Bases para el diseño de equipos aplicables a suelos y

REPÚBLICA
ARGENTINA
COMISIÓN NACIONAL DE ENERGÍA ATÓMICA
INFORME
N.o 137
Medición de Densidad por Retrodispersiún Gamma-.
Bases para el Diseño de Equipos Aplicables
a Suelos y otros Materiales
por
Antonio C. Castognet; Humberto Di Gregorio,- Jorge F. Doedderer y Antonio D. Vignolo
BUENOS A I R E S
1965
líedidor de Densidad desde Superficie (prototipo) Desarrollado
por la CNEA.
MEDICIÓN DE DENSIDAD POR RETRODISPERSIÓN GAMMA :
BASES PARA EL DISEÑO DE EQUIPOS APLICABLES
A SUELOS Y OTROS MATERIALES
Antonio C. Castagnet, Humberto Di Gregorio,
Jorge P. Doedderer y Antonio D. Vignolo
RESUMEN
Se analiza la tedría de funcionamiento de loa medidores de
densidad desde superficie basados en la dispersión de rayos gam
na, y la influencia de los distintos parámetros del proceso de
medición en la relación señal-densidad, estableciéndose los
principios generales de diseño y las limitaciones intrínsecas
de estos instrumentos.
Los ensayos experimentales demostraron que variando la
distancia fuente-detector del dispositivo, se pueden determinar
la función de transferencia, distancia óptima fuente-detector
y curva de calibración para cualquier material, utilizando una
sola muestra de densidad conocida.
Partiendo de esta idea los autores desarrollaron un prot£
tipo cuyas principales características se describen, que ofrece la particular ventaja de poderse calibrar con facilidad para cualquier substancia, en el rango de densidad de uno a tres
gramos por centímetro cúbico.
La unidad de medición (sonda), está asociada a un escalímetro portátil transistorizado que indica automáticamente en
forma digital, el tiempo transcurrido para acumular 10.000 impulsos de radiación, con error menor de 0,1 segundo. Este dato
se utiliza para entrar en la curva de calibración y de ahí obtener la densidad.
El tiempo requerido para una determinación de densidad es,
en general,menor que 5 minutos, siendo la precisión comparable
a la de los métodos convencionales.
4
ABSTRACT
The operation theory of surface density gauges based on
gamma scattering and the influence of the various measuring
procesa parameters on signal-density relation has been analized,
to establiah the general design principies and the intrinsic
limitations of these instrumenta.
The experimenta proved that varying the source-detector
distance of the device, it is poasible to determine the transfer function, the optimun source-detector distance and the calibration curve for any material, using only one sample of known
density.
Starting from this idea the authors developed a prototype
(its main characteristics being described), which offers the
particular advantage of easy calibration for any subatance in
the denaity range from one to three grama per cubic centimeter.
The meaauring unit (probé) is associated to a transistori_
zed portable scaler showing automatically in digital readout
the time elapsed to accumulate 10,000 radiation pulses, with
error less than 0.1 second.
Density is obtained by insertion
of said valué in the calibration curve.
The time required for one density measurement is usually
less than 5 minutes; the accuracy being comparable with the re.
siilts of conventional methods.
I- INTRODUCCIÓN
Los medidores de densidad basados en la retrodispersión
de rayos gamma, se utilizan desde hace varios años en diversas
ramas de la ingeniería, industria y agricultura: (l), (2), (3).
La característica sobresaliente de estos equipos, es la
de permitir la determinación de la densidad húmeda "in-situ" y
en forma no destructiva. Los resultados se obtienen rápidamente
(menos de 5 minutos), con precisión igual o superior a los métodos convencionales, estando garantizada la representatividad
de las lecturas por el gran volumen de material medido.
Los equipos actualmente existentes son enteramente portátiles y pueden clasificarse en: medidores de superficie y de
profundidad.
El trabajo descripto en el presente informe estuvo orientado al desarrollo y construcción de un prototipo para la medí
ción de densidad en suelos y otros materiales, desde la superficie.
5
Paralelamente se Investigó la influencia de los distintos
parámetros del proceso en la relación señal-densidad, a fin de
determinar los principios generales de diseño y las limitaciones intrínsecas de estos instrumentos.
Esta publicación tiene por finalidad divulgar los conocimientos y experiencia adquirida sobre el tema, así como las es_
pecificaciones técnicas del prototipo realizado, para promover
el uso, construcción y perfeccionamiento de equipos similares
en el país.
El propósito enunciado encuadra dentro de los objetivos
de ésta Comisión, en lo que se refiere al desarrollo nacional
de las aplicaciones pacíficas de energía atómica.
II- LINEAMIENTOS DEL PROBLEMA
Si se coloca un emisor puntual de rayos gamma monoenergéticos en la superficie de un medio de volumen infinito, se establecerá dentro de este líltimo un transporte y transferencia
de la energía irradiada por la fuente radiactiva.
En el transporte y transferencia de energía intervienen los
fotones primarios emitidos originariamente por la fuente y toda
la compleja familia de radiaciones secundarias nacida de los
diversos y sucesivos procesos de interacción con la materia.
Considerando un volumen pequeño
en la superficie del
medio, alejado de la fuente, se observa entonces que llega a
él energía transportada por fotones primarios (radiación direc_
ta) y secundarios (radiación dispersa).
II- 1.0. Principio de Medición.
Suponiendo que A T sea el volumen sensible de un detector,
se podrá estudiar la correlación que existe entre la radiación
secundaria que llega a
y un parámetro del medio, en este
caso la densidad fi.
El proceso de transporte en sí de los fotones y la energía
secundaria en función de fi tiene evidentemente, a igualdad de
otros factores, una ley física determinada, susceptible del c£
rrespondiente análisis teórico.
Experimentalmente, sin embargo, la relación obtenida depen
derá en gran modo de la sensibilidad espectral del detector que
se utilice, cuyas características no siempre pueden conocerse
con exactitud:(4).
6
Los procesos fundamentales de interacción de la radiación
gamma con la materia son: Compton, fotoeléctrico y producción
de pares.
La probabilidad de que uno u otro de ellos ocurra, depen­
de de la energía hVde los fotones y del numero atómico Z del
medio. En la figura 1 se muestra gráficamente la importancia
relativa de cada proceso.
120 -
EMERGÍA (le«)
Figura 1 - Importancia Relativa de los Procesos de Interacción
de la Radiación Gamma con la Materia, en Punción de la Energía
de los Fotones y el Numero Atómico (Ref. 4 ) .
Se observa que para valores intermedios de
rango de Z predomina el efecto Compton.
hV y todo el
El coeficiente lineal de atenuación total por
(Apéndice A) :
<T
m
p ./ — . e <T c m
A
Compton es
-1
(2-1)
donde
p
= densidad del material (g/cm^)
JT = numero de Avogadro (átomos/mol)
z
= número atómico (electrones/átomo)
A
= peso atómico (g/mol)
eff = sección eficaz media o total
(cm /electrón)
para choques
Compton
7
Dado que e <T y JT son constantes y como Z/A es aproximada
mente 0,45 ¿ 0,05 para todos los elementos, excepto el hidróge,
no (para el cual Z/A « 1 ) , se sigue que la probabilidad de remover un fotón de un haz colimado por choque Compton, mientras
pasa a travos de una substancia, es por cm de trayectoria, pro
porcional a la densidad, con independencia de la composición
química.
Esto sugiere la posibilidad de utilizar la radiación secundaria proveniente del efecto Compton, para medir la densidad
de los materiales.
Tal posibilidad efectivamente existe y constituye el prin
cipio de medición en que se basan los equipos desarrollados per
diversos autores en diferentes partes, tanto para la medición
de densidad desde superficie como en profundidad:(5), (6).
Un estudio detallado sobre la teoría y diseño de equipos
para medición de densidad por dispersión gamma, fundamentalmen
te en sondas de profundidad, se halla descripto en Ref.(7).
II-1.1. Teoría Simplificada de Medición.
Analizaremos primero el caso más general representado en
la figura 2, de una fuente F que emite n fotones por segundo,
de energía h V en un medio homogéneo de numero atómico Z y
densidad p .
0
D
Figura 2 — Geometría y Notación para Estudiar el Transporte de
Potones Secundarios Provenientes de una Puente Puntual en un Me
dio Homogéneo.
Vamos a considerar solamente el transporte de fotones orí.
ginados en los procesos Compton primarios, hasta un elemento
Av de volumen, ubicado en el punto P, a cierta distancia r
de la fuente.
El minero n' de fotones secundarios incidentes por segundo
8
en ¿ T , producidos por procesos primarios Compton en una esfera
de radio
4c i* con centro en la fuente, será (Apéndice B) :
c
J
r
'i
o
c^•^°
I e
«4
~W
r
D ( E < R )
. A . e . s e n a > . da>. dr
(2-2)
A
d
""
s e
8
donde
n
Q
a numero de fotones emitidos por la fuente (fotones/seg)
Ji s densidad del medio (g/cm"^).
Z = numero atómico (electrones/átomo).
Jf s numero de Avogadro (átomos/mol).
u
A * peso atómico (g/mol).
= coeficiente lineal de atenuación total para fotones
de energía nv'
en el medio considerado.
Q
Q
r = distancia de la fuente al punto de interacción.
d(etf")
— —
s probabilidad de reflexión del fotón en dirección a
dSl
por unidad de ángulo sólido (cm /elect.esterradian).
2
C^SLm
ángulo sólido bajo el cual se observa A v
punto de interacción (esterradian).
desde el
« coeficiente lineal de atenuación total para la ener
gía del fotón reflejado ( c m ) .
-1
r
1
= distancia del punto de interacción a A v (cm).
tu s ángulo entre
r
y el eje
P-P.
La resolución de (2-2) para cada caso particular determinado por la energía inicial hV de los fotones, distancia P-P
y tipo de material (yO, A, Z)nos daría un resultado aproximado
en relación a posibles experimentos, ya que solamente se ha te
nido en cuenta la radiación reflejada hacia el detector (el vo
lumen A v ) , proveniente de procesos primarios Compton.
Q
En realidad, fotones que han sufrido más de un choque pue
den, aunque con menor probabilidad, alcanzar también el volumen A V .
No obstante, la expresión (2-2) sirve para poner de relie
ve, algunos aspectos fundamentales del mecanismo en que se basan los medidores de densidad por dispersión gamma.
9
Dijimos al comienzo que el efecto Compton era predominante
para energías intermedias hV y para todos los elementos, sien
do su probabilidad de ocurrencia proporcional a la densidad y
a la relación Z/A del material.
La generación de fotones reflejados es, por consiguiente,
para valores intermedios de h V , sólo función de la densidad
y rige la misma ley física para todos los materiales excepto el
hidrógeno.
La expresión (2-2) nos muestra que entre el origen de los
fotones secundarios y su detección, interviene el factor e"^ " .
11
El coeficiente p
reflejado, la cual es:
1
depende de la energía
h v" del
fotón
2
hv" .
Mev
(2-3)
1-cos 0 + (l/*)
donde
m c
Q
- energía del electrón en reposo (0,51 Mev)
ot - hv* /m c
o' o
6 m ángulo de reflexión, respecto al fotón original.
Para hv" « 0 , 6 Mev, el valor mínimo de hv" (0 * 180°)
valdrá 0,2 Mev. En este rango de energías relativamente bajas,
el proceso de interacción ya depende de Z y para valores de Z
mayores que 30 comienza a predominar el efecto fotoeléctrico,
cuyo coeficiente de absorción (o probabilidad) es función de
.
0
Son estos fotones de baja energía y los resultantes de
otros sucesivos procesos de interacción, los que tornan sensi­
ble el método a variaciones de la composición química.
Aparecen pues dos factores que establecen ciertas limita­
ciones en la aplicación de la reflexión gamma para medición de
densidad:
a) presencia de hidrógeno (relación Z/A);
b) Influencia de la composición química (Z), debida a fo­
tones secundarios, terciarios, etc., de baja energía.
La presencia de hidrógeno aumenta la producción de fotones
dispersados por procesos primarios en un dado volumen,pero tam
bien aumenta la atenuación de los fotones secundarios que se
dirigen al detector. Ambos procesos tienden, pues a, compensar
se en cierta manera.
10
Por otra parte, el bajo Z del hidrógeno, disminuye la ab
sorción de los mismos por efecto fotoeléctrico, lo cual se tra
duce, en última instancia, en un incremento del numero de foto
nes detectados.
Los elementos de alto Z, si bien no afectan la generación
de fotones secundarios, contribuyen fuertemente a la absorción
fotoeléctrica de éstos en su trayecto al detector, sobre todo
en los de menor energía.
El grado en que la presencia de hidrógeno y/o variaciones
de la composición química influyen, al margen de la densidad,
en la detección final de radiación secundaria, dependerá de la
energía inicial de los fotones emitidos por la fuente, de la
distancia fuente-detector y de la sensibilidad espectral de és
te último.
A mayor energía inicial, la probabilidad de fotones secun
darios de baja energía como para dar lugar a interacciones fo­
toeléctricas decrece, y con ello disminuye también la sensibi­
lidad a la composición química. La contrapartida está en que
la probabilidad de reflexión por unidad de recorrido en el ma­
terial decrece (el camino libre medio aumenta), lo que se tra­
duce a igual intensidad de fuente y volumen de material, en me,
nos fotones secundarios disponibles para evaluar la densidad,
vale decir, se pierde sensibilidad en la medición.
Si bien es cierto que el volumen de interacciones útiles
se incrementa por la mayor penetración de la radiación, también
aumenta paralelamente la distancia entre el detector y los pun
tos de interacción con lo cual disminuye el ángulo sólido ASL.
y crece la probabilidad de que el fotón, eventualmente refleja
do hacia el detector, sea absorbido en el Ínterin.
El resultado final es menor sensibilidad a la composición
química pero también menor sensibilidad a variaciones de densi_
dad.
Aumentar la distancia fuente-detector equivale a incremen
tar la atenuación y absorción de los fotones de baja energía,
evitando su influencia en las lecturas. Lógicamente la relación
entre la radiación secundaria detectada y densidad también va­
riará, como se verá más adelante (Sección III- 2 ) .
Por último la sensibilidad espectral del detector inter­
viene en la respuesta del medidor, a través de la discrimina­
ción de bajas energías, sea por medio de filtros o por medios
electrónicos. El sistema cristal de centelleo-fotomultiplicador permite establecer electrónicamente un umbral de energía
mínima bien definido, para la detección de fotones. En el caso
de los tubos G.M. también es posible, con una adecuada combina
ción de filtros, blindar el detector para fotones de baja ener
gía.
11
II-2.0. Función de Transferencia.
Denominamos "función de transferencia" a la relación mate
mática entre la respuesta del equipo y los parámetros del proceso de medición, donde la densidad interviene como variable
indepen diente.
El tratamiento teórico riguroso del proceso de medición,
cuya complejidad fué insinuada en las secciones precedentes,
escapa a los propósitos de esta publicación. Por ello hemo3
recurrido al empleo de fórmulas empíricas, cuya exactitud en
la práctica es suficiente.
II-2.1. Derivación.
Dado un campo de radiaciones, se denomina exposición en
un punto, a la velocidad de absorción de energía por gramo de
aire en el punto considerado.
Se puede establecer una correlación entre la respuesta de
un detector y la exposición. El conocimiento de la exposición
debida solamente a la radiación secundaria nos permitirá enton
ees determinar la función de transferencia.
Midiendo la exposición total a distancias variables de una
fuente puntual en un medio infinito, esencialmente homogéneo,
se comprueba que el valor observado difiere de la exposición
primaria.
Los resultados experimentales y su teoría se describen con
venientemente en términos del así denominado factor de "buildup" B, que se define como :
_
o
m
Exposición observada
Exposición secundaria
.
= x + —
.
n
Exposición
Llamando
primaria
,„
(2—4;
Exposición primaria
B' a la relación de exposiciones, resulta:
x
s i c i
n
B* m ^ P °
^ secundaria
Exposición primaria
(2-5)
E
de donde
E«
.
B«. E
o
(2-6)
Si se elimina la radiación primaria (o directa) mediante
un blindaje adecuado, la señal fi de salida del detector (sea
12
que midamos intensidad de corriente o pulsos por minuto) resul
tara proporcional a la exposición secundaria (Apéndice C ) :
H
K . ? . E'
a
(2-7)
donde
K a constante de proporcionalidad
f = factor de eficiencia media del detector para el espe£
tro de energía de los fotones secundarios.
A la distancia r de la fuente radiactiva, la exposición
primaria para una fuente que emite n
fotones/seg de energía
h.V es, por definición!
o
E
n
- u0 r
./u \
n . e
- — 2 —
[-1] hv
45Tr2
\j=l
o
Mev/seg . g
ire
.
axre
(2-8)
donde
U
q
a coeficiente lineal de atenuación total en el medio (cm~^)
u
a
= coeficiente lineal de absorción total en aire (cm~^)
P = densidad del aire en condiciones normales (g/cm^)
Sustituyendo (2-8) en (2-6) y ésta en (2-7), obtenemos:
-u r
o
r
H «= g.f .B' . " ,.
4ÍTr2
/_)
\ / >lire
pulsos/min
(2-9)
0
a i
1
El factor de build-up B se puede representar con suficien
te aproximación, por una expresión del tipo:
B»
-
r
a^ >
o
0
(2-10)
donde
a, n a constantes que dependen del material que constituye
el medio y de la energía de la radiación.
Reemplazando (2-10) en (2-9) y reuniendo todas las constan
tes en una sola que denominaremos C, resulta:
-u r
/
n
~o
(u r) . e
C.—. pulsos/min
2
r
N
R
«
(2-11)
13
El coeficiente lineal de atenuación U
>
0
q
es, por definición:
- ?••/>
2
l2
<- >
donde
ji' m coeficiente másico de atenuación en cm /g
P
m densidad de material
Sustituyendo
en
(2-U) :
E - C.
e-A^
(2
_
13)
2
r
Tenemos así finalmente expresada la respuesta del equipo
en función de la densidad del material. Para radiación gamma
de energía moderada, el coeficiente p.' será prácticamente igual
a C//> ya que el efecto Compton es predominante. La expresión
(2-1) nos muestra además, por las consideraciones ya expuestas,
que O/P es igual para todos los materiales, excepto el hidrógeno.
Por lo tanto, una vez establecida la distancia fuente-detector "r", la señal sería sólo función de la densidad con in
dependencia de la composición química, y la forma de dicha fun
ción estaría representada por la ecuación (2-13).
En la práctica esto se cumple tan solo aproximadamente,
por las causas analizadas en la Sección II-1.1., traducidas aquí
en una variación de las constantes "a" y "n" de la (2-10), en
función de la composición química.
No obstante la (2-13) representa con suficiente exactitud
la relación señal-densidad para un dado tipo de material y, bajo este aspecto, se la puede utilizar para estudiar los parame
tros de diseño de estos equipos.
Es obvio que, por razones de simetría, las conclusiones a
que hemos arribado para una fuente puntual en un medio isotrópico infinito, regirán también para un dispositivo fuente-dete£
tor ubicado en el plano de separación entre un medio cualquiera
y el aire, como es el caso de los medidores de densidad desde
la superficie.
En el modelo real podrán surgir diferencias debidas a las
características constructivas del equipo (colimación y blindaje
de la fuente, tipo y volumen del detector, estructura del equi
po, etc.) que si bien no alteran la forma de la ecuación (2-13),
obligan a determinar las constantes experimentalmente, en las
condiciones reales de operación.
14
II-2.2. Análisis.
Escribiendo la ecuación
Rr
2
(2-13)
en la forma:
n
=
C . (u«/)r) . e " ^ ' /
> r
(2-14)
resulta Rr
función de (u'^r), la cual responde idénticamen
te frente a cambios de r o de ^ ,
Por lo tanto, las variaciones de densidad podrán simularse
modificando la distancia r entre la fuente y el detector. El
valor resultante de Rr nos permitirá, en definitiva, obtener
R en función de p para cualquier distancia elegida, mediante un
simple cambio de escalas en el eje de la variable (u'/>r). Con
ello se evita la preparación de numerosos barriles de distinta
densidad y los errores consiguientes por falta de homogeneidad
y/o diferencias de composición química en las muestras.
2
Para ilustrar el comportamiento de la ecuación
ha representado en la figura 3 la función:
Rr
2
=
(u'^r)
2
%
(2-14) se
r
.*-* P
(2-15)
1I
1
0,8-
1
—u Pr
2
F i g u r a 3 - R e p r e s e n t a c i ó n G r á f i c a de
c i ó n de (u'/Jr).
(u* />r)
e
'
r
en
fun­
15
Para un valor fijo de r las ordenadas serán proporciona
les a la señal fi y las abscisas a la densidad ya que n' es
constante para un mismo material y fuente radiactiva.
Se observa que la curva crece rápidamente, pasa por un má
ximo y luego decrece monótonamente con la densidad. Esta parte decreciente es la que se suele usar en los medidores de den
sidad.
El funcionamiento del equipo en la zona del máximo daría
lugar a una incertidumbre en las lecturas y debe, por tanto, evi.
tarse.
La densidad /> que corresponde al máximo de la
se obtiene haciendo dB/df= 0 en la (2-13) *•
m
A
o _JL_
u'. r
m
curva
(2-16)
La densidad P± en los puntos de inflexión surge de igua
lar a cero la derivada segunda d R/dp2:
2
¿
.JLÍJJL
(2-i7)
uT
La sensibilidad del equipo dada por la variación relativa
de la señal frente a una variación relativa de la densidad, se
rá:
d B / B
-
n -u'r/s
(2-18)
áp/p
La representación en escala logarítmica doble de la expre.
sión
B r V ^
«
n
<u'pr)
(2-19)
en función de r, dará una recta cuya pendiente es el valor de
la constante n.
La función de transferencia y las expresiones derivadas
de la misma resultan, como se verá en las secciones siguientes,
muytitilespara el diseño y calibración de los medidores de den
sidad.
16
III - DESCRIPCIÓN SEL TRABAJO
Los ensayos experimentales estuvieron orientados iuridamen
talmente a determinar:
1. Relación señal-densidad para una
fuente-detector;
dada
configuración
2. Influencia de la distancia fuente-detector en la relación señal-densidad;
3. Influencia de la composición química de las muestras,
en la calibración del equipo.
Se efectuaron dos ensayos, denominados I y II, con los
dispositivos ilustrados en la figura 4 a) y b). En ambos casos
la distancia fuente-detector se podría variar moviendo la fuen
te con su blindaje sobre la base de aluminio.
me
b)
. G-M
Philips 'MUS
C
0 7
S f
„e
Figura 4 - a) Esquema del Dispositivo Experimental Utilizado en
el Ensayo I.
b) Esquema del Dispositivo Experimental Utilizado en
el Ensayo II.
La
con una
pleó un
Philips
fuente radiactiva utilizada fué Cs , (hV = 0,622 Mev),
actividad de unos 5 milicurie. En el ensayo I se emtubo G.M. Lionel/Anton 1007 T y en el II un tubo G.M.
18503.
0
17
Para la lectura de la señal se usó" un escalímetro
(equipo 2111, construido por el Dpto. de Electrónica).
CNEA
III*-1.0. Relación Señal-Densidad.
En un primer intento, sujeto a posterior comprobación, se
supuso que la relación señal-densidad respondía a la ecuación
(2-13).
Las pruebas se realizaron con una sola muestra de densidad
conocida, empleando la ley de semejanza entre p y r para simu
lar las variaciones de densidad.
III-1.1. Ensayo I.
Se empleó una muestra de arena seca no compactada, de dimensiones suficientes como para cubrir el volumen sensible de
interacciones (0 = 60 cm, h = 25 cm).
La distancia r se varió de cm en cm en el intervalo r
min
r
= 2 4 cm.
s 9 cm
maz
Se representaron los valores de Rr
en función de
figura 5, habiéndose determinado previamente:
p = 1,75 g/cm
3
jj}
= 0,077 cm /g
2
2.10*
- cirva titrica
• poetas tiptriittults
1.5
0.5 -
oL
5
Figura 5 -
r,
18
La densidad f* se obtuvo por pesada. El coeficiente p.'
se halla en tablas y gráficos en función de la energía de los
rayos gamma y del numero atómico Z del elemento ( 9 ) , ( 1 0 ) ,
(11).
En la figura 6 se ha representado el coeficiente másico
de atenuación u', en función de Z para el Cesio 1 3 7 , según
Hef. ( 1 0 ) .
10'
*NB
«a
¡£
-
5
2
2 10
Cuii-137
i 5
10
70
10
40
50
SO
IÜHEI0 ATÓMICO Z
Figura 6 - Coeficiente Másico de Atenuación Total en Función
del Número Atómico, para el Cesio 137 (Hef. 1 0 ) .
10
20
30
Para compuestos químicos u otras mezclas de elementos se
supone que la atenuación primaria de rayos gamma depende solamente de la suma de las secciones eficaces presentadas por todos los átomos existentes en la mezcla. Se puede demostrar que
el coeficiente másico de atenuación de un absorbedor de densidad
bruta P , compuesto por la mezcla de elementos cuyos coeficien
tes másicos con J / P J
vale:
u
£
- 2 — " i
w
2
< -
2 0 )
donde
• fracción en peso del elemento "i"
En la figura 6 vemos que p/p varía poco con relación al
coeficiente másico del aluminio, entre Z = 10 y Z = 20. Acep-
19
tamos para la arena el valor de jí/p correspondiente al SiOg,
dado en Ref. ( 7 ) .
1
Cabe mencionar, por último, que el coeficiente u se puede
determinar experimentalmente con un ensayo de absorción en "bue_
na geometría" (fuente y detector colimados), midiendo la inten
sidad de radiación I trasmitida a través de un absorbente de
densidad superficial conocida. Se emplea para ello la expresión:
I
%x
=
I e~^
o
pulsos/min
(2-21)
donde
I
x
0
= intensidad incidente de radiación (sin absorbente)
2
s= densidad superficial del absorbente (g/cm )
La respuesta R del medidor se obtuvo como diferencia entre la señal y la radiación de fondo. Por esta líltima entende,
mos la radiación directa que pasa a través del blindaje y la
reflejada hacia el detector por la misma estructura del equipo
experimental. Para determinar la radiación de fondo que corres,
pondía a cada posición, se trazó una curva de señal en función
de r con el dispositivo invertido, irradiando hacia el aire.
El coeficiente "n" se halló midiendo la pendiente de la
recta obtenida al representar en escala doble logarítmica los
valores de
Rr e? P
en función de r (figura 7 ) . Resultó
n = 1,31.
2
1
"•'
1
9 10
»
1
1,
1
1
r
1
1—•—I -I I 1 1,1-1 J
15
1
1
l
L.
'
'
20
25 30
DlSimil FUEITE DETECTOR r l u )
Figura 7 - Valores Experimentales de Rr e
para el Ensayo I.
en función de
r
20
El hecho de que efectivamente los puntos resultan alineados sobre una recta, demuestra la validez déla expresión (2-13)
supuesta al principio para la relación señal-densidad.
La constante de proporcionalidad de la ecuación ( 2 - 1 3 ) se
obtuvo promediando los valores de Hr
da posición de la fuente: C = 4,73 x 1 0 ^ .
La sustitución de n, u', />
mite trazar la curva teórica de
resultó en buen acuerdo con los
6 ) . La dispersión de los puntos
curva teórica puede deberse a:
/(ji"/5r) para ca-
y C en la expresión ( 2 - 1 3 ) per
Hr en función de r, la cual
puntos experimentales (figura
experimentales alrededor de la
2
a) diferencias locales en la consistencia
de la muestra;
(compactación)
b) diferencias de composición química;
c) errores experimentales (de operación y medición);
d) influencia de la estructura del
de medición.
equipo en el
proceso
De cualquier forma el error total es pequeño (menor que
el 3$) y la curva obtenida se puede usar para estudiar los parámetros de diseño y para la calibración del equipo.
Conocida Hr = f(r) podemos representar R = t{p) para
distintos valores de r. En efecto, los valores de r determinan
para ji y p fijos la variable (ji'/ír) de la cual depende Rr .
Los mismos valores de (ji'/>r) pueden obtenerse dejando p } y r
constantes y variandoP. De acuerdo a esto, denominando fi^ la
densidad de la muestra utilizada y r la distancia fuente-detector para la cual deseamos conocer la respuesta del equipo
en función de la densidad, resulta:
1
2
6
u'r yO=
c
(2-22)
u'y3 r
c
Es decir
(2-23)
r
c
por
La escala de p resulta pues igual a la de r multiplicada
p /r .
c
c
Con una sola muestra de densidad p
conocida, es entonces posible calibrar el instrumento para un rango variable de
densidades del mismo material y para distintos valores de la
distancia fuente detector r .
Q
21
En la figura 8 se han representado los valores de Rr
en función de /> para r = 17 cm y r = 20 cm y en la figura 9
la curva de calibración R = t(P) obtenida para r = 20 cm.
c
c
c
1
1.S
2
OEISlOáB i l i / M )
2
Figura 8 - Curva Simulada de Rr en función de fi, para r = 17
cm y rc = 20 cm correspondiente al Ensayo I.
1
c
Q
1
5.10
3•
S 2
1
1,S
2
2,5
BEISID1D/(|/»')
Figura 9 - Curva de Calibración Simulada (R vs.yo) para r s 20
cm en el Ensayo I.
°
22
III- 1.2. Ensayo II.
Como muestra se utiliza un bloque de hormigón de 26 x 32
x 48 cm^, de densidad 2,12 g/cm^.
Previamente se comprobó la
homogeneidad de la muestra, midiendo varias zonas del bloque
con el equipo experimental.
El trabajo se organizó en la misma forma que en el ensayo
anterior, obteniéndose resultados similares. La figura 10 mués
tra la diferencia entre la curva experimental y teórica de Rr "
en función de r; la figura 11 es la representación de la (2-19)
en escala doble logarítmica, para determinar el coeficiente n.
2
Se observa que para los menores valores de r los puntos
experimentales caen por debajo de la curva teórica.
Ello se
debe a la influencia del blindaje sobre la detección de los f£
tones reflejados por la muestra. Para pequeñas distancias fuen
te-detector, el blindaje intercepta parte de la radiación secun
daria que de otra forma sería detectada.
La recta de la figura 11 se trazó pues, considerando los
puntos obtenidos a partir de r => 15 cm.
Las ordenadas de la
23
Xr
recta, divididas por e? , permiten obtener Rr = f(r) y
allí R = t(j>)
en la misma forma explicada anteriormente.
I
IB
de
15
20
25 30
DISTANCIA FUENTE DETECTOR r ( ( • )
r
Figura 11 - Valores Experimentales de Rr^eP
para el Ensayo II.
en función de r
III-2.0. Influencia de la Distancia Fuente-Detector.
En la figura 9 se observa que al aumentar r la densidad
para cuyo valor R es máximo disminuye, tal como estaba previsto por la fórmula (2-16). "
c
la sensibilidad relativa del medidor, dada por la (2-18),
crece con r para un dado valor de
El rango de medición
no obstante disminuye al aumentar r, pues la señal decrece rá
pidamente con la densidad para grandes valores de r.
Para fijar la distancia óptima, que es uno de los paráme-
tros importantes de diseño, es necesario entonces establecer un
24
compromiso entre sensibilidad y
siste en calcular el valor de
punto de inflexión sea la media
extremos del rango (/ £ y /
,
m
>
n
rango. Un método práctico con
r para que la densidad en el
geométrica entre los valores
¿ ^
:
m
x
med
Reemplazando fi por la (2-17) y despejando r se obtiene:
n +J n
r
ópt
•
(2-25)
'med
)
Conviene siempre verificar que /
mente mayor que la densidad p
(2-16) :
m i n
resulte suficiente-
/min >
(2-26)
Con ello se evitarán incertidumbres en las lecturas de den
sidad próximas a /
«
)
n i i n
Los valores de r^-^ para las dos configuraciones estudiadas y densidades variables entre 1 y 3 g/cm^ resultaron: 18,5
cm en el ensayo I y 22 cm en el ensayo II.
De acuerdo a la (2-23) si en el ensayo II adoptamos r =
= 21,2 cm la escla de P resultaría igual a la de r dividida
por 10 y la figura 11 podría utilizarse directamente como curva de calibración, dividiendo las ordenadas por (21,2) .
c
2
III-3.0. Influencia de la Composición Química.
Si la curva de calibración obtenida con un determinado ma
terial se quiere utilizar para medir densidad en otras sustancias, pueden presentarse errores por las causas ennumeradas en
II-1.1. y II- 2.1., que afectan tanto al factor experimental
de build-up B' como al coeficiente másico de atenuación u .
1
Los errores dependerán fuertemente de las características
constructivas del equipo y serán menores para:
a) mayores energías de radiación gamma (entre 0,6 y 1 Mev)
b) mayores distancias fuente-detector compatibles con
rango de medición, según sección III- 2.0.;
el
25
e) discriminación de fotones de baja energía (menores de
200 Kev) en el detector (G.M. de óatodo metálico, empleo de filtros, o contadores de centelleo con discriminador).
Mediciones en arena, hormigón, y mezclas de arena y vermi
culita con densidades variables entre 1,35 y 2,13 g/cm^ ejecutadas con los dispositivos descriptos, resultaron con error me
ñor que ± 33* lo cual está dentro de los errores experimentales
de las curvas de calibración (figuras 5 y 10).
En cambio, determinaciones sobre una muestra de arena y
magnetita, de 1,94 g/cm^, (12# en peso de magnetita), dieron
un error del 10?t en la densidad con el dispositivo I y del 8$
con el II. Las lecturas, en pulsos por minuto, resultaron menores que las dadas por las curvas de calibración, debida a la
absorción de fotones de baja energía por efecto fotoeléctrico,
en el hierro de la magnetita.
Las lecturas en agua resultaron un 5# mayores que las que
hubieran correspondido a una muestra de arena de densidad unitaria.
IV- CONCLUSIONES
Se ha visto que variando la distancia fuente-detector del
dispositivo, se pueden determinar la función de transferencia,
distancia óptima y curva de calibración para cualquier material,
utilizando una sola muestra de densidad y coeficiente másico
de atenuación conocidos.
Un equipo donde exista la posibilidad de variar dicha di£
taneia, ofrece la particular ventaja de poderse calibrar con
facilidad para cualquier substancia y rango de densidades. 3as_
ta para ello obtener Rr eJ
para dos valores de r suficien
temente alejados y trazar la recta que- define en papel doble
logarítmico, procediéndose luego de acuerdo a lo expuesto en
las secciones III - 1.0. y III - 2.0.
2
ir
En base a esta idea y a los resultados experimentales, se
proyectó y construyó el prototipo descripto en el Apéndice D.
26
A P É N D I C E
EFECTO
A
COMPTON
Coeficiente Lineal de Atenuación Total.
El efecto Compton, por el cual un fotón es dispersado, tie
ne lugar con electrones libres o débilmente unidos al átomo y
su probabilidad de ocurrencia se define por electrón, con inde,
pendencia del átomo al cual este pudiera pertenecer.
Por lo tanto, llamando e(T a dicha probabilidad absoluta,
expresada en cm /electrón, la sección eficaz de choque para un
elemento de numero atómico Z, será:'
2
a(T <
y para N
átomos por
Z . e (T cm /átomo
(A-l)
cm^:
<T =
N . Z . e CT cm"
1
(A-2)
La expresión (A-2) es el coeficiente lineal de atenuación
total por efecto Compton. El término N.Z es la densidad elec,
trónica del elemento (electrones/cm^)y se puede expresar como:
N.Z
= p .J^.
J
Z
electrones/cm
3
(A-3)
A
donde
P = densidad del material (g/cm^)
JT = número de Avogadro (átomos/mol)
A n peso atómico (g/mol)
Sustituyendo (A-3) en (A-2), el coeficiente lineal de ate,
nuación total por Compton queda:
0" •
p./T. — * e
A
CT c m
-1
(A-4)
27
A P É N D I C E
B
TEORÍA SIMPLIFICADA DE MEDICIÓN
Desarrollo.
Suponiendo una esfera de radio r con centro en la fuente
(figura 2, Sección II-l.l.), tendremos a esa distancia un flujo
de fotones primarios por unidad de superficie igual a:
dn
-—
ds
n
~^o
— 2 — .e
r
fotones
n
=
2
4TIr
..»
(B-l)
2
seg.cm
donde
u
0
a coeficiente lineal de atenuación total (cm ^)
Nos interesan aquellos que interaccionan por Compton entre
r y r + dr de tal forma que se dirigen al volumen Av. La pro
babilidad de que esto ocurra, está dada por la fórmula" (4)
d(e<T) =
lÍ.d /jd:tf^
A
^v
2
0
/ \^
™
2
+
--3en )
e
V
0
i
(B-2)
electrón
donde
T
q
m radio clásico del electrón (2,818 x 10~^ cm)
V" = frecuencia del fotón reflejado.
©-.-mángulo de reflexión respecto a la
tón incidente.
dirección del fo­
Físicamente d(e(T) es el valor absoluto de la probabilidad
de que un fotón de energía hv^, mientras pasa a través de un
absorbedor que contiene un electrón por cm , sufra un choque
particular del cual el fotón reflejado emerja con energía hV*,
dentro del ángulo sólido dA, con un ángulo medio de reflexión ©.
2
De la figura 2 vemos que 8 es constante para todos los pun
tos ubicados en el segmento esférico diferencial de superficie '•
ds
m
2
271r seno), d w
(B-3)
Por lo tanto, el numero de fotones por segundo y por uni­
dad de ángulo sólido reflejados en la dirección de 6, entre r
y r + dr, para el segmento ds en un material de Z.N electrones
por cm3, resultas
28
» Jü.d.. ^ . N . Z . d r
ds
dA
tol
f o t o n e a
(B-4)
seg.esterrad.
Sustituyendo en (B-4) los valores de TX.Z y dn/ds dados en
(A-3) y (B-l) obtenemos:
• -' uo r
o
n ¡r „
.
.
dn =
P.
/ • Z . d(e<T)
. sen co . da>. dr
n
e
1
2
díl
fotones f-t>K\
(B-5)
seg.esterrad.
Denominando AHÍ r,u>) al ángulo sólido del volumen AV visto
desde el punto de interacción, y suponiendo este ángulo sólido
lo suficientemente pequeño como para que 8 pueda considerarse
constante para todos los fotones reflejados en Ail, el número
de fotones secundarios que se dirigen a Av será:
dn
2
=
f o t o n e a
dn^ . Aitfr.u,)
(B-6)
seg
Estos fotones de energía h V (función de 9 y por lo tanto
de<») y r) sufrirán a su vez, en su camino r' hacia av, procesos
secundarios de interacción que los eliminarán del haz, y el nú
mero de los que realmente llegan a
será:
-u r'
dn«
dn
a
2
.e
(B-7)
donde
= coeficiente lineal de atenuación total para la energía h V del fotón reflejado (cm )
-1
v
r
e s
Cada uno de loa factores y.1 '
también función de r
yGJ . Por lo tanto, integrando la (B-7) tendremos una expresión
aproximada de la cantidad de fotones secundarios transportados
hasta ¿v y originados solamente en procesos primarios de inte_
racción Compton.
Para una esfera de radio
J
^
la integral doble sería:
r
r»i fiír
I
i ASI. e
fotones
to
o Jo
(B-8)
seg
es decir:
d
,r
' '.AA.e
1
sena». da>. dr
(B-9)
29
A P É N D I C E
C
RESPUESTA DE UN DETECTOR EN PUNCIÓN DE LA EXPOSICIÓN
La distribución espacial de los fotones secundarios incidentes en un punto P del medio y la distribución espectral de
la energía transportada por los mismos, conduce a una definición de intensidad de radiación tal que'. (8)
= -A
di
(UL\E . dE
añas
(C-1)
vas/
2
es la intensidad en Mev/seg.cm .esterradián, de fotones de ener
gía E incidentes en P por unidad de ángulo sólido, en la
dirección J\ .
La exposición en P debida a todos los fotones secundarios
será:
-* , 4 J T
2
E'
=
d
l*L)
Us/
l/ /aire
5
E (hÁ
ASI.
M e V
dE
s e g < g
aire
o
Para un dado detector, la señal de salida R (sea en inten
sidad de corriente o en pulsos por minuto), estará vinculada a
la exposición por un factor f(E) que depende de la energía de
los fotones . En el caso más general dado por (C-2) tendremos
(supuesto el detector isotrópico):
R
=
K|
j
\_L
J anas
(H\E.
/
fflOdíl. dE
(C-3)
\
donde
K = constante de proporcionalidad que tiene en cuenta
geometría de detección.
Se puede establecer un factor medio
f
tal que:
la
(C-2)
30
(C-4)
es decir
H
=
K . ?. E'
pulsos/min
(C-5)
Aunque f depende de f(E) y del espectro diferencial de la
energía de los fotones, se puede asociar a un dado detector un
factor promedio de este tipo aproximadamente independiente de
la distancia fuente-detector, porque la forma del espectro diferencial de energía de los fotones secundarios es, dentro de
ciertos límites (hasta u r2¿7) insensible a variaciones de di,
cha distancia.
31
A P É N D I C E
D
MEDIDOR DE DENSIDAD DESDE SUPERFICIE, MODELO CNEA 02
Aplicaciones
Se trata de un prototipo proyectado para la medición insitu de densidades en cualquier material, en el rango de 1 a 3
g/cm^, utilizando la técnica de reflexión de rayos gamma. Se
puede emplear tanto en problemas de agrotecnia vinculados al
estudio de suelos como en aplicaciones a la ingeniería e indu£
tria: compactación del terreno para construcción de caminos,
pistas de aterrizaje y fundación de edificios, densidad bruta
de minerales, etc.
Descripción General
Principio de Funcionamiento.
El funcionamiento del equipo se basa en la medición de la
radiación gamma retrodispersada por el material cuya densidad
se quiere determinar. A igualdad de otros factores, la intensidad de la radiación dispersada será función de la densidad
del material expuesto al haz de radiaciones primarias.
El mecanismo de interacción de la radiación con la materia
que vincula la radiación dispersada con la densidad, se halla
descripto en la Sección II.
Unidades Funcionales.
El equipo se compone de las siguientes unidades:
a) Unidad de Medición.
Constituida por una caja de aluminio que contiene la fuen
te radiactiva y el detector, separados por una distancia regulable (figura 12 a) y b ) .
137
La fuente radiactiva (Pos.l de la figura 1 3 ) es Cs
con
una actividad de 5 me y responde a las especificaciones del C£
de CDCM 5 del Catálogo de "The Radiochemical Centre", Amersham,
Inglaterra. Está alojada en un cilindro rotatorio de bronce
(Pos. 2) cuyo interior está lleno de plomo, constituyendo un
blindaje de protección contra la radiación externa.
Figura 12 - Medidor de Densidad desde Superficie Modelo CNEA 02
(Unidad de Medición):
a) Posición de Transporte; b) en Operación.
Figura 13«- Esquema de la Unidad de Medición.
33
El cilindro gira solidario a la manija (Pos. 3) que sirve
tanto para el transporte del equipo(fuente cerrada figura 12 a)
como para la operación (fuente abierta figura 12 b). Durante el
transporte la fuente permanece bloqueada por el blindaje contra
la radiación directa (Pos. 4) y asegurada en dicha posición me
diante un cerrojo bajo llave (Pos. 5 ) .
Como medida de precaución se ha previsto que al levantar
el equipo por la manija, cuando la fuente se encuentra abierta,
se produzca por propio peso el giro del cilindro y bloqueo auto
mático de la fuente.
El detector (Pos. 6) es un tubo Philips N° 18503, que tra
baja con una tensión de unos 450 V y aproximadamente 150 V de
plateau. Está montado en un soporte (Pos. 7) deslizable median
te un mecanismo de engranajes (Pos. 8) y tornillo, accionado ma
nualmente desde el exterior con una perilla, moleteada (Pos. 9)
lo cual permite variar la distancia fuente-detector entre 14
y 25 cm.
Un fiel (Pos. 10) solidario al soporte del tubo G.M., in­
dica en una escala graduada sobre lucite, la distancia fuente
detector en cm.
El peso de la unidad de medición es de 8 Kg aproximadamen
te.
b) Unidad de Lectura.
Consiste en un escalímetro portátil transistorizado, cons
truído especialmente para los equipos de medición de densidad
y humedad desarrollados por la CNEA (12), figuras 14 y 15.
El circuito básico cuenta con una fuente de alta tensión
a oscilador de autobloqueo, con salida variable entre 200 y
1000 V a 50 microamperes.
El escalímetro tiene cuatro décadas, compuesta cada una
por cuatro circuitos binarios con realimentación, conectadas
de tal forma que se obtiene un pulso d« salida por cada 10^ pul
sos de entrada.
Un multivibrador (timer) empieza a oscilar a una frecuen­
cia de 600 pulsos/min en el momento de iniciar una medición y
se detiene al recibir el pulso de salida de las décadas. Los
pulsos del multivibrador actiían un contador- mecánico tipo Sodeco
de cuatro cifras, donde quedan registrados en forma digital.
Una luz neón que se enciende cada 100 pulsos de radiación, per
mi te comprobar el funcionamiento del equipo y dá una idea aprp_
ximada del régimen de cuentas que se está midiendo. El escalí
metro se pone en marcha al accionar un pulsador. Si por cual-
34
Figura 14 - Unidad de Lectura
CONTADOR n t PULSOS
MULTIVlMADOa
MONOCSTABU
tubo 6.M
ESCALIMETRO
COMPUERTA
O E CAO AS)
MULTIVIBRAOOR
FUENTE DE
ALTA TENSIÓN
MULTIVIBRAOOR
ASTABLE
(4
BIESTABLE
COMPUERTA
CONTADOR
MECÁNICO
V
CRONOMETRO
Figura 15 - Diagrama en Bloques del Circuito Electrónico.
35
quier causa se quiere suspender la medición antes de totalizar
las 10.000 cuentas que provocan la parada automática, se presiona otro pulsador.
Los circuitos electrónicos están alojados en una caja her
mética de aluminio. El peso de la unidad es de 2 Kg.
c) Unidad de Alimentación.
Está compuesta por un acumulador de 12 V contenido en una
caja hermética de material plástico. La unidad pesa un Kg.
Manejo del Equipo
Calibración.
El equipo se puede calibrar para cualquier tipo de material, utilizando una sola muestra del mismo, -de densidad cono
cida -, mediante el siguiente procedimiento!
2 M'PT
1. Se determina Rr e
para dos posiciones del detector
suficientemente alejadas (por ej. r^ = 15 cm; r = 25
cm); u se obtiene de las tablas o gráficos en la for
ma explicada en la Sección III - 1.0.
?
1
2. En papel doble logarítmico se traza la recta determina
da por los valores anteriores, representados en función
de r, y se obtiene n (pendiente de la recta) .
T
3. Dividiendo las ordenadas de la recta por
^ se calculan los valores de Rr en función de r, para r varian
do de cm en cm desde 10 a 30, y se representan en papel
milimetrado.
2
4. Se elige la distancia r óptima dentro del rango de den
sidades a medir, de acuerdo a la fórmula (2-25).
5. Se transforma la escala de r en la de fi en la curva anterior, multiplicando los valores de r por 3a relación/
muestra/r^p-t^ H resulta de dividir las ordenadas de la
curva por tr¿^)^.
5
6 . Se suma a R el valor del fondo para r^p-^ con lo
se obtiene finalmente la curva de calibración.
cual
Dado que el esoal fmetro indica el tiempo en décimos de se_
gundo para acumular 10.000 impulsos, los valores de R utilizados en la calibración podrán expresarse en pulsos por segundo.
Para facilitar la interpretación de las mediciones posteriores,
36
convendrá transformar la curva final de calibración de manera
que las ordenadas representen los tiempos de lectura en lugar
de pulsos/seg.
La calibración deberá repetirse sólo cuando el Z del mate_
rial a medir difiera apreciablemente del de la muestra utiliza
da. En cualquier caso antea de proceder a una recalibración
convendrá comprobar con una muestra de densidad conocida del
nuevo material, si el error obtenido con la curva existente es_
tá o no dentro de los límites permisibles.
En la figura 16 se indica la curva de calibración del pro
totipo obtenida con una muestra de hormigón de 2,12 g/cm^.
3811
1
DENSIDAD /ilg/cmM
Figura 16 - Curva de Calibración del Prototipo (Tiempo vs. Den
sidad) en Hormigón, para r = 24 cm (Distancia Fuente-Detec­
tor) .
37
Operación.
Completada la calibración, el equipo queda en condiciones
de medir la densidad, operándolo en la siguiente forma:
1. Se coloca la unidad de medición de modo que apoye perfectamente en la superficie donde se ha de efectuar la
determinación de la densidad. Si se trata del suelo,
deberá removerse la capa superficial dejando un espacio
liso y limpio para la colocación de la sonda.
2. Se conecta la alimentación a la unidad de lectura.
3 . Se acciona el pulsador que pone en marcha al escalímetro. El contador se detendrá automáticamente indicando
el tiempo para acumular 10.000 impulsos de radiación.
4. Con este valor del tiempo se entra en la curva de cali_
bración (eje de ordenadas) y se lee la densidad corres_
pondiente (eje de las abscisas).
Si se desea una mayor precisión y/o representatividad de
la lectura, se puede repetir la determinación girando la sonda
90° en el mismo sitio, y utilizar el valor promedio de las dos
mediciones para entrar en la curva de calibración.
Error de Medición
Además de los errores instrumentales y operativos que sólo
pueden reducirse con un buen diseño de las unidades y la utili,
zación correcta del equipo, existe un error propio del sistema
de medición y lectura.
En efecto, la señal que sirve de base para la medición
de densidad está dada per la relación de dos magnitudes, N (nú
mero de pulsos) y T (tiempo de contaje), cada una de las cuales
tiene asociada una incertidumbre respecto a su valor verdadero.
Esta incertidumbre, motivada en el primer caso por la naturaleza estadística de las desintegraciones nucleares y por
el método de computación del tiempo en el segundo, definen la
probabilidad de un error relativo para cada una de las magnitu
des medidas.
Así por ejemplo, en el S0# de los casos el error relativo
del número de pulsos para una determinación aislada será¡
38
e_ = ±*L
. 100 « i 164^Zj6
N
Para
(D-l)
N
e^ $ ± 1,64
N = 10.000, resulta
En cuanto al tiempo, el error relativo será siempre:
e_
£ 1 . 100
(D-2)
T
donde
= intervalo entre pulsos del multivibrador (seg).
T = numero de pulsos indicados multiplicado p o r ^ T (seg).
En nuestro caso A l = 0,1 seg de modo que e < ± (10/T) # y
T
De acuerdo a la fórmula (2-18) el error en la medición de
densidad resulta:
e. = ±
'
100
P
(
5 / 5 ) 1 0 0
= ± *
Jt
n - u'r />
(D-4)
La experiencia demuestra que, en general, el error total
obtenido es menor que í 3$ de la densidad medida, lo cual es
tolerable para la mayoría de las aplicaciones.
39
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gineers, "Report on the Use of Nuclear Moisture and Density
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