Análisis de la influencia de la frecuencia cardiaca sobre el flujo en

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Análisis de la influencia de la frecuencia cardiaca
sobre el flujo en arteria coronaria con estenosis
Cristóbal Fresno Rodríguez; Aníbal F. Bregains; Sebastián Ubal; Diego Campana
Grupo Biomecánica Computacional de la FI-UNER , [email protected],
0343-4975100 int. 126, C.P. 3101
Resumen— Una de las principales patologías que presenta
el sistema circulatorio y principal causa de decesos en los
países desarrollados lo constituye la ateroesclerosis.
Consisten en masas que protruyen hacia la luz vascular
originando estenosis de diferente grado. Numerosas
observaciones clínicas indican que la fluidodinámica juega un
papel importante en el desarrollo y evolución de esta
patología. El entrenamiento o ejercicio físico induce una serie
de adaptaciones fisiológicas, morfológicas y funcionales. Una
de estas adaptaciones es el aumento de la frecuencia
cardiaca, que puede tomar valores desde los 70 hasta los 180
latidos por minuto o más, dependiendo de la situación en
particular.
El objetivo de este trabajo es analizar la influencia de la
frecuencia cardiaca sobre el flujo en un tramo de arteria
coronaria que presenta estenosis. Se utiliza un modelo
computacional que resuelve las ecuaciones axisimétricas de
Navier-Stokes y continuidad, mediante una técnica numérica
basada en el método de elementos finitos. Los resultados
obtenidos permiten analizar en detalle el campo de velocidad,
el flujo y la distribución de esfuerzos cortantes sobre la pared
del conducto.
Los resultados, muestran que los esfuerzos de corte
máximos están directamente relacionados con el caudal
circulante. Cuando este incrementa con la frecuencia, se
elevan los esfuerzos de corte máximos y a su vez, la posición
en la cual se producen prácticamente no se modifica. De esta
forma, existe un alto riesgo de lesión para la región endotelial
afectada por dichos esfuerzos, no sólo por el valor de la
tensión que soporta, sino también por la fatiga a la que está
expuesta (al aumentar la frecuencia de la agresión). Como
trabajos futuros se pretende mejorar la representación
geométrica de la estenosis, para evaluar si esto afecta en
forma significativa la posición en la cual se obtienen los
esfuerzos máximos y la magnitud de los mismos.
Palabras clave — Obstrucción, frecuencia cardiaca,
esfuerzo de corte.
N
I. INTRODUCCIÓN
umerosas observaciones clínicas indican que la
fluidodinámica juega un papel importante en el
desarrollo y evolución de esta patología [1]. Flujos lentos
y/o con bajas tasas de deformación podrían fomentar la
adhesión de monocitos a la pared vascular e influir en la
transferencia de sustancias a la misma. Por otro lado,
experiencias in-vitro indican que la función y estructura
celular del endotelio es afectada por las fuerzas cortantes
que el flujo sanguíneo le ejerce, llegando incluso a dañarlo
en el caso que los esfuerzos sean lo suficientemente
intensos [2].
El entrenamiento o ejercicio físico induce una serie de
adaptaciones fisiológicas, morfológicas y funcionales sobre
el sistema cardiovascular. Una de estas adaptaciones es el
aumento de la frecuencia cardiaca, que puede tomar
valores desde los 70 hasta 180 lat/min o más, dependiendo
de la situación en particular [3]-[5]. La dinámica
cardiovascular estudia el flujo de sangre a través de los
conductos vasculares y sus implicaciones desde el punto de
vista mecánico. Actualmente existen numerosas
herramientas que contribuyen a mejorar el diagnóstico o el
tratamiento de las enfermedades cardiovasculares
estudiando el flujo sanguíneo y los esfuerzos en las paredes
vasculares en condiciones fisiológicas y patológicas,
mediante modelos matemáticos y computacionales [6]-[8].
El objetivo de este trabajo es analizar, a través de un
modelo simplificado, la influencia de la frecuencia
cardiaca sobre el flujo en un tramo de arteria coronaria que
presenta estenosis. Para ello se utiliza un modelo
computacional que resuelve las ecuaciones axisimétricas de
Navier-Stokes y continuidad, con condiciones iniciales y de
borde apropiadas, el cual se resuelve numéricamente
mediante una técnica basada en el método de elementos
finitos. Este modelo ha sido desarrollado previamente por
el Grupo Biomecánica Computacional de la Facultad de
Ingeniería [7], [8] y fue correctamente validado mediante
la comparación con otros modelos similares [6]. Los
resultados obtenidos permiten analizar en detalle el campo
de velocidad y el flujo, como así también la distribución de
esfuerzos cortantes sobre la pared del conducto. De esta
manera, se han identificado las regiones donde se observan
preferentemente altos o bajos esfuerzos de corte.
II. MATERIALES Y MÉTODOS
La principal función del corazón es impulsar la sangre
manteniendo la presión arterial en un nivel apropiado y
asegurando la correcta irrigación de los distintos tejidos en
todo el cuerpo. El flujo coronario, que es el encargado de
irrigar los tejidos cardíacos, es de vital importancia para
mantener el normal funcionamiento del corazón. En
condiciones fisiológicas, el caudal total bombeado por este
órgano, conocido como Volumen Minuto Cardíaco (VMC),
es distribuido en el cuerpo acorde con las necesidades
metabólicas. En condiciones basales, se pueden determinar
las proporciones del VMC que llegan a cada órgano o
sistema en cuestión [5]. Una persona en reposo posee un
flujo coronario de 0.4 a 0.8 [ml/min/gr]. A su vez, la
arteria coronaria izquierda, que es el vaso sanguíneo que
deseamos modelizar, utiliza la tercer parte del flujo
coronario total [4].
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Cuando aumenta la frecuencia cardiaca, existen diversos
factores fisiológicos que regulan el flujo coronario para
adaptarlo a las nuevas exigencias. Por simplicidad, en este
trabajo vamos a considerar que la proporción del caudal
total que llega a la coronaria izquierda, se mantiene
constante y es independiente de la frecuencia.
A partir de los datos antes mencionados y las hipótesis
formuladas, se establece con un sencillo cálculo que el
porcentaje del VMC que circula por la arteria coronaria
izquierda es aproximadamente del 3%. Una vez establecida
la relación existente entre el VMC y el flujo coronario
izquierdo, se puede obtener el caudal circulante por ella
para cada frecuencia, a partir de la información mostrada
en la Fig. 1. Esta gráfica muestra como varía el VMC y el
volumen eyectado en cada latido, para distintas
frecuencias.
completa alrededor del eje de la arteria; es decir que el
dominio se considera axisimétrico (Fig. 3).
Se ha demostrado a través de varios trabajos, que la
elasticidad de las paredes arteriales tiene poco influencia
en el flujo, a nivel de las arterias coronarias. Por ello, en
este trabajo se considera a las paredes rígidas. El
porcentaje de estenosis utilizado en el estudio es del 70%,
las longitudes axiales de los tramos son de 10.5mm, 6mm,
3mm, 1.5mm y 45mm para las regiones I, II, III, IV y V
respectivamente. El radio arterial del tramo no obstruido es
de 1.5mm y el radio del tramo obstruido resulta de
0.82mm. Cabe mencionar que en todo este estudio, se
mantuvo la geometría de la estenosis, es decir, se
conservaron las longitudes de los tramos y el radio en la
sección de entrada.
Fig. 3: Esquema del dominio adoptado.
Para modelar el flujo de sangre en la arteria, se
considera a la misma como un fluido incompresible y
Newtoniano con viscosidad constante [9], [10]. Por lo
tanto, el flujo estará gobernado por las ecuaciones de
Navier-Stokes y continuidad, cuyas expresiones se indican
en (1).
Fig. 1: Volumen minuto cardíaco contra la frecuencia cardiaca [4].
La onda o pulso de caudal utilizada en este estudio
coincide con la usada por Banerjee y col. [6], quienes la
obtuvieron mediante un registro con eco-dopler en
condiciones basales. La misma se encuentra suavizada,
normalizada (cada valor se dividió por el máximo) y
discretizada en 200 valores (Fig. 2). La línea horizontal
indica la media temporal del pulso, cuyo valor es 0.537 del
caudal máximo. Como hipótesis adicional, se considera
que la forma o morfología de la onda de pulso no cambia
con la frecuencia.
Fig. 2: Onda de pulso rectificada obtenida a través de eco-doppler [9], [10].
Mediante registros angiográficos se obtuvo la geometría
y las dimensiones de una arteria coronaria estenosada. El
dominio utilizado se toma a partir de la rectificación de un
borde de dicha imagen, generando una revolución
∂v
ρ
−
∂t
+ v ⋅ ∇ v = ρ g − ∇ p + µ∇ 2 v
−
− −
−
−
−
(1)
∇⋅ v = 0
−
−
En (1) encontramos la formulación de Navier Stokes en
forma diferencial (arriba) y ecuación de continuidad en
forma diferencial para constante (abajo); donde es la
densidad de la sangre (1.05x103 kg/m3), t el tiempo, v la
velocidad, p la presión y
la viscosidad de la sangre
(3.45x10-3 Pa s) [11].
Teniendo en cuenta la hipótesis de axisimetría
(componente de velocidad en la dirección azimutal nula y
flujo independiente de esta coordenada), despreciando los
efectos gravitatorios por ser mucho menor que los
inerciales y viscosos y expresando las ecuaciones en
términos de las variables adimensionales se obtienen las
ecuaciones adimensionales del modelo [8]. De esta manera
las condiciones de flujo quedan caracterizadas por los
números de Reynolds (NRe) y de Womersley (NWo). El
primero representa la relación adimensional entre las
fuerzas inerciales, debidas a la aceleración convectiva, con
las viscosas. El segundo representa la relación entre las
fuerzas de inercia que surgen de la aceleración local
(variación temporal) y las viscosas. Cabe destacar que de
acuerdo con la metodología propuesta para determinar el
caudal circulante por la arteria a partir del VMC (Fig. 1),
al variar la frecuencia cardiaca se modificarán tanto el NRe
como el NWo dado que se modifica la velocidad máxima y
la frecuencia respectivamente.
El
modelo
físico-matemático
presentado,
convenientemente simplificado a través de las hipótesis
formuladas, carece de solución analítica debido a la fuerte
3
no-linealidad que introduce el término de aceleración
convectiva (1). Por lo tanto, requiere de solución numérica
y para ello se utilizó el Método de Elementos Finitos
(MEF) [12] para transformar el sistema de ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales en un sistema
algebraico no-lineal, que se resuelve mediante iteraciones
de Newton. Para resolver la ecuación diferencial en
derivadas parciales que describe el movimiento del fluido,
se utilizan apropiadas condiciones iniciales y de contorno
(Fig. 4) [8].
El dominio considerado (Fig. 3) presenta un esquema de
la discretización espacial utilizada, para lo cual se han
aplicado elementos finitos rectangulares. Se puede apreciar
que, la división del dominio se realizó de manera tal de
lograr mayor definición de las variables (refinamiento) en
la zona en la que el flujo presenta un comportamiento más
complejo y de mayor interés para este análisis. Cada uno
de los elementos de la malla de elementos finitos (Fig. 4)
posee 4 nodos para la presión y 9 nodos para la velocidad.
Para asegurar la independencia de los resultados de la
discretización utilizada, se probaron diferentes mallas cada
vez más refinadas, hasta que los resultados no mostraron
cambios con sucesivos refinamientos.
Una vez establecidas las condiciones necesarias para el
funcionamiento del modelo, se adopta como sujeto en
reposo aquel que posee una estenosis porcentual de 70% y
una frecuencia cardiaca de 80 lat./min. Con los datos
anteriores se obtiene información relacionada con la
fluidodinámica sanguínea. Posteriormente, se procede a
simular como el mismo individuo un estado de ejercicio
físico, es decir, se produce un aumento de la frecuencia
cardiaca como consecuencia directa del mismo; para ello se
incrementa en pasos de 10 lat./min. hasta alcanzar una
frecuencia de 180 lat./min.
III. RESULTADOS Y DISCUSION
Para una correcta comprensión de los resultados
obtenidos se analiza previamente el campo de flujo, con la
ayuda de las líneas de corriente y el esfuerzo de corte en la
pared arterial para el individuo en condiciones de reposo.
Luego se procede al análisis para las distintas frecuencias.
A. Sujeto en Reposo:
Las líneas de corrientes (LC) son trazos dibujados en el
campo de flujo de manera que en un instante determinado,
sean tangentes a la dirección del flujo en cualquier punto
en el campo del mismo. Puesto que las líneas de corriente
son tangenciales al vector de velocidad en cada punto en el
campo de flujo, no puede haber flujo a través de una línea
de corriente [11]. Las mismas se pueden apreciar para
instantes característicos en la Fig. 5.
u = 0, v = 0
∂u
=0
∂r
∂u
=0
∂r
p=0
u = u (r )
v=0
v
u
∂u
= 0, v = 0
∂r
Fig. 4: Representación de la discretización espacial del dominio (utilizando
elementos rectangulares), junto con las condiciones iniciales y de contorno.
Una vez establecidas las condiciones necesarias para el
funcionamiento del modelo, se adopta como sujeto en
reposo aquel que posee una estenosis porcentual de 70% y
una frecuencia cardiaca de 80 lat./min. Con los datos
anteriores se obtiene información relacionada con la
fluidodinámica sanguínea. Posteriormente, se procede a
simular como el mismo individuo un estado de ejercicio
físico, es decir, se produce un aumento de la frecuencia
cardiaca como consecuencia directa del mismo; para ello se
incrementa en pasos de 10 lat./min. hasta alcanzar una
frecuencia de 180 lat./min.
Fig. 5: Líneas de corriente para las muestras temporales 49, 188 y 197.
En el comienzo de la simulación las LC corren
suavemente a través de la estenosis. Luego comienza la
formación de una recirculación aguas abajo de la estenosis
producto del desprendimiento de la capa límite. La
extensión de la misma, a lo largo del eje principal del
dominio, se encuentra acotada por los puntos en los cuales
no existe variación de la velocidad y consecuentemente el
esfuerzo de corte es nulo. Durante la fase de eyección
cardiaca las LC cambian de forma gradual con el correr del
tiempo, encontrándose la velocidad en su período de
aceleración positiva. Una vez que la onda de pulso alcanza
su máximo valor, la velocidad pasa a su fase de aceleración
negativa con lo que el flujo comienza a desacelerarse.
Acompañado a este proceso, los gradientes de presión
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cambian de sentido, lo que produce la inversión del flujo
aguas abajo de la estenosis. Esto ocurre inicialmente sobre
la pared debido a la menor inercia del fluido en sus
proximidades.
En los últimos instantes el flujo reverso sobre toda la
pared obliga a descender a la recirculación, siendo forzada
a desplazarse al eje de simetría del dominio. A su vez, se
genera una recirculación aguas arriba de la estenosis,
donde la extensión de cada una de ellas comprende hasta el
comienzo o el final del dominio según corresponda.
Como se mencionó anteriormente es interesante
observar la posición y el valor del esfuerzo de corte de
mayor magnitud, debido al daño que éste puede producir
sobre la pared arterial [2]. Además se detecta la posición
en donde el esfuerzo de corte cambia de signo, ya que las
regiones en donde el esfuerzo se hace positivo/negativo
(cambio de dirección en la velocidad) corresponden con
aquellas regiones donde existe el flujo reverso sobre la
pared.
A medida que la sangre ingresa en la región con la
estenosis, el radio de la sección transversal disminuye y el
flujo se acelera para preservar el caudal. Este incremento
en la velocidad eleva los gradientes de velocidad y por ello
el esfuerzo de corte crece en magnitud en la región de
estrechamiento.
En la Fig. 6 se observa la magnitud del esfuerzo de corte
en función de la coordenada axial para un instante de
tiempo determinado. Aquí se ha representado el esfuerzo
que ejerce la pared sobre el fluido, por lo tanto, el esfuerzo
que el fluido realiza sobre la pared es el mismo, pero con el
signo invertido. En adelante, se refiere como valor máximo
del esfuerzo sobre la pared al valor absoluto máximo
obtenido de las simulaciones.
La variación del esfuerzo es del tipo espacio-temporal,
por lo tanto, es de interés determinar las posiciones de los
valores máximos y nulos en el tiempo con el objeto de
concluir acerca de las repercusiones que estas tienen sobre
la pared arterial.
Fig. 7: Posiciones de los esfuerzos de corte máximo y nulo a lo largo del
tiempo.
En la Fig. 7 se aprecia como se mantiene el esfuerzo de
corte máximo la mayor parte del tiempo a la entrada de la
estenosis. Esto indica que el grupo de células agredidas por
el valor elevado que toma el esfuerzo de corte es siempre el
mismo. Por otro lado, existen dos puntos en los cuales el
esfuerzo cambia de signo, donde uno se mantiene en el
mismo sector del tramo considerado mientras que el otro
fluctúa a lo largo del tiempo. Esto indica que la longitud
axial de la recirculación a la salida de la estenosis, varía
con el tiempo. Cabe destacar que para aquellos instantes
donde sólo existe un único valor de esfuerzo nulo, la
recirculación se vio forzada a descender debido a un flujo
totalmente opuesto sobre la pared originando una
recirculación aguas arriba. Posteriormente se observan
nuevamente dos lugares donde el esfuerzo de corte se
anula. Estos corresponden con una recirculación aguas
arriba de la estenosis que se extiende desde la entrada
hasta el lugar donde se encuentra el primer valor nulo y
con otra recirculación aguas abajo, que se extiende desde la
posición del segundo valor nulo hasta el final del dominio.
B. Sujeto bajo Ejercicio
Como se mencionó anteriormente, al aumentar la
frecuencia se incrementará el caudal (Fig. 1), elevando los
gradientes de velocidad y por lo tanto el esfuerzo de corte.
Fig. 6: En azul se muestra el esfuerzo de corte (adimensional) para el
instante de tiempo correspondiente a la muestra 105 (máximo caudal), en
rojo se muestra el dominio considerado.
Puesto que el radio de luz arterial es constante (antes de
ingresar a la estenosis) el esfuerzo de corte también lo es.
A medida que el área de pasaje disminuye el esfuerzo
comienza a aumentar su valor hasta alcanzar un máximo
cuando se estabiliza el radio del dominio (Fig. 6). Existen
dos puntos ubicados a la salida de la estenosis, en los
cuales el esfuerzo de corte cambia de signo, el primero
cuando comienza a aumentar la luz de la arteria y el otro
ubicado más lejos de la estenosis.
Fig. 8: esfuerzo de corte promedio para las distintas frecuencias.
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En la Fig. 8 se observa el valor promedio del esfuerzo de
corte máximo para las distintas frecuencia, demostrando
que el mismo crece a medida que aumenta el caudal
eyectado efectivo, es decir aumenta hasta los 130 lat/min y
luego comienza a decrecer de acuerdo con el caudal
entrante en la arteria.
Fig. 9: Posición del esfuerzo de corte máximo para las distintas
frecuencias.
Por otro lado, en la Fig. 9 se demuestra que la posición
del esfuerzo de corte máximo para las distintas frecuencias
permanece en la misma posición espacial dentro del tramo
considerado. Esto indica que el grupo de células agredidas
a medida que varía la frecuencia cardiaca es el mismo,
aumentando el potencial riesgo de daño al endotelio
durante el ejercicio a medida que la frecuencia cardiaca se
aproxima al valor de máximo caudal eyectado.
Finalmente, se analiza la variación de la posición del
esfuerzo de corte nulo con la frecuencia (Fig. 10). Para
todas las frecuencias analizadas, la posición del esfuerzo de
corte nulo proximal permanece en el mismo sector,
mientras que la posición correspondiente al esfuerzo de
corte nulo distal se modifica. Los resultados indican que
los efectos de la frecuencia sobre la longitud de la
recirculación son poco significativos debido a que se
mantienen, con pequeñas variaciones, dentro del mismo
rango de amplitud.
presenta estenosis, para distintos valores de frecuencia
cardiaca. A partir de los resultados obtenidos se puede
analizar el campo de velocidad, el flujo y la distribución de
esfuerzos cortantes sobre la pared del conducto.
Existe una estrecha relación entre los esfuerzos de corte
máximos y el caudal circulante. Asimismo, al incrementar
la frecuencia, los esfuerzos de corte máximos se elevan sin
modificar su posición espacial dentro del tramo
considerado. Esto indica el aumento del riesgo de lesión
para la región endotelial afectada por dichos esfuerzos, no
sólo por el valor de la tensión que soporta, sino también
por la fatiga a la que se encuentra expuesto.
La modificación de la frecuencia no tiene gran
influencia sobre las líneas de corriente y consecuentemente
sobre el tamaño de la recirculación, observándose pequeñas
variaciones con aumentos significativos de la misma.
En futuras investigaciones se pretende mejorar la
representación geométrica de la estenosis, para evaluar si
la misma afecta en forma significativa la fluidodinámica
sanguínea. Por otro lado la modificación de la frecuencia
dentro del modelo afecta dos variables dentro del modelo
(NRe y NWo), por esto un estudio posterior debería aislar
ambas variaciones, con el objeto de identificar los efectos
producidos por las mismas en forma separada.
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos al Dr. José Di Paolo por su continuo apoyo
al Grupo de Biomecánica Computacional.
REFERENCIAS
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
Fig. 10: Posición del esfuerzo de corte nulo a lo largo del tiempo para
frecuencias de 100, 140 y 180 lat./min.
[14]
IV. CONCLUSIONES
En este trabajo se estudia la fluidodinámica sanguínea
dentro de un tramo recto de arteria coronaria izquierda que
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