Mediciones de masa y densidad

Masas y Densidades
Principio de Arquímedes
Objetivo
Determinación de masas y densidades de objetos de interés usando balanzas.
Método de Arquímedes para determinar densidades. Caracterización de la composición de
materiales midiendo densidades. Inferencia de la composición de la Tierra a partir del
análisis de la densidad de la misma.
Introducción
La densidad, ρ, de un cuerpo se define como la masa por unidad de volumen.
Similarmente, el peso específico se define como el peso por unidad de volumen. Para un
cuerpo homogéneo (es decir, aquel para el cual sus propiedades son iguales en todas sus
partes), la densidad es una característica de la sustancia de la que el mismo está compuesto.
La densidad es una típica magnitud intensiva, es decir, una magnitud que no depende de la
cantidad de materia que compone al cuerpo, sino sólo de su composición. Otros ejemplos
de magnitudes intensivas son la temperatura, la presión, etc.
A diferencia de las magnitudes intensivas, las magnitudes extensivas son aquellas que
varían en forma proporcional a la cantidad de materia que constituyen el cuerpo. A esta
última categoría corresponden la masa, el peso, el volumen, el número de moléculas, etc.
Cada sustancia pura tiene una densidad ρ que es característica de la misma. Por
ejemplo, todos los objetos de oro puro tienen la misma densidad (ρAu=19.3 g/cm3), lo
mismo ocurre con el aluminio (ρAl=2.7 g/cm3 ), el hierro (ρFe=7.8 g/cm3 ), el agua a una
dada temperatura (ρH2O=1.0 g/cm3, a 20º C). Esto significa que la densidad es una
propiedad muy útil para saber en forma fácil y rápida de que está hecho un objeto. Ésta es
justamente la propiedad de la que, según la tradición, se valió Arquímedes en el siglo III
a.C. para saber si una corona del rey Hierón de Siracusa estaba efectivamente hecha de oro
macizo. Sólo tuvo que idear un método para medir la densidad y, ¡Eureka!, el problema
estuvo resuelto. Sin embargo, para medir la densidad, Arquímedes tuvo que descubrir el
principio que lleva su nombre y que establece que:
“Todo cuerpo sumergido en el seno de un fluido, sufre una fuerza ascendente
(empuje) cuyo valor es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo.”
Este principio explica porqué flotan los objetos, corchos, barcos, globos, y porqué es
más fácil levantar a una persona dentro de una piscina llena de agua que fuera de ella.
Nosotros también usaremos este principio para medir densidades.
Método de Arquímedes para determinar densidades
Las balanzas electrónicas modernas son distintas a la de dos brazos tradicionales[1,2,3];
entre otras cosas sólo tienen un platillo. Valiéndonos de la tercera ley de Newton es posible
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
94
usar estas balanzas para determinar densidades usando el principio de Arquímedes. Si
tenemos un vaso de agua sobre una balanza de un solo platillo, como se ilustra en la Fig. 1,
y sumergimos un cuerpo en él, el agua ejercerá un empuje E sobre el cuerpo. Según el
principio de Arquímedes, el módulo de este empuje será:
E = Vcuerpo ⋅ ρ agua ⋅ g =
mcuerpo
ρ cuerpo
⋅ ρ agua ⋅ g .
(1)
E
agua
agua
Balanza
00xx.yy gr
-E
00zzz.tt gr
Figura 1 Medición de la densidad de un cuerpo por el método de Arquímedes usando una
balanza de un solo plato (balanza electrónica estándar).
Es útil definir la masa equivalente mE, como la masa cuyo peso sería E=mE.g. Según
la tercera ley de Newton (acción y reacción) si sobre el cuerpo actúa un empuje E, él
reaccionará sobre el agua (y el vaso) con una fuerza igual y opuesta -E. Es decir, al
sumergir el cuerpo en agua, como se ilustra en la parte derecha de la Fig. 1, la balanza
incrementará su valor en una magnitud igual a mE, ya que por lo general las balanzas está
calibradas en unidades de masa y detectan el incremento de la fuerza sobre su platillo como
un incremento de masa.
mE =
m
E
= Vcuerpo ⋅ ρ agua = cuerpo ⋅ ρ agua .
g
ρ cuerpo
(2)
Pruebe experimentalmente que al realizar esta operación la medición
efectivamente se incrementa. Si en lugar de un cuerpo introduce un dedo,
verifique que se siente en el mismo la fuerza del empuje.
Si utilizamos un cilindro de sección transversal constante y área A y adosamos
una escala lateral, que nos permita conocer la altura h que se halla sumergido
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
95
dentro de un liquido, podemos en principio medir el empuje E en función del
volumen sumergido. Una posibilidad es usar un cilindro macizo o bien un
recipiente cilíndrico hueco con algún lastre (arena) en su interior. La idea es
sumergir progresivamente el cilindro, que dispone de una escala para medir la
altura sumergida (hsumergido) o equivalentemente el volumen inmerso, y representar
en un gráfico el valor del empuje E o bien mE en función del volumen sumergido.
Observe que si es válido el principio de Arquímedes, o sea la Ec.(1), ME vendía
dada por:
mE =
E
= ρ agua ⋅ Vsumergido = ρ agua ⋅ Abase ⋅ hsumergido ,
g
(3)
o sea, que ME variaría linealmente con Vsumergido o con hsumergido. De hecho puede
usarse esta predicción para falser la hipótesis (1), si es válida o no el principio de
Arquímedes. En otras palabras, la valides o no del principio de Arquimides es
equivalente a la linealidad o no de ME con Vsumergido o ME con hsumergido. ¿Cómo se
comparan sus resultados con lo predicho por la Ec. (1)?
Si deseamos falsear la hipótesis de Arquímedes, discuta a priori cuales serian las
signaturas experimentales que le permitirían rechazar la hipótesis. En otras
palabras como esperaría que sean los gráficos de mE en función de Vsumergido si la
hipótesis (principio de Arquímedes) no fuese una buena descripción de la
realidad.
Del gráfico de mE en función de Vsumergido, discuta el significado físico de la
pendiente en caso que la relación entre las variables fuese lineal.
Como se ve claramente de la Ec.(2), la técnica propuesta aquí para la determinación
de densidades no requiere la medición de volúmenes. Esto es una gran ventaja, ya que las
balanzas tienen por lo regular mucha precisión y exactitud. Por ejemplo, no es difícil medir
masas del orden de algunas decenas de gramos con una precisión mejor que el 0.5%. Este
tipo de precisión es poco frecuente en la determinación de volúmenes, excepto en muy
pocos casos.
Método de Arquímedes para determinar densidades II
Medición de la densidad de un cuerpo más denso que el agua. Usando un cuerpo
más denso que el agua, mida en primer lugar su masa mcuerpo. Luego, coloque en el plato de
la balanza un vaso con agua, donde pueda sumergir todo el cuerpo sin producir
derramamiento de agua (pruebe esto primero fuera de la balaza). Tare la balanza con el
vaso con agua (tarar significa poner a cero la balanza en un dado estado de carga).
Introduzca el cuerpo en el agua y determine el valor de mE (si su balanza no tiene tara,
obtenga el valor de mE por diferencia). De la Ec. (2) se obtiene la densidad del cuerpo
como:
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
96
ρ cuerpo =
mcuerpo
mE
⋅ ρ agua .
(4)
Determine la densidad de un anillo (o una medalla o un objeto metálico) de "oro". A
partir de sus mediciones, discuta si el anillo es de oro puro o no. Para comparar sus
resultados con valores de las densidades de los elementos puros, puede consultar
una tabla periódica de los elementos o la tabla de propiedades físico-químicas de la
ref. 4.
Suponga que el cuerpo que está estudiando está hecho de una aleación binaria de
estaño y oro. Usando sus mediciones determine cuáles son las proporciones en peso
de estos metales en el objeto.
El procedimiento seguido constituye uno de los primeros problemas prácticos que,
supuestamente, resolvió Arquímedes: saber si una corona real era de oro puro o no.
¿Sabe cómo era la técnica que propuso Arquímedes?
Densidad de un cuerpo menos denso que el agua. Si el cuerpo es menos denso que el
agua, como por ejemplo madera o corcho, igual se puede usar el método anterior para
determinar su densidad [Ec. (4)]. En este caso, sólo debe forzarse la inmersión total del
cuerpo con la ayuda de una aguja o una varilla rígida, y al mismo tiempo lograr que la
fracción del volumen de esta aguja o varilla inmersa en el agua sea despreciable frente al
volumen del cuerpo en cuestión.
Usando esta técnica determine la densidad de un trozo de corcho o madera, u otro
objeto menos denso que el agua. Cuide que en ningún caso el objeto toque ni las
paredes ni el fondo del vaso.
Estimación de la densidad de la Tierra
Use algunas de las técnicas descriptas en los proyectos anteriores para medir la
densidad de algunas variedades de piedras. Tomaremos estas determinaciones como el
punto de partida para investigar sobre la composición de la Tierra.
Determine
la densidad de por lo menos dos tipos de piedras y de la arena que
encuentre. Acote las incertidumbres de la determinación.
Se sabe que la Tierra tiene una masa Mt = 5.98x1024 kg. y un radio Rt = 6.37x103
km (el error en estas cantidades está en la última cifra significativa). Estime la
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
97
densidad media de la Tierra usando los datos de densidad de las piedras y arena
que consiguió.
¿Podría la Tierra en su interior tener la misma composición que en su superficie?
De no ser así, usando una tabla de densidades, sugiera posibles elementos que
podrían constituir la mayoría del núcleo de la tierra. Una ayuda: tal vez sea
conveniente recordar la composición de los meteoritos. Como tal vez sepa, la
mayoría de los que vemos en los museos son de hierro5.
Temas complementarios − Composición y origen de la
Tierra
Suponiendo que el interior de la Tierra fuese de hierro puro y su periferia fuese
rocosa. Estime el espesor de la capa rocosa. ¿Sería viable realizar una perforación
profunda para extraer este hierro?
Consulte en la bibliografía u otras fuentes4,5,6 (Internet,
(http://pubs.usgs.gov/gip/interior/), Enciclopedias Encarta y Británica, etc.), las
características más sobresalientes de la composición terrestre. En particular trate
de encontrar alguna explicación al hecho de que en la Tierra los elementos más
densos están en el interior y los menos densos (el manto, el agua y el aire) están en
las capas más externas. Si es cierto que la Tierra tiene una composición que está
estratificada según sus densidades, tendríamos un sistema similar al que existe en
un crisol de una metalúrgica. En un crisol que contenga metales fundidos, los
metales más densos van al fondo y los más livianos flotan en el mismo.
De estas observaciones se podría sospechar que en algún momento la Tierra estuvo
muy caliente, de modo que fue posible una separación de los elementos según sus
densidades. De estas conjeturas surgen una serie de temas interesantes para investigar5,6:
¿Cuál pudo haber sido el origen de la energía que calentó la tierra?
¿Este mecanismo de calentamiento todavía está en acción? (Ayuda: consulte
en la bibliografía el efecto de la desintegración radiactiva del Uranio y otros
elementos radiactivos. También investigue el origen del Helio que se extrae de
los pozos de petróleo, ya que, como tal vez sepa, en estado libre este gas se
escapa de la atmósfera).
¿Todos los planetas tendrán esta misma característica? En otras palabras,
¿tendrán densidades similares a la Tierra y estarán estratificados por
densidades?
De los datos de masa y radio que encuentre en la bibliografía, calcule la
densidad media de:
o el Sol
o Júpiter
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
98
o Marte
o la Luna.
Discuta si sus resultados de densidades medias de otros planetas son similares
a los de la Tierra.
¿Fue la Tierra siempre así desde su formación? ¿Siempre estuvo estratificada
desde su origen? Si imaginamos que la Tierra se originó por agregación de
materia interestelar, sería de esperar que sus composición fuese uniforme y
homogénea. ¿Cómo habrá llegado la Tierra a este estado de estratificación?
¿En la Luna, se habrá producido una separación de elementos similar a la
ocurrida en la Tierra? ¿Qué pueden aportar los estudios de rocas lunares traídas
a la Tierra por los astronautas del proyecto Apolo?
Como ve, medir es solo un punto de partida, que dispara un gran número de
preguntas e hipótesis y nuevos experimentos. En esto consiste la ciencia. Desde
luego no esperamos que cada estudiante que realice este experimento, sea un
experto en la génesis de la Tierra o en geofísica, pero sí esperamos que estas
preguntas, que surgieron motivadas por nuestras propias observaciones, nos
motiven para indagar algunas de las hipótesis formuladas aquí y estimulen nuestra
curiosidad. Este ejemplo también ilustra las características básicas de la actividad
científica, en otras palabras, ilustra su metodología. Una observación (medición
en este caso) conduce a plantearnos una hipótesis de trabajo. A su vez, esta
hipótesis dispara nuevos interrogantes, experimentos e investigaciones, que
pueden o no verificar la hipótesis inicial.
Radio medio: 6370 km
Masa: 5.98 x 1024 kg
Densidad media: 5.5 g/cm3
Corteza
Núcleo sólido
interno
Astenósfera
Núcleo líquido
externo
Litósfera
Estructura:
• Núcleo interno: 1.200 km,
su composición se cree es de
hierro y níquel sólidos
• Núcleo externo: 2.300 km se
estima su composición en
hierro y níquel fundidos
•
Manto: 2.800 km, compuesto
en su mayoría por rocas
silíceas sólidas acompañadas
por hierro y magnesio.
•
Corteza: Aprox. 40 km,
compuesta por rocas
Figura 2 Diagrama esquemático del interior de la Tierra. (http://pubs.usgs.gov/gip/interior/)
Bibliografía
[1] S. Gil y E. Rodríguez, Física re-Creativa, Cap. 4, Buenos Aires - Prentice-Hall, 2001.
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
99
[2] J. Fernández y E. Galloni, Trabajos prácticos de física (Centro de Estudiantes de
Ingeniería, UBA, Buenos Aires, 1963).
[3] B. L. Worsnop y H. T. Flint, Curso superior de física práctica (Eudeba, Buenos Aires,
1964).
[4] Lide, D.R. (Ed.), CRC Handbook of Chemistry and Physics - Reference Book of
Chemical and Physical Data - Springer - 80th ed. 1999.
[5] Una buena referencia para buscar información geológica es el USGS (US Geological
Service),
su
sitio
en
Internet
es
www.usgs.gov,
en
particular
(http://pubs.usgs.gov/gip/interior/) y www.nasa.gov . Otra referencia interesante y
altamente recomendable es la revista Scientific American, que tiene una base de datos en
Internet (http://www.scientificamerican.com ) en particular los artículos: “The evolution of
the Earth” – C.J. Allégre and S.H. Schneider Scient. Am. October 1994 y “The earliest
history of the Earth” D. York Scient. Am. January 1993.
[6] Consultar también: Enciclopedia Encarta - ® Microsoft o Enciclopedia Británica.
Leyes del péndulo
Determinación de g
Objetivo
Estudio de las propiedades de un péndulo simple mediante mediciones del período
de oscilación en función de su longitud y la masa. Aplicación de análisis gráfico de datos
experimentales.
Proyecto
Construya un péndulo simple e investigue la dependencia del período de
oscilación T con la longitud L del péndulo. Un modo de lograr que el péndulo siempre
oscile en un plano, consiste en construir un péndulo bifilar, esto es un péndulo que cuelga
de una barra horizontal, en forma de V, como se ilustra en la Fig. 3, En el vértice inferior
se cuelga la masa del mismo. De este modo el péndulo sólo puede oscilar en un plano
perpendicular a la barra horizontal.
θ
Figura 3 Diagrama esquemático de un péndulo bifilar. θ es la amplitud del mismo.
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
100
Trate de que las oscilaciones tengan “pequeñas” amplitudes, lo que en la práctica
significa que el ángulo de desviación máxima respecto a la vertical sea menor que
aproximadamente10º. Recuerde que el período se define como el tiempo que tarda el
péndulo en recorrer la distancia que va entre un apartamiento máximo hacia un lado hasta
volver al mismo extremo. De manera más general diríamos que T es el tiempo que tarda
en alcanzar dos puntos de igual fase, o sea el mismo ángulo y con la misma velocidad.
Recuerde también que lo que llamamos longitud del péndulo no coincide por lo general
con la longitud del hilo. Más precisamente, L es la distancia entre el punto de sujeción del
péndulo y el centro de masa de la masa que cuelga.
Represente gráficamente T en función de L, usando escalas lineales y logarítmicas.
Represente también T2 en función de L. Verifique si es posible describir la tendencia
observada en los datos por la relación T2=a.L+b. De ser así, verifique si los
parámetros a y b tiene significación estadística, esto significa que a/∆a>>1 y
b/∆b>>1. Note que si por ejemplo b/∆b ≈1, entonces el valor de b es comparable a su
error, por lo tanto no podemos afirmar que b ≠0. Si b es significativamente distinto de
0, entonces es posible definir un nuevo Lef=L+∆L, de modo que: T2=c.Lef. A partir de
sus datos determine los valores de ∆L y c. Note que Lef representa la longitud efectiva
del péndulo y sería la longitud equivalente de un péndulo ideal que tendría el mismo
período que el péndulo usado.
¿Qué conclusiones extrae de los gráficos? ¿Cómo expresaría analíticamente los
resultados de las mediciones? Determine la expresión analítica que mejor ajusta sus
datos. Usando el método de cuadrados mínimos determine el valor de las constantes
involucradas en la expresión analítica y sus respectivas incertidumbres.
Investigue la dependencia del período con la masa m del péndulo. Para poder aislar
esta variable (la masa) asegúrese que la longitud del hilo permanezca constante y que
el cambio de masas no afecte significativamente la forma del péndulo. Mida T para
distintas masas, m, y represente en un gráfico T(m). Analice cómo varían las
amplitudes en función del tiempo para péndulos de distintas masas. Una manera de
visualizar este efecto podría ser a través de un gráfico de la amplitud en función del
número de oscilaciones.
Usando las leyes de la mecánica demuestre que para un péndulo simple que oscila
con pequeñas amplitudes, el período está dado por:[1]
l
T = 2π ⋅
(x.1)
g
donde g es la aceleración gravitatoria. Usando sus resultados de T2 en función de L,
y las expresiones analíticas que mejor ajustan los datos, determine el valor de g y
estime el valor de la incertidumbre ∆g de esta magnitud.
Discuta el significado físico del la longitud efectiva Lef encontrada y verifique si esta
distancia se aproxima mejor a la distancia del punto de sujeción del péndulo al centro
de masa del bulbo (masa) del mismo.
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
101
Apéndice- Ecuación de movimiento del péndulo simple.
h = l (1 − cosθ )
l
h
θ
mg
Figura 4 Diagrama esquemático de un péndulo simple. θ es la amplitud del mismo y h
la altura del centro de masa del bulbo respecto a su posición más baja (de reposo) .
Si suponemos que el roce de péndulo simple es despreciable, aplicando al sistema
ilustrado en la Fig. 4 el principio de conservación de energía mecánica, tenemos:
1 2
mv + mgh = mgh0 ,
(x.2)
2
donde suponemos que h0 representa la altura máxima que alcanza el péndulo en su
movimiento y está asociada al ángulo máximo θ0 por: h0=l.cos(θ0.) Además tenemos la
siguiente relación entre la velocidad del bulbo v y la velocidad angular ω=dθ/dt: v=l.
dθ/dt. Por lo tanto de la Ec.(x.2) tenemos;
ETotal =
2
 dθ 
v =l 
(x.3)
 = g ⋅ (h0 − h) = g ⋅ l ⋅ (cosθ 0 − cosθ ) .
 dt 
Si derivamos esta ecuación respecto del tiempo tenemos:
2
 dθ  d θ
 dθ 
2l 2 
(x.4)
 2 = g ⋅ l ⋅ (− sin θ ) ⋅ 
.
 dt  dt
 dt 
o sea:
d 2θ
g
= − sin θ = −ω 02 sin θ .
(x.5)
2
dt
l
Aquí hemos definido el parámetro ω 02 = g / l . Esta es la ecuación general de un péndulo
simple, como se ve, la presencia de sinθ hace que esta ecuación diferencial sea no lineal
en general. Si embargo, si las amplitudes del péndulo son pequeñas, es decir si la
aproximación sinθ ≈ θ es válida, entonces la Ec.(x.5)se convierte en:
d 2θ
== −ω 02θ ,
(x.6)
2
dt
2
2
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
102
que es lineal y dice que la función θ(t) que buscamos, es una función tal que al derivarla
dos veces nos da la misma función cambiada de signo. Una de las funciones que cumplen
este requisito son las funciones trigonométricas. Por lo tanto una solución de la Ec.(x.6)
es:
θ (t ) = A ⋅ sin(ω 0t + φ ) ,
(x.7)
donde A y f son dos constantes que dependen de las condiciones iniciales, es decir del
valor de θ(t=0) y dθ(t=0). Por otro lado, vemos que después de un tiempo T= período, la
elongación θ(t+T) =θ(t), por lo tanto:
θ (t + T ) = A ⋅ sin(ω 0t + ω 0T + φ ) = ⋅ sin(ω 0t + φ ) = θ (t ) ,
por lo tanto: ω 0T = 2π , o sea:
2π
T=
= 2π l g ,
ω0
(x.8)
(x.9)
donde hemos sustituido ω0 por su valor ω 0 = g / l . Nótese por lo tanto, que de acuerdo
con las leyes de la mecánica, el periodo del péndulo simple debería de depender l1/2 y no
debería depender de su masa (masa del bulbo) en la medida que el hilo sea inextensible.
Estas dos predicciones pueden ponerse a prueba con el experimento propuesto.
Bibliografía
1.
2.
3.
4.
5.
S. Gil y E. Rodríguez, Física re-Creativa, Buenos Aires - Prentice-Hall, 2001.
Física Conceptual - 3ra Ed. – Paul G. Hewitt Addison Wesley – México 1999
Física – G. Wilson – Prentice Hall- México 1997.
Física – Principios y Aplicaciones – D. Giancoli - Prentice Hall- México 1997.
R. Halliday, Resnick y Krane, 4ta. ed., vol. II, Física para estudiantes de ciencias e
ingeniería (Cía. Editorial Continental, S.A., México, 1985).
6. www.cienciaredcreativa.org
Caída de los cuerpos
Movimiento uniformemente acelerado - Determinación de g
Objetivo
Estudio del movimiento acelerado de un cuerpo en caída libre mediante gráficos
de velocidad y aceleración, a partir de mediciones de distancia recorrida en función del
tiempo. Para la medición de tiempos se propone usar un fotointerruptor conectado a una
computadora.
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
103
Introducción
El problema de la caída de los cuerpos, constituye uno de los experimentos claves
en la evolución del pensamiento físico y filosófico de la humanidad. Para comprender su
trascendencia es menester ubicarse en el paradigma de física de Aristóteles, que era la
prevalente antes de la revolución realizada hacia fines del Renacimiento,
fundamentalmente por el cuarteto: Copernico, Galileo, Kepler y Newton (que desde luego
lo hicieron independientemente en tiempos y lugares diferentes). En la concepción de
Aristoteles1, los cuatro elementos constituyentes de todos los cuerpos materiales eran: el
fuego, el aire, el agua, y la tierra. Cada uno de ellos tenían propiedades de movimientos
intrínsecas a su naturaleza. Así, liberado a sí mismo un trozo de tierra tenia un
movimiento "natural" vertical y descendente hacia el centro de la Tierra (que coincidía
con el centro mismo del Universo), mientras que el fuego, tenia un movimiento "natural"
vertical y ascendente. De esta forma, la tierra era naturalmente un elemento pesado
(grave) y el fuego era naturalmente liviano. El aire y al agua ocupaban una posición
intermedia entre estos extremos.
Para que un cuerpo grave (tierra) comience a moverse, era necesario aplicarle una
fuerza. Aún los vocablos animados (con alma) e inanimado (sin alma) reflejan esta
concepción. De este modo, lo que se mueve se mueve por otro. La noción que caracteriza
la rapidez del movimiento es el tiempo que se demora en recorrer una dada distancia, que
podríamos asimilar a nuestro concepto actual de velocidad. En este punto es importante
reparar que los conceptos modernos no son totalmente asimilables a la de Aristóteles1,
pero haciendo esta salvedad, trataremos de usar un lenguaje moderno y matemático para
explicar más sencillamente las ideas de Aristóteles. A propósito, la forma matemática de
expresar las leyes físicas se inicia precisamente con Galileo. Usando un anacronismo,
podemos decir que en la concepción de Aristóteles, la velocidad v que adquiere un cuerpo,
es proporcional a la fuerza aplicada F e inversamente proporcional a la resistencia o
espesura del medio R. O sea: v = F/R. Si arrastramos un tronco tirando con un caballo,
una cierta distancia d, en un dado tiempo T, usando dos caballos (duplicando la fuerza),
podremos hacerlo en aproximadamente la mitad del tiempo, T/2 (duplicamos la
velocidad). También esta ley explica porque es más fácil correr en el aire que hacerlo
dentro del agua, esta última tiene más resistencia (mayor R). Como se ve, estas ideas de
Aristóteles, y que podríamos llamar la física del sentido común, no es absurda. Permite
explicar en forma simple muchos fenómenos que observamos en la vida diaria. Piense por
ejemplo que haría si quiere aumentar la velocidad de una lancha, claramente pondría más
remeros, o el mismo número de remeros pero más fuertes, o sea aumentar F. Asimismo,
para aumentar v, trataríamos de reducir la resistencia, R, haciendo la lancha más delgada.
En esta concepción, es aun prevalente en el publico en general, por ser nociones muy
"intuitivas".
Dentro de este esquema, era claro que la Tierra debería de estar inmóvil. Si todas
sus partes (cualquier trozo de Tierra, por ejemplo una piedra) se mueven naturalmente
hacia el centro, es claro que como un todo, ella misma debe ser esférica y centrada en
dicho punto, el centro mismo del Universo. Vemos así que dentro de la física de
Aristóteles no es sencillo transformar al la Tierra en un simple planeta más. El
movimiento no es relativo en este paradigma.
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
104
Asimismo, si lo que se mueve se mueve por otro, y así sucesivamente, esto no
puede continuar indefinidamente, como bien sostenía Aristóteles. Debe haber una causa
última del movimiento. Este era el lugar ideal para colocar una divinidad, y Santo Tomás
de Aquino, no dudo es usar este argumento para probar la existencia de Dios.
Aquí comienza nuestro experimento.
Para este experimento se usa una placa de acrílico o plástico transparente a la que se
agregan franjas opacas espaciadas regularmente, como se muestra en la Fig. 1. Cuando la
placa se libera desde el reposo entre los brazos de un fotointerruptor, el paso de las franjas
opacas obstruye el haz de luz del instrumento y dispara la medición de tiempos. Un
programa adecuado (Precition Timer ®Vernier) registra esos tiempos que se asocian a las
distancias recorridas x0, 2x0, 3x0, etc.
Figura 1 “Cebra” plástica para el experimento de caída libre.
Proyecto 1. – Estudio del movimiento en caída libre
Estudie las características del funcionamiento del fotointerruptor cuando pasa la placa
por el fotointerruptor. Para ello haga pasar a la placa lentamente entre los brazos del
fotointerruptor y describa detalladamente a qué están asociados los tiempos que está
midiendo.
Determine el período espacial x0 del dispositivo y las distancias x1, x2,... todas con sus
respectivas incertidumbres. Elija el modo de operación del programa Precition Timer
(motion timer) que controla el fotointerruptor de modo de poder determinar los tiempo t1,
t2,, …, etc., o bien algún intervalo equivalente, como (t2 - t1), (t3 - t2), …
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
105
Deje caer la cebra mientras el programa mide los tiempos relevantes de este
experimento. Represente gráficamente la variación de la distancia recorrida por la cebra
en función del tiempo. De estos datos calcule la velocidad de la cebra en función del
tiempo. ¿Qué puede decir sobre el tipo de movimiento que describe en su caída este
dispositivo? ¿Está de acuerdo esta observación con sus expectativas?
Cuelgue de la cebra pesos de distintos valores y analice el movimiento del conjunto en
caída libre. ¿Varía la aceleración con la masa?. Explique sus resultados.
Proyecto 2. – Determinación de g
Usando la misma cebra plástica usada en la actividad anterior, construya gráficos de
velocidad en función del tiempo v(t)
espacio en función del tiempo, x(t).
A partir de estos gráficos x(t) y v(t), determine el valor de la aceleración de la gravedad, g,
y las respectivas incertidumbres. Compare el valor de g obtenido del gráfico x(t) con el
valor de g obtenido del grafico v(t). ¿Son consistentes estos dos valores de g?. Discuta sus
resultados.
Análisis detallado
Un aspecto importante a tener en cuenta en este experimento, está relacionado con el
hecho de que la velocidad que se determina para cada período espacial de la cebra, es una
velocidad media para este intervalo. La cuestión es la elección del tiempo que se le asigna
a esta velocidad. Al final del n-período espacial, la cebra plástica habrá caído una
distancia xn. El tiempo que empleó en recorrer esta distancia, desde el inicio de la primera
banda oscura, será:
tn=tn-1+∆tn
(1)
donde ∆t= tn - tn-1 es el intervalo de tiempo medido con el fotointerruptor que corresponde
al tiempo de paso del n-ésimo intervalo espacial. Esto se ilustra esquemáticamente en la
Fig.2. Por lo tanto es razonable representar gráficamente xn en función de tn y realizar el
análisis para obtener la aceleración g a partir del mismo. Sin embargo no es correcto
hacer lo mismo del gráfico vn(tn). Esto es así debido a que vn es la velocidad media en el
n-ésimo intervalo y, por consiguiente, debe asociarse a un valor de tiempo intermedio tcn,
definido como:
tcn=tn-1+∆tn/2.
(2)
y no al tiempo tn, que está asociado al intervalo en que finaliza el n-ésimo recorido
espacial. En definitiva, los gráficos de xn(tn) y vn(tcn) son equivalentes y, en cierto modo, el
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
106
segundo es la derivada del primero. Una discusión más detallada de este aspecto puede
encontrarse en la Ref. [2].
X4=X3+x0,
t4= t3+∆t4
c
v4=x0/∆t4,
t 4= t3 + ∆t4/2
X3=X2+x0,
t3= t2+∆t3
c
v3=x0/∆t3,
t 3= t2 + ∆t3/2
X2=X1+x0,
t2= t1+∆t2
c
v2=x0/∆t2,
t 2= t1 + ∆t2/2
X1= x0,
t1=∆t1
c
v1=x0/∆t1,
t 1=∆t1/2
X0=0
Figura 2 Esquema de corrección de los tiempos asignados a cada intervalo.
Si los intervalos de tiempos fuesen todos iguales, el valor de la pendiente de los gráficos
de vn en función de tcn y de vn en función de tn serían los mismos pero, dado que el
movimiento no es uniforme, esta hipótesis no se cumple. Usando sus datos compare los
resultados de g llevando a cabo ambos tipos de análisis.
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
107
v [m/s]
g
vi
g’> g
t ci
t
Tiempo [s]
Figura 3 Gráfico esquemático que ilustra la variación de la pendiente de la función v(t) al
representar vi en función de tci (cuadrados) y vi en función de tI (círculos). Es claro que
para este último caso se obtiene una pendiente g’ mayor que el mejor valor obtenido de un
análisis más adecuado.
A partir de sus mediciones, construya un grafico de aceleración de caída de cuerpos de
distinto pesos, use al menos 4 o 5 pesos diferentes. A partir de este gráficos,
¿Qué puede decir a cerca de la variación de la aceleración de caída, respecto del peso
de los cuerpos?
¿Qué puede decir a cerca del tiempo de caída de los cuerpos de distinto pesos a partir
de una dada altura?
¿Evalúe y discuta las implicancias de este experimento en relación con las hipótesis
subyacentes a los paradigmas de Galileo y Aristóteles?
Explicite sus conclusiones
Bibliografía
[1]O. Lombardi,
"Comparación de entre la Física Aristotélica y la Mecánica Clásica"
Educación en Ciencias 1 (3), 62-70, (1997) - Revista de la Universidad Nacional de San
Martín- Buenos Aires, Argentina
[2]S. Gil y E. Rodríguez, Física re-Creativa, Cap. 4, Prentice-Hall, Buenos Aires, 2001.
[3] W.J. Leonard, “Danger of automated data analysis” Phys. Teach. 35, (220) 1997.
[4] www.fisicarecreativa.com
[5] www.cienciaredcreativa.org
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
108
Conservación de la energía
Objetivo
Estudio de la conservación de energía mecánica en la caída libre de un cuerpo
Introducción
Uno de los principios más generales de la física es el principio de conservación de la
energía, conocido como el primer principio de la termodinámica. El objetivo de este
experimento es poner a prueba su validez en procesos en procesos mecánicos simple, en
este caso la caída libre de un cuerpo.
El cambio de energía potencial gravitatoria que sufre un cuerpo de masa m al
elevarlo una altura ∆y viene dado por1,2:
∆E P = m ⋅ g ⋅ ∆y
(1)
donde g es el valor de la aceleración de la gravedad. Por otro lado, la energía cinética de un
cuerpo de masa m que se mueve a la velocidad v viene dado por1,2:
1
∆E c = ⋅ m ⋅ v 2 .
(2)
2
De modo que si un cuerpo cae desde una cierta altura, el mismo va perdiendo energía
potencia, como el movimiento de caída libre es acelerado, ocurrirá también que la energía
cinética aumenta. La cuestión que deseamos investigar es que ocurre con el valor
combinado de ambas formas de energía. A la suma de la energía cinética más potencial la
designamos como energía mecánica, ∆Emec=∆Ec+∆Ep.
Para
poder
realizar este
experimento
en
forma
cuantitativa,
debemos
medir
simultáneamente la altura del cuerpo ( o su variación de altura ∆y) y su velocidad (o
variación de velocidad ∆v).
Proyecto
Un modo de poder medir simultáneamente la velocidad v y posición (altura y) de un
cuerpo que cae, es usar una cebra de plástico como la que se indica esquemáticamente en la
Fig.1
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
109
La masa M del sistema esta formada por la cebra y el peso que se le agrega. Dicho
valor pude conocerse por medición directa (pesada). La distancia entre franjas oscuras, ∆y0,
puede conocerse por medición directa. Usando un fotointerruptor, es posible medir la
velocidad media en cada sección de la cebra. Asimismo, usando el valor medido de ∆y0,
podemos determinar los valores de y1, y2,...yn de la cebra. Como lo que se mide en cada
intervalo de la cebra es la velocidad media, vn, debemos asociar esta velocidad a la
coordenada zn=0.5.(yn+yn-1). Si suponemos que la energía mecánica se conserva, hipótesis a
ser falseada en este experimento, tenemos que:
∆Emec = ∆E p + ∆Ec = 0
(3)
y5
y4
y3
y2
y1
∆ y0
M=masa del sistema
Figura 1 “Cebra” plástica para el experimento de caída libre.
Experimentos de Física – S. Gil y E. Rodríguez
110
o sea
1
1
⋅ M ⋅ v12 + M ⋅ z1 ⋅ g = ⋅ M ⋅ vn2 + M ⋅ z n ⋅ g
2
2
(4)
donde el subíndice 1 se refiere al primer intervalo y n a cualquier otro. Por lo tanto, (4)
implica que:
1 2
1
⋅ v1 + z1 ⋅ g = ⋅ vn2 + z n ⋅ g = A = cons tan te
2
2
(5)
Por lo tanto, la hipótesis que sostiene que la energía mecánica se conserva, conduce a la
conclusión:
vn2 = A − 2 ⋅ g ⋅ z n .
(6)
2
Por lo tanto si graficamos los valores medidos vn en función de zn, deberíamos obtener una
recta de pendiente negativa e igual a 2.g, e independientemente de la masa del sistema. Esto
nos un criterio para falsear la hipótesis y analizar si la energía mecánica se conserva o no en
el proceso de caída libre.
Usando el dispositivo de la figura 1, asociado a un fotointerruptor para medir
tiempos, estudie el movimiento de la cebra colgando varios pesos diferentes.
2
Represente gráficamente los valores experimentales valores medidos vn en función
de zn, para cada masa (peso) utilizada. ¿Qué concluye de este gráfico a cerca de la
conservación de la energía?
Referencias
[1] Física, G. Wilson, Prentice Hall- México 1997.
[2] Física, Principios y Aplicaciones, D. Giancoli - Prentice Hall- México 1997.
[3] Física re-Creativa, S. Gil y E. Rodríguez, Prentice Hall, Buenos Aires, 2001.
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