Derivadas El Cálculo Infinitesimal, tiene su origen en Grecia, siglo III

Notas de clase
Cálculo derivadas
Raúl Urbán R
Derivadas
El Cálculo Infinitesimal, tiene su origen en Grecia, siglo III a.C., con las contribuciones de
Oresme, Arquímedes y Eudoxo basados en los trabajos filosóficos de Aristóteles, Platón,
Pitágoras, Tales de Mileto y Zenón. Pero, no se establecieron métodos sistemáticos de
resolución hasta 20 siglos después en el siglo XVII con los aportes de Newton y Leibniz.
Si bien podríamos atribuir a Newton y a Leibniz la paternidad del cálculo modero, ellos
forman parte de una gran cadena iniciada mucho tiempo antes. Quizá una de las
aportaciones más concluyentes fue la geometría analítica desarrollada
independientemente por Descartes y Fermat.
En lo que atañe a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el problema de
la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático
de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos) que en su conjunto
dieron origen a lo que modernamente se conoce como Cálculo Diferencial.
Pierre de Fermat (1601 – 1665) en el año 1629, hizo dos importantes descubrimientos que
están relacionados con problema de los extremos relativos de una función. En el más
importante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam maximan et miniman 1. Fermat
expone un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función
polinómica de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el
valor de 𝑓(𝑥) en un cierto punto, con el valor de 𝑓(𝑥 + 𝜀) un punto cercano; en general,
estos dos valores son distintos, pero, en una "cresta" o en "valle" de una curva la
diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponden a
valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala 𝑓(𝑥) con 𝑓(𝑥 + 𝜀), teniendo en
cuenta que la diferencia entre estos dos valores es muy pequeña, casi igual. Cuanta más
chica sea la diferencia 𝜀 entre los dos puntos, más cerca está la igualdad de ser verdadera.
Así, después de dividir todo por 𝜀, hace 𝜀 = 0. El resultado le permite calcular las abscisas
de los máximos y mínimos de la función polinómica. Este es el fundamento principal de lo
hoy en día se llama diferenciación.
Este descubrimiento le permitió a Laplace reconocer a Fermat como el verdadero
descubridor del Cálculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los
precursores, algunos historiadores han considerado que es a Isaac Newton 2 y a Leibnitz3
a quienes se les puede atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de las
integrales.
Newton, tardó mucho en dar a conocer sus resultados. La notación que usaba era más
sugestiva: lo que nosotros llamamos 𝑓(𝑥) ó y, él lo llamaba "cantidades fluentes", y la
Métodos para hallar máximos y mínimos
Sir Isaac Newton. 1642 – 1727. Nacido en Woolstharpe, Inglaterra.
3
Gottgried Wilhelm Leibnitz. 1646 – 1716. Nacido en Leipzig, Alemania
1
2
1
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���� en lugar de 𝐷𝑓(𝑥). El mismo
derivada, 𝐷𝑓(𝑥) era llamaba "fluxión", le escribía 𝐴𝐵
Newton escribía cosas como las siguientes: "Los momentos - las actuales diferenciales dejan de ser momentos cuando alcanzan un valor finito, y deben por lo tanto considerarse
como magnitudes finitas nacientes". Frases tan confusas, que Newton debía entenderlas
muy bien, pero, para otro que no fuera su inventor del método, suenan bastante
incomprensibles.
En el año de 1669, Isaac Barrow 4, recibió de su alumno Isaac Newton, un folleto titulado
De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitos, que es el primer manuscrito,
primer esbozo casi completo de lo que sería el Cálculo Diferencial e Integral. Aquel mismo
año, Barrow decidió que su alumno sabía mucho más que él, y que tenía por lo tanto
mucho más derecho a la cátedra de matemáticas con más merecimientos que el propio
Barrow; su titular. Con una generosidad y un desinterés difíciles de igualar, Barrow cedió
su cátedra a Newton.
A los 40 años, siendo profesor de matemáticas de Cambridge, Newton escribió
Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió
la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes
que llevan su nombre, tal vez el tratado científico de mayor influencia jamás publicado. En
el aplicó los conceptos del cálculo para explorar el universo, incluyendo los movimientos
de la tierra, la luna y los planetas alrededor del sol. Se dice que un estudiante observó:
"ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni los demás comprenden".
Leibniz, comparte con Isaac Newton el crédito del descubrimiento del cálculo. Fue el
primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez años antes. La
historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir las principales ideas (1665
– 1666), pero que Leibniz las descubrió independientemente durante los años de 1673 –
1676.
Leibniz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres
𝑑𝑦
del Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral, así como los símbolos 𝑑𝑥 y ∫ para la
derivada y la integral. Fue el primero en utilizar el término "función" y el uso del símbolo
" = " para la igualdad. Por esta razón, debido a la superioridad del simbolismo, el cálculo
se desarrolló con mucha mayor rapidez en el continente europeo que en Inglaterra de
donde era oriundo Newton.
Límites.
La noción de límite es una de las nociones fundamentales del cálculo. Este concepto está
muy cercano a la noción de derivada
4
Issac Barrow,1630-1677, nació en Londres Inglaterra. Fue el primero en reconocer que la integración y
la diferenciación son operaciones inversas.
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Para introducir el concepto de límite vamos a presentarlo con el siguiente ejemplo:
Determinar el límite de lim𝑥→2 (3𝑥 − 5) para resolver vamos a construir la siguiente
tabla:
𝑥
3𝑥
−5
2.1
1.3
2.01
1.03
2.001
1.003
2.0001 2
1.0003
1.9999 1.999
.9997 .997
1.99
.97
1.9
.7
El valor de x se acerca a 1 por la izquierda y también se acerca a 1 por la derecha,
Definición
Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto 𝐼 que contiene a 𝑎,
sin considerar el valor de a. El límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 es 𝐿, y se escribe
lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿
Si para cada número positivo , por pequeño que este sea, es posible determinar un
número positivo , tal que para todos los valores de 𝑥, diferentes de 𝑎, que satisfacen la
desigualdad |𝑥 − 𝑎| < , verificará la desigualdad |𝑓(𝑥) − 𝐿| < .
En otras palabras, esta definición de límite nos dice que los valores de la función 𝑓(𝑥) se
aproximan a un límite 𝐿, conforme 𝑥 se aproxima a un número 𝑎, sí el valor absoluto de la
diferencia entre𝑓(𝑥) y 𝐿 se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando 𝑥
suficientemente cercana a "𝑎", pero no igual a "𝑎".
En general, el determinar el lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) mediante el uso directo de la definición es difícil,
por lo que para hacerlo se contará con la ayuda de una serie de teoremas, que
estudiaremos más adelante.
Teoremas sobre límites.
Para facilitar la obtención del límite de una función se establecen los siguientes teoremas.
1. Si 𝑘 es una constante. lim𝑥→𝑎 𝑘 = 𝑘
2. Si a un número cualquiera, entonces. lim𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎
3. Si 𝑘 es una constante y a un número cualquiera. El límite de la suma, o diferencia,
de varias funciones.
lim [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ± lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
4. Producto de varias funciones.
lim [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ∙ lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
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5. Límite de un cociente
lim �
𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
� = 𝑥→𝑎
lim 𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥) ≠ 0
𝑥→𝑎
6. Si 𝑟 es una constante positiva
lim [𝑓(𝑥)]𝑟 = �lim 𝑓(𝑥)�
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑟
Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula
directamente. Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada
0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la
función de tal modo que se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos
de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.
Ejemplos.
a) lim𝑥→2 10 = 10
b) lim𝑥→2 5𝑥 = 5 lim𝑥→2 𝑥 = 10
c) lim𝑥→3 𝑥 4 = [lim𝑥→3 𝑥]4 = (3)4 = 81
d) lim𝑥→2 [5𝑥 2 + 2𝑥 − 4] = lim𝑥→2 5𝑥 2 + lim𝑥→2 2𝑥 − lim𝑥→2 4
4𝑥 3 +8
e) lim𝑥→3 � 2𝑥+6 � =
= 5[lim𝑥→2 𝑥]2 + 2 lim𝑥→2 𝑥 − 4 = 5(22 ) + 2(2) − 4 = 20
lim𝑥→3(4𝑥 3 +8)
lim𝑥→3 2𝑥+6
=
lim𝑥→3(4𝑥 3 +8)
lim𝑥→3 2𝑥+6
=
lim𝑥→3 4𝑥 3 +8
lim𝑥→3 2𝑥+6
=
4(3)3 +8
2(3)+6
= 29�3
f) lim𝑥→2 √5𝑥 3 − 15 = �lim𝑥→2 (5𝑥 3 − 15) = �5(lim𝑥→2 𝑥)3 − 15 = �5(2)3 − 15 = 5
g) lim𝑥→4
2𝑥 3⁄2 −√𝑥
𝑥 2 −15
=
2 (lim𝑥→4 𝑥)3⁄2 −√𝑥
(lim→4 𝑥)2 −15
=
2(4)3⁄2 −41⁄2
42 −15
= 14
Límites y derivadas
Consideremos un punto P de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el plano 𝑋𝑌. Tomemos ahora otro
punto de la función Q. La recta que pasa por P y Q se llama secante (del latín “que corta”).
Si se deja el punto P fijo y se mueve Q sobre la curva acercándose a P, la secante gira
alrededor de P.
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La pendiente de la secante 𝑚 =
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
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Para acercar el punto P a Q, tenemos
ℎ
que reducir h, aproximarla a cero, hasta que la secante coincida con la tangente. Se trata
de hacer h lo suficientemente pequeña, pero no cero. Entonces la cantidad
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
puede aproximarse a la derivada de la función 𝑓 ′ (𝑥). Para encontrar esta derivada
podemos seguir el siguiente procedimiento:
1. Calcular
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
para ℎ ≠ 0
2. Hacer ℎ muy cercana a cero.
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
3. El valor de
ℎ
se aproxima a 𝑓 ′ (𝑥)
Ejemplo. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 encontrar la derivada
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
=
(𝑥+ℎ)2 −𝑥 2
ℎ
=
𝑥 2 +2𝑥ℎ+ℎ2 −𝑥 2
Si ℎ ≅ 0, entonces 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥
ℎ
=
ℎ(2𝑥+ℎ)
ℎ
= 2𝑥 + ℎ
Como mencionamos antes, h es un valor cercano pero no igual a cero. Nos acercamos a
cero por el lado positivo o negativo. En forma simbólica lo que decimos es que ℎ → 0.
Entonces la derivada 𝑓 ′ (𝑥) es
𝑓 ′ (𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
5
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Ahora supongamos que 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 cuando 𝑥 = 2.
𝑓(2+ℎ)−𝑓(2)
ℎ
=
(2+ℎ)2 −22
ℎ
=
22 +4ℎ+ℎ2 −22
ℎ
=
Si damos valores a esta última función.
H
1
.1
.01
.001
.0001
ℎ(4+ℎ)
ℎ
=4+ℎ
4+h
5
4.10
4.01
4.001
4.0001
h
-1
-.1
-.01
-.001
-.0001
4+h
3
3.9
3.99
3.999
3.9999
Ambas tablas tienden al valor de 4, que es el valor de la derivada cuando ℎ → 0.
Decimos que 𝑓 ′ (𝑎), la derivada de a existe, si
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
se aproxima a un número
cuando ℎ → 0, si por lo contrario no se aproxima a ningún número la función 𝑓(𝑥) no es
diferenciable para 𝑥 = 𝑎
Tasa de variación.
Un característica de la Economía es que resulta de gran interés conocer las variaciones
que ha experimentado una variable objeto de análisis a lo largo del tiempo. Para predecir
la demanda futura de un bien, necesitamos la tasa de variación. Por ello, se dedican las
siguientes líneas al análisis y la medición de la variación. Como se verá, el cálculo de la
media de las tasas de variación que ha experimentado la variable está conectado con la
media geométrica, de ahí su inclusión en este lugar del programa.
Consideremos una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de
abscisas "𝑎" y "𝑎 + ℎ", siendo "ℎ" un número real que corresponde a la variación de 𝑥.
Se llama tasa de variación de la
función 𝑓(𝑥) en el intervalo [𝑎, 𝑎 + ℎ],
a la diferencia entre las ordenadas
correspondientes a los puntos de
abscisas a y a+h. Es decir;
𝒕𝒗 = 𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂)
6
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La variación de y por unidad de variación de x se llama Tasa media de variación en el
intervalo [𝑎, 𝑎 + ℎ]. Que es igual a;
Tasa
media
de
𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂)
variación
en
el =
𝒉
intervalo [𝒂, 𝒂 + 𝒉]
Esta expresión es justamente la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa
por los puntos P, Q de abscisas a y a+h.
Si encontramos el límite cuando ℎ → 0 de 𝑓(𝑥) en 𝑎 encontramos la tasa instantánea de
variación 𝑓 ′ (𝑎), es decir la derivada de 𝑓(𝑥)
Tasa instantánea de
𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂)
variación
en
el = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒉
intervalo [𝒂, 𝒂 + 𝒉]
En algunos casos es conveniente estudiar la razón
variación.
𝑓 ′ (𝑥)
𝑓(𝑎)
que es la Tasa proporcional de
En economía, se utilizan muy a menudo estas tasas proporcionales de variación, que son
más conocidas como Tasas relativas de variación. Normalmente se expresan en
porcentajes.
“Una variable crece 3% anual si tiene una tasa proporcional de variación de 3�100 por año”
Consideremos una empresa que produce un bien en un período dado. Donde,
𝐶(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.
𝑅(𝑥) = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝜋(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 (𝑦 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎) 𝑑𝑒 𝑥 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
Llamaremos a las derivadas de estas variables;
𝐶 ′ (𝑥)
𝑅 ′ (𝑥)
𝜋 ′ (𝑥)
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙5
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
Otros ejemplos en economía es la propensión marginal al consumo 6 que es la derivada de
la función de consumo respecto al ingreso o el producto marginal del trabajo 7 que es la
derivada de la función de producción con respecto al trabajo.
5
El costo marginal, es la variación en el costo cuando la producción aumenta en una unidad. El costo de una
unidad adicional.
7
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𝐶(𝑥+ℎ)−𝐶(𝑥)
El costo marginal es entonces
𝐶 ′ (𝑥) = limℎ→0
ℎ
Normalmente una empresa produce muchas unidades (x), entonces cuando ℎ = 1 es un
número.
𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥)
= 𝐶(𝑥 + 1) − 𝑐(𝑥)
ℎ→0
1
𝐶 ′ (𝑥) = lim
Así, el costo marginal es aproximadamente igual al incremento en el costo 𝐶(𝑥 + 1) − 𝑐(𝑥)
Suponga que la función de costo de una empresa es 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 + 100. a) ¿cuál es la
tasa media de variación cuando 𝑥 varia de 100 𝑎 100 + ℎ y b) ¿cuál es el costo marginal
cuando 𝑥 = 100?
a)
𝐶(100 + ℎ) − 𝐶(100) = (100 + ℎ)2 + 3(100 + ℎ) + 100 − 1002 − 300 − 100
= 1002 + 200ℎ + ℎ2 + 300 + 3ℎ + 100 − 1002 − 300 − 100
= 203ℎ + ℎ2
𝐶(100+ℎ)−𝐶(100)
ℎ
b) limℎ→0
=
𝐶(𝑥+ℎ)−𝐶(𝑥)
ℎ
(203+ℎ)ℎ
ℎ
= limℎ→0
= 203 + ℎ
(𝑥+ℎ)2 +3(𝑥+ℎ)+100−𝑥 2 −3𝑥−100
ℎ
= limℎ→0
2𝑥ℎ+ℎ2 +3ℎ
ℎ
= 2𝑥 + 3
Reglas de derivación
Se han desarrollado procedimientos sencillos para calcular la derivada de una clase de
funciones y utilizar el resultado como una fórmula para evitar el procedimiento de cálculo
por límites. Algunas de estas reglas son las siguientes:
1) Derivada de una constante
Ejemplo:
𝒅
𝒅𝒙
𝒌
𝒅𝒌
𝒅𝒙
=𝟎
(𝟓) = 𝟎; si 𝒇(𝒙) = 𝒂 → 𝒇′ (𝒂) = 𝟎
2) Regla de la potencia.
Si 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 𝑛 entonces 𝒇′ (𝒙) ó 𝒌
Calcular
𝒅𝒇(𝒙)
𝒅𝒙
= 𝒌𝒏𝒙𝒏−𝟏 donde 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
6
La propensión marginal al consumo mide el aumento en el consumo inducido, cuanto se incrementa la
renta disponible en una unidad monetaria.
7
Es la producción adicional que se obtiene con una unidad adicional del trabajo.
8
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a) 𝑦 = 𝑥 2
e)
b) 𝑦 = 3𝑥 8
𝑑
3
f) 𝑓(𝑥) = 4 𝑥 4⁄3
(−5𝑟 −3 )
𝑑𝑟
Solución:
a)
d)
e)
f)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑟
𝑑
𝑑𝑥
c) 𝑦 =
𝑑𝑦
b)𝑑𝑥 = 3(8)𝑥 8−1 = 24𝑥 7
= 2𝑥
𝑥 100
= −5(−3)𝑟
3 𝑑
−3−1
34
𝑓(𝑥) = 4 𝑑𝑥 𝑥 4⁄3 = 4 3 𝑥
= 15𝑟
4� −1
3
−4
𝑑
d) 𝑑𝑥 (𝑥 −0.33 )
100
𝑑𝑦
c)𝑑𝑥 =
(𝑥 −0.33 ) = −0.33𝑥 −0.33−1 = −0.33𝑥 −1.33 =
(−5𝑟 −3 )
Raúl Urbán R
100 𝑥 100−1
−0.33
𝑥 1.33
100
= 𝑥 99
= 𝑥 1⁄3
3) Regla de sumas y diferencias. Si 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) son funciones derivables en un punto 𝒙,
también lo son en la suma 𝑭(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒚) y en su diferencia 𝑭(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒚).
𝑭(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) ⇒
𝑭(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) ⇒
En notación de Leibniz
𝒅
[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] =
𝒅𝒙
Calcular
a)
b)
𝒅
�𝟑𝒙𝟖 +
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙𝟏𝟎𝟎
𝒅
𝑭′ (𝒙) = 𝒇′(𝒙) + 𝒈′(𝒙)
𝑭′ (𝒙) = 𝒇′(𝒙) − 𝒈′(𝒙)
𝒅
𝒅
𝒇(𝒙) ± 𝒅𝒙 𝒈(𝒙)
𝒅𝒙
𝒅
𝒙𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
� = 𝒅𝒙 (𝟑𝒙𝟖 ) + 𝒅𝒙 � 𝟏𝟎𝟎 � = 𝟐𝟒𝒙𝟕 + 𝟏𝟎𝟎 𝒙𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎
𝟑
𝒅
𝒅
𝟑
𝒅
𝟔
�𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 � = 𝒅𝒙 (𝒙𝟒 ) − 𝒅𝒙 �𝒙𝟐 � = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟑 𝒅𝒙 (𝒙−𝟐 ) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟔𝒙−𝟑 = 𝟒𝒙𝟑 + 𝒙𝟑
Anteriormente hemos definido el beneficio como 𝝅(𝒙) = 𝑹(𝒙) − 𝑪(𝒙). Por la regla de
la diferencia 𝝅′(𝒙) = 𝑹′(𝒙) − 𝑪′(𝒙). Cuando el ingreso marginal es igual a costo
marginal 𝝅′(𝒙) = 𝟎
4) Regla del producto. Si 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) son funciones derivables en un mismo punto.
𝑭(𝒙) = 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) ⇒ 𝑭′ (𝒙) = 𝒇′ (𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) + 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈′(𝒙)
Calcular
a) 𝒉(𝒙) = (𝒙𝟑 − 𝒙)(𝟓𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 ) Encontrar 𝒉′(𝒙)
𝒉′ (𝒙) =
𝒅
�𝒙𝟑
𝒅𝒙
𝟒
− 𝒙��𝟓𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 � = �𝟓𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 �
𝒅
�𝒙𝟑
𝒅𝒙
𝟑
− 𝒙� + (𝒙𝟑 − 𝒙)
𝒅
�𝟓𝒙𝟒
𝒅𝒙
+ 𝒙𝟐 �
= �𝟓𝒙 + 𝒙𝟐 ��𝟑𝒙𝟐 − 𝟏� + �𝒙𝟑 − 𝒙��𝟐𝟎𝒙 + 𝟐𝒙� = −𝒙²(−𝟑𝟓𝒙⁴ + 𝟐𝟎𝒙² + 𝟑)
5) Regla del cociente. Si 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) son funciones derivables en un mismo punto.
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𝒇(𝒙)
𝑭(𝒙) = 𝒈(𝒙) ⇒ 𝑭′ (𝒙) =?
𝑭(𝒙)𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙) Aplicamos la regla del producto
𝒇′ (𝒙) = 𝑭′ (𝒙)𝒈(𝒙) + 𝑭(𝒙)𝒈′ (𝒙) → 𝒇′ (𝒙) − 𝑭(𝒙)𝒈′ (𝒙) = 𝑭′ (𝒙)𝒈(𝒙) Despejamos 𝑭′(𝒙)
𝒇(𝒙)
𝒇′ (𝒙) − 𝒈(𝒙) 𝒈′ (𝒙) = 𝑭′ (𝒙)𝒈(𝒙)
→
𝑭′ (𝒙) =
𝒇′ (𝒙)𝒈(𝒙)−𝒇(𝒙)𝒈′ (𝒙)
𝒈(𝒙)
𝒇′ (𝒙)𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙)𝒈′ (𝒙)
[𝒈(𝒙)]𝟐
Calcular 𝑭′ (𝒙) 𝒚 𝑭′ (𝟔) 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑭(𝒙) =
𝑭′ (𝒙) =
=
�𝒙𝟐 −𝟏�
𝒅
𝒅
(𝟏𝟎𝒙−𝟑)−(𝟏𝟎𝒙−𝟑) �𝒙𝟐 −𝟏�
𝒅𝒙
𝒅𝒙
�𝒙𝟐 −𝟏�
𝟏𝟎𝒙𝟐 −𝟏𝟎−𝟐𝟎𝒙𝟐 −𝟔𝒙
(𝒙𝟐 −𝟏)𝟐
𝟐
=
= 𝑭′(𝒙)𝒈(𝒙) Finalmente
=
(𝟏𝟎𝒙−𝟑)
(𝒙𝟐 −𝟏)
�𝒙𝟐 −𝟏�(𝟏𝟎)−(𝟏𝟎𝒙−𝟑)(𝟐𝒙)
−(𝟏𝟎𝒙𝟐 +𝟔𝒙+𝟏𝟎)
�𝒙𝟐 −𝟏�
𝟐
(𝒙𝟐 −𝟏)𝟐
Ejercicio. Sea 𝑪(𝒒) el costo total de producir q unidades de un bien. Llamaremos a la cantidad
𝑪(𝒒)
𝒒
el costo promedio de producir q unidades. Hallar la tasa de variación del costo promedió o
el costo promedio marginal.
𝒒 𝑪′ (𝒒) − 𝑪(𝒒) 𝒒 𝑪′ (𝒒) 𝑪(𝒒) 𝟏
𝑪(𝒒)
𝒅 𝑪(𝒒)
=
=
−
=
�𝑪′(𝒒)
−
�
�
�
𝒒𝟐
𝒒
𝒒𝟐
𝒅𝒙 𝒒
𝒒
𝒒𝟐
Este resultado nos indica que “la tasa de variación del costo medio es igual a la diferencia
del costo marginal menos el costo medio, dividido entre la cantidad de unidades q”. Para
𝑪(𝒒)
valores positivos de q, el costo marginal 𝑪′(𝒒) es mayor que el costo medio 𝒒 , si y solo si
la tasa de variación del costo medio es positiva.
Calcular el costo promedio marginal para la función de costo 𝑪(𝒒) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝒒𝟑 − 𝟎. 𝟑𝒒𝟐 + 𝟒𝟎𝒒 +
𝟏𝟎𝟎𝟎 cuando q= 𝟏𝟎𝟎.
𝑪′ (𝒒) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝒒𝟐 − 𝟎. 𝟔𝒒 + 𝟒𝟎
𝑪′ (𝟏𝟎𝟎) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑(𝟏𝟎𝟎)𝟐 − 𝟎. 𝟔(𝟏𝟎𝟎) + 𝟒𝟎 = 𝟏𝟎
𝑪(𝟏𝟎𝟎) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑(𝟏𝟎𝟎)𝟑 − 𝟎. 𝟑(𝟏𝟎𝟎)𝟐 + 𝟒𝟎(𝟏𝟎𝟎) + 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟎𝟎𝟎
El costo promedio marginal cuando 𝒒 = 𝟏𝟎𝟎 es entonces,
𝟏
𝑪(𝒒)
�𝑪′(𝒒) − 𝒒 �
𝒒
=
𝟏
𝟑𝟎𝟎𝟎
�𝟏𝟎 − 𝟏𝟎𝟎 �
𝟏𝟎𝟎
= −𝟎. 𝟐
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Así, cuando 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎, el costo promedio por unidad decrece en 0.2 por cada unidad adicional
producida.
La fórmula de la derivada de un cociente es más fácil de entender si consideramos tasas
proporcionales de variación.
𝑭′ (𝒙) =
Partimos de la formula general
𝑭′(𝒙)[𝒈(𝒙)]𝟐
𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)
𝑭′ (𝒙) �
𝒈(𝒙)
𝒇(𝒙)
=
�=
𝒇′ (𝒙)𝒈(𝒙)
𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)
𝒇′(𝒙)
𝒇(𝒙)
−
−
𝒇(𝒙)𝒈′(𝒙)
𝒈′(𝒙)
𝒈(𝒙)
Finalmente concluimos con:
𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)
𝒇′ (𝒙)𝒈(𝒙)−𝒇(𝒙)𝒈′(𝒙)
[𝒈(𝒙)]𝟐
𝒇(𝒙)
sabemos que 𝑭(𝒙) = 𝒈(𝒙)
𝑭′ (𝒙) 𝒇′(𝒙) 𝒈′(𝒙)
=
−
𝑭(𝒙)
𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)
6) Regla general de la potencia. Para derivar una función del tipo [𝒈(𝒙)]𝒓, primero
debemos derivar 𝒈(𝒙), aplicando la regla de la potencia, regla 2, y después
multiplicarla por el factor 𝒈′(𝒙).
𝒅
𝒅
([𝒈(𝒙)]𝒓 ) = 𝒓 ∙ [𝒈(𝒙)]𝒓−𝟏 ∙
[𝒈(𝒙)]
𝒅𝒙
𝒅𝒙
Calcular
a) 𝒚 = �𝒈(𝒙)�
𝒔𝒊 𝒂 = 𝟏
𝒂
𝒔𝒊 𝒂 = 𝟐
𝟐𝒈(𝒙)𝒈′(𝒙)
𝒅
𝒅𝒙
𝒅
𝒈(𝒙) = 𝒈′(𝒙)
𝒅𝒚
[𝒈(𝒙)]𝟐 = 𝒈(𝒙)𝒈(𝒙) = 𝒈′ (𝒙)𝒈(𝒙) + 𝒈(𝒙)𝒈′ (𝒙) =
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒚
[𝒈(𝒙)]𝟑 =
𝒈(𝒙)𝟐 𝒈(𝒙)
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝟐
= [𝟐𝒈′ (𝒙)𝒈(𝒙)]𝒈(𝒙) + �𝒈(𝒙)� 𝒈′ (𝒙)
= 𝟐[𝒈(𝒙)′𝒈(𝒙)𝟐 ] + 𝒈(𝒙)𝟐 𝒈′ (𝒙) = 𝟑𝒈(𝒙)𝟐 𝒈′(𝒙)
𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 = 𝟑
En forma general
b) 𝒚 = (𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 )𝟓𝟎
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒚′ = 𝒂[𝒈(𝒙)]𝒂−𝟏 𝒈′(𝒙)
𝒅
= 𝟓𝟎(𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 )𝟓𝟎−𝟏 𝒅𝒙 (𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 )
= 𝟓𝟎(𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 )𝟒𝟗 (𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙)
11
Notas de clase
Cálculo derivadas
𝒙−𝟏 𝟏⁄𝟑
c) 𝒚 = �𝒙+𝟑�
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟏 𝒙−𝟏 𝟑−𝟏 𝒅 𝒙−𝟏
� �
� �
𝟑 𝒙+𝟑
𝒅𝒙 𝒙+𝟑
𝟐
=
Raúl Urbán R
𝟐
𝒅
𝒅
𝟏 𝒙−𝟏 −𝟑 (𝒙+𝟑)𝒅𝒙(𝒙−𝟏)−(𝒙−𝟏)𝒅𝒙(𝒙+𝟑)
�
�
�
�=
(𝑿+𝟑)𝟐
𝟑 𝒙+𝟑
𝟐
𝟏 𝒙 − 𝟏 −𝟑 (𝒙 + 𝟑) − (𝒙 − 𝟏)
𝟏 𝒙 − 𝟏 −𝟑
𝟒
= �
� �
�
=
�
� �
�
𝟐
𝟑 𝒙+𝟑
(𝑿 + 𝟑)
𝟑 𝒙+𝟑
(𝑿 + 𝟑)𝟐
𝒙
𝟓
𝒅𝒚
d) 𝒇(𝒙) = �𝒙𝟑 + 𝟐 + 𝟏�
e) 𝒚 =
𝒙+(𝒙𝟓 +𝟏)𝟏𝟎
𝟑
𝒙
𝟒 𝒅𝒚
𝒙
𝟒
= 𝟓 �𝒙𝟑 + 𝟐 + 𝟏�
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙
�𝒙𝟑 + 𝟐 + 𝟏� =
𝟏
= 𝟓 �𝒙𝟑 + 𝟐 + 𝟏� �𝟑𝒙𝟐 + 𝟐�
𝟏𝟎
𝒅 𝟏
𝟏
𝟗
= 𝒅𝒙 𝟑 �𝒙 + �𝒙𝟓 + 𝟏� � = 𝟑 �𝟏 + 𝟓𝟎𝒙𝟒 �𝒙𝟓 + 𝟏� �
𝒅𝒙
7) Funciones compuestas y regla de la cadena
Un caso especial de la regla generalizada de la potencia es la regla de la cadena. Si 𝑦 es
una función de 𝑢, 𝑦 = 𝑓(𝑢), y 𝑢 es una función de 𝑥, 𝑢 = 𝑔(𝑥) entonces 𝑦 es una función
de 𝑥, es decir 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)). En este caso se dice que 𝑦 es una función compuesta de 𝑥 que
tiene como derivada
𝑥−1
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
=
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛
𝑑
𝑓�𝑔(𝑥)� = 𝑓 ′ �𝑔(𝑥)�𝑔′(𝑥)
𝑑𝑥
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 ¿encontrar la función compuesta 𝑓�𝑔(𝑥)�?
Remplazamos cada ocurrencia de 𝑥 en 𝑓(𝑥) por la función 𝑔(𝑥) para obtener,
𝑓(𝑔(𝑥)) =
𝑔(𝑥) − 1
𝑥3 − 1
= 3
𝑔(𝑥) + 1
𝑥 +1
Use la regla de la cadena para encontrar la derivada de 𝑓(𝑔(𝑥)), donde 𝑦 = 𝑓(𝑢) = 𝑢8 y
𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥 5 + 9𝑥 + 3.
Primero encontramos 𝑓 ′ (𝑥) = 8𝑢7
Finalmente, por la regla de la cadena.
𝑔′ (𝑥) = 5𝑥 4 + 9 𝑓 ′ �𝑔(𝑥)� = 8(𝑥 5 + 9𝑥 + 3)7
12
Notas de clase
Cálculo derivadas
Raúl Urbán R
𝑑
𝑓�𝑔(𝑥)� = 𝑓 ′ �𝑔(𝑥)�𝑔′ (𝑥) = 8(𝑥 5 + 9𝑥 + 3)7 (5𝑥 4 + 9)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
Calcular 𝑑𝑥 , si 𝑦 = 𝑢4 − 2𝑢3 + 8 𝑦 𝑢 = 𝑥 2 + 1. Entonces,
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 5𝑢4 − 6𝑢2 𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥 por la regla de la cadena,
= (5𝑢4 − 6𝑢2 )2𝑥 Sustituimos el valor de 𝑢 = 𝑥 2 + 1 para obtener,
𝑑𝑦
= [5(𝑥 2 + 1)4 − 6(𝑥 2 + 1)2 ]2𝑥
𝑑𝑥
En muchos problemas de composición de funciones, la variable de interés es el tiempo, en
estos casos decimos que 𝑥 = 𝑔(𝑡) y otra variable, por ejemplo 𝑅 es función de 𝑥, es decir
𝑅 = 𝑓(𝑥). Entonces 𝑅 = 𝑓(𝑔(𝑡)) y por la regla de la cadena tenemos,
𝑑𝑅 𝑑𝑅 𝑑𝑥
=
𝑑𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑡
Una empresa vende bolsas de dulces a $12 pesos la pieza. Si 𝑥 es el número de bolsas
vendidas en un día y 𝑅 es el ingreso de las ventas de 𝑥 bolsas; entonces 𝑅 = 12𝑥. Suponga
que las ventas diarias crecen a una tasa de 4 bolsas de dulces por día. ¿Qué tan rápido
crecen los ingresos?
Como podemos ver
𝑑𝑅
𝑑𝑡
𝑑𝑅
𝑑𝑥
𝑑𝑅 𝑑𝑅 𝑑𝑥
=
𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡
es el ingreso marginal y que la tasa de cambio del ingreso
es el ingreso marginal multiplicado por la tasa de cambio de las ventas con respecto al tiempo.
8) Derivación implícita.
En algunas aplicaciones, trabajamos con una ecuación en lugar de una función. Se dice
que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma y = f (x). En
cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, existe una función tal que y
= f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una
ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita. En muchas ocasiones no se
puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita.
Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de
transformarla en su equivalente explícita.
13
Notas de clase
Cálculo derivadas
Raúl Urbán R
Por ejemplo, si queremos encontrar la derivada de 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4. Es claro que por medio
de esta ecuación la variable dependiente ′𝑦′ puede ser definida como una función
implícita de la variable independiente ′𝑥′ y viceversa, 𝑥 puede definirse igualmente como
una función implícita de 𝑦. Un procedimiento para encontrar la derivada implícita es
derivar la ecuación término a término considerando y como función de 𝑥, 𝑦 = 𝑓(𝑥) y de la
𝑑𝑦
ecuación resultante despejar 𝑑𝑥 , así
Sustituimos 𝑦 por 𝑓(𝑥). 𝑥 2 + 𝑓(𝑥)2 = 4
Resolvemos la ecuación aplicando la regla de la potencia y la regla generalizada de la
potencia, entonces tenemos,
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑
𝑥 2 + 𝑑𝑥 [𝑓(𝑥)]2 = 𝑑𝑥 4
=
−2𝑥
→ 2𝑥 + 2𝑓(𝑥)
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= 0 Despejamos
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= 2𝑓(𝑥) Finalmente sustituimos ahora f(x) por y y obtenemos la derivada implícita
−𝑥
𝑦
Debemos recordar que cuando una potencia de 𝑦 se deriva con respecto a 𝑥, como
𝑑
𝑑𝑦
[𝑓(𝑥)]2 , el resultado debe incluir el factor . Cuando se deriva una potencia de 𝑥, no
𝑑𝑥
tenemos el factor
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, como en el ejemplo anterior.
𝑑𝑥
Método para encontrar la diferenciación implícita,
1) Diferencie cada lado de la ecuación con respecto a, y trate y como una función de
x, y=f(x).
𝑑𝑦
2) Mueva todos los términos 𝑑𝑥 al lado izquierdo de la ecuación y los otros términos
al lado derecho
𝑑𝑦
3) Factorizar 𝑑𝑥 , en el lado izquierdo de la ecuación
𝑑𝑦
4) Divide ambos miembros de la ecuación por el factor que multiplica 𝑑𝑥 .
Supongamos la siguiente función de producción de Cobb-Douglas8 10𝑥 1⁄3 𝑦 2⁄3 = 600,
donde "𝑥" es trabajo y "𝑦" representa el capital. Esta función representa las cantidades de
(𝑥, 𝑦), trabajo y capital para las cuales se obtiene el nivel de producción de 600. La gráfica
de esta función se llama isocuanta. Usaremos derivación implícita para calcular la tasa de
cambio de la producción cuando, 𝑦 = 328.63.
8
Propuesta por Knuth Wicksell (1851-1926) y aplicada por Charles Cobb y Paul Douglas y que representa la
proporción con la que varia la producción a partir de los insumos, trabajo y capital y viceversa. La función de
producción tiene economías de escala constantes; si aumenta la renta de los trabajadores y el capital en
10%, por ejemplo; la producción aumenta en la misma proporción.
14
Notas de clase
Cálculo derivadas
Raúl Urbán R
Una isocuanta representa
diferentes combinaciones de
factores que proporcionan un
mismo nivel de producción. En
nuestro ejemplo son el trabajo
y el capital. Para valores por
ejemplo
de
(2, 328.63)
tenemos el mismo nivel de
producción, 600 que a
(5.4, 200).
Para resolver empezamos por aplicar la regla del producto.
𝑑
𝑑
𝑑
10𝑥 1⁄3 𝑑𝑥 𝑦 2⁄3 + 𝑦 2⁄3 𝑑𝑥 10𝑥 1⁄3 = 𝑑𝑥 600
2
𝑑𝑦
2
𝑑𝑦
1
𝑑𝑦
10𝑥 1⁄3 �3� 𝑦 −1⁄3 𝑑𝑥 + 𝑦 2⁄3 ∙ 10 �3� 𝑥 −2⁄3 = 0 Despejamos 𝑑𝑥
10
20
𝑑𝑦
10
10𝑥 1⁄3 �3� 𝑦 −1⁄3 𝑑𝑥 = −𝑦 2⁄3 � 3 � 𝑥 −2⁄3 → � 3 � 𝑥 1⁄3 𝑦 −1⁄3 𝑑𝑥 = − � 3 � 𝑦 2⁄3 𝑥 −2⁄3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=−
=−
10
3
20
� �𝑥 1⁄3 𝑦 −1⁄3
3
� �𝑦 2⁄3 𝑥−2⁄3
328.63
2(2)
30𝑦 2⁄3 𝑦1⁄3
𝑦
= − 60𝑥 2⁄3 𝑥 1⁄3 = − 2𝑥
= − 82.15
Para 𝑥 = 2, 𝑦 = 328.63
Esta cantidad − 82.15 es la pendiente de la isocuanta en el punto (2, 328.63). Si el valor
del trabajo se incrementa en una unidad, muy pequeña, el valor del capital se reduce en
− 82.15 de manera que se conserve el valor de la producción. En términos económicos el
𝑑𝑦
valor absoluto de 𝑑𝑥 se llama tasa marginal de sustitución de trabajo por capital.
En derivación implícita, derivamos una ecuación de 𝑥, 𝑦 donde 𝑦 es una función de 𝑥. Sin
embargo, en algunas aplicaciones donde 𝑥, y están relacionadas con una tercera variable,
por ejemplo el tiempo 𝑡. A menudo las fórmulas para 𝑥 , 𝑦 no son conocidas. Cuando
derivamos esta ecuación con respecto al tiempo 𝑡, en realidad obtenemos las tasas de
𝑑𝑦
𝑑𝑥
cambio 𝑑𝑡 y 𝑑𝑡 . Estas derivadas son tasas relativas.
Suponga que 𝑥 miles de piezas fabricadas por una empresa pueden ser vendidas
mensualmente a un precio de 𝑝 pesos por unidad, suponga también que x y p satisfacen la
ecuación de demanda 2𝑝 + 2𝑥 + 𝑥𝑝 = 38. ¿Qué tan rápido es el cambio de las ventas
mensuales cuándo 𝑥 = 4 y 𝑝 = 6, y el precio baja a razón de $. 40 por mes?
15
Notas de clase
Cálculo derivadas
Raúl Urbán R
Asumimos que 𝑝 y 𝑥 son funciones diferenciables de 𝑡, la derivada de la demanda con
respecto al tiempo es,
𝑑
𝑑𝑡
(2𝑝) +
𝑑𝑝
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑥
(2𝑥) +
𝑑𝑝
𝑑
𝑑𝑡
(𝑥𝑝) =
𝑑𝑥
2 𝑑𝑡 + 2 𝑑𝑡 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑑𝑡 = 0
Debemos encontrar
decrece.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
(38)
cuando 𝑥 = 4 y 𝑝 = 6, y
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= −0.4 es negativa porque el precio
Sustituimos estos valores en la ecuación.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2(−.40) + 2 𝑑𝑡 + 4(−.40) + 6 𝑑𝑡 = 0
→
𝑑𝑥
8 𝑑𝑡 = 2.4
→
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Las ventas caen a una tasa de .3 unidades por mes (300 unidades)
= .3
Ejercicios.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
𝑑
Calcular 𝑑𝑥 𝑓(𝑔(𝑥)), donde 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son;
𝑥
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 3
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 3𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 4
Las funciones siguientes pueden ser vistas como una función compuesta.
𝑑
Encuentre 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) y 𝑑𝑥 𝑓�𝑔(𝑥)�.
a) (𝑥 3 + 8𝑥 − 2)5
1
b) (4𝑥 − 3)3 + 4𝑥−3
𝑑𝑦
Hallar 𝑑𝑥 por la regla de la cadena
a) Si 𝑦 = 𝑢5 𝑦 𝑢 = 1 − 𝑥 3
1
b) 𝑦 = 2 𝑢2 + 2𝑢1⁄2 𝑦 𝑢 = 1 − 3𝑥
Una empresa produce una cantidad x de memorias para teléfono por semana, con
200𝑥
un beneficio de P miles de pesos, donde 𝑃 = 100+𝑥 2. El nivel de producción 𝑡
𝑑𝑃
semanas después es 𝑥 = 4 + 2𝑡. Encuentre el beneficio marginal 𝑑𝑥
Evaluar las siguientes ecuaciones por derivación implícita para determinar la
pendiente de la función en un punto dado.
a) 𝑥𝑦 + 𝑦 3 = 14, 𝑥 = 3, 𝑦 = 2
b) 𝑦 2 = 3𝑥𝑦 − 5; 𝑥 = 2, 𝑦 = 1
Suponga que el precio 𝑝 y las ventas semanales de un producto 𝑥 satisfacen la
ecuación de demanda 2𝑝3 + 𝑥 2 = 4500. Determine tasa de cambio de las ventas
en el tiempo cuando 𝑥 = 50 y 𝑝 = 10, y el precio cae en una tasa de $. 50 por
semana.
16
Notas de clase
Cálculo derivadas
Raúl Urbán R
9. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
Las derivadas de las funciones exponenciales se expresan de la siguiente forma:
𝑑 𝑥
(𝑒 ) = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑑 𝑥
(𝑏 ) = 𝑏 𝑥 ln(𝑏)
𝑑𝑥
𝑑 𝑔(𝑥)
𝑑
�𝑒
� = 𝑒 𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Es la aplicación de la regla de la
cadena para la función exponencial
Ejemplos.
a)
b)
c)
d)
𝒅
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙
𝒅
𝑑
𝒆−𝒙 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 (−𝑥) = 𝑒 𝑥 (−1) = −𝑒 𝑥
𝒆𝒙
𝟐 +𝟏
𝒆𝟑𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙
= 𝑒𝑥
𝟐 −𝟏
𝒙
2 +1
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 2 + 1) = 2𝑥𝑒 𝑥
2 +1
1
La función 𝑔(𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥 su derivada es,
𝑑
Entonces la derivada de 𝑑𝑥 𝑒 3𝑥
𝑑
�𝒆𝐥𝐧 𝒙 � = 𝑑𝑥 (𝑥) = 1
2 −1
𝑥
𝑑
1
1
�3𝑥 2 − 𝑥� = 6𝑥 + 𝑥 2
𝑑𝑥
1
= �6𝑥 + 𝑥 2 � 𝑒 3𝑥
2 −1
𝑥
Si aplicamos la regla de la cadena, en el ejercicio d), obtenemos lo siguiente;
𝒅
𝒅𝒙
𝑑
𝑑
�𝒆𝐥𝐧 𝒙 � = 𝒆𝐥𝐧 𝒙 𝑑𝑥 (𝒍𝒏(𝒙)) = 𝑥 𝑑𝑥 (𝒍𝒏(𝒙)) = 1
Despejamos y tenemos finalmente la derivada de la función logaritmo.
𝑑
1
(ln(𝑥)) =
𝑑𝑥
𝑥
𝑑
1 𝑑
𝑔′(𝑥)
(ln 𝑔(𝑥)) =
𝑔(𝑥) =
𝑑𝑥
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑔(𝑥)
𝑥>0
Es la aplicación de la regla de la
cadena para la función logaritmo.
Ejemplos.
a)
𝒅
𝑑
(𝐥𝐧 𝒙)𝟓 = 5(ln 𝑥)4 𝑑𝑥 ln 𝑥 =
𝒅𝒙
5(ln 𝑥)4
𝑥
17
Notas de clase
b)
c)
𝒅
𝒅𝒙
𝒅
Cálculo derivadas
(𝒙 𝒍𝒏 𝒙) = 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
1
Raúl Urbán R
ln 𝑥 + ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑥 + ln 𝑥 = 1 + ln 𝑥
𝟏
𝒅
𝟑𝒙𝟐 +𝟏𝟎𝒙
𝒍𝒏 (𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟖) = 𝒙𝟑 +𝟓𝒙𝟐 +𝟖 𝒅𝒙 (𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟖) = 𝒙𝟑 +𝟓𝒙𝟐 +𝟖
𝒅𝒙
Suponga que el valor de una inversión a un tiempo 𝑡 está dado por la función 𝑓(𝑡) =
750,000𝑒 .6√𝑡 . Encuentre que tan rápido cambia la inversión después de 𝑡 = 5 años.
𝑑
(ln 𝑓(𝑡)) =
𝑑𝑡
𝑓′(𝑡)
𝑓(𝑡)
𝑑
𝑓′(𝑡)
𝑓(𝑡)
Esta es la tasa de cambio de 𝑓(𝑡) por unidad de 𝑡.
Cuando 𝑡 = 5
𝑓′(5)
𝑓(5)
𝑑
1
= 𝑑𝑡 �ln 750,000 𝑒 .6√𝑡 � = 𝑑𝑡 (ln 750,000 + 0.6√𝑡) = 0.6 �2� 𝑡 −
=
.3
√5
1�
2
=
.3
√𝑡
= 0.134 = 13.4%
Aplicaciones de la derivada
Las técnicas del cálculo tienen muchas aplicaciones a problemas de la vida real. En las
siguientes aplicaciones, vamos a construir una función a partir de un modelo matemático
de algún problema y el análisis de la función y sus derivadas nos permitirá obtener
información del problema original
Describir la gráfica de una función
Máximos y mínimos. Optimización.
Aplicaciones a la economía.
Elasticidad de la demanda.
La elasticidad de la demanda, es un concepto que en economía se utiliza para medir la
variación porcentual de la cantidad demandada cuando el precio aumenta en 1%. El
número que se obtiene de esta forma es independiente de las unidades en que se midan
cantidades y precios.
Si se conoce la función de demanda y un punto (𝑝, 𝑞) de la función. La elasticidad de la
demanda se define de la siguiente manera:
Supongamos que la demanda de un bien se obtener a partir de la función 𝑞 = 𝐷(𝑝)
18
Notas de clase
Cálculo derivadas
Raúl Urbán R
Cuando el precio varía de 𝑝 → 𝑝 + ∆𝑥, la cantidad demandada 𝑞 también varía. Así,
∆𝑞 = 𝐷(𝑝 + ∆𝑝) − 𝐷(𝑝) Y la relativa o proporcional es,
∆𝑞
𝑞
=
𝐷(𝑝+∆𝑝)−𝐷(𝑝)
𝐷(𝑝)
La razón entre la variación relativa de la cantidad demandada y la variación relativa del
precio es,
∆𝑞⁄𝑞 𝑝∆𝑞
𝑝 𝐷(𝑝 + ∆𝑝) − 𝐷(𝑝)
=
=
∆𝑝⁄𝑝 𝑞∆𝑝 𝐷(𝑝)
∆𝑝
𝑝
Cuando ∆𝑝 = �100, de tal manera que p aumenta un 1% entonces la ecuación anterior
∆𝑞
se transforma en � 𝑞 � ∙ 100 que es la variación porcentual de la cantidad demandada.
∆𝑞 ⁄𝑞
La razón ∆𝑝⁄𝑝 es la elasticidad media de 𝑞 en el intervalo [𝑝, 𝑝 + ∆𝑝]. Es natural definir la
elasticidad de 𝐷 en 𝑝 como el límite de esta razón cuando ∆𝑝 tiende a 0. Puesto que el
cociente
𝐷(𝑝+∆𝑝)−𝐷(𝑝)
∆𝑝
tiende a 𝐷′(𝑝) cuando ∆𝑝 → 0 tenemos,
La elasticidad de 𝐷(𝑝)
con respecto a 𝑝 es
=
𝑝 𝑑𝐷(𝑝)
𝐷(𝑝) 𝑑𝑝
Supongamos que la cantidad de la demanda de un cierto bien viene dada por la función.
𝐷(𝑝) = 8000𝑝−1.5. Hallar la elasticidad de 𝐷(𝑝) y el porcentaje exacto de variación de la
cantidad demandada cuando el precio aumenta un 1% a partir de 𝑝 = 4.
𝑑
𝑑𝑝
𝐷(𝑝) = 8000(−1.5)𝑝−1.5−1 = −12000𝑝−2.5
𝑝 𝑑𝐷(𝑝)
𝑝
12000 𝑝 ∙ 𝑝−2.5
−2.5
(−12000 𝑝
)=−
=
= −1.5
𝐷(𝑝) 𝑑𝑝
8000𝑝−1.5
8000 𝑝−1.5
Un aumento en el precio de 1% hace que la cantidad demandada baje aproximadamente
1.5%.
La caída en la demanda cuando el precio es 4. 𝐷(4) = 8000(4)−1.5 = 1000.
Si el precio aumenta en 1%, el nuevo precio será
variación de la demanda será:
𝐷(4.04) − 𝐷(4) = 8000(4.04)−1.5 − 1000 = −14.81
4 + 4�100 = 4.04. Entonces la
La variación porcentual de la demanda a partir de 𝐷(4) = 1000 es aproximadamente.
19
Notas de clase
Cálculo derivadas
Raúl Urbán R
14.81
− 1000 ∙ 100 = −1.481
Esta relación inversa entre precio y cantidad es siempre negativa, por eso generalmente
se toma el valor de la elasticidad en valor absoluto. Por conveniencia, la formula general
de cálculo se multiplica por -1.
La elasticidad de la demanda 𝜂𝑝 al precio 𝑝 para la función de demanda 𝑞 = 𝑓(𝑝) es,
𝜂𝑝 =
−𝑝𝐷′(𝑝)
𝐷(𝑝)
La elasticidad de la demanda se expresa como 𝜂𝑝 y dependiendo de la capacidad de
respuesta a los cambios en los precios, la elasticidad de la demanda puede ser elástica o
inelástica.
En general, la demanda de un bien es inelástica (o relativamente inelástica) cuando el
coeficiente de elasticidad es menor que uno en valor absoluto. Esto indica que las
variaciones en el precio tienen un efecto relativamente pequeño en la cantidad
demandada del bien. Un producto clásicamente inelástico es la tortilla. Las variaciones en
el precio de la tortilla tienen una variación prácticamente nula en la cantidad demandada.
Es decir, es insensible o inelástica al precio.
Cuando la Elasticidad Precio de la Demanda es mayor que uno, se dice que la demanda de
este bien es elástica (o relativamente elástica). Una disminución a la baja en el precio de
los automóviles genera un impacto en la cantidad demandada. Por ejemplo, si el precio de
−3%
los autos aumentan en un 6% y la demanda disminuye en un 3% se obtiene 6% = −0.5.
La elasticidad es igual a 0.5, en valor absoluto. Nótese que este es un número sin
dimensiones.
Ejemplo. Suponga que la función de demanda para un cierto metal es 𝑞 = 100 − 2𝑝
donde 𝑝 es el precio por tonelada y 𝑞 es la cantidad demandada en millones de toneladas.
a)
b)
c)
d)
¿Qué cantidad se venderá a $30 por kilogramo?
Determinar la elasticidad 𝜂𝑝
Determine e interprete la elasticidad de la demanda a 𝑝 = 30
Determine e interprete a 𝑝 = 20
a) 𝑓(𝑝) = 100 − 2𝑝 cuando 𝑝 = 30 𝑓(30) = 100 − 2(30) = 40
La demanda es de 40 millones de Kg de metal.
b) 𝜂𝑝 = −𝑝
𝑓 ′ (𝑝)
𝑓(𝑝)
−2𝑝
2𝑝
= − 100−2𝑝 = 100−2𝑝
20
Notas de clase
Cálculo derivadas
2(30)
60
Raúl Urbán R
3
c) 𝜂𝑝 = 100−2(30) = 40 = 2
Cuando el precio es $30 /Kg, un incremento en el precio de 1%, la demanda cae en
1.5% o mejor, la cantidad de metal cae en 3�2 veces la tasa relativa de incremento
en el precio. La demanda es elástica.
2(20)
40
2
d) 𝜂𝑝 = 100−2(20) = 60 = 3
Cuando el precio es de $20 pesos por Kg, un pequeño incremento en el precio
resultará en una caída en la tasa relativa de la demanda de 2�3 veces la tasa
relativa de incremento en el precio. Es decir, si el precio se incrementa en 1% la
cantidad demandada se incrementará en 2�3 de 1%. La demanda será inelástica.
Son varios los factores que influyen en el mayor o menor grado de elasticidad de un bien.
Por ejemplo, el tipo de necesidades. Si es un producto de primera necesidad, su demanda
será más bien inelástica; en cambio sí es un producto de lujo su demanda será más
elástica, dado que un aumento en el precio alejará a algunos consumidores. También
afecta la elasticidad la existencia de bienes sustitutos. Si hay buenos sustitutos, la
demanda del bien será elástica y se podrá reemplazar su consumo. Al revés, si hay pocos
sustitutos, la demanda tenderá a ser inelástica. Un ejemplo clásico de bienes sustitutos y
elasticidad es la mantequilla y la margarina. Si la mantequilla sube mucho de precio se
podrá reemplazar por la margarina.
Otro factor que afecta es el período de tiempo. La elasticidad tiende a aumentar en el
largo plazo porque los consumidores tienen más tiempo para ajustar su comportamiento y
adaptarse a los bienes sustitutos. Frente a otros productos, como por ejemplo la gasolina,
el consumidor puede reaccionar rápidamente a un alza y disminuir su consumo, pero con
el tiempo se adaptará al nuevo precio y volverá a consumir a los mismos niveles,
mostrando así una demanda inelástica.
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