)
X
cit
i
X
i
cit+1
X
!it ;
i
X
!it+1
i
Tanto los precios como las asignaciones con esta estructura de mercados son
equivalentes a la del modelo secuencial. Al igual que en el caso anterior la ley
de Walras aplica. Si uno mercado está en equilibrio el otro también tiene que
estar en equilibrio, puesto que lo que importa son los precios relativos.
Veamos como obtener los precios de equilibrio, pt =pt+1 ; en un sencillo caso
con tan solo dos individuos I = 2: Entre paréntesis denotamos la función de
exceso de oferta de cada individuo.
(b
c1t ¡ ! 1t ) + (b
c2t ¡ ! 2t )
0
8t:
Para cualquier precio pt =pt+1 no cabe esperar que esta ecuación se cumpla con
igualdad. Si existe intercambio a un precio que no es de equilibrio los excesos
de oferta de cada individuo no van a coincidir:
(b
c1t ¡ ! 1t ) > (!2t ¡ b
c2t );
en este caso en concreto el exceso de oferta del indivioduo 1 es negativo mientras
que el del individuo 2 es positivo. Esto signi…ca que a los precios vigentes la
5.4. MERCADOS ARROW-DEBREU
55
demanda es mayor que la oferta. En el mercado del bien de consumo en ct+1
debe ocurrir lo contrario:
(b
c1t+1 ¡ !1t+1 ) < (! 2t+1 ¡ b
c2t+1 );
El precio del bien de consumo ct es relativamente más barato que el de ct+1
por lo tanto el ratio de precios que equilibra ambos mercados debe ser mayor, de
forma que a los precios actuales, los planes de los individuos no son mutuamente
consistentes.
Ejemplo: Supongamos que las preferencias al igual que los ejemplos anteriores son de tipo logarítmicas, u(¢) = ln cit + ¯ ln cit+1 ; y la dotación de recursos
de cada individuo está dada por !i = (!it ; ! it+1 ): A partir de la de…nición de
equilibrio competitivo podemos obtener los precios de equilibrio.
Las funciones de consumo de cada periodo están dadas por las siguientes
expresiones:
µ
¶
pt+1 !it+1
1
i
i
ct =
b
!t +
;
1+¯
pt
µ
¶
¯
pt !it
cit+1 =
b
+ !it+1 :
1 + ¯ pt+1
Es posible determinar el tipo de contratos que desean …rmar los individuos
a partir de las funciones de exceso de demanda, que denominaremos zt :
µ
¶
pt+1 !it+1
1
i
i
¡ ¯! t ;
zbt =
1+¯
pt
µ
¶
pt ¯!it
1
i
¡ !it+1 :
zbt+1
=
1 + ¯ pt+1
Para calcular los precios de equilibrio basta con equilibrar los respectivos
mercados:
zbt1 + zbt2 = 0:
Formalmente,
pt+1 1
(! t+1 + !2t+1 ) ¡ ¯(!1t + ! 2t ) = 0:
pt
Aislando obtenemos los precios de equilibrio con la estructura de mercados
Arrow-Debreu:
1 (! 1t+1 + !2t+1 )
pt
=
:
pt+1
¯ (! 1t + !2t )
Los precios de equilibrio coinciden con los que se obtendrían con la estructura
secuencial de mercado. Si suponemos que la dotación agregada de recursos es
contante obtenemos:
pt
1
= = 1 + rt+1
pt+1
¯
Sustituyendo los precios de equilibrio en las funciones de exceso de demanda
se derivan las siguientes expresiones una vez sustituimos los precios de equilibrio:
zbti
i
zbt+1
=
=
¯
1+¯
1
1+¯
¡ i
¢
!t+1 ¡ !it ;
¡ i
¢
!t ¡ !it+1 :
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN AL SISTEMA FINANCIERO
56
El individuo que tenga relativamente más recursos en el primer periodo …rmará
un contrato de intercambio de bienes con el otro individuo para comprar más
bienes de consumo en el segundo periodo a cambio de bienes en el primero.
Dado que las preferencias son iguales, si las dotaciones coincideran no existiría
i
intercambio, de forma que zbti = zbt+1
= 0:
5.5
Selección de Cartera y Equilibrio de Mercado
En esta sección analizamos la determinación de precios de equilibrio con una
estructura secuencial de mercado en una economía en la que los individuos pueden invertir en más de un activo …nanciero. Para ello supondremos que existen
sólo dos individuos I = 2 y dos activos …nancieros (at+1 ; bt+1 ): A continuación
de…nimos la noción de equilibrio competitivo asociada a esta economía.
De…nición (Equilibrio con Selección de Cartera): Un equilibrio con
selección de cartera es una asignación de consumo fcit ; cit+1 gIi=1 ; una cartera de
activos fait+1 ; bit+1 gIi=1 para cada individuo i y precios frt ; qt ; qt+1 g tal que:
1. El individuo i elige fcit ; cit+1 ; ait+1 ; bit+1 g al solucionar:
max
fcit ;cit+1 ;ait+1 ;bit+1 g
u(cit ) + ¯i u(cit+1 )
cit + ait+1 + qt bit+1 = ! it
s:a:
cit+1 = (1 + rt+1 )ait+1 + qt+1 bit+1 + ! it+1
cit ; cit+1 ¸ 0
2. Los mercados se vacían (oferta=demanda)
X
X
cit
i
cit+1
i
X
X
i
X
i
! it+1
i
ait+1
= 0
8i;
bit+1
= 0
8i;
i
X
! it
8i;
8i;
Ejemplo: Si las preferencias sobre el consumo presente y futuro están representadas mediante la siguiente función de utilidad u(¢) = ln c: Las condiciones
necesarias del problema de optimización son las siguientes,
[ct ]
[ct+1 ]
[ait+1 ]
[bit+1 ]
1=ct ¡ ¸t 0
(= 0 si ct
¯=ct+1 ¡ ¸t+1 0
(= 0 si ct+1
¡¸t + ¸t+1 (1 + rt+1 ) 0
(= 0 si at+1
i
¡qti ¸t + ¸t+1 qt+1
0
(= 0 si bit+1
> 0)
> 0)
6= 0)
6= 0)
5.5. SELECCIÓN DE CARTERA Y EQUILIBRIO DE MERCADO
57
Si la solución respecto al nivel de activos es interior, con indendencia de
la selección de cartera que decidan los individuos la Ecuación de Euler debe
cumplirse con igualdad.
u0 (ct ) = ¯u0 (ct+1 )(1 + rt+1 );
o bien:
qt
u0 (ct )
=
;
0
¯u (ct+1 )
qt+1
de las condiciones adicionales derivamos la denominada condición de noarbitraje
qt+1
1 + rt+1 =
:
qt
Dado que los activos son sustitutos perfectos cualquier desviación de la condición de arbitraje no será un precio de equilibrio por lo tanto los excesos de
oferta de los individuos no coincidirán. Es relativamente sencillo veri…car que
en equilibrio los precios relativos son los siguientes:
i
qt+1
1 (!1t+1 + !2t+1 )
=
= 1 + rt+1 :
qti
¯ (!1t + !2t )
Supongamos !1 = (0; 1) y !1 = (1; 0) y que el candidato a precio de equilibrio no cumple la condición de arbitraje, por ejemplo:
i
qt+1
1
i > ¯ = 1 + rt+1 :
qt
Esto signi…ca que el precio de mañana del activo bt+1 en valor presente es menor
que su precio actual. Por lo tanto el individuo que desee ahorrar, es decir el
individuo 2, comprará en el momento t activos del tipo bt+1 a un precio qt y los
venderá mañana a un precio qt+1 : En cambio en individuo 1 que desea endeudarse lo intentará hacer al tipo de interés más bajo, o equivalentemente comprando
barato y vendiendo caro. Como el activo bt+1 hoy está relativamente barato en
relación con mañana si se endeuda en este tipo de activo mañana tendrá que
recomprarlo más caro por lo tanto optará por endeudarse en el activo at+1 que
es relativamente más económico. Por lo tanto la perfecta sustitutabilidad entre
los activos hara que el mercado de activos de tipo 1 haya un exceso de demanda,
mientras que en el de tipo 2 hay un exceso de oferta.
a1t+1
|{z}
<0
b1t+1
² Mercado Activo 2: |{z}
=0
² Mercado Activo 1:
+a2t+1 0
| {z }
=0
+b2t+1 0
| {z }
>0
Por lo tanto como puede observarse desviaciones de la ley del único precio
(ausencia de arbitraje) no cumplen las condiciones de vaciameniento de mercado.
De forma que si los precios no cumplen la condición de no-arbitraje entonces no
existe equilibrio.
58
5.6
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN AL SISTEMA FINANCIERO
Mercados Incompletos
A continuación se analiza el efecto que tiene en la determinación de los precios
de equilibrio de mercado la existencia de restricciones de liquidez. Para ello analizaremos al igual que en los casos anteriores sencillos ejemplos en una economía
de intercambio con dos individuos, suponiendo que la estructura de mercado es
secuencial. Basta con modi…car la de la sección 3 añadiendo una restricción que
supondremos igual para cada individuo, ait+1 ¸ ¡A:
En este tipo de ejemplos nos interesa analizar situaciones en las que la restricción de liquidez es operativa, no aquellos casos en los que ésta no afecta
las decisiones de los individuos. Por lo tanto si tan sólo existen dos tipos de
individuos no puede ocurrir que la restricción de liquidez les afecte a ambos. La
Equación de Euler del individuo que está afectado por la restricción de liquidez
se cumple con desigualdad:
u0 (cit )
> 1 + rt+1 :
¯u0 (cit+1 )
Ello es debido a que no puede igualar la relación marginal de sustitución a los
precios relativos. En cambio el individuo que no está afectado por la restricción
de liquidez tiene una Equación de Euler que se cumple con igualdad.
Ejemplo: Veamos un ejemplo en concreto, supongamos I = 2 y las preferencias sobre el consumo presente y futuro están representadas mediante la
siguiente función de utilidad u(¢) = ln c: Si el individuo 1 está afectado por la
restricción de liquidez, su demanda de activos es:
b
a1t+1
b
a2t+1
= ¡A;
=
1
1+¯
µ
¯wt2 ¡
2
wt+1
1 + rt+1
¶
:
La condición de equilibrio en el mercado de activos implica que b
a1t+1 + b
a2t+1 = 0:
1
1+¯
µ
¯wt2 ¡
2
wt+1
1 + rt+1
¶
= A:
Por lo tanto el precio de equilibrio está dado por:
¤
1 + rt+1
=
¯wt2
2
wt+1
:
¡ A(1 + ¯)
Como puede observarse los precios dependen positivamente de la restricción
de liquidez, @b
rt+1 =@A > 0: Por lo tanto a medida que aumento A (relajo la
restricción de liquidez), los precios relativos aumentan. De forma que podemos
concluir que la existencia de restricciones de liquidez disminuye en tipo de interés en relación al caso en el cual ésta no afecta. Téngase en cuenta que si la
restricción no fuera efectiva los precios de equilibrio serían:
1 + rbt+1 =
1
¯
µ
!1t+1 + !2t+1
!1t + !2t
¶
5.7. PROBLEMAS
5.7
59
Problemas
1. Si los individuos tienen las siguientes preferencias de los individuos, u(ct ) =
ln ct : Demostrar para los siguientes casos que los precios y consumos de
equilibrio son equivalentes entre una estructura secuencial de mercado y
otra Arrow-Debreu.
(a) Suponga que ¯1 = ¯2 ; y que ! 1 = (1; 0); ! 2 = (0; 1): ¿Cuánto valen los precios Arrow-Debreu?. ¿Qué ocurriría si la dotación inicial
de recursos fuera !1 = (1; 0); !2 = (0; 2)?; ¿Cambiarían los precios
relativos?
(b) Suponga que los individuos di…eren en el factor de descuento, ¯ 1 >
¯ 2 ; pero tiene la misma dotación de factores en cada periodos ! 1 =
!2:
60
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN AL SISTEMA FINANCIERO