Método de sustitución

Método de sustitución
x +y +z =4
ecuación 1
x ! 2y ! z = 1
ecuación 2
2x ! y ! 2z = !1
ecuación 3
El método de sustitución es muy parecido al de igualación, sólo que en éste despejamos
también una de las variables en una de las ecuaciones. Observa el procedimiento.
1. Despejamos x de la ecuación 1:
x +y +z =4
ecuación 1
x =4!y !z
2.Sustituimos el despeje obtenido en la ecuación 2:
x ! 2y ! z = 1
ecuación 2
(4 ! y ! z ) ! 2y ! z = 1
1
3.Simplificamos la expresión y obtenemos la ecuación 4:
(4 ! y ! z ) ! 2y ! z = 1
4 ! y ! z ! 2y ! z = 1
3 = 3y + 2z
Ecuación 4:
3y + 2z = 3
4. Sustituimos de nuevo el despeje x de la ecuación 1 pero ahora en la ecuación 3:
x =4!y !z
2x ! y ! 2z = !1
(
Despeje x de la ecuación 1
ecuación 3
2x ! y ! 2z = !1
)
2 4 ! y ! z ! y ! 2z = !1
8 ! 2y ! 2z ! y ! 2z = !1
8 + 1 = 2y + y + 2z + 2z
9 = 3y + 4z
La ecuación obtenida será nuestra ecuación 5:
3y + 4z = 9
ecuación 5
2
Con las ecuaciones 4 y 5 tenemos un sistema 2x2 que podemos resolver por el método que
queramos.
3y + 2z = 3
3y + 4z = 9
ecuación 4
ecuación 5
Seguiremos utilizando el método de sustitución para resolverlo.
5. Despejamos y de la ecuación 4:
3y + 2z = 3
ecuación 4
3y = 3 ! 2z
3 ! 2z
y=
3
3
6. Sustituimos el despeje de y en la ecuación 5:
y=
3 ! 2z
3
3y + 4z = 9
Despeje y de la ecuación 4
ecuación 5
3y + 4z = 9
" 3 ! 2z %
3$
' + 4z = 9
# 3 &
3 ! 2z + 4z = 9
2z = 9 ! 3
2z = 6
6
z=
2
z=3
Al hacer la sustitución hemos encontrado el valor de
z=3
4
7. Para encontrar el valor de y sustituimos el valor de z en la ecuación 4 o en la ecuación 5.
En este caso lo haremos en la ecuación 4.
z=3
3y + 2z = 3
ecuación 4
3y + 2z = 3
()
3y + 2 3 = 3
3y + 6 = 3
3y = 3 ! 6
3y = !3
!3
y=
3
y = !1
5
8. Teniendo los valores de y y z podemos encontrar el valor de x al sustituirlo en cualquiera
de las 3 ecuaciones originales.
En este caso utilizaremos la ecuación 3:
z=3
y = !1
2x ! y ! 2z = !1
ecuación 3
2x ! y ! 2z = !1
( ) ()
2x ! !1 ! 2 3 = !1
2x + 1! 6 = !1
2x = !1! 1+ 6
2x = 4
4
x=
2
x =2
Por lo tanto, tenemos que los valores del sistema son:
x =2
y = !1
z=3
6