Práctica 3 - Universidad de Buenos Aires

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
C  A́
Mı́  Eı́ M́
S C 2007
P́ 3
1. a) Mostrar que los siguientes conjuntos están acotados
(
{n ∈ N / 3 6 n < 59}
,
)
1 .
x∈R
x2 + 1
b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente
R>0
,
{m2 / m ∈ N}
c) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados inferiormente
Z
,
{x−1 / x < 0}
,
{−x2 + 2x + 1 / x ∈ R}
2. Sean A y B dos conjuntos no vacı́os de números reales tales que
a6b
para todo a ∈ A , b ∈ B. Mostrar que
a) A está acotado superiormente y B acotado inferiormente
b) sup A 6 inf B
3. Sean A , B subconjuntos no vacı́os de números reales. Probar
a) A ⊂ B y B acotado superiormente
=⇒
sup A 6 sup B
b) A ⊂ B y B acotado inferiormente
=⇒
inf B 6 inf A
c) A ⊂ B y A no acotado =⇒
B no acotado.
4. Sea A un subconjunto no vacı́o de números reales. Comprobar que
a) si α < sup A, entonces existe a ∈ A tal que α < a
b) si β > inf A, entonces existe b ∈ A tal que b < β.
5. Sea A ⊂ R no vacı́o y acotado superiormente. Probar que existe una sucesión (an ) ⊂ A tal
que
an −→ sup A
Enunciar y probar un enunciado análogo para el caso de un subconjunto no vacı́o acotado
inferiormente.
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FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007
6. Calcular supremo e ı́nfimo —si existen— y probar que lo son, de los siguientes conjuntos
a) {n ∈ N / 20 < n 6 35}
b) (a, b]
(
)
(−1)n .
c)
n∈N
n
( .
)
1
d)
n ∈ N , n > 30
n
(
)
2n .
e)
n∈N
7n − 3
f) {x ∈ Q / 2x3 − 1 < 15}
g) {x ∈ R − Q / x2 + x < 2}
7. P E
Dado a ∈ R se define
[a] = max{m ∈ Z / m 6 a}
Probar
a) [a] 6 a < [a] + 1
b) [a] = a
⇐⇒
a∈Z
c) Sea m ∈ Z. Entonces
m6a<m+1
=⇒
[a] = m
d) Calcular: [3, 9] , [20, 18742] , [0, 39] , [−1] , [−1, 3] , [−π]
8. Probar que si y − x > 1, entonces existe m ∈ Z tal que y 6 m 6 x.
9. Sea x ∈ R. Mostrar que existen sucesiones de números racionales (rn ) y (rn0 ) tales que
rn < x < rn0
y
rn0 − rn −→ 0
para todo n ∈ N. ¿Se puede determinar si estas sucesiones son convergentes?
¿Vale un resultado similar para sucesiones de números irracionales?
10. Estudiar la monotomı́a y acotación de las siguientes sucesiones
n
n+1
,
n!
nn
,
1
1
1
+
+ ··· +
n+1 n+2
2n
11. Probar que las siguientes sucesiones son convergentes y calcular su lı́mite


√
√






a
=
2
 1
a1 = 3
,


√
√




an+1 = 2 + an
an+1 = 3an
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12. Calcular los lı́mites de las sucesiones siguientes
!n
1
−1 −
n
a)
n
(2n)!
b) 2n
n
!n2
1
c) 1 −
n
2n + 1
d)
2n + 3
2 +4
! nn+1
2n2 + n − 1
e)
3n2 − 6n + 1
f)
! n+1
2n
ln(en − 1)
n
g) n
sen n
n
h) n. ln(1 − e−n )
 n2 
 5 
i) ln  n 
n
j)
ln(n + 1)
ln n
2
5n
nn
√ √1
l) ( n) n
k)
2n − 2
m)
2n
!n2 −ln n
ln(n + 1)
n)
ln n
!n
n sen(n!)
n2 + 1
sen(n! + 5n − 2) + cos n
p)
√
n + 5n − 4
!sen n
√
n−2
q) √
n−5
o)
r) ln( 1n ) + n
13. Sean (ank ) , (an j ) y (ani ) tres subsucesiones de la sucesión (an ). Si se sabe que las tres convergen al mismo lı́mite `, ¿se puede asegurar que an −→ `? ¿y a otro valor?
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14. De la sucesión (an ) se sabe que las subsucesiones
a3k −→ `
,
a3k+1 −→ `
,
a3k+2 −→ `
Probar que an −→ `. Explicar por qué este resultado no se contrapone con las respuestas del
ejercicio anterior.
15. Hallar todas las subsucesiones convergentes de las siguientes sucesiones
a) sen(n π2 )
b) cos(n π4 )
c) cos(nπ) + sen(n π4 )
d)
n
sen2 (n π4 )
n+1
n
e) (−1) n
16. Hallar el lı́mite superior e inferior de
a) 1 , 3 , −1 , 1 , 3 , −1 , 1 , 3 , −1 , . . .
b) (1 − n1 ) sen(n π2 )
c) (−1)n (2 + 3n )
d) (−1)n n
e) sen(n π2 )
f) cos(n π4 )
g) cos(nπ) + sen(n π4 )
h)
n
sen2 (n π4 )
n+1
(−1)n
i) n
j) 1 +
n
n+1
cos(n π2 )
k) n2 sen(n π2 )
l)
n
3
− [ n3 ]
m) (sn ) definida por




s1 = 0




s2n−1

s2n =



2




s
= 1+s
2n+1
2
2n
17. Encontrar una sucesión (xn ) ⊂ R que satisfaga lim inf xn = −3 , lim sup xn = 5 y tal que
xn > 5 para infinitos valores de n ∈ N.
18. ¿Es cierto que
a) si lim sup xn = 2, entonces existe n0 ∈ N tal que xn > 1, 99 para todo n > n0 ?
b) si lim sup xn = b, entonces existe n0 ∈ N tal que xn 6 b para todo n > n0 ?
c) si lim sup xn = b, entonces existe n0 ∈ N tal que xn 6 b +
1
2
para todo n > n0 ?
Enunciar y responder situaciones análogas para el lı́mite inferior.
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A́: D  R
Cota superior de un conjunto
Sea A ⊂ R no vacı́o. Decimos que el número α es una cota superior de A si
x6α
para todo x ∈ A
Cota inferior de un conjunto
Sea A ⊂ R no vacı́o. Decimos que el número β es una cota inferior de A si
x>β
para todo x ∈ A
Conjunto acotado
Sea A ⊂ R no vacı́o. Decimos que
ã A está acotado superiormente si tiene una cota superior
ã A está acotado inferiormente si tiene una cota inferior
ã A está acotado si está acotado superior e inferiormente.
Supremo — Máximo
Sea A ⊂ R no vacı́o y acotado superiormente. Un número α se llama supremo de A si
ã α es cota superior de A
ã si a es cota superior de A, entonces a > α.
Se lo denota: sup A. En caso que α ∈ A, se lo llama máximo y se lo denota max A.
Infimo — Mı́nimo
Sea A ⊂ R no vacı́o y acotado inferiormente. Un número β se llama ı́nfimo de A si
ã β es cota inferior de A
ã si b es cota inferior de A, entonces b 6 β.
Se lo denota: inf A. En caso que β ∈ A, se lo llama mı́nimo y se lo denota min A.
Axioma de Completitud
Todo subconjunto de los números reales que sea no vacı́o y acotado superiormente tiene
supremo.
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Proposición
Sea A un conjunto acotado superiormente y no vacı́o. Un número real α es el supremo de A
si y sólo si
ã α es cota superior de A
ã para cada ε > 0 existe x ∈ A tal que α − ε < x.
Proposición
Sea A un subconjunto de números reales acotado inferiormente, entonces existe inf A.
Proposición (Principio de Arquı́medes)
Dado x ∈ R existe n ∈ N tal que n > x.
Corolario
Sean a y b números reales tales que 0 < a < b. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Proposición (Densidad de Q)
Dados dos números reales a < b, existe q ∈ Q tal que
a<q<b
Proposición (Densidad de R − Q)
Dados dos números reales a < b, existe x ∈ R − Q tal que
a<x<b
Proposición (Parte Entera)
Dado x ∈ R, existe un único m ∈ Z tal que
m6 x<m+1
Nota: este número m se llama parte entera de x y se lo denota [x].
Proposición (Raı́z n−ésima)
Sea a > 0 y n ∈ N. Entonces, existe un único número positivo b tal que
bn = a
Nota: este número b se llama raı́z n−ésima de a y se lo denota
√n
a.
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Sucesiones monótonas
Sea (an ) una sucesión de números reales. Se dice que
ã (an ) es creciente si
an 6 an+1
para todo n ∈ N.
ã (an ) es estrictamente creciente si
an < an+1
para todo n ∈ N.
ã (an ) es decreciente si
an > an+1
para todo n ∈ N.
ã (an ) es estrictamente decreciente si
an > an+1
para todo n ∈ N.
Proposición
Toda sucesión monótona creciente (decreciente) y acotada superiormente (resp. inferiormente) tiene lı́mite y su valor es el supremo (resp. ı́nfimo) de {an / n ∈ N}.
Proposición (Definición de e)
!
1 n
es estrictamente creciente y acotada superiormente. A su lı́mite se
La sucesión 1 +
n
lo denota
e = lı́m (1 + 1n )n
Proposición
Sea (an ) una sucesión de números reales. Entonces, (an ) es de Cauchy si y sólo si es convergente.
Punto lı́mite
Sea A ⊂ R un conjunto no vacı́o. Decimos que un número c es un punto lı́mite de A si existe
una sucesión (an ) ⊂ A tal que an −→ c.
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Lı́mite superior
Sea (an ) una sucesión y L = {puntos lı́mite de (an )}.
ã si L está acotado superiormente, se llama lı́mite superior de (an ) a
lim sup an = sup L
ã si L no está acotado superiormente, se llama lı́mite superior de (an ) a
lim sup an = +∞
Lı́mite inferior
Sea (an ) una sucesión y L = {puntos lı́mite de (an )}.
ã si L está acotado inferiormente, se llama lı́mite inferior de (an ) a
lim inf an = inf L
ã si L no está acotado inferiormente, se llama lı́mite inferior de (an ) a
lim inf an = −∞