Universidad de Buenos Aires Facultad de Ingenier´ıa Tesis de

Universidad de Buenos Aires Facultad de Ingenierı́a Tesis de Grado de Ingenierı́a Electrónica Módulos Transmisor Y Receptor Para Comunicaciones Con Múltiples Portadoras Autor Guido Hugo Jajamovich Directora Dra. Cecilia G. Galarza Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina Mayo de 2006 Agradecimientos A mis viejos y a mi hermano que desde hace aproximadamente dos años me recuerdan que soy el único de los cuatro aún carente de tı́tulo universitario. A la Doctora, Ingeniera y Amiga Cecilia G. Galarza. A mis amigos. Índice general 1. Introducción 2 1.1. Aportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Organización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Sistemas De Comunicación Digitales 6 2.1. Modelo de comunicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2. Transmisión y recepción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1. Representación de señales a través de vectores . . . . . . . . . . . . 8 2.2.2. Señal modulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.3. Datos demodulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.4. Detección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.5. Ejemplo: BPSK (bit phase shift keying) . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. Comunicación A Través De Un Canal Real 18 3.1. Modelo del canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.1. Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.2. Fuentes de ruido aditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Interferencia entre sı́mbolos (ISI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.1. Criterio de Nyquist para cero ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3. Esquema de ecualización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ÍNDICE GENERAL 4. Modulación Con Múltiples Portadoras (MCM) ii 23 4.1. Transmisión multitonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2. Partición del canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2.1. Transmisión utilizando autofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3. Partición del canal en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3.1. Vector Coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.4. Modulación multitonal discreta (DMT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5. Bancos De Filtros En Sistemas MCM 34 5.1. Modulación utilizando bancos de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2. Bancos de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3. Banco de filtros DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.4. Banco de filtros modulados por coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.5. Bancos de filtros con reconstrucción casi perfecta . . . . . . . . . . . . . . 47 6. Ecualización En Sistemas MCM 50 6.1. Ecualización en sistemas con múltiples portadoras . . . . . . . . . . . . . . 50 6.2. Algoritmos de ecualización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.2.1. Ecualización exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2.2. Ecualización con simetrı́a perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.2.3. Ecualización con simetrı́a aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2.4. Aplicación como ecualizador en el dominio temporal (TEQ) para DMT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7. Estudio Experimental 59 7.1. Análisis comparativo de los métodos de ecualización . . . . . . . . . . . . . 60 7.1.1. Descripción del canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.1.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.2. Análisis comparativo de las modulaciones con múltiples portadoras . . . . 61 7.2.1. Análisis frente a dos canales de transmisión . . . . . . . . . . . . . 63 ÍNDICE GENERAL 8. Conclusiones 1 68 8.1. Futuras lı́neas de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.1.1. Efecto de los bancos de reconstrucción casi perfecta . . . . . . . . . 69 8.1.2. Bancos de filtros con interpolación mayor al número de canales . . . 70 8.1.3. Algoritmos de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 A. Operaciones De Cambio De Tasas 72 A.0.4. Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A.0.5. Decimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A.0.6. Identidades de Noble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 B. La Representación Polifásica 76 B.0.7. La transformación polifásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 B.0.8. La representación polifásica y los bancos de filtros . . . . . . . . . . 78 C. Resolución de la Minimización con Restricciones 80 Capı́tulo 1 Introducción La modulación con múltiples portadoras es una técnica de modulación atractiva en medios de transmisión dificultosos. Se usa en sistemas de comunicación como VDSL, en donde se necesita obtener altas tasas de transferencia, y por lo tanto se debe aprovechar eficientemente el ancho de banda disponible. Para ello se divide el ancho de banda en pequeñas bandas independientes, llamadas subcanales. El tipo de modulación con múltiples portadoras utilizado en la actualidad es la modulación multitonal discreta o DMT (Discrete MultiTone) ası́ como su versión inalámbrica conocida como OFDM (orthogonal frequency division multiplexing). Este esquema de modulación, que utiliza la transformada discreta de Fourier (DFT), tiene una implementación muy eficiente. Sin embargo, es interesante analizar esquemas de modulación alternativos basados en otras transformaciones. El tema de estudio es de gran interés en la actualidad dentro del campo de las telecomunicaciones por su relevancia en el campo práctico y por presentar la oportunidad de aplicar la teorı́a de bancos de filtros y wavelets en un nuevo ejemplo de ingenierı́a. En particular, el grupo del Prof. J. Cioffi (1998), estudió reemplazar la DFT por un banco de filtros de duración finita de modulación por coseno. Otro grupo interesado en el tema es el de los profesores Proakis, Tzannes, y Seller (1994). Ellos muestran como DMT tanto como las modulaciones discretas multitonales basadas en transformadas wavelets (DWMT) se basan en la teorı́a de bancos de filtros de M bandas. Concluyen que las modulaciones que utilizan la DFT son un caso particular de modulación a través de wavelets. Asimismo, muestran que la transformada DWMT tiene un grado más de libertad que hace que sea potencialmente superior a la modulación DMT. Capı́tulo 1. Introducción 3 Una de las caracterı́sticas débiles en DMT es el comportamiento frente a perturbaciones de banda angosta. Interferencias de banda angosta son las señales de RF tales como señales de radioaficionados o de AM. En estos casos, la energı́a de la interferencia es comparable con la señal de información y por ende, la interferencia resulta muy significativa. El objetivo de esta tesis es analizar y diseñar sistemas de modulación con múltiples portadoras. En particular, se buscaron transformaciones con una mayor resolución en frecuencia de forma tal de lograr una menor degradación del sistema debido a perturbaciones de ruido de banda angosta. Para esto se recurrió a la teorı́a de bancos de filtros y se analizó la dualidad entre el diseño de estos y el diseño de un sistema de modulación. Se encontró que los bancos de filtros modulados por coseno permiten una implementación eficiente de los módulos modulador y demodulador y logran una buena selectividad en la frecuencia. En este trabajo se fue un paso más allá de estos bancos de filtros tradicionales y se propuso la implementación de bancos de reconstrucción casi perfecta para el sistema de comunicación. Estas transformaciones relajan las condiciones de reconstrucción perfecta para lograr alguna caracterı́stica adicional en las portadoras. En este caso se utilizó ese grado de libertad para acentuar aún más la resolución en frecuencia. El primer problema analizado se focaliza en las perturbaciones de banda angosta, asumiendo un canal ideal. Luego se enfrenta el problema de un canal dispersivo donde la ganancia y la fase dependen de la frecuencia. Uno de los principales inconvenientes para transmitir información a través de este tipo de canales es la interferencia entre sı́mbolos transmitidos (ISI). El principio que motiva el uso de la modulación con múltiples portadoras (MCM) es que cada subcanal por separado transmita información a través de un canal ideal, de módulo constante y fase lineal. Luego, la interferencia entre sı́mbolos dentro de cada subcanal es despreciable. Sin embargo, al tener cada subcanal una atenuación y un retraso propio, se produce una deformación de la señal transmitida. Esto resulta en una superposición entre los distintos subcanales. Este efecto es llamado interferencia entre canales (ICI) y es inherente a los sistemas MCM. Tanto el ISI como el ICI se ven intensificados cuando la tasa de transmisión aumenta. Para eliminar ambos efectos se utiliza un bloque llamado ecualizador en la etapa de entrada del receptor. Un posible ecualizador podrı́a invertir el canal, pero esta solución tiene el conocido problema de amplificación del ruido en altas frecuencias. Un paliativo para este problema es diseñar un ecualizador que minimice el error cuadrático medio 1.1. Aportes 4 entre la señal transmitida y la señal ecualizada (ecualizador MMSE). Éste no adolece de los problemas de amplificación del ruido pero su performance es pobre. Para evitar estos problemas se recurre a ecualizadores no lineales, pero éstos tienen una mayor complejidad algorı́tmica, como el caso del ecualizador con realimentación de las decisiones o DFE. En este trabajo se proponen criterios de diseño de ecualizadores que aprovechan el conocimiento sobre las portadoras utilizadas y la resolución en frecuencia lograda. 1.1. Aportes En esta tesis se analizan y diseñan sistemas de comunicación con múltiples portadoras. En primer lugar, se muestra como utilizar bancos de filtros para implementar los módulos transmisor y receptor. Como ejemplo de aplicación, se muestra que DMT es un caso particular de esta arquitectura. El análisis de performance que comprara distintas alternativas para los bancos de filtros se realiza frente a un canal dispersivo, con perturbaciones de ruido blanco y de banda angosta. Por otro lado se proponen y analizan criterios de diseño de ecualizadores para estos sistemas con múltiples portadoras. Como resultado interesante, se muestra que uno de los diseños propuestos admite su uso como un clásico ecualizador en el dominio del tiempo (TEQ) para DMT. Finalmente, uno de los aportes más importantes de esta tesis se encuentra en la propuesta de una modulación de múltiples portadoras particular. En ese sentido, se propone utilizar bancos de reconstrucción casi perfecta para lograr portadoras con una mayor resolución en las frecuencias. Se logra de este modo sistemas de transmisión con gran definición en el dominio frecuencial y por ende, altamente robustos frente a perturbaciones no estacionarias de banda angosta. 1.2. Organización La organización de la tesis es la siguiente: En el capı́tulo 2 se presentan los conceptos básicos de los sistemas de comunicación digitales que serán utilizados a lo largo de todo el trabajo; en el capı́tulo 3 se ilustran los problemas aparejados al enfrentar un canal real; en el capı́tulo 4 se presenta la teorı́a general de la modulación con múltiples portadoras; en 1.2. Organización 5 el capı́tulo 5 se muestra el uso de Bancos de Filtros como moduladores y demoduladores en un sistemas MCM; en el capı́tulo 6 se proponen diferentes diseños posibles para un ecualizador de un sistema MCM; en el capı́tulo 7 se analizan los resultados experimentales y finalmente en el capı́tulo 8 se enuncian las conclusiones. Capı́tulo 2 Sistemas De Comunicación Digitales Este capı́tulo tiene como objetivo introducir los conceptos básicos de las señales y los sistemas en el marco de las comunicaciones digitales. Las herramientas e ideas desarrolladas en este capı́tulo serán utilizadas a lo largo de toda la tesis. Se presenta aquı́ el modelo de comunicación utilizado, haciendo una descripción detalla de los bloques modulador y demodulador. Los esquemas hallados para estos dos bloques serán el fundamento de donde partan los capı́tulos 4 y 5. 2.1. Modelo de comunicación El objetivo de un sistema de comunicación es el intercambio de información entre dos o más partes. En este trabajo se considera el modelo mostrado en la Fig.(2.1). Fuente Transmisor Canal Receptor Destino Figura 2.1: Modelo de Comunicación La fuente de información genera datos a ser transmitidos, pero estos datos no son enviados directamente. La fuente es discreta y cada T segundos elige un mensaje proveniente de un conjunto finito de mensajes. Dicho mensaje es, en general, una secuencia de bits que deben ser convertidos en una señal eléctrica de tiempo continuo compatible con el canal fı́sico. El transmisor es el encargado de la tarea de conversión y la realiza mediante 2.2. Transmisión y recepción 7 los pasos de codificación y modulación. La codificación transforma unı́vocamente cada mensaje (generalmente bits) en un vector de números reales llamado sı́mbolo. Luego, el modulador toma esta salida para convertirla en una señal analógica que será transmitida a través del canal. El canal es el medio fı́sico de transmisión. Puede ser desde un cable telefónico hasta un sistema complejo que conecta la fuente y el destino. Éste distorsiona la señal tanto en su fase como en su amplitud. Además, a lo largo de la transmisión, se suma una señal indeseada aleatoria conocida como ruido. La salida ruidosa del canal no coincidirá con la entrada y sólo se pueden relacionar mediante funciones de probabilidad. El receptor toma esta señal ruidosa y la utiliza para decidir qué mensaje fue enviado con su bloque de detección. Este bloque es diseñado de modo tal de minimizar la probabilidad de una decisión errónea sobre cada mensaje enviado o sobre una secuencia de mensajes. El mensaje obtenido es luego pasado al destino del mensaje, completándose ası́ la comunicación del primer mensaje. El objetivo es poder llevar a cabo este procedimiento sucesivas veces. 2.2. Transmisión y recepción La Fig.(2.2) muestra el modelo de comunicación de forma detallada. Fuente Codificador Modulador Canal Destino Detector Demodulador Figura 2.2: Modelo de Comunicación Ampliado El codificador convierte cada grupo sucesivo de b bits del flujo de unos y ceros provenientes de la fuente en uno de 2b vectores xi posibles, llamado sı́mbolo. El sı́mbolo es 2.2. Transmisión y recepción 8 un vector N dimensional, donde N es la dimensión del espacio de las señales moduladas. Al i-ésimo grupo de b bits se lo conoce como mensaje mi . El mapeo entre mensajes y sı́mbolos es unı́voco. Un mensaje mi con i ∈ {0, ..., M − 1} es enviado cada T segundos, donde T es el perı́odo de sı́mbolo. Luego la tasa de sı́mbolo es 1/T . Si se transmite uno de M mensajes posibles, la cantidad de información transmitida es de b = log2 M bits, por lo que la tasa de información es R = b/T bits por segundo. El modulador convierte el sı́mbolo en una señal continua del tiempo que luego se inyecta al canal. Nuevamente, hay una relación uno a uno entre los sı́mbolos y las señales. La combinación entre el codificador y el modulador representa un mapeo entre el conjunto de los mensajes y el de las señales. mensaje mi → señal xi (t) En el receptor, el demodulador toma la salida del canal y(t) y la convierte en un vector de dimensión N a partir del cual el detector estima qué mensaje fue enviado. Este proceso establece otro mapeo entre el conjunto de señales y el de mensajes. señal y(t) → mensaje m b Sea mi el mensaje codificado, modulado y transmitido. Si el receptor decide que el mensaje enviado fue m b ym b 6= mi , se dice que ocurre un error en la comunicación. 2.2.1. Representación de señales a través de vectores Para la transmisión y detección de mensajes en un intervalo de tiempo I se utiliza el R conjunto de funciones reales f (t) tan que I f 2 (t)dt < ∞. Éste es un espacio de Hilbert y es denominado L2 [I] Los espacio de Hilbert son una generalización de los espacios Euclidianos para dimensión no necesariamente finita. Están dotados de producto interno, lo que da una noción de ángulo, distancia y, en particular, de ortogonalidad. Estos espacios permiten aplicar la intuición geométrica euclidiana a espacios de dimensión infinita. Para dos señales x(t) e y(t) pertenecientes a dicho espacio, se define el producto escalar como 2.2. Transmisión y recepción 9 Z hx(t), y(t)i = x(t)y(t)dt (2.1) I Se dice que dos vectores pertenecientes a dicho espacio son ortogonales si y sólo si el producto escalar entre ellos es nulo. Con esta herramienta, se puede definir la mejor aproximación de una señal en un subespacio lineal mediante la proyección ortogonal [25]. Teorema 2.2.1 Sean un espacio de Hilbert H y V un subespacio lineal completo de H. Dado f ∈ H, existe un único f ∗ ∈ V tal que kf − f ∗ k = mı́n kf − vk v∈V f ∗ es llamada la mejor aproximación de f en V . Más aún, hf − f ∗ , vi = 0 ∀v ∈ V (2.2) Sea B = {φi(t)/i = 0..N − 1} un conjunto finito de elementos en V ⊂ H linealmente independientes, luego el conjunto B es 1. Ortogonal, si hφn , φm i = 0 2. Ortonormal, si hφn , φm i = ( m 6= n 1 m=n 0 m 6= n B es tal que todo vector x(t) ∈ V , se puede expresar como combinación lineal de las funciones pertenecientes a B. Es decir, B es una base de V . La descomposición de x(t) en la base B es la siguiente: x(t) = N −1 X xi φi (t) (2.3) i=0 En la ecuación anterior, xi es la proyección de x(t) sobre φi (t), es decir, xi = Z I x(t)φi (t)dt (2.4) 2.2. Transmisión y recepción 10 Por ende, para toda señal x(t) ∈ V , existe una representación equivalente en ℜN ,   x(t) ↔ x =   x0 .. . xN −1     (2.5) La descripción de los elementos del espacio V en sus componentes xi plantea un isomorfismo entre V y ℜN . En ese marco es posible establecer el siguiente teorema que determina la conservación del producto interno. Teorema 2.2.2 Dadas dos señales x(t) e y(t) que pertenecen a V , su producto interno es equivalente al producto interno entre los vectores x y y definidos de acuerdo a la Ec.(2.5). Z I x(t)y(t)dt = hx, yi (2.6) Demostración. Dadas dos señales x(t) e y(t) que pertenecen a V se pueden expresar como se muestra en la Ec.(2.3). Entonces su producto interno resulta Z x(t)y(t)dt = I Z N −1 X xi φi (t) I i=0 = N −1 X yj φj (t)dt j=0 N −1 N −1 X X xi yj i=0 j=0 Z φi (t)φj (t)dt = I N −1 N −1 X X i=0 j=0 xi yj hφi (t), φj (t)i Como las φn forman una base ortonormal, entonces hφi(t), φj (t)i = δij , con δij la delta de Kroenecker. Luego, Z ∗ x(t)y (t)dt = I N −1 X i=0 xi yi = hx, yi En particular, si x(t) = y(t), luego el producto interno entre ambas señales se convierte en la energı́a de la señal x(t). ǫx = Z 2 I |x(t)| dt = Z I x(t)x∗ (t)dt = hx, xi =k x k2 → ǫx =k x k 2 (2.7) 2.2. Transmisión y recepción 2.2.2. 11 Señal modulada Sea V el espacio de señales moduladas, entonces la función x(t) ∈ V es la encar- gada de llevar la información a través del canal de comunicación. Esta señal admite la descomposición dada en la Ec.(2.3). Dado un conjunto finito {xi (t)} de posibles señales a enviar, cada xj (t) se corresponde con un punto N dimensional xj . El conjunto de puntos {xi } es llamado constelación del sistema. La elección de las bases y de las xi (t) responde a restricciones fı́sicas del sistema y pueden determinar la performance frente a la presencia de ruido. Se llama sı́mbolo de información al vector x definido en la Ec.(2.5), y dada una base ortonormal {φi(t)}, se llama señal modulada a la señal x(t) definida en la Ec.(2.3). Es decir que la señal modulada se forma multiplicando cada componente del vector x, xi , por cada función de la base ortonormal, como se ilustra en la Fig.(2.3). Este proceso se efectúa cada T segundos. φ0 (t) x0 x1 x(t) φ1 (t) xM −1 φM −1 (t) Figura 2.3: Esquema de Modulación En general se utiliza un modelo del sistema de comunicación en tiempo discreto. Se asume que se utilizan conversores digital/analógico y analógico/digital ideales de forma 2.2. Transmisión y recepción 12 tal de poder realizar el mismo análisis pero con una representación discreta tanto del canal como de las bases utilizadas. Se supone que la frecuencia de muestreo es mayor al doble de la frecuencia de Nyquist. En este caso, el modulador puede ser implementado como se muestra en la Fig.(2.4). x0 (n) x1 (n) xM −1 (n) ↑N φ0 (n) ↑N φ1 (n) ↑N φM −1 (n) x(n) Figura 2.4: Esquema de Modulación En este primero, separando el n-ésimo sı́mbolo h caso, la modulación se implementa, iT x(n) = x0 (n) x1 (n) · · · xN −1 (n) del siguiente x(n + 1) en N muestras (que corre- sponden a T segundos) mediante el bloque interpolador (anexo A). Luego, el i-ésimo filtro se convoluciona con las amplitudes de las i-ésimas componentes espaciadas del sı́mbolo xi (n), generando la superposición de réplicas desplazadas de la función base con la respectivas amplitudes provenientes de la secuencia de sı́mbolos. 2.2.3. Datos demodulados El receptor debe poder demodular la información contenida en la señal modulada. Esto se hace volviendo a la descomposición en la base ortonormal de la Ec.(2.3). Para ello, se deben computar las proyecciones de x(t) sobre cada una de las N componentes de la base, es decir, xi = Z I x(t)φi (t)dt (2.8) 2.2. Transmisión y recepción 13 Se puede demostrar que la proyección realizada en la Ec.(2.8) es equivalente a filtrar la señal x(t) mediante un filtro de respuesta impulsiva φi (T − t) y luego tomar una muestra en t = T , donde T es el perı́odo de sı́mbolo. El filtro φi (T − t) es un filtro adaptado a la señal base. Para demostrar el postulado anterior, se define la función ϕi (t) mediante ϕi (T − t) = φi (t) ⇒ ϕi (t) = φi (T − t) Luego, la integral de la Ec.(2.8) se convierte en una convolución muestreada en t = T . xi = Z x(t)φi (t)dt = I Z I x(t)ϕi (T − t)dt = x(t) ∗ ϕi (t)⌋t=T = x(t) ∗ φi(T − t)⌋t=T Para el caso de la representación discreta del sistema de comunicación, un esquema para la implementación de la demodulación de la señal x(n) se muestra en la Fig.(2.5). Para la transmisión de sı́mbolos sucesivos, el bloque decimador es el encargado de tomar una muestra cada N muestras (una muestra cada T segundos). Este bloque es equivalente a una llave que se cierra sólo en múltiplos de perı́odos de sı́mbolo, es decir, efectúa un submuestreo cada N muestras. x(n) φ0 (N − n) ↓N φ1 (N − n) ↓N φM −1 (N − n) ↓N Figura 2.5: Esquema de Demodulación x0 (n) x1 (n) xM −1 (n) 2.2. Transmisión y recepción 14 En la discusión anterior no se consideraron los efectos sobre x(n) del medio fı́sico de transmisión. A lo largo del canal de transmisión, se superponen la señal transmitida y una señal de ruido. La señal recibida y(t) no necesariamente pertenece al espacio V , espacio de las señales moduladas. Por ende, el vector de proyecciones de y(t) sobre los elementos de la base B no describen unı́vocamente la señal y(t). Sin embargo, se puede demostrar que la componente de y(t) que no pertenece al subespacio V puede ser descartada sin degradar la probabilidad de error, es decir, es irrelevante para la transmisión [15]. Uniendo el esquema transmisor de la Fig.(2.4) y el del receptor de la Fig.(2.5), se obtiene la representación discreta del sistema de comunicación de la Fig.(2.6). En este modelo se agregó el medio fı́sico a través de una respuesta en frecuencia C(z) y se incluyó la presencia de ruido aditivo n(k). Ambos conceptos serán analizados en el próximo capı́tulo. x0 (n) ↑N φ0 (n) φ0 (N − n) ↓N x1 (n) ↑N φ1 (n) φ1 (N − n) ↓N xM −1 (n) C(z) n(k) ↑N φM −1 (n) φM−1 (N − n) x b0 (n) x b1 (n) bM −1 (n) ↓N x Figura 2.6: Banco de Filtros Utilizado como Modulador 2.2.4. Detección Bajo el esquema de la detección sı́mbolo por sı́mbolo, el bloque de detección debe, a partir de una observación, estimar qué sı́mbolo fue enviado. La regla de decisión que minimiza la probabilidad de error es la que proviene de la teorı́a de decisión bayesiana. El detector en estas condiciones es el que maximiza la probabilidad a posteriori [9]. Teorema 2.2.3 Sea v el sı́mbolo demodulado. Luego, el detector que maximiza la probabilidad a posteriori (MAP) elige el sı́mbolo xi perteneciente a la constelación para el cual se maximiza la probabilidad a posteriori Px/y (xi /v). 2.2. Transmisión y recepción 15 Entonces, la regla de decisión es: dada la señal demodula v, se decide que el sı́mbolo b = xi si enviado fue x b = xi x si Px/y (xi /v) ≥ Px/y (xj /v) (2.9) Si se aplica el teorema de Bayes, se puede reescribir la regla de decisión de la Ec.(2.9) como b = xi x si Py/x (v/xi )Px (xi ) ≥ Py/x (v/xj )Px (xj ) (2.10) Cuando los sı́mbolos a transmitir son equiprobables, esta regla se convierte en la regla de decisión de máxima verosimilitud: b = xi x si Py/x (v/xi) ≥ Py/x (v/xj ) (2.11) En particular, bajo la hipótesis de canal ideal, la señal recibida y(t) es la suma de la señal enviada x(t) más ruido n(t). Luego, al realizar la demodulación se obtienen las proyecciones de la señal enviada x más las proyecciones del ruido n, y =x+n (2.12) Si el ruido es de media nula, sus proyecciones también tienen media nula. Para demostrar esta proposición se considera una componente nk del vector de ruido. Luego, su media es Z n(t)φk (t)dt E[nk ] = E Z I = E [n(t)] φk (t)dt = 0 (2.13) I Del mismo modo, se puede demostrar que si el ruido es blanco, las componentes del vector n están descorrelacionadas entre sı́. Sean nk y nl dos componentes del vector de ruido de espectro de potencia constante N0 , 2 luego su correlación está dada por 2.2. Transmisión y recepción 16 Z Z Z N0 E[nk nl ] = E n(t)n(s)φk (t)φl (s)dtds = φk (t)φl (t)dt 2 I I I N0 N0 = hφk (t), φl (t)i = δkl 2 2 (2.14) Por otro lado, el ruido demodulado además de estar descorrelacionado, es gaussiano por ser la combinación lineal del variables gaussianas, por lo que la regla de detección de máxima verosimilitud de la Ec.(2.11) se convierte en b = xi x si − N1 ky−xi k2 e 0 − N1 ky−xj k2 ≥e 0 ky − xi k2 ≤ ky − xj k2 (2.15) Es decir que, bajo las hipótesis de canal ideal y ruido blanco y gaussiano, el bloque de decisión decide qué sı́mbolo fue enviado simplemente computando la distancia del vector demodulado a cada sı́mbolo de la constelación y buscando el más cercano. 2.2.5. Ejemplo: BPSK (bit phase shift keying) BPSK es un sistema de transmisión que emplea 1 bit por sı́mbolo. En este caso, el cambio de fase determina la información transmitida. Cada T segundos se transmite un 0 o un 1. Si se quiere enviar un cero se utiliza la señal x0 , mientras que si se quiere enviar un uno se usa la señal x1 , definidas como 2 2π t x0 (t) = − √ sin T T 2 2π x1 (t) = √ sin t T T para 0 ≤ t < T (2.16) para 0 ≤ t < T Por cuestiones constructivas, el modulador genera únicamente las funciones φ1 (t) y φ2 (t): 2 2π φ1 (t) = √ cos t+ T T 2 2π φ2 (t) = √ cos t− T T π 4 π 4 para 0 ≤ t < T para 0 ≤ t < T (2.17) 2.2. Transmisión y recepción 17 Por lo tanto, las señales moduladas resultan ser x0 (t) =φ1 (t) − φ2 (t) → x0 = x1 (t) =φ2 (t) − φ1 (t) → x1 = " " 1 −1 −1 1 # # (2.18) Luego la constelación utilizada está determinada por los puntos en ℜ2 x0 y x1 . En la Fig.(2.7) se muestra la constelación utilizada y en la Fig.(2.8) se muestra el resultado de proyectar la señal recibida al enviarse varios sı́mbolos BPSK con un canal ideal AWGN. Figura 2.7: Constelación BPSK Figura 2.8: Proyección de la Señales Recibidas El detector decide que fue enviado un cero si la proyección cae sobre el semiplano formado por todos los puntos de distancia a (1, −1) menor que la distancia a (−1, 1). Decide que fue enviado un uno en caso contrario. Capı́tulo 3 Comunicación A Través De Un Canal Real A la hora de transmitir información a través de un canal real, la señal que llega al receptor difiere de la señal enviada por el transmisor. Los canales a tener en cuenta en esta tesis son sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI). Las diferencias entre las señales transmitidas y recibidas se deben a efectos no deseados como la atenuación dependiente de la frecuencia y la distorsión por retrasos. Por otro lado, la distorsión de la señal recibida también se manifiesta mediante ensanchamientos temporales, y el consecuente solapamiento, de sı́mbolos sucesivos hasta el punto en que el receptor puede llegar a no distinguir correctamente entre distintos sı́mbolos enviados. Este efecto es llamado Interferencia Entre Sı́mbolos (ISI). Para simplificar el planteo de este capı́tulo, se asume que se está trabajando en un espacio de señales moduladas V de 1 dimensión. 3.1. 3.1.1. Modelo del canal Respuesta en frecuencia La potencia de la señal decae con la distancia que tiene que recorrer a través del canal. Este efecto es aún más pronunciado a medida que aumenta la frecuencia de la señal. En 3.2. Interferencia entre sı́mbolos (ISI) 19 el receptor la señal debe tener potencia suficiente para lograr una correcta detección y no quedar inmersa en el ruido introducido en el canal. Además la velocidad de propagación de una señal en un medio dispersivo varı́a con la frecuencia. Para una señal de ancho de banda acotado la velocidad de propagación tiende a ser mayor en las frecuencias centrales y menor hacia los extremos. Esto provoca que cada frecuencia llegue a destiempo, produciendo una distorsión de la señal. Ambos efectos quedan descritos en la respuesta en frecuencia del canal utilizado. 3.1.2. Fuentes de ruido aditivo En un canal de comunicación, las fuentes de ruido son diversas. Por ejemplo se puede citar el ruido térmico y las interferencias de radio [37]. El ruido térmico es debido a la agitación de los electrones. Está presente en todos los dispositivos electrónicos y es función de la temperatura. Debido a que posee aproximadamente la misma energı́a en todas las frecuencias se lo conoce como ruido blanco, por analogı́a con la luz blanca. Éste no puede ser eliminado y es por eso que limita la tasa de transferencia de los sistemas de comunicación. La interferencia debida a señales de radio proviene de transmisiones de AM y radioaficionados. Las lı́neas telefónicas, por ejemplo, al estar hechas de cobre, son buenas antenas para este tipo de onda electromagnética. Por lo general, estos ruidos son no estacionarios. Por ejemplo, los radioaficionados cambian su frecuencia de portadora a intervalos cortos, por lo que es difı́cil predecir su presencia. Las señales que interfieren en este caso son de banda angosta, es decir, tienen su energı́a concentrada en un ancho de banda pequeño y menor a su frecuencia central. 3.2. Interferencia entre sı́mbolos (ISI) Sea el sistema de comunicación de la Fig.(3.1), donde φ(t) es la función base que genera el espacio de señales moduladas. Luego, los sı́mbolos ak modulan la señal base φ(t) (con transformada de Fourier Φ(w)) cada T segundos, conformando una señal modulada de la forma 3.2. Interferencia entre sı́mbolos (ISI) Φ(w) ak 20 Canal Gr (w) T Decisión n(t) s(t) b ak Figura 3.1: Sistema de Comunicación s(t) = X m am φ(t − mT ) (3.1) En la Fig.(3.1) el canal es lineal e invariante en el tiempo (LTI). Las distorsiones en amplitud y en fase introducida por dicho canal quedan representadas por la respuesta en frecuencia del canal C(w). El ruido n(t) es la suma de todos los ruidos presentes en el canal. Siguiendo el desarrollo del capı́tulo anterior, el bloque de entrada del receptor deberı́a ser φ(T − t). Sin embargo es conveniente utilizar un filtro gr (t) que permita compensar los efectos del canal sobre la señal transmitida. De este modo, se puede definir un pulso equivalente g(t) formado por la cascada entre el filtro φ(t), el canal, y el filtro del receptor gr (t). G(w) = Φ(w)C(w)GR (w) (3.2) El ruido aditivo a la salida del canal es filtrado por el filtro receptor gr (t). Se denomina r n (t) a la salida de dicho filtrado. Luego, y(t) = X m am g(t − mT ) + nr (t) (3.3) Finalmente, la señal luego de ser muestreada cada T segundos y antes de la etapa de decisión resulta ser yk = X m Es decir, am g(kT − mT ) + nrk = X m am gk−m + nrk = X m ak−m gm + nrk (3.4) 3.2. Interferencia entre sı́mbolos (ISI) 21 yk = ak g0 + X ak−m gm + nrk (3.5) m,m6=0 En general, para lograr una implementación del receptor menos compleja, se realiza la decisión sı́mbolo por sı́mbolo. Se ve, entonces, en la Ec.(3.5) que sólo interesa el sumando P ak g0 , mientras que m,m6=0 ak−m gm depende de los sı́mbolos anteriores y posteriores al deseado. A este término se lo conoce como Interferencia Entre Sı́mbolos (ISI). 3.2.1. Criterio de Nyquist para cero ISI Teorema 3.2.1 Se elimina la interferencia entre sı́mbolos si la respuesta impulsiva equivalente satisface ∞ X k=−∞ G(w − 2πk )=T T (3.6) A la Ec.(3.9) se la conoce como Criterio de Nyquist para cero ISI. Demostración. Partiendo de la Ec.(3.5), se puede ver que se elimina la interferencia entre sı́mbolos (ISI) si se logra que gm sea cero para ∀m 6= 0, es decir, gm = g(mT ) = ( 1 m=0 0 m 6= 0 (3.7) Esta condición corresponde a pedir que una vez muestreado g(t), sólo reste una muestra con amplitud no nula. La señal muestreada se puede interpretar como la señal multiplicada por un tren de pulsos equiespaciados, por lo que la condición de la Ec.(3.7) es equivalente a g(t) ∞ X k=−∞ δ(t − kT ) = δ(t) (3.8) Hallando la Transformada de Fourier de esta ecuación se obtiene la forma tradicional del criterio de Nyquist para cero ISI. 3.3. Esquema de ecualización 22 ∞ X k=−∞ G(w − 2πk )=T T (3.9) Dicho criterio implica que, dada una respuesta en frecuencia G(w) de banda limitada en B Hz, es decir, G(w) = 0 para w > 2πB, y un perı́odo de sı́mbolo T , el diseño G(w) se deberá respetar uno de los tres siguientes casos para eliminar el ISI: B < 1/(2T ): la respuesta en frecuencia periodizada P∞ k=−∞ G(w − 2πk ) T es igual a G(w) para w < π/T . Como G(w) es nula para 2πB < w < π/T , luego nunca puede satisfacerse el criterio de Nyquist. B = 1/(2T ): el criterio puede satisfacerse únicamente si G(w) = ( T |w| < π/(2T ) 0 |w| > π/(2T ) (3.10) El único pulso en el tiempo que cumple con dicha condición es g(t) = sin(πt/T ) πt/T (3.11) B > 1/(2T ): existen diversos pulsos G(w) que satisfacen el criterio de Nyquist. 3.3. Esquema de ecualización El ecualizador es, en general, un filtro que se ubica a la entrada del receptor y tiene como objetivo resolver los cambios que introduce el canal en la señal. En la sección anterior se utilizó un filtro en el receptor Gr (w) en vez del filtro adaptado a la señal para dar cuenta de la presencia del ecualizador. Al modular se utilizan señales que son ortogonales a desplazamientos de T segundos, de forma tal de poder enviar información en forma independiente de sı́mbolo a sı́mbolo. Sin embargo, esta base, al pasar a través del canal no tiene por qué seguir manteniendo esa ortogonalidad. Uno de los objetivos del ecualizador es lograr restablecer dicha propiedad. Capı́tulo 4 Modulación Con Múltiples Portadoras (MCM) En este capı́tulo se retoman los esquemas del transmisor y receptor propuestos en el capı́tulo 2. Se propone pensar a cada φi (t) como una portadora de información independiente de las otras φj (t) (con j 6= i). En este caso se dice que cada función de la base forma un subcanal independiente, y al esquema se lo conoce como modulación con múltiples portadoras (MCM). Se presentan las formas clásicas de selección de las distintas φi (t), llegando hasta la Modulación Multitonal Discreta (DMT). Ésta es la modulación utilizada por excelencia pues se basa en la Transformada Discreta de Fourier (DFT), y por lo tanto su implementación algorı́tmica es eficiente. En este capı́tulo se muestra que una gran ventaja de los sistemas con múltiples portadoras es que las señales individuales de pequeño ancho de banda presentan mayor inmunidad a los problemas introducidos por la presencia de un canal dispersivo, como por ejemplo la interferencia entre distintos sı́mbolos. 4.1. Transmisión multitonal La motivación de una transmisión multitonal es lograr subcanales (o tonos) lo suficientemente angostos como para que la transmisión por cada subcanal se realice frente a 4.1. Transmisión multitonal 24 un canal ideal y por ende, no ocurra ISI. Cada subcanal transmite una cantidad de información variable. Los subcanales que posean una mejor relación señal a ruido transmiten una mayor cantidad de información, mientras que los subcanales con menor relación señal a ruido se utilizan con menor cantidad de información. El ancho de banda disponible se divide en N subcanales de ancho de banda 1/T , por lo que cada señal tiene una portadora cuya frecuencia responde a fn = n/T (4.1) Los elementos de la base del espacio de señales moduladas son funciones sinc(.) de duración infinita, con respuesta en frecuencia de un filtro pasabanda ideal: 1 t φn (t) = √ sinc( )e−j2πfn t T T (4.2) La señal transmitida puede ser interpretada como un conjunto de subcanales paralelos. La cantidad de subcanales debe ser tal que la portadora convolucionada con la respuesta impulsiva del canal satisfagan el criterio de Nyquist para cancelar la interferencia del ISI en cada subcanal. Se busca que cada subcanal tenga un ancho de banda lo suficientemente angosto de modo tal que la respuesta en frecuencia del canal de transmisión sea aproximadamente constante en el ancho de banda del subcanal. Es decir, . H(n/T ) = Hn |f − n/T | < 1/2T (4.3) Sea Xn la enésima componente del sı́mbolo transmitido, es decir, el peso del n-ésimo canal. Entonces, dejando de lado el ruido aditivo del canal, el sı́mbolo demodulado es Y n ≈ H n Xn (4.4) Cada subcanal es aproximadamente transmitido sin ISI y a su vez sin interferencia de los otros subcanales (ICI). Por ende, se obtienen N subcanales ideales independientes. La aproximación de la Ec.(4.4) es más precisa a medida que la cantidad de canales tiende a infinito. Si se envı́an bn bits en el n-ésimo canal, luego la cantidad de bits enviados por perı́odo de sı́mbolo es 4.2. Partición del canal 25 b= Canales−1 X bn (4.5) n=0 De este modo se logra una tasa de transmisión de R = b/T , que es igual a la suma de las tasas de cada subcanal. 4.2. Partición del canal La modulación multitonal es un ejemplo de partición del canal. En este caso, las funciones {φn (t)} son seleccionadas de forma tal que forman una base ortonormal, ası́ como también {h(t) ∗ φn (t)} para cualquier canal h(t). En el caso de un N finito, la base no es óptima pues el canal no es constante (plano) en cada subcanal. Por otro lado, las bases tienen una duración temporal infinita (de ahı́ la gran resolución en frecuencia) por lo que no son implementables. Sin embargo son un buen ejemplo para entender la modulación multi-canal. La partición del canal busca un conjunto de funciones base implementables que retengan la ortogonalidad al atravesar el canal. 4.2.1. Transmisión utilizando autofunciones De acuerdo a la estructura introducida en la sección (2.2) el sı́mbolo transmitido es una combinación lineal de las N funciones base del espacio V : x(t) = N −1 X xn φn (t) (4.6) n=0 Dicha señal se convoluciona con la respuesta impulsiva del canal de transmisión. h(t) ∗ x(t) = N −1 X n=0 xn φn (t) ∗ h(t) = N −1 X xn pn (t) (4.7) n=0 Donde pn (.) es la respuesta al n-ésimo pulso del canal, es decir, la función base del subcanal n convolucionada con el canal. Una posible opción consiste en que el receptor demodule la señal recibida mediante N filtros adaptados pn (T − t), para n = 0...N − 1. En este caso, resta determinar las funciones generadoras del espacio V . 4.3. Partición del canal en tiempo discreto 26 Selección de las funciones base Se define la función de autocorrelación del canal como r(t) = h(t) ∗ h∗ (−t) (4.8) Sea {φn (t), n = 0, ...∞} el conjunto de autofunciones de r(t). Asimismo, los autovalores de r(t) son ρn . Luego, ρn φn (t) = Z I r(t − τ )φn (τ )dτ (4.9) Cada autofunción representa un modo del canal a través del cual puede enviarse información. Los modos del canal son independientes entre sı́ y su ganancia es ρn . Sin embargo las autofunciones son difı́ciles de computar en forma cerrada para la mayorı́a de los canales. En este caso, la señal que pasa a través del filtro adaptado al pulso. Dicho filtro puede pensarse como un filtro adaptado al canal en cascada con un filtro adaptado a la base. Sea la señal y(t) la salida del filtro adaptado al canal que espera ser proyectada mediante el filtro adaptado a la base. Ésta tiene la expresión: y(t) = N −1 X n=0 xn φn (t) ∗ r(t) = N −1 X xn ρn φn (t) (4.10) n=0 Por lo tanto, la señal a proyectar es una combinación lineal de los elementos de la base. Si se calculan las proyecciones y se conocen los autovalores ρn , luego pueden recuperarse el sı́mbolo transmitido. 4.3. Partición del canal en tiempo discreto La partición del canal en tiempo discreto asume que se utilizan conversores digital/analógico y analógico/digital ideales de forma tal de poder realizar el mismo análisis mediante una representación discreta del canal. La descripción se hace a través de una relación matricial de un número finito de muestras de la salida del canal (muestras 4.3. Partición del canal en tiempo discreto 27 tomadas a una frecuencia mayor a la frecuencia de Nyquist) y un conjunto de muestras de la entrada (del sı́mbolo transmitido). Las funciones de la base son reemplazadas por vectores mn . Cada uno de estos vectores de la base es multiplicado por una componente del sı́mbolo X y luego son sumados para formar el vector modulado x. Luego, el vector x es pasado a través de el conversor digital/analógico. La señal pasa por el canal y luego es convertida a digital por el conversor analógico/digital. Puede haber intercalado en alguna etapa algún filtro adicional, como ser un pasabajos antialiasing anterior al conversor analógico/digital. Toda esta cadena conforma la nueva respuesta impulsiva. El diseño del modulador consiste en hallar vectores mn tales que continúen siendo ortogonales luego de pasar por el canal. 4.3.1. Vector Coding Sea la respuesta al pulso de ν + 1 muestras distintas de cero, luego N muestras de la señal recibida se relacionan con la entrada como  yN −1   yN −2   .  ..  y0   p0     0   =   0   0 p1 · · · pν 0 · · · . . p0 p1 . . pν . . .. .. .. .. .. . . . . . ··· 0 p0 p1 0 0 0 · · · pν  xN −1     ...    nN −1    x    nN −2 0  +  .     x−1   ..     ...  n0   x−ν         (4.11) En forma más compacta se puede expresar dicha relación como y = Px + n (4.12) La matriz P tiene dimensiones N × (N + ν) y admite una descomposición en valores singulares de la siguiente forma: P =F h . Λ .. 0N,ν i M∗ (4.13) 4.3. Partición del canal en tiempo discreto 28 De acuerdo a esta descomposición, F es una matriz unitaria de N × N, M es una matriz unitaria de (N + ν) × (N + ν), 0N,ν es una matriz de ceros de dimensión N × ν, y por último Λ es la matriz diagonal de valores singulares λn > 0 para n = 0, ..N − 1. El método de vector Coding (VC) selecciona las primeras N columnas de la matriz M para formar la base del espacio de señales moduladas V . De este modo, VC crea N canales paralelos e independientes. Sea X el sı́mbolo que se busca transmitir. La señal modulada x se forma a partir de la combinación lineal de los primeros N vectores columna de la matriz M, es decir,     x=M   X 0 .. . 0     h   = mN−1 mN−2 · · · m1 m0 · · · m−ν   XN −1   XN −2   .  . i .   X0   0   .  ..  0       −1  N  X Xn mn =   n=0     (4.14) Para demodular la información contenida en la señal recibida y muestreada se utiliza la base definida por la matriz F . Es decir, el sı́mbolo Y demodulado es  fN∗ −1 y   ..  Y = F ∗y =  .   ∗ f0 y  (4.15) Bajo estas condiciones, la relación entre el sı́mbolo demodulado y el enviado queda establecida mediante Y = F ∗y = F ∗P x + F ∗n = F ∗F h . Λ .. 0N,ν = ΛX + F ∗ n i     M ∗M    X 0 .. . 0      + F ∗n   (4.16) 4.4. Modulación multitonal discreta (DMT) 29 Para cada canal particular, esta relación resulta ser Yn = λn Xn + Ruido (4.17) En la Ec.(4.17) se ve que la información en cada subcanal resulta independiente de la información colocada en otros subcanales. Un caso particular de VC es la modulación multitonal discreta (DMT). 4.4. Modulación multitonal discreta (DMT) El flujo de bits a enviar es dividido en subflujos, uno para cada subcanal que va a transmitir datos. La suma de las tasas de transmisión en cada subcanal es igual a la tasa de transmisión total. Cada subflujo es convertido a analógico usando modulación en fase y cuadratura (QAM). Cada elemento de la base que utiliza esta modulación es de la forma 2π 1 φk (n) = √ e−j N kn N para k = 0..N − 1 (4.18) Sea Xi la i-ésima componente del sı́mbolo a transmitir. Luego la señal modulada xn resulta ser N −1 2π 1 X xn = √ Xi ej N in N i=0 (4.19) Es decir, la señal modulada resulta ser la IDFT de las componentes del sı́mbolo X. Por lo tanto, la demodulación se hace a través de la DFT. N −1 2π 1 X Xi = √ xn e−j N in N n=0 (4.20) e con N e la cantidad efectiva de canales, para que la señal enviada Dados Xi , i = 1, ..., N, resulte una señal real, se debe cumplir [7] 4.4. Modulación multitonal discreta (DMT)   Xi     ℜeX e Xi = N   ℑm XNe    ∗ XN −i 30 e −1 i = 1, ..., N i=0 e i=N (4.21) e + 1, ..., N − 1 i=N La función ℜe(.) toma la parte real del argumento y ℑm(.) la parte imaginaria. Se e Si puede observar que estas condiciones imponen el uso del doble de canales N = 2N. estas condiciones son utilizadas al desarrollar la Ec.(4.19), luego se obtiene   N/2−1 X 2π 2π 1 (Xi ej N in + Xi∗ e−j N in ) xn = √ ℜe(X0 ) + ℑm(X0 ) + N i=1   (4.22) N/2−1 X 2π 2π 1  (2ℜe(Xi ) cos( in) − 2ℑm(Xi ) sin( in)) ℜe(X0 ) + ℑm(X0 )(−1)n + =√ N N N i=1 Se ve en la Ec. (4.22) que se obtiene una señal real, y además pueden apreciarse las bases del espacio generado, es decir, {1, (−1)n , cos( 2π 2π in), sin( in))} N N i = 1, ..., N −1 2 (4.23) Perı́odo de Guarda Puesto que la respuesta impulsiva del canal tiene dinámica, el sistema DMT enfrenta tres tipos de interferencia: Interferencia entre Sı́mbolos (ISI), Interferencia ente Canales (ICI), e Interferencia entre Bloques (IBI). Dado que el ancho de banda de cada subcanal es muy pequeño, cada portadora ve una respuesta en frecuencia del canal aproximadamente plana, que satisface el criterio de Nyquist para cero ISI. Esto quiere decir que, en un subcanal dado, la información va a llegar al receptor con un retardo aproximadamente constante, evitándose la interferencia entre dos sı́mbolos distintos (sin ISI). Sin embargo, cada subcanal sufre un retraso distinto. Esto hace que los subcanales, en el receptor, dejen de ser ortogonales, produciéndose ICI. 4.4. Modulación multitonal discreta (DMT) 31 Por otro lado, al tener el canal de transmisión real la mayorı́a o toda su respuesta impulsiva dentro de un intervalo finito de tiempo TH , al realizar la convolución entre éste (necesariamente causal) y la función base que existe sobre el intervalo [0, T ] se produce una salida de duración mayor que la del perı́odo de sı́mbolo T . Esto produce la Interferencia entre Bloques (IBI). Éste se muestra en la Fig.(4.1). Los primeros TH segundos de cualquier sı́mbolo a la salida del canal pudieron haberse corrompido por la interferencia entre sı́mbolos si el sı́mbolo anterior tenı́a energı́a no nula entre (T − TH , T ). Por lo tanto el receptor ignora los TH primeros segundos. Este tiempo es llamado perı́odo de guarda. Señal Enviada sı́mbolo i − 1 sı́mbolo i sı́mbolo i + 1 |h(τ )|2 τ Interferencia sı́mbolo i − 1 Señal Recibida sı́mbolo i sı́mbolo i + 1 Figura 4.1: Interferencia entre Bloques Prefijo Cı́clico Si suponemos que el canal tiene un largo L, entonces el prefijo cı́clico cosiste en copiar los últimos L − 1 valores de cada sı́mbolo y agregarlos al principio del sı́mbolo en el mismo orden. Al tener este buffer de “basura” al comienzo del sı́mbolo, la convolución de la respuesta impulsiva del canal con la señal al final de cada sı́mbolo no afecta a los 4.4. Modulación multitonal discreta (DMT) 32 datos actuales del comienzo del siguiente sı́mbolo. Además, el prefijo combate el ICI. Al repetir los últimos valores del final al comienzo, los primeros datos reales de cada sı́mbolo experimentan un solapamiento con los del final del sı́mbolo, como en una convolución circular. Esto significa que la convolución lineal se convirtió en una convolución circular y por lo tanto la DFT de la salida va a ser la DFT del sı́mbolo multiplicada por la DFT amplitud del canal. Prefijo Cı́clico 0 −∆ t Figura 4.2: Prefijo Cı́clico Volviendo al punto de vista de la partición del canal, si se fuerza xk = xN −k para k = 1, ..ν, luego la entrada se relaciona con la salida mediante la siguiente expresión  y  N −1  yN −2   .  ..  y0            =          p0 0 0 0 p1 · · · pν 0 · · · . . p0 p1 . . pν . . .. .. .. .. .. . . . . . 0 ··· ··· pν 0 p0 0 p0 p1 0 0 pν 0 · · · 0 p0 · · · pν−1 .. . . . . . . . . . . . . . .. . p1 · · · pν 0 ···       xN −1    ..  .   x0       n  N −1   nN −2 +    ...  n0        (4.24) Es decir, y = Pex + n (4.25) 4.4. Modulación multitonal discreta (DMT) 33 En este caso, como Pe es una matriz circulante y admite una descomposición en autovalores y autovectores. Pe = MΛM ∗ (4.26) En la Ec.(4.26), M es una matriz ortonormal de autovectores y Λ una matriz diagonal formada por los autovalores λn . Se puede demostrar que los autovectores de las matrices circulantes son los vectores columna de la matriz IDFT Q y no dependen del canal. M = Q∗ (4.27) Asimismo, si la respuesta en frecuencia del canal es H(w), luego los autovalores de la matriz Pe son λn = H(wn ), es decir, el n-ésimo autovalor se obtiene evaluando la respuesta en frecuencia H(w) en la frecuencia wn . Dejando de lado el ruido, si se demodula multiplicando por la matriz Q, luego se obtiene la relación Qy = ΛQx → Y = ΛX (4.28) Por lo tanto, si se definen los canales en la frecuencia, como Λ es diagonal, estos no se superponen a la salida. Se cancela ası́ el ICI. Ecualizador en el Tiempo (TEQ) Para preservar la ortogonalidad entre las distintas portadoras, el prefijo cı́clico debe tener el largo del canal menos 1. De esta forma se simula una convolución circular entre el sı́mbolo enviado y el canal. Puesto que el agregado de un prefijo cı́clico disminuye la tasa de transferencia, se busca diseñar un ecualizador tal que la cascada entre el canal y el ecualizador tenga una duración menor que la del canal original. El ecualizador utilizado en este caso se lo conoce como ecualizador en el dominio del tiempo o TEQ [15]. Capı́tulo 5 Bancos De Filtros En Sistemas MCM En el capı́tulo 2 se mostró que el proceso de modulación equivale a sintetizar una señal a partir de sus proyecciones en una determinada base {φi (t)}N i=1 . En este capı́tulo se desarrolla el problema de seleccionar los elementos φi (t). Con esta finalidad se recurre a la teorı́a de bancos de filtros. Primero se presenta la dualidad entre los esquemas propuestos como moduladores/demoduladores y los bancos de filtros. Se busca poder utilizar las técnicas de diseño de bancos de filtros para el caso de un sistema de comunicación. Una vez mostrada dicha dualidad, se presenta a la Transformada de Fourier de Tiempo Corto como un banco de filtros. Es decir que la modulación DMT se puede pensar como un caso particular del esquema presentado. Entre los posibles bancos de filtros a utilizar, aquellos formados a partir de un filtro prototipo y sus corrimientos en frecuencia son muy convenientes. En particular, estos sistemas presentan propiedades que hacen que su implementación sea sencilla y no se tenga que recurrir a algoritmos pesados. Finalmente se presenta un banco de filtros de reconstrucción casi perfecta. Esto significa que la salida del filtro es sólo aproximadamente igual a la entrada. Se logran ası́ caracterı́sticas particulares en los filtros, como ser una mayor atenuación entre los diferentes canales. Se verá en el capı́tulo 7 como es posible explotar estas caracterı́sticas para mejorar la performance del sistema. 5.1. Modulación utilizando bancos de filtros 5.1. 35 Modulación utilizando bancos de filtros El sistema de comunicación a desarrollar es el que se muestra en la Fig.(2.6). Se utiliza, nuevamente, una representación discreta del canal de comunicación. Las bases φi (n) y los filtros de recepción son reemplazadas por los filtros fi (n) y hi (n) respectivamente. Se introduce ası́ la notación utilizada en la descripción de los bancos de filtros. En primer lugar, se busca la relación entre xi (n) y x bi (n) que determina las condiciones necesarias para que ambas señales sean iguales. Luego se hará un análisis semejante para un banco de filtros y se verá que las condiciones halladas son equivalentes. La señal modulada se obtiene a partir del banco de sı́ntesis que se muestra en la Fig.(5.1). La señal modulada x(n) es el resultado de la interpolación y filtrado a través de los filtros Fk (z) de las señales xi (n), para i = 0, .., M − 1. x0 (n) x1 (n) xM −1 (n) ↑M F0 (z) ↑M F1 (z) ↑M FM −1 (z) x(n) Figura 5.1: Esquema de Modulación Sea X(z) la transformada z de x(n) y Xk (z) la transformada z de xk (n). Luego, X(Z) se relaciona con Xk (Z) del siguiente modo (anexo A) X(z) = M −1 X Fk (z)Xk (z M ) (5.1) k=0 En principio se considera un canal ideal y sin ruido. Luego, la entrada al demodulador, es directamente x(n). Sea x bi (n) con i = 0..M − 1 el producto de filtrar a la señal x(n) y luego decimarla como se muestra en la Fig.(5.2). 5.1. Modulación utilizando bancos de filtros 36 H0 (n) ↓M x b0 (n) H1 (n) ↓M x b1 (n) HM −1 (n) ↓M x bM −1 (n) y(n) Figura 5.2: Esquema de Demodulación En el campo transformado, la interconexión entre los bancos modulador y demodulador se obtiene del siguiente modo: M −1 M −1 X 1 X 1/M −j2πl/M b Xi (z) = Fk (z 1/M e−j2πl/M )Xk (z) Hi (z e ) M l=0 k=0 (5.2) La relación de la Ec.(5.2) se puede expresar matricialmente como     b X(z) =    b0 (z) X b1 (z) X .. . bM −1 (z) X      1   (m) 1/M T (m) 1/M  )] F (z )  = [H (z  M    = X0 (z) X1 (z) .. . XM −1 (z) 1 [H (m) (z 1/M )]T F (m) (z 1/M )X(z) M        (5.3) Donde las matrices H (m) (z) y F (m) (z) están definidas mediante las siguientes expresiones: 5.2. Bancos de filtros     H (m) (z) =        (m) F (z) =    37 H0 (z) H1 (z) ... HM −1 (z) H0 (ze−j2π/M ) .. . H1 (ze−j2π/M ) .. . ... .. . HM −1 (ze−j2π/M ) .. .  H0 (ze−j2π(M −1)/M ) H1 (ze−j2π(M −1)/M ) . . . HM −1 (ze−j2π(M −1)/M )       (5.4) F0 (z) −j2π/M F0 (ze .. . F1 (z) ) −j2π/M F1 (ze .. . ) ... FM −1 (z) ... .. . FM −1 (ze−j2π/M ) .. . F0 (ze−j2π(M −1)/M ) F1 (ze−j2π(M −1)/M ) . . . FM −1 (ze−j2π(M −1)/M )      (5.5)   Observando la Ec.(5.3), se ve que para que las señales recuperadas x bi (n) sean iguales a las señales enviadas xi (n), se necesita que [H (m) (z)]T F (m) (z) = diag(ejθ1 , .., ejθN ) (5.6) Es decir que para lograr una recuperación perfecta de las señales transmitidas, la matriz definida en la Ec.(5.6) debe ser diagonal con entradas de módulo unitario. A continuación se muestra que en el diseño de un banco de filtros se termina requiriendo la misma condición establecida en la Ec.(5.6), por lo que el diseño del modulador/demodulador resulta equivalente al diseño de un banco de filtros. Esto permite usar la teorı́a desarrollada para los bancos a lo hora de diseñar un sistema de comunicación. 5.2. Bancos de filtros Los bancos de filtros buscan descomponer una señal en señales representativas de porciones del ancho de banda de la señal original. Luego se debe poder recuperar la señal original a partir de las señales obtenidas en la descomposición. Este proceso es inverso al buscado en el esquema modulador/demodulador. Como se vio en la sección anterior, se parte de señales que utilizan porciones del ancho de banda 5.2. Bancos de filtros H0 x(n) H1 HM −1 38 x0 (n) x1 (n) xM −1 (n) ↓M ↓M ↓M v0 (n) v1 (n) vM −1 (n) ↑M ↑M ↑M u0 (n) u1 (n) uM −1(n) F0 F1 x b(n) FM −1 Figura 5.3: Banco de Filtros de M Canales de la señal modulada. Luego, al tratar de obtener la información de cada subcanal, se descompone a la señal recibida en los distintos subcanales. El esquema de un banco de filtros de M canales se muestra en la Fig.(5.3). La señal reconstruida x b(n) es la sumatoria de M salidas de los filtros Fk (z). b X(z) = M −1 X Fk (z)Uk (z) (5.7) k=0 Las señales uk (n) son las salidas de bloques interpoladores. Luego, se muestra en el apéndice A que las señales uk (n) están relacionadas con las entradas vk (n) mediante Uk (z) = Vk (z M ) (5.8) A la vez, las señales vk (n) provienen de bloques decimadores, por lo que se relacionan con la entrada del banco según la expresión: M −1 M −1 1 X 1 X 1/M −j2πl/M Xk (z e )= Hk (z 1/M e−j2πl/M )X(z 1/M e−j2πl/M ) Vk (z) = M l=0 M l=0 (5.9) Volviendo a la Ec.(5.7), se obtiene la siguiente expresión para la señal reconstruida M −1 1 X b X(z) = Al (z)X(ze−j2πl/M ) M l=0 En esta ecuación, los diferentes Al están definidos como (5.10) 5.2. Bancos de filtros 39 Al (z) = M −1 X Hk (ze−j2πl/M )Fk (z) k=0 0≤l ≤M −1 (5.11) De acuerdo a la Ec.(5.10), se ve que el espectro reconstruido es una combinación lineal del espectro de la señal original M − 1 versiones del mismo, donde cada versión está desplazada uniformemente en el intervalo [0, 2π]. Para evitar el aliasing debe pedirse Al (z) = 0 1≤l ≤M −1 (5.12) b Si se cumple esta condición, la transferencia T (z) entre X(z) y X(z) equivale a la ganancia restante, M −1 1 X T (z) = A0 (z) = Hk (z)Fk (z) M k=0 (5.13) A partir de las condiciones enunciadas es posible enunciar el siguiente lema: Lema 5.2.1 Banco de Reconstrucción Perfecta de M Canales [26]. Si tanto Hk (z) y Fk (z) cumplen con las condiciones de cancelación de aliasing (Ec.(5.12)) y la función de transferencia es simplemente un retraso y una ganancia (T (z) = cz −n0 ), luego el banco está libre de aliasing, distorsión de amplitud y de fase. En dicho caso x b(n) = cx(n − n0 ), y el sistema se llama de reconstrucción perfecta. La Ec.(5.10) se puede reescribir matricialmente como 1 b X(z) = [f(z)]T [H (m) (z)]T x(z) M (5.14) En la ecuación anterior, H (m) (z) es la función definida en la Ec.(5.4) y h X(z) X(ze−j2π/M ) · · · X(ze−j2π(M −1)/M ) h iT f(z) = F0 (z) F1 (z) · · · FM −1 (z) x(z) = Por lo tanto, el vector reconstruido resulta ser iT (5.15) 5.2. Bancos de filtros 40     b(z) =  x   b X(z) b −j2π/M ) X(ze .. . b −j2π(M −1)/M ) X(ze      = F (m) (z)[H (m) (z)]T x(z)   (5.16) Para que la señal sintetizada x b(n) sea igual a la señal descompuesta x(n), se busca que la matriz F (m) (z)[H (m) (z)]T sea diagonal. Comparación En esta sección se justifica que, para determinados bancos, pedir que éste sea de reconstrucción perfecta equivale a lograr un modulador y demodulador adecuado para un sistema de comunicación con múltiples portadoras. Se consideran bancos y moduladores en los cuales los filtros de sı́ntesis Fk (z) se relacionan con los de análisis Hk (z), todos de orden N, mediante la relación Hk (z) = z −N Fk (z −1 )∗ (5.17) Luego, Sea D = diag[1 e−j2π/M · · · e−j2π(M −1)/M ], se cumple que H (m) (z) = z −N D −N F (m) (z −1 )∗ (5.18) Si se pide que N = kM, entonces H (m) (z) = z −N F (m) (z −1 )∗ (5.19) Si se dejan de lado los retardos y se pide que la matriz de distorsión para bancos de filtros F (m) (z)[H (m) (z)]T sea la identidad, y se asume que F (m) (z) tiene rango completo, luego F (m) (z)[H (m) (z)]T = F (m) (z)[F (m) (z −1 )∗ ]T = I = [F (m) (z −1 )∗ ]T F (m) (z) = [H (m) (z)]T F (m) (z) (5.20) 5.3. Banco de filtros DFT 41 Es decir que resulta equivalente a pedir que la matriz de distorsión para el sistema modulador/demodulador definida en la Ec.(5.6) sea la identidad. Ası́ queda probada la dualidad de ambos problemas. Por lo tanto, el diseño del sistema modulador/demodulador es equivalente al diseño de un banco de filtros. Este resultado puede extenderse a sistema no necesariamente de reconstrucción perfecta [19]. A continuación se exponen técnicas de diseño de bancos de filtros que serán utilizadas como moduladores/demoduladores. 5.3. Banco de filtros DFT Los bancos de filtros DFT utilizan un filtro prototipo y se diseña el banco de filtros mediante desplazamientos de éste en la frecuencia. De esta forma sólo debe diseñarse el filtro prototipo y no el conjunto completo de filtros. En general se utiliza el mismo filtro prototipo para el banco de sı́ntesis y el de análisis. Debido a la estructura de esta propiedad de desplazamiento en la frecuencia surgen formas eficientes de implementación. Dados dos filtros P (z) y Q(z), el banco se obtiene del siguiente modo: Hk (z) = P (zej2πk/M ) ↔ hk (n) = p(n)e−j2πkn/M Fk (z) = Q(zej2πk/M ) ↔ fk (n) = q(n)e−j2πkn/M (5.21) Si el filtro prototipo tiene largo L, entonces la salida del banco de análisis en la Fig.(5.3) es vk (n) = xk (Mn) = L−1 X l=0 hk (l)x(Mn − l) = L−1 X l=0 p(l)ej2πkl/M x(Mn − l) (5.22) Suponiendo que L es múltiplo de M, es decir, L = MLp , se puede reescribir la ecuación anterior haciendo el cambio de variable l = Mi + m. vk (n) = p −1 M −1 LX X m=0 i=0 Como ej2πkiM/M = 1, luego p(Mi + m)ej2πk(iM +m)/M x(Mn − (Mi + m)) 5.3. Banco de filtros DFT vk (n) = 42 M −1 X Lp −1 X j2πkm/M e m=0 i=0 p(Mi + m)x(Mn − iM − m)) Luego, recurriendo a la nomenclatura de representación polifásica presentada en el anexo B, se obtiene vk (n) = M −1 X Lp −1 j2πkm/M e m=0 X i=0 pm (i)xm (n − i) (5.23) Es decir que se puede dividir a la señal de entrada en sus componentes polifásicas, filtrarlas mediante la correspondiente componente polifásica del filtro prototipo y luego realizar la transformada discreta de Fourier inversa (IDFT). Procediendo con un razonamiento análogo para el banco de sı́ntesis, se obtiene el banco de filtros de la Fig.(5.4). x(n) z −1 ↓M P0 ↓M P1 QM −1 QM −2 IDF T DF T ↑M ↑M z −1 x b(n) z −1 z −1 ↓M Q0 PM −1 ↑M Figura 5.4: Banco de Filtros DMT Como la IDFT y la DFT son operaciones inversas, la condición de reconstrucción perfecta es Pk (z)QM −1−k (z) = z −q0 (5.24) Ejemplo: Transformada Discreta de Fourier de Tiempo Corto Continuando con la idea anterior, cuando ocurre que las componentes polifásicas tienen largo 1 se obtiene este banco de filtros. Los filtros están relacionados como 5.3. Banco de filtros DFT 43 Hk (z) = H0 (zej2πk/M ) donde H0 (z) = 1 + z −1 + ... + z −(M −1) (5.25) 20 10 Magnitud (dB) 0 −10 −20 −30 −40 −50 −60 0 0.2 0.4 0.6 0.8 ) Frecuencia Normalizada (×π rad seg Figura 5.5: Respuesta en Frecuencia de H0 En este caso el largo del filtro es M que es igual al número de canales. Los filtros Fk están relacionados entre sı́ por la expresión Fk (z) = e−j2πk/M F0 (zej2πk/M ) (5.26) Además F0 (z) = H0 (z). Básicamente lo que hace este banco de filtros es efectuar una transformada discreta de Fourier de Corto Tiempo sobre la señal de entrada. 50 Magnitud (dB) 0 −50 −100 −150 −1 −0.5 0 0.5 Frecuencia Normalizada (×π rad ) seg Figura 5.6: Respuesta en Frecuencia de los filtros Hk 5.4. Banco de filtros modulados por coseno 44 Esta es la transformación que utiliza la modulación discreta multitonal (DMT). 5.4. Banco de filtros modulados por coseno Los bancos de filtros modulados por coseno son ampliamente utilizados debido a su implementación eficiente via la descomposición polifásica. Los bancos de filtros DFT utilizan un filtro prototipo p(n) y se forman los diferentes filtros hk (n) mediante corrimientos en la frecuencia, hk (n) = p(n)ej2πkn/M . Esto implica que, aunque el filtro prototipo sea real, los diferentes hk (n) van a ser complejos. Para evitar esto, se pueden realizar corrimientos en la frecuencia mediante la función coseno en lugar de utilizar la función exponencial compleja. La idea es realizar los corrimientos con la función exponencial creando 2M canales y luego asociar pares de canales de forma tal de obtener una salida real cuando la entrada es real. | P0 (w) |2 π 2M π − 2M w Figura 5.7: Filtro Prototipo En la Fig.(5.7) se muestra el filtro prototipo P0 (w) que se utilizará para efectuar los corrimientos en la frecuencia. Al realizar los corrimientos en frecuencia del filtro prototipo, π 2kπ se crean 2M filtros Qk (ejw ) = P0 (ej(w− 2M − 2M ) ). Dichos filtros se muestran en la Fig.(5.8). Sea Qk,∗ (z), la tranformada z Qk (z) al conjugar sus coeficientes. Luego, al realizar los corrimientos, se satisface Q2M −1−k (z) = Qk,∗ (z) (5.27) Para lograr coeficientes reales en los filtros del banco, se impone la siguiente condición: 5.4. Banco de filtros modulados por coseno | Q0 |2 | Q2M −1 |2 0 45 | Q1 |2 π M | Q2M −1 |2 2π M | Q0 |2 2π w Figura 5.8: Corrimiento en Frecuencia del Filtro Prototipo Hk (z) = ak Qk (z) + a∗k Q2M −1−k (z) 0 ≤k ≤ M −1 (5.28) En particular, una selección posible de ak lleva al corrimiento mediante la función coseno dada por [29] π N −1 hk (n) = 2p(n)cos (2k + 1) (n − ) + θk 2M 2 π N −1 fk (n) = 2p(n)cos (2k + 1) (n − ) − θk 2M 2 π θk = (−1)k 4 0≤n≤N −1 0 ≤n≤N −1 (5.29) Se puede verificar que los filtros cumplen con las condiciónes: fk (n) = hk (N − 1 − n) Fk (z) = z −(N −1) Hk∗ (z −1 ) (5.30) Al requerir que el banco de filtros sea de reconstrucción perfecta, se llega a una condición sobre las componentes polifásicas [29]. Lema. Sea h(z) el banco de filtros de análisis obtenidos a partir de P (z), un filtro prototipo de coeficientes reales y fase lineal, de largo N = 2mM (m ≥ 1) y componentes polifásicas Gk (z). La matriz de componentes polifásicas es llamada sin pérdidas y por lo tanto el banco es de reconstrucción perfecta si y solo si 5.4. Banco de filtros modulados por coseno 46 G∗k (z −1 )Gk (z) + G∗M +k (z −1 )GM +k (z) = 1 2M 0≤k ≤M −1 Es decir que hay reconstrucción perfecta si los pares apropiados de componentes polifásicas son complementarias en potencia. Ejemplo 1: MLT (Transformación con Superposición) Para el caso particular en que el largo del filtro es de N = 2M, el banco de filtros es conocido como “Transformación con Superposición”. Éste fue propuesto por PrincenBradley [2]. En este caso se puede obtener una fórmula cerrada para el filtro prototipo. Debido a que en este caso Gk (z) = h(k), la condición de reconstrucción perfecta se transforma en h(n)2 + h(M + n)2 = 1 2M (5.31) Una función que satisface dicha restricción es 1 1 π h(n) = √ sin (n + ) 2 2M 2M 50 Magnitud (dB) 0 −50 −100 −150 −200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Frecuencia Normalizada (×π rad ) seg Figura 5.9: Canales MLT para 8 Canales (5.32) 5.5. Bancos de filtros con reconstrucción casi perfecta 47 Ejemplo 2: ELT (Transformación con Superposición Extendida) Si N = 4M también se puede llegar a una fórmula cerrada. Este banco de filtros fue propuesto por Malvar [2], y consiste en utilizar el siguiente filtro prototipo 1 1 1 π cos (n + ) h(n) = − √ + √ 2 2M 4 M 2 2M (5.33) 50 0 Magnitud (dB) −50 −100 −150 −200 −250 −300 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Frecuencia Normalizada (×π rad ) seg Figura 5.10: Canales ELT para 8 Canales 5.5. Bancos de filtros con reconstrucción casi perfecta Hasta ahora se pidió que el banco sea de reconstrucción perfecta, es decir, que satisfaga las condiciones (5.2.1). Es interesante relajar las condiciones halladas en busca de caracterı́sticas espectrales favorables al esquema de modulación. Por comodidad, se repite b la expresión que relaciona la salida del banco X(z) con la entrada X(z). M −1 1 X b X(z) = Al (z)X(ze−j2πl/M ) M l=0 Donde (5.34) 5.5. Bancos de filtros con reconstrucción casi perfecta Al (z) = M −1 X Hk (ze−j2πl/M )Fk (z) k=0 48 0≤l ≤M −1 (5.35) El banco de filtros a diseñar será producto del corrimiento mediante la función coseno explicado en la sección anterior. En particular, se pide que el filtro prototipo P (z) sea aproximadamente limitado en banda, es decir |P (w)|2 ≃ 0 para |w| > π 2M (5.36) Con esta condición se obtiene que los términos de aliasing de la Ec.(5.35) se minimizan. En este caso la transferencia T (z) definida en la Ec.(5.34) se convierte en T (z) = M −1 X k=0 2 |Hk (z)| = 2M −1 X k=0 |Pk (ze−j2πk/2M )|2 (5.37) Luego, para que no haya distorsión se busca satisfacer aproximadamente que T (w) = 2M −1 X k=0 |P (w − kπ/M)|2 ≃ 1 (5.38) Ésta es la condición de reconstrucción casi perfecta (o NPR) para filtros limitados en banda (Ec.(5.36)). Si se define G(w) = |P (w)|2, la condición (5.38) requiere que G(w) sea, aproximadamente, un filtro de Nyquist. T (w) = 2M −1 X k=0 |P (w − kπ/M)|2 = 2M −1 X k=0 Esto equivale a g(2Mn) ≃ 1 δ(n), 2M (5.39) G(w − kπ/M) ≃ 1 donde δ(n) es la delta de Dirac [39]. Para diseñar P (w) se supone que este filtro está parametrizado por un parámetro real wc que se obtiene a partir del siguiente problema de optimización mı́n máx |g(2Mn)| wc n,n6=0 (5.40) 5.5. Bancos de filtros con reconstrucción casi perfecta 49 Desde el punto de vista del sistema de comunicación con múltiples portadoras, al obtener un filtro prototipo acotado en banda, los subcanales obtenidos no interfieren uno con otro. Por otro lado, al requerir que g(n) sea un filtro de Nyquist, se asegura ası́ que cada subcanal satisfaga el criterio de Nyquist para cero ISI con un perı́odo de sı́mbolo de M muestras. Ejemplo - Ventana de Kaiser Se busca un filtro que sea aproximadamente de Nyquist y que tenga su energı́a concentrada de forma tal de ser un filtro acotado en banda. Por esta razón se elige un filtro de respuesta en frecuencia ideal multiplicado por una ventana de Kaiser. En este caso, el parámetro wc es la frecuencia de corte del filtro. Se comprueba que dicho criterio es una función convexa de wc [39]. En este ejemplo, se quiere construir un banco de filtros de M = 8 canales. Se busca que la longitud del filtro sea de treinta y dos muestras, es decir, cuatro veces la cantidad de canales. En la Fig.(5.11) se muestran las respuestas en frecuencia de los filtros obtenidos mediante este método. 10 0 −10 Magnitud (dB) −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Frecuencia Normalizada (×π rad ) seg Figura 5.11: División del Espectro Capı́tulo 6 Ecualización En Sistemas MCM Uno de los principales inconvenientes para transmitir información a través de canales en los que la ganancia y la fase dependen de la frecuencia es la interferencia entre sı́mbolos transmitidos (ISI). Una forma de enfrentar el problema del ISI es utilizando modulación con múltiples portadoras (MCM). Para este tipo de modulación, la información es transmitida a través de subcanales independientes entre sı́. Cada subcanal ocupa una porción del ancho de banda disponible. Si se logra que la respuesta en frecuencia en cada subcanal sea constante, la señal transmitida por ese subcanal queda simplemente desplazada en el tiempo y atenuada. Es decir que las señales transmitidas en un mismo subcanal no interfieren entre sı́. Sin embargo distintos subcanales pueden tener retrasos diferentes y por ende, superponerse. En este capı́tulo se formula el problema de ecualizar linealmente un canal dispersivo en un sistema de transmisión multitonal. Se muestra que para dicha modulación sólo es necesario ecualizar la fase de la respuesta en frecuencia del canal [10]. Asimismo se proponen tres planteos originales para resolver el problema. 6.1. Ecualización en sistemas con múltiples portadoras Como se vio en el capı́tulo 3, en un canal dispersivo la ganancia y la fase dependen de la frecuencia. Las señales enviadas a través de cada subcanal son atenuadas y retrasadas 6.2. Algoritmos de ecualización 51 según el espectro de cada subcanal en particular, resultando en una deformación de la onda. Esto resulta en una superposición entre los distintos subcanales. Este efecto es llamado interferencia entre canales (ICI) y es inherente a los sistemas MCM. Tanto el ISI como el ICI se ven intensificados cuando la tasa de transmisión aumenta. En DMT se evita la interferencia de sı́mbolos consecutivos agregando un intervalo de guarda que consiste en una extensión cı́clica de la forma de onda del sı́mbolo enviado [1]. Si dicho intervalo es mayor que la respuesta impulsiva del canal, se conserva la ortogonalidad entre los subcanales. Por esta razón aparecen los ecualizadores en el tiempo (TEQ), cuyo objetivo es acortar la respuesta impulsiva del canal a un valor deseado. Al utilizar sistemas con múltiples portadoras basados en bancos de filtros se pueden lograr que las bases tengan una duración mayor al perı́odo de sı́mbolo. En este caso, los sı́mbolos se superponen en el tiempo y no es posible utilizar un perı́odo de guarda. La superposición en el tiempo de las bases busca que los soportes de los subcanales en el dominio de las frecuencias no coincidan. Por lo tanto, un factor de amplitud no modifica su ortogonalidad. Sin embargo, la diferencia de fase que introduce el canal resulta en la pérdida de la ortogonalidad entre un sı́mbolo y el mismo desplazado en el tiempo. Por lo tanto la ecualización queda reducida a un tratamiento de la fase. 6.2. Algoritmos de ecualización El objetivo es obtener un ecualizador tal que la cascada entre el canal y el ecualizador tenga fase lineal. El requerimiento de fase se obtiene imponiendo condición de simetrı́a alrededor de un punto de la respuesta impulsiva equivalente, que es de duración finita. Se demuestra que para lograr una fase lineal se precisan un número de etapas en el ecualizador igual o mayor al largo del canal menos 1. Si se utilizan ecualizadores más cortos, el objetivo no es alcanzable en forma exacta. La medida de performance del diseño está determinada por la distancia a la recta que pasa por el origen que mejor aproxima a la fase de la respuesta en frecuencia siguiendo el criterio de cuadrados mı́nimos. De este modo se define el error de fase εφ mediante N 1 X (φ(fi ) − afi )2 εφ = N i=1 (6.1) 6.2. Algoritmos de ecualización 52 En esta definición, N es el número de frecuencias cuya respuesta se conoce, φ(fi ) la fase de la respuesta en frecuencia, y a es la pendiente de la recta que pasa por el origen y que mejor aproxima en el sentido de cuadrados mı́nimos a la fase. Si bien el algoritmo no minimiza directamente εφ , se utiliza dicha magnitud para comparar las técnicas de diseño propuestas. La idea es utilizar un ecualizador w(n) en cascada con el canal h(n). Sea Nw el número de coeficientes del ecualizador; luego, la respuesta impulsiva equivalente g(n) es g(n) = h(n) ∗ w(n) = NX w −1 k=0 h(n − k)w(k) (6.2) Sea Nc el largo del canal FIR h(n). Luego, se puede reescribir la Ec.(6.2) en forma matricial definiendo las siguientes matrices y vectores     g=    g1 g2 .. . gNc +Nw −1             =           h1 0 h2 .. . h1 h2 .. . hNc 0 .. . hNc 0 0 .. . 0 0  0 ..  .    0    w0  w1 h1   .. ..   . .    ..  w Nw −1 .   . .. ..  .  · · · hNc ··· .. . .. .      = Hw   (6.3) Donde H ∈ ℜ(Nc +Nw −1)×(Nw ) . Las condiciones a imponer sobre g son varias. A continuación se describen dichas condiciones y se formulan en función de la matriz H y los vectores w y g. Cuando se busque definir una simetrı́a par respecto a la posición δ entre los primeros 2δ − 1 coeficientes de la cascada canal-ecualizador, se requerirá que g(i) = g(2δ − i) i = 1, 2, ..., δ − 1 (6.4) Si hti representa cada fila de la matriz H, esta última condición de simetrı́a queda representada en forma matricial mediante 6.2. Algoritmos de ecualización  53  g1 − g2δ−1   g2 − g2δ−2   ..  .  gδ−1 − gδ+1  ht1 − ht2δ−1     ht − ht   2 2δ−2  = Cw =  ..   .   htδ−1 − htδ+1     w   (6.5) Los restantes coeficientes de la respuesta impulsiva de la cascada resultan ser g(i) i = 2δ, 2δ + 1, ...Nc + Nw − 1 (6.6) Dichos coeficientes quedan expresados en forma matricial como         g2δ g2δ+1 .. . gNh +Nw −1         = Aw =      ht2δ ht2δ+1 .. . htNh +Nw −1     w   (6.7) Para excluir las soluciones del tipo w = 0 es útil que alguna combinación lineal de los coeficientes del ecualizador sea no nula, es decir, NX w −1 i=0 6.2.1. d(i)w(i) = dt w 6= 0 (6.8) Ecualización exacta Como primer método de diseño, se propone utilizar el filtro adaptado al canal. Ası́ sólo se modifica la amplitud y no la fase. Dicho ecualizador resulta ser w(n) = h(−n) n = −Nc , ..., −1 (6.9) Como g(n) es la convolución entre el canal y el ecualizador, su respuesta G(Ω) en frecuencia es el productor de las respuestas en frecuencia del canal H(Ω) y del ecualizador W (Ω). G(Ω) = W (Ω)H(Ω) (6.10) 6.2. Algoritmos de ecualización 54 La respuesta en frecuencia del ecualizador se relaciona con la respuesta en frecuencia del canal mediante W (Ω) = H(−Ω) = H ∗ (Ω) (6.11) Volviendo a la Ec.(6.10), la respuesta en frecuencia del canal equivalente resulta G(Ω) = H ∗ (Ω)H(Ω) = |H(Ω)| 2 (6.12) Con lo cual, el espectro de la señal a la salida del ecualizador es Y (Ω) = |H(Ω)|2X(Ω) (6.13) En la Ec.(6.13) se ve que la fase de la salida se corresponde con la fase de la señal de entrada. De esta forma la cascada entre el canal y el ecualizador no produce una alteración de la fase. El problema de es que este tipo de ecualización implica la implementación de un sistema anticausal que conlleva al aumento de la latencia del sistema de transmisión. 6.2.2. Ecualización con simetrı́a perfecta Como alternativa, se busca un ecualizador con un menor número de etapas. Entonces se propone restringir la solución w(n) a los casos en que la respuesta impulsiva de dicha cascada g(n) tenga una simetrı́a par dentro de una ventana de largo 2δ − 1. Se desea minimizar la energı́a fuera de esa ventana. La minimización se realiza sobre los posibles w(n), y se itera sobre los distintos centros de simetrı́a δ, buscando la mejor solución de acuerdo al criterio establecido. De acuerdo a lo establecido en la Ec.(6.5), la condición de simetrı́a perfecta equivale a pedir Cw = 0 (6.14) Por otro lado, buscar que la energı́a fuera de la ventana sea mı́nima se desprende de la Ec.(6.7) y resulta ser 6.2. Algoritmos de ecualización mı́n 55 Nc +N Xw −1 i=2δ |g(i)|2 = mı́n kAwk2 (6.15) La condición adicional para evitar la solución nula se obtiene a partir de la Ec.(6.8). Finalmente, queda planteado el siguiente problema de optimización: mı́n kAwk22 w dado ( Cw = 0 dt w = 1 (6.16) La matriz A de (Nc + Nw − 2δ) × (Nw ) consiste en las últimas filas de la matriz H que caracteriza al canal. La matriz C de (δ − 1) × (Nw ) caracteriza a la condición de simetrı́a. El vector d es un vector a determinar que se utiliza para evitar la solución final w = 0. Para evitar un espacio solución vacı́o se requiere una matriz C con un número mayor de columnas que la dimensión del espacio generado por esas mismas columnas. Esto implica que δ < Nw + 1. Por otro lado, para que exista una única solución, se necesita que las columnas de la matriz A sean linealmente independientes. De no ser ası́, existen infinitas soluciones parametrizadas por una componente en el núcleo del espacio columnas. La superficie deja de tener un único mı́nimo, convirtiéndose en un paraboloide degenerado en alguna dirección. Para evitar esto, se pide que la matriz A sea una matriz con un número mayor de filas que de columnas, es decir, δ ≤ Nc /2 (6.17) Dada la estructura de la matriz, esta condición es necesaria y suficiente para la existencia de una única solución. El ecualizador se encuentra realizando el proceso de minimización descrito en forma general en el anexo C. La solución está dada por w= (At A)−1 [d − C t (C(At A)−1 C t )−1 C(At A)−1 d] dt (At A)−1 [d − C t (C(At A)−1 C t )−1 C(At A)−1 d] (6.18) Sabiendo que las matrices (At A)−1 y (C(At A)−1 C t )−1 son simétricas, la norma kAwk22 resulta ser 6.2. Algoritmos de ecualización kAwk22 = 56 1 dt (At A)−1 [At A − C t (C(At A)−1 C t )−1 ](At A)−1 dt (6.19) Sea M = (At A)−1 [At A − C t (C(At A)−1 C t )−1 ](At A)−1 . Luego, la solución del problema resulta ser kAwk22 = (dt Md)−1 con d definido en la Ec. (6.16) y M es una matriz definida positiva. Por lo tanto, el vector d es el autovector asociado al mayor autovalor de M. 6.2.3. Ecualización con simetrı́a aproximada Esta propuesta consiste en requerir que los últimos coeficientes de la respuesta impulsiva de la cascada Canal-Ecualizador sean nulos. Se plantea un problema de minimizacón sobre los primeros 2δ − 1 coeficientes, tratando que estos sean simétricos respecto a la posición δ. Nuevamente, retomando la Ec.(6.7), la condición de anular los últimos coeficientes equivale a pedir Aw = 0 (6.20) Por otro lado, requerir que la respuesta impulsiva del canal equivalente sea aproximadamente simétrica implica minimizar la energı́a del vector definido en la Ec.(6.5), es decir, mı́n kCwk22 (6.21) Finalmente, para evitar la solución nula se agrega la condición de la Ec.(6.8). Esta propuesta es equivalente al siguiente problema de optimización mı́n kCwk22 w dado ( Aw = 0 dt w = 1 (6.22) Se hace un análisis análogo al hecho para la propuesta anterior y resulta que para evitar el espacio de posibles soluciones nulo, δ > Nc /2. Al requerir que la solución sea única, resulta Nw < δ. Ésta es una condición necesaria pero no es suficiente, ya que la matriz C tiene una estructura tal que no se puede prever independencia lineal entre sus 6.2. Algoritmos de ecualización 57 vectores columnas. Por otro lado, δ no puede ser mayor que (Nc + Nw )/2, pues es un centro de simetrı́a. Luego, la condición necesaria para la existencia de solución resulta ser max(Nc /2 + 1, Nw + 1) ≤ δ ≤ ⌊(Nc + Nw )/2⌋ (6.23) La solución w es semejante a la hallada para el ecualizador anterior con la única diferencia de que, en este caso, la matriz de simetrı́a C está intercambiada con la matriz A. Un mayor análisis de este problema de optimización lleva a una implementación más eficiente. La estructura de la matriz A impone que la solución buscada tenga los Nc +Nw − 2δ últimos coeficientes nulos. Esta observación permite encontrar un problema equivalente con una menor complejidad algorı́tmica. Sabiendo que A ∈ ℜ(Nc +Nw −1δ)×Nw , luego la restricción en la longitud del canal equivalente resulta ser  0 0 . . . hNc −1 hNc −2 hNc −3 hNc −4   0 0 ... Aw = 0 =    0 0 ... 0 0 ...   hNc −1 hNc −2 hNc −3  w  0 hNc −1 hNc −2  0 0 hNc −1 0 0 0 (6.24) Si se llama Ai al i-ésimo vector columna de A, se obtiene Aw = NX w −1 i A wi = i=0 NX w −1 Ai wi = 0 (6.25) i=Nc −2δ w −1 Como {Ai }N i=Nc −2δ es un conjunto de vectores linealmente independientes luego la Ec.(6.25) implica que wi = 0 para i = Nc − 2δ, ...Nw − 1. Se definen las siguientes matrices " # h i e w e w= A= 0 A 0 C= h e C C2 i d= " e d d2 # Entonces, el problema de optimización de la Ec.(6.22) resulta equivalente a ewk e 22 mı́n kC e w dado n etw e =1 d (6.26) De este modo, se obtiene un problema equivalente de menor dimensión y con un menor número de restricciones. 6.2. Algoritmos de ecualización 6.2.4. 58 Aplicación como ecualizador en el dominio temporal (TEQ) para DMT En el caso del ecualizador de simetrı́a perfecta, se busca la solución a la minimización de energı́a fuera de una ventana, mientras que en la ventana la respuesta impulsiva de la cascada entre el canal y el ecualizador tiene una simetrı́a par. Por esta razón, el diseño del ecualizador determina una respuesta impulsiva equivalente de corta duración y apta para ser utilizada como ecualizador en el dominio temporal (TEQ) para DMT. Capı́tulo 7 Estudio Experimental Este capı́tulo comienza comparando las distintas propuestas de ecualización para sistemas de modulación multitonal. Para ello se utiliza un canal LTI que modeliza un par telefónico. Se verá que el ecualizador de simetrı́a perfecta produce resultados aceptables con un bajo número de coeficientes y funciona como un TEQ, por lo que será el seleccionado para los experimentos numéricos realizados sobre las distintas modulaciones. Por otro lado, se compara la performance de sistemas basados en tres modulaciones distintas. La primera modulación a considerar se trata de DMT, por ser la más difundida en la práctica. La segunda es una modulación basada en la transformada ELT. Ésta se utiliza por provenir de un banco de filtros de reconstrucción perfecta y tener una implementación eficiente. Por último se utiliza otra modulación basada en un banco de filtros de reconstrucción aproximada (NPR) diseñado con una ventana de Kaiser. Ésta mantiene la complejidad algorı́tmica de la transformación ELT pero produce bases con una menor interferencia entre canales, es decir, se logra una mayor resolución en frecuencia a cambio de relajar las condiciones de reconstrucción perfecta. Todas las modulaciones se prueban en primera instancia ante un canal idea. Se muestra que frente a ruido blanco, los tres sistemas tienen similar performance. Luego, para ruido de banda angosta, se muestra que las modulaciones con subcanales mejor definidos en frecuencia producen una probabilidad de error menor que los sistemas con menor discriminación en frecuencia como DMT. Este resultado es independiente de la localización en frecuencia del ruido de banda angosta. Finalmente se procede a realizar las mismas pruebas pero esta vez con el canal real presentado en la evaluación de los ecualizadores. Los resultados obtenidos son semejantes 7.1. Análisis comparativo de los métodos de ecualización 60 a los observados para un canal idea, pero se presentan de forma más notoria, por resultar el ecualizador un pasaaltos. 7.1. Análisis comparativo de los métodos de ecualización En esta sección se utiliza un canal que modeliza un par telefónico y se diseñan los distintos ecualizadores propuestos. 7.1.1. Descripción del canal El canal dispersivo a considerar se trata de un par telefónico, es decir, un sistema que se puede modelizar como invariante en el tiempo, tı́picamente pasabajos, y de larga respuesta impulsiva. En particular, se utiliza un modelo que aproxima a la respuesta impulsiva descrita en [34] y está dada por los primeros cien coeficientes de la respuesta en frecuencia descrita mediante H(z) = −0,080 − 0,054z −1 + 0,594z −2 1 − 1,212z −1 + 0,259z −2 (7.1) 0.6 20 0 Módulo Fase 0.5 13 −80 6 −160 −1 −240 −8 −320 0.3 0.2 0.1 0 fase (grados) módulo (dB) amplitud 0.4 −0.1 −0.2 0 20 40 tiempo 60 80 Figura 7.1: Canal en el Tiempo −15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 frecuencia normalizada (×π rad ) seg −400 Figura 7.2: Canal en las Frecuencias 7.2. Análisis comparativo de las modulaciones con múltiples portadoras 7.1.2. 61 Resultados En la Fig.(7.3) se muestra la respuesta impulsiva de la cascada entre el canal y el ecualizador adaptado. Se puede ver que la duración de dicha respuesta es del doble de la duración del canal. En la Fig.(7.4) se muestra la respuesta en frecuencia de la misma cascada. Aquı́ se puede ver que la fase resultante es lineal. 3.5 40 0 Módulo Fase 3 26 −3600 12 −7200 −2 −10800 −16 −14400 2 1.5 1 0.5 fase (grados) módulo (dB) amplitud 2.5 0 −0.5 0 50 100 tiempo 150 −30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 frecuencia normalizada (×π rad ) seg −18000 Figura 7.3: Cascada Canal/Ecualizador Ex- Figura 7.4: Cascada Canal/Ecualizador Exacto en el Tiempo acto en las Frecuencias Si se utiliza el ecualizador de simetrı́a perfecta de 7 etapas, se obtiene la respuesta impulsiva de la Fig.(7.5). Se ve que se puede aproximar a esta respuesta como un canal equivalente con únicamente 5 muestras distintas de cero. En la Fig.(7.6) se muestra que, en este caso, la fase es aproximadamente lineal. Por último, se diseña el ecualizador de simetrı́a aproximada. En este caso, para obtener una fase aproximadamente lineal se necesitaron 93 etapas. En la Fig.(7.7) se muestra la respuesta impulsiva de la cascada utilizando este ecualizador. Ésta se aproxima a la respuesta obtenida con el ecualizador adaptado al canal. 7.2. Análisis comparativo de las modulaciones con múltiples portadoras En el siguiente estudio, se utilizó el ecualizador de simetrı́a perfecta, produciendo un canal equivalente de largo Nc = 5. Por esta razón, se utiliza DMT con un prefijo cı́clico 7.2. Análisis comparativo de las modulaciones con múltiples portadoras 1.2 62 3 0 1 1.4 −80 −0.2 −160 −1.8 −240 0.6 0.4 0.2 fase (grados) módulo (dB) amplitud 0.8 −3.4 −320 0 −0.2 0 Módulo Fase 20 40 60 tiempo 80 −5 0 100 0.2 0.4 0.6 0.8 frecuencia normalizada (×π rad ) seg −400 Figura 7.5: Cascada Canal/Ecualizador de Figura 7.6: Cascada Canal/Ecualizador de Simetrı́a Perfecta en el Tiempo Simetrı́a Perfecta en las Frecuencias 1.2 30 0 Módulo Fase 1 18 −3600 6 −7200 −6 −10800 −18 −14400 0.6 0.4 0.2 fase (grados) módulo (dB) amplitud 0.8 0 −0.2 0 50 100 tiempo 150 −30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 frecuencia normalizada (×π rad ) seg −18000 Figura 7.7: Cascada Canal/Ecualizador de Figura 7.8: Cascada Canal/Ecualizador de Simetrı́a Aproximada en el Tiempo Simetrı́a Aproximada en las Frecuencias de cuatro muestras. Esto hace que la tasa de transmisión sea ligeramente menor para este sistema que para los demás. Las otras dos modulaciones utilizadas en las simulaciones se basan, la primera, en la transformación ELT, y la segunda en un banco de reconstrucción aproximada basado en la ventana de Kaiser (NPR). En ambos casos la longitud de las bases es de 4M. Los distintos sistemas se comparan en base a tu tasa de error. Para estimar esta medida de performance, se define el siguiente proceso estocástico: 7.2. Análisis comparativo de las modulaciones con múltiples portadoras xn = ( 1 si se comete un error 0 si no se comete un error 63 (7.2) Se supone que las variables aleatorias xn son independiente e idénticamente distribuidas y con probabilidad xn = ( 1 con probabilidad p 0 con probabilidad 1 − p (7.3) Entonces ocurre que la esperanza E(xn ) = 0.(1 − p) + p = p < ∞. En este caso se puede aplicar el teorema de Kolmogorov o ley fuerte de los grandes números [16] Teorema de Kolmogorov. Sean xn variables independientes e idénticamente disP tribuidas y Sn = nj=1 xj . Si la esperanza E(x) existe y es finita, luego Sn → E(x) con probabilidad uno n (7.4) En particular, si se cuentan los errores cometidos en la transmisión y se divide por el número total de datos enviados, para un número grande de datos, se estima la probabilidad p de cometer un error. Con este objetivo, se procedió a enviar 1,000 sı́mbolos de 128 subcanales con 1 bit de información en cada subcanal, a través del canal telefónico, sumando tanto perturbaciones de ruido blanco como perturbaciones de ruido de banda angosta con potencia igual a la potencia de señal. 7.2.1. Análisis frente a dos canales de transmisión Primer caso: canal ideal Como primera medida, se considera un canal sin dinámica en el cual sólo se le suma ruido a la señal modulada. Se evalúa la performance de los tres sistemas primero frente a perturbaciones de banda angosta y luego frente a ruido blanco. 7.2. Análisis comparativo de las modulaciones con múltiples portadoras 64 Para analizar cómo influye el ruido de banda angosta en la demodulación, se le suma a la señal modulada una perturbación consistente en un coseno de energı́a igual a la energı́a de la señal. En la Fig.(7.9) se muestra la estimación de la probabilidad de error en función de la frecuencia del ruido de banda angosta. 0.04 DMT Probabilidad de Error 0.02 0 0 0.01 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.005 ELT 0 0 0.01 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.005 NPR 0 0 0.1 0.2 0.3 ) Frecuencia de Ruido (×2π rad seg 0.4 0.5 Figura 7.9: Estimación de la Probabilidad de Error Vs. La Frecuencia de Ruido de Banda Angosta Se puede ver la gran dependencia de la probabilidad de error con la frecuencia de ruido de banda angosta en DMT. Esto se debe a que, cuando el ruido coincide exactamente con la frecuencia de portadora, sólo se perjudican dos canal (el canal en fase y el canal en cuadratura de una portadora), mientras que si no coincide, se degradan una gran cantidad de canales, aumentando la probabilidad de error. En cambio, en las otras dos modulaciones el ruido nunca se proyecta en más de dos canales debido a la gran resolución frecuencia de los subcanales. Luego se procede a evaluar las modulaciones frente a ruido blanco. En la Fig.(7.10) se muestra la probabilidad de error estimada en función de la SNR en decibeles. La estimación para los tres casos es coincidente. Esto se debe a que la potencia de ruido 7.2. Análisis comparativo de las modulaciones con múltiples portadoras 65 blanco se proyecta en cada uno de los subcanales por igual. En este caso no importa la resolución frecuencial de las bases. 0.35 DMT ELT NPR Probabilidad de Error 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 −5 0 5 10 15 20 SNR (dB) 25 30 35 40 Figura 7.10: Estimación de la Probabilidad de Error Vs. La Relación Señal a Ruido Segundo caso: canal dispersivo En este caso el canal se considera un canal dispersivo. El canal utilizado es el presentado anteriormente en la sección 7.1.1. El ecualizador que se utiliza es el de simetrı́a perfecta de largo Nw = 7. Se procede a realizar el mismo análisis que en el caso anterior. Se comienza con el análisis de la inmunidad de los sistemas de comunicación frente a perturbaciones de banda angosta. En las Fig. (7.11) y (7.12) se grafica la estimación de la probabilidad de error en función de la frecuencia del ruido de banda angosta. Es de importancia notar la diferencia de órdenes de magnitud en los ejes de la probabilidad de error estimada para cada una de las diferentes modulaciones en la Fig.(7.11). Nuevamente se puede ver las distintas dependencias de la probabilidad de error con la frecuencia de ruido de banda angosta. El aumento de la probabilidad de error para 7.2. Análisis comparativo de las modulaciones con múltiples portadoras 0.2 DMT 0.18 0.2 Probabilidad de Error Probabilidad de Error 0.4 0.16 0 0 0.04 ELT 66 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 DMT ELT NPR 0.14 0.12 0.02 0.1 0 0 0.02 NPR 0.08 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.06 0.04 0.01 0 0 0.02 0.1 0.2 0.3 Frecuencia de Ruido 0.4 ) (×2π rad seg 0.5 0 0.375 0.38 0.385 0.39 Frecuencia de Ruido (×2π rad ) seg Figura 7.11: Estimación de la Probabilidad Figura 7.12: Comparación de las Estimade Error Vs. La Frecuencia de Ruido de ciones de la Probabilidad de Error Vs. La Banda Angosta Frecuencia de Ruido de Banda Angosta determinadas frecuencias se debe a las caracterı́sticas pasa altos del ecualizador ya que el ruido debe pasar por la etapa de ecualización antes de ser demodulado. En la Fig.(7.13) se muestra la probabilidad de error estimada por cada subcanal para una frecuencia de ruido tomada al azar. Se puede apreciar como antes, que en el sistema DMT un número mayor de subcanales se ve afectado por el ruido de banda angosta. Luego se realiza el análisis frente a ruido blanco antes de la etapa de ecualización en lugar del ruido de banda angosta. Los resultados se muestran en la Fig.(7.14). Para potencias de ruido elevadas, DMT posee una tasa mayor de errores. Ocurre este efecto debido a que, a la salida del ecualizador, hay ruido correlacionado. Esto hace que el ruido deje de ser blanco, y posea mayor energı́a, en general, en frecuencias altas. De esta forma, el ruido tiende, en cierta medida, a parecerse a ruido de banda angosta y ocurre el mismo efecto que el explicado anteriormente. 7.2. Análisis comparativo de las modulaciones con múltiples portadoras 67 0.5 0.45 DMT ELT NPR Probabilidad de Error 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 20 25 30 35 40 45 50 55 Índice Canal Figura 7.13: Comparación de las Estimaciones de la Probabilidad de Error Por Canal 0.45 DMT ELT NPR 0.4 Probabilidad de Error 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 −10 0 10 SNR (dB) 20 30 40 Figura 7.14: Estimación de la Probabilidad de Error Vs. La Relación Señal a Ruido Capı́tulo 8 Conclusiones Basándose en los trabajos de la literatura especializada, esta tesis avanza en el análisis de los sistemas de modulación con múltiples portadoras ante perturbaciones de banda angosta y propone un método de diseño del transmisor y del ecualizador que permite reducir la probabilidad de error frente a otros sistemas de modulación con múltiples portadoras. En particular, se presentaron sistemas de comunicación de múltiples portadoras basados en bancos de filtros. Este esquema incluye a la modulación DMT que es la modulación MCM por excelencia debido a ser de fácil y barata implementación. Se presentaron dos modulaciones con múltiples portadoras que utilizan portadoras de mayor duración temporal, logrando ası́ una mayor resolución en frecuencia. Además, con el objetivo de aumentar aún más la resolución en frecuencia, se propuso el uso de un banco de filtros de reconstrucción casi perfecta. Para no disminuir la tasa de transmisión, la mayor duración de las portadoras debe permitir una superposición de sı́mbolos en el dominio temporal. La performance de los tres sistemas (los dos propuestos y DMT) resulta similar frente a perturbaciones de ruido blanco. El error asociado al banco de reconstrucción aproximada puede ser considerado como un ruido adicional a la salida del canal. Se verificó experimentalmente que la varianza de dicho ruido cumple con las siguientes observaciones: Cuando la SNR es favorable, la etapa de decisión hace que dicho ruido no provoque errores. Y cuando la SNR es desfavorable, el ruido sumado en el canal es tal que hace despreciable el ruido del sistema. Por otro lado, ante perturbaciones de ruido de banda angosta en los sistemas ELT y NPR, la probabilidad de error se mantiene aproximadamente constante pues, al tenerse 8.1. Futuras lı́neas de investigación 69 una mayor resolución en frecuencia, siempre son pocos los canales que se ven afectados, logrando además una probabilidad de error menor. En el caso de la modulación de reconstrucción aproximada se lograron canales mejor definidos en frecuencia por lo que el citado efecto es más notorio. Asimismo, se diseñaron ecualizadores lineales para sistemas de modulación con múltiples portadoras. Es de notar que estos esquemas de ecualización no implican una degradación en la tasa de transmisión como ocurre con la adición del prefijo cı́clico en DMT. El ecualizador de simetrı́a perfecta, además de lograr un canal equivalente de fase aproximadamente lineal, acorta la respuesta impulsiva, haciendo que la interferencia sea con una menor cantidad de sı́mbolos, por lo que mejora la performance de los tres sistemas de comunicación. Además permite su uso como el clásico ecualizador en el dominio del tiempo (TEQ) de DMT. Finalmente se procedió a realizar las misma pruebas pero esta vez con un canal real y el ecualizador de simetrı́a perfecta. Los resultados obtenidos son semejantes a los observados para un canal ideal, pero se presentan de forma más notoria, por ser el ecualizador un pasaaltos. Frente a ruido de banda angosta, esto provoca la amplificación de ruido en las altas frecuencias, haciendo que se desparrame en una mayor cantidad de canales en DMT mientras que en las otras dos modulaciones sigue concentrado en pocos canales. Y cuando se encuentra ruido blanco presente en el canal, el ecualizador hace que el ruido a demodular pierda la caracterı́stica de descorrelación temporal y por lo tanto pase a ser ruido coloreado, empezándose a asemejar a ruido de banda angosta. 8.1. Futuras lı́neas de investigación En base a los resultados obtenidos en esta tesis, se abren varias lı́neas de investigación sobre el estudio de los sistemas de modulación con múltiples portadoras. 8.1.1. Efecto de los bancos de reconstrucción casi perfecta Los sistemas de modulación basados en bancos de filtro de reconstrucción casi perfecta poseen un error que puede considerarse como un ruido inherente del sistema. Es interesante estudiar cómo influye este error en la capacidad del canal, es decir, en la máxima tasa de transferencia (con probabilidad de error controlada). Más aún, 8.1. Futuras lı́neas de investigación 70 es importante relacionar las caracterı́sticas del error de reconstrucción del banco NPR con la capacidad del canal de modo tal de aprovechar sus propiedades para aumentar la capacidad de los canales MCM. 8.1.2. Bancos de filtros con interpolación mayor al número de canales En DMT, al agregar el prefijo cı́clico se degrada ligeramente la tasa de transmisión. Si se permite disminuir la tasa de transmisión en los sistemas basados en bancos de filtros, luego pueden utilizarse bancos con interpoladores de orden K, tal que K sea mayor que el número de canales. En estos casos se puede lograr una mayor resolución en frecuencia. Nuevamente en este caso es interesante ver cómo la redundancia aportada por el factor de sobremuestreo permite construir sistemas con menor probabilidad de error. 8.1.3. Algoritmos de carga Uno de los beneficios de la modulación con múltiples portadoras es lograr subcanales independientes. Cada subcanal transmite una cantidad de información variable. Los subcanales que posean una mejor relación señal a ruido transmitirán una mayor cantidad de información, mientras que los subcanales con menor relación señal a ruido se utilizarán con menor cantidad de información. Los algoritmos de carga son los encargados de decidir qué cantidad de bits se transmitirán en cada subcanal de acuerdo a mediciones sobre la relación señal a ruido. Para DMT hay una serie de algoritmos de carga. Se puede estudiar si estos algoritmos son aplicables a los sistemas basados en bancos de filtros y diseñar alternativas especı́ficas que aprovechen la resolución frecuencial lograda. Trabajos Relacionados Los resultados teóricos y experimentales que surgieron a partir de esta tesis fueron presentados en los siguientes congresos: Impacto del Ruido de Banda Angosta sobre Sistemas con Múltiples Portadoras XI Reunión de Trabajo en Procesamiento de la Información y Control (RPIC), Argentina, 2005. Ecualización en Sistemas con Múltiples Portadoras III Congreso Internacional de Matemática Aplicada a la Ingenierı́a y Enseñanza de la Matemática en Ingenierı́a (INMAT), Argentina, 2005. Actualmente está en proceso de evaluación el siguiente trabajo: Modulador de Múltiples Portadoras Para Canales Dispersivos XX Congreso Argentino de Control Automático AADECA, Argentina, 2006. Los tres artı́culos son de autorı́a conjunta entre el Sr. Guido H. Jajamovich y la Dra. Cecilia Galarza, ambos miembros de la Facultad de Ingenierı́a de la Universidad de Buenos Aires. Apéndice A Operaciones De Cambio De Tasas A.0.4. Interpolación La operación de interpolación se muestra en la Fig.(A.1). x(n) ↑M y(n) Figura A.1: Interpolación Las señales x(n) e y(n) están relacionadas mediante la expresión (A.1). y(n) = ( x(n/M) para n = kM 0 otro n (A.1) Por lo que sus transformadas z se relacionan según: Y (z) = ∞ X y(n)z −n = n=−∞ A.0.5. X n multiplo M x(n/M)z −n = ∞ X k=−∞ Decimación La operación de decimación se muestra en la Fig.(A.2). x(k)z −kM = X(z M ) (A.2) Apéndice A. Operaciones De Cambio De Tasas x(n) 73 y(n) ↓M Figura A.2: Decimador En este caso, las señales x(n) e y(n) están relacionadas mediante la expresión (A.3). y(n) = x(Mn) (A.3) Si se define como paso intermedio a la señal x1 (n) definida como x1 (n) = ( x(n) para n = kM 0 (A.4) otro n Luego, Y (z) resulta ser Y (z) = ∞ X −∞ y(n)z −n = ∞ X x(nM)z −n = −∞ ∞ X x1 (nM)z −n = −∞ ∞ X x1 (n)z −n/M = X1 (z 1/M ) −∞ (A.5) La señal x1 (n) se relaciona con x(n) mediante x1 (n) = CM (n)x(n) donde CM (n) = ( 1 para n = kM 0 otro n (A.6) Como CM (n) es una señal periódica, se puede representar mediante una serie la serie de Fourier de tiempo discreto [3]. CM (n) = M −1 X jk 2π n M ak e k=0 M −1 1 X 2π ak = CM (n)e−jk M n M n=0 (A.7) Para la señal CM (n), los coeficientes de Fourier resultan ser 1 ak = M → M −1 1 X jk 2π n CM (n) = e M M k=0 (A.8) Apéndice A. Operaciones De Cambio De Tasas 74 Por lo tanto, volviendo a la Ec.(A.5), X1 (z) es X1 (z) = ∞ X x1 (n)z −n = −∞ 1 X1 (z) = M ∞ X CM x(n)z −n −∞ M −1 X −jk 2π M X(e M −1 ∞ 2π 1 XX = x(n)ejk M n z −n M k=0 −∞ (A.9) z) k=0 En consecuencia, la Ec.(A.5) se puede reescribir como M −1 2π 1 X Y (z) = X(e−jk M z 1/M ) M k=0 A.0.6. (A.10) Identidades de Noble Las identidades de Noble permiten llevar a un banco de filtros a su representación polifásica y de esta forma, optimizar la implementación del banco. Identidad de Noble para la Decimación Sea H(z) una transferencia racional (cociente de polinomios en z o z −1 ). La Fig.(A.3) muestra esta identidad. x(n) ↓M v1 (n) y(n) H(z) v2 (n) x(n) ⇔ H(z M ) ↓M y(n) Figura A.3: Identidad de Noble Para la Decimación Por lo visto anteriormente, V1 (z) se relaciona con X(z) a través de la ecuación (A.11). M −1 2π 1 X V1 (z) = X(e−jk M z 1/M ) M k=0 Por lo tanto, la salida Y (z) es (A.11) Apéndice A. Operaciones De Cambio De Tasas 75 M −1 2π 1 X Y (z) = H(z)X(e−jk M z 1/M ) M Y (z) = 1 M k=0 M −1 X 2π (A.12) 2π H((e−jk M z 1/M )M )X(e−jk M z 1/M ) (A.13) k=0 (A.14) Se ve en la Ec.(A.12) que se obtiene el mismo resultado si X(z) pasa por un filtro H(z M ) y luego es decimado. Identidad de Noble para la Interpolación Sea nuevamente un filtro H(z) racional. La Fig. (A.4) muestra esta segunda identidad. x(n) ↑L v1 (n) y(n) H(z) v2 (n) x(n) ⇔ L H(z ) ↑L y(n) Figura A.4: Identidad de Noble Para la Interpolación En este caso V1 (z) se relaciona con X(z) mediante la ecuación (A.15). V1 (z) = X(z L ) (A.15) Y (z) = H(z L )V1 (z) = H(z L )X(z L ) (A.16) La salida del filtro H(z) es Dicha salida resulta equivalente a interpolar H(z)X(z). Apéndice B La Representación Polifásica La representación polifásica permite manipular un problema especı́fico de forma tal de encontrar una implementación de menor complejidad algorı́tmica en los problemas con decimadores e interpoladores. B.0.7. La transformación polifásica Dada la transformada z de una señal x(n) X(z) = ∞ X x(n)z −n (B.1) n=−∞ La idea es dividir la sumatoria en los coeficientes pares por un lado y los impares por otro. X(z) = ∞ X n=−∞ Si se definen P −n X0 (z) = ∞ n=−∞ x(2n)z x(2n)z −2n +z −1 ∞ X x(2n + 1)z −2n (B.2) n=−∞ X1 (z) = P∞ n=−∞ x(2n + 1)z −n Luego, la transformada z de la Ec.(B.1) se puede reescribir como X(z) = X0 (z 2 ) + z −1 X1 (z 2 ) (B.3) Apéndice B. La Representación Polifásica 77 Si en vez de la descomposición en dos fases se quiere en M fases, se procede de modo análogo. X(z) = ∞ X x(Mn)z −M n +z −1 n=−∞ ∞ X x(Mn + 1)z −M n + ... (B.4) x(Mn + (M − 1))z −M n (B.5) n=−∞ ∞ X +z −(M −1) n=−∞ Se puede expresar de forma más sintética como X(z) = M −1 X z −l Xl (z M ) (B.6) l=0 A la Ec.(B.6) se la conoce como la representación polifásica del tipo 1, y a las distintas Xl (z) se las conoce como las componentes polifásicas. Xl (z) ↔ xl (n) = x(Mn + l) (B.7) Además de la descomposición polifásica de tipo 1 existen varios otros tipos de representaciones. La descomposición polifásica de tipo 2 es X(z) = M −1 X ′ z −(M −1−l) Xl (z M ) (B.8) l=0 En este caso, la descomposición es ′ ′ Xl (z) ↔ xl (n) = x(Mn + M − 1 − l) (B.9) La única diferencia entre la descomposición de tipo 1 y la de tipo 2 es la indexación. ′ Xl (z) = XM −1−l (z) Finalmente, se presenta la descomposición polifásica de tipo 3, (B.10) Apéndice B. La Representación Polifásica X(z) = 78 M −1 X X l (z M )z l (B.11) l=0 En este caso, las componentes polifásicas son X l (z) ↔ xl (n) = x(Mn − l) (B.12) Está descomposición se relaciona con las descomposición polifásica de tipo 1 mediante X0 (z) = X 0 (z) Xl (z) = z −1 X M −l (z) B.0.8. (B.13) l = 1, 2..., M − 1 La representación polifásica y los bancos de filtros Si cada filtro perteneciente al banco de filtros Hk (z) tiene sus componentes polifásicas Ekl , donde el subı́ndice k indica a qué filtro pertenece mientras que la l indica que componente polifásica es, luego Hk (z) = M −1 X z −l Ekl (z M ) (B.14) l=0 Si se define h(z) =   h(z) =   h H0 (z) H1 (z) . . . HM −1 (z) iT , la Ec.(B.14) se convierte en        EM −1,0 (z M ) EM −1,1 (z M ) . . . EM −1,M −1 (z M )  E0,0 (z M ) .. . E0,1 (z M ) .. . ... .. . E0,M −1 (z M ) .. . 1 z −1 .. . z −(M −1)        (B.15) De forma más compacta, se puede expresar la Ec.(B.15) mediante h(z) = E(z M )e(z) Donde (B.16) Apéndice B. La Representación Polifásica   E(z) =       e(z) =    E0,0 (z) .. . E0,1 (z) .. . 79 ... .. .  E0,M −1 (z) .. . EM −1,0 (z) EM −1,1 (z) . . . EM −1,M −1 (z)  1  z −1    ..  .  z −(M −1)    (B.17) De forma análoga se sigue el mismo procedimiento para los filtros de sı́ntesis Fk (z), pero por conveniencia se utiliza la descomposición polifásica del tipo 2. Fk (z) = M −1 X z −(M −1−l) Rlk (z M ) (B.18) l=0 Por lo tanto, si se define f = f T (z) = h h F0 (z) F1 (z) . . . FM −1 (z) z −(M −1) z −(M −2) . . . 1  i   R0,0 (z M ) .. . iT R0,1 (z M ) .. . ... .. . R0,M −1 (z M ) .. .     RM −1,0 (z M ) RM −1,1 (z M ) . . . RM −1,M −1 (z M ) (B.19) En forma compacta resulta f T (z) = z −(M −1) e(z)R(z M ) (B.20) Donde   R(z) =   R0,0 (z) .. . R0,1 (z) .. . ... .. . R0,M −1 (z) .. . RM −1,0 (z) RM −1,1 (z) . . . RM −1,M −1 (z)     (B.21) Apéndice C Resolución de la Minimización con Restricciones En este anexo se resuelve el problema de optimización dado dos restricciones del tipo mı́n kAvk22 v dado ( Bv = 0 dt v = 1 (C.1) Donde A en una matriz de m × n, v y d son vectores columna de n × 1 y la matriz B es de p × n. Se asume que las matrices A y B son tales que existe solución y esta solución es única. En dicho caso se realiza la minimización mediante el método de los multiplicadores de Lagrange. El problema de minimización se transforma en mı́n vt At Av + vt B t λ1 + λ2 (vt d − 1) (C.2) Para minimizar dicha función, se computa el gradiente y se lo iguala a 0, resultando At Av + B t λ1 + λ2 d = 0 At Av = −(B t λ1 + λ2 d) Dado que A es tal que ∃(At A)−1 , luego (C.3) Apéndice C. Resolución de la Minimización con Restricciones v = −(At A)−1 (B t λ1 + λ2 d) 81 (C.4) Para hallar λ1 y λ2 , se recurre a las restricciones. Se sabe que Bv = 0, por lo tanto se premultiplica a la Ec.(C.4) por B Bv = 0 = −B(At A)−1 (B t λ1 + λ2 d) B(At A)−1 B t λ1 = −λ2 B(At A)−1 d (C.5) Al igual que A, B tiene que ser tal de que exista ∃(B(At A)−1 B t )−1 . Entonces, λ1 = −λ2 (B(At A)−1 B t )−1 B(At A)−1 d (C.6) Para utilizar la segunda restricción, se premultiplica a la Ec.(C.4) por dt . dt v = 1 = −dt (At A)−1 (B t λ1 + λ2 d) (C.7) Al reemplazar el valor de λ1 en esta ecuación, resulta 1 = −dt (At A)−1 [(−B t λ2 (B(At A)−1 B t )−1 B(At A)−1 d + λ2 d)] (C.8) Ya que se supone λ2 6= 0, se obtiene λ2 = −[dt (At A)−1 {(−B t (B(At A)−1 B t )−1 B(At A)−1 d + d)}]−1 (C.9) Finalmente, la solución al problema de minimización está dada por v= (At A)−1 [−B t (B(At A)−1 B t )−1 B(At A)−1 d + d] dt (At A)−1 [−B t (B(At A)−1 B t )−1 B(At A)−1 d + d]} (C.10) Bibliografı́a [1] A. Akansu. Orthogonal Transmultiplexers in Communication, A Review. IEEE Transactions on Signal processing, 1998. [2] A. Mertins. 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