Teoremas de la Probabilidad

UNIDAD II
PRINCIPIOS ESTADÍSTICOS APLICADOS
EN CONTROL DE CALIDAD
Por: Prof. Gastón A. Pérez U.
MATERIAL COMPLEMENTARIO
TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD
(1) INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
Definición: En términos de calidad es la posibilidad de que algo ocurra.

Probabilidad es sinónimo de posibilidad, azar, tendencia y propensión.

Ejemplo:
En una moneda, la posibilidad de que salga cara es de: 1 / 2 (una entre 2 posibles).
½+½=1
En un dado, la posibilidad de que salga 6 es de 1 / 6 posibles.



La probabilidad se expresa en forma decimal.
Un Evento es un conjunto de resultados.
En el ejemplo de los dados, sacar un 2 o un 4 (llamémosle evento A) en una tirada, tiene dos
resultados y la cantidad total de resultados es de 6, por lo que la probabilidad es de = 0.333

Podemos concluir que la probabilidad de que suceda el evento es:
P(A) =
Dónde:
P(A) = probabilidad de que suceda un evento A, con tres cifras decimales.
NA = # de resultados exitosos del evento A.
N = # total de resultados posibles.
Ej. Se selecciona una parte al azar de un recipiente con 50 partes que se sabe contiene 10 partes
no conformes. La parte seleccionada se regresa al recipiente, se mezcla con las demás y se
mantiene un registro de cantidad de intentos y cantidad de partes no conformes que salen.
Después de 90 intentos, se anotaron 16 partes no conformes. ¿Cuál es la probabilidad, de
acuerdo con los resultados conocidos y con los resultados experimentales?
Resultados conocidos (reales):
P(A) = NA/N = 10/50 = 0.200
Resultados experimentales (aleatorios):
P(A) = 16/90 = 0.178
Guía de estudio para la unidad II de Control de Calidad elaborado por el Prof. Gastón Pérez


La definición anterior es útil para casos finitos, o sea, cuando se conocen N(A) y N.
Para casos infinitos (N=∞), la definición siempre conducirá a una probabilidad igual a cero. En
consecuencia, en el caso infinito, la probabilidad de que ocurra un evento es proporcional a la
distribución de la población.
(2) TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD
Los siguientes teoremas son útiles para la solución de problemas:
TEOREMA 1:
 La probabilidad se expresa como un número entre 1.00 y 0.0, donde un valor de 1.00 es una certeza
de que suceda un evento, y un valor de 0 es una certeza de que no sucederá.
TEOREMA 2:
 Si P(A) es la probabilidad de que suceda un evento A, entonces la probabilidad de que no suceda A es
P(A), es = 1.000 - P(A).
 Ej.- Si la probabilidad de encontrar un error en una declaración de impuestos es 0.04 ¿Cuál es la
probabilidad de encontrar una sin errores o conforme?
P(A) = 1 – 0.04 = 0.960
TEOREMA 3: (“Ley Aditiva de la probabilidad”)
 Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que suceda el evento A o el
evento B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas.
 Mutuamente excluyente quiere decir que la ocurrencia de un evento hace que la del otro evento
sea imposible.
P(A o B) = P(A) + P(B)

 Siempre que se verbaliza una “o”, la operación matemática suele ser adicción o sustracción.
 El teorema 3 puede aplicarse para varios eventos.
Ej.- Si las 261 partes que aparecen en la siguiente tabla están dentro de una caja ¿Cuál es la
probabilidad de seleccionar al azar una parte producida por el proveedor X o por el proveedor Z?
Inspección por Proveedor
Proveedor
# conformes
# no conformes
Total
X
Y
Z
Total:
50
125
75
250
3
6
2
11
53
131
77
261
P(X o Z) = P(X) + P(Z) =
= 0.498
 ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una parte no conforme del proveedor X o una parte conforme
del proveedor Z?
P(ncX o coZ)= P(ncX) + P(coZ) =
= 0.299
Guía de estudio para la unidad II de Control de Calidad elaborado por el Prof. Gastón Pérez
TEOREMA 4:
 Si el evento A y el evento B no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que suceda el evento
A o el evento B, o ambos es:
P(A o B o ambos) = P(A) + P(B) – P(ambos)


Los eventos que no son mutuamente excluyentes son los que tienen algunos resultados en común.
Ej.- De la tabla anterior ¿Cuál es la probabilidad de que una parte seleccionada al azar sea del
proveedor X, o que sea una parte no conforme?
P(X o nc o ambos) = P(X) + P(nc) – P(X y nc) =
= 0.234
Diagrama de Venn: Se utiliza para describir un evento no mutuamente excluyente.
TEOREMA 5:
 La suma de las probabilidades de los eventos en una situación es igual a 1.000.
P(A) + P(B) + … + P(N) = 1.000

Ej.- Un inspector sanitario examina 3 productos de un subgrupo para determinar si son aceptables. De
acuerdo con su experiencia, la probabilidad de no encontrar unidades no conformes en la muestra de 3
es 0.990, la de encontrar 1 unidad no conforme en la muestra de 3 es 0.006, y la probabilidad de
encontrar 2 unidades no conformes en la muestra de 3 es 0.003 ¿Cuál es la probabilidad de encontrar
3 unidades no conformes en la muestra de 3?
No
Conformes
0
1
2
3
Probabilidad
0.990
.0006
0.003
?
P(0)+P(1)+P(2)+P(3) = 1
P(3) = 1 – [P(0)+P(1)+P(2)]
P(3) = 1 - (0.990+0.006+0.003) = 0.001
P(3) = 0.001 es la probabilidad de encontrar 3 unidades no conformes.
TEOREMA 6: (Ley Multiplicativa de Probabilidad)
 Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ocurran A y B es igual al producto de sus
probabilidades respectivas.
 Siempre que se verbaliza “y”, la operación matemática es la multiplicación.
P(A y B) = P(A) x P(B)
Guía de estudio para la unidad II de Control de Calidad elaborado por el Prof. Gastón Pérez

Ej.- De la tabla del ejercicio sobre los proveedores: ¿Cuál es la probabilidad que 2 partes
seleccionadas al azar sean del proveedor X y del proveedor Y? Suponer que se regresa la
primera parte a la caja, antes de seleccionar la segunda (esto se llama con sustitución o con
remplazo).
P(X y Y) = P(X) x P(Y) =
= 0.102
TEOREMA 7:
 Si A y B son eventos dependientes, la probabilidad de que ocurran A y B es igual al producto de la
probabilidad de A por la probabilidad de que si sucede A suceda también B.
P(A y B) = P(A) x P(B/A)
P(B/A) = Probabilidad del evento B, siempre que haya ocurrido el evento A.
Ej.- Del ejercicio anterior, suponer que no se haya regresado la primera parte a la caja, antes de
seleccionar la segunda parte ¿Cuál es la probabilidad?
P( X y Y) = P(X) x P(Y/X) =
= 0.102
 ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar ambas partes del proveedor Z?
P(Z y Z) = P(Z) x P(Z/Z) =
= 0.086