Tema B - Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas
S
Universidad de los Andes
NE
Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema B) 1
CI
O
Instrucciones:
Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escriba
con bolı́grafo negro. No desprenda las hojas. Durante el examen no puede
hablar con compañeros, no puede usar calculadora, celular, apuntes,
cuadernos, textos ni aparatos electrónicos. Escriba todo su análisis si desea
recibir el máximo puntaje. Buena suerte. Tiempo: 120 minutos.
Points
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Total:
50
Score
LU
Question
Profesor
01
Mauricio Velasco Grigori
06
Mikhail Malakhaltsev
11
Paul Bressler
16
Marco Boggi
21
Andrés Angel
26
Mainak Poddar
27
Luz Echeverry
COMP
Andrés Angel
Mi sección
SO
Chequee su sección en la tabla−→
Sección
Nombre:
Código:
Firma:
Bogotá, Marzo 7, 2015
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la
integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”
Código:
Pág. 2 de 13
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su res-
S
1. (10 points)
Tema B
puesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Solución:
CI
O
Respuesta:
NE
Una vela tiene la forma del gráfico de la función f (x, y) = y 2 + 2xy, (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1].
El viento tiene velocidad constante y la dirección ~v = h1, 2, −1i. La presión del viento es
máxima en los puntos donde el viento es perpendicular a la vela. Encontrar los puntos
donde la presión es máxima.
Solution: El viente hace la presión más fuerte donde está ortogonal a la vela. El vector
~ = h2y, 2x + 2y, −1i.
normal al plano tangente de la vela en el punto (x, y, f (x, y)) es N
~ son paralelos si y solamente si existe λ tal que N
~ = λ~v , es decir
Los vectores ~v y N
2y = λ, 2x + 2y = 2λ, −1 = −λ.
LU
1
1
e x = y el punto (1/2, 1/2) pertenece al dominio [0, 1] × [0, 1].
2
2
Por lo tanto el punto tiene las coordenadas x = 1/2, y = 1/2 y z = f (1/2, 1/2) = 3/4.
Sigue que λ = 1, y =
(1/2, 1/2, 3/4)
Respuesta:
SO
Pautas de corrección:
Reglas generales:
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales:
Vector normal a la superficie en (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Plantear que los vectores son paralelos ssi uno se obtiene del otro multiplicando por
alguna constante λ o por plantear que el producto cruz entre los dos vectores normales
debe ser cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Solucion correcta de la ecuacion de paralelismo planteada anteriormente . . . . . . . . . . . . 3
Problema 1 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema B
Pág. 3 de 13
SO
LU
CI
O
NE
S
Prob. 1 cont.. . .
Código:
Pág. 4 de 13
rrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
S
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es inco-
NE
El superficio de un lago es la region R = {(x, y) | 40 − x2 − 2y 2 > 0}. La profundidad del
lago está dada por la función
f (x, y) = 40 − x2 − 2y 2 .
Considere el punto P en el superficie del lago donde la profundidad es máximo e otro punto
Q(2, 1).
(a) (5 points) ¿A qué tasa cambia la profundidad en el punto Q en la dirección del punto
P?
Respuesta: (a)
(b)
LU
Solución:
CI
O
(b) (5 points) ¿En qué dirección la profundidad crece lo más rapido posible en el punto
Q? ¿Cuál es la máxima tasa de cambio de la profundidad en el punto Q?
Solution:
Claramente, el punto P tiene coordinados (0, 0).
La tasa de cambia de la profundidad en el punto Q en la direction del punto P es igual
−→
a la derivada directional D~u f (Q), donde ~u es el vector unitario parallelo al vector QP y
−→
−→
la derivada directional está dada por D~u f (Q) = ∇f (Q) • ~u. Tenemos QP = h−2, −1i,
SO
2.
Tema B
e
1 −→
1
~u = −→ QP = √ h−2, −1i
5
kQP k
−→
−→
∇f = h−2x, −4yi, ∇f (Q) = h−4, −4i.
Por lo tanto,
1
1
12
D~u f (Q) = h−4, −4i • √ h−2, −1i = √ (8 + 4) = √
5
5
5
−→
La profundidad crece lo más rapido en la dirección de ∇f (Q) = h−4, −4i; la tasa de
√
−→
cambia máxima de la profundiad es igual a k∇f (Q)k = 4 2.
Problema 2 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema B
12
√
5
Respuesta: (a)
(b)
Pautas de corrección:
Reglas generales:
NE
√
h−4, −4i; 4 2
Pág. 5 de 13
S
Prob. 2 cont.. . .
CI
O
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales:
(a)
el vector de Q a P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
normalizar el vector de Q a P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
cálculo del vector gradiente de la función f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LU
el valor del gradiente de f en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
cálculo de la derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
por no saber el punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
por confundir y usar una función de 3 variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-3
(b)
por la dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
SO
por la tasa de cambio máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
por signo incorrecto de la dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
por confundir y usar una función de 3 variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -3
Problema 2 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema B
Pág. 6 de 13
SO
LU
CI
O
NE
S
Prob. 2 cont.. . .
Código:
Pág. 7 de 13
rrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
S
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es inco-
NE
Sea S la superficie de nivel de la función F (x, y, z) = y 2 sen(2x − 5z) − x cos(6yz) que pasa
por el punto P = (0, 1, 0).
Respuesta: (b)
(c)
Solución:
CI
O
(a) (3 points) Demuestre que existe una funcion diferenciable f (x, y) definida en una vecindad del punto (0, 1) cuya grafica coincide con la superficie S acerca del punto P .
(b) (3 points) Calcule fx (0, 1) y fy (0, 1).
(c) (4 points) Hallar un vector normal y la recta tangente a la curva de nivel dada por la
ecuación f (x, y) = 0 en el punto (0, 1).
Solution: Calculamos las derivadas parciales de F :
LU
Fx = 2y 2 cos(2x − 5z) − cos(6yz)
Fy = 2y sen(2x − 5z) + x sen(6yz) · 6z
Fz = −5y 2 cos(2x − 5z) + x sen(6xz) · 6x
En el punto P = (0, 1, 0) tenemos
Fx (0, 1, 0) = 1, Fy (0, 1, 0) = 0, Fz (0, 1, 0) = −5.
(a) Ya que Fz (0, 1, 0) 6= 0, el Teorema de Función Implicita implique que existe una
funcion diferenciable f (x, y) definida en una vecindad del punto (0, 1) cuya gráfica
coincide con la superficie S cerca del punto P . En otras paralbras, f satisface la
ecuación
F (x, y, f (x, y)) = F (0, 1, 0)
SO
3.
Tema B
para (x, y) en una vecindad del punto (0, 1).
(b) Diferenciando F (x, y, f (x, y)) = F (0, 1, 0) con respecto a x e y encontramos
Fx (x, y, f (x, y)) + Fz (x, y, f (x, y)) · fx (x, y) = 0
Fy (x, y, f (x, y)) + Fz (x, y, f (x, y)) · fy (x, y) = 0
En el punto P = (0, 1, 0) tenemos
1 − 5 · fx (0, 1) = 0
−5 · fy (0, 1) = 0
Entonces, fx (1, 0) = 51 , fy (1, 0) = 0.
Problema 3 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 3 cont.. . .
Código:
Tema B
Pág. 8 de 13
NE
S
−→
(c) El vector ∇f (0, 1) = h 15 , 0i es normal a la recta tangente a la curva f (x, y) = 0
en el punto (0, 1). Una equación de la recta tangente a la curva f (x, y) = 0 en el
punto (0, 1) es x = 0.
fx (1, 0) = 15 , fy (1, 0) = 0
Respuesta: (b)
x=0
(c)
Reglas generales:
CI
O
Pautas de corrección:
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales:
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
LU
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales:
(a)
Por el calculo de la derivada parcial
Por evaluar
∂F
(x, y, z)
∂z
∂F
(x, y, z)
∂z
.....................................1
en el punto dado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
SO
Por explicar que por las verificaciones anteriores el Teorema de la Función Implı́cita
puede aplicarse y asegura la existencia de la función f (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
(b)
Si hay un razonamiento claro que utiliza derivación implı́cita de la ecuación F (x, y, z) =
0 (que no olvida las derivadas parciales de f que vienen de regla de la cadena y mantiene
0 al lado derecho) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
por el calculo correcto de ambas derivadas parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
(c)
por decir que el gradiente ∇f (x, y) en (x0 , y0 ) es perpendicular a la curva de nivel de f
que pasa por (x0 , y0 ) Y por indicar que vector numérico es éste gradiente. . . . . . . . . . . 2
Ecuación correcta de la recta TANGENTE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Problema 3 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema B
Pág. 9 de 13
SO
LU
CI
O
NE
S
Prob. 3 cont.. . .
Código:
Pág. 10 de 13
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su res-
S
4. (10 points)
Tema B
puesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Respuesta:
CI
O
Solución:
NE
Hallar la curvatura de la curva ~r(t) = ht, t3 , t2 + 25i en los puntos donde la recta tangente
a la curva es paralela al plano 3x + y + 3z = 15.
Solution: La direción de la recta tangente a la curva ~r(t) en el punto correspondiente al
valor t = a está dada por el vector ~r 0 (a) = h1, 3a2 , 2ai. El vector h1, 3a2 , 2ai es paralelo al
plano 3x+y+z3 = 15 si y solamente si h1, 3a2 , 2ai•h3, 1, 3i = 3+6a+3a2 = 3(a+1)2 = 0.
Por lo tanto, la recta tangente a la curva es paralela al plano 3x + y + 3z = 15 si y
solamente si t = −1.
LU
Tenemos: ~r 0 (t) = h1, 3t2 , 2ti, ~r 00 (t) = h0, 6t, 2i. Entonces, ~r 0 (−1)√= h1, 3, −2i, ~r 00 (−1)
√ =
h0, −6, 2i, ~r 0 (−1) × ~r 00 (−1) = h6, 6, 2i, k~r 0 (−1) × ~r 00 (−1)k = 2 19, k~r 0 (−1)k = 14,
√
19
κ(−1) = √
7 14
SO
Respuesta:
√
√19
7 14
Pautas de corrección:
Reglas generales:
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales:
por calcular el punto donde la recta es paralela al plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
por calcular la curvatura en el punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
en ambos: por planteamiento y el resto en desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Problema 4 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema B
Pág. 11 de 13
SO
LU
CI
O
NE
S
Prob. 4 cont.. . .
Código:
Pág. 12 de 13
No hay créditos parciales. Las cinco partes no están relacionadas.
S
Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), según sea el caso.
NE
(a) (2 points) La curbatura de una parabola tiene un valor maximo. . . . . . . . . . . . . . . .
(b) (2 points) Existe una función diferenciable f (x, y) cuyas derivadas parciales son iguales a sen(x2 y) y cos(xy 2 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(c) (2 points) Si f (t) es una función diferenciable, la función G(x, y) = f (x + y) + f (x − y)
es una solución de la ecuación diferencial Gxx = Gyy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(d) (2 points) La curva ~r(t) = h1 + t, t2 , t3 − t2 i, 0 6 t 6 1 es mas corta que la curva
CI
O
~s(t) = h1 + t, t, 0i, 0 6 t 6 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d
(e) (2 points) Sean ~u(t) y ~v (t) funciones diferenciables. Si (~u(t) • ~v (t)) = 0, entonces
dt
~u(t) y ~v (t) son perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solution:
LU
(a) La curbatura de una parabola tiene la valor maximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
(b) Existe una función diferenciable f (x, y) cuyas derivadas parciales son iguales a
sen(x2 y) y cos(xy 2 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F
(c) Si f (t) es una fonción diferenciable, la fonción G(x, y) = f (x + y) + f (x − y) es
una solución de la ecuación diferencial Gxx = Gyy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
(d) La curva ~r(t) = h1 + t, t2 , t3 − t2 i, 0 6 t 6 1 es mas corta que la curva ~s(t) =
SO
5.
Tema B
h1 + t, t, 0i, 0 6 t 6 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F
d
(~u(t) • ~v (t)) = 0, entonces ~u(t) y
dt
~v (t) son perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F
(e) Sean ~u(t) y ~v (t) funciones diferenciables. Si
Problema 5 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema B
Pág. 13 de 13
SO
LU
CI
O
NE
S
Prob. 5 cont.. . .