Razones Afines I

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
Razones Afines Guía para resolver los problemas 1.) Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los datos y en las cantidades que se desea calcular. 2.) Hacer un croquis o esquema apropiado y dar nombre a las variables y a las cantidades desconocidas. 3.) Escribir los hechos conocidos expresando la rapidez de variación dadas y las desconocidas como derivadas de las variables. 4.) Encontrar una ecuación general que relaciones las variables. 5.) Derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación del punto 4 para obtener una relación general entre las razones de cambio respecto al tiempo. 6.) Sustituir los valores y las derivadas conocidas y despejar la rapidez de cambio desconocida. Ejercicios: 1) Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 120 m/s. Su altura sobre el suelo t segundo después está por 4,9
120 . Calcular el tiempo en el que el proyectil llegará al suelo de regreso y su velocidad en ese momento. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil? En el nivel del suelo S(t) = 0 s ( t ) = − 4, 9 t 2 + 1 ⇒ 20 t ⇒
ds
dt
= v ( t ) = − 9, 8 t + 120 ⇒
ds
dt
= 0 ⇒ t máx = 12, 24 seg
⇒ t = 2 t máx = 24, 5 segv ( t ) = − 120 m / S ⇒ v (25) = − 120 = 120 ( m ) ⇒
v
seg
h
máx
⇒ S (12, 24) = − 4, 9 (12, 24) 2 + 120 (12, 24) → S (12, 24) = 734, 7 m
98 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
2) La corriente (Ι), en un circuito eléctrico está dada por I =
100
, donde (R) es la R
resistencia. Calcular la tasa de cambio o variación de Ι con respecto a R cuando la resistencia es de 20. Ι = 100 R − 1 →
100
100
1
dI
dΙ
dΙ
= − 2 ⇒ R = 20 ⇒
= −
⇒
= − 400
4
dR
dR
dR
R
3) Una escalera de 20 pie de largo está apoyada contra la pared de un edificio, la base de la escalera se desliza horizontalmente a razón de 2 pies/s. ¿Con qué rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12 pie del suelo? dx
= 2 pies / S → V ′(t )
dt
dy
→ cambio de la altura del extremo sup erior Y = 12 pie
dt
dx
dy
dy
dx
dy
dx
2
2
400
2
2
0
2
2
x
+
y
=
⇒
y
+
y
=
→
y
=
−
x
⇒
=
−
dt
dt
dt
dt
dt
dt x 2 = 400 − y 2 ⇒ x 2 = 400 − 144 → x = 16 → Pto (16,12)
16
8 pie
dy
dy
(2) →
=−
= − seg
12
3
dt
dt
4.) Suponga que el pulso de un individuo (en latidos/minutos) Q los t segundo de haber comenzado a correr está dado por p(t) = 56 + 2t2 ‐ t para 0 ≤ t ≥ 7. Calcular la tasa de variación o cambio de p(t) con respecto a t en (a) t = 2 ; (b) t =4 dp ( 2 )
dp ( t )
= 4t − 1 →
=7
dt
dt
dp ( 4 )
= 15
dt
99 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
5) La resistencia eléctrica R de un alambre de cobre de longitud constante es inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro d. ¿Cuál es la tasa de cambio o variación de R con respecto a D? dR
dR
−2L
−2L
=
→
=
3
3
dD
dD
D
D
D
D o n d e L = C o n s ta n te d e p r o p o r c io n a lid a d R =
L
2
→
6) Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio r del círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 1 . Cuando el radio es de 4 pies, ¿A qué ritmo está cambiando el área A de la región circular perturbada? A = π r 2 ( á r e a d e u n c ír c u lo );
dr
=1
dt
p ie
seg
dA
dA
dA
⎛ dr ⎞
= 2π r ⎜
= 2 π ( 4 p ie )1( speieg ) ⇒
= 8π (
⎟⇒
dt
dt
dt
⎝ dt ⎠
p ie 2
seg
)
7) ¿En que punto de la palabra y2 = 18 x la ordenada crece dos veces más de prisa que la abscisa?
y 2 = 18 x;
⎛ dy
2y⎜
⎝ dt
⎛ dx
4y⎜
⎝ dt
⎛ dy ⎞
sabem os que : ⎜
⎟ = 2
⎝ dt ⎠
⎡
⎞
⎛ dx ⎞
⎟ = 18 ⎜
⎟ ⇒ 2 y ⎢2
⎠
⎝ dt ⎠
⎣
⎞
⎛ dx ⎞
⎛ dx
⎟ − 18 ⎜
⎟ = 0 ⇒ ⎜
⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt
2
⎛ dx ⎞
⎜
⎟ ⇒ d e r iv a n d o :
⎝ dt ⎠
⎛ dx ⎞⎤
⎛ dx ⎞
⎜
⎟⎥ = 18 ⎜
⎟ ⇒
⎝ dt ⎠⎦
⎝ dt ⎠
⎞
⎟
⎠
[4 y
⎛ dx ⎞
− 18]= 0 ⇒ ⎜
⎟ = 0;
⎝ dt ⎠
9
9
⎛ 9 ⎞
4 y − 18 = 0 ⇒ y =
⇒
⇒ ⎜ ⎟ = 18 x ⇒ x =
2
8
⎝ 2 ⎠
⎛ 9 9 ⎞
P to . ⎜ , ⎟
⎝ 8 2 ⎠
8) Sean dos resistencias R1 y R 2 conectadas en paralelo. La resistencia equivalente R cumple: Ω
1
1
1
, Si R1 y R 2 aumentan a razón de 0.01 y 0.02 =
+
seg
R R1 R 2
respectivamente, calcula la razón de cambio de R cuando R1 = 30Ω y R2 = 90Ω. 100 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
1 1
1
= +
R R1 R2
dR
=
dt
⇒ R (t ) =
⎛ ⎛ dR1 ⎞
⎛ dR2
⎜ ⎜ dt ⎟ R2 + R1 ⎜ dt
⎠
⎝
⎝⎝
⎛ dR
R12 ⎜ 2
dR
⎝ dt
=
dt
( R1
R1 (t) . R2 (t )
R1 (t ) + R2 (t )
⎛ ⎛ dR1 ⎞ ⎛ dR2
⎞⎞
⎟ ⎟ ( R1 + R2 ) − ( R1 R2 ) ⎜ ⎜
⎟+⎜
⎠⎠
⎝ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt
2
( R1 + R2 )
⎞⎞
⎟⎟
⎠⎠
⎞
2 ⎛ dR1 ⎞
−2
−2
⎟ + R2 ⎜
⎟
⎠
⎝ dt ⎠ ⇒ dR = (900)(2.10 )+ (8100)(10 ) ≅ (68, 75)10 −4
2
2
dt
(120)
+ R2 )
Ω
seg
9) Demuestre que la tasa de variación del volumen de una esfera con respecto al radio es igual al área de la superficie. V = 43 π r 3 (volumen de la esfera) →
dv 4
dr
dv
= 3 (3π r 2 )( ) → = 4π r 2 (área dela esfera)
dr
dr
dr
10) Se bombea aire en el interior de un globo a razón de 4,5
, calcular el ritmo de cambio del radio del globo cuando el radio es de 2 pulgadas. V = 43 π r 3 ;
(
dv
dv 4
dr
dv
dr
dr
1
l3
= 4.5 pu
= 3 (3π r 2 )( ) ⇒
= 4π r 2 ( ) ⇒ ( ) =
min ⇒
dr
dr
dr
dr
dr
dr
4π r 2
dr
1
⎛9⎞
)=
⎟
2 ⎜
dr
4π (2 pul ) ⎝ 2 ⎠
⎛ dv ⎞
⎜ ⎟
⎝ dr ⎠
( ) ⇒ ( drdr ) = 329π ( )
pu l3
min
pu l
min
11) Dos lados paralelos de un rectángulo están aumentando de longitud a razón de , mientras los otros dos lados están disminuyendo de tal manera que la figura sigue siendo . ¿Cuál es la razón de cambio del perímetro un rectángulo de área constante P cuando la longitud de un lado creciente es de 5 pulgadas? ¿Cuáles son las dimensiones cuando el perímetro cesa de decrecer?
x : (longitud de los lados que crecen); y : (longitud de losotroslados )
P : ( perímetrodel rectágulo)P = 2( x + y) ⇒
dP
⎛ dx dy ⎞
= 2 ⎜ + ⎟ ; A : (área del rectágulo) A = xy ⇒ 50 = xy
dt
⎝ dt dt ⎠
101 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
⎛ dy ⎞ ⎛ dy ⎞
si x = 5, ⇒ 50 = xy ⇒ y = 10 ⇒ 0 = (10)(2) + 5 ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = −4
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
dP
dP
⎛ dx dy ⎞ dP
= 2⎜ + ⎟ ⇒
= 2 ( 2 − 4) ⇒
= −4( puseglg )
dt
dt
dt
⎝ dt dt ⎠
dP
dx
dy
P deja de crecer cuando
=0⇒
=−
= −2
dt
dt
dt
dy ⎞
⎛ dx
0 = ⎜ y + x ⎟ ⇒ 0 = ( y (2) + x(−2) ) ⇒ x = y = 5 2 pu lg
dt ⎠
⎝ dt
12) Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto de 12 pie de alto y 6 pie de radio en la base. Si se suministra agua al tanque a razón de 10 galones por minuto (gal / min). ¿Cuál será la rapidez de cambio del nivel de agua cuando la profundidad es de 3 pie (gal ≈ 0.1337 pie3)? Identificamos las variables: dv
dy
gal
= 10 min
;
=?
dt
dt
y = 3 pie
1
1
π r 2h; donde : r = x ; h = y ⇒ V = π r 2 y
3
3
x
y
6
6y
por relación de triángulos :
=
→ x =
→ x =
y
12
12
2
volumen del cono :V =
V =
dv
1 y
π 3
π
2 ⎛ dy ⎞
y ⇒V =
y ⇒
=
3y ⎜
π
⎟
3
4
12
12
dt
⎝ dt ⎠
dv π y
=
4
dt
2
2
4( dv / dt )
4(1, 337 pie 3 / min)
dy
dy
dy
dy
pie
→
=
⇒
=
→
= 0,189 min
2
2
dt
dt
dt
(3.14) (3 pie )
dt
πy
102 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
13) A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m. de radio
y 16 m. de altura entra agua a una razón de 50 . ¿A qué rapidez está subiendo el
nivel del agua cuando este se encuentra a 4 m de altura? ¿A qué rapidez está
cambiando el radio en ese mismo instante?
V : volumen ( en cm 3) de agua en t ( seg .).
x : radio ( en cm.) de la sec ción del cono al nivel del líquido en el ins tan te t .
dv
3
y : altura del agua ( en cm.) en t (seg);
= 50 cm
seg
dt
1
1
V = π r 2 h; donde : r = x ; h = y ⇒ V = π r 2 y
3
3
y
y
16
por relación de triángulos :
=
→ y = 4x → x =
x
4
4
dv π 3 y ⎛ dy ⎞ dv π y ⎛ dy ⎞
π y3
1
1 ⎛ y⎞
V = π x2 y ⇒ V = π ⎜ ⎟ y ⇒ V =
⇒
=
=
⎜
⎟⇒
⎜
⎟
3
3 ⎝4⎠
48
48 ⎝ dt ⎠
16 ⎝ dt ⎠
dt
dt
⎛ dv ⎞
16 ⎜
3
⎟
16(50 cm
dy
dy
dy
1
dt ⎠
⎝
min )
( cm )
=
=⇒
=
→
=
2
2
dt
dt
dt 200π seg
π (400 cm )
πy
2
2
2
1
4π x 3
1
π x 2 y ⇒ V = π x 2 (4 x ) ⇒ V =
3
3
3
dv
2
cm 3
dv
4π 3 x ⎛ dx ⎞ dv
⎛ dx ⎞
2 ⎛ dx ⎞
dt ⇒ ⎛ dx ⎞ = (50 min )
=
⇒
=
⇒
=
4
π
x
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
dt
3 ⎝ dt ⎠
dt
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ 4π x
⎝ dt ⎠ 4π (100 cm )
Parte (b ) : V =
(50 cm
dx
1
⎛ dx ⎞
min )
⇒
=
( cm )
⎜
⎟=
2
dt 800π seg
⎝ dt ⎠ 4π (100 cm )
3
103 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
14) Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base R y altura H está siendo llenada con líquido con un gasto constante Q = 0.5 m3 por minuto. A medida que se produce el llenado el nivel del líquido en la tolva sube. Si R = 2 m y H = 3m. Calcula esa rapidez, e indica el valor de la velocidad cuando la altura del líquido en la tolva es de 1,5 m. ¿Qué condición crees que debería cumplir el recipiente para que el nivel subiera a velocidad constante? Justifica mediante cálculo en el caso que el recipiente sea un cilindro recto circular. R r
R .h
π R2 3
⇒V =
por relación de triángulos : = ⇒ r =
h
H h
H
3 H2
dV π R 2
dV π R 2 h 2 ⎛ dh ⎞
dV
dh
Q . H2
2 ⎛ dh ⎞
=
⇒
=
=
⇒
=
(3
h
)
;
pero
Q
⎜ ⎟
⎜ ⎟
dt 3H 2
dt
H 2 ⎝ dt ⎠
dt
dt
π . R 2 . h2
⎝ dt ⎠
3
m
(0.5 min
)(3m) 2
dh
m
dh
cm
=
≅ 0.16
⇒
= 16 min
2
2
dt
π (2m) (1.5m)
min
dt
b) El razonamiento hecho en la parte a ) del ejercicio nos conduce a afirmar que el recipiente
deberia tener sec cion horizontal cons tan te. En el caso de cilindro circular tendremos :
V = π R2h
con R cons
104 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
Derivando respecto de (t ) :
dh
Q
=
v=
dt π R 2
dV
⎛ dh ⎞
= π R2 ⎜ ⎟
dt
⎝ dt ⎠
→ v cont.
15) Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular recto con su vértice hacia abajo, su altura es de 10m y el radio de la tapa es de 15m, el agua sale por el vértice con una rapidez constante de 1
, se vierte agua en el depósito a razón de , calcular λ en el momento en que el nivel del agua alcáncela altura de 8m. v = 13 π r 2 h (volunen de cono );
dv
=λ
dt
m3
seg
dv = λ dt ⇒ ∫ dv = ∫ λ dt ⇒ v (t ) =λ t + K → λ t + K = 13 π r 2 h
r 15
=
→ r = 32 h
h 10
dt
dh
dh
λ t + K = 13 π ( 23 h ) 2 h ⇒ λ t + K = 43 π h 3 ⇒ λ ( ) = 94 π h 2 ( ) ⇒ λ = 94 π h 2 ( )
dt
dt
dt
dv
dv 9 2 dh
dv
dh
como
=λ⇒
= 4 π h ( ) además
= 1 ⇒ 1 = 94 π h 2 ( )
dt
dt
dt
dt
dt
dh
dh
dh
4
4
1 m
( )=
⇒
(
)
=
⇒
(
)
=
dt
dt
dt
9π h 2
9π (8) 2
72π seg
por relación de triágulos :
⎛ 1 ⎞ m
m3
⎟ seg ⇒ λ = 2 seg
⎝ 72π ⎠
λ = 94 π (8m ) 2 ⎜
16) Un vaso de papel en forma de cono se llena con agua a razón de 3 cm 3 / seg. La altura del vaso es de 10 cm y el radio de la base es 5 centímetros. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando el nivel es 4 cm? [email protected], [email protected], [email protected]. 105 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
Volumen del cono : V =
π r 2 h ⎛ dv ⎞
3 ⎛ dh ⎞
; ⎜ ⎟ = 3 cm
⎟= ?
seg ; ⎜
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
3
2
⎛h⎞
π⎜ ⎟ h
π h3 ⎛ dv ⎞ ⎛ π 3 h 2 ⎞⎛ dh ⎞ ⎛ dv ⎞ π h 2 ⎛ dh ⎞ r
h
h
2
= ⇒ r = ⇒ v= ⎝ ⎠ ⇒ v =
⇒ ⎜ ⎟ =⎜
⎟⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
5 10
2
3
12
⎝ dt ⎠ ⎝ 12 ⎠⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 4 ⎝ dt ⎠
(
)
4 3 cm
3
seg
⎛ dh ⎞ 4 ( dv dt )
⎛ dh ⎞
⎛ dh ⎞
⇒⎜ ⎟ =
⇒⎜ ⎟=
⎜ ⎟=
2
πh
π 16 m
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ 4π
3
cm3
seg
17) El radio de la base de un cono aumenta a razón de 3 , y la altura disminuye a razón de 4 , determine la rapidez con que varía el área total del cono, cuando el radio mide 7cm y la altura 24cm. a = π r ( r + h)
da
dr ⎡ dr
dh ⎤
= 2π r ( ) + ⎢π ( )h + π r ( ) ⎥
dt
dt ⎣ dt
dt ⎦
da
da
= 2π (7cm)3 cmh + π ⎡⎣(3cm)(24cm) + (7cm)(4 cmh ) ⎤⎦ →
= 142π
dt
dt
a (t ) = π r 2 (t ) + π r (t ) h(t ) →
cm
h
18) El radio de la base de cierto cono circular recto aumenta a razón de , y la altura disminuye a razón de 4 , Calcular cómo varía el área total del cono cuando el radio es de 7 cm y la altura es de 24cm. dr
1 cm
dh
cm
=
= 4( seg
( seg );
)
dt 20
dt
dr
dh ⎤
⎡
π r ⎢ 2r ( ) + 2h( ) ⎥
da
dr
dt
dt ⎦
⎣
= π ( ) r 2 + h2 +
2
2
dt
dt
2 r +h
a = π r r 2 + h2 ;
1
da
= π ( ) r 2 + h2 +
20
dt
⎡
⎣
π r ⎢ 2r (
1
da
= π ( ) (7) 2 + (24) 2 +
20
dt
1
⎤
) + 2 h (4) ⎥
20
⎦
2 r 2 + h2
; pero r = 7 cm; h = 24 cm
⎡ 1
⎤
) + 2(24)(4) ⎥
⎣ 10
⎦ ⇒ da = 28.228π ( cm )
seg
2
2
dt
2 (7) + (24)
π (7) ⎢ 7(
106 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
19) Un tanque cónico de 12pie de altura y 8 pie de diámetro en la tapa, se llena con agua a una razón constante. Al encontrar el nivel a media altura, la razón de cambio de esta . Determine cuánto tardará en llenar el tanque. altura es de v = 13 π r 2 h(volunen de cono);
dv
=k
dt
m3
seg
dv = kdt ⇒ ∫ dv = ∫ kdt ⇒ v(t ) =kt + c
si t = 0 → v = 0 → c = 0 → kt = 13 π r 2 h
r 4
= → r = h3
h 12
dt
dh
dh
kt = 13 π ( h3 ) 2 h ⇒ kt = 271 π h3 ⇒ k ( ) = 273 π h 2 ( ) ⇒ k = 91 π h 2 ( )
dt
dt
dt
por relación de triágulos :
pie
cuando el nivel del agua está a media altura h = 6 ⇒ k = 19 π (6) 2 (1) min
→ k = 4π
⇒ v = 4π t
de : v = 13 π r 2 h y si está lleno ⇒ v = 13 π (4) 2 (12) ⇒ v = 64π
Igualamos 4π t = 64π ⇒ t = 16 min
20) La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano m3
proveniente de un silo a razón de 0.5
. El grano forma un cono circular recto cuya min.
4
altura es constantemente igual a del radio de la base. Determine: a) ¿A qué rapidez 5
está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1.50 m? b) ¿Cuál es el radio de la base del cono en ese momento y a qué velocidad está variando? 107 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
dh
=?(rapidez con que está subiendo el vértice, cuando h = 1.5 m )
dt
5R
4h
16π h 3
16π h 2 ⎛ dh ⎞
π R2h
dV
⇒R=
⇒ V (t ) =
⇒
=
; Como h =
V =
⎜ ⎟
3
4
5
75
25 ⎝ dt ⎠
dt
25
dV
dh
m3
m
=
≅ 0.44 min
= 0.5 min
; h = 1.5 m ⇒
si :
(8)(2, 25)π
dt
dt
a)
dR
4 ⎛ dh ⎞
dR
4
m
. 0, 44 ≅ 0, 35 min
= ⎜ ⎟⇒
=
dt
5 ⎝ dt ⎠
dt
5
4(1, 5)
El valor del radio es : R =
= 1, 20 m
5
b) Si R =
4h
⇒
5
21) Un camión descarga arena formándose un montículo que tiene la forma de cono recto circular. La altura h va variando manteniéndose constantemente igual al radio r de la base. Cuando la altura es de 1m, ella está aumentando a razón de 25 cm . ¿Con qué rapidez m in u to
está cambiando en ese instante el volumen V de arena? V = π r 2 h; Como r = h ⇒ V = π r 3 ∀ t ≥ 0
dV
dV
dh
⎛ dh ⎞
cm
m
= ? h =1 m ⇒
= 3π h 2 ⎜ ⎟ ; si h = 1m,
= 25 min
= 0.25 min
dt
dt
dt
⎝ dt ⎠
dV
2
m3
= 3π (1) (0.25) = 0.75π min
dt
22) En la expansión adiabática del aire rige la ecuación Ρ. V1.4 = K (Constante). En un instante determinado la presión es de 50 , y el volumen de 32 cm3 y el volumen 108 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
decrece a razón de 4
¿Con qué rapidez varía la presión en ese instante? dv
dp
3
kg
= − 4 cm
=?
seg ( decrece ); p = 50 m 2 ;
dt
dt
p v1.4 = k Aplicando Ln ⇒ Ln p v1.4 = Lnk ⇒ Lnp + 1.4 Lnv = Ln k
Ln k = c ⇒ Ln p + 1.4 Ln v = c
⎛ dp ⎞
⎛ dv ⎞
⎛ dv ⎞
( − 1.4) p ⎜ ⎟
v⎜
+ 1.4 ⎜ ⎟ p
⎟
1 ⎛ dp ⎞ 1.4 ⎛ dv ⎞
dp
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
=⎜
= 0⇒
=
⎟+
⎜ ⎟=0 ⇒
p ⎝ dt ⎠
v ⎝ dt ⎠
pv
dt
v
kg
dp ( − 1.4)(50 m 2 )( − 4 cm
dp
seg )
=
⇒
= 8, 75
32 c m 3
dt
dt
3
kg
cm 2 seg
23) La Ley de Boyle de los gases asevera que PV = C donde P es la presión, V el volumen y C una constante. En cierto momento el volumen es 75 pulg3, la presión es de 30 Lb/pulg2 y ésta disminuye a razón de 2Lb/pulg2 por min. ¿Cuál es la rapidez de cambio del volumen en ese momento?
v ⎛ dp ⎞
⎛ dp ⎞
⎛ dv ⎞
⎛ dv ⎞
pv = c ⇒ ⎜
⎟v + p⎜
⎟ = 0⇒ ⎜
⎟ =−
⎜
⎟
p ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎛ dv ⎞
⎜
⎟=
⎝ dt ⎠
( 7 5 p u lg ) ⎛
3
30
lb
p u lg 2
−2 Lbs
⎜
2
⎝ p u lg m in
⎞
⎛ dv ⎞
3
⎟ ⇒ ⎜
⎟ = 5 p u lg m in
.⎠
⎝ dt ⎠
24) ¿Durante cuántos segundos se debe estar apartado de la trayectoria de una araña que cae de un techo de 400 pies de altura de acuerdo a la ecuación de movimiento S = 16 t2? ¿Cuál será la rapidez de la araña en el momento de alcanzar a uno que no se haya apartado? 400
= t
16
ds ⎞
⎛ ds ⎞
⎛ ds
⎟ = 32 t ⇒ ⎜
⎟ = (32 )(5) ⇒ ⎜
dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt
a ) s = 1 6t 2 ⇒ 400 = 16t 2 ⇒
⇒ t = 5 seg
⎛
b) ⎜
⎝
⎞
⎟ = 16 0
⎠
p ie
seg
109 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
25) Un conejo corriendo en la maleza se mueve siguiendo la trayectoria de la curva . En cierto punto se encuentra con un perro cazador y se desvía siguiendo la trayectoria de la tangente a la curva en punto donde se produjo el encuentro. Hallar en que punto se encontraron sabiendo que el conejo ha de pasar en su escape por el punto (‐
3, ‐8). dy
= 3 x 2 − 1 = m tg ⇒ y − y 1 = m tg ( x − x1 ) ⇒ y + 8 = (3 x 2 − 1)( x + 3)
dx
y + 8 = 3x3 + 9 x 2 − x − 3 ⇒ 3x3 + 9 x 2 − x − 11 = y
x3 − x = 3 x3 + 9 x 2 − x − 11 ⇒ 2 x3 + 9 x 2 − 11 = 0
fa cto riza n d o : x1 = 1; x 2 = − 1, 3 1 5; x 3 = − 4,1 8 5
su st : x1 = 1, en la fu n ció n ⇒ p (1, 0 )
10
de tal modo que su abscisa “x” x
aumenta uniformemente con la velocidad de una unidad por segundo. ¿Con qué rapidez variará su ordenada cuando el punto pase por la posición (5,2)? 26) Un punto se mueve sobre la hipérbola y =
10
− 10 ⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
⎛ dx ⎞
u
⇒⎜
⎟ =
⎟ ; Pero ⎜
⎟ = 1 seg ; x = 5
2 ⎜
x
dt
x
dt
dt
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
− 10 u
2 u
⎛ dy ⎞
⎛ dy ⎞
⇒⎜
⎜
⎟ =
⎟ = − seg
2 seg
5
(5)
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
y=
27) Un punto se mueve sobre la curva de ecuación ( x − 3) + ( y + 1) = 4 de tal modo que su abscisa aumenta con la velocidad de 2 unidades por seg. Determine la rapidez varía la 2
2
ordenada ⎛ dx ⎞
⎜
⎟=2
⎝ dt ⎠
cuando u
s
el ⎛ dy ⎞
; ⎜
⎟= ?
⎝ dt ⎠
punto pase (
3 −1
P to . 2 ,
por )
la posición ( 2,
3 − 1)
; ( x − 3 ) 2 + ( y + 1) 2 = 4 ⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
2( x − 3) ⎜
⎟ + ( y + 1) ⎜
⎟ = 0
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎛ dx ⎞
− ( x − 3) ⎜
⎟
u
(2
3)
(2
)
−
−
dy
dy
1
−
⎞u
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎝ dt ⎠ =
s
⇒⎜
⎜
⎟ =
⎟ = ⎜
⎟s
( y + 1)
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ ⎝ 3 ⎠
3 −1+1
(
)
110 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
28) En que punto de la parábola y2 = 18 x el crecimiento de la ordenada es 1/3 del crecimiento de la abscisa. ⎛ dy ⎞
y 2 = 18 x ⇒ 2 y ⎜
⎟
⎝ dt ⎠
1 ⎛ dx ⎞
⎛ dx
(2 y ) ⎜
⎟ = 18 ⎜
3 ⎝ dt ⎠
⎝ dt
⎛ dx
= 18 ⎜
⎝ dt
⎞
⎛ 2y
⎟⇒ ⎜
⎠
⎝ 3
⎞
⎟;
⎠
1 ⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
pero :⎜
⎟ = ⎜
⎟
3 ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
2y
⎞ ⎛ dx ⎞
− 18 ⎟ ⎜
− 18 = 0 ⇒ y = 27 ⎟ = 0 ⇒
3
⎠ ⎝ dt ⎠
2
27
= x ⇒ x = 40, 5
18
P to ( 4 0 .5 , 2 7 )
29) El aire escapa de un globo esférico a razón de 3 pulg3/min. Cuando el radio es 5 pulgadas. ¿Qué tal rápido es el decremento del radio? 4π r 3
⎛ dr ⎞
(V d e la esfera ) ⎜
⎟ = ?
3
⎝ dt ⎠
⎛ dv ⎞
⎜
⎟
2
4 (3π r ) ⎛ d r ⎞
dt ⎠
⎛ dv ⎞
⎛ dv ⎞
⎛ dr ⎞
⎝
2 ⎛ dr ⎞
⎜
⎟ =
⎜
⎟⇒ ⎜
⎟ = 4π r ⎜
⎟⇒ ⎜
⎟ =
3
4π r2
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎛ dv ⎞
⎜
⎟ =−3
⎝ dt ⎠
p u lg 3
m in
; r = 5 p u lg ; v =
− 3 pmu inlg
⎛ dr ⎞
=
⎜
⎟
2
⎝ dt ⎠
4 (π )( 5 p u lg )
3
⇒
3
⎛ dr ⎞
⎜
⎟ =−
100 π
⎝ dt ⎠
(
p u lg
m in
)
30) Se libera gas de una globo esférico a razón de8
. Determine la rapidez con que varía la superficie del globo en el instante en que el radio mide 2m. 4
dv
cm 2
v = π r 3 (volumen del globo) y
=8
3
dt
seg
dv 4
dr
dr
dr
2
= π (3r 2 ) → 8 = 4π ( r 2 ) →
=
→ Como r = 200cm
dt 3
dt
dt
dt π (r 2 )
cm
2 seg
dr
dr
1 cm
=
→
=
2
dt π (200cm)
dt 200π seg
ds
dr
= 4π (2r )
si s = 4π r 2 ( área del globo) →
sustituimos los valores
dt
dt
1
cm
ds
cm 2
ds
= 8π (200cm)(
)
→
=8
200π seg
dt
seg
dt
111 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
31) Un atleta en los 100m planos recorre esa distancia según la siguiente relación 8
, determinar la rapidez del corredor: a) cuando sale, b) a los 5seg, c) al cruzar la meta. t2
ds 2t
+ 8t →
= +8
5
dt 5
ds
m
=8
a )Cuando sale t = 0 →
dt
seg
ds
m
= 10
b)Cuando t = 5 →
dt
seg
s (t ) =
t2
+ 8t → t 2 + 40t − 500 = 0 → t1 = 10; t2 = −50
5
dr 2(10)
m
ds
m
=
+ 8(
= 12
)→
dt
5
seg
dt
seg
c)Cuando s (t ) = 100 → 100 =
32) La ecuación de un movimiento rectilíneo está dada por K, α y w son constantes, K, w≠ 0; ,
, donde . Determine la posición del móvil y su rapidez, en el instante en que la aceleración es cero. ⎛ ds ⎞
s(t ) = Ksen(α + wt )( posición del movil ) ⇒ ⎜ ⎟ = Kw cos(α + wt ) (velocidad del movil )
⎝ dt ⎠
⎛ d 2s ⎞
2
⎜ 2 ⎟ = − Kw sen(α + wt ) (aceleración del movil )
⎝ dt ⎠
⎛ d 2s ⎞
2
⎜ 2 ⎟ = 0 → − Kw sen(α + wt ) = 0 → como k , w ≠ 0 → sen(α + wt ) = 0
⎝ dt ⎠
α
π −α
(α + wt ) = arcsen(0) → α + wt = 0 ∨ α + wt = π → t = − ∨ t =
⇒
w
w
α
⎛ ds ⎞
⎛ α⎞
s(− ) = Ksen(α + w ⎜ − ⎟) = 0
⎜ ⎟ = Kw cos(0) = Kw,
w
⎝ dt ⎠
⎝ w⎠
π −α
⎛ ds ⎞
⎛ π −α ⎞
s(
) = Ksen(α + w ⎜
⎜ ⎟ = Kw cos(π ) = − Kw,
⎟) = 0
w
⎝ dt ⎠
⎝ w ⎠
112 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
33) Considere el circuito de la figura donde un condensador cargado de capacidad C (Faradios) y tensión inicial de V (voltios) entre sus placas, se descarga sobre una resistencia R (Ω). Al cerrar la llave S comienza a circular una corriente de intensidad I dada por la expresión: I(t) =
t
V −τ
e , (τ= RC cte. de tiempo), Calcula la rapidez de variación de I en t = 0 y t = τ R
v −τ t
dI
v ( −τt )
=−
I (t ) = e ⇒ La rapidez está dada por
e
R
dt
Rτ
dI
v amp
dI
v −1
En t = 0 : ( 0 ) = −
En t = τ : (τ ) = −
e
seg ;
dt
Rτ
dt
Rτ
( )
( )
amp
seg
34) Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petróleo. Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m si el espesor disminuye a razón de10 en el instante en que R = 50 m. dV
⎛ ⎛ dR ⎞
2 ⎛ dh ⎞ ⎞
= π ⎜ 2R ⎜
⎟h + R ⎜ ⎟⎟
dt
⎝ dt ⎠ ⎠
⎝ ⎝ dt ⎠
dV
dR − R ⎛ dh ⎞
⎛ dR ⎞
2 ⎛ dh ⎞
Como V es cons. ⇒
= 0 ⇒ 2R ⎜
=
⎟h + R ⎜ ⎟ = 0 ⇒
⎜ ⎟
dt
dt 2h ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
100
0.04
V
V = π R2h ⇒ h =
m
⇒ Como : V = 100m3 , R = 50 m ⇒ h =
=
2
2
πR
π (50)
π
dR
−50π
dh
=
= −10−2 mh ⇒
( −10−2 ) = 6.25 π ( mh ) 20 ( mh )
dt 2 ( 0.04 )
dt
V = π R 2 h; ∀ t ≥ 0
⇒
[email protected], [email protected], [email protected]. 113 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
35) Se llena un tanque cilíndrico de 10 pies de radio con trigo a razón de 314 pies3/min. ¿Qué tan rápido se incrementa la profundidad del trigo? ⎛ dv ⎞
⎛ dh ⎞
pie 3
314
=
⎜
⎟
⎜
⎟=?
min ;
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎛ dv ⎞
pie 3
⎜
⎟
⎛ dv ⎞
⎛ dh ⎞ ⎝ dt ⎠
⎛ dh ⎞ (314 min )
⎛ dh ⎞
pie
2 ⎛ dh ⎞
⇒
=
⇒
⎜
⎟ =π r ⎜
⎟⇒ ⎜
⎟=
⎜
⎟
⎜
⎟ ≅ 1 min
2
2
πr
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ π 100 pie
⎝ dt ⎠
V = π r 2 h;
r = 10 pie;
36) El radio y la altura de un cilindro circular recto están en la proporción 2: 3. Si la altura aumenta a razón de 2 , ¿Cómo debe variar el radio para que el volumen se mantenga constante? ⎛ dh ⎞
mim
V = π r 2 h; ⎜
⎟ = 2 seg
dt
⎝
⎠
r 2
3r
3π r 3 h
según la proporción 2 : 3 → = → h =
→V =
h 3
2
2
2
C
9π r ⎛ dr ⎞
⎛ dv ⎞
⎛ dv ⎞
⎛ dr ⎞
⎜
⎟ =
⎜
⎟ ⇒ si r = 2 cm → ⎜
⎟ = C ( const ) → ⎜
⎟ =
2 ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ 18π
3r
3 ⎛ dr ⎞
⎛ dh ⎞ 3 ⎛ dr ⎞
⎛ dr ⎞ 4 mim
h=
⇒ ⎜
⎟ =
⎜
⎟ → 20 =
⎜
⎟→⎜
⎟ =
2
2 ⎝ dt ⎠
2 ⎝ dt ⎠
3 seg
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
Volumen de un cilindro :
6π
4
C
6π
⎛ dr ⎞
25
=
→C =
→⎜
=
⎟
π
300
18π
25
dt
18
⎝
⎠
⎞
( ) → ⎛⎜⎝ dr
⎟ =
dt ⎠
cm
seg
1
75
( )
cm
seg
( )
cm
seg
37) Si el volumen de un cilindro aumenta a razón de 3 , Determine la razón de cambio de la superficie del cilindro en el instante cuando h = 1, sabiendo que la altura es el triple de su radio. 114 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
Volumen de un cilindro :
V = π r 2 h;
pero h = 3 r ⇒ V = π r 2 (3 r )
s = 2π rh + 2π r 2 ( área total )
⎛ dv ⎞
2 ⎛ dr ⎞
⇒ V = 3π r 3 ⇒ ⎜
⎟ = 9π r ⎜
⎟
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
1
⎛ dr ⎞
⎛ dr ⎞
cm
3 = 9π r 2 ⎜
⎟⇒⎜
⎟ =
seg
2
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ 3π r
s = 2π r (3 r ) + 2π r 2 ⇒ s = 6π r 2 + 2π r 2 ⇒ s = 8π r 2
( )
⎛ ds ⎞
⎛ dr
⎜
⎟ = 16π r ⎜
⎝ dt ⎠
⎝ dt
1
⎞
⎛ ds ⎞
⎛ ds ⎞ 16 cm 2
cm
⎟⇒ ⎜
⎟ = 16π r
⎟=
seg ⇒ ⎜
seg
2
3π r
⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ 3 r
1
16 cm 2
⎛ ds ⎞
⎛ ds ⎞
cm 2
⇒
=
si h = 1 ⇒ h = 3 r ⇒ r = ⇒ ⎜
16
⎟=
⎜
⎟
seg
seg
3
⎝ dt ⎠ 3 ( 13 )
⎝ dt ⎠
( )
( )
( )
( )
38) Para estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un árbol se supone que el mismo tiene la forma de cono truncado como indica la figura. Siendo: r el radio de la base superior; R el radio de la base inferior y h la altura. Recordando que el volumen V de 1
un tronco de cono está dado por la expresión: V = π . h . ( R 2 + R . r + r 2 ) Determine: 3
¿Cuál es la rapidez de variación del volumen V en el momento en que: r = 60 cm, R = 90 cm y h = 15 m, si el incremento de r es de10 ñ , el incremento de R es de 15 ñ , y el de h de 25 ñ ? volumen del tronco de cono V =
1
π h ( R 2 + R r + r 2 ) ; ∀ t ≥ 0.
3
⎛
dV π ⎡ dh 2
⎛ dR ⎞
⎛ dr ⎞
⎛ dR ⎞
⎛ dr ⎞ ⎞ ⎤
= ⎢ ( R + rR + r 2 ) + h ⎜ 2 R ⎜
⎟+ R⎜ ⎟+ r⎜
⎟ + 2r ⎜ ⎟ ⎟ ⎥
3 ⎣ dt
dt
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ ⎠ ⎦
⎝
Sustituyendo : h = 4 m =400 cm , R = 90 cm , r = 60 cm.
dh
= 25
dt
cm
año
;
dR
dr
dV ⎛ π ⎞
cm
cm
m3
,
= 15 año
= 10 año
⇒
= ⎜ ⎟ 2, 71 ≅ 2,83 año
dt
dt
dt ⎝ 3 ⎠
115 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
39) Si el cohete ilustrado asciende verticalmente a 880 m/s. Cuando está a 4000 m de altura. ¿Con qué rapidez debe cambiar el ángulo de elevación de la cámara en ese instante para mantener el cohete en el objetivo? dx
dz dθ
= c te ;
=
= ? C uando y = 4000 m
dy
dt
dt
dy
dy
y
y
⎛ dθ ⎞
dt ⇒ dθ =
dt
tg θ =
⇒ tg θ =
⇒ S e c 2 (θ ) ⎜
⎟=
2
3000
3
0
0
0
3
0
0
0
x
d
t
d
t
⎝
⎠
Sec θ
dy
= 880
dx
m
s
;
z
⇒ z = (3 0 0 0 ) 2 + ( 4 0 0 0 ) 2 ⇒ z = 5 0 0 0 ⇒
3000
8 8 0 ms
dθ
dθ
5000
5
66
⇒ S ecθ = ⇒
=
⇒
=
S ecθ =
2
dt
dt 625
3000
3
⎛5⎞
3000 ⎜ ⎟
⎝3⎠
S ec (θ ) =
m
s
40) Un niño que hace volar una cometa sostiene el cordel a 5 pie del suelo y lo va soltando a razón de 2 pie/s. Mientras la cometa se mueve horizontalmente a una altura de 105 pie. Suponiendo que el hilo se mantiene recto, encuentre la rapidez con la que se mueve, cuando se han soltado 125 pies de hilo. 116 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
⎛ dz
y ′ = 5 pie ; ⎜
⎝ dt
⎞
⎟= 2
⎠
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
; y ′′ = 105 pies ; z = 125 pie ; ⎜
⎟ = ?;⎜
⎟ = 0 Cte.
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎛ dz ⎞
z⎜
⎟
⎛ dz ⎞
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
⎛ dx ⎞
⎝ dt ⎠
z2 = x2 + y2 ⇒ 2z ⎜
=
x
+
y
⇒
=
2
2
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
x
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
pie
seg
Calculamos el valor de " x " → x =
(125 pies ) (100 pies ) ⇒
⎛ dx ⎞ (125 pies )(125 pie / s )
x =
⎜
⎟ =
⎝ dt ⎠
2
75 pies
2
x 2 + y ; Donde : y = y ′′ − y ′ ⇒ y = 100 p ies 2
x = 75 pies
⎛ dx ⎞
⇒ ⎜
⎟ = 3, 33 pies / seg .
⎝ dt ⎠
41) Un cuerpo que pesa 0.5 toneladas es levantado verticalmente utilizando una eslinga de acero que pasa por una polea colocada a 20 m de altura, como indica la figura. Un extremo se une directamente al cuerpo y el otro, (punto A), es arrastrado por un vehículo que se mueve hacia la derecha con rapidez de 20 , y a una altura del piso de 1.50 m. La eslinga tiene una longitud de 50 m. Determine: a) ¿A qué distancia del cuerpo estará el vehículo en el instante de iniciar la maniobra? b) En cierto instante t el cuerpo se halla a cierta altura h respecto del piso y el vehículo a cierta distancia x del cuerpo. Encuentra la relación entre x y h. c) ¿Cuál es la rapidez del cuerpo en el instante en que su altura es de h= 6 m? 2
2
2
a ) d AB = ? ⇒ d AB
= d AC
− d BC
d BC = 20 − 1.5 = 18.5; d AC = 50 − 18.5 = 31.5 m ⇒ d AB = 31.52 − 18.52 ≅ 25.5 m
117 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
b) del + A` BC obtiene :
CP = 20 − h ⇒ AC = 50 − ( 20 − h ) = 30 + h ⇒ BC = 18.5 m ⇒ x 2 = ( 30 + h ) − (18.5) 2
2
dx
dh
;
Rapidez del cuerpo :
dt
dt
dh
x ⎛ dx ⎞
⎛ dx ⎞
⎛ dh ⎞
=
2 x ⎜ ⎟ = 2 ( 30 + h ) ⎜ ⎟ ⇒
⎜ ⎟
dt 30 + h ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
dh
31m
2
m
si : h = 6 m ⇒ x = ( 30 + 6 ) − (18.5) 2 ≅ 31 m ⇒
=
5,55 seg
dt
36m
c) Rapidez del vehículo :
(
)
m
≅ 4.7 seg
42) El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm2 por minuto. Calcula la rapidez de variación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 cm2. Se supone que el triángulo se mantiene equilátero en todo instante. 3
3 2 dL
L ⇒ área : A =
L;
=? A = 200cm 2
2
4
dt
⎛ dA ⎞
2⎜ ⎟
dA
3
dL
dL
dt
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=
(2 L) ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ; pero
dt
4
3( L)
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
L : lado del triángulo; altura : h =
3 2
3 2
L ⇒ 200 =
L ⇒ L ≅ 21.5;
4
4
dL
−8
cm
≅
≅ −0.21 min
dt 21,5 . 3
A=
dA
2
= −4 cm
min
dt
43) La altura de un triángulo equilátero aumenta a razón de 3
con que aumenta el área. , determine la rapidez ( l )( h )
; ( área del triángulo ); l ( lado del triángulo )
2
2
(
h )( h )
2
2
l
3l
2
h2
3
2
2
2
l =
h⇒ a=
+h ⇒
=h ⇒ l=
⇒ a=
4
4
2
3
3
dh
(2 h )
cm
da
dt ⇒ da = (2 h )3( seg ) ⇒ da = 2 h 3 cm
=
seg
dt
dt
dt
3
3
a=
118 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
44) Los extremos de un abrevadero de 3 m de largo tienen la forma de triángulo equilátero con lados de 60cm. Se le suministra agua al mismo a razón de 20
, ¿Cuál es la rapidez de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es de 20cm? v ( t )( volum en del agua ); h ( t )( altura o nivel del agua );
r ( t )( longitud del nivel del agua y el lado del triángulo )
r
(30)
v ( t ) = 300( h )( r ) ⇒ por triángulo sem ejantes
=
;
h 30 3
donde 30 es el punto m edio de un lado del triángulo y 30 3 la altura
h
h
h2
⇒ v ( t ) = 300( h )(
) ⇒ v ( t ) = 300(
)
3
3
3
dh
dh cm
300(2 h )
(600 h )
( )
dv
dv
3 ⎛ dv ⎞
dt ⇒
dt seg ⇒ dh =
=
=
⎜
⎟
dt
dt
dt
600 h ⎝ dt ⎠
3
3
r=
dh
=
dt
3 (20000)
cm 3
seg
600(20 cm )
⇒
dh 5 3
=
dt
3
cm 2
seg
45) Un vigilante colocado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura, observa un bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 . ¿Con qué rapidez cambia el ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando este se encuentra a 300 pies de la base del faro? x : distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t. : Ángulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t. Nótese que cuando "B se acerca a P" , entonces es de esperar que también decrece 119 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
⎛ dx ⎞
⎜
⎟
x
dx
dθ
⎛ dθ ⎞
⎝ dt ⎠
tg θ =
⇒ x = 250 tg θ ⇒
= 250 Sec 2 (θ ) ⎜
⇒
=
⎟
dt
dt
250
250 Sec 2θ
⎝ dt ⎠
300
⎛6⎞
com o x = 300 ⇒ tg θ =
⇒ tg θ = ⎜ ⎟ ; pero : 1 + tg 2θ = Sec 2θ
250
⎝5⎠
2
61 ⎛ dx ⎞
⎛6⎞
2
;⎜
⎟ ⇒ Sec θ =
⎟ = − 20
25 ⎝ dt ⎠
⎝5⎠
Sec θ = 1 + ⎜
2
pies
seg
⇒
dθ
=
dt
− 20
−2
=
61
⎛ 61 ⎞
250 ⎜
⎟
⎝ 25 ⎠
Lo rad
se g
cual indica que el ángulo decrece. 46) Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 12 cm, mientras que el otro (b) es variable y aumenta a la velocidad constante de 6 cm/s. ¿A qué velocidad crecerán la diagonal del rectángulo y su área en el instante en que b = 40 cm? a = 12 cm;
da
⎛ db ⎞
⎛ dc ⎞
cm
; b = 40 m; ⎜ ⎟ = ? = 0 (Cte.); ⎜ ⎟ = 6 seg
dt
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎛ da ⎞
⎛ db ⎞
a⎜
+ b⎜
⎟
⎟
dt ⎠
dt ⎠
⎛ dc ⎞
⎛ da ⎞
⎛ db ⎞
⎛ dc ⎞
⎝
⎝
2
2
2
c = a + b ⇒ 2c ⎜
⎟ = 2a ⎜
⎟ + 2b ⎜
⎟⇒ ⎜
⎟=
c
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
cm
60
2
2
⎛ dc ⎞ (40 cm ) (6 seg )
c = (12 cm ) + ( 40 cm ) ⇒ c = 41, 76 cm ⇒ ⎜
=
=
⎟
109
⎝ dt ⎠
4 109
(
)
cm
seg
⎛ dA ⎞ ⎛ da ⎞
⎛ db ⎞
A = b.h ⇒ A = ab ⇒ ⎜
⎟=⎜
⎟b + a⎜
⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎛ db ⎞ ⎛ dA ⎞
⎛ dA ⎞
⎛ dA ⎞
cm
cm 2
⎟ =a⎜
⎟⇒ ⎜
⎟ = (12 cm ) (6 seg ) ⇒ ⎜
⎟ = 72 seg
⎜
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
120 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
47) Dos pequeños aeroplanos comienzan el vuelo a partir de un punto común A al mismo tiempo uno vuela hacia el sur a razón de 400 ¿Después de dos horas, qué tan rápido cambia la distancia entre ellos, si el otro vuela hacia el este a razón de 300 ? A x Y z dx
= 300
dt
km
h
;
dy
=
dt
400
km
h
;
dz
= ? R a p id e z d e s e p a r a c ió n dt
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
x⎜ ⎟ + y⎜
⎟
dz
⎛ dz ⎞
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
z2 = x2 + y2 ⇒ 2z ⎜ ⎟ = 2x ⎜
+
y
⇒
=
2
⎟
⎜ ⎟
dt
z
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
d = vt ( v = cte ) x = 600 km ; y = 800 km ⇒ z = (600 km ) 2 + (800 km ) 2 ⇒ z = 1000 km
dz
=
dt
( 600 km ) ( 300 kmh ) + ( 800 km ) ( 400 kmh )
(1000 km )
⇒
dz
= 500 kmh
dt
48) Dos barcos A y B parten de un mismo punto “O” y siguen rutas que forman un ángulo de 120º con que rapidez varía la distancia entre ellos en el instante en que 0A = 8 km. y OB = 6 Km. el barco A navega a 20 y B a 30 . 121 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
θ =120º ; OA = 8 km; OB = 6 km;
Ley del Coseno : AB = OA 2 + OB
2
dOA
dOB
= 20 kmh ;
= 30 kmh
dt
dt
2 − 2 OA OACos (120º )
2
2
2
AB = OA + OB + OA OB
⎛ d AB ⎞
⎛ dOA ⎞
⎛ dOB ⎞ ⎛ dOA ⎞
⎛ dOB ⎞
2 AB ⎜
⎟ = 2 OA ⎜
⎟ + 2 OB ⎜
⎟ +⎜
⎟ OB + OA ⎜
⎟
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎛ dOA ⎞
2 OA ⎜
⎟ + 2 OB
dt ⎠
⎛ d AB ⎞
⎝
⎜
⎟=
⎝ dt ⎠
⎛ d AB ⎞
⎜
⎟ =
⎝ dt ⎠
De : AB =
AB =
⎛ dOB ⎞ ⎛ dOA ⎞
⎛ dOB ⎞
⎜
⎟ +⎜
⎟ OB + OA ⎜
⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
2 AB
⎛
⎞
⎛
⎞
⎝
⎠
2 AB
⎝
⎠
( 2 OA + OB ) ⎜ d dtOA ⎟ + ( 2 OB + OA) ⎜ d dtOB ⎟
OA + OB + OA OB
2
2
(8 km) + (6 km) + (8 km)(6 km) ⇒ AB = 148 ⇒ AB = 2 37 Km
2
2
⎛ d AB ⎞ [ 2(8 km) + (6 km) ] (20 kmh ) + [ 2(6 km) + (8 km) ] (30 kmh )
⎜
⎟ =
2 (2 37) km
⎝ dt ⎠
⎛ d AB ⎞
⎛ d AB ⎞ 260
(440 kmh ) + (600 kmh )
=
⇒⎜
⎜
⎟
⎟=
4 37 km
37
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
2
2
km
h
49) Un tren que sale a las 11:00 a.m. se dirige hacia el este a una velocidad de 45 , mientras que otro sale al mediodía de la misma estación, pero se dirige hacia el sur a 60 . Hallar la velocidad con que se separan los trenes a las 3 de la tarde. N Estación Ta E x 0 ■ x TB Z S y 122 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
⎛ dTa ⎞
⎛ dTb ⎞
km
km
⎜
⎟ = 45 h ; ⎜
⎟ = 6 0 h ; ta = 4 h ; tb = 3 h
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
dx ⎞
⎛ dTa ⎞
km
⎟t⇒ x = ⎜
⎟ t a ⇒ x = ( 4 5 h )( 4 h ) ⇒ x = 1 8 0 k m
dt ⎠
⎝ dt ⎠
dy ⎞
⎛ dTb ⎞
km
⎟t ⇒ y = ⎜
⎟ t b ⇒ y = ( 6 0 h ) (3 h ) ⇒ y = 1 8 0 k m
dt ⎠
d
t
⎝
⎠
z2 = x2 + y2;
⎛
x= ⎜
⎝
⎛
y= ⎜
⎝
⎛ dz
2 km ⇒ 2 z ⎜
⎝ dt
km
km
(1 8 0 k m ) ( 4 5 h ) + (1 8 0 k m ) ( 6 0 h )
⎛ dz ⎞
⎛
⇒ ⎜
⎜
⎟ =
d
t
(1 8 0 2 k m )
⎝
⎠
⎝
z=
(1 8 0 ) 2 + (1 8 0 ) 2 ⇒ z = 1 8 0
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
⎞
⎟ + 2y⎜
⎟
⎟= 2 x⎜
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎠
dz ⎞
1 0 5 km
⎟ =
h
dt ⎠
2
50) La intercepción de dos calles forman un ángulo 46 grados, si en el instante dos autos A Y B distan del cruce 100Km, y se alejan con rapidez de , , respectivamente. Determine la rapidez de separación de los autos en un instante . θ = 45º ; OA = 100 km
OB = 100 km ;
drA
drB
= 80 km / h;
= 60 km / h
dt
dt
Aplicando la Ley del Coseno
2
2
AB = OA + OB − 2 OA OB Cos (45º )
2
2
2
AB = OA + OB − 2 OA OB Re lacion
2
⎡⎛ dOA ⎞
⎛ dOB ⎞
⎛ dOB ⎞ ⎤
⎜
⎟ − 2 ⎢⎜
⎟ OB + OA ⎜
⎟⎥
⎢⎣⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ ⎥⎦
⎡⎛ dOA ⎞
⎛ dOA ⎞
⎛ dOB ⎞
⎛ dOB ⎞ ⎤
2 OA ⎜
⎟ + 2 OB ⎜
⎟ − 2 ⎢⎜
⎟ OB + OA ⎜
⎟⎥
⎢⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ ⎦⎥
⎣
=
2 AB
⎛ d AB ⎞
⎛ dOA ⎞
2 AB ⎜
⎟ = 2 OA ⎜
⎟ + 2 OB
dt
dt
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ d AB ⎞
⎜
⎟
⎝ dt ⎠
De la relacion : AB =
AB =
OA + OB − 2 OA OB
2
2
(100 km) + (100 km) −
2
2
2(100km) (100km) ⇒ AB = 100 2 −
⎛ d AB ⎞ 2(100) (80) + 2 (100)(60) − 2 [ (80) (100) + (100)(60) ]
= 70 2 −
⎜
⎟=
dt
⎝
⎠
2 100 2 − 2
(
)
2 km
2 km / h
123 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
51) Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60 . Una locomotora dista 160km del cruce y se aleja de el a una rapidez de 100 , un auto dista del cruce 160km y se acerca el con una rapidez de 50 , ¿A qué razón varía la distancia entre los dos después de media hora? x(t ) : longitud del tren al cruce en t seg
y (t ) : longitud del auto al cruce en t seg
z (t ) : longitud del tren al auto en t seg
Aplicando la Ley del Coseno
z 2 = x 2 + y 2 − 2 xyCos (60º ) ⇒ z 2 = x 2 + y 2 − xy
⎛ dy ⎞ ⎤
⎛ dz ⎞
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞ ⎡ ⎛ dx ⎞
2 z ⎜ ⎟ = 2 x ⎜ ⎟ + 2 y ⎜ ⎟ − ⎢ y ⎜ ⎟ + x ⎜ ⎟⎥
⎝ dt ⎠ ⎦
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ ⎣ ⎝ dt ⎠
Calculamos los recorridos de c / u cuando t = 0.5h
⎛ dx ⎞
x = ⎜ ⎟ t ⇒ x = 100( kmh )0.5h ⇒ x = 50km ⇒ x = 50km + 160km ⇒ x = 210km
⎝ dt ⎠
⎛ dy ⎞
y = ⎜ ⎟ t ⇒ y = 50( kmh )0.5h ⇒ x = 25km ⇒ y = 160km − 25km ⇒ y = 135km
⎝ dt ⎠
z 2 = x 2 + y 2 − xy ⇒ z 2 = (210km) 2 + (135) 2 − (210km)(135km) ⇒ z = 33975
⎛ dz ⎞
⎛ dz ⎞ 157550 km
2 33975 ⎜ ⎟ = 2(210)(100) + 2(135)(50) − [ (135)(100) + (210)(50)] ⇒ ⎜ ⎟ =
(h)
33975
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
52) Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a una altura de 5m. sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centro C del puente, (ver fig.) a una velocidad de 12
acerca al puente a una velocidad de 20
. En ese mismo instante una lancha L que se , dista 100m del punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera continúa perpendicular al río. ¿Cuál es la velocidad a la cual se están separando la lancha y el auto 8 segundos después de que aquella pasó por el punto P? x: distancia que recorre la lancha desde el momento en que el auto pasa por el punto C. 124 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
y: distancia que recorre el auto desde el momento en que pasa por C. w: distancia de P a D. z: distancia que separa la lancha del auto. Como los triángulos BPD y PCD son rectángulos en P y C respectivamente, se tiene de acuerdo a la relación pitagórica: ⎛ dz ⎞
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
m
m
⎜
⎟ = ?; ⎜
⎟ = 20 seg ; ⎜
⎟ = 12 seg ; x = 160 m ; y = 96 m
dt
dt
dt
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
2
2
2
2
z = w + ( x − 100) ; w = 25 + y 2 ⇒ z 2 = (25 + y 2 ) + ( x − 100) 2
⎛
2z ⎜
⎝
⎛ dz
⎜
⎝ dt
⎛ dy ⎞
⎛ dx ⎞
+ ( x − 100) ⎜
y⎜
⎟
⎟
dz ⎞
dt ⎠
dt ⎠
⎛ dy ⎞
⎛ dx ⎞
⎛ dz ⎞
⎝
⎝
⎟=2y⎜
⎟ + 2( x − 100) ⎜
⎟⇒ ⎜
⎟=
dt ⎠
z
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎛ dy ⎞
⎛ dx ⎞
y⎜
m
⎟ + ( x − 100) ⎜
⎟
⎞
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ ⇒ ⎛ dz ⎞ = 96 m (12 seg ) + (160 − 100) m ( 20
=
⎜
⎟
⎟
⎝ dt ⎠
⎠
(25 + y 2 ) + ( x − 100) 2
(25 + y 2 ) + ( x − 100) 2
⎛ dz ⎞
⎜
⎟ = 20, 75
⎝ dt ⎠
m
seg
)
m
seg
Lo que indica que la lancha y el auto se están separando a una rapidez de
aproximadamente la calculada.
53) Un hombre situado a 100 metros del pie del hasta de una bandera comienza a caminar, en línea recta hacia el pie del hasta Q razón de 10 . Si el hasta mide 70 metros de alto. Encontrar la variación por unidad de tiempo ante el hombre y la bandera cuando han transcurrido 2 segundos. 125 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
x⎜ ⎟ + y⎜ ⎟
dt
⎛ dz ⎞
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞
⎝ dt ⎠
z 2 = x2 + y2 ⇒ 2 z ⎜ ⎟ = 2 x ⎜ ⎟ + 2 y ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠
z
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
⎛ dx ⎞
m
m
; ⎜ ⎟ = 0 (cte); x`= ⎜ ⎟ t ⇒ x´= 10 seg
2 seg ⇒ x´ = 20 m
Pero : ⎜ ⎟ = − 10 seg
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
distancia entre el hombre y el pie del hasta a los 2 seg es :
(
x = 100 − x´⇒ x = 100 m − 20 m ⇒ x = 80 m ⇒ z =
m
80
⎛ dz ⎞ ( 80m ) ( −10 seg ) ⎛ dz ⎞
⇒⎜ ⎟ = −
⎜ ⎟=
10 113m
113
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
)
( 80m ) + ( 70 m )
2
2
⇒ z = 10 113m
m
seg
54) Un globo está a 200 m sobre el suelo y se eleva a razón de15
globo por un tramo recto de carretera con velocidad de66
. Un auto pasa bajo el . Se pide calcular la velocidad con que se separan 1 segundo después. (1 seg.) dy Z y = 200 (1 seg) dx x ⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
x⎜ ⎟ + y⎜ ⎟
dt
⎛ dz ⎞
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞ dz
⎝ dt ⎠
= ⎝ ⎠
z 2 = x2 + y 2 ⇒ 2 z ⎜ ⎟ = 2 x ⎜ ⎟ + 2 y ⎜ ⎟ ⇒
dt
z
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
m
) (1 seg ) ⇒ x = 66 m; y = ⎜
x = ⎜ ⎟ t ⇒ x = (66 seg
⎟t ⇒
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
m
)(1 seg ) = 15 m ⇒ y = 200 m + 15m ⇒ y = 215 m
y = (15 seg
126 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
z 2 = x 2 + y 2 ⇒ z = x 2 + y 2 ⇒ z = (66m) 2 + (215m) 2 ⇒ z = 224, 9 m
m
m
) + (215 m) (15 seg
)
dz (66 m) (66 seg
dz
m
=
⇒
= 33, 71 seg
dt
224, 9 m
dt
55) Un terreno circular de radio R se ilumina con un foco colocado en el punto A como indica la figura. Un móvil recorre el segmento BC con movimiento rectilíneo uniforme de rapidez u mientras su sombra S proyectada sobre el muro perimetral describe un movimiento circular de rapidez V. En un instante t cualquiera el móvil se encuentra en un punto P, siendo x la distancia BP y s la longitud del arco BS. Recuerda que: s = R. a) Determine la relación entre y calcula en función de x b) Encuentra la expresión de V como función de x. c) Calcula la rapidez de la sombra cuando el móvil pasa por el punto medio del segmento BO. π
− SOD; pero : SOD = 2θ ⇒ ϕ = − 2θ
2
2
Existe simetrìa respecto al diamètro AA′, ⇒ estudiamos 0 ≤ x ≤ R
a)De la fig. ( BOD se cumple:ϕ =
+ AOP ⇒ tgθ =
π
OP R − x
⎡R − x⎤
=
⇒ θ = Arctg ⎢
OA
R
⎣ R ⎥⎦
127 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
ds
⎛π
⎞ ds
⎛ dθ ⎞
⇒ s = R ⎜ − 2θ ⎟ ⇒
= −2 R ⎜
⎟
2
dt
dt
⎝2
⎠
⎝ dt ⎠
⎛ −1 ⎞ ⎛ dx ⎞
⎛ −1 ⎞ ⎛ dx ⎞
⎛ dx ⎞
2⎜ ⎟
− 2R ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
dθ
ds
R dt
⎡R − x⎤
⎝ R ⎠ ⎝ dt ⎠ =
⎝ dt ⎠
⇒
= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 ⇒
=
si θ = Arctg ⎢
2
2
⎥
dt
dt
⎣ R ⎦
⎛ R−x⎞
⎛ R−x⎞
⎛ R−x⎞
1+ ⎜
1
1
+
+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ R ⎠
⎝ R ⎠
⎝ R ⎠
2v
2 . v . R2
⎛ dx ⎞ ds
=
⇒
V
x
=
como v = ⎜ ⎟ ⇒
( )
2
2
dt
⎝ dt ⎠
R2 + ( R − x )
⎛ R−x⎞
1+ ⎜
⎟
⎝ R ⎠
R
8
⎛R⎞
c) En el punto medio de BO es : x =
⇒ V⎜ ⎟ = v
2
5
⎝2⎠
b)Como: s = Rϕ ; ϕ =
π
− 2θ ;V =
56) Un hombre de 6 pies de estatura corre alejándose de un poste de alumbrado público que tiene una altura de 15 pies, si se mueve a razón de 18 pies/s ¿Qué tan rápido cambia la longitud de su sombra? ΔSMN y ΔSΔL son semejantes 6
x′
2
x′
2
=
⇒
=
⇒ 5 x ′ = 2( x + x ′) ⇒ 5 x ′ 2 x ′ = 2 x ⇒ x ′ = x
15 x + x ′
5 x + x′
3
2 dx
2
dx ′
dx ′
dx ′
pie
pie
(18 seg
)
=
→
=
⇒
= 12 seg
3 dt
3
dt
dt
dt
( )
57) Una piscina cuyas medidas son las indicadas en la fig, tiene agua hasta 4 pies de profundidad en el extremo mas hondo. 128 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
a. ¿Qué porcentaje de la piscina está llena? b. Si se echa agua en ella a razón de 10 pies3/min. ¿a qué ritmo sube el nivel del agua en el instante para el cual hay agua hasta 4 pies de profundidad?. a. Se debe calcular inicialmente el volumen total de la piscina. Este corresponde al volumen de un sólido cuya base es un trapecio con las siguientes medidas: base mayor: 9 p, base menor: 4 p; y cuyo espesor es de 20 pies. V p = ( área de la base )( espesor ) ⇒ V p =
(9 + 4)40
(20) ⇒ V p = 5200 pies 3
2
Ahora, el porcentaje de piscina llena corresponde al volumen Vll del sólido que aparece indicado en la fig. V ll = ( á r e a d e la b a s e )( e sp e s o r ) ⇒ V p =
(4 L )
( 2 0 ) ⇒ V p = 4 0 L p ie s 3
2
Como los triángulos ADB y PDC son semejantes, se tiene la siguiente proporción: 129 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
5 40
=
⇒ L = 32 pies ⇒ Vll = (40)(32) ⇒ Vll = 1280 pies 3
L
4
si :V p = 5200 pies 3 es 100% ⇒ Vll = 1280 pies 3 = ?
⇒ x=
(1280)(100% )
≅ 24, 61%
5200
b. Supóngase que en un instante t determinado, el volumen de piscina llena corresponde al volumen del sólido que aparece en la figura, en el cual, y (nivel vertical) y x (nivel horizontal) están creciendo con respecto al tiempo. y x
⎛ yx ⎞
⇒ x = 8y
V = ⎜ ⎟ (20) ⇒ V = 10 xy; por relación de +: =
4 32
⎝ 2 ⎠
dV
dV
⎛ dy ⎞ ⎛ dy ⎞
= 160 y ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = dt
V = 80 y 2 ⇒
dt
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 160 y
como :
pies 3
min
3
10
dV
⎛ dy ⎞
⎛ dy ⎞ 1
= 10 pies
⇒⎜ ⎟=
⎟=
min ; y = 4 pies ⇒ ⎜
dt
⎝ dt ⎠ 160 ( 4 pies ) ⎝ dt ⎠ 64
⎛ dx ⎞ 1
Realizando un procedimiento similar: ⎜ ⎟ =
⎝ dt ⎠ 8
pies
min
pies
min
58) Un tanque esférico de agua de radio a contiene este líquido con una profundidad h y el volumen del agua en el tanque está dado por 3
. Suponga que un tanque esférico de 5m de radio se está llenando a razón de 400 . Calcule a razón de cuántos metros por segundos se elevan el nivel del agua cuando 1.25 . 1
dV
dh
l
= 4000 min
=?
V = π h 2 ( 3a − h ) ; a = 5 m ;
; h = 1.25 m ;
3
dt
dt
dV
−3 m3
= 6.6 x 10 s
dt
130 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
1
dV
dV dh
⎛ dh ⎞
⎛ dh ⎞
V = aπ h 2 − π h3 ⇒
= 2π h ⎜ ⎟ − π h 2 ⎜ ⎟ ⇒
=
[ 2a − h ] π h
3
dt
dt
dt
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
dh
dt
dh
dt
⎡ ⎛ dV ⎞ ⎤
3
⎢ ⎜ dt ⎟ ⎥ dh ⎡
⎤ 6.6 x 10−3
6.6 x 10−3 ms
⎝
⎠
⎥⇒
=⎢
=⎢
= 192.07 x 10−6
⎥=
−
−
2
a
h
h
dt
10
1.25
m
(
)
1.25
m
34.36
π
π
(
)
(
)
(
)
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢⎣
⎥⎦
m
= 192.07 x 10−6
s
m
s
59) Un tanque esférico está cubierto por una capa uniforme de hielo de 2pulg de grueso. El volumen de hielo se derrite con una rapidez directamente proporcional al área de la superficie. Demuestre que es constante la rapidez de cambio del diámetro exterior. ΔV = 4π r 2 Δr (Volumen del cascarón del Hielo);
d ( ΔV )
α 4π r 2
dt
ya que la variación del volumen de hielo es directamente proporcional al área de la superficie
dV
sea constante r no debe variar
tal constante de proporcionalidad es Δr , Pero para que
dt
y es precisamente lo que se tiene pues el radio del tanque no varia:
ΔVc = 4π r 2 ( 2) ⇒ ΔV = 8π r 2
Para el diámetro exterior, el volumen es: V =
4
3
π ( r + Δr ) y su rapidez de cambio es:
3
dV
dV
2 d ( ΔV )
2
= 4π ( r + Δr )
⇒
= 4π ( r + Δr ) ( 4kπ r 2 )
dt
dt
dt
k es la constante de propòrcionalidad, ya que r no varia y Δr = 2 pu lg,
dV
= constante.
dt
131 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
60) Un vaso de papel con agua tiene la forma de un cono circular recto truncado de 15 cm de altura con radios de la base y de la orilla libre de 2 cm y 4 cm, respectivamente. El agua se fuga del vaso a razón de 100 , ¿A qué razón de cuántos cm por hora disminuye la profundidad del agua cuando es de 10 cm? Nota: el volumen de un cono circular recto truncado de altura h y radios a y b en los extremos está dado por: dV
dh
3
= 100 cmh ;
= ?; h = 10cm
dt
dt
ya que( h) y el radio mayor (b) varian ⇒ por los triángulos semejantes de la figura se tiene:
x
2
2h
2h
⇒ x=
⇒ El radio mayor (b) es igual a: b = 2 + x = 2 +
=
h 15
15
15
1
el volumen del cono truscado es:V = π h ( a 2 + b 2 + ab ) ⇒
3
2
2
1 ⎛ 2 ⎛
2h ⎞
2h ⎞ ⎞
1 ⎛
2h ⎞ 4h 2 ⎞
⎛
⎛
V = π h ⎜ 2 + ⎜ 2 + ⎟ + 2 ⎜ 2 + ⎟ ⎟ ⇒ V = π ⎜ 8h + h ⎜ 2 + ⎟ +
⎟
3 ⎜⎝
15 ⎠
15 ⎠ ⎟⎠
3 ⎜⎝
15 ⎠
15 ⎟⎠
⎝
⎝
⎝
2
dV 1 ⎛ ⎛ dh ⎞ ⎛
2h ⎞ ⎛ dh ⎞ 4h ⎛
2h ⎞ ⎛ dh ⎞ 8h ⎛ dh ⎞ ⎞
= π ⎜8⎜ ⎟ + ⎜ 2 +
+ ⎜ 2 + ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎟
⎟
⎜
⎟
dt 3 ⎜⎝ ⎝ dt ⎠ ⎝
15 ⎠ ⎝ dt ⎠ 15 ⎝
15 ⎠ ⎝ dt ⎠ 15 ⎝ dt ⎠ ⎟⎠
2
2h ⎞ 4h ⎛
2 h ⎞ 8h ⎞
dV 1 ⎛ dh ⎞ ⎛ ⎛
= π ⎜ ⎟⎜8 + ⎜ 2 + ⎟ + ⎜ 2 + ⎟ + ⎟
15 ⎠ 15 ⎝
15 ⎠ 15 ⎟⎠
dt 3 ⎝ dt ⎠ ⎜⎝ ⎝
2
dV 1 ⎛ ⎛ 30 + 20 ⎞ 40 ⎛ 30 + 20 ⎞ 80 ⎞ ⎛ dh ⎞
= π ⎜8 + ⎜
⎟ + ⎜
⎟ + ⎟⎜ ⎟
dt 3 ⎜⎝ ⎝ 15 ⎠ 15 ⎝ 15 ⎠ 15 ⎟⎠ ⎝ dt ⎠
dV
1 ⎛ 300 ⎞ ⎛ dh ⎞ dV 100 ⎛ dh ⎞
dV 1 ⎛ 100 80 80 ⎞ ⎛ dh ⎞
= π⎜
=
π⎜ ⎟
= π ⎜8 +
+ + ⎟⎜ ⎟ ⇒
⎟⎜ ⎟⇒
dt
3 ⎝ 9 ⎠ ⎝ dt ⎠
dt
9 ⎝ dt ⎠
9
9
9 ⎠ ⎝ dt ⎠
dt 3 ⎝
Cuando h = 10 cm, ⇒
Ya que el agua se fuga del vaso:
dV
100 ⎛ dh ⎞
dV
dh
9 x 100 −9 cm
3
=−
= 100 cmh ⇒
=−
=
π ⎜ ⎟ ⇒ si
π h
dt
9 ⎝ dt ⎠
dt
dt
100 π
132 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
61) La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pie de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9 pie en un tramo horizontal de 40 pie y después continua al mismo nivel los 20 pie restantes, como se ilustra en la figura, la cual representa una sección transversal. La piscina se esta llenando a razón de agua. Calcule aproximadamente la rapidez de cambio del nivel del agua en el momento en que la profundidad en la parte más honda es de 4pie (1 gal « 0.1337 pie3). El volumen de agua en la piscina, dada una altura h es:
9−4 5
1
hx
V = ( 20 )( 30 ) h +
=
= , α = 7.1250º
( 30 ) ⇒ tgα =
2
40
40 8
2
h
h
15 h
⇒ V = 600 h +
⇒ V = 600 h + 120 h 2
tg α = ⇒ x =
x
tg α
tg α
dV
dV
⎛ dh ⎞
gal
= ( 600 + 240 h ) ⎜
= 500 min
= 66.85
⎟ ⇒ si :
dt
dt
dt
⎝
⎠
66.85
dh
⎛ dh ⎞
⇒
= 0.042
⎜
⎟=
dt
⎝ dt ⎠ ⎡⎣ 600 + 240 ( 4 ) ⎤⎦
pies 3
min
; h = 4 pies
pies
min
62) En la figura se muestran las posiciones relativas de una pista de aeropuerto y una torre de control de 20 pie de altura. El principio de la pista esta a una distancia perpendicular de 300 pie de la base de la torre. Un avión alcanza una velocidad de 100 mi/h después de recorrer 300 pie sobre la pista. Calcule la rapidez de cambio de la distancia entre el avión y la cabina de la torre de control. 133 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
⎛ dx ⎞
⎛ dd ⎞
202 + 3002 = 90400, pero : x 2 + 90400 = d 2 ⇒ 2 x ⎜ ⎟ = 2d ⎜
⎟ ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
si : x = 300 ⇒ d 2 = (300) 2 + 90400 ⇒ d ≅ 424.74;
dd
300 ⎛ dx ⎞
=
⎜ ⎟⇒
dt
d ⎝ dt ⎠
dx
= 100 mih
dt
dd
dd
300
≅
(100 ) ⇒ ≅ 70.63 mih
dt 424.74
dt
63) A través de un filtro de papel cónico escurre agua a una taza, como se muestra en la figura. Sea x la altura del agua en el filtro y y la altura del agua en la taza. Determine la relación entre ,
, cuando el filtro contiene 10 pulg3 de agua. 1
r x
x
x2
V filtro = 10 pu lg 2 ⇒ V = π r 2 x ⇒ Por triángulo semejantes: = ⇒ r = ⇒ r 2 =
3
2 4
2
4
dV
1 ⎛ x2 ⎞
1
dV 1 2 ⎛ dx ⎞
dx ⎛⎜ 4 dt ⎞⎟
π x3 ⇒
= πx ⎜
⇒
=
V = π ⎜ ⎟x ⇒V =
⎟
3 ⎝ 4 ⎠
12
dt 4
dt ⎜ π x 2 ⎟
⎝ dt ⎠
⎝
⎠
1
dx
⎛ dV ⎞
= ( 0.112259 ) ⎜
Si : V = 10 ⇒ 10 = π x 3 ⇒ x = 3.367780602 pu lg . ⇒
⎟
12
dt
⎝ dt ⎠
( )
dv
⎛ dy ⎞
= 4π ⎜ ⎟
dt
⎝ dt ⎠
⇒
Para la taza: vtaza = π r 2 y = π ( 2 ) y ⇒ vtaza = 4π y ⇒
2
Como el cambio en el v filtro = es igual al cambio vtaza
dy ⎛ π x 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ dx ⎞
dy ⎛ x 2 ⎞ ⎛ dx ⎞
1 2 ⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
π x ⎜ ⎟ = 4π ⎜ ⎟ ⇒
=⎜
⇒
=⎜ ⎟⎜ ⎟
⎟⎜
⎟⎜ ⎟
dt ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4π ⎠ ⎝ dt ⎠
dt ⎝ 16 ⎠ ⎝ dt ⎠
4
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
dy
⎛ dx ⎞ dx
⎛ dy ⎞
pero : x = 3.367780602 pu lg ⇒
= ( 0.709 ) ⎜ ⎟ ≅
= (1.411) ⎜ ⎟
dt
⎝ dt ⎠ dt
⎝ dt ⎠
134 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
64) El “diamante” de un campo de softball, tiene la forma de un cuadrado de 60pie de lado. Un jugador corre de segunda a tercera base a 25 , ¿A razón de cuantos pies por segundo va cambiando su distancia a “home plate” cuando está a 20 pie de la tercera base? y 2 + 602 = r 2 → r 2 = y 2 + 3600 → r =
y 2 + 3600
Además :
x + y = 60 , y = 60 − x , por lo tan to : r =
dr
=
dt 2
⎛ dx ⎞
−2 ( 60 − x ) ⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
( 60 − x )
2
+ 3600
=−
( 60 − x )
2
60 − x
( 60 − x )
2
⎛ dx ⎞
⎜ ⎟
+ 3600 ⎝ dt ⎠
+ 3600
dx
= 25 ⇒ x = 60 − y ⇒ x = 60 − 20 = 40
dt
dr
60 − x
pies
=−
25 ) = − 7.9056
(
2
dt
s
( 60 − x ) + 3600
si : y = 20 y
65) Los extremos de un abrevadero de 3 m de largo tienen la forma de un triágulo equilátero, con lados de 60 cm. Se suministra agua al abrevadero a razón de 20 , ¿Cuál es la rapidez de cambio o variación del nivel del agua cuando la profundidad es de 20cm. 135 [email protected], [email protected], [email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
L = 300 cm; h = 200 cm;
dV
3
= 20000 cm
min
dt
H = 602 − 30 2 = 30 3 cm
Si h es la profundidad del agua, entonces r varía al variar h.
1
2rh, ⇒
2
r 30
30h
30h
3h
3h
= ⇒r=
⇒r=
⇒ r=
⇒A =
h⇒A =
h H
H
3
3
30 3
El área del triángulo : A =
El volumen esta dado por : V = AL ⇒ V =
dV
dh ⎛ dV
⎛ dh ⎞
= 200 3h ⎜ ⎟ ⇒
=⎜
dt
dt ⎝ dt
⎝ dt ⎠
dh 5
=
dt
3
3h 2
300
3
3h 2
3
⇒ V = 100
3h 2
⎡
⎤
1
⎞⎡ 1 ⎤
20000
=
⎢
⎥
⎟⎢
⎥
⎠ ⎣ 200 3h ⎦
⎣⎢ 200 3 ( 20 ) ⎥⎦
cm
min
DÁMASO ROJAS NOVIEMBRE 2007 NOTA: A los lectores, por favor cualquier sugerencia o corrección de algunos de los ejercicios enviarlas a las direcciones respectivas, recuerden dependen de ustedes este material será próximamente publicado en la versión final. Gracias por utilizar mi página WEB D.R. 136 [email protected], [email protected], [email protected].