Guía 1 - FaMAF

Mecánica Cuántica II
Guı́a 1 – Agosto de 2014
Problema 1: Al discutir el problema de autovalores del momento angular orbital se analizó
el caso general de un trı́o J = (J1 , J2 , J3 ) de operadores que satisfacen las relaciones de conmutación [J1 , J2 ] = i~J3 (y permutaciones cı́clicas de los ı́ndices). Se encontró que los autovalores de J 2 son de la forma ~2 j(j + 1) donde j es un múltiplo de 1/2 y que este autovalor
es, a lo menos, de multiplicidad 2j + 1. Se construyó un sistema ortonormal de esta dimensión
{|j, mi : m = −j, −j + 1, · · · , j − 1, j} de autovectores de J3 con J3 |j, mi = ~m|j, mi y
J 2 |j, mi = ~2 j(j + 1)|j, mi. Usando los operadores J± = J1 ± iJ2 y la relación
p
J± |j, mi = ~ j(j + 1) − m(m ± 1) |j, m ± 1i ,
a) verifique que hj, m|J1 |j, mi = hj, m|J2 |j, mi = 0 y que
hj, m|J12 |j, mi = hj, m|J22 |j, mi = (~2 /2)(j(j + 1) − m2 ) ;
(s)
(s)
(s)
b) encuentre la representación matricial de los operadores S (s) = (S1 , S2 , S3 ) de magnitud
s para s = 1/2, 1, 3/2 en la base ortonormal {|s, mi : −s ≤ m ≤ s}.
Problema 2: Considere las matrices de Pauli.
a) Verifique que si el vector real u, de módulo unitario, tiene coordenadas esféricas (θ, ϕ) entonces
los vectores
− sin(θ/2)e−iϕ/2
cos(θ/2)e−iϕ/2
.
, |−, ui =
|+, ui =
cos(θ/2)eiϕ/2
sin(θ/2)eiϕ/2
son autovectores del operador u · σ a los autovalores 1 y −1 respectivamente.
b) Demuestre que todo operador A de C2 en C2 puede escribirse unı́vocamente como
A = α1 + a · σ
con α ∈ C y a ∈ C3 , donde 1 denota el operador identidad. Obtenga condiciones sobre α y a
para que A sea autoadjunto, unitario, o un proyector ortogonal.
c) Para A = A∗ autoadjunto, encuentre autovalores y autovectores de A en términos de los
parámetros α y a correspondientes.
d) Demuestre que
(a · σ)(b · σ) = a · b 1 + i(a ∧ b) · σ
donde a, b son vectores tridimensionales arbitrarios cuyas componentes pueden ser, por ejemplo,
operadores siempre y cuando estos conmuten con cada componente de σ.
e) Demuestre que si la función f de una variable compleja es entera entonces para todo α ∈ C
y todo u ∈ R3 unitario, se tiene:
f (αu · σ) =
f (α) + f (−α)
f (α) − f (−α)
1+
(u · σ) .
2
2
f) Si UR = exp(−iθu·σ/2) = exp(−iθu·S/~) es el operador unitario que implementa la rotación
R alrededor del eje u (| u |= 1) por un ángulo θ, verifique que
UR = cos(θ/2)1 − iu · σ sin(θ/2)
y
(UR )† σ UR = (u · σ)u − u ∧ (u ∧ σ) cos(θ) + (u ∧ σ) sin(θ) .
Problema 3:
a) Escriba el operador de espı́n Sz de un electrón utilizando los autovectores correspondientes a
un eje z ′ que se encuentra rotado en un ángulo π/2 respecto al eje z original.
b) Encuentre la probabilidad de medir ~/2 y −~/2 a lo largo del eje z ′ si el electrón originalmente
se encontraba en los autoestados |+i y |−i de Sz . Encuentre, para el primer caso, el valor de
expectación de Sz .
Problema 4: Considere un estado con momento angular ℓ = 1 (por ejemplo el estado n = 2,
ℓ = 1 del átomo de Hidrógeno),
ψ = C0 |1, mz = 0i + C1 |1, mz = 1i + C−1 |1, mz = −1i .
en donde {|1, mz i}mz =−1,0,1 son los autovectores ortonormales definidos en el problema 1 para
el caso j = 1.
a) Halle una dirección n̂ tal que este estado sea autoestado del operador (n̂ · L), y exprese los
coeficientes Ci en función de los ángulos θ y φ que definen la dirección n̂.
b) Escriba expresiones para los autovectores de Ly ,
|1, my = 0i , |1, my = 1i , |1, my = −1i .
Haga lo mismo para los autovectores de Lx .
Problema 5: Efecto Zeeman. Considere un electrón ligado en un átomo de Hidrógeno bajo
la influencia de un campo magnético homogéneo B = B ẑ. Ignore el espı́n del electrón. El
Hamiltoniano del sistema es
H = H0 − ωLz ,
(0)
con ω = eB/2me c. Considere conocidos los autoestados |n ℓ mi y los autovalores En del
Hamiltoniano del átomo de Hidrógeno no perturbado H0 y asuma que el sistema se encuentra
inicialmente (a t = 0) en el estado
1
ψ = √ (|2 1 − 1i − |2 1 1i) .
2
a) Calcule la probabilidad de encontrar al sistema, al tiempo t > 0, en cada uno de los siguientes
estados:
1
|2px i = √ (|2 1 − 1i − |2 1 1i) ,
2
1
|2py i = √ (|2 1 − 1i + |2 1 1i) ,
2
1
|2pz i = √ |2 1 0i .
2
(1)
(2)
(3)
¿A qué tiempo se vuelve cada probabilidad igual a 1?
b) Considere un estado |n̂i definido por
(n̂ · L) |n̂i = ~ |n̂i ,
L2 |n̂i = 2~2 |n̂i .
Aquı́ |n̂i es un autoestado del momento angular con ℓ = 1, y autovalor del momento angular
en la dirección de n̂ igual a ~. Calcule la probabilidad de encontrar al sistema en este estado y
muestre que es una función periódica del tiempo. ¿Cuál es el perı́odo? ¿Cuáles son los valores
máximo y mı́nimo de la probabilidad? Para simplificar, puede considerar que n̂ está en el
plano xy.
c) Calcule el valor de expectación al tiempo t del momento dipolar magnético orbital
µL =
en donde µB =
e~
2me c
µB
L,
~
(4)
es el magnetón de Bohr.
Problema 6: Considere un espı́n S, de magnitud s = 1/2, con momento magnético asociado
µ = γS en un campo magnético B dependiente del tiempo:
B = (B cos(ωt), −B sin(ωt), Bo ) .
Resuelva la ecuación de Schrödinger
i~
d
ψt = −µ · B ψt ,
dt
Sz ψ0 = (~/2)ψ0 .
La estructura del campo magnético sugiere que en un sistema de referencia que rota a una
frecuencia −ω, el Hamiltoniano debiera ser independiente del tiempo.
a) Introduzca la rotación mencionada:
φt = e−iωtSz /~ ψt ,
obtenga la ecuación de movimiento para φt y resuélvala.
b) Invirtiendo la rotación verifique que
n
o
!
iωt/2
cos (ωr t/2) + i ω0ω−ω
sin
(ω
t/2)
e
r
r
ψt =
iγB
sin
(ω
t/2) e−iωt/2
r
ωr
en la base de autovectores de Sz , donde ωr y ωo son ciertas frecuencias angulares.
c) Compare este estado con los descriptos en el Problema 2 (a) y analice el comportamiento
dinámico de espı́n en general y en el caso ω0 = ω.
d) Muestre que
γ~
(ω0 − ω)2
γ 2 B 2 cos(ωr t)
hψt , µz ψt i =
+
2 (ω0 − ω)2 + γ 2 B 2 (ω0 − ω)2 + γ 2 B 2
Problema 7: Polarización en un sistema de dos niveles. Llamamos a un sistema de dos niveles
si el espacio de estados tiene dimensión 2. El ejemplo mas pertinente es el del caso de un espı́n
1/2; pero aparecen en fı́sica muchos otros ejemplos, en general en discusiones aproximativas.
Como vimos en el problema 2, hay una particularidad en dimensión 2: todo operador A sobre
C2 es combinación lineal de σ1 , σ2 , σ3 y σo := 1:


3
X
1
tr(Aσj )σj  .
A = tr(A)σo +
2
j=1
Reescribimos esta relación como
A=
1
(tr(A)1 + A · σ) , A := tr(Aσ)
2
Si ψ es un estado (vector normalizado) del sistema el vector
Pψ := hψ, σψi
se denomina polarización (en el estado ψ). Se tiene
1
1
hψ, Aψi = tr(A) + A · Pψ .
2
2
a) Muestre que la polarización es un vector real de largo 1.
b) Muestre que si ψ y φ son vectores normalizados linealmente independientes entonces Pψ 6= Pφ .
c) Muestre que ψ es ortogonal a φ si Pψ = −Pφ .
Problema 8: La dinámica del sistema de dos niveles está especificada por el Hamiltoniano
H(t), un operador autoadjunto para todo tiempo t, via la ecuación de Schrödinger
i~
dψ
= H(t)ψ(t) , ψ(0) = ψ , kψk = 1 .
dt
a) Muestre que la polarización P (t) asociada a ψ(t) es solución de
1
dP
= (H(t) ∧ P (t)) ,
dt
~
con la condición inicial P (0) = Pψ . Considerando el caso de un espı́n 1/2 de razón giromagnética
γ en un campo magnético externo B(t) dependiente del tiempo ¿cual es la relación entre H(t)
y B(t)?
b) Considere el caso donde el Hamiltoniano es independiente del tiempo (sistema conservativo)
y concluya que P (t) precesa alrededor del eje H con velocidad angular constante y calcúlela.
c) Siempre en el caso conservativo, muestre que si H 6= 0, las únicas soluciones estacionarias
(independientes del tiempo) unimodulares son ±|H|−1 H. Establezca la relación entre estas
polarizaciones estacionarias y los autovectores del Hamiltoniano.