modelos mixed logit - CEC

MODELOS MIXED LOGIT: USO Y POTENCIALIDADES
Marcela A. Munizaga y Ricardo Alvarez Daziano
Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile. Casilla 228-3, Santiago, Chile.
[email protected], [email protected]
http://tamarugo.cec.uchile.cl/~dicidet/
RESUMEN
El uso de modelos de la "familia" Logit ha sido ampliamente difundido en la modelación de demanda por
transporte, comprendiendo los más diversos usos, tales como modelos de partición modal, asignación, e incluso
distribución y generación de viajes. Sin embargo, los modelos más utilizados, Logit Multinomial y Jerárquico,
poseen supuestos simplificatorios que no siempre son sostenibles, y un modelo que permita mayor flexibilidad
parece ser deseable. En este último tiempo, y considerando los avances tecnológicos en materia de computación
y métodos numéricos, se ha cuestionado el uso de modelos simplificados, dada la cada vez mayor posibilidad de
usar modelos más poderosos y complejos que se adapten a un mayor número de situaciones; inquietudes
canalizadas hasta ahora hacia el modelo Probit.
En este artículo se estudia teórica y empíricamente el uso y las potencialidades de una nueva alternativa de
modelación: el modelo Mixed Logit. Se discute de qué manera los modelos Mixed Logit son capaces de modelar
condiciones en las cuales se violan los supuestos de independencia y homoscedasticidad. A través de un
análisis de la matriz de covarianza, se distingue aquellas estructuras válidas de error que el modelo soporta.
También se discute aspectos asociados a la estimación del modelo y su factibilidad real de aplicación. Se realiza
comparaciones entre especificaciones Mixed Logit y otros modelos tales como el Probit y el Logit Jerárquico.
Se concluye que efectivamente se trata de una herramienta poderosa, que podría llegar a constituirse en un
modelo de uso común. No obstante, al igual que en el caso de cualquier modelo flexible, es preciso justificar
adecuadamente la implementación de cada caso particular en base a consideraciones teóricas.
PALABRAS CLAVE
Modelación, Elecciones Discretas, Mixed Logit
1. INTRODUCCIÓN
Los modelos llamados "Mixed Logit" han irrumpido con mucha fuerza en el ambiente teórico de la
modelación de demanda por transporte en los últimos años (Ben Akiva y Bolduc, 1996;
Brownstone y Train, 1999). Se trata de una alternativa de modelación que podría situarse entre el
modelo Logit y el Probit. Sus promotores claman que tiene la flexibilidad del Probit, manteniendo
parte de la simpleza del Logit. En este trabajo se analiza su formulación en detalle, con una óptica de
imparcialidad, verificando la consecuencia de sus hipótesis.
En el contexto de la modelación de elecciones discretas en demanda de transporte, el enfoque más
utilizado en la actualidad es el basado en la teoría de la utilidad aleatoria (McFadden, 1974). Según
esta teoría, cada individuo n tiene una función de utilidad U in asociada a cada una de las alternativas
i, escogiendo aquella alternativa que maximiza su utilidad. Esta función, propia del individuo, puede
dividirse en una componente sistemática Vin , que recoge el efecto de las variables explicativas
(atributos medibles u observables por parte del modelador), y una componente aleatoria εin que
intenta recoger todos aquellos efectos no incluidos en la componente sistemática de la función de
utilidad; por ejemplo, la incapacidad del modelador para observar todas las variables que influyen en
la decisión, errores de medición, diferencias entre individuos, percepciones incorrectas entre
atributos y la aleatoriedad inherente a la naturaleza humana. De los supuestos que se asumen sobre
la distribución del error estocástico se derivan los distintos modelos planteados en la literatura
(Ortúzar y Willumsen, 1994).
Los modelos más utilizados en la actualidad son el Logit Multinomial (McFadden, 1974), que se
deriva a partir de asumir que los términos de error εin sonn iid Gumbel, y el Logit Jerárquico
(Williams, 1977), que se deriva como una extensión del anterior, en que se considera que existe una
componente de error adicional, que distribuye logística, y que representa correlación en un grupo de
alternativas. En síntesis, se trata de estructuras de covarianza (del término de error) muy simples, lo
cual es un supuesto simplificatorio que no siempre es sostenible, pero que permite tener modelos
simples de entender y usar.
El modelo Probit (Daganzo, 1979), en cambio, se deriva a partir de suponer errores aleatorios
distribuidos Normal multivariada, aceptando en teoría cualquier estructura de error (matriz de
covarianza) que los datos permitan estimar, lo cual implica un grado de dificultad de estimación
considerable. Este modelo, que aparece como tan deseable desde ese punto de vista, ha sido
incorporado tímidamente a la práctica, pese a existir desde hace algún tiempo herramientas
poderosas que permiten su estimación mediante simulación (ver Munizaga y Ortúzar, 1997).
Es en este contexto que en los últimos años aparecen los modelos Mixed Logit (también conocidos
como modelos de Error Compuesto o Probit con Kernel Logit), como una alternativa intermedia
que se sitúa en algún punto entre el Logit y el Probit. La idea central de este tipo de modelos es
considerar más de una componente aleatoria; de esta forma, además de una componente Gumbel
iid, con lo cual el modelo básico es Logit, se agrega otras componentes que permiten modelar
correlación y/o heteroscedasticidad. Esto permite ganar generalidad, pero la estimación deja de ser
simple como en el caso del modelo Logit, y al igual que en el caso del Probit, se requiere simulación.
Ya se ha dicho que la distribución del término de error estocástico juega un rol fundamental en los
modelos de elección discreta, y que los más utilizados suponen una distribución Gumbel
homoscedástica e independiente. Si el punto es incorporar modelos que permitan estructuras de
error más generales, es importante analizar qué estructuras sería deseable poder estimar y por qué.
Estamos hablando de la posible existencia de correlación y heteroscedasticidad (distinta varianza) en
los términos de error. En ambos casos, éstas se pueden dar entre alternativas y entre observaciones.
El caso de correlación entre alternativas (presente por ejemplo cuando el usuario percibe algunas
alternativas como más similares entre sí que otras) es asimilado bajo ciertas restricciones por el
modelo Logit Jerárquico, que permite una matriz de covarianza diagonal por bloques y
homoscedástica (ver Munizaga y Ortúzar, 1999 a; b). Sin embargo, muchos casos de correlación y
heteroscedasticidad, fácilmente asociables a situaciones prácticas, no se pueden tratar
adecuadamente con los modelos tradicionales (Munizaga et al, 1997). Por ello, resulta interesante
encontrar un modelo más general que se adapte a situaciones más sofisticadas.
2. EL MODELO MIXED LOGIT
2.1 Formulación
La idea de los modelos Mixed Logit como tal, no es una idea nueva, modelos de estas
características han sido propuestos con anterioridad. Por ejemplo se puede citar los trabajos de
Cardell y Dunbar (1980) y Boyd y Melman (1980), en que un modelo equivalente a los actuales
Mixed Logit es descrito con el nombre de modelo Hedónico. Su reciente reaparición con otro
nombre y renovados bríos puede deberse a que los avances tecnológicos en computación y
métodos numéricos permiten ahora su estimación en menor tiempo. Recientemente este tipo de
modelos ha sido utilizado para modelar diversas situaciones (Train, 1999; Brownstone y Train,
1999) y una aplicación directa al transporte se reporta en Algers et al. (1998), donde se estima
valores subjetivos del tiempo a partir de un modelo de este tipo.
En términos más específicos que lo ya adelantado, los modelos Mixed Logit nacen de suponer una
función de utilidad Uin conformada por una componente determinística Vin , una componente
aleatoria εin independiente e idénticamente distribuida, y uno o más términos aleatorios adicionales.
Estos términos de error adicionales pueden ser agrupados en un término aditivo ηin , que puede ser
función de datos observados de la alternativa, y que permite recoger la presencia de correlación y
heteroscedasticidad. Así, la función de utilidad queda definida como:
U in = Vin + ηin + εin
(1)
Se puede ver que se trata de una forma distinta de justificar un determinado modelo. La forma usual
es hacer supuestos directamente sobre la distribución del término de error εin , como por ejemplo en
el caso del Probit. En cambio, en un modelo Mixed Logit lo que se hace es construir una estructura
de error diferente agregando términos que sean fuente de correlación y/o heteroscedasticidad.
Se asume que ε es iid Gumbel, mientras que η sigue una función de distribución cualquiera definida
por una densidad f (η / θ*) , donde θ * son parámetros fijos que la describen (e.g. media y
varianza)1. Como ε es iid Gumbel, la probabilidad condicional en η de que el individuo n escoja la
alternativa i corresponde al modelo Logit Multinomial (o Logit Simple):
Pn (i / η) = Lin (η) =
eV in+ηin
V +η
∑ e jn jn
(2)
j
Por lo tanto, la probabilidad de elegir la alternativa corresponde a la integral de la probabilidad
condicional sobre todos los posibles valores de η, lo que depende de los parámetros de su
distribución, esto es:
Pin = ∫ Lin (η) f (η / θ*) dη
(3)
Como caso particular, puede suponerse una función de utilidad con la siguiente especificación2:
U in = β t x in + µint z in + εin
123 123
Vin
(4)
η in
En esta expresión se asume que la componente determinística de la utilidad es lineal en los
parámetros β que ponderan a los atributos x in. Por otro lado, se asume que η depende de ciertos
parámetros (µin) y datos observados relacionados con la alternativa i (zin), relación que también se
supone lineal en parámetros. Un supuesto adicional es que el término µ es propio del individuo, sin
variar entre alternativas. Es decir:
ηin = µnt z in
(5)
Esta especificación es la que ha sido utilizada en la mayor parte de los estudios previos (Ben Akiva y
Bolduc, 1996; Brownstone y Train, 1999).
1
En términos prácticos, la distribución de los términos aleatorios generalmente se asume normal, existiendo
diversos argumentos detrás de este supuesto. Otra distribución que ha sido utilizada es la log-normal,
especialmente en aquellos casos en que se quiere restringir el signo de un determinado parámetro.
β es un vector de parámetros de dimensión L (hay L variables explicativas en la componente determinística de
la función de utilidad); xin es un vector de atributos de dimensión L; µ in es un vector aleatorio de dimensión K
2
cuyas componentes tienen media cero y con matriz de covarianza Ω ;
con la alternativa i y el individuo n, y tiene dimensión K; finalmente,
el error estocástico.
z in es un vector de atributos asociados
εin es una variable aleatoria que representa
2.2 Matriz de Covarianza
Dada una función de utilidad como en (4) y considerando además el supuesto usual (5), sea z n la
matriz de dimensión K × J que contiene a los vectores z in para cada alternativa perteneciente al
conjunto de elección del individuo ( i ∈ C n ) y εn un vector aleatorio iid Gumbel con matriz de
covarianza Σ ε y que contiene a los elementos εin . Si se asume que cada término de µn tiene una
función densidad con media cero y varianza σ k2 y que el vector en su conjunto tiene una matriz de
covarianza Ω , entonces la matriz de covarianza del modelo (Σ ), puede escribirse como:
Σ = z nt ⋅ Ω ⋅ z n + Σ ε = znt ⋅ Ω ⋅ z n + σ ε2 I
(6)
Es claro que la dimensión de la matriz de covarianza obtenida está bien definida3 y de esta expresión
general se concluye que el modelo es capaz de modelar correlación y heteroscedasticidad entre
alternativas. En efecto, si obtenemos la covarianza entre dos alternativas se observa que para
i , j ∈ Cn con i ≠ j :
K
cov(U in ,U jn ) = ∑ z kin zkjnσ k2
(7)
k =1
que en general será distinto de cero si es que para al menos algún k, σ 2k > 0 y z kin , z kjn ≠ 0 . En tal
caso, se asegura la presencia de correlación entre las alternativas i y j.
En cuanto a la varianza,
K
2
var(Uin ) = ∑ zkin
σ k2 +
k =1
π
6 λ2
(8)
luego si var(U in ) ≠ var(U jn ) se asegura heteroscedasticidad entre dichas alternativas.
2.3 Propiedades del Mixed Logit
Probablemente la propiedad más interesante de este modelo es que bajo ciertas condiciones de
regularidad cualquier modelo de utilidad aleatoria tiene probabilidades de elección que pueden ser
aproximadas tan cerca como se desee por un Mixed Logit (McFadden y Train, 1997). Es así como,
un modelo Mixed Logit con parámetros aleatorios distribuidos normal, puede aproximar a un
J × J . En efecto, como Ω es de dimensión K × K (con K el número
t
de componentes aleatorias), y z n tiene dimensión K × J , entonces z n ⋅ Ω ⋅ z n es una matriz de dimensión
J × J ; luego al sumarse esta última con la matriz Σ ε , que es de dimensión J × J , se obtiene finalmente que
3
La matriz de covarianza es de dimensión
dim Σ = dim (z nt ⋅ Ω ⋅ z n + Σ ε ) = J × J .
modelo Probit.
Además el modelo Mixed Logit, al permitir modelar la presencia de correlación entre alternativas, es
capaz de levantar el supuesto de independencia de alternativas irrelevantes propio del modelo Logit
Multinomial. En otras palabras, los patrones de sustitución entre alternativas son flexibles. En efecto,
dada una probabilidad tipo Mixed Logit (9), se puede demostrar que la razón entre probabilidades
de dos alternativas depende de todo el conjunto de alternativas disponibles.


 exp( β t x + µ t z ) 
in
n in
Pin = ∫ L ∫  J
 f ( µ1 n ) ⋅ K ⋅ f (µ Kn ) dµ1n K dµ Kn
t
t
−∞
−∞
exp( β xln + µ n z ln ) 
 ∑

l =1
∞
∞
(9)
2.4 Estimación
La probabilidad de elección de un modelo Mixed Logit como la expresada en la ecuación (3), no
posee una expresión matemática cerrada a diferencia del Logit Multinomial o del Jerárquico. Es más,
como la integral no puede resolverse analíticamente es preciso utilizar simulación. Sin embargo, se
puede aprovechar el hecho de que la probabilidad condicional (2) tiene una expresión de forma logit
multinomial.
Entonces, si se considera R valores de η obtenidos de su función densidad f (η/ θ*) , para cada
una de las repeticiones es posible calcular
eV in +η in
r
Pn (i / η ) = Lin (η ) =
r
r
∑e
V jn +η r jn
,
(10)
j
con r=1, ..., R. Luego es posible obtener la probabilidad promedio
1 R
P~(i ) = ∑ Lin (ηr ) ,
R r =1
(11)
y con ella construir la función de verosimilitud simulada
J
SL = ∑∑ y qi ln P~(i )
q
(12)
i =1
Bajo condiciones de regularidad, el estimador máximo verosímil simulado es consistente y
asintóticamente normal. A pesar de que (12) es un estimador insesgado de la probabilidad, su
logaritmo natural resulta ser sesgado (Brownstone y Train, 1999); sin embargo, cuando el número
de repeticiones crece más rápido que la raíz cuadrada del número de observaciones, el estimador
resulta asintóticamente equivalente al estimador máximo verosímil (Hajivassilou y Ruud, 1994).
2.5 Mixed Logit y Logit Jerárquico
Un tema que ha sido fuente de confusión es que la especificación Mixed Logit podría hacerse
equivalente a un modelo Logit Jerárquico. Este último modelo fue concebido para tratar correlación
entre alternativas, agrupando alternativas similares en nidos dentro de los cuales se cumple el
supuesto de errores iid (Williams, 1977). La jerarquización en nidos implica una determinada
estructura de la matriz de covarianza, pues si dos o más alternativas están agrupadas en un nido, los
elementos no diagonales correspondientes serán distintos de cero.
Brownstone y Train (1999) presentan un modelo Mixed Logit que ellos llaman “análogo” a un Logit
Jerárquico. Este modelo particular se construye agrupando las alternativas en nidos; luego, en la
función de utilidad se agrega una variable muda para cada nido que indica si la alternativa pertenece
o no a éste. A cada una de estas variables mudas se le asocia un parámetro aleatorio común entre
las alternativas. De esta manera se logra un modelo con una estructura de correlación tal que en
aquellas alternativas que pertenecen a un mismo nido aparece un término fuera de la diagonal en la
matriz de covarianza. Los autores concluyen que de esta forma se logra un patrón de correlación
igual al de un Logit Jerárquico. Sin embargo, lo correcto es comparar la matriz de covarianza de
ambos modelos.
A modo de ejemplo, supongamos un caso en el cual existen tres alternativas disponibles para un
determinado individuo. Estas alternativas son auto, bus y metro. Supongamos además que las
alternativas bus y metro se encuentran correlacionadas, por ser percibidas como más similares entre
sí que el auto. Este caso, que corresponde a un Logit Jerárquico con un nido de transporte público
podría modelarse como un Mixed Logit con la siguiente especificación de acuerdo a Brownstone y
Train (1999):
t
U auto = C auto + β auto
x auto + ε auto
t
U bus = β bus
x bus + µ + ε bus
(13)
t
U metro = C metro + β metro
x metro + µ + ε metro
donde µ es un término aleatorio con media cero y varianza σ µ2 , y ε⋅ es un término iid Gumbel con
varianza σε2 . Es fácil ver que la matriz de covarianza de este modelo es:
σ ε2
0

2
Σ =  0 σ µ + σ ε2
0
σ µ2




σ µ2 + σ ε2 
0
σ µ2
(14)
Esta matriz posee términos fuera de la diagonal indicando correlación entre las alternativas bus y
metro, sin embargo, es heteroscedástica. Por lo tanto este modelo no es en realidad equivalente al
Logit Jerárquico en términos de estructura de errores, ya que este último es homoscedástico por
definición.
La correlación entre las alternativas bus y metro está dada por:
corr(U bus ,U metro) = ρ bus, metro =
σ µ2
σ +σ
2
µ
2
ε
=
1
σ2
1 + ε2
σµ
(15)
Luego,
•
Si σ µ2 << σε2 , entonces ρbus , metro → 0
•
Si σ 2µ = σε2 , entonces ρbus, metro = 0,5
•
Si σ µ2 >> σε2 , entonces ρbus ,metro → 1
De los casos presentados, es claro que mientras mayor sea la desviación de µ en relación a la del
error iid Gumbel, mayor será la correlación obtenida. Este es el resultado esperado, pues justamente
µ es el término común que impone la presencia de correlación entre las alternativas bus y metro.
2.6 Mixed Logit y Probit
Tal como se mencionara con anterioridad, el modelo Mixed Logit se construye a partir de asumir
términos de error adicionales que pueden implicar una matriz de covarianza heteroscedástica y con
correlación. Contrariamente, en el caso del Probit se asume un solo término de error aleatorio con
matriz de covarianza general. En efecto, un modelo Probit multinomial se deriva del hecho de
t
suponer que dada una función de utilidad U in = Vin + εin , el vector εn = (ε1n , K, ε Jn ) distribuye
Normal multivariada con matriz de covarianza Σ general.
El modelo Probit tampoco posee una expresión cerrada de la probabilidad de elección, por lo que
se vuelve necesario utilizar algún tipo de aproximación o simulación. El método de simulación más
utilizado es el de máxima verosimilitud simulada a partir del estimador de Geweke-HajivassilouKeane (Börsch-Supan y Hajivassilou, 1993), el cual reduce recursivamente la dimensión de la
integral hasta llegar a un problema equivalente en el cual se requiere de repeticiones de una normal
unidimensional truncada. Las probabilidades simuladas de esta forma resultan insesgadas, continuas
y diferenciables. Las simulaciones para los modelos Probit y Mixed Logit tienen distinta dimensión:
J-1 para el caso del Probit4 y K para el caso del Mixed Logit. De esta forma, si K<J-1 se obtiene
una ventaja por sobre el Probit pues se está ganando por el lado de trabajar con una dimensión
menor. Esto se da cuando el número de parámetros aleatorios incorporados al modelo Mixed Logit
es menor que el número de alternativas.
4
Debido a que se basan en las diferencias
alternativas restantes.
ε j − εi , con i la alternativa escogida y j cada una de las J-1
3. RESULTADOS EMPÍRICOS PRELIMINARES
Como una forma de validar el análisis teórico previo, se realizó un experimento de simulación
siguiendo la metodología de Williams y Ortúzar (1982). Los valores medios y desviaciones de los
atributos considerados, fueron obtenidos de una base real construida para la ciudad de Santiago de
Chile. Para la estimación de los modelos Logit Multinomial y Logit Jerárquico se utilizó un código
propio programado en Gauss (Aptech Systems, 1994) basado en la rutina de máxima verosimilitud.
Para la estimación del modelo Mixed Logit se utilizó un código flexible en Gauss preparado por
Kenneth Train, disponible en su página web5.
El caso considerado corresponde a una elección modal con tres alternativas (por ejemplo auto, bus
y metro) y dos variables explicativas (costo y tiempo de viaje). El proceso de elección discreta fue
simulado a partir de valores dados para las variables independientes y los parámetros de gusto.
Se trabajó con un error Gumbel iid y, adicionalmente, con un término distribuido Normal presente en
las alternativas bus y metro. Con este tipo de especificación, análoga a la presentada en (13), se
pretende modelar el caso en que las alternativas bus y metro son consideradas como similares entre
sí. Es decir, el modelo adecuado para modelar la elección simulada correspondería a un Mixed
Logit. Interesa estudiar cómo se adaptan los modelos Logit Multinomial y Jerárquico a esta elección.
Como resultado empírico preliminar se presenta un caso con 4000 observaciones, en el cual se
consideró σ µ = σε , lo cual implica un coeficiente de correlación de 0,5 entre las alternativas bus y
metro, y σ µ = 3 ⋅ σε , lo que implica un coeficiente de correlación de 0,75.
La estimación del Mixed Logit se realizó con 200 repeticiones usando números aleatorios basados
en series de Halton (Train, 1999). Los valores reportados corresponden a corridas realizadas en un
computador personal con un procesador Pentium II de 450 MHz y 64 MB de memoria RAM. El
tiempo total de estimación del ML es de alrededor de 15 minutos; mientras que para los modelos
MNL y LJ éste resulta ser menor a un minuto.
Los resultados de las estimaciones del modelo Logit Multinomial (MNL), del Mixed Logit (ML) y
del Logit Jerárquico (LJ) se presentan en la Tabla 1, en que también se entregan los valores de
referencia. La tabla presenta las estimaciones de los parámetros para cada modelo, el estadígrafo t
de significancia estadística y el test t sobre el valor de referencia del parámetro para el modelo ML.
Para el LJ, el valor de referencia de φ es calculado a partir de la correlación simulada.
5
http://elsa.berkeley.edu/~train/software.html
Tabla 1: 4000 Observaciones Correlacionadas .
ρbus , metro = 0 ,5
Referencia
-0,4
MNL
-0,1907
(-2,464)
LJ
-0,3237
(-3,728)
-0,2
-0,2059
(-3,195)
-0,2204
(-4,282)
-0,005
-0,0051
(-6,192)
-0,005
(-6,180)
-0,08
-0,0767
(-15,163)
-0,0628
(-7,347)
Cte Auto
Cte Metro
Costo
Tiempo
φ
σµ
Iteraciones
L-verosim.
0,7071
0,7453
(6,393)
1,2825498
-
4
-1,02960
4
-1,02910
ρbus ,metro = 0 , 75
ML
-0,4460
(-2,553)
[-0,2634]
-0,2939
(-3,675)
[-0,6407]
-0,0067
(-4,434)
[-0,2634]
-0,0841
(-13,145)
[-1,1743]
-
Referencia
-0,4
MNL
0,2012
(2,624)
LJ
-0,1732
(-2,203)
-0,2
0,0543
(0,810)
-0,0622
(-1,847)
-0,005
-0,0014
(-1,806)
-0,0013
(-1,784)
-0,08
-0,0586
(-11,536)
-0,0328
(-4,151)
1,3975
(2,6381)
[0,2170]
4
-1,02919
3,8476495
0,5
0,4281
(3,889)
6
-1,03894
5
-1,03673
ML
-0,4084
(-1,578)
[-0,0324]
-0,1454
(-1,732)
[0,6507]
-0,0031
(-1,634)
[0,9964]
-0,0767
(-11,266)
[0,4778]
-
3,3202
(3,132)
[-0,4975]
4
-1,03678
El modelo ML permite recuperar adecuadamente los valores de todos los parámetros de gusto con
que fue generada la base de datos, lo cual es mostrado por el estadígrafo t, que es menor que 1,96
en todos los casos. Los modelos MNL y LJ arrojan estimadores de estos parámetros que son
distintos de los valores verdaderos, especialmente en el caso de mayor correlación. Cabe hacer
notar que se observa una relación entre los parámetros estimados por el modelo LJ y los del ML. Al
dividir ambos parámetros en cada base de datos, se encuentra un valor relativamente constante, que
es mayor en el caso de mayor correlación. Esto se explica porque la presencia de
heteroscedasticidad afecta al factor de escala que multiplica los parámetros. En el caso del modelo
ML la componente común del error (µ) es fijada en un cierto valor en cada repetición de la
simulación, por lo tanto, el factor de escala característico de la distribución Gumbel es el
π
correspondiente al término aleatorio ε solamente ( λ =
) . En cambio, en el caso del modelo
6σε
LJ, aún abstrayéndose de la heteroscedasticidad, es la suma de ambas componentes de error la que
se supone distribuida Gumbel, y en ese caso el factor de escala es menor; si todas las alternativas
tuvieran la misma varianza del término de error, el factor de escala del LJ correspondería a
π
λ=
.
2
6(σε + σ µ2 )
En la Tabla 2 se muestra los cambios de política considerados para efectuar un análisis de respuesta
de los modelos (Williams y Ortúzar, 1982); es posible ver que las políticas definidas corresponden a
cambios fuertes en los valores de los atributos, aumentando al doble o disminuyendo a la mitad
algunos valores en cada caso.
Tabla 2: Cambios de Política (porcentaje de cambio en tiempo y costo).
cauto
P1
P2
P3
P4
P5
P6
cbus
-50%
cmetro
tauto
tbus
tmetro
+100%
+100%
-50%
-40%
-50%
+100%
-50%
+100%
En la Tabla 3 se reporta el índice Chi cuadrado de Gunn y Bates (1982) como medida de error para
cada una de las políticas definidas; este se calcula como χ 2 = ∑ ( N i − N i ) , donde N̂ i es el número
ˆ
2
Ni
i
de individuos que elige la alternativa i según la predicción hecha por el modelo, y N i es el número
de individuos que elige la alternativa i de acuerdo al modelo de simulación.
Tabla 3: Índice Chi-cuadrado
ρbus ,metro = 0 ,5
P1
P2
P3
P4
P5
P6
MNL
9,151
22,885
1,287
8,562
6,403
70,712
ML
10,131
5,369
1,949
7,402
7,455
27,747
ρbus, metro = 0 ,75
LJ
9,814
3,692
1,797
7,255
7,248
28,167
MNL
1,250
82,383
33,536
45,094
1,008
119,496
ML
2,339
7,009
2,542
5,764
1,375
5,653
LJ
2,441
6,450
2,473
5,476
1,331
5,948
Las mayores diferencias entre las predicciones de los modelos y los valores simulados (realidad
virtual) se encuentran para el MNL en el caso de mayor correlación. Las predicciones del LJ y ML
son muy parecidas, siendo ambas a su vez muy parecidas a lo que se ha llamado “realidad virtual”.
Llama la atención el hecho de que las predicciones del ML y las del LJ sean muy parecidas, a pesar
de las diferencias de formulación de los modelos que ya hemos señalado (homoheteroscedasticidad). De hecho, se puede decir que al menos en este caso un grado una
heteroscedasticidad como la descrita aparece como un problema menor para el modelo LJ.
4. CONCLUSIONES
El modelo Mixed Logit aparece como una alternativa de modelación razonable en términos
prácticos, al permitir su estimación y uso con un computador personal en un tiempo moderado,
permitiendo modelar correlación y heteroscedasticidad. Su estructura está determinada por la forma
del término que se agrega a la función de utilidad y puede llegar a ser tan general como se desee. En
este contexto, puede constituirse en un "competidor" del modelo Probit, que hasta hace poco era
considerado como el único o principal camino de flexibilizar la modelación de elecciones discretas
considerando correlación y heteroscedasticidad, y también un competidor para los modelos Logit
Multinomial y Logit Jerárquico, que son los más usados hasta ahora.
La diferencia central entre el Probit (que es su principal competidor) y el Mixed Logit está en la
forma en que en cada uno se especifica su estructura. En el caso del Probit, se hace directamente en
la matriz de covarianza, y en el caso del Mixed Logit se hace directamente en la función de utilidad,
y la matriz de covarianza aparece como un resultado. En términos de estimación el modelo Mixed
Logit parece requerir un tiempo de procesamiento un poco menor que el Probit.
Se ha mostrado aquí que el modelo presentado por Brownstone y Train (1999) como un caso
particular de Mixed Logit que es equivalente al Logit Jerárquico, salvo por la diferencia en las
distribuciones en ambos casos, en realidad no lo es en términos teóricos, ya que el modelo
propuesto es heteroscedástico. Sin embargo, evidencia empírica reducida y preliminar parece
indicar que efectivamente las predicciones son similares al aplicar ambos modelos a una misma base
de datos.
Desde nuestro punto de vista, el modelo ML es una alternativa de modelación interesante y útil, y lo
importante sigue siendo tener claras las propiedades del modelo que se está utilizando y justificar
adecuadamente, en base a consideraciones teóricas, una cierta estructura de modelo previo a la
estimación de los parámetros.
Agradecimientos
Este estudio fue parcialmente financiado por Fondecyt.
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