PDF (Tesis) - Repositorio Institucional Centro Atómico Bariloche e

TESIS DOCTORAL
CARRERA DE DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
Dinámica de Reactores Auto-presurizados,
Refrigerados por Convección Natural
Pablo Gustavo Zanocco
Ing. Pablo Gustavo Zanocco
Doctorando
Dr. Darío Delmastro
Co-director
Dr. Marcelo Giménez
Co-director
Instituto Balseiro
Comisión Nacional de Energía Atómica
Universidad Nacional de Cuyo
Agosto 2005
a Pilar y María
RESUMEN
En esta tesis, se desarrolla un modelo para la simulación de la dinámica de
reactores auto-presurizados, refrigerados por convección natural. En particular, se toma
como referencia el reactor CAREM-25. Para ello, se desarrollan modelos específicos
que se aplican a un código numérico (HUARPE). Luego se implementa un método de
linealización numérica por pequeñas perturbaciones. Resulta entonces un código
apropiado para el estudio del sistema y sus fenomenologías. El esquema numérico es
adecuado para el análisis de estabilidad, combinando las facilidades del análisis lineal
en el dominio de las frecuencias y la capacidad de estudio de comportamientos nolineales en el dominio de tiempo.
Se estudia el efecto de los errores numéricos, fuertemente relacionados con la
nodalización y paso de tiempo, evaluando su influencia en el análisis de estabilidad. Se
implementa un esquema de nodalización adaptiva, con el fin de minimizar el error en la
propagación de pequeñas perturbaciones a través de los volúmenes discretizados,
especialmente los que se encuentran en el régimen de dos fases. Se estudian diferentes
alternativas de integración temporal para mejorar la convergencia. En el dominio de las
frecuencias, se estudia su impacto en la amplificación de oscilaciones. En el dominio de
tiempo, se estudia su influencia en la amplitud de oscilaciones.
El modelo es comparado en un amplio rango de títulos con un modelo analítico,
el cual es estrictamente no-difusivo, verificándose un buen acuerdo. Luego, el análisis
de estabilidad se concentra en el estudio de las oscilaciones que pueden desarrollarse en
circuitos de convección natural a bajos títulos, condiciones bajo las cuales funciona el
prototipo del reactor CAREM. Estas tienen su origen en la interacción entre la fuerza
boyante y el caudal.
El análisis en el dominio de las frecuencias permite una rápida visualización de
la estabilidad lineal del sistema, mediante la confección de mapas de estabilidad. De
esta forma se analiza la influencia de diferentes factores o hipótesis de modelado en la
predicción de inestabilidades, incrementando la complejidad de forma gradual. En
particular, se analiza el efecto del perfil de potencia, de la velocidad relativa entre fases,
de los cambios de densidad en simple fase, del cambio de presión con la altura, de la
dinámica de núcleo y de la auto-presurización.
La evolución del sistema en condiciones inestables se analiza en el dominio de
tiempo. Allí se identifican los principales factores no-lineales que son limitadores de la
amplitud de oscilación: los límites de la chimenea y la existencia de varios frentes de
ebullición. Se evalúa el efecto de diferentes factores en los ciclos límite y amplitud de
oscilaciones, en particular aquellos relacionados con la dinámica de núcleo y la
autopresurización: las oscilaciones resultan siempre menores al 1%, en condiciones
nominales.
La naturaleza de la auto-presurización se estudia durante un transitorio de
reducción parcial de potencia removida por los generadores de vapor, utilizando el
modelo desarrollado en este trabajo y el código RELAP, con dos alternativas de
nodalización para el domo de vapor. Se verifica un buen acuerdo entre modelos.
Mediante un estudio paramétrico, se estudia la dependencia de la evolución de presión
con diversos procesos de ebullición y condensación, prestando especial atención al
domo de vapor.
ABSTRACT
In this thesis, a thermohydraulic code for the analysis of self-pressurized, natural
circulation reactors was developed. The CAREM-25 prototype was taken as reference.
Specific models were developed and applied to a numerical code (HUARPE). A
linearization method was implemented by means of numerical perturbations. This code
resulted appropriate for the study of the system and its phenomenologies. The numerical
scheme is suitable for stability analysis, combining linear analysis facilities in the
frequency domain with the ability to study the non-linear behaviors in the time domain.
The numerical errors, strongly related to nodalization and time step, were studied
by evaluating their influence in the stability analysis. An adaptive nodalization scheme
was implemented, minimizing the error of the propagation of small perturbations
through the discretized volumes, especially those having a two-phase flow regime.
Different alternatives of temporal integration were analyzed to improve convergence,
studying their influence in the amplification of the oscillations in the frequency domain,
and the amplitude of oscillations in the time domain.
The code is compared to a simplified analytical model, by contrasting stability
maps obtained from both models for a test configuration, observing good agreement.
Then, the stability analysis was focused on the study of natural circulation regimes with
low void fraction, which is the condition in the CAREM concept prototype. In this case,
the oscillation was due to the counteraction between mass flow and buoyancy force.
The frequency domain analysis allowed a rapid visualization of the stability of
the linearized system in a very simple manner, by means of developing stability maps.
The influence of different factors, concerning physical process and modeling
approaches, was analyzed by gradually increasing the complexity of the model. The
analysis included the axial power profile along the core, the relative velocities between
phases, the buoyancy force due to sublooled density changes, the flashing effect, the
core dynamic and the pressure feedback due to self-pressurization.
The dynamic non-linear effects were studied in unstable conditions, by means of
a time-domain approach. The main non-linear sources were identified: the riser limits,
and the existence of multiple boiling boundary positions. The effect of core dynamic
and pressure feedback in the limit-cycle was analyzed for the growing oscillations: the
oscillations always remained around 1% in nominal conditions.
The self-pressurization behavior was studied during a partial reduction in the
Steam Generators removal power, using the developed model and RELAP code, with
two alternatives for the steam dome nodalization. Good agreement between the models
was observed. A parametric study was performed in order to analyze the dependence of
pressure evolution with different boiling and condensation processes, special attention
was paid to the dome zone.
INDICE
Capítulo I – Introducción
1. Dinámica de reactores
2. Reactores integrados, autopresurizados, refrigerados por convección natural
3. Auto-presurización
4. Convección natural
5. Inestabilidades
6. Opciones para el modelado de sistemas termohidráulicos
6.1 Dominio de las frecuencias
6.2 Dominio de tiempo
7. Motivación
8. Objetivos
1
2
3
4
5
5
7
7
8
9
10
Capítulo II - Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de
convección natural
1. Modelo teórico
1.1 Modelo de circuito primario
1.2 Modelo para la auto-presurización
1.2.1 Modelo hidrodinámico
1.2.2 Estructuras de domo
1.3 Modelo de núcleo
1.3.1 Dinámica de combustible
1.3.2 Cinética de Núcleo
2. Solución Numérica
2.1 Discretización numérica
2.2 Cálculo de densidad en un nodo
2.3 Integración del esquema numérico
2.4 Difusión de frentes de entalpías por el esquema discreto
2.5 Nodalización adaptiva
3. Modelo para el análisis de estabilidad lineal
11
12
13
17
18
20
22
22
24
25
25
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30
32
34
37
Capítulo III - Estabilidad Termohidráulica
1. Principios básicos
2. Modelo simplificado
3. Comparación con un modelo analítico
4. Análisis de estabilidad según el modelo numérico
40
41
42
47
50
Capítulo IV - Análisis de Estabilidad Lineal
1. Caso base
2. Potencia no uniforme
3. Drift-flux
4. Cambios de densidad en simple fase
5. Corrección de presión con altura hidrostática
6. Dinámica de núcleo
7. Realimentación de presión
55
56
57
58
59
60
65
72
Capítulo V - Aspectos de Estabilidad no Lineal
1. Potencia y presión constantes
75
76
i
2. Dinámica de núcleo
3. Realimentación de presión
4. Conclusiones
81
90
91
Capítulo VI - Análisis de convergencia
1. Convergencia del modelo lineal
1.1 Verificación del esquema de linealización
1.2 Caso testigo
1.3 Caso de aplicación
2. Convergencia del modelo no lineal
92
93
93
95
98
103
Capítulo VII - Comportamiento de la auto-presurización
1. Introducción
2. Nodalización Relap
3. Descripción del transitorio a simular
4. Casos de estudio
5. Resultados
5.1 Caso Base
5.2 Estructuras
5.3 Sumidero de calor
5.4 Ebullición subenfriada
6. Conclusiones
108
109
109
110
111
112
112
116
118
120
125
Capítulo VIII – Conclusiones
126
Contexto y aportes de la tesis
133
Nomenclatura
135
Referencias
137
Apéndice
141
ii
CAPITULO I
Introducción
Introducción
1. Dinámica de reactores
La dinámica de reactores y su comportamiento ante transitorios es un importante
campo de estudio tanto en áreas de control de la planta como de seguridad.
En ambas áreas resulta primordial el conocimiento de la naturaleza intrínseca de
la planta. Esto normalmente se realiza mediante un modelo físico-matemático, sobre el
cual se suelen tomar aproximaciones o hipótesis de modelado de diferente tipo (por
ejemplo, la aproximación de flujo unidimensional). Así se obtiene un conjunto de
ecuaciones de balance que rigen el comportamiento del sistema idealizado, que intenta
capturar la naturaleza inherente de la planta. El requerimiento sobre las distintas
capacidades de los modelos varía de acuerdo a las aplicaciones.
En el análisis de seguridad de la planta, estos modelos se utilizan para la
simulación de situaciones anormales o accidentales. Dado que se desean obtener
resultados en el dominio de tiempo, deben resolverse sistemas de ecuaciones
diferenciales no lineales, los cuales salvo situaciones muy ideales no tienen solución
analítica, por lo cual deben aplicarse métodos numéricos. Con ellos, se licencian los
diversos sistemas de seguridad, que deberán asegurar principalmente la continuidad de
la refrigeración del núcleo en todas las situaciones accidentales que son base de diseño,
siendo éste un requerimiento ineludible para permitir el funcionamiento de cualquier
central. En general, la simulación de accidentes requiere la capacidad de modelar gran
cantidad de sistemas en situaciones diversas. Luego, los modelos derivan en códigos de
detalle, que incorporan gran cantidad de correlaciones que deben verificarse
experimentalmente.
También es objetivo del análisis dinámico el diseño del sistema de control
basado en el comportamiento físico de la misma planta. La teoría clásica de control se
basa en el comportamiento lineal de los sistemas alrededor de los estados operativos.
Sin embargo, esto acota los alcances de los modelos. En general, se utilizan modelos
muy sencillos que puedan ser fácilmente linealizados, para el diseño de los sistemas de
control, que frecuentemente pueden resolverse en forma analítica. Luego son
verificados con códigos de detalle.
Otra área es la del análisis de estabilidad del sistema, lo que es particularmente
importante en sistemas donde ocurre ebullición. Es bien sabido que los sistemas en
ebullición pueden resultar inestables en condiciones particulares, debido a la dinámica
de dos fases. El fenómeno de instabilidades es complejo, depende de fuertes acoples del
sistema neutrónico-termohidrálico y de la propagación de perturbaciones muy pequeñas
que no deben ser desatendidas. Este problema ha sido ampliamente estudiado en
reactores clásicos tipo BWR; March-Leuba y Rey (1993) y D’Auria et al. (1997)
realizaron un relevamiento del estado del arte sobre el tema de inestabilidades en
reactores tipo BWR. También se han realizado algunos estudios en configuraciones
correspondientes a reactores tipo PWR, durante episodios de pérdida de refrigerante
(Almenas K., 1991).
Por otro lado, la actual corriente de reactores nucleares avanzados busca la
simplificación de los diseños. Con esta estrategia se pretende obtener una mayor
confiabilidad del sistema, reemplazando sistemas activos por mecanismos que hacen
uso de principios físicos, denominados pasivos. Esta modalidad permite buscar
soluciones que minimicen la complejidad de la planta, y es la principal ventaja que
2
Introducción
ofrecen los diseños innovadores. En particular interesa estudiar la dinámica de reactores
que hacen uso de la convección natural en condiciones de autopresurización.
2. Reactores integrados,
convección natural
autopresurizados,
refrigerados
por
En el presente trabajo, se toma como referencia el reactor CAREM 25
(Delmastro et al., 2001; Giménez et al., 2001, 2003; IAEA, 2004). Las principales
características en este diseño, pueden describirse brevemente de la siguiente manera:
Es un reactor integrado. Todos los componentes del sistema primario se
incluyen en un mismo recipiente de presión.
Es autopresurizado. No existen componentes activos para el control de presión
en forma directa, sino que éste se lleva a cabo mediante desbalances de potencia en el
circuito primario.
Refrigerado por convección natural. El caudal del circuito primario se establece
debido a la diferencia de altura entre la fuente de calor (núcleo) y el sumidero
(generadores de vapor).
La Figura I.1 muestra un esquema del sistema primario. El recipiente de presión
contiene el núcleo, los generadores de vapor, la totalidad del refrigerante de primario y
los mecanismos de las barras de control.
Figura I.1: Diagrama del sistema primario del CAREM-25
3
Introducción
El refrigerante, luego de extraer el calor
chimenea, confinado por un contenedor. Luego
encuentra entre el recipiente de presión y el
dispuestas a tal fin. Allí ingresa a los generadores
sistema secundario, para dirigirse finalmente al
plenum inferior.
del núcleo del reactor ingresa a la
se dirige a la región anular que se
contenedor, atravesando ventanas
de vapor, donde transfiere el calor al
núcleo, a través del downcomer y
Los generadores de vapor son de tipo helicoidales, de un solo paso, equidistantes
entre sí en el espacio anular. La diferencia de altura entre el núcleo y los generadores de
vapor genera la fuerza boyante necesaria para la circulación del refrigerante por
convección natural.
Los mecanismos de las barras de control se accionan hidráulicamente, y se
encuentran dentro del recipiente de presión, en el domo superior. Esto elimina la
posibilidad de un accidente de inserción de reactividad por la eyección incontrolada de
una barra.
La autopresurización se logra por medio de una zona de vapor en el domo
superior. En esa zona, líquido y vapor deben encontrarse en equilibrio térmico. Luego,
el control de presión se lleva a cabo mediante desbalances entre la potencia generada en
el núcleo y la removida en los generadores de vapor.
Estas particularidades hacen que el comportamiento de este reactor difiera de los
reactores clásicos. La motivación de la presente tesis es el estudio del impacto en la
dinámica y estabilidad de las diversas fenomenologías presentes en este diseño.
3. Auto-presurización
En el concepto CAREM, el control de presión se lleva a cabo mediante
desbalances de potencia en el circuito primario. Esto evita la utilización de componentes
activos para el control en forma directa, como calentadores y duchas. Para que esto sea
posible, las fases líquido y vapor en la zona del domo deben estar termodinámicamente
acopladas, lo cual se logra manteniendo ambas fases en equilibrio térmico, es decir que
la chimenea y el domo se encuentran muy cerca de la temperatura de saturación. El
vapor en el domo condensa en las superficies de las estructuras más frías: el recipiente
de presión, debido a las pérdidas de calor hacia la contención, y los mecanismos de las
barras de control, debido que éstos se alimentan con agua subenfriada.
En estado estacionario el vapor condensado debe compensarse con generación de
vapor, que se produce a lo largo de la rama caliente –núcleo y chimenea–. Esta
condición, junto con la convección natural, distingue el comportamiento particular de
este reactor con los llamados “reactores clásicos”: en algunos aspectos este trabaja como
un PWR y en otros como un BWR, ya que se espera que ocurra ebullición a lo largo de
la rama caliente. Por otra parte, esta situación asegura una notable estabilidad en cuanto
a las respuestas de la presión del sistema ante transitorios.
La auto-presurización, junto con los coeficientes de reactividad negativos y el
gran inventario de refrigerante en el circuito primario aseguran el control con un
mínimo movimiento de las barras. La dinámica intrínseca del domo, regida por los
regímenes de evaporación y condensación, en conjunto con el transporte de vapor en la
chimenea, juegan un papel preponderante en determinar las características de dicho
control.
4
Introducción
4. Convección natural
La circulación del refrigerante es el resultado de la acción de la fuerza boyante,
que se origina por las diferencias de densidad inducidas por el transporte de calor desde
la fuente (núcleo) hacia el sumidero (generadores de vapor). La ubicación de los
generadores de vapor por encima del nivel de núcleo asegura la circulación en esta
dirección.
La principal ventaja de la circulación natural es que la función de trasporte de
calor se logra sin la necesidad de bombas. La ausencia de partes móviles para generar la
fuerza motriz del caudal hace al sistema menos vulnerable a fallas, reduciendo tanto los
costos de operación y mantenimiento como la probabilidad de incidentes. De esta forma
se extiende la seguridad pasiva al eliminar las bombas de primario.
Debido a esto los circuitos de circulación natural se encuentran tanto en la
industria nuclear como en aplicaciones convencionales. Entre estas últimas pueden
mencionarse los colectores de energía solar, sistemas pasivos de calefacción o
refrigeración, extracción de potencia geotérmica, refrigeración de motores, etc.
En la industria nuclear, la circulación natural es un importante mecanismo de
remoción de calor. En los reactores clásicos, se utiliza desde hace tiempo en la
operación normal de generadores de vapor, en el lado secundario. A partir del accidente
de TMI-2, se realizaron una gran cantidad de estudios experimentales y analíticos
concentrando la atención en la performance y comportamiento de los reactores durante
episodios de pérdida de refrigerante pequeños. La convección natural se ha identificado
como un importante modo de extracción de calor de decaimiento en estas condiciones
(D’Auria F. y Frogheri M., 2002; Duffey R.B. 1987), motivo por el cual se ha
introducido en casi todos los diseños de nueva generación. Actualmente existen, además
de CAREM-25, varios diseños innovadores que proponen este mecanismo en
condiciones normales de operación (ESBWR, SBWR) (Shiralkar et al., 1993; Arnold et
al., 1997). Esto asegura, además de las mejoras en aspectos de seguridad, una mejor
distribución de caudales entre canales y una mejor respuesta del caudal ante cambios de
potencia, ya que el caudal aumenta cuando ésta es incrementada, a diferencia del caso
de circulación forzada donde la tendencia es la inversa.
En el caso de los BWR, el diseño de la circulación natural implica reducir las
pérdidas de carga en el núcleo bajando la densidad de potencia, lo que origina núcleos
más grandes. La fuerza boyante se maximiza aumentando los títulos a la salida del
núcleo y aumentando la longitud de las chimeneas.
En el caso de CAREM-25, si bien se esperan títulos muy bajos en chimenea, está
diseñado para funcionar en convección natural en simple fase. La fuerza boyante
requerida resulta en su mayor parte de los cambios de densidad en simple fase. Este
hecho, sumado al hecho de incorporar los generadores de vapor dentro del RPV, resulta
en una chimenea mayor en relación a los BWRs.
5. Inestabilidades
En una primera aproximación, la estabilidad de un sistema puede definirse de
acuerdo a su comportamiento frente a una pequeña perturbación, cuando se encuentra
en estado estacionario. Si el mismo vuelve al estado original, es estable. Por el
contrario, si se estabiliza en un nuevo estado estacionario u oscila con amplitud
creciente el sistema se considera inestable.
5
Introducción
La inestabilidad es indeseable, ya que cuando se sostiene en el tiempo puede
causar diversas complicaciones, como problemas derivados de la vibración mecánica de
componentes, perturbar el sistema de control y causar problemas operacionales, o llevar
a la ocurrencia del flujo crítico de calor (CHF) causando a su vez la rotura de
combustibles. Las oscilaciones de potencia pueden llegar al 100% (Galer R.R. y Jensen
J., 1989).
Se han observado diferentes tipos de inestabilidades. En reactores tipo BWR,
existen dos grandes grupos: oscilaciones “en fase”, donde el núcleo se comporta como
un todo, y oscilaciones “fuera de fase” (Takigawa Y., et al, 1987), donde una parte de
núcleo se comporta en forma diferente a la otra. Es decir, cuando la potencia aumenta
en una parte del núcleo, se reduce en la otra de tal manera que la potencia total
permanece aproximadamente constante (March-Leuba, 1993; Nayak, 2000). Estas
últimas ocurren en núcleos relativamente grandes y son dependientes de la existencia de
canales de ebullición.
Los sistemas de convección natural son más susceptibles a inestabilidades.
Aunque el fenómeno es común también a sistemas de convección forzada, el caso de
convección natural es inherentemente más inestable debido al fuerte acople entre el
caudal y la fuerza boyante: cualquier perturbación en la fuerza boyante afecta el caudal,
que a su vez afectará la fuerza boyante, dando a lugar a comportamientos oscilatorios e
inestabilidades en situaciones que no se dan en sistemas de convección forzada.
Fukuda K y Kobori (1979) clasificaron las inestabilidades como “tipo I” y “tipo
II” a aquellas que ocurren a bajos o altos títulos, respectivamente. Las oscilaciones de
tipo II son las más comunes en reactores tipo BWR clásicos, y están dominadas por el
efecto de las fricciones en doble fase. Las oscilaciones de tipo I, por otra parte, aparecen
cuando existe una chimenea luego de la zona calefaccionada, y están dominadas por el
efecto de la fuerza boyante, lo cual las vuelve importantes en sistemas de convección
natural.
En la última década, la aparición de nuevos conceptos de reactores BWR en
convección natural ha hecho tomar especial interés el estudio de inestabilidades de tipo
I. Estas han sido observadas en facilidades experimentales (Kyung and Lee, 1994),
reportándose también en el reactor de Dodewaard (Van Der Hagen et al., 1997, 2000).
También se han realizado análisis teóricos sobre estas inestabilidades (Van Braga y Van
Der Hagen, 1998a,b; Nayak A.K. et al, 2002) y se ha anunciado un conjunto de estudios
experimentales, concebidos para servir como base de datos para validaciones futuras
(Kruijf et al., 2003).
Entre la gama de oscilaciones de tipo I, se ha identificado el proceso de inicio de
ebullición como un efecto importante, dado que introduce una perturbación significativa
en la densidad y por lo tanto en la fuerza boyante, inestabilizando el sistema. Entre ellas
encontramos fenómenos como “geysering” y “flashing”. Los dos fenómenos ocurren en
circuitos de convección natural con largas chimeneas.
El “geisering” se observa en sistemas de muy baja presión y caudal. El proceso
es descrito por Aritomi (1993), y está relacionado con la formación de grandes burbujas
de vapor en configuración de canales, que obstruyen toda el área de pasaje de los
mismos. Cuando estas burbujas toman contacto con el líquido subenfriado de la
chimenea, condensan rápidamente, disminuyendo la fuerza boyante y el caudal,
provocando nuevamente ebullición y el fenómeno se repite. Este tipo de oscilaciones
son fuertemente tridimensionales y se dan en condiciones de no equilibrio; ambos
6
Introducción
factores dejan este fenómeno fuera del alcance de las herramientas actuales. El
fenómeno desaparece al aumentar el caudal.
El “flashing” ocurre debido al la disminución de la presión hidrostática con la
altura a lo largo de la chimenea, lo que causa que el líquido llegue a saturación en la
misma, causando su evaporación. Este fenómeno se da en equilibrio entre fases y no se
produce condensación durante el proceso. El “flashing” ha sido identificado como
“clave” en condiciones de bajo título (Van Bragt D. et al, 2002; Inada F. et al, 2000) y
se observa en un amplio rango de caudales.
En particular, en reactores nucleares la generación de potencia está directamente
relacionada con el flujo de neutrones, el cual se ve afectado con los cambios de
temperatura o densidad de combustibles y refrigerante. Esto genera un acople entre la
dinámica de la temperatura de combustible, de la termohidráulica del reactor y de la
neutrónica. El efecto que esto genera sobre las inestabilidades depende de la
sensibilidad de estos acoples, los retrasos que se producen en la realimentación y las
frecuencias características de las oscilaciones.
En el caso de CAREM, a diferencia de los reactores tipo BWR no existen
canales en el núcleo, sino que se propicia el proceso de mezclado en esta zona. Esto
hace poco probable la existencia de fenómenos particulares como las oscilaciones fuera
de fase, ya que además el núcleo es relativamente pequeño en relación a la chimenea, o
el geisering, que requiere también presiones y caudales relativamente más bajos. Sin
embargo, de los estudios realizados en configuraciones tipo BWR pueden inferirse
posibles causas de inestabilidades: la combinación de convección natural, bajos títulos y
la presencia de una chimenea relativamente larga hacen que este reactor sea susceptible
a oscilaciones en fase de tipo I, en tanto que los cambios de presión hidrostática a lo
largo de la chimenea pueden ocasionar flashing. Resulta entonces de interés el estudio
de estas inestabilidades, como así también la influencia que puedan tener los acoples de
la auto-presurización y la realimentación neutrónica.
6. Opciones para el modelado de sistemas termohidráulicos
Los problemas concernientes al comportamiento de sistemas en simple y doble
fase son a menudo muy complejos, y requieren el uso de códigos termohidráulicos para
su análisis. Para este efecto, se han desarrollado diferentes modelos. La gran mayoría
son códigos unidimensionales. A la fecha no existen códigos tridimensionales con
suficiente madurez para simular la dinámica turbulenta de dos fases en tres
dimensiones. Estos últimos se adoptan como complemento de los primeros para el
estudio de áreas específicas en simple fase (IAEA 2003).
Para el estudio de la dinámica reactores nucleares se suelen adoptar dos tipos de
modelos, según sea su solución en el dominio de tiempo o en el de las frecuencias.
6.1
Dominio de las frecuencias
Estos modelos surgieron casi exclusivamente para el análisis de estabilidad de
sistemas, y encaran el problema en forma analítica. Para ello se linealizan las
ecuaciones alrededor de un estado estacionario para resolverlas por medio de la
trasformada de Laplace (Wallis and Heasley, 1961). Este análisis se conoce como
“estabilidad lineal”. Los resultados se obtienen en el campo de las frecuencias. Muchos
códigos fueron desarrollados mediante este método (Peng et al., 1984; D’Auria et al.,
1997). Debido a la complejidad de las formulaciones matemáticas, se adoptan modelos
7
Introducción
simplificados: por ejemplo, se evitan los modelos de dos fluidos, el efecto de
distribución de presión y propiedades de saturación usualmente se desprecia, y en
algunos casos, se modela solamente la región del núcleo, con condiciones de contorno a
la entrada y a la salida. Estas herramientas se utilizaron históricamente para construir los
mapas de estabilidad para las configuraciones más comunes de los reactores tipo BWR.
La principal ventaja de estos métodos es la precisión y eficiencia con que se
resuelven las ecuaciones teóricas. Éstos permiten una visualización rápida de la
estabilidad del sistema linealizado de una manera muy simple, evitando un análisis
exhaustivo de todos los transitorios posibles en el dominio de tiempo. Sin embargo, el
rango de aplicación de estos modelos y la precisión de sus predicciones está
condicionada por las simplificaciones y está limitada a pequeñas perturbaciones. Por
otra parte, los métodos de linealización limitan el rango de aplicación, ya que no pueden
utilizarse para predecir el comportamiento temporal del sistema cuando éste se hace
inestable; a su vez en la linealización se pierden todos los efectos no lineales,
responsables de una variedad importante de fenómenos, como ciclos límite y las
bifurcaciones subcríticas.
6.2
Dominio de tiempo
Los códigos en el dominio del tiempo tienen menos limitaciones teóricas, dado
que las ecuaciones diferenciales se resuelven en forma numérica sin linealizarlas, por lo
que no es necesario evitar las no linealidades, existiendo entonces la posibilidad de
extender el rango de aplicación de diferentes fenómenos físicos. Sin embargo, aparecen
incertezas numéricas que requieren especial atención.
Tradicionalmente, la mayoría de los códigos convencionales para la simulación
de transitorios utilizan esquemas numéricos que introducen una gran difusión artificial
(Mahaffy, 1993). Los eventos relacionados con la estabilidad son iniciados por
perturbaciones muy pequeñas, que usualmente se amortiguan como resultado de dicha
difusión numérica. Sin embargo, este problema no es significativo en la mayoría de los
problemas de aplicación para estos códigos, normalmente accidentes o transitorios
operacionales, condiciones bajo las cuales han sido validados. En estos casos, se
generan transiciones del estado de operación dominadas por términos fuente en las
ecuaciones de balance, como la presión introducida por una bomba o la transferencia de
calor al refrigerante, por ejemplo. El fenómeno difusión de pequeñas perturbaciones
pasa desapercibido, haciéndose poco importante en estos problemas.
Esto ha motivado a realizar esfuerzos en reducir la difusión numérica en códigos
en el dominio de tiempo, y permitir el análisis de estabilidad no-lineal (Takigawa y
Takeuchi, 1987; Paulsen M. et al, 1992). Los códigos de detalle, sin embargo, se han
vuelto tanto más complejos a medida que se aumentan problemas y situaciones que el
código es capaz de resolver. Como alternativa, en muchos casos se adoptan modelos
simplificados, denominados “fenomenológicos” o de “bajo orden”, que permiten
estudiar la naturaleza básica de los efectos no-lineales, no tenidos en cuenta en los
códigos lineales (Clausse A. et al, 1990; Karve et al., 1997; Van Brag et al., 1999). Los
modelos de bajo orden son muy apropiados para el estudio paramétrico de sistemas.
Algunos códigos de detalle también se mejoraron para considerar problemas de
estabilidad (Paulsen et al., 1992), mostrando en algunos casos un buen acuerdo con
experimentos (Cheung y Klebanov, 2001).
8
Introducción
7. Motivación
En sistemas complejos como reactores, existe una gran superposición de
fenómenos físicos de diferente naturaleza, que en la mayoría de los casos presentan
acoples no-lineales. Consecuentemente, los resultados de las simulaciones son sensibles
a las hipótesis de modelado y a los esquemas numéricos utilizados para obtener
soluciones de los modelos. Esto es particularmente relevante en reactores cuyo
funcionamiento depende fuertemente de la naturaleza intrínseca de estos fenómenos. A
esto se suman incertezas de diferente tipo, algunas relacionadas por ejemplo con
correlaciones medidas en experimentos, como el caso de la transferencia de calor.
Además existen incertidumbres con geometrías cuya disposición final no se encuentra
disponible en etapas tempranas de diseño. Un aspecto interesante a analizar es el estudio
de esta superposición de fenómenos, en particular aquellos que están presentes en el
concepto CAREM.
El caso de la auto-presurización es de particular interés por ser un aspecto
distintivo de este diseño. A diferencia de los reactores clásicos, en el CAREM los
fenómenos de condensación y ebullición intrínsecos cobran importancia. El domo
superior del reactor se vuelve entonces un componente crítico desde el punto de vista
dinámico, dado que allí es donde ocurren gran parte de estos mecanismos. A esto se
suma el hecho que éste es un volumen relativamente grande, donde los movimientos del
fluido no están claramente predefinidos, lo cual ocasiona inconvenientes cuando se
utilizan códigos 1-D, ya que estos son desarrollados para reproducir situaciones donde
los caminos del flujo están predeterminados. Resulta entonces de interés el estudio de
todos estos aspectos, y de qué modo afectan la evolución de los transitorios.
En el campo del análisis de inestabilidades, la sensibilidad de los resultados a
diferentes factores es un importante objeto de estudio en los modelos tanto lineales
como en el dominio de tiempo: en los primeros, la extensión de los modelos a diferentes
fenómenos físicos, y en los segundos, la adaptación de los esquemas numéricos que
aproximen mejor las ecuaciones teóricas. Estos aspectos resultan entonces de particular
interés.
Respecto de los modelos físicos, existen de diverso grado de detalle de acuerdo a
los diferentes fenómenos que son tenidos en cuenta. Los más básicos son utilizados en
modelos simplificados para obtener soluciones analíticas, en el caso de los modelos
lineales, o para entender la naturaleza de las oscilaciones, en el caso de los modelos
fenomenológicos. Por otra parte, existen aquellos que involucran fenomenologías
específicas, como el flashing o la auto-presurización.
En cuanto a los aspectos numéricos, éstos son importantes fundamentalmente en
el análisis de estabilidad. Pueden resumirse en dos grupos: los métodos numéricos que
se utilizan para la discretización de las ecuaciones de balance en espacio y tiempo, y la
nodalización empleada en las predicciones. Este último ha sido identificado como un
factor clave en códigos convencionales (Vijayan P.K. et al, 1995), dado que la
nodalización afecta en gran medida las predicciones. Luego, los temas que interesa
estudiar son, por una parte, si existen métodos de integración que sean preferibles frente
a otros (por ejemplo, métodos explícitios, implícitos o una combinación de ambos), y la
posibilidad de una nodalización óptima para la predicción de problemas de estabilidad.
En el análisis de estabilidad, la linealización permite estudiar de manera rápida y
directa el efecto de esquemas numéricos, nodalizaciones y modelos físicos cuando el
sistema es estable; mientras que el esquema no lineal permite estudiar el
9
Introducción
comportamiento de sistemas inestables, como la amplitud de las oscilaciones. La
combinación de ambas aproximaciones resulta entonces una metodología atractiva para
un análisis completo.
Todos estos aspectos se potencian aún más si su aplicación es en un análisis
integral del sistema primario de un reactor con importantes características innovadoras.
8. Objetivos
El objetivo general de la tesis es contribuir en el avance del modelado y
conocimiento de la dinámica reactores auto-presurizados en convección natural, con
principal aporte al concepto CAREM. Para ello se desarrollará un modelo que permita
el análisis de la superposición de fenómenos en la dinámica del reactor. Para esto, es
necesario disponer de una herramienta con la cual sea posible estudiarlos, de manera
determinar el efecto que causa cada uno de ellos.
Los objetivos particulares son:
- Estudiar el comportamiento de la auto-presurización y la respuesta del sistema
frente a desbalances de potencia, considerando especialmente los fenómenos intrínsecos
de condensación y ebullición.
- Estudiar la influencia de diversos fenómenos físicos en la predicción de la
estabilidad, determinar los modos de oscilación, amplificaciones y frecuencias
características de oscilaciones.
- Estudiar la dinámica de las oscilaciones cuando el sistema es inestable.
Identificar los factores no lineales que limitan la amplitud de oscilaciones y sus
respectivos ciclos límite.
- Estudiar aspectos numéricos que influyen en el análisis de estabilidad, tanto
aquellos referentes a criterios de nodalización como a esquemas de integración.
- Desarrollar un código que combine las facilidades del análisis lineal en el
dominio de las frecuencias y la capacidad de estudio de los comportamientos no lineales
en el dominio de tiempo. El mismo deberá ser suficientemente flexible para el análisis
del efecto de esquemas numéricos, nodalizaciones y modelos físicos, como así también
el comportamiento no lineal cuando el sistema es inestable o se aparta de su condición
inicial.
10
CAPITULO II
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados
de convección natural
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
1. Modelo teórico
Como se mencionó, el objetivo general de la tesis es contribuir en el avance del
modelado y conocimiento de la dinámica reactores auto-presurizados en convección
natural. En estos sistemas complejos, existe una gran superposición de fenómenos
físicos, particularmente cuando su funcionamiento depende fuertemente de la naturaleza
intrínseca de estos fenómenos. Esto hace que los resultados de las simulaciones sean
sensibles tanto a las hipótesis de modelado como a los esquemas numéricos utilizados
para obtener soluciones de los modelos. Por lo tanto es importante disponer de un
modelo que permita la evaluación del impacto de estos factores en la dinámica del
reactor.
El código desarrollado incluye el modelado del circuito refrigerante y el domo,
de acuerdo a las leyes de conservación de masa, energía y momento y el modelado
térmico del núcleo, teniendo en cuenta las realimentaciones neutrónicas de potencia.
Se toma como punto de partida los lineamientos del modelo desarrollado en
Zanocco P. (1998a), que fue inicialmente desarrollado para modelar la dinámica del
reactor durante desbalances térmicos. La utilización de un código propio permite
realizar modificaciones para analizar diferentes modelos e hipótesis simplificativas.
Aprovechando esta ventaja, el código es re-estructurado incluyendo y mejorando tanto
modelos específicos como el esquema de resolución numérica.
Para la resolución de las ecuaciones, se realizan las siguientes hipótesis:
Flujo unidimensional.
Se modela sólo una coordenada espacial y se toma en sentido de la circulación
del fluido. Esta hipótesis es válida en todas las zonas donde existe una dirección
preferencial bien definida de circulación. Existen al menos dos zonas particularmente
difíciles de modelar bajo esta hipótesis, que son el plenum inferior y la zona de mezcla
del domo.
Este último se modela como un volumen donde se promedian las propiedades del
fluido; esta aproximación probablemente no esté lejos de la realidad, debido a que se
espera un buen mezclado en esta zona, promovido por los procesos de ebullición y
condensación. En cuanto al plenum inferior, es de esperar que allí se produzcan
procesos de difusión de los frentes de entalpía originados en los Generadores de Vapor
(GV), lo cual podría ser importante en el análisis de estabilidad. Sin embargo, dicha
difusión es difícil de evaluar porque depende de patrones turbulentos en una geometría
fuertemente tridimensional. Dado que la propagación de estos frentes es la principal
causa de inestabilidades, para un análisis conservativo de la estabilidad se considera que
esta difusión de frentes es muy pequeña o no existe.
Modelo de “drift-flux” en equilibrio para las dos fases en el circuito primario.
El modelo de drift-flux se elige por su simplicidad, y porque mantiene en gran
medida las capacidades de códigos basados en modelos de dos fluidos y datos
experimentales. De hecho, muchos códigos basados en el modelo de dos fluidos tienen
relaciones constitutivas que se derivan del modelo de drift-flux, debido a que el
problema de cierre de las ecuaciones de balance es más simple en este caso, y sus
coeficientes son fácilmente deducibles de experimentos. Además, la integración de
cuatro ecuaciones requiere menos recursos que el caso de seis ecuaciones. El modelo de
drift-flux está especialmente bien adaptado para predecir la propagación de
12
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
perturbaciones térmicas y cinemáticas, que es precisamente uno de los objetivos de este
trabajo. Ha demostrado también capacidad para simular oscilaciones de flujo y potencia
de gran amplitud y predecir ciclos límite. (Wulff, 1993).
Modelo de flujo estratificado en no-equilibrio para las dos fases en el domo
El domo de vapor es un componente donde las fases líquido y vapor se mueven
en diferentes direcciones: la fase de vapor naturalmente se acumulará en la zona más
alta del sistema primario, permaneciendo estanca; por lo tanto, se espera que el fluido se
estratifique en esta zona. Debido a la auto-presurización, el modelado correcto de la
interacción entre fases es importante para regímenes de baja condensación, para lo cual
se incluye un modelo de no equilibrio.
Presión dependiente sólo del tiempo y de la altura hidrostática, en lo que refiere al
cálculo de propiedades de saturación del fluido.
La influencia del cambio de presión debido a la fricción se desprecia en este
caso. Esto es en general válido en circuitos de convección natural a bajos títulos, ya que
la relación de los cambios de presión por altura son mucho más grandes que los debidos
a fricciones. Esto es cierto en el caso de CAREM, donde la relación entre ambos
términos es de un orden de magnitud, y en particular en la chimenea, donde la misma
llega a dos órdenes de magnitud.
No existe arrastre de burbujas (carry-under) a la salida del domo hacia los GV.
Debido a la localización de los GV, en el volumen anular externo del recipiente
de presión, se presenta un gran área de pasaje en la entrada a los mismos. Esto resulta en
una baja velocidad del fluido en esta zona, por lo que no se espera que exista arrastre de
burbujas.
Modelo de cinética puntual para la potencia generada en el núcleo.
El núcleo es relativamente pequeño respecto de otros reactores de potencia. Por
otra parte, el tiempo de residencia del fluido en el nucleo es pequeño respecto al de
chimenea, menor que un reactor BWR clásico por ejemplo. Por otra parte, la ausencia
de canales separados impiden la posibilidad de oscilaciones tipo “fuera de fase”, que es
el caso donde el comportamiento no uniforme del núcleo puede ser importante.
Consecuentemente, la hipótesis de cinética puntual se considera como una buena
aproximación.
1.1
Modelo del circuito de primario
El modelo para el circuito refrigerante que se desarrolla en este trabajo es
unidimensional. Se asume que ambas fases se comportan como una mezcla, con
propiedades que responden a promedios pesados de las mismas. Este modelo requiere la
hipótesis de equilibrio termodinámico entre fases. Para introducir la velocidad relativa
entre fases se utiliza el método de drift-flux. Resulta un modelo de cuatro ecuaciones,
consistentes en los balances de masa, energía y momento para la mezcla, más modelos
semi-empíricos para la velocidad relativa entre fases en función de dos parámetros
dependientes del régimen de flujo: la velocidad de “drift” y un parámetro de
distribución del flujo (Wallis G.B., 1969).
Para obtener las entalpías del circuito, se resuelve la ecuación de energía:
13
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
∂ (ρh ) 1 ∂ (GhˆA) q ' ∂P
= +
+
A ∂z
A ∂t
∂t
(II.1)
donde ρ es la densidad, A es el área de pasaje, G es el flujo másico, q’ es la
potencia lineal transferida al refrigerante, P es la presión, z y t son las variables
independientes de espacio y tiempo. Allí se definen dos tipos de entalpías:
Entalpía “media”:
(II.2)
h = h fg * x + h f
donde x es el título estático, que se define como la relación de masa de vapor a
masa total en un determinado volumen, los subíndices f y g significan líquido y vapor
saturados, respectivamente.
Entalpía “de mezcla”:
hˆ = h fg * xd + h f
(II.3)
siendo xd el título dinámico, que se define como la relación de caudal de vapor a
caudal total en un determinado volumen.
Desarrollando los términos y aplicando conservación de masa, se obtiene la
expresión utilizada en este trabajo:
ρ
∂h 1 ∂ (GhˆA) h ∂ (GA) q ' ∂P
+
−
= +
∂t A ∂z
A ∂z
A ∂t
(II.4)
La fracción de vacío α se relaciona con el título estático de la siguiente manera:
α=
1
 1  ρg
1 +  − 1
 x  ρf
(II.5)
El título dinámico se calcula en función de α :
xd =
1
 1  ρf
1 +  − 1
α  ρg S
(II.6)
donde S es el “slip”, definido como la relación de velocidades de vapor y líquido
promediadas de la siguiente manera:
S=
αu g
(1 − α )u f
(1 − α )
α
14
(II.7)
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
donde ug y uf son velocidades de vapor y líquido respectivamente, el operador
“‹ ›” indica que la propiedad está promediada en el área. S se obtiene a partir de las
correlaciones de drift-flux, para ello utilizamos la ecuación de Zuber N. y Findlay J.A.
(1965):
α =
jg
(II.8)
C 0 j + u~gj
donde j es la velocidad superficial, ũgj y C0 son los parámetros de “drift-flux”.
Para el caso de circuitos de agua a alta presión:
 σg∆ρ 
u~gj = 1.41 2 
 ρ 
f


1
4
;
(II.9)
C0 = 1.13
donde σ es la tensión superficial interfacial, g es la aceleración de la gravedad,
∆ρ es la diferencia de densidades de líquido y vapor saturados.
A partir de las ecuaciones (II.7) y (II.8), y teniendo en cuenta las siguientes
relaciones:
j g = αu g ; j f = (1 − α ) u f ; j = j g + j f
(1 − α ) u f ρ f
(II.10)
+ αu g ρ g = G
se deduce la siguiente expresión para S:
S = (1 − α )
C0G + u~gj ρ f
(1 − C0α ) G − u~gj ρ gα
(II.11)
Puede observarse que si C0 = 1 y ũgj = 0 (caso homogéneo), S = 1.
Ahora tenemos un sistema cerrado para obtener ĥ a partir de h; es decir que en
este esquema h es la “variable de estado” (a integrar en el tiempo), mientras que ĥ es la
variable auxiliar. Primero se calcula x utilizando la expresión (II.2), luego se obtiene α,
(II.5), y con ella S (II.11); con estas últimas dos, se obtiene xd (II.6), y con ella ĥ (II.3).
Esto puede resumirse en el esquema de la Figura II.1.
h
x
α
xd
ĥ
S
Figura II.1: Esquema de resolución del modelo de “drift-flux”
15
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
Para obtener el caudal debido a la fuerza boyante, que establece la circulación
natural, deben resolverse las ecuaciones de masa y momento. Para resolver
espacialmente los flujos másicos de todo el circuito, se plantea la ecuación de
conservación de la masa:
∂ρ 1 ∂GA
+
=0
∂t A ∂z
(II.12)
Por otra parte, la relación del caudal con los gradientes de presión está dada por
la ecuación de momento:
(
)
∂G ∂ G 2 / ρ
∂P
+
= − ρg cosθ −
∂t
∂z
∂z
−
fric
∂P
∂z
(II.13)
siendo θ el ángulo de la dirección del fluido respecto de la vertical.
Esta ecuación se resuelve bajo la hipótesis de velocidad sónica infinita; es decir,
no se modelan las propagaciones de ondas de presión, sino que se asume éstas se
propagan instantáneamente en todo el circuito. De esta forma, se eliminan los efectos
sónicos del sistema. Este procedimiento reduce en gran medida el costo computacional
en la integración numérica de la ecuación (II.13), además de reducirse la disipación
numérica al eliminarse la necesidad de discretización espacial de esta ecuación.
Se asume que el circuito está conformado por tramos de área de pasaje constante,
con cambios de área abruptos entre tramos. Los términos de fricción distribuida se
calculan internamente utilizando el coeficiente de fricción para flujos turbulentos en
conductos (White F.M., 1994), mientras que los que corresponden a fricciones
localizadas se proveen externamente. La fracción de vacío, si la hubiera, se considera la
misma a la entrada y a la salida de cada cambio de área para los cálculos de pérdidas de
carga.
Bajo estas hipótesis, la ecuación (II.13) puede integrarse a lo largo del circuito,
resultando:
fΦ 2f 0 G G
 GG 
dGˆ
−
= − ∫ ρg cos θdz − ∫
dz − ∑  K

dt
2 Dhρl
 2ρ 
(1 − xd )2 1 − Ae 
G 2  xd2
−∑
+
2  ρ gα ρ f (1 − α )  As 
(II.14)
Donde f es el coeficiente de fricción, Φ2f0 es el multiplicador de dos fases, que
representa la relación de las pérdidas de carga en simple y doble fase, Dh es el diámetro
hidráulico, K es el coeficiente de pérdida por fricción localizada, los subíndices l, e y s
significan líquido, entrada y salida respectivamente. La variable Ĝ suele llamarse
“momento total” del sistema, y se define como:
Ĝ ≡ ∫ Gdz
(II.15)
16
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
El primer término a la derecha de la igualdad de la ecuación (II.14) corresponde
a la fuerza boyante, el segundo a las pérdidas de carga por el efecto de las fricciones
distribuídas, el tercero a las fricciones concentradas, y el último es el término de inercia
por los cambios de área.
Las ecuaciones (II.12) y (II.14) permiten resolver el perfil de caudal a lo largo
del circuito primario, de la siguiente forma. Integrando la ecuación (II.12) a lo largo del
circuito, se obtiene:
G(z ) = −
z
A( z = 0)
1
∂ρ ( z ')
A( z ')
dz ' + G ( z = 0)
∫
0
A( z )
A( z )
∂t
(II.16)
Reemplazando en la definición de momento total, ecuación (II.15), se obtiene:
L
z'
L dz '
1
∂ρ ( z ' ') 
Gˆ = ∫ −
A( z ' ')
dz ' 'dz '+G ( z = 0)A( z = 0)∫
∫
0
0 A( z ')
∂t
 A( z ') 0

(II.17)
donde L es la longitud del circuito. De aquí es posible despejar el caudal en
z = 0:
L 1
z'

 
∂ρ ( z ' ')
A( z ' ')
dz ' 'dz '
Gˆ + ∫ 0 
∫
∂t
 A( z ') 0
 
G(z = 0) = 
L dz '
A( z = 0)∫
0 A( z ')
(II.18)
A partir de G(z=0), es posible calcular el perfil de caudales a lo largo del circuito
mediante la ecuación (II.16).
Para cerrar el sistema, se agregan las ecuaciones de estado, de manera de obtener
las densidades como función de las entalpías y presiones del sistema:
ρ = ρ (h, P )
1.2
(II.19)
Modelo para la auto-presurización
Los desbalances de potencia en el sistema primario generan variaciones en el
nivel de líquido en el domo, lo cual modifica el espacio ocupado por el vapor y genera
desequilibrios térmicos de esta fase con la fase líquida y con las estructuras. Debido a la
auto-presurización, los intercambios de calor y masa con el vapor a partir de estos
desequilibrios gobiernan la evolución de la presión del sistema.
El modelo consta de dos partes: un modelo hidrodinámico, donde se resuelve la
derivada de la presión como función de los desbalances de potencia o de masa en el
sistema, y un modelo de estructuras de domo, donde se resuelve la transferencia de calor
con la zona de vapor.
17
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
1.2.1
Modelo hidrodinámico
A fin de modelar los desequilibrios térmicos entre fases líquido y vapor en el
domo, se implementa un modelo de flujo estratificado fuera del equilibrio
termodinámico.
Para esto, se divide este sector en dos zonas:
- una zona de “mezcla”, por debajo del pelo líquido, que comprende el líquido y
vapor como fases continua y dispersa, respectivamente.
- una zona de “vapor”, por encima del pelo líquido.
El pelo líquido se modela como una frontera móvil entre ambas, lo que permite
seguir sus movimientos en forma continua.
En ambas zonas se plantean las ecuaciones de balance de masa y energía:
Ecuaciones de energía:
Zona de mezcla:
L
d
(VM ρ M hM ) + d  ∫ 0 ρh(z )A(z )dz  − VM dPD = Q p + ∆QLV

dt
dt
dt 
(II.20)
Vapor:
d
(VV ρV hV ) − VV dPD = QV − ∆QLV
dt
dt
(II.21)
Ecuaciones de masa:
Mezcla
L
d
(VM ρ M ) + d  ∫ 0 ρ (z )A(z )dz  = ∆WLV

dt
dt 
(II.22)
d
(VV ρV ) = −∆WLV
dt
(II.23)
Vapor
Los subíndices D, M y V significan domo, zona mezcla y zona vapor de domo
respectivamente. Los términos ∆WLV y ∆QLV contienen los modelos de transferencia de
masa y energía entre las fases líquida y vapor en el nivel de líquido en el domo. Estos
incluyen ecuaciones para los caudales de vapor, de condensación de vapor por contacto
con el pelo líquido, por subenfriamiento (Zanocco P., 1998a) y por contacto con
estructuras, la cual será explicada en la sección II.0. Qp es la potencia neta que recibe el
refrigerante a lo largo de todo el sistema primario excepto la zona de vapor en el domo,
esta última representada por QV; la suma de estos términos debe ser cero en un estado
estacionario.
18
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
Los balances en la zona de mezcla incluyen las ecuaciones de masa y energía
integradas en todo el circuito, en lugar de la masa y energía intercambiadas entre el
domo y el resto del circuito. De esta forma se mejora el comportamiento numérico al
resolver casos en los que ocurre el fenómeno de “flashing”, o ebullición por
despresurización. Como contrapartida, se requiere un proceso iterativo más costoso para
asegurar la convergencia. Esto será explicado en la sección II.2.3.
Reacomodando estas ecuaciones de manera de expresarlas como función de las
derivadas temporales de las variables de estado, VM, VV, PD y hM, se obtiene:
Ecuaciones de balance de energía:
Mezcla:
ρ M VM
dhM
dP
+ (I 4 − hM I 2 − VM ) D = Q p + (∆QLV − hM ∆WLV ) + hM I1 − I 3
dt
dt
(II.24)
Vapor:
ρV VV
dhV
dP
− VV D = −(∆QLV − hV ∆WLV ) − QV
dt
dt
(II.25)
Ecuaciones de balance de masa:
Mezcla
∂ρ dh
dVM
∂ρ
 dP

= ∆WLV − I1
 VM M + I 2  D + VM M M + ρ M
∂h dt
dt
∂P
 dt

(II.26)
Vapor
VV
∂ρV dhV
∂ρ dP
dVM
+ VV V D − ρV
= − ∆WLV
∂h dt
∂P dt
dt
(II.27)
Donde se definen las integrales:
I1 = ∫
L
0
∂ρ ( z )
A( z )dz
∂t P
I2 = ∫
L
∂ρ ( z )
∂h( z ) 
 A( z )dz
I 3 = ∫  h( z )
+ ρ (z )
0
∂t P
∂t 

I4 = ∫
L
0
L
0
∂ρ ( z )
A( z )dz
∂P
∂ρ ( z )
h( z ) A( z )dz
∂P
(II.28)
A partir de las ecuaciones (II.24), (II.25), (II.26) y (II.27) es posible despejar las
derivadas temporales de las incógnitas.
El perfil de presiones en la rama caliente se obtiene a partir de la presión del
domo mediante una corrección por la altura hidrostática, de la siguiente manera:
P( z , t ) = PD (t ) + g ∫
zD
z
ρ ( z ' , t ) cos θdz '
19
(II.29)
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
Esta presión se utiliza para el cálculo de las propiedades de saturación. Como se
verá, esta corrección es importante cuando existe ebullición en la chimenea debido a la
despresurización con la altura.
1.2.2
Estructuras de domo
El modelado del intercambio térmico de las estructuras del domo con el fluido
influye en la evolución de la presión, ya que ésta es particularmente sensible a la
condensación de vapor. Es de esperar que el vapor en el domo condense en las
superficies de las estructuras más frías, principalmente los mecanismos de las barras de
control y el recipiente de presión.
El modelo que se propone tiene la característica de ser flexible en cuanto al
modelado de las diferentes geometrías del domo, ya que su disposición final no se
encuentra disponible en etapas tempranas de diseño. El mismo tiene, además, la
capacidad de seguir las variaciones del nivel de líquido, evitando problemas numéricos
que frecuentemente aparecen cuando se modela una estructura en contacto con un
volumen estratificado. En el modelo original se simulaba una única estructura de
conductividad infinita. El efecto que esto produce es que el calor se distribuye en forma
instantánea en todo el espesor de la estructura una vez que es transferido. Aquí se
incluye un esquema de resistencia térmica, de manera de aproximar el efecto de la
conductividad del material. Esto permite mejorar el modelado de las fugas térmicas y la
dinámica de la pared.
Se establecen las siguientes hipótesis:
- Se considera una geometría de placas. Esta aproximación vale también para
geometrías cilíndricas cuando el espesor es varias veces menor al diámetro.
- Los movimientos del nivel de líquido se siguen en forma continua, por medio de
una frontera móvil.
- Se considera una capacidad térmica concentrada: toda la capacidad de
almacenamiento de energía se encuentra en el centro de la pared del tubo. De esta forma
se puede tener en cuenta la resistencia térmica del material ante fugas térmicas ó
extracciones de calor, o bien ante transitorios.
Las estructuras se modelan separadas por medio de una frontera delimitada por el
nivel de líquido. Las porciones de estructura en contacto con el líquido o el vapor se
comportan entonces como independientes, permitiendo asignar a cada zona distintos
coeficientes de transferencia, proporciones de fugas y capacidades caloríficas. Luego, se
plantean las ecuaciones de energía de la estructura para las zonas mezcla y vapor:
dTeV
= qeV + qVf + q∆ _ V
dt
dT M
ρ eVeM Cpe e = qeM + q Mf + q∆ _ M
dt
ρ eVeM Cpe
(II.30)
Cp es el calor específico de la estructura, el subíndice e indica estructura, qe es el
calor intercambiado entre el primario y la estructura, qf es el calor transferido al
exterior, q∆_V, q∆_M son calores intercambiados dentro de la misma estructura, desde la
20
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
zona mezcla a la vapor y viceversa, respectivamente. Estos términos pueden
identificarse en la Figura II.2, que muestra un esquema del modelo de estructura.
Los volúmenes de estructura asociados a cada zona se calculan como:
VeM = Pere ee H eM
(II.31)
Per es el perímetro mojado, ee el espesor y HeM la longitud de estructura que se
encuentra en contracto con zona mezcla.
La frontera entre estas dos estructuras es móvil, lo cual permite seguir las
oscilaciones del nivel en el domo. Para esto, es necesario considerar los cambios de las
masas contenidas en cada estructura que intervienen cuando la frontera se desplaza.
Cuando HeM varía, lo hace también la masa meM asociada a la zona de mezcla; es decir
la porción de la estructura que antes formaba parte de la “zona de mezcla” pasa a formar
parte de la “zona de vapor”, o viceversa. Pero esta masa diferencial de estructura
intercambiada tiene una energía específica diferente de la estructura a la que pasa a
formar parte. Por lo tanto, es necesario modelar la energía transferida en este proceso
teniendo en cuenta que:
dVeM
dH M ee Pere dVM
= ee Pere
=
dt
dt
AD
dt
(II.32)
donde HM es el nivel de mezcla desde la base del domo.
Los flujos de calor entre zonas de estructuras se calculan de la siguiente forma:
(
q∆ _ M = ρCp TeM − TeV
(
) e APer
e
e
D
q∆ _ V = ρCp T − T
V
e
M
e
)
dVM
dt
ee Pere dVM
AD
dt
;
;
dVM
>0
dt
q∆ _ V = 0
si
q∆ _ M = 0
dVM
si
<0
dt
Figura II.2: Modelo de estructura de domo.
21
(II.33)
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
Los flujos de calor qe y qf se calculan de la siguiente forma:
−1
1
e 
q =  t + e  Pex H x Tprim − Tex
 h 2ke 
x
e
−1
(
1
e 
q xf =  t + e  Pex H x Tex − Ta
 ha 2ke 
(
)
(II.34)
)
donde ht es el coef. de transferencia con el primario, ke es la conductividad del
material, hta y Ta son el coeficiente de transferencia y temperatura del exterior
respectivamente, incluyéndose estos últimos como condiciones de contorno. El
supraíndice x indica la zona que se considera (M o V)
En el código, está previsto simular diferentes estructuras con las características
descriptas, con propiedades independientes. Cada una podrá situarse a una altura Le
determinada, pudiendo estar en el nivel de líquido ó totalmente sumergida en la zona
mezcla o vapor; así por ejemplo, la tapa del recipiente se modelaría como una estructura
totalmente sumergida en la zona de vapor
1.3
Modelo de núcleo
La generación de potencia está directamente relacionada con el flujo de
neutrones, el cual se ve afectado con los cambios de temperatura o densidad de
combustibles y refrigerante. Esto genera un acople entre la dinámicas de la temperatura
de combustible, de la termohidráulica del reactor y de la neutrónica.
1.3.1
Dinámica del combustible
La estructura de los elementos combustibles se modela en un esquema
unidimensional, tomando la coordenada espacial en la dirección axial. La variación
temporal de la temperatura del combustible es proporcional a la diferencia entre las
potencias generada y transferida. Se modela un perfil de temperatura axial,
despreciando la conducción de calor en esa dirección, debido a que la conductividad de
los combustibles es relativamente pequeña, y el flujo axial de calor por conducción es
despreciable frente al flujo de calor hacia el refrigerante por convección. De esta forma:
M c Cpc
dTc ( z )
= Peso( z ) QN − LN q ' ( z )
dt
(II.35)
M es la masa, Cp es el calor específico, los subíndices c y N significan
combustible y núcleo, respectivamente. Tc(z) es una temperatura promediada en el radio
del combustible, de la siguiente forma:
∫
T (z ) =
c
R
r =0
ρ Cp (r ) Tc ( z , r ) r dr
∫
R
r =0
ρ Cp (r ) r dr
(II.36)
donde r es la coordenada radial, y R es el radio exterior de la barra de
combustible. El factor Peso(z) está relacionado con el perfil axial de la generación de
22
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
potencia, el cual se usa para promediar la energía depositada en el combustible. En este
trabajo, esto se hace mediante una solución analítica para la distribución radial de la
temperatura en estado estacionario, y despreciando las dependencias de las propiedades
térmicas de cada material con la temperatura. Para el peso, se utiliza el mismo que para
las reactividades, y debe ser tal que:
1
LNuc
∫
LNuc
0
Peso( z ) dz = 1
(II.37)
donde q’(z) es la potencia lineal transferida al refrigerante, la misma utilizada en
la ecuación de energía del refrigerante (II.1), que se define como:
q' ( z ) = HAN (Tc (z ) − T ( z )) / LN
(II.38)
donde HAN es el producto del coeficiente de transferencia equivalente (referido a
la temperatura promedio Tc) y el área de transferencia de núcleo, T es la temperatura del
refrigerante. A continuación se muestra el cálculo de este parámetro:
Partiendo de la ley de conducción en estado estacionario, para un dado z:
− k (T , r )
dTc (r )
= q" (r )
dr
(II.39)
donde q” es el flujo de calor radial y k es la conductividad térmica del material.
q” sólo depende de r, ya que todo lo que se genera entre 0 y r debe transferirse en esa
dirección. Asumiendo que k es independiente de la temperatura, es decir que es
constante en cada material, se tiene que:
dTc (r )
q" (r )
=−
dr
k (r )
(II.40)
Resulta que la derivada de la temperatura sólo depende de r. Luego:
Tc (r ) = Tc (R ) + ∫
R
r '= r
q" (r ')
dr '
k (r ')
(II.41)
Por otra parte:
Tc (R ) = T +
q" (R )
ht
(II.42)
donde ht es el coeficiente de transferencia al refrigerante. Reemplazando (II.42)
en (II.41) y aplicando la definición de temperatura promedio, la ecuación (II.36),
resulta:
Tc = T +
q" (R ) q" (R )
+
ht
hct
23
(II.43)
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
donde, por conveniencia, se define el factor htc de la siguiente manera:
q" (R )∫ ρ Cp(r ) r dr
R
hct =
0
∫
R
0
 R q" (r ') 
ρ Cp (r ) ∫
dr ' r dr
 r '=r k (r ')

(II.44)
Por otra parte:
Tc =
q" (R )
+T
heqt
(II.45)
donde hteq es el coeficiente de transferencia equivalente referido a la temperatura
promedio de combustible Tc. De (II.43) y (II.45), se deduce:
1 1
h =  t + t 
 h hc 
−1
t
eq
(II.46)
Es decir que 1/hteq es la suma de las resistencias debidas a la transferencia de
calor al refrigerante 1/ht y la resistencia propia del combustible debido al proceso de
conducción 1/htc. hct puede interpretarse entonces como un coeficiente de transferencia
por conductividad en el combustible. Es importante notar, tal cual se deduce de la
expresión (II.44), que hct depende del perfil de q”, que a su vez depende de k(r), pero es
independiente de la potencia generada. Por lo tanto, bajo la hipótesis de k independiente
de la temperatura, el valor de htc será constante para todo QN
Luego, el valor de HAN será:
−1
1 1
HAN =  t + t  ANt
 h hc 
(II.47)
donde AtN es el área de transferencia de núcleo. HAN se ingresa como parámetro
externo, mediante el cálculo de hct y ht (ver Apéndice A). No obstante, en el caso que
aquí se trata hct < ht, por lo tanto las variaciones en ht debido a incertezas o diferentes
condiciones de trabajo se verán disminuidas, ya que HAN dependerá más fuertemente de
hct, que es un valor aproximadamente constante.
1.3.2
Cinética de Núcleo
La potencia generada en el núcleo se evalúa por una de dos opciones: una
función provista externamente, o como solución de las ecuaciones de cinética puntual,
utilizando 6 grupos de neutrones retardados (Ott, K.O. y Neuhold, J., 1985). Estas
ecuaciones especifican la relación de la potencia con la reactividad. Allí se evalúa la
realimentación basada en cambios de temperatura de combustible y densidad de
combustible, promediadas con la función Peso. En el Apéndice B se detallan las
ecuaciones a resolver.
24
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
2. Solución numérica
El modelo termohidráulico conforma un grupo de ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden, no lineales y fuertemente acopladas entre sí. Para resolver
estas ecuaciones, se representa el sistema como un sistema discreto de volúmenes de
control. El sistema termohidráulico se resuelve por el método de diferencias finitas, el
cual se programa en el código HUARPE.
2.1
Discretización numérica
Las ecuaciones se discretizan de acuerdo al esquema de diferenciación tipo “upwind” entre los nodos o volúmenes. El esquema up-wind es la manera más simple de
modelar el transporte de propiedades. Este método, aunque de primer orden, resulta ser
mejor que otros de mayor orden. La explicación de esto suele escapar a ilustraciones
estrictamente matemáticas, ya que la “precisión” del método en este caso es menos
importante que la buena representación del proceso físico. El esquema up-wind
representa adecuadamente el problema de variables transportadas que son sometidas a
cambios abruptos (Press W.H. et al, 1989). Por otra parte, como veremos en la sección
II.2.4, mediante la combinación del esquema up-wind con integración explícita de
primer órden de la ecuación de energía, es posible obtener un esquema de segundo
orden.
En la Figura II.3 se muestra un esquema de la nodalización del reactor. El domo
se divide en dos volúmenes variables para representar las zonas de vapor y mezcla.
La integración temporal se realiza utilizando un esquema pseudo-implícito para
las ecuaciones de momento y temperatura de combustible, y explícito para el resto de
las ecuaciones. Como se verá en el Capítulo VI, esta combinación es la que mejor
convergencia presenta, dentro de las posibilidades estudiadas.
A continuación, se muestra la solución numérica de las principales ecuaciones
del sistema. Como se verá en las secciones II.2.4 y II.2.5, se pondrá especial atención en
minimizar la difusión numérica de la ecuación de energía, y en las integraciones
temporales de las ecuaciones de momento y temperatura de combustible.
La ecuación discreta para calcular h a lo largo del circuito primario resulta:
ρ nj
n
q'n+ ∆P G nj+ hˆ nj − G nj−+1hˆ nj−1 A j −1 / A j
G n+ − G nj−+1 A j −1 / A j
dh
= j +
−
+ h nj j
dt j
Aj
∆t
∆z j
∆z j
(II.48)
n representa el paso de tiempo, j el número de nodo. El superíndice “+” indica
que la variable debe ser convergida.
La ecuación para calcular la temperatura de combustible (II.35) es:
dT
M c Cpc c
dt
n+
= Peso j QN − q'nj+ LN
(II.49)
j
donde:
Peso j =
1
∆z j
∫
zj
z j −1
Peso( z )dz
25
(II.50)
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
Figura II.3: Esquema de nodalización del circuito primario
q 'nj + se calcula en forma pseudo-implícita, esto es, como función de la
temperatura de combustible en el paso de tiempo n+1:
(
q'nj+ = HAN Tcj(n+1)+ − T jn
)
(II.51)
donde Tcj( n +1)+ deberá ser convergida.
La ecuación de momento (II.14) se integra de forma pseudo-implícita también,
calculando la fuerza boyante utilizando las densidades en el paso de tiempo n+1:
dGˆ
dt
n+
n


f Φ 2f 0 G n+ G n+


j
( n +1) +
g cosθ∆z +
z
∆
+
− ρ j

2 Dhj ρ ljn


= ∑
n

2
j
G n+ G n + G n + 2  xd2



A
(
)
x
1
−

−
1
j
d

 

 + K j 2 ρ n − 2 ρ n  ρ α + ρ (1 − α )  1 − A  
g
f
j 
j
j 
 j


( )
(II.52)
Los caudales del circuito en un dado tiempo se resuelven como función de Ĝ y
de las derivadas de las densidades de los nodos, de la siguiente manera:
26
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
De la ecuación (II.18), se obtiene Gj=1:
G nj=+1
 n N  1 k
dρ
Gˆ + ∑  ∑ Am
dt
k =1 

 Ak m=1
=
N
∆z
A j =1 ∑ k
k =1 Ak
n+
m
 
∆z m ∆z k 
 
(II.53)
donde:
dρ
dt
n+
j
ρ (jn+1)+ − ρ nj
=
∆t
(II.54)
De la ecuación (II.16), se obtienen los caudales en todo el circuito:
G nj+ = −
1
Aj
j
∑ Ak
k =1
+
A
dρ
∆z k + G nj=+1 j =1
dt k
Aj
(II.55)
De las ecuaciones de presión, (II.24) a (II.27), pueden obtenerse expresiones
analíticas de las derivadas temporales de VM, VV, PD y hM, que forman un sistema de
ecuaciones lineales. En particular, para PD se puede escribir, en forma compacta:
n+

dP
dρ
= f  vn , ∑

dt D
j dt

n+
j
d ( ρh )
,∑
dt j
j
n+




(II.56)
donde vn es un vector con parámetros evaluados en el paso de tiempo n.
De la ecuación (II.29) se obtiene la derivada de la presión en los nodos que se
encuentran en la rama caliente, teniendo en cuenta la corrección por altura hidrostática:
dPjn+
dt
=
N
dPDn+
dρ
+ g∑
dt
i = j dt
n+
cos θ∆zi
(II.57)
i
El sistema tal cual se plantea presenta fuertes acoples de diferente naturaleza,
que hacen que el sistema en un dado tiempo no pueda ser resuelto de forma directa,
requiriendo un proceso iterativo. Estos acoples tienen su origen en diferentes factores:
El acople de las ecuaciones masa-momento: Los caudales del circuito no son
variables independientes, sino que se obtienen a partir de las derivadas temporales
de las densidades, ecuación (II.55), que a su vez dependen de las derivadas
temporales de las entalpías y presiones. Pero las derivadas de las entalpías
dependen también de los caudales, a través de la ecuación de energía del
refrigerante (II.48).
La corrección por altura hidrostática: La derivada de la presión en cualquier nodo
depende de las derivadas de las densidades de los nodos que se encuentran por
27
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
encima del mismo, ecuación (II.57). A su vez, estas últimas dependen de las
primeras a través de las ecuaciones de estado.
La auto-presurización: La derivada de la presión del domo depende de las
derivadas de las entalpías y densidades de los nodos de todo el circuito, ecuación
(II.56). A su vez, la densidad está relacionada con la presión través las ecuaciones
de estado. Por otra parte, las derivadas de las entalpías dependen de los caudales,
que a su vez dependen de las derivadas de densidad a través del acople de las
ecuaciones de masa-momento, ecuaciones (II.48) y (II.55).
La integración pseudo-implícita de la ecuación de temperatura de combustible: Tal
como se plantea en este esquema, la potencia transferida al refrigerante depende
de la temperatura de combustibe en el tiempo n+1, ecuación (II.51). Pero esta
última debe calcularse a partir de su derivada temporal, que depende a su vez de la
potencia transferida al refrigerante, ecuación (II.49).
El resultado de estos acoples se muestra en la Figura II.4, en donde se explicitan
las variables que deben ser convergidas y sus dependencias a través de las ecuaciones
que las relacionan. La resolución de este sistema requerirá de un proceso iterativo para
su convergencia. El resto de las ecuaciones del sistema termohidráulico se integran de
acuerdo al esquema explícito de primer orden.
Una vez obtenidas todas las derivadas temporales de las variables de estado (y),
éstas se integran con un esquema de Euler:
Esquema pseudoimplícito (II.51)
Energía de
refrigerante (II.48)
q' j
Gjn+
Acople
ecuaciones
masa-momento
(II.55)
Ecs. de
estado
(II.19)
dρ
dt
n+
dh
dt
dTc
dt
n+
n+
j
j
j
dP
dt
Tc(n+1)+
n+
j
Corrección
por
altura hidrostática
(II.57)
dPD
dt
n+
Dinámica de
combustible
(II.49)
Acople autopresurización
(II.56)
Figura II.4: Esquema de los acoples entre las derivadas temporales de diferentes
variables.
28
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
y
n +1
j
dy
= y + ∆t
dt
n
n
j
(II.58)
j
Las ecuaciones de cinética puntual se integran de acuerdo al método desarrollado
por Pérez A. y Ferreri J.C. (1993), en base a un esquema de Crank-Nikolson.
2.2
Cálculo de densidad en un nodo
La discretización de las ecuaciones diferenciales de conservación presenta
problemas de estabilidad numérica cuando las propiedades del fluido cambian
abruptamente. Tal es el caso de la densidad cuando se encuentra en doble fase, sobre
todo en las proximidades de la frontera de ebullición (λ). Cuando se nodaliza, estos
cambios bruscos en un nodo producen a su vez un cambio abrupto en los caudales, lo
cual introduce oscilaciones numéricas. Este es un problema intrínseco de la existencia
de cambios abruptos de densidad y de la forma de resolver las ecuaciones por diferencia
finitas, debido a que se asumen propiedades uniformes dentro del volumen que se
discretiza. Este problema es usualmente enmascarado por esquemas numéricos muy
difusivos que suavizan estas variaciones, lo cual es un mecanismo “artificial” sin base
física.
Una forma de refinar el cálculo, especialmente en la zona donde se producen las
discontinuidades, es calcular la densidad como un promedio dentro del volumen,
interpolando linealmente los valores de la entalpía media y de saturación con el nodo
vecino. Esto resulta en una linealización en el título estático, xj. Es decir:
ρj =
1 zj
1 xj
ρ (z )dz ≈
ρ ( x )dx
∫
∆z z j −1
∆x ∫ x j −1
(II.59)
donde zj indica la frontera del nodo j aguas abajo; de acuerdo al esquema upwind, h(zj)= hj.
Así, integrando analíticamente las expresiones de la densidad como función de x
en una o dos fases, es posible obtener la densidad promediada en un volumen. En forma
genérica:
ρj =
x2
1  xλ
 ∫ x ρ1φ dx + ∫ x ρ 2φ dx 
λ

x2 − x1  1
(II.60)
Donde 1φ y 2φ indica simple y doble fase, respectivamente. Los subíndices 1 y 2
indican las fronteras del volumen, correspondiendo a entrada ó salida según ingrese
simple o doble fase desde j-1. El subíndice λ indica la posición de la frontera de
ebullición en el caso que ésta se encuentre dentro del volúmen, o uno de los extremos
del mismo en caso contrario. Esto se resuelve de acuerdo a la Tabla II.1.
A continuación se escriben las expresiones analíticas para la integración de
(II.60). Para una fase, se aproxima la densidad calculada con un título medio:
29
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
xj > 0
xj < 0
j-1
(sale 2φ)
(sale 1φ)
xj-1 > 0
Solo 2φ
2φ − λ − 1φ
(entra 2φ)
1 = λ = j-1
1 = j ; 2 = j-1
2=j
xλ = 0
xj-1 < 0
1φ − λ − 2φ
Solo 1φ
(entra 1φ)
1 = j-1 ; 2 = j
λ=2=j
xλ = 0
1 = j-1
j
Tabla II.1: Esquema de subíndices para la ecuación (II.60)
∫
xλ
x1
x +x

ρ1φ dx ≈ ρ  λ 1 , Pj ( xλ − x1 )
 2

(II.61)
Para el caso de dos fases:
ρ 2Φ (x ) =
ρf
ρ

1 +  f − 1 x
ρ

 g

(II.62)
Asumiendo ρg y ρf constantes en el volumen, x se aproxima interpolando en
forma lineal a lo largo del volumen. Integrando esta expresión, resulta:
∫
2.3
x2
xλ
ρ 2φ dx =
ρ f  1 + c ρ x2
ln
cρ  1 + cρ xλ





 ρf
cρ = 
− 1

ρ

 g
;
(II.63)
Integración del esquema numérico
Las ecuaciones enunciadas para el sistema discretizado espacialmente conforman
un grupo de ecuaciones diferenciales de primer orden fuertemente acopladas, como se
vió en la sección 2.1. El acople está dado principalmente por la dependencia del perfil
de caudales con la derivada de la densidad (ecuación de masa) y por la realimentación
de presión, además de la integración pseudo-implícita de la ecuación de temperatura de
combustible. Por ello, se utiliza un proceso iterativo para obtener una solución
convenientemente convergida en todas las variables, el cual es mostrado en la Figura
II.5. Por simplicidad, se especifican solamente las variables que están siendo
convergidas, las cuales se indican con el supraíndice (+).
Las derivadas temporales de las entalpías se calculan de acuerdo a la ecuación de
energía. La derivada de la presión del domo se calcula como función de las derivadas de
las ecuaciones de masa y energía integradas a lo largo del circuito. A partir de las
derivadas de la densidad se calcula el flujo másico a lo largo del circuito, por medio de
30
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
las ecuaciones de masa y momento. Finalmente, la derivada de la presión en cada nodo
se calcula como función de la derivada de la presión del domo y las diferencias de
presión debido a la altura hidrostática, que es función de las densidades de los
volúmenes superiores. Este procedimiento se repite hasta verificar convergencia, lo cual
además de asegurar una solución bien convergida, minimiza inestabilidades debidas a
factores numéricos.
n+
dTc
dt
j
dh
dt
n+
dP
dt
n+
dρ
dt
n+
W
j
D
j
n+
j
(
= f Tc(n +1)+
Temperatura de
combustible
)
= f (W j+ )
Ecuación de energía
+
 ∂ρ +
∂ (ρh ) 

,
= f ∑
 j ∂t j ∑
∂t j 
j

 dh + dP
= f
,
 dt j dt

 dρ
= f
 dt

n+
j



j 
+




+
 dP + N dρ
dP
= f
,
 dt D ∑
dt j
j dt

Ecuaciones
del domo
Ecuaciones de estado
Ecuaciones de
masa + momento
+
i




Corrección del cálculo de
presión por altura
hidrostática
no
¿Converge?
si
Avance temporal
Figura II.5: Esquema de la integración del esquema numérico
31
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
2.4
Difusión de frentes de entalpías por el esquema discreto
En un esquema numérico, los frentes de entalpía experimentan una difusión
numérica (Marshall G., 1985) que tienen que ver con los errores del método. Para
cuantificar este efecto, en esta sección se realiza un análisis del error de truncamiento de
la ecuación de energía.
Partiendo de la ecuación discretizada de la energía (II.48), aplicamos pequeñas
perturbaciones suponiendo presión constante. Para esto, reemplazamos:
h = h0+δh;
ρ = ρ0 + δρ; G = G0 + δG
(II.64)
donde el subíndice 0 indica el valor de la variable en estado estacionario, el
símbolo δ indica una pequeña perturbación alrededor de ese valor.
Relacionando las variables aplicando las siguientes aproximaciones:
∂hˆ
∂ρ
δhˆ = δh ; δρ = δh
∂h
∂h
(II.65)
Despreciando términos de segundo órden y después de un poco de álgebra, se
llega a:
n
n
δh nj+1 − δh nj
∂hˆ δh j − δh j −1 δG j −1 q' j
ρ eqj
+ G0
+
=0
∆t
∂h
∆z j
G0 A j
(II.66)
Donde
ρ eq = ρ 0 −
∂ρ ˆ
(h0 − h0 )
∂h
(II.67)
En el caso de trabajar en condiciones de bajo título, en cuyo caso h0 ≈ ĥ0, o en el
caso de introducir la hipótesis de modelo homogéneo, que consiste en postular:
h0 = ĥ0
;
∂hˆ
=1
∂h
(II.68)
puede aproximarse ρeq ≈ ρ0.
Por otra parte, perturbando la ecuación analítica de la energía (II.1), luego de un
poco de álgebra se llega a:
ρ eq
∂δh
∂hˆ ∂δh δG q'
+ G0
+
=0
∂t
∂h ∂z G0 A
(II.69)
Ahora, se aproximan los valores de las derivadas según el esquema up-wind en
espacio y explícito en el tiempo. Para esto, desarrollamos en series de Taylor:
32
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
δh
n +1
j
∂ 2δh nj ∆t 2
= δh +
∆t +
+ O ( ∆t 3 )
∂t
∂t 2 2
n
j
δh nj−1 = δh nj −
∂δh nj
∂δh nj−1
∂z
∆z j +
∂ 2δh nj−1 ∆z 2j
∂z 2
2
(II.70)
+ O ( ∆z 3 )
Despejando las derivadas:
δh nj +1 − δh nj ∂ 2δh nj ∆t
=
−
+ O ( ∆t 2 )
∂t
∆t
∂t 2 2
∂δh nj
∂δh nj−1
∂z
(II.71)
δh nj − δh nj−1 ∂ 2δh nj−1 ∆z
=
−
+ O ( ∆z 2 )
∆z
∂z 2 2
Reemplazando en la ecuación (II.69):
ρ eq
n
n
δh nj+1 − δh nj
∂hˆ δh j − δh j −1 δG q '
+ G0
+
+ Error = 0
∆t
∂h j
∆z
G0 A
(II.72)
De aquí se deduce el error del método:
 ∆z ∂hˆ ∂ 2δh

∆t ∂ 2δh
−
+ O(∆z 2 ) + O(∆t 2 )
Error =  G0
ρ
eq
2
2


2 ∂h j ∂z
2 ∂t


(II.73)
Por otra parte, de la ecuación (II.69):
G ∂hˆ ∂δh
∂δh
δG q'
=− 0
−
∂t
ρ eq ∂h j ∂z ρ eq G0 A
(II.74)
Si despreciamos el último término, lo cual significaría que no existe fuente de
calor ó que δG son muy pequeñas, y derivamos respecto al tiempo, se llega a:
2
∂ 2δh
G0 ∂hˆ ∂  G0 ∂hˆ ∂δh   G0 ∂hˆ  ∂ 2δh
=
−
−
=
ρ eq ∂h ∂z  ρ eq ∂h ∂z   ρ eq ∂h  ∂z 2
∂t 2
(II.75)
Reemplazando en el término de error, queda:
2
 ∂hˆ ∆z
∆t  G0 ∂hˆ   ∂ 2δh

Error =  G0
+ O ∆z 2 , ∆t 2
− ρ eq
2  ρ eq ∂h   ∂z 2
∂h 2


(
)
(II.76)
Como puede observarse, el término de menor orden es proporcional a la derivada
segunda respecto de z. Este término se conoce como “difusión artificial”, ya que
33
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
introduce, para un dado z, información proveniente de aguas abajo, contribuyendo a la
difusión de frentes de entalpía. De aquí se deduce que, para reducir este efecto, debe
darse:
∆z = u pj ∆t
;
u pj =
G j ∂hˆ
ρ eqj ∂h
(II.77)
j
donde up es la velocidad de propagación de una perturbación. En este caso, el
primer término de la ecuación (II.76) se anula y el error se reduce a O(∆z2, ∆t2). Esto
implica que el paso de tiempo debe igualar el tiempo que le toma a una perturbación
recorrer el volumen discretizado, moviéndose a una velocidad upj. Esto es, por otra
parte, el límite de estabilidad numérica de Courant. Es decir que al cumplir el criterio de
Courant, si la fuente de calor ó δG no son importantes, entonces el método será de orden
O(∆z2, ∆t2). Esto será estrictamente cierto los sectores donde no existe q’, lo cual es una
buena aproximación en toda la chimenea del reactor, y aproximadamente en todos los
sectores donde no existan dos fases, donde el término δG es relativamente pequeño; lo
cual representa gran parte del circuito.
Este criterio permite, por otra parte, obtener una nodalización balanceada desde
el punto de vista del error del método, lo cual se explica en la siguiente sección.
2.5
Nodalización adaptiva
A fin de lograr una propagación no-difusiva de pequeñas perturbaciones a lo
largo del sistema, se adopta un esquema de nodalización “adaptiva”, que se explica en
esta sección.
Como se describió en la Sección 2.4, si ∆t alcanzara el límite de Courant en un
volumen, entonces el error de propagación en el mismo se minimiza. Ahora bien, para
que una perturbación pueda propagarse sin errores a lo largo de todo el circuito, esta
condición debe cumplirse en todos los volúmenes. La idea básica en el esquema de
“nodalización adaptiva”, es que la longitud de cada volumen se fije de manera que una
perturbación permanezca el mismo tiempo ∆t en cada uno de ellos en el estado
estacionario, de acuerdo a la velocidad de propagación de una perturbación upj.
Esto se ilustra en la Figura II.6: allí se muestra un esquema cualitativo del núcleo
y chimenea. Estos componentes pueden estar bajo un régimen de dos fases, y son por lo
tanto una causa potencial de inestabilidad. También se muestra, en el eje de absisas, la
nodalización propuesta en z, y en el eje de ordenadas la evolución temporal de una
perturbación desde la entrada hasta la salida de cada volumen, moviéndose con una
velocidad upj; ésta es menor en la chimenea que en el núcleo, debido al cambio en el
área de pasaje, y aumenta al producirse la transición a dos fases (λ).
Ahora bien, la condición de igual tiempo de residencia no es estrictamente
posible cuando existen secciones con diferentes áreas de pasaje, debido a que en este
caso es necesario colocar un volumen cuya frontera se encuentre en el cambio de área,
para respetar la condición de geometría. En el caso de núcleo y chimenea, esto se hace
dejando libre la longitud del primer nodo a la entrada del núcleo, que será el único cuyo
tiempo de residencia será menor al resto. Es decir, que funcionaría como “regulador” de
manera de no violar la condición de geometría.
34
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
Figura II.6: Esquema ilustrativo de la nodalización adaptiva
La estrategia de nodalización adaptiva se realiza junto con la etapa de
inicialización del sistema, y permite el modelado del movimiento de perturbaciones
pequeñas reduciendo la difusión numérica, especialmente en toda la región de dos fases.
El esquema implementado se muestra en la Figura II.7. Se utiliza una primera
nodalización en la subrutina de inicialización de manera de converger todas las
variables en la condición estacionaria; en particular, interesa fijar el tiempo de
propagación de perturbaciones en la chimenea, el caudal de primario W, la entalpía a la
salida de la chimenea y la presión en el domo. Luego se define el paso de tiempo de la
siguiente manera:
∆t =
Tch
N ch
(II.78)
donde Tch y Nch son el tiempo de residencia y número de nodos en la chimenea,
respectivamente. Nch está dado como condición de entrada por el usuario. La subrutina
comienza en la salida de la chimenea, nodo N, y continúa aguas arriba. En primer lugar,
se fija para el nodo en cuestión el término ∂ĥ/∂h|j, y se propone un ∆zj inicial. Luego se
debe realizar un proceso iterativo entre la longitud del nodo y las propiedades del fluido
en el volumen; en el esquema, se especifican las variables que son convergidas
mediante el supraíndice (+). Se calcula ĥj-1 mediante la ecuación de energía estacionaria,
utilizando un perfil de potencia axial, expresado como una función continua. Luego se
corrige Pj-1 por la altura hidrostática, teniendo en cuenta ρj. Entonces es posible calcular
hj-1 recorriendo hacia atrás el esquema de drift-flux planteado en la sección 1.1 (Figura
II.1). Con las entalpías actualizadas, se calcula la densidad del nodo ρj de acuerdo a la
expresión (II.60), pudiendo re-calcular la longitud del nodo de acuerdo al límite de
Courant, ecuación (II.77). El proceso se repite hasta converger, pasando entonces al
nodo anterior, hasta llegar a la entrada del núcleo.
En el resto del sistema (rama fría) se fija una longitud de nodo uniforme en cada
componente. Esto se hace de manera que la longitud de nodo prefijada no supere el
límite de Courant en ninguna posición, lo que se reduce al siguiente esquema:
35
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
Inicialización
ĥN ; hN ; PD ; W; Tch
∆t= Tch/Nch , j = N
∂ĥ /∂h|j = f (Pj, Gj)
∆zj+
∆z propuesto
zj-1+ = zj - ∆zj+
1
hˆ +j −1 = −
W
∫
zj
z +j −1
q ' ( z )dz + hˆ j
Corrección
por altura
hidrostática
N


Pj+−1 = f  ρ +j ∆z +j + ∑ ρ i ∆zi 
i = j +1


hj-1+ = f(ĥj-1+, Pj-1+)
Esquema de drift-flux
ρj+ = f(hj, hj-1+)
+
j
∆z =
Cálculo de densidad
∆t G j ∂hˆ / ∂h
j
NIT ρ +j
¿Converge?
Cálculo de ∆zj según
límite de Courant
no
j = j-1
si
Figura II.7: Diagrama del método de nodalización adaptiva
∆z x =
∆t G
ρ x max
(II.79)
donde el subíndice “x” indica el componente en cuestión (ie. GV o downcomer).
36
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
El método hasta aquí descrito tiene como desventaja que no es posible la
nodalización de algún componente en particular, sin penalizar el resto del circuito. La
solución que se implementó a este efecto es la de introducir pasos intermedios en la
resolución de la ecuación de energía en el momento de actualizar las entalpías de ese
componente, manteniendo constante el resto de las variables del sistema durante el paso
de tiempo. Esto es particularmente útil en el núcleo, como se verá en el capítulo VI,
cuando se necesite una gran cantidad de nodos para reproducir un perfil de potencia no
uniforme. El usuario podrá introducir el número de pasos intermedios en un dado
componente (NIT), de acuerdo al incremento de nodos que sea necesario. Esto se
ejemplifica en la Figura II.8, donde se ha introducido un paso intermedio en el núcleo,
en el cual se actualizan las entalpías en un tiempo ∆t/2. Luego se utiliza el mismo
esquema explicado anteriormente
q"
Chimenea
Núcleo
t
∆t
∆t/2
znuc1 znuc2
z
znuc
...
Figura II.8: Esquema del refinamiento de la nodalización de un componente en
particular mediante la utilización de pasos intermedios.
3. Modelo para el análisis de estabilidad lineal
Como se vio en la ecuación (II.69), tomando como ejemplo la ecuación de
energía, cuando se analizan pequeñas desviaciones alrededor de un estacionario es
posible despreciar los términos de no lineales, obteniendo ecuaciones que conservan
sólo términos lineales. En esta sección, se analiza un método de linealización numérica
del esquema completo, lo que permite evaluar de una manera muy simple el
comportamiento del sistema en las cercanías de un punto de trabajo (Ambrosini W.,
2001).
Las ecuaciones discretas que gobiernan un dado problema y sus condiciones de
contorno pueden ser escritas en forma compacta como:
J ( y n+1 , y n , p, ∆t ) = 0
(II.80)
donde yn e yn+1 representan los vectores de variables independientes o variables
de estado en dos pasos sucesivos de tiempo, p es un vector de parámetros físicos y
numéricos y J es el vector función especificado por un esquema numérico en particular.
Efectuando pequeñas perturbaciones en las variables de estado yn e yn+1, y asumiendo un
37
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
comportamiento lineal alrededor de un estado estacionario, es posible relacionarlas en la
siguiente expresión:
δy n +1 = Φ( y s , p, ∆t )δy n
(II.81)
donde δ denota una desviación de la variable de estado alrededor de un valor
estacionario y la matriz Φ contiene la dinámica lineal del sistema. Por otra parte, las
ecuaciones discretizadas predicen las derivadas temporales parciales de la siguiente
manera:
dδy δy n+1 − δy n Φ( ys , p, ∆t ) − I n
≈
=
δy = F ( ys , p, ∆t )δy n
∆t
∆t
dt
(II.82)
F contiene la dinámica del sistema de tiempo continuo que predice el esquema
discreto en tiempo, y sus autovalores son relevantes para el análisis de estabilidad.
Mediante las ecuaciones (II.81) y (II.82), es posible deducir la relación entre los
autovalores βφ y βF, que corresponden a las matrices Φ y F, respectivamente:
Re(β Fi ) =
ln ( β Φi )
∆t
 Re(β Φi ) 
Im(β Fi ) = arcCos 

 β Φi 
;
(II.83)
Luego es posible evaluar el factor de amplificación y la frecuencia del modo de
oscilación que prevalece por más tiempo:
a = Re(βFk)
ω = |Im(βFk)|
;
(II.84)
donde k es el índice del autovalor con parte real mayor. El factor de
amplificación a se usa en este trabajo para definir estabilidad: valores positivos
significan condiciones inestables, y negativos estables.
Vale la pena aclarar que a y ω se calculan luego de la discretización tanto de las
variables temporal como la espacial. Cuando el límite de Courant se cumple en todos
los volúmenes, es posible modelar una propagación en forma no difusiva, mejorando la
precisión de ambos parámetros.
En el análisis lineal, el código se adapta como se indica en la Figura II.9. El
sistema se inicializa evaluando las condiciones en el estado estacionario, mediante un
algoritmo que itera el cálculo del caudal con las entalpías, y se introduce el esquema de
nodalización adaptiva para minimizar la difusión numérica en esas condiciones. Luego
se perturba numéricamente cada variable de estado, y se obtienen las desviaciones que
esta perturbación produce en las mismas luego de un paso de tiempo. Cada coeficiente
de la matriz Φ se calcula entonces mediante la siguiente expresión:
δy n+1
Φ(i, j ) =
δy n
i
(II.85)
j
38
Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural
Input
W ; ĥ(z) ; P(z)
Estado estacionario
Esquema de nodalización adaptiva
Estado estacionario
ys, p
Perturbación δyjn
j = j+1
δyin+1
Cálculo Φ(i,j)
Figura II.9 Estructura del programa para la linealización
De esta forma, es posible “capturar” el comportamiento del sistema a partir de la
relación entre perturbaciones en dos pasos de tiempo sucesivos, siempre que se cumplan
las hipótesis lineales. Mediante el cálculo de autovalores, es posible una visualización
rápida de la estabilidad del sistema linealizado de una manera muy simple, evitando un
análisis exhaustivo de todos los transitorios posibles en el dominio de tiempo.
39
CAPITULO III
Estabilidad termo-hidráulica
Estabilidad termo-hidráulica
1. Principios básicos
Los problemas concernientes a inestabilidades son a menudo muy complejos
dado que implican una gran superposición de fenómenos físicos de diferente naturaleza.
Una forma de abordar este tema, es la utilización de modelos simplificados que
permitan analizar la naturaleza básica de las oscilaciones. Luego, incrementar la
complejidad en forma gradual permite analizar la influencia de cada uno de los
fenómenos en forma separada. Como se verá en los capítulos subsiguientes, esta es la
metodología empleada en este trabajo.
Como ya se mencionó (ver sección I.5), la combinación de baja fracción de vacío
y circulación natural vuelve al sistema propicio a tener oscilaciones. Este tipo de
oscilaciones normalmente se catalogan como de Tipo-I. Las mismas son de especial
interés porque podrían estar presentes en el prototipo de reactor CAREM, dado que
trabaja en las mencionadas condiciones. En este caso, se advierte que el efecto más
importante es el asociado con las perturbaciones en la fuerza boyante a lo largo de la
chimenea, al contrario de las oscilaciones de Tipo-II, las más comunes en reactores tipo
BWR, donde las caídas de presión en simple y doble fase juegan un rol primordial.
La naturaleza básica de las oscilaciones de Tipo-I responde por ejemplo al
siguiente mecanismo: cuando el caudal en el núcleo se incrementa, la entalpía a la salida
del núcleo decrece. Esto provoca un frente de entalpía que se propaga a lo largo de la
chimenea, disminuyendo la fuerza boyante. El caudal decrece para compensar el cambio
en las pérdidas de carga, por lo tanto aumenta la entalpía a la salida de núcleo. Este
mecanismo genera una onda de entalpía que se mueve a lo largo de la chimenea,
pudiendo resultar en una oscilación debido a la interacción entre la fuerza boyante y el
caudal.
La desviación de la fuerza boyante del sistema respecto del valor estacionario es
aproximadamente proporcional a la integral instantánea de la perturbación de la entalpía
a lo largo de la chimenea. Consecuentemente, la frecuencia natural de la oscilación
estará directamente relacionada con el tiempo de transporte en la chimenea. Sin
embargo, si el período de la oscilación de la entalpía en la salida del núcleo coincide
exactamente con el tiempo de transporte de la chimenea, se establece allí una onda
completa (Figura III.1). En ese caso, las variaciones positivas y negativas de la entalpía
se compensan, y la fuerza boyante del sistema permanece sin perturbar. La perturbación
se produce cuando ocurren retardos en el sistema que hacen que el período de la
oscilación sea ligeramente distinto al tiempo de transporte de la chimenea. Luego, la
magnitud de la desviación en la fuerza boyante depende principalmente de la magnitud
de la perturbación (amplitud de onda) y del retraso de tiempo (atraso de fase) causado
por el resto del sistema, especialmente por la dinámica del núcleo. La oscilación es
auto-sostenible cuando una perturbación en caudal causa una desviación en la fuerza
boyante que es capaz de contrarrestar la perturbación inicial, y cuando el atraso de fase
asociado con los retrasos de tiempo hace posible una realimentación positiva.
Los fenómenos aquí explicados se analizan a continuación utilizando un modelo
muy sencillo en el dominio de las frecuencias, donde es posible estudiar algunas
influencias de los parámetros básicos en la oscilación.
41
Estabilidad termo-hidráulica
Perturbación de entalpía
Desviación de la
Fuerza Boyante
Posición en chimenea
Figura III.1: Esquema de la desviación en la fuerza boyante causada por una oscilación.
2. Modelo simplificado
Una práctica común en el análisis de estabilidad en el domino de las frecuencias,
el uso de soluciones analíticas que luego se implementan en una función de
transferencia. Para ello se linealizan las ecuaciones para luego resolverlas por medio de
la transformada de Laplace. En esta sección, se calcula una función de transferencia
para un caso muy simple, con el único propósito de analizar la naturaleza básica
involucrada en la oscilación.
El análisis se lleva a cabo por medio de la función de transferencia mostrada en
la Figura III.2. Allí se representa la dinámica de una perturbación en el sistema. Por
ejemplo, si se introduce un escalón positivo en la caída de presión del sistema, el flujo
másico en el núcleo se ve incrementado, de acuerdo al balance de momento. Esto causa
una disminución en la entalpía de salida de núcleo. Luego, la fuerza boyante aumenta
debido a la disminución en la densidad a lo largo de la chimenea. La oscilación tiene
lugar en este caso, porque la señal de salida coincide con la de entrada. De acuerdo a la
teoría de control, el sistema es inestable si, para una señal periódica dada a la entrada,
corresponde una señal periódica a la salida con una mayor amplitud y un atraso de fase
mayor a π.
δ∆P
δG N
δ∆P
Momento
δGN
δhNe
δG N
Núcleo
δhNe
δ∆Pb
δhNe
δ∆Pb
Chimenea
Figura III.2: Función de transferencia analizada en el modelo simplificado
42
Estabilidad termo-hidráulica
La dinámica arriba descripta puede interpretarse como la base de las oscilaciones
de Tipo I. Para la elaboración de un modelo sencillo que capture esta dinámica, se
aplican las siguientes hipótesis simplificadoras:
- Modelo homogéneo para las dos fases
- Presión del sistema constante y uniforme
- No existe ebullición subenfriada
- Subenfriamiento constante a la entrada del calefactor
- Flujo de calor uniforme en la zona calefaccionada
- Temperatura constante a la entrada del calefactor
- Se desprecia la contribución de la fuerza boyante por fracción de vacío en el
calefactor. Esto es válido porque se presume que la longitud de calefacción es mucho
menor a la de la chimenea, y en un régimen de baja fracción de vacío λ se localizará
muy cerca de la salida del calefactor. Considerando esta hipótesis, puede despreciarse
los desplazamientos de λ.
- Los cambios de densidad se tienen en cuenta solamente para el cálculo de la
fuerza boyante (aproximación de Bousinesq). Esto significa que se desprecian los
cambios en las pérdidas de carga debido a la doble fase.
Las dos últimas hipótesis son sólo válidas para el análisis de oscilaciones de
Tipo-I, donde el efecto de las caídas de presión en doble fase son poco importantes en
relación a los cambios de la fuerza boyante en la chimenea.
A continuación, se calcula cada uno de los componentes de la función de
transferencia.
A partir de la ecuación perturbada de la energía (ecuación II.69), según el
modelo homogéneo, obtenemos la siguiente expresión:
∂δh
∂δh Dδh
δG q'
+ u0
=
=−
∂t
∂z
Dt
G0 ρ 0 A
(III.1)
Donde Dδh/Dt es la “derivada material” de entalpía, y se entiende como la
derivada temporal de una partícula fluida, a medida que se desplaza por el sistema (Lai
W.M. et al, 1993). Nos interesa en particular evaluar las perturbaciones de entalpía a la
salida del núcleo, ante perturbaciones en el flujo másico:
δhNs = − ∫
t
L
t− N
u0 N
q'
(u N t ) δGN dt
W0
ρ
(III.2)
Utilizando la aproximación de perfil de potencia uniforme y ρ constante
(aproximación de Bousinesq), se obtiene:
δhNs = −
L
t− N

QN  t
 ∫ δGN dt − ∫ u0 N δGN dt 


0
ρLNW0  0

(III.3)
Aplicando la transformada de Laplace, después de un poco de álgebra, se obtiene
la segunda función de transferencia en la Figura III.2:
43
Estabilidad termo-hidráulica
δhNs
Q N 1 − eT s
(s ) = −
δGN
G0 NW0 TN s
N
(III.4)
Para calcular la tercera función de transferencia, obtenemos la expresión para
∆Pb:
∆Pb = g ∫ (ρ ( z ) − ρ f )dz = g ∫
∂ρ
(h(z ) − h f )dz
∂h
(III.5)
De acuerdo a las hipótesis enunciadas, la chimenea es la única región que
contribuye en la fuerza boyante. Aplicando pequeñas perturbaciones, se la puede
expresar como:
∆Pb = ∆Pb 0 + δ∆Pb
(III.6)
En condiciones estacionarias y aproximando∂ρ/∂h ≈ constante, resulta:
∆Pb 0 = g (ρ ch − ρ f )Lch = g
∂ρ
(hch − h f )Lch
∂h
(III.7)
La entalpía de la chimenea se relaciona con la potencia de condensación en el
domo, de acuerdo a la siguiente relación:
hch − h f =
QV
W0
(III.8)
Es decir que, en este modelo, el exceso de potencia generada en el núcleo
respecto a la extraída por los GV se transporta a través de la chimenea, llegando al
domo en forma de vapor, donde condensa para compensar las pérdidas.
Reemplazando (III.8) en (III.7) se obtiene:
∆Pb 0 = gLch
∂ρ QV
∂h W0
(III.9)
Por otra parte, obtenemos la expresión para la parte perturbada de la fuerza
boyante:
δ∆Pb = g
z 
∂ρ Lch
∂ρ Lch s 
δh( z )dz = g
δhN  t − dz
∫
∫
0
0
∂h
∂h
 uch 
(III.10)
donde tomamos el origen de la coordenada z a la entrada de la chimenea para el
cálculo de la integral. Realizando el cambio de variables t’ = t – z/uch, resulta:
44
Estabilidad termo-hidráulica
δ∆Pb = uch g
t −Tch
∂ρ  t s
s
 ∫0 δhN dt ' − ∫0 δhN dt ' 

∂h 
(III.11)
Aplicando la transformada de Laplace a esta ecuación, y reemplazando la
ecuación (III.9), encontramos la función de transferencia:
δ∆Pb
∆Pb 0W0 1 − eT s
(
)
=
s
δh s
QV
Tch s
ch
(III.12)
N
Para calcular la primera función de transferencia en la Figura III.2, aproximamos
la ecuación de momento como:
dGˆ
= ∆P + ∆Pb 0 − K eq G N2
dt
(III.13)
donde Keq es el factor de fricción equivalente de todo el circuito, ∆P es una
perturbación externa a la caída de presión. Aplicando pequeñas perturbaciones, teniendo
en cuenta que:
dz
Gˆ = ∫ Gdz ≈ GN AN ∫
A( z )
K eq =
;
∆Pb 0
;
GN2 0
(III.14)
se llega a:
∆P
dδGN
dz
AN ∫
= δ∆P − 2 b 0 δGN
dt
A( z )
G0 N
(III.15)
Transformando en Laplace, después de un poco de álgebra se obtiene:
1
δGN
(s ) = G0 N
δ∆P
2∆Pb 0 (Tm s + 1)
(III.16)
donde Tm es un tiempo característico de la ecuación de momento, asociado con la
inercia del caudal ante cambios en la fuerza boyante:
Tm =
2W
∆Pb
dz
∫ A(z )
(III.17)
Por medio de las ecuaciones (III.4), (III.12) y (III.16), es posible obtener la
función de transferencia del sistema, que tiene la siguiente forma:
δ∆Pb
(s ) = δ∆Pb
δ∆P
δ∆P
f m (s ) f N (s ) f ch (s )
ss
Ésta se compone por los siguientes términos:
45
(III.18)
Estabilidad termo-hidráulica
- La ganancia del sistema:
δ∆Pb
δ∆P
=
ss
QN
2QV
(III.19)
es la relación salida/entrada del sistema en condición estacionaria en el lazo
abierto que muestra la Figura III.2. Ocurre si la señal de entrada es cambiada y
mantenida en el tiempo como un valor constante.
- Los términos fm, fN y fc son funciones asociadas a los tiempos característicos de
la ecuación de momento, transporte en núcleo y chimenea respectivamente:
f m (s ) =
1
sTm + 1
;
f N (s ) =
1 − e −TN s
sTN
;
f ch (s ) =
1 − e −Tch s
sTch
(III.20)
La Figura III.3 muestra un diagrama de Bode típico para las funciones
mencionadas, que consiste en graficar la magnitud y fase cuando s = ωi; para el
ejemplo, se asumen valores típicos para los tiempos característicos: Tm = 1 s, TNuc = 2 s
and Tch = 14 s.
Según la teoría de control, el sistema se hace inestable si, para alguna frecuencia,
se cumplen las siguientes condiciones:
Ganancia
1
0.1
0.01
fm*fN*fch
fm
fN
fch
Fase (grados)
0
-90
-180
-270
4π/Tch
2π/Tch
Frecuencia (rad/s)
Figura III.3: Diagrama de Bode ilustrativo de las diversas componentes de la función de
transferencia.
46
Estabilidad termo-hidráulica
- La fase es menor a -180o
- La ganancia sea mayor que 1.
El análisis de la función de transferencia en este diagrama nos permite deducir
algunas tendencias básicas:
Para que se cumpla la segunda condición, la ganancia total del sistema debe
maximizarse. Bajo las hipótesis asumidas, ésta es proporcional a QN/QV; por lo tanto, el
sistema se vuelve más inestable al crecer QN o decrecer QV.
La ganancia total tiende a cero cuando la frecuencia equivale a 2π n/Tch. Esto es
porque el tiempo de transporte en la chimenea es algún múltiplo de el período de la
oscilación en la señal de entrada. En ese caso, se establece en la chimenea un número
entero de ondas completas, resultando en que la fuerza boyante permanece sin perturbar,
de acuerdo a lo explicado en la sección III.1. La amplitud también disminuye al
aumentar la frecuencia, en consecuencia las frecuencias en oscilaciones auto-sostenidas
son típicamente bajas.
Dado que no es posible para fch satisfacer la primera condición, esto sólo puede
lograrse con un atraso de fase en fN o fm. Cuando éstas se introducen, la condición se
alcanza para frecuencias ligeramente menores a 2π n/Tch, que resultan las frecuencias
típicas de las oscilaciones. Dado que Tm < TN para la mayor parte de los casos, esta
condición depende principalmente de la dinámica del núcleo.
Cuando TN se reduce respecto de Tch, el sistema se estabiliza, debido a que se
reduce el atraso de fase, necesitándose una mayor ganancia para alcanzar la condición
inestable. Cuando TN es muy bajo y la ganancia es muy alta, es posible obtener
inestabilidades para frecuencias más altas, dado que el atraso de fase aumenta en este
caso.
3. Comparación con un modelo analítico.
Con el objetivo de verificar que el esquema numérico aquí desarrollado es
adecuado para el análisis de estabilidad lineal, en esta sección se compara la predicción
del límite de estabilidad con un modelo desarrollado por Delmastro D. et al (1991) en el
campo de las frecuencias, el cual llamaremos “modelo analítico” de aquí en adelante.
Una ventaja de este método es que es estrictamente no difusivo, y permite modelar en
forma exacta los movimientos de pequeñas perturbaciones. La finalidad de la
comparación con el esquema numérico es verificar que la difusión numérica es
suficientemente baja como para evitar enmascarar el fenómeno de inestabilidad.
El modelo analítico fue desarrollado para el análisis de un sistema como el que
muestra la Figura III.4, el cual es una simplificación de un generador de vapor de
recirculación de tipo tubos en U, sin sobrecalentamiento. De la misma manera que en la
sección III.1, en este modelo las ecuaciones se resuelven analíticamente, transformando
en Laplace la variable temporal. Esto se hace tomando las mismas hipótesis
simplificadoras de aquel caso, a excepción de las dos últimas. Es decir, se tienen en
cuenta los desplazamientos de λ, los cambios de densidad y velocidad en doble fase
para los cálculos de las pérdidas de carga, la inercia y la fuerza boyante. Las densidades
en simple fase se mantienen constantes e iguales a saturación. Esto permite ampliar el
análisis de oscilaciones al de tipo-II, donde el efecto de las fricciones en dos fases es
importante, y donde gran parte de la fuerza boyante se da en la zona calefaccionada. Se
desprecian las pérdidas de carga distribuídas frente a las localizadas, ubicándose estas
últimas a la entrada y salida del calefactor, y a la salida de la chimenea.
47
Estabilidad termo-hidráulica
Figura III.4: Esquema utilizado para el análisis de estabilidad
Luego, se obtiene una expresión de la función de transferencia cuya variable de
entrada es el caudal del sistema y la de salida la caída de presión a lo largo del circuito.
De esta forma, es posible determinar la estabilidad del sistema, de acuerdo al criterio de
Nyquist (Franklin G.F. et al, 1994): el sistema será estable si el contorno de la función
transferencia compleja no encierra al origen. Este modelo ha sido chequeado con datos
experimentales, con resultados satisfactorios.
Dado que el modelo analítico está adimensionalizado, el sistema queda
determinado si se fijan los grupos adimensionales que se detallan en la Tabla III.1. En la
misma, vfg es la diferencia de volúmenes de saturación, vf y vg son los volúmenes
específicos de saturación de líquido y vapor respectivamente, W es el caudal másico
inicial, Q la potencia transferida en el calefactor, LN es la longitud del calefactor, uref es
la velocidad de referencia que se define como:
uref =
Q
(h f − hi )ρ f A
(III.21)
El número Fr queda determinado al resolver el estado estacionario del sistema.
Cuando NZu es mayor a Nsub, existe vapor a la salida del calefactor.
Para el análisis, se introdujeron valores ilustrativos que permitan obtener límites
de estabilidad típicos en un reactor tipo BWR en convección natural o en un generador
de vapor tipo tubos en U, para lo cual se introdujo un calefactor más largo, una
chimenea más corta y mayores fricciones en la zona de dos fases respecto de la
configuración de CAREM prototipo, obteniéndose los valores que se especifican en la
tercera columna. Los valores no especificados son los que se varían durante el barrido.
A fines comparativos, se asumen los mismos valores e hipótesis simplificadoras
para el modelo numérico. En la Figura III.5 se comparan los límites de estabilidad
obtenidos con ambos modelos; en el modelo numérico se fija Nch en 10 en todo el rango,
acomodando
48
Estabilidad termo-hidráulica
Descripción
Valor
Utilizado
Número de subenfriamiento
-
Número de Zuber
-
Número de Froude
-
Cambio de volumen específico
8.04
LE = Le/LN
Longitud de entrada (adim.)
1.5
LCH = Lch/ LN
Longitud de chimenea (adim.)
0.5
AE = Ae/AN
Área de entrada
2.5
ACH = Ach/AN
Área de chimenea
2.5
Ke* = Ke
Fricción a la entrada del calefactor
6.53
Ks/Ach2
Fricción a la salida del calefactor
1.13
Kch*=Kch/Ach2
Fricción a la salida de la chimenea
2.4
Parámetro
h f − hi ρ f − ρ g
N sub =
N Zu =
Fr =
V fg =
h fg
ρg
Q ρ f − ρg
Wh fg
ρg
2
u ref
gLN
v fg
vf
Tabla III.1: Grupos adimensionales utilizados en el modelo analítico
acomodando los nodos en la zona calefaccionada de acuerdo a la nodalización adaptiva,
sin pasos intermedios. Como se verá en el capítulo VI, se encontró que esta
nodalización resulta en una solución convergida. Se observa un buen acuerdo entre
modelos, lo cual muestra que el modelo numérico es apto para analizar casos cerca del
límite de estabilidad. También se pueden visualizar las dos zonas de inestabilidad,
llamadas de tipo-I y tipo-II, tal como se ha observado en soluciones analíticas y
observaciones experimentales previas (Fukuda K. y Kobori, 1979; Kyung and Lee,
1994; Van Brag y Van Der Hagen, 1998a,b). Como se explicó en la sección I.5, las
primeras son importantes en condiciones de baja fracción de vacío, y son causadas por
variaciones en la fuerza boyante a lo largo de la chimenea. Estas son importantes en el
caso de reactores auto-presurizados, y se verán con más detalle en las secciones
subsiguientes. Las oscilaciones de tipo-II son dominantes en condiciones de alta
fracción de vacío, y son causadas por la interacción entre el caudal y las caídas de
presión en las zonas de doble fase. Sin embargo, la transición entre ambas
inestabilidades es gradual, y no existen límites definidos que las separen.
49
Estabilidad termo-hidráulica
1φ
2φ
3
Inestable
2
Nsub
Tipo-I
1
Tipo-II
Estable
Modelo Numérico
Modelo analítico
0
0
1
2
3
4
5
6
7
NZU
Figura III.5: Comparación de los modelos analítico y numérico
4. Análisis de estabilidad según el modelo numérico
Resulta de interés estudiar algunos aspectos del esquema numérico en el caso
analizado. La Figura III.6 muestra un diagrama de niveles del factor de amplificación
definido en II.3. Puede observarse que existe una mayor pendiente cerca de las
inestabilidades de tipo-I que las de tipo-II. Esto hace que el límite de estabilidad de tipoII se mueva más ante variaciones en los modelos. La Figura III.7 muestra las
variaciones de las frecuencias de oscilación ω, definida en la sección II.3. En este caso
las variaciones de las frecuencias son continuas, es decir que sólo hay un autovalor
dominante en todo el rango. Las oscilaciones de tipo-I presentan menores frecuencias.
La Figura III.8 muestra la posición de la frontera de ebullición λ
adimensionalizada con la longitud de calefacción LN. En este caso, dado que no se
modela la variación de presión con altura, λ se encuentra siempre dentro del calefactor;
en las oscilaciones de tipo-I, ésta se encuentra cerca de la salida del mismo, lo cual
significa una condición de bajo título en la chimenea.
La Figura III.9 muestra los autovalores del sistema para los puntos que se
indican en la Figura III.6: A en la zona estable (a = - 0.05 s-1), B en el límite de
estabilidad (a = 0 s-1), C en la zona inestable (a = 0.05 s-1). Allí pueden verse todas las
frecuencias características del sistema (eje imaginario), con sus respectivas constantes
de decaimiento (eje real). Los autovalores dominantes serán los que presentan mayor
parte real y producirán las oscilaciones con mayor permanencia en el tiempo. Puede
observarse que existe una apreciable diferencia entre los autovalores dominantes y el
resto.
50
Estabilidad termo-hidráulica
4.00
2φ
1φ
3.50
C
3.00
B
Nsub
2.50
A
Tipo-I
2.00
Tipo-II
1.50
1.00
0.50
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
NZu
Figura III.6: Diagrama de niveles del factor de amplificación obtenido con el modelo
numérico
4.00
3.50
3.00
Nsub
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
NZu
Figura III.7: Diagrama de niveles de la frecuencia de oscilación obtenido con el modelo
numérico
51
Estabilidad termo-hidráulica
4.00
3.50
3.00
Nsub
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
NZu
Figura III.8: Frontera de ebullición (λ), adimensionalizada con la longitud de calefactor,
obtenida con el modelo numérico
1
10
8
A
B
C
6
4
0
-0.05
0.00
0.05
Im(βFi)
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-1.6
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
Re(βFi)
Figura III.9: Autovalores del sistema discreto linealizado, en los tres puntos de análisis
52
Estabilidad termo-hidráulica
La Figura III.10 muestra las evoluciones temporales de la perturbación en Ĝ
adimensionalizada, calculadas para los tres puntos según el sistema no lineal (original)
comparado con el sistema linealizado. El sistema se inicializa en estado estacionario,
introduciendo a los 10 s una pequeña perturbación en Ĝ. Puede observarse, en primer
lugar, una total concordancia del sistema linealizado con el original para todos los
casos, ya que las evoluciones están prácticamente superpuestas. Se observan
oscilaciones decrecientes para el punto A, oscilaciones auto-sostenidas para el punto B
y oscilaciones crecientes para el punto C, coincidiendo las constantes de decaimiento
(crecimiento) con el factor de amplificación calculado, en un todo de acuerdo con lo
analizado anteriormente. Puede observarse también una concordancia la frecuencia de
las oscilaciones.
La Figura III.11 muestra la propagación de la perturbación de entalpía a lo largo
de la chimenea para el punto B, pudiendo observarse que la amplitud y período de la
onda a la entrada de la chimenea permanecen inalteradas al transportarse hasta la salida.
Esto muestra la baja difusión alcanzada en el esquema gracias a la nodalización
adaptiva.
10
1.5
Caso A
No lineal
Lineal
-0.05t
c*e
5
6
δG/G0*10
5
δG/G0*10
Caso B
No lineal
Lineal
8
0.0
4
2
0
-2
-1.5
0
50
100
150
0
200
50
100
150
200
Tiempo [s]
Tiempo [s]
b)
a)
0.2
δG/G0
Caso C
No lineal
Lineal
0.05t
c*e
0.0
-0.2
0
50
100
150
200
Tiempo [s]
c)
Figura III.10: Evoluciones temporales del flujo másico promedio adimensionalizado,
según el sistema no lineal (original) y el sistema linealizado, para los puntos a) estable,
b) indiferente y c) inestable (puntos A, B y C).
53
Estabilidad termo-hidráulica
4
δh/h0*10
6
Caso B
Salida calefactor
Salida chimenea
0
-4
0
50
100
Tiempo[s]
Figura III.11: Evoluciones temporales de la perturbación de entalpía a la salida del
calefactor y su propagación a la salida de chimenea.
54
CAPITULO IV
Análisis de Estabilidad Lineal
Análisis de estabilidad lineal
Un aspecto que interesa analizar, es la influencia de diferentes factores o
hipótesis de modelado en la predicción de la estabilidad lineal del sistema. En este
capítulo, se analiza la estabilidad del prototipo del reactor CAREM, utilizando el
método de linealización que se presenta en la sección II.3.
Debido a la complejidad del mismo, se realiza el análisis comenzando con un
modelo simple, en el que se aplican hipótesis que frecuentemente se asumen en los
llamados “modelos de bajo orden”, a fin de simplificar el sistema para entender la
naturaleza básica de las oscilaciones, o bien para hacer uso de soluciones analíticas (tal
como se mostró en el capítulo III). Luego se incrementa la complejidad en forma
gradual, agrupando en “casos” que involucran modelos con diferentes grados de
simplificación.
En cada caso se asumen las mismas hipótesis que el caso anterior, a excepción de
la que se analiza en particular. De esta forma se obtienen mapas de estabilidad para cada
caso, y se analiza la influencia de diversos factores. Se utiliza la misma geometría del
reactor a lo largo de todo el análisis.
La confección de los mapas de estabilidad se realiza utilizando la potencia
generada en el núcleo como variable de abcisas, y la potencia extraída por condensación
en la zona de vapor del domo (QV) como variable de ordenadas (en lugar del
subenfriamiento a la entrada de núcleo como comúnmente se toma en la bibliografía).
Esto permite una mejor visualización de la zona de interés: un amplio rango en QN con
bajos valores de QV. Los niveles en las curvas paramétricas representan el factor de
amplificación a, presentado en la sección II.3.
1. Caso Base
En este caso se aplican las mismas hipótesis que en el modelo analítico
presentado en la sección III.3, excepto que los términos de fricción ahora se distribuyen
a lo largo del sistema, reproduciendo aproximadamente la geometría del reactor. La
condición de temperatura de entrada de núcleo constante implica que las perturbaciones
en los GV no son tenidas en cuenta. Este modelo se corresponde con algunos de los más
simples utilizados para predecir inestabilidades, y se toma como caso base en el análisis
paramétrico.
Bajo estas hipótesis, el mapa de estabilidad calculado con el modelo numérico se
muestra en la Figura IV.1. Nch se fija en 70 para todo el rango, adaptando el número de
nodos en el núcleo de acuerdo a la nodalización adaptiva, sin introducir pasos
intermedios.
Al aumentar QN, se incrementa la sensibilidad de la entalpía a la salida de núcleo
ante cambios en G; luego, las perturbaciones en la fuerza boyante se magnifican y el
sistema se vuelve inestable. Por otro lado, dado que en este caso no se consideran los
cambios de la densidad en simple fase, la fuerza boyante depende sólo de la fracción de
vacío producida en la zona calefaccionada, la cual es influenciada mayormente por QV.
Por lo tanto, cuando se incrementa QV, la fuerza boyante se magnifica y su sensibilidad
relativa a cambios en G disminuye, lo cual estabiliza el sistema.
Estas tendencias están de acuerdo con lo explicado en la sección III.2, utilizando
el modelo simplificado de bajo orden.
56
Análisis de estabilidad lineal
20.00
18.00
Potencia de condensación [MW]
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de Nucleo [MW]
Figura IV.1Mapa de estabilidad para el caso base, el modelo más simple tomado para
predecir oscilaciones
2. Potencia no uniforme
Se implementa un perfil de potencia generada más realista respecto del caso
base. Se espera que el perfil de potencia disminuya cerca de los bordes debido a la fuga
de neutrones y particularmente en la parte superior del núcleo, por el efecto de la
reactividad negativa que introduce la fracción de vacío a la salida del mismo y la
presencia de las barras reguladoras. El factor de peso utilizado para la potencia lineal se
muestra en la Figura IV.2. Ésta es una distribución de tipo cosenoidal, con el máximo
desplazado
0.5
0.4
Factor de peso
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
z/LN
Figura IV.2: Factor de peso utilizado para el perfil de potencia axial.
57
Análisis de estabilidad lineal
20.00
18.00
Potencia de condensación [MW]
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de Nucleo [MW]
Figura IV.3: Mapa de estabilidad mostrando la influencia de la dinámica de núcleo
desplazado hacia la entrada de núcleo, a fin de representar los efectos arriba
mencionados.
El mapa de estabilidad resultante se muestra en la Figura IV.3. Debido a la
disminución de la potencia generada a la salida del núcleo respecto del caso anterior, λ
se desplaza aguas arriba, produciendo una ebullición más “temprana” dentro del núcleo.
Consecuentemente, el retraso debido al tiempo de transporte en el núcleo disminuye,
reduciendo el atraso de fase. Tal como se vió en la sección III.2, este efecto debilita la
interacción con la fuerza boyante, y el sistema se hace más estable.
3. Drift-flux
En este caso, se habilita en el modelo el cálculo de la velocidad relativa entre
fases, por medio del modelo de drift-flux. El mapa de estabilidad que se obtiene se
muestra en la Figura IV.4.
En el modelo de drift-flux las burbujas se mueven a mayor velocidad, respecto
del modelo homogéneo. Esto produce dos efectos:
- Por un lado, disminuye la fracción de vacío para un mismo QV, reduciendo la
fuerza boyante y aumentando consecuentemente su sensibilidad ante cambios en G,
produciendo un efecto desestabilizante. Este efecto es relativamente más significativo
cuando se incrementa QV, dado que la fracción de vacío se incrementa y la velocidad
relativa entre fases es mayor.
- Por otra parte, se incrementa la velocidad del movimiento de perturbaciones a
lo largo de la zona de dos fases. Esto se refleja en el término ∂ĥ/∂h (ecuación II.77), que
en el caso de flujos ascendentes de burbujas, es siempre mayor que la unidad. Por lo
tanto, el tiempo característico de chimenea disminuye. Según lo visto en la sección III.2,
esto
58
Análisis de estabilidad lineal
20.00
18.00
Potencia de condensación [MW]
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de Nucleo [MW]
Figura IV.4: Influencia del modelo de drift-flux
esto contribuye a desestabilizar el sistema, a la vez que aumenta la frecuencia de las
oscilaciones.
4. Cambios de densidad en simple fase
Al contrario de lo que sucede en reactores de tipo BWR en convección natural,
en el concepto CAREM la fuerza boyante dominante es la debida a los cambios de la
densidad en simple fase, especialmente a bajos QV, lo que es comúnmente despreciado
en los modelos más simples aplicados a BWR. Este efecto es ahora introducido por
medio del cálculo de densidad en simple fase utilizando funciones de estado, incluyendo
también los movimientos de frentes de temperatura a lo largo del GV y el downcomer.
La influencia de la fracción de vacío en la fuerza boyante disminuye cuando se
tiene en cuenta la contribución por los cambios de densidad en simple fase, y dado que
ésta es mucho menos sensible a perturbaciones en el caudal, provee un fuerte efecto
estabilizador en el sistema. Esto se observa en el mapa de estabilidad que se muestra en
la Figura IV.5. En esta Figura, el límite superior en el eje vertical se cambió respecto de
los casos anteriores, para una mejor visualización de la zona de interés a bajos QV.
Debido a que el tiempo de residencia del fluido en el GV es muy grande
comparado con el de núcleo, las fluctuaciones a la salida de los mismos son pequeñas
en comparación con las de salida de núcleo, por lo que no producen grandes cambios en
la estabilidad del sistema. Estas fluctuaciones provocan pequeñas perturbaciones en el
subenfriamiento a la entrada del núcleo, dando lugar a nuevos modos de oscilaciones
amortiguadas, dominantes en la región más estable (altos QV, bajos QN), con frecuencias
características que se corresponden con el tiempo de transporte a lo largo del
downcomer.
59
Análisis de estabilidad lineal
5.00
4.50
Potencia de condensación [MW]
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de Nucleo [MW]
Figura IV.5: Mapa de estabilidad mostrando la influencia de la fuerza boyante debida a
los cambios de la densidad en simple fase
En este caso, Nch se fija en 40 en todo el rango, adaptando el número de nodos en el
núcleo de acuerdo a la nodalización adaptiva, introduciendo cinco pasos intermedios
para la resolución de la ecuación de energía, necesarios para refinar la nodalización y
obtener un mejor detalle de los movimientos de λ en esta zona. Como se verá en el
Capítulo VI, esta nodalización presenta una solución convergida.
5. Corrección de presión con altura hidrostática
En los casos anteriores, λ se encuentra siempre dentro de la zona del núcleo. Sin
embargo, cuando QV es pequeño o el cambio de presión con altura es significativo,
puede ocurrir ebullición en la chimenea debido a la disminución de la entalpía de
saturación con la altura, fenómeno que se introduce en esta sección. Este fenómeno se
conoce como “flashing”. En el modelo numérico, la presión local tiene en cuenta los
cambios por altura hidrostática para el cálculo de las propiedades de saturación, de
acuerdo a la ecuación II.57.
El mapa de estabilidad obtenido para este caso se muestra en la Figura IV.6.
Cuando QV es mayor que aproximadamente 0.75 MW, λ se localiza en el núcleo, y el
mapa de estabilidad no muestra mayores diferencias con el caso anterior. Cuando QV es
menor, λ es desplazado hacia la chimenea, mostrando un significativo aumento en el
factor de amplificación. Esto ocurre cuando, sin producirse ebullición en el núcleo, la
entalpía a la salida del mismo es mayor que la entalpía de saturación a la salida de la
chimenea. Esto equivale a la siguiente condición:
QV ≤ W (h f_N − h f_D )
60
Análisis de estabilidad lineal
5.00
4.50
Potencia de condensación [MW]
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de núcleo [MW]
a)
1.00
0.90
Potencia de condensación [MW]
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
c)
Potencia de núcleo [MW]
b)
Figura IV.6: Mapa de estabilidad mostrando la influencia de la corrección por altura
hidrostática.
Cuando esto sucede, la fuerza boyante del sistema se hace sensible tanto a los
cambios en la entalpía a la salida del núcleo como a los movimientos de λ,
incrementando su sensibilidad frente a cambios en el caudal. Esto produce un efecto
desestabilizador que aumenta el factor de amplificación.
61
Análisis de estabilidad lineal
Para valores de QV muy bajos, λ se encuentra cerca de la salida de la chimenea.
Por lo tanto, la zona de dos fases tiende a desaparecer, reduciendo la contribución de la
fracción de vacío en la fuerza boyante; como resultado, disminuye su sensibilidad
relativa. Luego, las oscilaciones son amortiguadas más eficientemente, apareciendo una
nueva zona de estabilidad.
Este caso se toma como referencia para el análisis del comportamiento
termohidráulico del reactor considerando presión y potencia constantes, ya que incluye
todos los modelos postulados para el refrigerante a lo largo del circuito primario.
Resulta entonces un caso interesante para analizar más detenidamente.
La Figura IV.7-a muestra las trayectorias de los autovalores más significativos, a
medida que se aumenta QV manteniendo QN en 100 MW. Como se explica en la Sección
II.3, la parte imaginaria es la frecuencia de un modo de oscilación y la parte real la
amplificación del mismo. Éstos se mueven aumentando siempre sus frecuencias, lo que
se explica por la disminución de los tiempos de residencia del fluido en los diversos
componentes, tanto por el aumento del caudal como de la fracción de vacío, en el caso
del núcleo y chimenea. En cuanto a la parte real, puede observarse que todos presentan
un máximo en la zona de flashing, donde la sensibilidad de la fuerza boyante es mayor
frente a cambios de caudal; luego migran hacia zonas más estables a medida que
aumenta QV, de acuerdo a lo explicado anteriormente.
En la Figura IV.7-b se repiten las trayectorias mostradas en la Figura IV.7-a,
ahora considerando la temperatura de entrada al núcleo constante. De la comparación de
ambas figuras se deduce un aspecto interesante: éstas son equivalentes a excepción de la
región en que QV es muy pequeña. En este caso, la fracción de vacío generada es muy
baja y la dinámica de dos fases tiene aún relativamente poco peso frente a las
perturbaciones en simple fase. Aparece entonces un autovalor de baja frecuencia como
dominante, relacionado con los modos de oscilación de la rama fría. Su frecuencia
aumenta debido al incremento del caudal de primario, aunque lo hace levemente puesto
que esta región siempre permanece en simple fase. Sin embargo, superado un valor de
QV relativamente pequeño, el sistema pasa a estar gobernado por la dinámica de dos
fases en la rama caliente, y las perturbaciones en la temperatura a la entrada de núcleo
pasan prácticamente desapercibidas. Los siguientes dos autovalores de mayor frecuencia
corresponden entonces con el primer y segundo modo de oscilación de la chimenea, y
son dominantes cuando aumenta la zona bifásica en esta zona. Cuando esto ocurre, λ se
desplaza hacia el núcleo reduciendo el tiempo característico, lo que hace aumentar la
frecuencia de sus autovalores asociados.
Las trayectorias de las partes real e imaginaria de estos autovalores en función de
QV se muestran en la Figura IV.8 y la Figura IV.9 respectivamente. Allí se observa la
composición del factor de amplificación (parte real) y frecuencia (parte imaginaria) del
sistema. La mayor parte de la zona inestable está gobernada por el primer modo de
oscilación de la chimenea. La frecuencia del sistema presenta cambios discontinuos
cuando se producen cruces de autovalores dominantes; en estos puntos coexisten dos
frecuencias de oscilación como dominantes.
62
Análisis de estabilidad lineal
1.0
0.9
0.8
0.7
|Im(βFi)| (ω)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
Posición de λ:
chim. núcleo
Autovalores
Autovalor dominante
0.1
0.0
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
Re(βFi) (a)
a)
1.0
TINNuc= cte
0.9
0.8
0.7
|Im(βFi)| (ω)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Posición de λ:
chim. núcleo
0.0
-0.10
Autovalores
Autovalor dominante
-0.05
0.00
0.05
0.10
Re(βFi) (a)
b)
Figura IV.7: Recorrido de los autovalores dominantes al incrementar QV de 0 a 3 MW,
para QN = 100 MW, con corrección por altura hidrostática: a) considerando las
perturbaciones de rama fría, b) asumiendo temperatura de entrada de núcleo constante
63
Análisis de estabilidad lineal
Autovalores
Autovalor dominante
0.1
Re(βFi) (a)
0.0
-0.1
Posición λ
-0.2
Chimenea
Núcleo
0.0
0.8
1.6
QV [MW]
Figura IV.8: Factor de amplificación de los principales modos de oscilación, como
función de QV, en el caso de corregir por altura hidrostática.
1.0
Autovalores
Autovalor dominante
0.8
|Im(βFi)| (ω)
0.6
0.4
0.2
Posición λ
Chimenea
Núcleo
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
QV [MW]
Figura IV.9: Frecuencias características de los principales modos de oscilación, como
función de QV, en el caso de corregir por altura hidrostática.
64
Análisis de estabilidad lineal
Figura IV.10: Mapa de frecuencias dominantes, en el caso de corregir por altura
hidrostática.
La Figura IV.10 muestra las frecuencias caracerísticas del sistema para todo el
rango de QV y QN; nuevamente, el primer modo de oscilación de la chimenea es
dominante en la mayor parte, a excepción de una pequeña región en la zona de flashing
donde aparece el segundo modo, y la zona más estable (altos QV, bajos QN), donde
domina el autovalor asociado al modo de oscilación de rama fría, el cual permanece
estable en casi la totalidad del rango estudiado.
6. Dinámica de núcleo
Para analizar la influencia de la dinámica del núcleo en la estabilidad del sistema,
se incluye el modelo térmico de los combustibles (ecuación II.49) y la realimentación
neutrónica. El mapa de estabilidad que se obtiene se muestra en la Figura IV.11.
El efecto más importante en este caso es el debido a la realimentación por
densidad de refrigerante: en el caso de condición de flujo de calor constante, un
aumento en el caudal de núcleo es seguido por una disminución de la entalpía a la salida
del mismo y, por lo tanto, un incremento en la densidad promedio del refrigerante en
esta zona. Cuando se incluye la realimentación neutrónica, tiene lugar una inserción de
reactividad debido a que el coeficiente de reactividad por densidad de refrigerante (Rρ)
es positivo. Luego, la potencia por fisiones aumenta y la tendencia de este fenómeno es
la de incrementar la entalpía a la salida del núcleo, lo cual tiende a balancear el efecto
termohidráulico. Por otra parte, la realimentación neutrónica también presenta una
respuesta más rápida, dado que un cambio en la densidad promedio del refrigerante
afecta a la potencia, lo cual se manifiesta a la salida del mismo antes de la llegada del
frente de entalpía. Esto disminuye el retardo asociado o atraso de fase. Los dos
fenómenos explicados proveen un efecto estabilizador para oscilaciones de baja
frecuencia, que ocurren cuando QV es pequeña. El resultado es que, en el rango
esperable para el funcionamiento del reactor (QV menores a 1 MW) sólo permanece una
región de inestabilidad atribuible al fenómeno de flashing.
65
Análisis de estabilidad lineal
5.00
4.50
Potencia de condensación [MW]
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de núcleo [MW]
0.70
0.65
Potencia de condensación [MW]
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de núcleo [MW]
Figura IV.11: Mapa de estabilidad mostrando la influencia de la dinámica de núcleo.
La Figura IV.12 muestra la trayectoria de los autovalores dominantes, a medida
que aumenta QV manteniendo QN = 100 MW. En la zona de flashing se observa un
comportamiento análogo al caso anterior, aunque los autovalores correspondientes a los
modos de oscilación de menor frecuencia pierden peso respecto a los de mayor,
producto de la respuesta más rápida del núcleo. Como consecuencia, existe una
competencia
66
Análisis de estabilidad lineal
2.0
Posición de λ:
chim. núcleo
1.8
1.6
Autovalores
Autovalor dominante
1.4
|Im(βFi)| (ω)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
Real (a)
Figura IV.12: Recorrido de los autovalores dominantes al incrementar QV de 0 a 3 MW,
fijando QN = 100 MW, en el caso de modelar la dinámica del núcleo.
Posición λ
Chimenea
Núcleo
Re(βFi) (a)
0.00
Autovalores
Autovalor dominante
-0.08
0
1
2
QV [MW]
Figura IV.13: Factor de amplificación de los principales modos de oscilación, como
función de QV, en el caso de modelar la dinámica del núcleo.
67
Análisis de estabilidad lineal
Autovalores
Autovalor dominante
|Im(βFi)| (ω)
1.4
0.7
Posición λ
Chimenea Núcleo
0.0
0
1
2
3
QV [MW]
Figura IV.14: Frecuencias características de los principales modos de oscilación, como
función de QV, en el caso de modelar la dinámica del núcleo.
competencia de autovalores de diferentes frecuencias. Esto hace que no exista un único
autovalor dominante en todo el rango, Figura IV.13, produciendo cambios discontinuos
en la frecuencia característica, Figura IV.14.
Cuando λ se desplaza hacia el núcleo, el efecto de la realimentación neutrónica
se hace dominante y tienen lugar oscilaciones de mayores frecuencias. Debido al bajo
flujo de potencia en la salida del núcleo (Figura IV.2), la posición de λ se hace
relativamente más sensible a perturbaciones, resultando en un incremento en la,
sensibilidad, observándose un nuevo máximo. Esto es análogo a lo explicado para el
flashing en el caso anterior, aunque hay que observar que, a diferencia de aquel, donde
las frecuencias características son comparables al tiempo característico de chimenea, en
este caso dominan frecuencias mayores, relacionadas con el tiempo característico de
núcleo.
La Figura IV.15 muestran las frecuencias características del sistema para todo el
rango de QV y QN; para QV bajos, se observan saltos en la frecuencia característica en la
zona del flashing, producto de la competencia de autovalores. Cuando QV es mayor, λ se
encuentra en el núcleo, la realimentación neutrónica se incrementa e introduce modos
de oscilación de mayor frecuencia asociadas con la dinámica del núcleo. Se observa
entonces un solo modo de oscilación dominante, a excepción de la zona más estable
que, análogamente al caso anterior, domina el modo de oscilación del downcomer.
La Figura IV.16 muestra el factor de amplificación y su frecuencia
correspondiente para variaciones relativas en Rρ para QN = 100 MW, QV = 0.5 MW;
estos valores aproximan un punto de trabajo posible del reactor, que llamaremos “punto
de interés”. Allí se compara con el caso de considerar la temperatura de entrada al
núcleo constante. Puede observarse que se verifica la tendencia al caso de potencia
constante
68
Análisis de estabilidad lineal
ng
s hi
Fla
Figura IV.15: Mapa de frecuencias dominantes, en el caso de modelar la dinámica del
núcleo.
constante cuando Rρ es muy pequeño. Luego, el efecto de la realimentación neutrónica
se incrementa al aumentar Rρ, proveyendo un efecto estabilizador. Esta tendencia se
mantiene hasta variaciones relativas del 100% en Rρ aproximadamente, notándose una
concordancia con el caso de temperatura de entrada de núcleo constante; es decir que las
perturbaciones de la rama fría permanecen prácticamente desapercibidas. Sin embargo,
a partir de este punto ambos casos muestran tendencias contrapuestas:
En el caso despreciar las perturbaciones de la rama fría el factor de amplificación
continúa disminuyendo. Debido a que la realimentación neutrónica tiende a estabilizar
en mayor medida las oscilaciones de baja frecuencia, aquellas de mayores frecuencias
se hacen dominantes.
En el caso de considerar las perturbaciones de la rama fría se observa un cambio
de tendencia: el sistema es relativamente desestabilizado, pudiendo incluso
inestabilizarse cuando la realimentación neutrónica es demasiado fuerte. Esto se debe
que, al incrementar Rρ, los cambios de temperatura a la entrada de núcleo logran afectar
la potencia generada, que a su vez afecta los frentes de entalpía en la chimenea. Las
oscilaciones que resultan entonces son de muy baja frecuencia, comparables con el
tiempo característico de todo el circuito. Es decir que, a diferencia de los casos hasta
aquí analizados, estas oscilaciones son sensibles tanto a los tiempos de transporte en la
rama
69
Análisis de estabilidad lineal
Sin realimentación neutrónica
0.08
Nominal
Factor de amplificación
0.04
0.00
-0.04
QN=100 MW, QV=0.5 MW
-0.08
NDC=Adaptiva
TIN = cte
-0.12
-1
0
1
2
3
4
5
∆Rρ/Rρ
a)
2.5
QN=100 MW, QV=0.5 MW
NDC=Adaptiva
TIN = cte
Frecuencia [rad/s]
2.0
1.5
Nominal
1.0
Sin realimentación neutrónica
0.5
0.0
-1
0
1
2
3
4
5
∆Rρ/Rρ
b)
Figura IV.16: Dependencia de a) el factor de amplificación y b) la frecuencia de
oscilación en la realimentación neutrónica en el punto de interés, al cambiar el
coeficiente de reactividad por densidad de refrigerante Rρ.
70
Análisis de estabilidad lineal
Flujo de calor cte. en núcleo
0.08
Factor de amplificación
Nominal
0.04
0.00
QN=100 MW, QV=0.5 MW
-0.04
-1
0
1
2
3
∆HAN/HAN
a)
0.55
QN=100 MW, QV=0.5 MW
Frecuencia [rad/s]
Nominal
0.50
Flujo de calor cte. en núcleo
0.45
-1
0
1
2
3
∆HAN/HAN
b)
Figura IV.17: Dependencia de a) el factor de amplificación y b) la frecuencia de
oscilación en el área de transferencia de núcleo, al cambiar HAN .
71
Análisis de estabilidad lineal
rama fría como a los de rama caliente. Sin embargo, vale aclarar que las mismas sólo
aparecen para Rρ relativamente altos. En el capítulo V se analizarán algunos aspectos
relativos a estas oscilaciones.
Otro aspecto interesante es el efecto que surge al cambiar el factor HAN definido
en la sección II.1.3.1, lo que equivaldría, por ejemplo, a cambiar el diámetro de las
barras de combustibles. Esto se muestra en la Figura IV.17. También se compara el caso
de temperatura de entrada al núcleo constante.
Cuando HAN se reduce, la temperatura promedio de núcleo debe incrementarse
de manera de mantener la potencia transferida. Luego, ésta se hace menos sensible a
cambios en la temperatura de combustible, dado el incremento en su valor absoluto. El
límite de HAN → 0 coincide con una condición de flujo de calor constante. Un
incremento en HAN puede interpretarse entonces como aumento de la sensibilidad del
núcleo, análogamente al caso de incrementar Rρ. Puede notarse un efecto estabilizador
en todo el rango analizado.
7. Realimentación de presión
Otra de las principales diferencias del diseño analizado en este trabajo con
reactores tipo BWR, es el de la auto-presurización. En efecto, en los BWR la presión se
controla mediante la extracción de vapor. Por otra parte, el volumen ocupado por vapor
es relativamente grande en relación al líquido, ya que nominalmente funcionan a altas
fracciones de vacío, y las líneas de vapor proveen un volumen adicional. Estos hechos
hacen que las variaciones de presión sean relativamente amortiguadas, por lo que
normalmente se asume presión constante como una buena aproximación en los
modelos. Estos factores no existen en el diseño CAREM.
La dinámica de presión, gobernada por el domo de vapor, se incluye ahora en el
modelo. Para esto, se utiliza el modelo de no-equilibrio entre fases para esta zona. Este
es el caso más “realista”, ya que incluye todos los modelos estudiados para el sistema
primario.
La realimentación de presión ocurre en forma instantánea: un incremento de la
fracción de vacío en la chimenea expande todo el refrigerante, presurizando el sistema
en forma inmediata. Esto aumenta la entalpía de saturación, tendiendo a disminuir la
fracción de vacío. Por lo tanto, el efecto natural de la realimentación de presión es el de
balancear los cambios de densidad en la zona de dos fases. El mapa de estabilidad
resultante se muestra en la Figura IV.18: puede observarse un efecto estabilizador,
consistentemente con lo arriba explicado. El sistema permanece estable en casi todo el
rango, persistiendo la zona de inestabilidad a bajo QV, producidas por el efecto del
flashing, aunque más reducida.
La realimentación de presión es más fuerte cuando la relación de los volúmenes
de líquido/vapor en el primario es mayor. Esto se muestra en la Figura IV.19, donde se
observa el factor de amplificación para el punto de interés; la realimentación de presión
es incrementada cuando el volumen de vapor es menor (mayor relación líquido/vapor),
estabilizando el sistema. El límite de volumen de vapor infinito coincide con el caso de
no modelar la realimentación de presión.
72
Análisis de estabilidad lineal
5.00
4.50
Potencia de condensación [MW]
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de núcleo [MW]
0.70
0.65
Potencia de condensación [MW]
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de núcleo [MW]
Figura IV.18: Mapa de estabilidad mostrando la influencia de la realimentación de
presión.
73
Análisis de estabilidad lineal
0.020
Sin realim. de presión
Factor de amplificación
0.015
QN=100 MW, QV=0.5 MW
0.010
0.005
0.000
Punto nominal
-0.005
-0.010
0
5
10
15
20
Vliq/Vvap
a)
0.505
QN=100 MW, QV=0.5 MW
0.500
Sin realim. de presión
Frecuencia [rad/s]
0.495
0.490
0.485
Punto nominal
0.480
0.475
0.470
0
5
10
15
20
Vliq/Vvap
b)
Figura IV.19: Dependencia del factor de amplificación con la realimentación de presión,
al cambiar la relación de volúmenes de líquido/vapor en el sistema primario.
74
CAPITULO V
Aspectos de Estabilidad no Lineal
Aspectos de estabilidad no lineal
En el Capítulo IV se estudió el reactor desde el punto de vista de la estabilidad
lineal; allí se utilizaron métodos para determinar los principales modos de oscilación,
amplificaciones y frecuencias características de las oscilaciones. En este Capítulo, se
analiza el comportamiento no lineal del sistema cuando se hace inestable.
El análisis se concentra en los últimos tres casos presentados en el Capítulo IV
de manera de estudiar los efectos de realimentación neutrónica y la auto-presurización.
Esto se lleva a cabo mediante estudios paramétricos, evaluando en cada caso la
influencia de diversos factores.
1. Potencia y presión constantes
Para el análisis no-lineal, se toma como base el caso presentado en la Sección
IV.5, es decir el caso en que se estudia el efecto del “flashing”, considerando potencia
generada constante y presión constante pero no uniforme. Para analizar la dinámica no
lineal del sistema, se estudia el sistema en el dominio de tiempo para el punto de interés:
QN = 100MW, QV = 0.5MW.
El sistema se encuentra inicialmente en estado estacionario. A los 10s, se
introduce una pequeña perturbación en el sistema, que consiste en aumentar el caudal
medio del circuito (proporcional al impulso total Ĝ) un 0.01%. En la Figura V.1 se
observa la evolución de este caudal a partir de esta pequeña perturbación: el sistema
comienza a oscilar, y la amplitud de oscilaciones crece con el tiempo, tal cual se
esperaba a partir del análisis de estabilidad lineal. El caudal medio es representativo del
caudal del circuito y sus variaciones resultan del orden de las de los caudales locales,
aunque levemente menores.
0.004
0.003
Caudal relativo
0.002
0.001
0.000
-0.001
-0.002
-0.003
0
200
400
600
Tiempo [s]
Figura V.1: Evolución temporal para variaciones relativas en el caudal.
76
Aspectos de estabilidad no lineal
La oscilación de caudal genera a su vez una oscilación en la entalpía a la salida
del núcleo. Esto provoca un frente de entalpía que se propaga a lo largo de la chimenea,
generando una oscilación en λ, cuya evolución se muestra en la Figura V.2 (0 = entrada
de núcleo, 1 = salida de chimenea). Las oscilaciones crecen en amplitud porque la
realimentación de la fuerza boyante con el caudal es mayor que la perturbación inicial, y
porque los retrasos de tiempo hacen posible una realimentación positiva.
Las variaciones en la entalpía de salida de núcleo causan que las partículas
fluidas lleguen a ebullición en distintas posiciones. Cuando las oscilaciones son
pequeñas, esto sólo causa desplazamientos de λ alrededor del punto estacionario. Sin
embargo, cuando éstas crecen en amplitud, pueden ocurrir dos efectos:
- λ llega a los límites de la chimenea (en este caso el núcleo).
- Aparecen múltiples λ en un mismo tiempo.
El segundo fenómeno responde a la formación de “paquetes” de agua
subenfriada que se desplazan en la chimenea, con agua en saturación antes y después
del mismo. Esto puede visualizarse en la Figura V.3, donde se grafican los títulos
estáticos x (calculados a partir de h) como función del tiempo y la posición en
chimenea. Los títulos de las partículas fluidas aumentan levemente a medida que se
desplazan debido a la despresurización con la altura, lo que ocasiona además que el
fenómeno de ebullición pueda ocurrir en varios puntos simultáneamente. Resulta
interesante constatar que no se produce condensación en el proceso: todas las partículas
de fluido pasan a ebullición, en algún punto del núcleo o la chimenea.
Estos fenómenos, no tenidos en cuenta en el análisis lineal, son los principales
limitadores de la amplitud de oscilación. La Figura V.4 muestra el ciclo límite en el
diagrama
λ
1.0
0.5
Lím. de núcleo
0
100
200
Tiempo [s]
Figura V.2: Evolución de la frontera de ebullición (λ)
77
300
Aspectos de estabilidad no lineal
1.00
0.90
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
950.00
960.00
970.00
980.00
990.00
1000.00
Tiempo [s]
Figura V.3: Diagrama de contorno mostrando la distribución de los títulos en la
chimenea, durante la oscilación una vez alcanzado el ciclo límite.
0.10
0.08
0.06
xch_s (%)
Posición relativa
0.80
0.04
0.02
0.00
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
xch_e (%)
Figura V.4: Diagrama de fases mostrando el ciclo límite. Títulos en la salida de
chimenea vs. salida de núcleo
78
Aspectos de estabilidad no lineal
diagrama de fases de x a la entrada versus a la salida de la chimenea (xch_e y xch_s,
respectivamente). En este diagrama puede determinarse si λ llega a los límites superior
o inferior de la chimenea, según se observen cruces por cero en xch_s o xch_e
respectivamente, verificándose en este caso la segunda condición. No es apreciable en
este diagrama la existencia de múltiples λ.
En la Figura V.1 pueden observarse las oscilaciones una vez alcanzado el ciclo
límite, a partir de los 200s aproximadamente. Resulta interesante observar que el caudal
medio durante las oscilaciones no coincide con el caudal inicial (estacionario teórico),
resultando levemente mayor: esto es producto de la naturaleza no-lineal del proceso,
efecto que ya ha sido observado en otras aplicaciones (Delmastro D. et al, 2001b). Por
otra parte, puede verse que la amplitud de oscilación de caudal es del orden del 1 %. Es
decir que el reactor puede considerarse estable en el sentido “práctico”, en oposición
con el análisis que resulta desde el punto de vista lineal, ya que oscilaciones de esta
amplitud probablemente permanecerían desapercibidas en el caso de estar presentes en
el reactor.
Resulta de interés el comportamiento no lineal del sistema en el rango esperable
para el funcionamiento del reactor, esto es la región de bajos QV (menores a 1 MW).
Esto se realiza recorriendo una curva de iso-amplificación próxima al límite de
estabilidad obtenido con el análisis lineal, en la región inestable. Para esto, se analiza en
el dominio de tiempo los puntos que se muestran en la Figura V.5, situados en la curva
a = 0.02 s-1.
Las órbitas límite resultantes para los puntos elegidos se muestran en la Figura
V.6 a y b. Pueden verse también los valores iniciales, identificando la posición de λ en
su
1.00
0.90
1
Potencia de condensación [MW]
0.80
0.70
2
0.60
0.50
0.40
0.30
3
6
5
4
0.20
0.10
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de núcleo [MW]
Figura V.5: Mapa de estabilidad mostrando los puntos tomados en el análisis de órbitas
límite.
79
Aspectos de estabilidad no lineal
Estado inicial
0.25
0.20
xch_s (%)
1
0.15
2
0.10
1
3
0.05
2
3
0.00
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
xch_e (%)
a)
0.10
Estado inicial
xch_s (%)
0.05
6
6
4
5
5
4
0.00
-0.05
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
xch_e (%)
b)
Figura V.6: Órbitas límite obtenidas para los puntos indicados en la Figura V.5.
80
Aspectos de estabilidad no lineal
su estado estacionario: núcleo (xch_e > 0) ó chimenea (xch_e < 0, xch_s > 0). Después de
la perturbación, en todos los casos se alcanza el régimen de flashing, es decir que ocurre
ebullición en chimenea, y λ alcanza los límites de la misma en casi todos ellos. De esta
manera se limitan las variaciones de los títulos, que nunca superan el 0.4%, siendo las
órbitas más grandes las que corresponden a λ en la zona de núcleo en su estado inicial.
En los puntos 5 y 6, que muestran menores títulos iniciales, se alcanza también el límite
superior, es decir que en esos casos hay partículas que nunca llegan a ebullición,
saliendo de la chimenea en simple fase.
2. Dinámica de núcleo
A fin de analizar la influencia de la dinámica del núcleo en la evolución temporal
de las oscilaciones y los ciclos límites, se habilita en las simulaciones el modelo térmico
de los combustibles (ecuación II.49) y la realimentación neutrónica.
Como ya se explicó en la Sección IV.6, el efecto de la realimentación neutrónica
puede interpretarse, para oscilaciones de baja frecuencia, como contrapuesto al efecto
puramente termohidráulico: un aumento en el título de núcleo produce una disminución
en la potencia generada, resultando a su vez en una disminución del título a la salida. La
respuesta más rápida del núcleo ante cambios de título en el mismo también contribuye
a estabilizar el sistema, dado que un cambio en el título promedio produce un cambio en
la potencia que se manifiesta a la salida del mismo, disminuyendo el atraso de fase.
A continuación se muestran los resultados del estudio de la dinámica del sistema
para el punto de interés. Igual que antes, se inicializa el sistema en estado estacionario y
se introduce una pequeña perturbación de 0.01% en el caudal medio. La amplitud de
oscilaciones también crece con el tiempo, tal cual puede observarse en la evolución de λ
que se muestra en la Figura V.7. Pueden observarse los mismos factores no lineales que
acotan la amplitud de oscilación: los límites de la chimenea, y la coexistencia de más de
una frontera de ebullición, Figura V.7 y Figura V.8. Sin embargo, se observa también
que el movimiento de λ se encuentra más acotado que en el caso sin cinética. Esto
responde al efecto contrapuesto de la realimentación neutrónica con la tendencia del
sistema termohidráulico. La Figura V.9 y la Figura V.10 muestran las evoluciones
temporales del caudal medio y la potencia generada, observándose que los mismos se
encuentran acotados en un 0.3 y 0.4 %, respectivamente.
La Figura V.11 muestra el diagrama de fases de x a la entrada versus al de salida
de la chimenea. Se observa nuevamente la existencia de un ciclo límite estable, que
coincide con el cruce de λ con la frontera con el núcleo. No obstante, la amplitud del
ciclo límite es menor que el caso sin cinética.
La Figura V.12 muestra las variaciones en el título dinámico xd (calculado a
partir de ĥ) a lo largo del circuito (es decir, xd(z,t)-xd(z,t=0)), como función de la
posición y el tiempo, durante las oscilaciones para Rρ = Rρ0, una vez establecido el
ciclo límite. A diferencia del título estático, xd no varía con la velocidad relativa entre
fases, lo que lo hace un buen parámetro para el seguimiento de frentes. Se observa que
estas oscilaciones tienen lugar principalmente en la rama caliente, ya que las
perturbaciones en la rama fría son pequeñas en comparación con las de esta zona.
81
Aspectos de estabilidad no lineal
λ
0.5
Lím. de núcleo
0
100
200
300
400
500
Tiempo [s]
Figura V.7: Evolución temporal de la frontera de ebullición, para el caso con
realimentación neutrónica.
1.00
0.90
Posición relativa
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
950.00
960.00
970.00
980.00
990.00
1000.00
Tiempo [s]
Figura V.8: Diagrama de contorno mostrando la distribución de los títulos en la
chimenea, cuando se incluye la realimentación neutrónica.
82
Aspectos de estabilidad no lineal
0.002
Caudal relativo
0.001
0.000
-0.001
-0.002
0
200
400
600
Tiempo [s]
Figura V.9: Evolución temporal de las variaciones relativas del caudal, cuando se
incluye la realimentación neutrónica
0.002
Potencia relativa
0.001
0.000
-0.001
-0.002
-0.003
0
200
400
600
Tiempo [s]
Figura V.10: Evolución temporal de las variaciones relativas de la potencia generada
83
Aspectos de estabilidad no lineal
0.07
xch_s (%)
0.06
0.05
0.04
-0.04
-0.02
0.00
xch_e (%)
Figura V.11: Diagrama de fases mostrando el ciclo límite, en el caso de incluir
realimentación neutrónica. Títulos en la salida de chimenea vs. salida de núcleo
12.00
0.0002
0.0002
10.00
Chim.
0.0001
0.0000
Posición [m]
8.00
0.0000
Núcleo
6.00
-0.0000
-0.0001
Downcomer
-0.0002
-0.0002
4.00
-0.0003
-0.0003
2.00
950.00
GV
960.00
970.00
980.00
990.00
1000.00
Tiempo [s]
Figura V.12: Diagrama de contorno mostrando las variaciones del título a lo largo del
circuito, durante las oscilaciones en el ciclo límite.
84
Aspectos de estabilidad no lineal
Como se observó en la sección IV.6, en el rango esperable para el
funcionamiento del reactor (QV menores a 1 MW) sólo permanece una región de
inestabilidad atribuible al flashing. Resulta entonces de interés el análisis del
comportamiento no lineal del sistema en este rango. Esto se lleva a cabo recorriendo la
curva de iso-amplificación que corresponde a a = 0.02 s-1. Los puntos analizados se
muestran en la Figura V.13.
Las órbitas límite resultantes para los puntos elegidos se muestran en la Figura
V.14, con sus respectivos valores iniciales. Éstos se encuentran siempre en la región de
flashing (xch_e < 0, xch_s > 0), es decir que ocurre la ebullición en la chimenea en estado
estacionario. Después de la perturbación, λ sólo alcanza la entrada de chimenea en la
región cercana al límite superior de estabilidad, dado que xch_e se encuentra más
próximo a cero en su estado inicial. Luego, las órbitas crecen ligeramente, aunque las
variaciones en título nunca superan el 0.06%.
La Figura V.15 muestra los ciclos límites en el punto de interés, al incrementar
Rρ. Se observa que el caso Rρ → 0 coincide con el caso sin cinética; luego, a medida
que se incrementa Rρ, el ciclo límite se hace más pequeño, quedando en su mayor parte
contenido dentro del anterior, hasta llegar al caso estable.
Otro aspecto interesante surge de cambiar HAN definido en la sección II.1.3.1, lo
que equivaldría por ejemplo a modificar el diámetro de las barras de combustibles. La
Figura V.16 muestra los ciclos límite que se obtienen para distintos HAN. Como se
explicó en la sección IV.6, cuando HAN se reduce la potencia transferida se hace menos
sensible a cambios de temperatura, y el límite de HAN → 0 coincide con el caso sin
cinética, es decir una condición de flujo de calor constante., Luego, el caso de
incrementar HAN es análogo al de Rρ, ya que equivale a incrementar la sensibilidad del
núcleo
0.70
0.65
1
Potencia de condensación [MW]
0.60
0.55
2
0.50
0.45
5
4
3
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de núcleo [MW]
Figura V.13: Mapa de estabilidad mostrando los puntos tomados para el análisis de
órbitas límite
85
Aspectos de estabilidad no lineal
Estado inicial
0.08
1
2
0.06
1
xch_s (%)
2
0.04
3
4
5
3
5
0.02
4
0.00
-0.10
-0.05
0.00
xch_e (%)
Figura V.14: Órbitas límite obtenidas para los puntos indicados en la Figura V.13
0.10
1
2
0.08
3
4
xch_s (%)
0.06
5
0.04
0
0.02
0.00
1
2
3
4
5
-0.10
Rρ/Rρ
0
0.05
0.5
1
1.25
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
xch_e (%)
Figura V.15: Evolución de los ciclos límite al incrementar Rρ
86
Aspectos de estabilidad no lineal
0.10
0
1
1
2
3
4
5
2
0.08
xch_s (%)
3
4
0.06
HAN/HAN
0
0.1
0.5
1
2
5
0.04
0.02
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
xch_e (%)
Figura V.16: Evolución de los ciclos límite al incrementar HAN
núcleo, y los ciclos límite se reducen.
Como se vio también en la sección IV.6, si Rρ se incrementa por encima de un
cierto valor, tienen lugar oscilaciones de muy baja frecuencia que, a diferencia de las
anteriores, se generarían en la rama fría. A fin de estudiar estas oscilaciones, se toma un
Rρ con un valor relativamente alto, tal que ∆Rρ/ Rρ0 ≈ 15. La Figura V.17 muestra la
evolución de λ luego de la perturbación inicial. Igual que antes, el sistema comienza a
oscilar con amplitud creciente, aunque con una frecuencia sensiblemente menor, y el
crecimiento de la amplitud se detiene cuando λ llega a los límites de la chimenea. A
partir de ese momento el sistema llega a un ciclo límite, tal cual se muestra en la Figura
V.18.
La Figura V.19-a muestra las variaciones en xd a lo largo del circuito durante
estas oscilaciones, una vez establecido el ciclo límite. A diferencia del caso anterior, se
observa que las perturbaciones en la rama fría son comparables a las de la rama caliente,
resultando oscilaciones cuyo período es del orden del tiempo de transporte de todo el
circuito. Resulta interesante observar como se comporta el núcleo durante estas
oscilaciones, lo cual se puede observar en Figura V.19: allí ocurre una inversión en las
variaciones del título de salida con respecto al de entrada. Esto puede explicarse de la
siguiente forma: debido al fuerte acople a través del coeficiente de reactividad, la
potencia generada en el núcleo se hace sensible a las variaciones de título a la entrada de
núcleo. De esta forma, cuando el título a la entrada baja, se produce una inserción de
reactividad que hace que la potencia aumente, produciendo a su vez un aumento en el
título de salida. Esto se produce de forma casi instantánea, ya que el tiempo
característico
87
Aspectos de estabilidad no lineal
λ
1.0
0.5
Lím. de núcleo
0
300
600
Tiempo [s]
Figura V.17: Evolución temporal de la frontera de ebullición, para el caso de las
oscilaciones de alto Rρ
0.20
0.15
0.10
xch_s (%)
0.05
0.00
-0.05
-0.10
-0.15
-0.20
-0.25
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
xch_e (%)
Figura V.18: Diagrama de fases mostrando el ciclo límite, en el caso de oscilaciones de
alto Rρ Títulos en la salida de chimenea vs. salida de núcleo
88
Aspectos de estabilidad no lineal
12.00
0.004
10.00
0.003
Chim.
0.002
8.00
Posición [m]
0.001
Núcleo
6.00
Downcomer
0.000
-0.001
-0.002
4.00
-0.003
2.00
1100.00
GV
1150.00
1200.00
1250.00
1300.00
Tiempo [s]
a)
b)
Figura V.19: Diagrama de contorno mostrando las variaciones del título a) a lo largo del
circuito y b) en el núcleo, durante las oscilaciones de alto Rρ, en el ciclo límite.
89
Aspectos de estabilidad no lineal
característico del núcleo es mucho menor que el período característico de esta
oscilación. Luego ocurre el efecto inverso cuando sube el título a la entrada, generando
el efecto de inversión en las variaciones de títulos.
Vale aclarar que la factibilidad de que ocurra este tipo de oscilaciones depende
de dos factores:
- La difusión de los frentes de entalpía a lo largo de la rama fría, especialmente
lo que refiere al proceso de mezclado en el plenum inferior, lo cual depende de patrones
turbulentos en una geometría fuertemente tridimensional. Para un análisis conservativo,
aquí se ha considerado que esta difusión de frentes es muy pequeña o no existe.
- La validez del modelo de cinética puntual en el núcleo. Durante las oscilaciones
que aquí se observan, el núcleo responde como un todo ante variaciones en el título a la
entrada, lo cual afecta el título a la salida. Sin embargo, es posible que las
perturbaciones a la entrada produzcan variaciones locales de potencia, lo cual debilitaría
la oscilación.
El análisis que aquí se realiza puede considerarse conservativo respecto de
ambos aspectos, aún así es necesario un coeficiente de reactividad por densidad de
refrigerante muy alto respecto de los valores nominales para que este fenómeno ocurra;
por ello en este trabajo no se profundiza en el análisis de estas oscilaciones.
3. Realimentación de presión
La influencia del domo de vapor se incluye mediante el modelo de no-equilibrio
entre fases en dicha región. En la sección IV.7 se había visto que la realimentación de
presión contribuye a estabilizar el sistema, dado que un aumento de la fracción de vacío
en
0
VV /VV
0
0.01
0.1
0.2
0.3
1 (Estable)
0.07
0.06
1
2
3
4
5
6
12
xch_s (%)
3
4
5
6
0.05
0.04
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
xch_e (%)
Figura V.20: Evolución de los ciclos límite al reducir el volumen de vapor
90
Aspectos de estabilidad no lineal
en la rama caliente presuriza el sistema, hecho que tiende a disminuir la fracción de
vacío. Reducir el volumen de vapor incrementa la estabilidad del sistema.
La amplitud de los ciclos límite también se reduce al achicar el volumen de
vapor. Esto puede verse en la Figura V.20, donde se muestran los ciclos límites
obtenidos en el punto de interés para diversos volúmenes de vapor. El caso de volumen
de vapor tendiendo a infinito (V0V/VV = 0) coincide con el caso sin realimentación de
presión, como era de esperar, y es el que ofrece la máxima amplitud de la oscilación. Al
reducir el volumen de vapor, el ciclo límite también se reduce, hasta hacerse estable en
su valor nominal (VV = V0V).
4. Conclusiones
En esta sección, se analiza el comportamiento no-lineal del sistema durante las
oscilaciones en condiciones inestables, y se estudiaron los diferentes fenómenos que
ocurren en estas circunstancias.
Cuando la amplitud de oscilaciones no es muy pequeña, ocurren dos efectos: La
existencia de múltiples fronteras de ebullición, y la interferencia de las mismas con los
límites de chimenea. El primer efecto está asociado con “paquetes” de líquido
subenfriado que se desplazan en la chimenea. Es importante notar que el modelo no
predice que haya condensación durante el proceso. Se observa un desplazamiento de los
valores medios de las variables respecto de los valores iniciales, producto de la
naturaleza no-lineal del proceso. Estos efectos acotan la amplitud máxima a valores
comparables al 1%.
Tanto la realimentación de la presión como de la neutrónica reducen el ciclo
límite, a medida que son incrementados. En el caso de la realimentación de presión, ésta
se incrementa al reducir el volumen de vapor en el domo, mientras que la
realimentación neutrónica aumenta con el coeficiente de realimentación por densidad de
refrigerante. Incrementar el área de transferencia de núcleo también aumenta la
realimentación neutrónica, ya que en este caso se incrementa la sensibilidad de la
temperatura de combustible.
La mayor parte de las oscilaciones se da por fenómenos que ocurren en la rama
caliente. Sin embargo, cuando la realimentación neutrónica es muy fuerte, las
perturbaciones en la rama fría influyen en la potencia generada en el núcleo. En estas
condiciones, es posible obtener un nuevo tipo de oscilación, dado que estas variaciones
de potencia lograrían afectar la entalpía de salida de núcleo, pudiendo desestabilizar el
sistema. Estas oscilaciones son de muy baja frecuencia, con un tiempo característico
comparable al transporte en todo el circuito. Sin embargo, vale aclarar que las mismas
sólo aparecen cuando la realimentación neutrónica es muy fuerte, y su análisis
posiblemente requeriría de un cálculo de cinética que contemple cambios de potencia
locales.
91
CAPITULO VI
Análisis de Convergencia
Análisis de convergencia
En este capítulo se analiza el efecto de los errores numéricos en el análisis de
estabilidad. Estos errores, llamados errores de truncamiento, tienen su origen en las
aproximaciones de los términos de derivadas parciales, y están fuertemente relacionados
con la nodalización y el paso de tiempo empleados.
Una forma de visualizar el error de truncamiento del método es a través del
efecto del cambio de nodalización en la predicción de inestabilidades, directamente
relacionada con el factor de amplificación. Esto permite un análisis sistemático del
error, a través del método de linealización por pequeñas perturbaciones. Por otra parte,
se asegura la validez de las hipótesis lineales, lo cual es frecuentemente difícil de lograr
mediante simulaciones temporales. Esto se lleva a cabo en sección VI.1
Sin embargo, como en el esquema lineal se desprecian los efectos no lineales, es
conveniente incluir un estudio de los errores de truncamiento en estos últimos. En
efecto, cuando el sistema es inestable, estos términos se hacen importantes, y aparecen
nuevos fenómenos físicos más allá del primer paso de tiempo, que no son tenidos en
cuenta en la linealización. Ambos fenómenos son importantes para determinar la
amplitud de oscilaciones. Esto se estudia en la sección VI.2, analizando el efecto de la
nodalización en los ciclos límite.
1. Convergencia del modelo lineal
En esta sección, se analiza la convergencia lineal del esquema numérico, para lo
cual se toman dos casos:
- El sistema analizado en la sección III.3, llamado “caso testigo”; este caso es de
interés porque se analiza un amplio rango de títulos a la salida del calefactor,
incluyéndose las oscilaciones de tipo I y II. Por otra parte, en este caso se cuenta con
una solución analítica del problema.
- El sistema analizado en la sección IV.6, llamado “caso de aplicación”, de
particular interés porque incluye todos los modelos postulados para el refrigerante y
núcleo del circuito primario del reactor analizado en este trabajo.
En ambos casos, la convergencia del modelo lineal se realiza a través del método
de linealización por pequeñas perturbaciones. Resulta entonces de interés comparar el
sistema no lineal con el linealizado, lo cual se lleva a cabo a continuación.
1.1
Verificación del esquema de linealización
Los esquemas lineal y no lineal son comparables solamente en los casos donde
los términos no lineales pueden despreciarse, lo cual es válido en las regiones estables.
Para la comparación, se incluyen todos los modelos estudiados para el sistema primario,
tal como se presenta en las secciones IV.6 y V.3. Se elige entonces el punto QN =
100MW, QV = 0.7MW, estable en condiciones nominales (ver Figura IV.18). La Figura
VI.1 muestra las evoluciones temporales de las variaciones relativas del caudal medio y
la presión de domo, luego de una perturbación en el caudal medio del circuito a los 10s.
Puede observarse una total concordancia del sistema linealizado con el original, estando
las evoluciones prácticamente superpuestas. De estas Figuras puede constatarse la
correcta implementación del esquema de linealización. Por otra parte, puede verificarse
que el esquema no-lineal se comporta de manera lineal cuando es estable, ante
perturbaciones pequeñas.
93
Análisis de convergencia
Caudal relativo
1.30x10
-5
0.00
Lineal
No lineal
-5
Diferencia
-1.30x10 -8
6.0x10
0.0
-8
-6.0x10
0
50
100
150
200
Tiempo [s]
a)
Presión relativa
0.0
Lineal
No lineal
-7
Diferencia
-5.0x10 -9
5.0x10
0.0
-9
-5.0x10
0
50
100
150
200
Tiempo [s]
b)
Figura VI.1: Evoluciones temporales del caudal medio y la presión, según el sistema no
lineal (original) y el sistema linealizado, con sus respectivas diferencias.
94
Análisis de convergencia
1.2
Caso testigo
A fin de analizar la convergencia del modelo, se calcula la frontera de estabilidad
utilizando diferentes nodalizaciones. El objetivo es constatar que existe convergencia
espacial en el modelo termohidráulico en lo que a las ecuaciones de momento y energía
se refiere.
En primer lugar, se analiza la convergencia del método analizado, aplicando
integración explícita en todo el esquema. Esto es, se utiliza ρjn en lugar de ρj(n+1)+ en el
término de fuerza boyante de la ecuación de momento, ecuación (II.52). Se analizan
casos con distintas nodalizaciones en chimenea, tomando Nch = 5, 10 y 50, acomodando
los nodos en la zona calefaccionada de acuerdo a la nodalización adaptiva, sin utilizar
pasos intermedios. Los resultados pueden verse en la Figura VI.2-a.
En el caso de una nodalización muy gruesa, como es el caso de Nch = 5, se
observa en primer lugar discontinuidades que coinciden con el cambio de número de
nodos del calefactor; esto se debe a que aparecen saltos en la relación de Courant del
primer nodo que, como se explica en la sección II.2.5, actúa como nodo regulador o de
ajuste. Estas discontinuidades se hacen casi imperceptibles a partir Nch = 10, donde el
peso del primer nodo es bastante menor. Para NZU muy bajos aparece un nuevo
autovalor dominante que desaparece en las nodalizaciones más refinadas; por ello, no se
realiza el barrido en esta zona.
También puede observarse una sobrepredicción del límite de estabilidad que se
atenúa cuando la nodalización se refina, lo que hace que el límite converja desde la zona
estable. Este comportamiento es inverso a lo que se esperaría desde el punto de vista de
la difusión de frentes de entalpía: éstos tenderían a difundirse para nodos más grandes,
estabilizando el sistema para nodalizaciones gruesas. En este caso, dado que con el
esquema de nodalización adaptiva se minimiza el problema de difusión de frentes de
entalpía, esta fuente de error es menor en relación a otras y el efecto que resulta es el
inverso. Más específicamente, la integración temporal de la ecuación de momento
introduce un error que es de mayor orden en relación a la ecuación de energía. El error
en la integración explícita puede interpretarse como una “difusión negativa” en el
sentido de que su efecto es contrario al efecto de la discretización espacial, lo que
provoca la cancelación de errores en la ecuación de energía cuando se cumple el límite
de Courant. Debido a que la ecuación de momento sólo tiene dimensión temporal, no se
cancelan los errores introduciendo un factor desestabilizante que se incrementa con el
paso de tiempo. La ecuación de momento y su interacción con la ecuación de energía
provocarían la sobreestimación de la inestabilidad, lo cual ya ha sido observado en otras
aplicaciones (Ambrosini W. y Ferreri J.C., 1998).
Ahora introducimos el esquema pseudo-implícito en la ecuación de momento,
como se muestra en la ecuación II.52. Esto es, se utiliza una densidad estimada para el
paso de tiempo siguiente (ρj(n+1)+) en el término de fuerza boyante.
El resultado que se obtiene puede verse en la Figura VI.2-b, observándose una
significativa mejora en la convergencia en relación al caso totalmente explícito e
invirtiendo la tendencia a la sobreestimación en el caso de oscilaciones de tipo-I. Ambos
casos (integración de ecuación de momento explícita o pseudo-implícita) convergen al
mismo valor al incrementar la nodalización.
Otro punto que interesa comparar es el resultado obtenido con la nodalización
adaptiva frente a una nodalización fija. Para esto, se fija Nch = 10 y el paso de tiempo de
acuerdo
95
Análisis de convergencia
4
Nsub
3
2
Integración totalmente Explícita
Nch = 5
Nch = 10
Nch = 50
Modelo analítico
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
6
7
NZu
a)
4
Nsub
3
2
Ecuación de momento implícita
Nch = 5
Nch = 10
Nch = 50
Modelo analítico
1
0
0
1
2
3
4
5
NZu
b)
Figura VI.2: Análisis de convergencia del modelo numérico utilizando el esquema de
nodalización adaptiva: a) Integración totalmente explícita, b) integración de la ecuación
de momento implícita
96
Análisis de convergencia
acuerdo al criterio de Courant; en el caso de la nodalización adaptiva, NN varía entre 9 y
24 a lo largo del límite de estabilidad. Para la comparación, se utilizan nodalizaciones
fijas con estos dos valores extremos, cuyos resultados se muestran en la Figura VI.3.
Lo primero que se observa en las nodalizaciones fijas, en relación a la adaptiva,
es una ampliación de la zona estable, lo cual responde a la mayor difusión numérica que
existe en este caso; esto es más visible en la zona de inestabilidades de tipo-II. Este
efecto se reduce al incrementar el número de nodos en el calefactor; sin embargo no es
posible aproximar el límite predicho por la nodalización adaptiva sin incrementar
también la nodalización en chimenea.
También se observan discontinuidades en el límite de estabilidad en el caso de
nodalizaciones fijas; éstas coinciden con el paso de λ de un nodo a otro. Cuando esto
sucede, se produce un cambio discreto en el tiempo de residencia del fluido en el
volumen donde se encuentra λ, lo que provoca un salto en la difusión numérica del
modelo en este volumen, resultando en la discontinuidad. Este efecto no aparece en la
nodalización adaptiva, y se reduce al incrementar el número de nodos en nodalizaciones
fijas.
A continuación se analiza el efecto de ∆t. En el caso de la nodalización adaptiva,
∆t se ajusta de acuerdo al criterio de Courant, variando entre 0.05 y 0.8 s a lo largo de la
frontera de estabilidad. La Figura VI.4 muestra una comparación de este límite con el
obtenido en el caso de imponer ∆t = 0.01 s en todo el rango, utilizando la misma
nodalización espacial que se obtiene de acuerdo al esquema de nodalización adaptiva.
Como se explica en la sección II.2.4, el error de la discretización espacial tiende
a cancelarse con el de la integración temporal cuando ∆t cumple con el criterio de
Courant en todos los nodos. Al reducir ∆t se reduce el error de integración temporal,
quedando solamente el atribuible a la discretización espacial; ésta tiende a difundir los
frentes
5
4
Nsub
3
2
Nch=10
1
0
0
1
2
3
NN: adaptivo
NN: 9
NN: 24
Modelo analítico
4
5
6
7
8
NZu
Figura VI.3: Comparación de las predicciones del los límites de estabilidad utilizando
nodalizaciones fijas frente a una adaptiva.
97
Análisis de convergencia
4
Nsub
3
2
1
Nch=10, NN: adaptivo
∆t según Courant
∆t = 0.01 s
Modelo analítico
0
0
1
2
3
4
5
6
7
NZu
Figura VI.4: Análisis de convergencia del modelo numérico al variar el paso de tiempo,
utilizando el esquema de nodalización adaptiva
frentes de entalpía, estabilizando el sistema. También se observa, como el caso de las
nodalizaciones fijas, discontinuidades que coinciden con el paso de λ de un nodo a otro,
lo que provoca saltos discretos en la difusión numérica del modelo, asociado con el
esquema up-wind.
1.3
Caso de aplicación
En esta sección, se toma como base para el análisis de convergencia el caso
mostrado en la sección IV.6; esto es, se modela el primario del reactor sin tener en
cuenta las realimentaciones de presión.
El efecto de la nodalización puede observarse en la difusión de pequeñas
perturbaciones a lo largo del circuito. En el caso que aquí se trata, las variaciones de
caudal producen dos tipos de perturbaciones:
- A la salida del núcleo, que se propagarán a lo largo de la chimenea. Estas
perturbaciones se producen en la zona de doble fase, y son causante de las
inestabilidades del sistema.
- Por otra parte, las perturbaciones a la salida de los generadores de vapor (en el
lado primario) que se propagarán a lo largo del downcomer. Estas perturbaciones se
producen en la zona de simple fase, y como se explica en la sección IV.6, son
dominantes solamente en las regiones más estables.
La Figura VI.5 muestra el mapa de estabilidad cuando no se modelan las
propagaciones de las perturbaciones en las zonas de los GV y downcomer, utilizando la
misma nodalización para la rama caliente. Esto resulta en una condición de temperatura
constante a la entrada de núcleo. Como puede observarse, el mapa es similar al
mostrado en la Figura IV.11, mostrando algunas diferencias en la región más estable
(bajo
98
Análisis de convergencia
5.00
4.50
Potencia de condensación [MW]
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de núcleo [MW]
Figura VI.5: Mapa de estabilidad obtenido sin modelar las perturbaciones en la rama
fría.
(bajo QN, alto QV) debido a que en esa región los modos de oscilación dominantes son
los atribuibles a las propagaciones de perturbaciones en la rama fría. Sin embargo, en
las regiones más inestables el factor de amplificación es similar, dado que la dinámica
de la región de doble fase es dominante en esas condiciones. Es por esto que la
predicción del límite de estabilidad es aproximadamente independiente de la
nodalización de la rama fría, dada una fuerte dependencia de la nodalización de la rama
caliente.
Por lo explicado arriba, se adopta la condición de temperatura constante a la
entrada de núcleo para el análisis de convergencia de la nodalización adaptiva,
analizando especialmente el paso de tiempo empleado y las nodalizaciones de núcleo y
chimenea.
La Figura VI.6 muestra el factor de amplificación a medida que se aumenta QV
manteniendo QN constante, fijándolo en 100 MW. Se muestran las curvas obtenidas
manteniendo el paso de tiempo y nodalización de chimenea, variando el número de
pasos intermedios implementados en el núcleo, lo que equivale a distintas
nodalizaciones en esta zona. Puede observarse que no existen diferencias mientras la
frontera de ebullición se encuentra en la chimenea. Cuando ésta pasa al núcleo, se
observan discontinuidades cuando la frontera pasa de un nodo a otro. Estas se hacen
más visibles en parte porque en este rango los períodos de las oscilaciones son
comparables a los tiempos característicos de núcleo; los cambios en la potencia afectan
de distinta forma según el tamaño, ubicación y potencia que recibe el volumen que
contiene la frontera de ebullición. La Figura VI.7 muestra el mapa de estabilidad
obtenido según la nodalización adaptiva sin introducir pasos intermedios, donde este
problema
99
Análisis de convergencia
0.03
Nch=40
NIT=5
NIT=3
NIT=2
NIT=1
a
0.00
-0.03
-0.06
0
2
4
QV[MW]
Figura VI.6: Factor de amplificación como función de QV, para distintos pasos
intermedios en el núcleo.
5.00
4.50
Potencia de condensación [MW]
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
Potencia de núcleo [MW]
Figura VI.7: Mapa de estabilidad obtenido sin introducir pasos intermedios en el núcleo.
100
Análisis de convergencia
problema se hace evidente, observándose un “escalón” causado por este fenómeno.
Estas discontinuidades disminuyen al incrementar la nodalización de núcleo, por medio
de la incorporación de pasos intermedios, haciéndose casi imperceptibles para NIT = 5,
que es el valor finalmente adoptado.
A continuación, se analiza el efecto de la nodalización en chimenea, de acuerdo
al criterio de la nodalización adaptiva. El número de nodos en el núcleo se mantiene
aproximadamente constante introduciéndose pasos intermedios en esta zona. En el
análisis se comparan tres casos:
CASO A:
Se utiliza un esquema totalmente explícito. Esto es, se utiliza ρjn en lugar de
(n+1)+
ρj
en el término de fuerza boyante de la ecuación de momento (ecuación II.52), y
Tcjn en lugar de Tcj(n+1)+ en la ecuación de temperatura de combustible (ecuación II.49 y
II.51).
En la Figura VI.8 se observan los mapas de estabilidad para distintos pasos de
tiempo empleados, utilizando un esquema totalmente explícito. Puede observarse que la
zona de flashing permanece invariante en todas las nodalizaciones, no así la zona que
corresponde a la frontera de ebullición dentro del núcleo, que es relativamente más
sensible a errores numéricos. De la misma manera que lo observado en la sección
VI.1.2, se puede notar que la convergencia se produce desde la zona estable (haciéndose
el sistema más estable al reducir el paso de tiempo); es decir un comportamiento inverso
al esperable desde el punto de vista de la difusión espacial. Como ya se observó
oportunamente, una de las posibles causas es la integración explícita de las ecuaciones
dependientes sólo del tiempo.
CASO B:
Se integra la ecuación de momento implícita (o “pseudo-implícita”), de acuerdo
a la ecuación II.52, manteniendo la temperatura de combustible en forma explícita. Es
decir, se utiliza el mismo esquema explicado para la Figura VI.2-b. Los mapas
mostrados en la Figura VI.8 muestran la convergencia en este caso, observándose una
mejora en relación al caso totalmente explícito, pero conservando la tendencia a la
convergencia desde la zona estable
CASO C:
Se ensaya la alternativa del esquema “pseudo-implícito” también a la integración
de las temperaturas de combustibles, resultando en el esquema que se muestra en la
sección II.2.1. Es decir, se incorporan las ecuaciones de temperatura de combustible al
esquema de convergencia.
La convergencia en este caso se muestra en la Figura VI.8; se observa una
notable mejora en relación a los casos totalmente explícitos y ecuación de momento
implícita.
La comparación de los tres casos puede observarse mejor en la Figura VI.9; allí
se observa el factor de amplificación para QN = 110 MW, QV = 2.85 MW, tomado como
“testigo” en la zona donde la ebullición ocurre en el núcleo, como función del paso
temporal empleado en cada caso.
Se observa, en primer lugar, que los tres casos convergen al mismo punto cuando
el paso de tiempo se reduce. El caso B converge más rápidamente que el totalmente
101
Análisis de convergencia
explícito, como ya se había observado en la sección VI.1.2. Sin embargo, el tercer caso
es el que mejor convergencia presenta de los tres, resultando prácticamente convergido
aún para los pasos de tiempo más grandes. El caso C es el esquema finalmente adoptado
en todos los cálculos de aplicación mostrados en este trabajo, a excepción de los que se
enuncian explícitamente.
NCH=40, IT=5
Potencia de condensación [MW]
NCH=20, IT=10
NCH=80, IT=2
5.00
5.00
5.00
4.00
4.00
4.00
3.00
3.00
3.00
2.00
2.00
2.00
1.00
1.00
1.00
50.00
100.00
150.00
200.00
50.00
100.00
150.00
200.00
50.00
100.00
150.00
200.00
50.00
100.00
150.00
200.00
50.00
100.00
150.00
200.00
CASO A
5.00
5.00
5.00
4.00
4.00
4.00
3.00
3.00
3.00
2.00
2.00
2.00
1.00
1.00
1.00
50.00
100.00
150.00
200.00
50.00
100.00
150.00
200.00
CASO B
5.00
5.00
5.00
4.00
4.00
4.00
3.00
3.00
3.00
2.00
2.00
2.00
1.00
1.00
1.00
50.00
100.00
150.00
200.00
Potencia de núcleo [MW]
-0.20 -0.16 -0.12 -0.08 -0.04 -0.00 0.04
50.00
100.00
150.00
200.00
CASO C
0.08
0.12
Figura VI.8: Análisis de convergencia de los casos A, B y C para 20, 40 y 80 nodos en
chimenea utilizando 10, 5 y 2 pasos intermedios en el núcleo respectivamente, de
manera de conservar aproximadamente el número de nodos en el núcleo.
102
Análisis de convergencia
0.04
Caso A
Caso B
Caso C
Factor de amplificación
0.02
0.00
-0.02
-0.04
-0.06
QN = 110 MW, QV = 2.85 MW
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
∆T(s)
Figura VI.9: Análisis de convergencia de los casos A, B y C.
2. Convergencia del modelo no lineal
En esta sección, se analiza la convergencia del sistema para la predicción de
situaciones inestables. En este caso, interesa particularmente la correcta predicción de
orbitas límite y la amplitud final de la oscilación. Para esto, se analizan las evoluciones
temporales en el punto de interés, analizando también la influencia de la realimentación
neutrónica, tomando como base para el análisis los casos mostrados en las Secciones
IV.5 y IV.6; esto es, se modela el primario del reactor sin tener en cuenta las
realimentaciones de presión.
Como se observó oportunamente en la sección VI.1.3, las variaciones de caudal
producen dos tipos de perturbaciones: a la salida de núcleo, que son dominantes en la
mayoría de las situaciones inestables, y a la salida de los GV.
El efecto de las perturbaciones en los GV puede analizarse a partir de la Figura
VI.10, que muestra, para los casos Rρ = 0 y Rρ = Rρ0, las órbitas límite en el punto de
interés (QN = 100 MW, QV = 0.5 MW), conservando la misma nodalización en la rama
caliente (40 nodos en chimenea). Se utilizan tres opciones en la rama fría: el criterio de
nodalización adaptiva (de 57 nodos en el downcomer), una nodalización gruesa de 2
nodos en downcomer, y la condición de temperatura constante a la entrada de núcleo.
En todos los casos, el paso de tiempo se calcula en cada paso de manera de alcanzar
siempre el límite de Courant en el nodo que presenta menor tiempo de residencia de
perturbaciones. Puede observarse que no existe prácticamente diferencia para las
diferentes nodalizaciones de la rama fría; por otra parte, la órbita correspondiente a la
condición de temperatura constante aparece desfasada respecto de las otras, aunque la
amplitud de la oscilación no se ve mayormente afectada.
103
Análisis de convergencia
0.10
Rρ=0
0.09
NDC=57
NDC=2
TINUC=CTE
0.08
0.07
xch_s (%)
0.06
0
Rρ=Rρ
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
xch_e (%)
Figura VI.10: Análisis paramétrico de las órbitas límite según la nodalización de la
rama fría: nodalización adaptiva, nodalización gruesa y condición de temperatura
constante a la entrada de núcleo.
De la comparación de las dos nodalizaciones de rama fría se deduce que, como
ya se había visto oportunamente en el capítulo IV, las perturbaciones en la rama fría
afectan muy poco el mecanismo de las oscilaciones. Sin embargo, si bien la
propagación de perturbaciones no es importante durante la oscilación, el valor medio de
la temperatura en el downcomer cambia ligeramente. Esta tendencia se conserva aún en
las nodalizaciones más gruesas, causando la “deriva” respecto del caso de considerar
una temperatura de entrada de núcleo constante.
El efecto de las diferentes nodalizaciones en rama caliente puede observarse en
la Figura VI.11. Allí se muestran las órbitas límite para tres casos, según se considere o
no realimentación neutrónica: Rρ = 0, Rρ0 y Rρ = Rρ0/2. En los tres casos se utilizan 20,
40 y 80 nodos en chimenea, conservando aproximadamente el número de nodos en el
núcleo por medio de pasos intermedios. Puede observarse que, independiente de la
nodalización utilizada, se mantiene la tendencia de órbitas límite menores cuando se
incrementa la realimentación neutrónica. Por otra parte, estas últimas presentan una
mayor dispersión con las diferentes nodalizaciones. Esto se debe a que, cuando la
realimentación neutrónica es débil, la amplitud de la oscilación está más fuertemente
determinada por efectos no lineales que aparecen solamente a partir de una determinada
amplitud de oscilación, como es el cruce de λ con los límites de chimenea o la aparición
de más de un λ, efectos relacionados con el fenómeno de flashing. Estos fenómenos son
dominantes y relegan a un segundo plano las diferencias entre las soluciones numéricas
de las diferentes nodalizaciones.
104
Análisis de convergencia
0.10
Rρ=0
0
Rρ=Rρ /2
0.09
0.08
80
0.07
40
xch_s (%)
0.06
80
40 20
0
Rρ=Rρ
80
40 20
20
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
xch_e (%)
Figura VI.11: Efecto de la nodalización de la chimenea en las órbitas límite, según el
coeficiente Rρ
La realimentación neutrónica, como se observó en las secciones IV.6 y V.2,
introduce además un efecto contrapuesto a las tendencias puramente termohidráulicas,
que acota las variaciones de títulos respecto del caso sin cinética. Este efecto, a
diferencia de los efectos introducidos por el flashing, se da aún para desviaciones muy
pequeñas. Luego, pierde importancia relativa la existencia de un límite de oscilaciones
bien definido por la aparición de nuevos fenómenos físicos, y las diferencias
relacionadas a factores numéricos se hace más evidente.
Otro efecto que interesa analizar es el de la variación de los pasos intermedios
(NIT) en el núcleo. Esto se muestra en la Figura VI.12, donde se comparan las órbitas
límite para NIT = 1 y 5, analizando los casos de incluir o no realimentación neutrónica.
Puede observarse, en ambos casos, una muy baja sensibilidad de la nodalización de
núcleo, ya que las órbitas están prácticamente superpuestas. Esto responde a que la
órbita límite está determinada esencialmente por el movimiento de λ en la chimena.
La Figura VI.13 muestra la amplitud de las oscilaciones de caudal como función
del paso de tiempo obtenido en diferentes nodalizaciones, para los casos con y sin
realimentación neutrónica (Rρ = Rρ0 y 0, respectivamente). El caso Rρ = 0 presenta
menores variaciones relativas. En ambos casos se observa una dependencia
aproximadamente lineal respecto del paso de tiempo. Para evaluar la desviación de la
amplitud de oscilación, es necesario contar con un valor de referencia que pueda ser
evaluado como la mejor aproximación. En este caso, esto se verificaría para ∆t → 0, lo
que equivaldría a una nodalización con un número infinito de nodos. Como una
estimación de este valor, se toma una extrapolación a partir de una interpolación lineal
de los primero cuatro puntos.
105
Análisis de convergencia
0.10
Rρ=0
0.09
NIT=1
NIT=5
0.08
0.07
xch_s (%)
0.06
0
Rρ=Rρ
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
xch_e (%)
Figura VI.12: Análisis paramétrico de la utilización de pasos intermedios en el núcleo:
NIT=1 y 5, con y sin realimenteación neutrónica.
0.0060
Rρ=0
0.0055
0.0050
Amplitud
0.0045
0.0040
Valor extrapolado
0.0035
0.0030
0.0025
0.0020
0.0015
0.0
0
Rρ=Rρ
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
∆t (s)
Figura VI.13: Amplitud de las oscilaciones de caudal según el paso de tiempo de las
nodalizaciones utilizadas.
106
Análisis de convergencia
20
Resulta interesante observar la desviación de cada nodalización respecto de este
valor extrapolado, lo cual se muestra en la Figura VI.14. Como era de esperar, el caso
con realimentación neutrónica es el que presenta la mayor desviación, y es el que se
toma para el análisis de convergencia. El criterio adoptado para la nodalización a
utilizar es que ésta presente, para este caso, una desviación de menos del 10 % respecto
del valor extrapolado para ∆t → 0. De aquí surge la nodalización finalmente adoptada
para el análisis no lineal, de 80 nodos en chimenea.
0.45
0.40
0.35
0
Rρ=Rρ
30
40
0.25
0.20
50
Desviación
0.30
0.15
0.05
0.00
0.0
80
Rρ=0
200
0.10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
∆t (s)
Figura VI.14: Desviación de la amplitud de la oscilación de caudal respecto del valor
extrapolado para ∆t → 0.
107
CAPITULO VII
Comportamiento de la Auto-Presurización
Comportamiento de la auto-presurización
1.
Introducción
En reactores auto-presurizados, el control de la presión se realiza mediante
desbalances de potencias generada y removida. El concepto de auto-presurización
implica que no hay componentes activos para el control de la presión. Por lo tanto, la
evolución de presión estará regida por la dinámica intrínseca del domo de vapor,
tomando especial importancia los intercambios de calor y masa entre fases y estructuras.
Se espera que el vapor condense en las superficies de las estructuras más frías:
éstas son el recipiente de presión, debido a las pérdidas de calor hacia la contención, y
los Mecanismos de las Barras de Control (MBC) dado que éstos se alimentan con agua
subenfriada. Esta condensación se compensa con generación de vapor, estado
estacionario.
El modelado de estos fenómenos es entonces importante para determinar el
estado operativo del reactor, lo que influirá en su respuesta ante transitorios. Sin
embargo, el domo del reactor es un volumen relativamente grande, donde los
movimientos del fluido no están claramente predefinidos. Esto ocasiona inconvenientes
cuando se utilizan códigos 1-D, ya que fueron desarrollados para reproducir situaciones
donde los caminos del flujo están predeterminados.
En este capítulo, se pone especial atención en este componente, y se consideran
distintas aproximaciones para su modelado. Se utiliza el código RELAP (Innovative
Systems Software, 1995), que es un código de detalle especialmente desarollado para la
simulación transitorios accidentales en reactores tipo PWR, y fue utilizado para la
simulación de accidentes y diseño de sistemas de seguridad en CAREM. Éste se
compara con HUARPE, desarrollado en este trabajo.
2. Nodalización RELAP
Para el modelado del domo, se proponen dos alternativas, que se muestran en la
Figura VII.1:
- Nod-1: Un único volumen hidráulico.
- Nod-2: Domo discretizado.
El caso denominado Nod-1 equivale a modelar propiedades promediadas en las
zonas de líquido y vapor, lo cual es una buena aproximación cuando el mezclado es
muy eficiente. Esto se realizó originalmente en el código RELAP y fue la hipótesis bajo
la cual se desarrolló el modelo de domo de HUARPE. Este volumen se conecta con el
resto del circuito como se muestra en la Figura VII.1. Además, esta nodalización tiene
la ventaja de presentar una gran flexibilidad, lo que es muy importante durante la etapa
de diseño conceptual del reactor para ser fácilmente adaptada de acuerdo a la evolución
del diseño, ya que en las etapas tempranas no está definida la geometría en detalle tanto
del domo como de los sistemas allí alojados.
Sin embargo, en el caso particular de RELAP, la nodalización con un gran
volumen en el domo presenta algunos problemas en los modelos, los cuales se harán
evidentes en las secciones siguientes. Para evitar estos problemas, es necesario
discretizar el domo con mayor cantidad de nodos. En caso de nodalizar verticalmente,
se produce una estratificación –ficticia– entre los volúmenes superiores e inferiores, ya
que no se permite una circulación natural entre los mismos. En su lugar, se buscó
109
Comportamiento de la auto-presurización
entonces aproximar con criterios de ingeniería estos circuitos macroscópicos 3-D del
fluido. El vapor tiende a moverse hacia arriba en los espacios lejos de las estructuras
más frías, y hacia abajo cerca de ellas mientras condensa. En base a esto, la
nodalización resultante es la denominada Nod-2, que se muestra en la Figura VII.1,
donde los volúmenes se discretizan en el sentido de la circulación que se mencionó. Por
ejemplo, los volúmenes 312 a 318 representan los espacios internos dentro del barrel,
que no están en contacto con las estructuras de los MBC; los volúmenes 324
representan el espacio cerca de las paredes de los MBC. El mismo criterio se aplica en
el espacio exterior al barrel y la zona superior, que están en contacto con el recipiente de
presión. Los volúmenes 314 y 360 están conectados a través de una unión que
representa los agujeros en el barrel.
La nodalización del domo se une al resto del circuito primario obteniendo una
una nodalización completa, de acuerdo al esquema que se muestra en la Figura II.3.
Figura VII.1: Esquema de las nodalizaciones propuestas para el domo (nod-1 y 2,
respectivamente).
3. Descripción del transitorio a simular
Para analizar la influencia del domo en la dinámica de sistema, se simula una
reducción parcial en la potencia removida por los GV. Con el fin de realizar el análisis
del comportamiento intrínseco del reactor, los sistemas de control y seguridad no están
incluidos. Con el objeto de obtener resultados comparativos, se procura introducir el
mismo desbalance de energía en todas las simulaciones. Por esta razón, no se modela el
acople neutrónico. Se modela la potencia transferida al refrigerante en el núcleo y en los
GV como condición de contorno. En RELAP5, esto se implementa por medio de una
estructura “ficticia” con una capacidad térmica muy reducida. La condición inicial es un
110
Comportamiento de la auto-presurización
estado estacionario al 100% de plena potencia, luego la potencia removida por los GV
es reducida al 10% en una rampa 40 s (ver Figura VII.2). La misma rampa se aplica al
núcleo, con un retardo de 20 s.
Como consecuencia de este desbalance, el primer efecto que ocurrirá es el
aumento de la temperatura del refrigerante a la salida del GV. El caudal comenzará a
decrecer debido a la pérdida de fuerza boyante. Al mismo tiempo, el refrigerante se
expandirá en el downcomer y la presión del sistema aumentará. La evolución de la
presión estará gobernada por el domo de vapor, y será el principal parámetro a analizar
en este capítulo. Interesará especialmente evaluar si es posible llegar a un punto donde
las condensaciones en domo y la ebullición estén compensadas, en un tiempo razonable.
Esto permitirá la posibilidad de control de la presión mediante desbalances de potencias
entre el núcleo y los generadores de vapor.
Pueden tomarse como referencia dos casos extremos posibles: equilibrio
termodinámico perfecto, y completo desacople entre el agua y el vapor en el domo.
Cuando existe un sumidero de calor significativo en la zona de vapor, el proceso de
condensación acerca ambas fases al equilibrio térmico, lo cual se aproxima al primer
caso. En el CAREM, esto se logra parcialmente por las pérdidas de calor a través de los
MBC y las paredes del recipiente de presión. El segundo caso resulta cuando no existe
transferencia de calor entre fases, y la consecuencia es una compresión adiabática del
vapor.
100
GV
Núcleo
Potencia [MW]
80
60
40
20
0
0
20
40
60
Tiempo
Figura VII.2: Evolución de las potencies de núcleo y GV
4. Casos de estudio
A fin de analizar el efecto de diferentes factores en el comportamiento dinámico
del reactor durante el transitorio de presurización, se realiza un estudio paramétrico. Los
factores más importantes a ser estudiados son las estructuras en el domo, el sumidero de
calor en la zona de vapor y la generación de vacío subenfriado en el núcleo.
Debido a la complejidad del sistema y para lograr un mejor discernimiento de los
diversos factores, el análisis se realiza por “casos”, incrementando la complejidad en
forma gradual. Los resultados obtenidos con ambas nodalizaciones propuestas para
111
Comportamiento de la auto-presurización
RELAP5 se estudian en cada caso, comparándolos a su vez con los de HUARPE, y se
analizan las aproximaciones de cada modelo.
Caso 1: Caso Base
En este caso, se modela el domo sin estructura alguna ni sumidero de calor en su
interior. En RELAP, la ebullición subenfriada se inhibe incrementando ficticiamente el
área de transferencia en el núcleo a valores tales que el flujo de calor resultante sea
suficientemente bajo como para evitar el ONB (Onset of Nucleate Boiling).
Caso 2: Estructuras
Las estructuras del domo se agregan al caso base (Caso 1) para estudiar su
impacto en la evolución de la presión. Durante el transitorio de presurización, el vapor
es sobrecalentado al ser comprimido, a la vez que aumenta la temperatura de saturación.
Es de esperar que esto incremente la transferencia con estructuras.
Caso 3: Sumidero de calor
En este caso, se modela en ambos códigos un sumidero de calor en el domo para
representar la remoción de calor por los MBC y por fugas térmicas a través de las
paredes del recipiente. Éste se incluye en el lado externo de las respectivas estructuras,
con un coeficiente de transferencia de calor y temperatura externa fijados como
condición de contorno.
Caso 4: Vacío subenfriado
La cantidad de vapor en la chimenea se incrementa por la producción de vacío
subenfriado en el núcleo. La presencia de burbujas en el primario afecta la evolución de
la presión del sistema.
La generación de vacío subenfriado se produce, en RELAP, reduciendo el área
de transferencia en el núcleo a valores que aproximan los de diseño del CAREM-25. El
modelo HUARPE no incluye un modelo de vacío subenfriado, por lo que no se incluye
en este caso.
5. Resultados
5.1
Caso Base
En este caso, el único modo de transferencia de masa entre fases es a través de la
interfase líquido/vapor. En el caso de que el líquido se encuentre subenfriado y el vapor
saturado, la condensación se produce por contacto directo del líquido y vapor en la
interfase. El caudal de condensación puede escribirse de la siguiente manera:
Wc =
H ift ∆Tsf
(VII.1)
h fg
donde:
∆Tsf = Tsat − Tl ; H ift = hift Aif
112
(VII.2)
Comportamiento de la auto-presurización
En la ecuación (VII.2) el subíndice if indica la interfase, la cual debido a la
estratificación se reduce al área transversal del domo. En superficies horizontales, como
es el caso, la fuerza boyante es exclusivamente normal a la superficie, y la transferencia
sólo puede establecerse por ciclos de flujos ascendentes y descendentes que maximicen
la transferencia. En este caso, se espera que luego de un transitorio de presurización, la
superficie líquida permanezca más fría que el vapor. La tendencia del fluido a ascender
y descender es impedida por la misma superficie, estratificando el fluido. Esto causa un
estancamiento que resulta en un coeficiente de transferencia bajo.
En el caso de RELAP se utiliza para Hif la correlación de McAdams para flujos
laminares en superficies frías enfrentadas hacia arriba:
H ift = 0.27(Gr Pr )
0.25
k f Per
(VII.3)
Donde
Gr =
gβρ 2f D 3 (T f − Ts )
µ
2
f
; Pr =
µ f Cp f
kf
(VII.4)
β es el coeficiente de expansión térmica, µ la viscosidad. Esta correlación está
recomendada para Gr laminares en el rango 3*105 a 3*1010; tomando valores típicos
para el caso del domo de vapor en condición nominal, puede verse que:
Gr ~ 7*1013(Ts-Tf)
(VII.5)
Es decir que esta correlación se encuentra fuera de rango para subenfriamientos
típicos en esta configuración (∆T ~ 1oC); sin embargo, esta correlación es igualmente
utilizada debido a la escasez de datos en el rango de turbulencia, en parte porque este
tipo de condensación suele ser muy pequeño en comparación con otros fenómenos
presentes, como la condensación en estructuras por ejemplo. En presurizadores
convencionales, la condensación en la interfase es despreciable frente a fenómenos
activos, como la condensación por duchas. En el caso de HUARPE, a fines
comparativos se utiliza la misma correlación.
Los resultados obtenidos con RELAP, utilizando ambas nodalizaciones (Nod-1 y
Nod-2), y HUARPE se comparan en la Figura VII.3 a la Figura VII.6. Como puede
observarse, la diferencia entre los tres es pequeña.
La presión aumenta (Figura VII.3), como consecuencia de la expansión del
refrigerante que causa un aumento en el nivel de mezcla en el domo (Figura VII.4). El
caudal disminuye debido a la pérdida en la fuerza boyante, Figura VII.5.
En este caso el sistema está casi totalmente desacoplado: el vapor en el domo se
sobre-calienta al ser comprimido como consecuencia de la expansión del fluido en el
dowcomer, a la vez que aumenta la temperatura de saturación dejando a la zona líquida
subenfriada. Luego esta condición permanece porque tanto el coeficiente de
transferencia de calor como el área de transferencia entre fases son muy pequeños, lo
que produce muy bajos caudales de condensación (Figura VII.6). Esto quiere decir que
no es posible disminuir la presión rápidamente enfriando la fase líquida, a partir de
desbalances entre el núcleo y los GV, por lo que la presión resultaría muy difícil de
controlar.
113
Comportamiento de la auto-presurización
15.0
14.5
Presión [MPa]
14.0
13.5
13.0
12.5
12.0
Relap nod-1
Relap nod-2
Huarpe
11.5
11.0
0
300
600
900
1200
1500
Tiempo [s]
Figura VII.3: Presión de domo, caso base
9.5
9.0
VM [kg]
8.5
8.0
7.5
Relap nod-1
Relap nod-2
Huarpe
7.0
6.5
0
300
600
900
1200
Tiempo [s]
Figura VII.4: Volumen de líquido en el domo, caso base
114
1500
Comportamiento de la auto-presurización
450
Relap nod-1
Relap nod-2
Huarpe
400
Caudal [kg/s]
350
300
250
200
150
100
0
300
600
900
1200
1500
Tiempo [s]
Figura VII.5: Caudal, caso base
Caudal de condensación [kg/s]
0.03
0.02
0.01
Relap nod-1
Relap nod-2
Huarpe
0.00
-0.01
0
300
600
900
1200
Tiempo [s]
Figura VII.6: Caudal de condensación, caso base
115
1500
Comportamiento de la auto-presurización
5.2
Estructuras
Al añadir estructuras, se suma un nuevo sumidero del vapor sobrecalentado.
Luego, este se enfría transfiriendo calor hacia las estructuras, por convección o
condensación.
Los resultados obtenidos se muestran en la Figura VII.7 a la Figura VII.9. La
máxima presión alcanzada es menor que en el caso base, debido a la capacidad térmica
de las estructuras que absorben calor del vapor sobrecalentado. Comparando los
resultados de RELAP con ambas nodalizaciones, el máximo de presión en Nod-1 es
ligeramente mayor que en Nod-2, dado que el coeficiente de transferencia de calor con
estructuras es menor. Esto es porque en la nodalización detallada se permite
movimiento de vapor, al contrario de la nodalización simplificada, donde el vapor
permanece estanco.
Luego de los primeros 80 s aproximadamente, esta situación se invierte: en
RELAP Nod-1, la presión decrece más rápidamente que RELAP Nod-2. También se
observa un mayor crecimiento en el nivel del domo (Figura VII.8), como consecuencia
de un mayor ritmo de condensación de vapor. Esto es porque el modelo de Relap
presenta algunas dificultades en seguir los movimientos de nivel si existe más de un
volumen en contacto con las caras superior ó inferior del volumen que contiene el nivel
de líquido. En el caso del domo, en Nod-1 el volumen de domo tiene dos uniones en la
cara inferior, correspondientes a la chimenea y entrada a los GV. Como consecuencia, el
modelo asume que toda la estructura del domo está en contacto con ambas fases, sin
existir una división entre estructuras en contacto con el vapor o con el líquido. La
estructura adquiere entonces una temperatura intermedia entre las de ambas fases.
Debido a que el líquido está a menor temperatura, se establece un flujo de calor desde la
estructura hacia la fase líquida, lo que causa que la estructura se enfríe más rápidamente,
bajando su temperatura por debajo de la temperatura de saturación. De la misma
manera,
15.0
Relap nod-1
Relap nod-2
Huarpe
14.5
Presión [MPa]
14.0
13.5
13.0
12.5
12.0
11.5
11.0
0
300
600
900
1200
Tiempo [s]
Figura VII.7: Presión, caso “estructuras”
116
1500
Comportamiento de la auto-presurización
9.5
9.0
3
VM [m ]
8.5
8.0
7.5
Relap nod-1
Relap nod-2
Huarpe
7.0
6.5
0
300
600
900
1200
1500
Tiempo [s]
Figura VII.8: Volumen de mezcla en domo, caso “estructuras”
450
Relap nod-1
Relap nod-2
Huarpe
400
Caudal [kg/s]
350
300
250
200
150
100
0
300
600
900
1200
Tiempo [s]
Figura VII.9: Caudal, caso “estructuras”
117
1500
Comportamiento de la auto-presurización
manera, se establece un flujo de calor desde el vapor hacia la estructura. Esto produce
un aumento en la condensación de vapor, lo cual puede observarse en el incremento de
VM en el largo plazo, Figura VII.8. En otras palabras, en esta nodalización simplificada
la estructura actúa como un by-pass térmico entre ambas fases, lo que causa que el
sistema alcance el equilibrio más rápidamente. Esto no sucede en la nodalización
detallada (Nod-2), donde ambas fases están en contacto con diferentes nodos de
estructura. Dado que RELAP no modela la conducción axial en estructuras, el sistema
permanece desacoplado.
En el modelo de HUARPE, tal como se explica en la sección II.1.2.2, se modela
el domo como dos nodos de frontera móvil, simulando el nivel de líquido, y la
estructura puede seguir los movimientos de esta frontera, por lo que el efecto de “bypass térmico” no se produce, y la pendiente de depresurización que se obtiene se
aproxima al caso de “RELAP Nod 2”.
No se observan diferencias en la evolución del caudal, Figura VII.9. La
diferencia entre los estados estacionarios inicial y final dependen de la energía total
transferida y acumulada en el sistema. Esto significa que el estado final no depende de
los ritmos de condensación y ebullición, por lo que las presiones deberían igualarse en
el largo plazo
5.3
Sumidero de calor
En este caso, se incluyen las fugas de calor al exterior, a través de las paredes del
recipiente y de los MBC. Esto produce condensación en las paredes más frías, lo que
causa, en estado estacionario, un flujo de vapor equivalente desde la zona líquida.
Luego, se genera fracción de vacío desde la zona superior de la chimenea hacia abajo,
hasta donde se alcanza el punto de saturación, debido al gradiente de presión por la
altura hidrostática.
En este caso, las evoluciones de la presión son más parecidas entre sí que en el
caso anterior, como se observa en la Figura VII.10.
Durante la presurización, el nivel de líquido se desplaza hacia arriba, Figura
VII.11. Se produce un primer quiebre a los 60s aproximadamente, que coincide con el
pico de presión. El nivel continúa aumentando debido a la condensación, hasta que se
produce ebullición debido a la depresurización, a los 300s aproximadamente. A partir de
este punto, la condensación se compensa con la ebullición, y la presión se estabiliza.
Debido a que la superficie de estructura expuesta al vapor disminuye, la fracción del
flujo de calor extraído del vapor disminuye en relación al líquido. En el caso “RELAP
Nod-1”, el modelo de coeficientes de condensación en estructuras produce oscilaciones
numéricas importantes, sobre todo en la potencia extraída en el domo (Figura VII.12).
De los resultados obtenidos se puede concluir que, como consecuencia del
sumidero de calor, se produce un buen acople de las zonas de vapor y líquido en el
domo de vapor. Esto hace que la presión sea controlable mediante desbalances térmicos
en el circuito. La similitud de los resultados obtenidos con los diferentes modelos se
explica porque ahora la evolución depende más de las fugas de calor impuestas por la
condición de contorno, haciéndose menos sensible a los modelos de transferencia. Esto
significa que al existir condensación de vapor, la evolución de la presión también se
hace más predecible con modelos simples.
118
Comportamiento de la auto-presurización
15
Relap nod-1
Relap nod-2
Huarpe
Presión [MPa]
14
13
12
11
0
300
600
900
1200
1500
Tiempo [s]
Figura VII.10: Presión, caso “sumidero de calor”
9.5
9.0
VM [kg]
8.5
8.0
7.5
Relap nod-1
Relap nod-2
Huarpe
7.0
6.5
0
300
600
900
1200
1500
Tiempo [s]
Figura VII.11: Volumen de mezcla en domo, caso “sumidero de calor”
119
Comportamiento de la auto-presurización
0.5
Potencia [MW]
0.0
-0.5
-1.0
Relap nod-1
Relap nod-2
Huarpe
-1.5
-2.0
0
300
600
900
1200
1500
Tiempo [s]
Figura VII.12: Potencia de condensación, caso “sumidero de calor”
5.4
Ebullición subenfriada
En este caso se estudia el efecto de la ebullición subenfriada. La existencia de
vacío en condiciones subenfriadas en la chimenea depende de dos factores: la
generación de burbujas en el núcleo, y la condensación de las mismas en el seno del
líquido subenfriado, mientras se desplazan en la chimenea.
En RELAP, las condiciones necesarias para la generación se predicen mediante
el método de Saha-Zuber (Lahey R.T., Moody F.J., 1977). Éste establece dos
condiciones básicas:
− La temperatura de pared debe ser mayor que la temperatura de saturación del fluido.
− La entalpía del líquido deberá ser mayor que una “entalpía crítica” hc, que responde
al siguiente modelo, según sean caudales altos o bajos respectivamente:
∆h c = h f − h c =
=
St ' Cp f
(Pe > 70000)
0.0065
Nu ' Cp f
(VII.6)
(Pe ≤ 70000)
455
donde Pe es el número de Pecklet, Cpf es el calor específico del líquido, Nu’ y
St’ se definen como:
Nu ' =
q" f Dh
kf
;
St ' =
120
Nu '
Pe
(VII.7)
Comportamiento de la auto-presurización
donde Dh es el diámetro hidráulico, kf es la conductividad del líquido.
Considerando geometrías y propiedades de saturación constantes:
QN
W
~ QN
∆T c ~
(Pe > 70000)
(VII.8)
(Pe ≤ 70000)
Al incrementar la potencia, ∆hc se incrementa en ambos casos, ya que en
convección natural el caudal es aproximadamente proporcional a la raíz cúbica de la
potencia de núcleo. La transición entre ambas correlaciones se da para un caudal de 320
kg/s aproximadamente. La temperatura de pared, que hace a la primera condición,
también se incrementa. En ambos casos la tendencia es a incrementar la ebullición
subenfriada con la potencia.
Ahora bien, la presencia de vacío subenfriado en el núcleo cambia el estado
estacionario, ya que este puede exceder la capacidad de condensación en la zona de
vapor del domo. Por lo tanto, la cantidad de vacío subenfriado en la chimenea también
depende de la capacidad de condensación de burbujas en el seno del líquido subenfriado
a medida que éstas se desplazan en esta región.
Esta condensación depende a su vez de dos factores: del coeficiente interfacial de
calor entre fases, y del mezclado de las burbujas dentro del líquido cuando éstas se
mueven a lo largo de la chimenea. Este último fenómeno depende fuertemente de
efectos tridimensionales, ya que la distribución radial de potencia en el núcleo no es
uniforme, existiendo zonas calientes con mayor fracción de vacío. Es posible que allí se
genere vapor en condiciones de saturación. Luego, el mezclado en la chimenea depende
fuertemente de cómo se distribuyen radialmente las burbujas generadas con el líquido
subenfriado proveniente de las zonas más frías. Al momento de realizar este trabajo, es
claro que no existen códigos con suficiente madurez para predecir este fenómeno
(IAEA-TECDOC-1379, 2003). A esto se suma el hecho de que la posición de las zonas
calientes cambia con el quemado. En esta sección, se realiza un análisis utilizando el
código RELAP, lo cual equivale a una aproximación unidimensional del problema y
podría interpretarse como un mezclado perfecto en el sentido perpendicular al que se
nodaliza. El modelo HUARPE no incluye un modelo de vacío subenfriado, por lo que
no se presenta en esta sección.
La transferencia de masa por condensación en la interfase líquido/vapor responde
a la ecuación (VII.1), donde ahora la transferencia se produce en la interfase de las
burbujas. En el caso de RELAP, se utiliza para este caso el coeficiente de condensación
dada por Ünal H.C., 1975:
hift =
Cφh fg d
2(1 ρ v − 1 ρ l )
(VII.9)
donde φ es función de la velocidad del fluido, C es función de la presión, d es el
diámetro de burbujas.
Ahora bien, estos coeficientes fueron derivados indirectamente a partir del ajuste
de un modelo de principios básicos, sobre experimentos donde se pretendía determinar
tasas de crecimiento y tamaños máximos en las burbujas que se encuentran adheridas a
calefactores. En estos casos el factor más importante es la tasa de generación de calor, el
efecto de la condensación muchas veces suele ser despreciable. Esto es bien distinto al
121
Comportamiento de la auto-presurización
caso de burbujas totalmente inmersas en el líquido y sin flujos de calor externos, como
es el caso que se trata. Por lo tanto, la correlación se encuentra fuera de rango más allá
de la región del núcleo, dejando de ser válida para la zona de la chimenea, donde las
predicciones sobre la fracción de vacío podrían estar lejos de la realidad en valores
absolutos, aún sin referir la aproximación de flujo unidimensional. Por esto y por lo
mencionado más arriba, los resultados que se obtengan sólo pueden servir como
indicadores de tendencias.
En estado estacionario, la cantidad de vapor que llega a la zona de vapor del
domo está fijada por la capacidad de condensación en estructuras. El perfil de fracción
de vacío en chimenea depende del ritmo de condensación de las burbujas en el líquido
subenfriado.
La ebullición subenfriada en el núcleo puede interpretarse, en cierta forma, como
una reducción en la entalpía de saturación, relacionada con hc. Dado que hc está fijada
por la potencia y el caudal, de acuerdo a la ecuación (VII.1), la entalpía de líquido en el
núcleo quedará fijada por la demanda de generación de vacío, impuestas por los ritmos
de condensación en chimenea y domo. Esto afecta la entalpía de líquido en chimenea y
también la de entrada a los GV, siempre que no se llegue antes a saturación, afectando
por consiguiente la entalpía de entrada de núcleo. De esta forma, la entalpía de líquido
en el núcleo será tanto más baja cuanto menor sea la condensación, de manera de
reducir la generación de vacío. Como contrapartida, esto también aumenta la
condensación en chimenea, dado que se incrementa ∆Tsf, ecuación (VII.1). Luego, la
temperatura de líquido resulta de un compromiso entre generación de vacío y capacidad
de condensación.
Ambas nodalizaciones predicen diferentes fracciones de vacío, por lo que
también son diferentes los caudales de primario en el estado estacionario. Con fines
comparativos, en esta sección se ajusta el factor de fricción a la entrada de núcleo de
manera de obtener iguales caudales de primario en los estados iniciales.
En Nod-1, la tasa de condensación de burbujas en el domo es mayor que en Nod2, por dos razones. Por un lado, en Nod-2, el líquido que se encuentra encima de los
volúmenes 306 y 356 (Figura VII.1) no puede recircular, por lo que se encuentra
estratificado y muy cerca de la saturación. En estos volúmenes no hay una condensación
importante porque ∆Tsf es despreciable, ecuación (VII.1). En Nod-1, ocurre un
mezclado instantáneo en toda la zona de mezcla del domo, y al no existir zonas
estratificadas todo el líquido participa en el proceso de condensación.
Por otra parte, el código utiliza un único Htif en todo el volumen, incluida la zona
de vapor. Cuando ingresan burbujas desde la chimenea, el código promedia los
regímenes de estratificación vertical y de burbujas, resultando en un coeficiente
excesivamente grande, que incrementa también la condensación de la zona de vapor.
En el caso de Nod-1, donde existe una mayor capacidad de condensación, se
establece un subenfriamiento de cerca de 7 ºC a la salida del núcleo, mientras que en
Nod-2 se reduce a 4 ºC (Figura VII.13).
Durante el transitorio, cuando la presión aumenta (Figura VII.14) el primer
efecto que tiene lugar es el incremento de Tsat y ∆Tsf, por lo que Wc tiende a aumentar de
acuerdo a la ecuación (VII.1). El efecto que produce el aumento de ∆Tsf en Wc es mayor
para mayores Htif. En Nod-2, el Htif promedio en el domo es pequeño en relación a Nod1, observándose un pico de presión similar al caso sin generación de vacío (Figura
VII.10). En
122
Comportamiento de la auto-presurización
608
Relap nod-1
Saturación
Líquido
Temperatura [K]
600
592
584
0
300
600
900
1200
1500
Tiempo [s]
a)
608
Relap nod-2
Saturación
Líquido
Temperatura [K]
600
592
584
0
300
600
900
1200
1500
Tiempo [s]
b)
Figura VII.13: Temperaturas de salida de núcleo y saturación, caso “ebullición
subenfriada”
123
Comportamiento de la auto-presurización
15.0
RELAP nod-1
RELAP nod-2
14.5
Presión [Mpa]
14.0
13.5
13.0
12.5
12.0
11.5
0
300
600
900
1200
1500
Tiempo [s]
Figura VII.14: Presión, caso “ebullición subenfriada”
En Nod-1, el incremento de Wc con la presión es mayor, y el aumento de presión es más
limitado. Esto explica la diferencia en los picos de presión entre ambas nodalizaciones.
Poco después, Htif decrece debido a la reducción del vacío en la chimenea y el domo.
En el largo plazo, la temperatura de saturación debe bajar hasta que la generación
de fracción de vacío en el núcleo es re-establecida, Figura VII.13, de acuerdo a la
ecuación (VII.8). En tanto que QN es reducido, el subenfriamiento a la salida de núcleo
se reduce en la condición final. Esto es más notable en Nod-2, donde el subenfriamiento
inicial es mayor.
6. Conclusiones
En esta sección, se analiza el comportamiento de la auto-presurización en un
transitorio de presurización, comparando el código HUARPE, desarrollado en este
trabajo, con RELAP, un código comercial.
Para permitir el control de presión del sistema, el refrigerante del circuito
primario debe estar termodinámicamente acoplado al vapor del domo. El caso de total
desacople hace que el sistema no sea controlable ante transitorios de presurización. Las
formas de acoplar termodinámicamente el agua y el vapor en el domo son por
conducción a través de las estructuras, o por procesos de ebullición y condensación que
aseguren el intercambio de calor entre fases. Un sumidero de calor dentro de la zona de
vapor asegura el equilibrio termodinámico entre el líquido y el vapor, lo cual
proporciona una condición de excelente auto-control del sistema.
El modelado del intercambio térmico de las estructuras del domo con el fluido es
muy importante en la evolución de la presión, ya que ésta es particularmente sensible a
la condensación de vapor. El modelo de RELAP tiene problemas numéricos cuando se
124
Comportamiento de la auto-presurización
modela el domo de vapor como un único volumen hidráulico, y el modelo de estructuras
no tiene la capacidad de distinguir las fases líquido y vapor. Por esta razón, se desarrolló
una nodalización detallada en el domo de vapor, de manera de modelar el fluido en un
componente donde no es posible hacer aproximaciones unidimensionales, como es el
domo de vapor. Esto se realizó aproximando macroscópicamente los caminos
tridimensionales del fluido.
En la nodalización detallada se observó que el movimiento del vapor incrementa
la transferencia térmica con estructuras. Por el contratio, en la nodalización más simple
se observó que la misma actúa como by-pass térmico entre ambas fases, dado que se
impone la misma condición de temperatura de estructura. El modelo de HUARPE, que
tiene capacidad de seguir las variaciones del nivel de líquido, evita problemas
numéricos que frecuentemente aparecen en los códigos cuando se modela una estructura
en contacto con un volumen estratificado. El esquema de resistencia térmica, permite
modelar el efecto espacial dentro del material, sin necesidad de nodalizar radialmente.
El fenómeno de ebullición subenfriada y la posterior condensación de burbujas
en el líquido subenfriado son probablemente de significancia en la evolución estudiada,
ya que ambos determinan la cantidad de vapor existente en forma de burbujas a lo largo
de la chimenea y zona mezcla del domo. La ebullición subenfriada depende
directamente del flujo de calor en el núcleo, y se encuentra bastante bien documentada
dado que éste es un fenómeno de importancia en reactores clásicos. Por el contrario, el
ritmo de condensación del vapor a lo largo de la chimenea y el la zona mezcla del domo
dependen fuertemente de la interacción de las burbujas generadas con el líquido
subenfriado, en una geometría fuertemente tridimensional. Estos factores dejan este
fenómeno fuera del alcance de las herramientas actuales. En los transitorios analizados,
se observó que una mayor capacidad de condensación en la zona mezcla del domo
incrementa la cantidad de fracción de vacío en la chimenea, hecho que aumenta el
caudal en estado estacionario, y acota los aumentos de presión.
125
CAPITULO VIII
Conclusiones y Sugerencias
Conclusiones
En esta tesis, se desarrolla un modelo para la simulación de la dinámica de
reactores auto-presurizados, refrigerados por convección natural. En particular, se toma
como referencia el reactor CAREM-25. Para ello, se desarrollan modelos específicos
que se aplican a un código numérico (HUARPE). Luego se implementa un método de
linealización numérica por pequeñas perturbaciones. Resulta entonces un código
apropiado para el estudio del sistema, resulta flexible para permitir el análisis de
diferentes fenomenologías y la influencia de diversas hipótesis. El esquema numérico es
adecuado para el análisis de estabilidad, combinando las facilidades del análisis lineal
en el dominio de las frecuencias y la capacidad de estudio de comportamientos nolineales en el dominio de tiempo.
El método de linealización utilizado asegura una muy alta concordancia de los
resultados obtenidos con este esquema y los obtenidos con el código original,
observándose un comportamiento idéntico entre ambos casos cuando las desviaciones
respecto del estado estacionario son pequeñas, tanto en la amplificación de las
oscilaciones como en la frecuencia.
El reactor analizado presenta características particulares que hacen que su
comportamiento difiera del de los reactores clásicos. Debido a la auto-presurización, no
existen componentes activos para el control de presión en forma directa, sino que éste se
lleva a cabo mediante desbalances de potencia en el circuito primario. Esta condición
fuerza la existencia de vapor a lo largo de la rama caliente. La diferencia de alturas entre
la fuente de calor (núcleo) y el sumidero (generadores de vapor) generan la fuerza
boyante necesaria para su funcionamiento en convección natural en condiciones
nominales. Estas características son especialmente estudiadas en este trabajo.
Sobre el análisis de inestabilidades
La combinación de circulación natural y baja fracción de vacío vuelve al sistema
susceptible a tener oscilaciones. Bajo ciertas condiciones o hipótesis particulares, es
posible que el sistema experimente oscilaciones crecientes.
En este caso, la oscilación que tendría lugar sería debida a la interacción entre el
caudal y la fuerza boyante, esta última gobernada principalmente por las variaciones de
entalpía en la chimenea. Con un modelo muy sencillo, desarrollado ad-hoc se
determinaron algunas tendencias elementales: el sistema se hace más inestable para
mayores potencias de núcleo, menores potencias de condensación en el domo, mayores
tiempos de residencia en el núcleo y mayor inercia del refrigerante.
Un aspecto analizado, es la influencia de diferentes factores o hipótesis de
modelado en la predicción de la estabilidad lineal del sistema, incrementando la
complejidad de forma gradual. Esto permitió confeccionar mapas de estabilidad según
modelos de diferente grado de complejidad, y analizar la influencia de diferentes
factores e hipótesis de modelado en la predicción de la estabilidad lineal del sistema.
También se determinaron los principales modos de oscilación, amplificaciones y
frecuencias características de oscilaciones. Luego, se estudió el comportamiento del
sistema cuando se hace inestable, según el modelo no-lineal en el dominio de tiempo.
Se analizaron los efectos de la realimentación neutrónica y la auto-presurización
mediante estudios paramétricos, estableciendo la influencia de diferentes factores en los
ciclos límite.
El análisis en el dominio de las frecuencias permite una rápida visualización de
la estabilidad lineal del sistema. La metodología utilizada en el estudio paramétrico,
127
Conclusiones
incrementando la complejidad de los modelos de forma gradual, permitió relacionar los
modelos de bajo orden, utilizados para entender la naturaleza básica de las oscilaciones,
con aquellos que incluyen mayor detalle y fenomenologías específicas.
Un perfil de potencia no-uniforme, con un menor flujo cerca de la salida,
disminuye el tiempo de residencia del fluido en el núcleo, disminuyendo el retraso de
tiempo. Esto estabiliza el sistema respecto de la hipótesis de potencia uniforme.
La velocidad relativa entre fases aumenta la velocidad de las burbujas. Esto
disminuye la fracción de vacío, reduciendo la fuerza boyante y aumentando su
sensibilidad ante cambios de caudal, desestabilizando el sistema respecto del modelo
homogéneo. Por otra parte, se incrementa la velocidad del movimiento de
perturbaciones a lo largo de la chimenea, incrementando la frecuencia de las
oscilaciones.
En las condiciones bajo las cuales funciona el reactor, los cambios de densidad
en simple fase proporcionan una importante contribución a la fuerza boyante, lo cual
frecuentemente no es tenido en cuenta en los modelos de bajo orden. Dado que ésta es
mucho menos sensible a perturbaciones en el caudal, provee un fuerte efecto
estabilizador en el sistema.
Cuando se incluyen los cambios de presión con la altura, es posible que ocurra
ebullición en chimenea, ocasionada por la disminución de la temperatura de saturación
(“flashing”). Esto magnifica la amplificación de las oscilaciones, inestabilizando el
sistema.
La dinámica de núcleo, que incluye la dinámica de temperatura de combustible y
realimentación neutrónica, tiende a contrarrestar el efecto termohidráulico a la vez que
reduce el atraso de fase. Esto estabiliza el sistema cuando las oscilaciones son de baja
frecuencia, como es el caso de baja condensación en el domo. Cuando ésta se
incrementa, aumenta la fracción de vacío en el núcleo y la realimentación neutrónica es
mayor. En este caso, tienen lugar oscilaciones de mayor frecuencia, y el sistema es
relativamente desestabilizado.
En el caso de reducir el área de transferencia del núcleo con el refrigerante, la
temperatura promedio de los combustibles aumenta, de manera de mantener la potencia
transferida. Luego, ésta se hace menos sensible a cambios en la temperatura de
combustible, dado el incremento en su valor absoluto, tendiendo a una condición de
flujo de calor constante. Un incremento en el área puede interpretarse entonces como
aumento de la sensibilidad de la temperatura de núcleo, incrementando el efecto de la
realimentación neutrónica. Esto proporciona un efecto estabilizador en el rango
analizado.
El efecto de la realimentación neutrónica está directamente relacionado con el
coeficiente de realimentación por densidad de refrigerante. Cuando este es muy
pequeño, se tiende al caso de potencia de núcleo constante. Luego, el efecto de la
realimentación neutrónica se incrementa al aumentar este coeficiente, proveyendo un
efecto estabilizador, tendencia que se mantiene hasta un incremento del 100% respecto
del valor de referencia, en el punto de operación.
Considerar constante la temperatura de refrigerante a la entrada de núcleo
significa despreciar las perturbaciones que ocasionan los generadores de vapor. Debido
a que el tiempo de residencia del fluido en el GV es muy grande comparado con el de
núcleo, las fluctuaciones a la salida de los mismos son pequeñas en comparación con
las de salida de núcleo, por lo que no producen grandes cambios en la estabilidad del
sistema dadas las condiciones de trabajo del reactor. Sin embargo, se encontraron
128
Conclusiones
algunas situaciones en las que vale la pena tenerlas en cuenta: en las regiones más
estables, estas se hacen dominantes, en particular condiciones de muy baja o nula
fracción de vacío. Durante la evolución de las oscilaciones puede producirse una
“deriva” de la temperatura promedio a la entrada de núcleo, pudiendo desplazar los
valores medios de los títulos en chimenea. Por otra parte, cuando la realimentación
neutrónica es muy fuerte, estas perturbaciones influyen en la potencia generada en el
núcleo. En estas condiciones, es posible obtener un nuevo tipo de oscilación, dado que
estas variaciones de potencia lograrían afectar la entalpía de salida de núcleo, pudiendo
desestabilizar el sistema. A diferencia de los demás casos, estas oscilaciones son
sensibles tanto a los tiempos de la rama fría como a los de rama caliente. Sin embargo,
vale aclarar que las mismas solo aparecen cuando la realimentación neutrónica es muy
fuerte, y su análisis posiblemente requeriría de un cálculo de cinética que contemple
cambios de potencia locales.
El efecto de la realimentación de presión ofrece un efecto estabilizador respecto
del caso de considerar presión constante, lo cual equivaldría a suponer un volumen de
vapor infinito, que responde al siguiente mecanismo: un aumento de la fracción de vacío
en la chimenea expande todo el refrigerante, presurizando el sistema. Esto aumenta la
entalpía de saturación, tendiendo a disminuir la fracción de vacío. Por lo tanto, el efecto
natural de la realimentación de presión es el de balancear los cambios de densidad en la
zona de dos fases. La realimentación de presión es más fuerte cuando el volumen de
vapor es menor, estabilizando el sistema.
En el caso de existir oscilaciones crecientes (bajo condiciones o hipótesis
particulares), la amplitud de oscilaciones es restringida por fuertes efectos no-lineales,
no tenidos en cuenta en el análisis lineal. Estos se deben fundamentalmente que, cuando
la amplitud de oscilación crece, la frontera de ebullición cruza los límites de la
chimenea, ocasionando además la aparición de más de una frontera de ebullición en un
dado tiempo. Este es el principal mecanismo que acota la amplitud de oscilaciones, a
valores que resultan del orden del 1% en los casos analizados en este trabajo.
Oscilaciones de estas amplitudes permanecerían desapercibidas en caso de estar
presentes en el reactor, por lo que el sistema puede ser considerado estable en el sentido
práctico, aún en presencia de oscilaciones crecientes. Esta conclusión escapa a los
análisis lineales.
La realimentación neutrónica acota la amplitud de oscilaciones, dado que su
efecto es contrapuesto al puramente termohidráulico. Este efecto, a diferencia del que
establecen los límites de chimenea, se da aún para desviaciones muy pequeñas. La
realimentación neutrónica se incrementa tanto al aumentar el coeficiente de
realimentación por densidad de refrigerante como el área de transferencia de núcleo,
observándose menores amplitudes de oscilación para ambos casos.
La amplitud de las oscilaciones también se reduce al incrementar la
realimentación de presión. Esto se observa en los ciclos límite al reducir el volumen de
vapor.
Aunque el modelo desarrollado no incluye un modelo vacío subenfriado, a partir
de la experiencia adquirida es posible realizar algunas estimaciones acerca de su
influencia en el análisis de estabilidad. Desde el punto de vista lineal, es de esperar que
el aumento de fracción disminuya la sensibilidad de la fuerza boyante frente a cambios
de caudal, tendiendo a estabilizar el sistema. Debido a que ebullición subenfriada se
genera siempre en el núcleo, es posible que se reduzcan las zonas de “flashing” o
ebullición en chimenea, efecto también tendiente a estabilizar el sistema. Esto sería más
notable en condiciones de alta presión, donde los cambios relativos de presión con
129
Conclusiones
altura son menores, y a alta potencia, donde la ebullición en condiciones subenfriadas es
mayor. Desde el punto de vista no lineal, probablemente la frontera de ebullición
necesite perturbaciones algo mayores para escapar del núcleo, aunque es de esperar que
los principales factores que limitan la amplitud de oscilación, fundamentalmente la
aparición de múltiples fronteras de ebullición y la existencia de límites en la chimenea,
seguirán existiendo y acotando la amplitud de oscilaciones en valores similares.
Sobre el análisis de errores numéricos
El efecto de los errores numéricos, fuertemente relacionados con la nodalización
y paso de tiempo, se estudió evaluando su influencia en el análisis de estabilidad. Se
implementó un esquema de nodalización adaptiva, con el fin de minimizar el error en la
propagación de pequeñas perturbaciones a través de los volúmenes discretizados,
especialmente los que se encuentran en el régimen de dos fases. Se estudiaron diferentes
alternativas de integración temporal para mejorar la convergencia. En el dominio de las
frecuencias, se estudiaron estos factores en la amplificación de oscilaciones. El modelo
se comparó en un amplio rango de títulos con un modelo analítico, el cual es
estrictamente no-difusivo, verificándose un buen acuerdo. En el dominio de tiempo, se
estudió su influencia en la amplitud de oscilaciones.
El esquema de nodalización adaptiva muestra una muy baja difusión en el
transporte de pequeñas perturbaciones. Ésta mejora notablemente la convergencia frente
a nodalizaciones fijas. Por otra parte, el límite de estabilidad obtenido con estas últimas
presenta discontinuidades que coinciden con el desplazamiento de la frontera de
ebullición de un nodo a otro. Estas discontinuidades son minimizadas en el caso de la
nodalización adaptiva.
El caso de integración totalmente explícita produce una sobreestimación de la
inestabilidad respecto de nodalizaciones más refinadas, haciendo converger el límite de
estabilidad desde la zona estable. La integración implícita de la ecuación de momento y
la temperatura de combustible invierte esta tendencia en algunos casos, y mejora
notablemente la convergencia tanto en oscilaciones de tipo-I como en las de tipo-II. Los
resultados obtenidos con los equemas numéricos convergidos predicen un
comportamiento más estable respecto de los obtenidos con el modelo analítico.
Los gradientes del factor de amplificación cerca del límite de estabilidad de las
oscilaciones de tipo-I son más abruptos que en las de tipo-II. Esto hace que los límites
de estabilidad del tipo-II calculado por diferentes modelos tengan más diferencias.
En el caso del reactor estudiado, las perturbaciones de los generadores de vapor
en la zona de primario en simple fase son dominantes solamente en las regiones más
estables, siempre que la realimentación neutrónica no sea demasiado fuerte; por lo tanto,
la predicción del límite de estabilidad es aproximadamente independiente de la
nodalización de la rama fría, dada su fuerte dependencia con la nodalización de la rama
caliente.
Cuando se incluye la realimentación neutrónica y la frontera de ebullición se
encuentra en el núcleo, se observan saltos discontinuos en el factor de amplificación
cuando la frontera de ebullición pasa de un nodo a otro. Estas discontinuidades
disminuyen al incrementar la nodalización de núcleo, por medio de la incorporación de
pasos intermedios.
En cuanto a la amplitud de oscilaciones, éstas dependen fundamentalmente de la
nodalización de la chimenea y el paso de tiempo utilizado. La nodalización en el núcleo
130
Conclusiones
no ocasiona cambios importantes en los ciclos límites, dado que éstos están
determinados esencialmente por el movimiento de las fronteras de ebullición en la
chimenea.
La nodalización de la rama fría no introduce cambios en la amplitud de la
oscilación, dado que el efecto de las perturbaciones en los GV es despreciable. Sin
embargo, en caso de considerar temperatura de entrada de núcleo constante se genera un
desfasaje en los ciclos límites. Esto es debido a que el valor medio de la temperatura en
el downcomer cambia ligeramente. Esta tendencia se conserva aún en las nodalizaciones
más gruesas, causando la “deriva” respecto del caso de una temperatura fija.
Cuando la realimentación neutrónica es débil, la amplitud de la oscilación está
más fuertemente determinada por efectos no lineales que aparecen solamente a partir de
una determinada amplitud de oscilación, como es el cruce de la frontera de ebullición
con los límites de chimenea o la aparición de más de una frontera de ebullición. Estos
fenómenos son dominantes y relegan a un segundo plano las diferencias entre las
soluciones numéricas de las diferentes nodalizaciones.
La realimentación neutrónica introduce efectos no lineales aún para desviaciones
muy pequeñas. Luego, pierde importancia relativa la existencia de un límite de
oscilaciones bien definido por la aparición de nuevos fenómenos físicos, y las
diferencias relativas a factores numéricos se hacen más evidentes.
Sobre el comportamiento de la auto-presurización:
Se estudió la naturaleza de la auto-presurización y su aproximación al modelado
durante un transitorio de reducción parcial de potencia removida por los generadores de
vapor, utilizando el modelo desarrollado en este trabajo y RELAP, un código comercial.
En este último, se utilizaron dos alternativas de nodalización para el domo de vapor.
Mediante un estudio paramétrico, se estudió la dependencia de la evolución de presión
con diversos procesos de ebullición y condensación, prestando especial atención al
domo de vapor. Se observó un razonable acuerdo entre modelos.
El control de presión del sistema es posible si el refrigerante del circuito primario
está termodinámicamente acoplado al vapor del domo. Esto significa que el intercambio
de calor entre fases, sumado a un buen mezclado de cada una de ellas, hacen posible
condensar vapor del domo a través de desbalances de potencia en la fase líquida a lo
largo del circuito. En el caso de total desacople esto no es posible, lo que causa la
imposibilidad de reducir la presión. Esto hace que el sistema sea no controlable ante
transitorios de presurización.
Las formas de acoplar termodinámicamente el agua y el vapor en el domo son
por conducción a través de las estructuras, o por procesos de ebullición y condensación
que aseguren el intercambio de calor entre fases. Un sumidero de calor dentro de la zona
de vapor asegura el equilibrio termodinámico entre el líquido y el vapor, lo cual
proporciona una condición de excelente auto-control del sistema. En el reactor
analizado ésta es promovida principalmente por los mecanismos de control, y en menor
grado por las pérdidas de calor a través de las paredes del recipiente de presión.
El modelado del intercambio térmico de las estructuras del domo con el fluido es
muy importante en la evolución de la presión, ya que ésta es particularmente sensible a
la condensación de vapor.
El fenómeno de ebullición subenfriada y la posterior condensación de burbujas
en el líquido subenfriado son probablemente de significancia, ya que ambos determinan
131
Conclusiones
la cantidad de vapor existente en forma de burbujas a lo largo de la chimenea y domo.
La ebullición subenfriada depende directamente del flujo de calor en el núcleo, y se
encuentra bastante bien documentada dado que éste es un fenómeno de importancia en
reactores clásicos. Por el contrario, el ritmo de condensación del vapor a lo largo de la
chimenea y el domo dependen fuertemente de la interacción de las burbujas generadas
con el líquido subenfriado, en una geometría fuertemente tridimensional. Estos factores
dejan este fenómeno fuera del alcance de las herramientas actuales. En los transitorios
analizados, se observó que una mayor capacidad de condensación en la zona mezcla del
domo incrementa la cantidad de fracción de vacío en la chimenea, hecho que aumenta el
caudal en estado estacionario, y acota los aumentos de presión.
Tareas Futuras
Se propone la continuación de esta línea de trabajo, tanto en la implementación
de nuevos modelos como en estudio de diversos estados operativos.
En cuanto a los modelos, un posible tema de estudio es la influencia del vacío
subenfriado en el análisis de estabilidad del sistema. Como se mencionó, esto está
íntimamente relacionado con fuertes efectos tridimensionales que dejan este fenómeno
fuera del alcance de las herramientas actuales, quedando este tema pendiente este tema
para futuras investigaciones.
Una futura aplicación es la utilización de esta herramienta de cálculo para definir
estrategias de puesta en marcha del reactor. En este caso es de esperar que el fenómeno
de flashing sea más importante, dadas las condiciones de baja presión y baja potencia.
Debido al mayor cambio en las propiedades de saturación con altura, el movimiento de
la frontera de ebullición entre los límites de chimenea probablemente implique mayores
amplitudes de oscilación. El esquema permitiría definir posibles caminos para evitar
zonas inestables mediante un análisis lineal, y si esto no fuera posible, minimizar y
evaluar la amplitud de oscilaciones mediante un análisis no-lineal.
132
Contexto y aportes de la tesis
Como resultado directo de los estudios realizados en esta tesis, se han efectuado
3 publicaciones internacionales, 3 presentaciones en congresos internacionales y 2 en
nacionales. Estos abarcan estudios en los siguientes temas:
- La descripción de modelos específicos (Zanocco P. et al, 2002a).
- El impacto de los modelos físicos utilizados para la predicción de la estabilidad
lineal y no lineal (Zanocco P. et al, 2004a, b)
- La influencia de los errores numéricos en el análisis de la estabilidad lineal
(Zanocco P. et al, 2002b; 2004c; 2005). En el primero, se presenta también un método
pseudo-lagrangiano para la propagación de frentes de entalpías, método que fue
discontinuado y no se incluye en esta tesis. El último se encuentra en etapa de revisión.
- El comportamiento de la auto-presurización (Zanocco P. et al, 2001b; 2003a).
Sin embargo, durante el período en que se realizó esta tesis, se realizaron
diversos estudios que no se incluyen explícitamente en la misma, pero que
contribuyeron considerablemente a profundizar en el modelado y conocimiento del
sistema. El desarrollo de esta tesis se debe en gran medida al conocimiento adquirido en
esos trabajos. Los mismos involucran 2 publicaciones internacionales, 3 presentaciones
en congresos internacionales y 9 en nacionales, como así también 13 reportes e informes
de proyecto.
Gran parte de esos trabajos forman parte de la etapa de consolidación de
Ingeniería Conceptual del Reactor CAREM, en particular el modelado y análisis de
accidentes y la consolidación y diseño de los sistemas de seguridad pasivos / avanzados
de seguridad. La fuerte interacción con un proyecto activo, proponiendo y analizando
diferentes soluciones, potenció el aprendizaje durante esa etapa.
Este período, incluye la gestión de nodalización de un código de planta
(Giménez M. et al, 1999a, 2000a; Zanocco P. et al, 1999c, e), que fuera utilizado en el
análisis de seguridad del reactor CAREM. Esto permitió profundizar en el estudio,
interpretación y modelado de la fenomenología inherente de los sistemas de seguridad y
en su acople al reactor (Giménez et al, 1999b, 2000b, c, d, 2001; Schlamp M. et al,
1999; Vertullo A., 1999a, b; Zanocco P. et al, 1999d, f, 2000a, b, c). El funcionamiento
de estos sistemas, a diferencia de los reactores clásicos, depende fuertemente de su
naturaleza inherente en la evolución de accidentes, además de presentar un gran acople
con lo que ocurre en el sistema primario. Los estudios realizados sobre sus
fenomenologías se tradujeron en cambios en el diseño tanto del Segundo Sistema de
Extinción, como del Sistema de Extracción de Calor Residual. Los estudios sobre este
último sistema incluyen la colaboración con expertos del Centro de Investigación de
Rossendorf, Alemania, por medio de un convenio realizado a través de OIEA. El mismo
incluyó el chequeo de cálculos de este sistema, realizados con el código RELAP
(utilizado en el diseño), con resultados obtenidos con el código ATHLET. Es
importante resaltar que este código fue a su vez validado con dispositivos
experimentales que reproducen condiciones y geometrías similares a las de este sistema.
Se demostró que los criterios de diseño fueron satisfechos y más aún, superados con un
buen margen, confirmando las hipótesis previas tomadas para el diseño (Shaffrath A. et
al, 2003).
133
Como parte de la capacitación en modelado de sistemas termohidráulicos, se
obtuvo una beca de capacitación de OIEA por un período de tres meses, que se realizó
en la Universidad de Pisa. En esta institución existe una gran experiencia acumulada en
validación de códigos con facilidades experimentales. Allí se estudió la dinámica de una
facilidad experimental que reproduce la contención de un reactor tipo BWR, durante un
transitorio de presurización de la contención (LOCA), como parte de un ejercicio
internacional (Zanocco P. et al, 2000d, 2001a). Los resultados se obtuvieron utilizando
el código RELAP, el mismo que se utilizó para la evaluación de accidentes del diseño
CAREM. Se estudiaron diferentes alternativas de nodalización de los grandes
volúmenes de vapor y aire, y se compararon con experimentos. Luego, estos conceptos
sirvieron para profundizar sobre la dinámica de la auto-presurización.
En el ámbito académico, parte de los modelos que se muestran en esta tesis
sirvieron como base para el desarrollo de un modelo de generador de vapor. Esto fue el
resultado de el Trabajo Especial de Villar G., 1999a, para ser luego incorporado al
simulador de la Central Nuclear de Embalse (Villar et al, 1999b, c). Por otra parte,
también se desarrollaron modelos del sistema secundario, lo cual fuera el Trabajo
Especial de Rabiti A., 2001a, y que incorporado al modelo HUARPE permitió obtener
un modelo completo de la planta (Rabiti A. et al, 2001b).
Otra importante línea de trabajo es el desarrollo de metodologías para la
incorporación de conceptos de seguridad en la etapa de ingeniería conceptual. Esto
consiste en correlacionar variables que son indicativas de la seguridad del reactor ante
un accidente con parámetros de diseño, mediante “mapas de diseño”. De esta forma, se
logra correlacionar el comportamiento del reactor ante transitorios con el diseño del
mismo, lo cual permite obtener un diseño balanceado desde el punto de vista de la
seguridad, y reducir sensiblemente la gran complejidad que se obtiene cuando estos
conceptos se aplican sobre una base ya preestablecida. Estos estudios se realizaron
utilizando versiones preliminares del modelo que finalmente se muestra en esta tesis,
resultando en 2 presentaciones en congresos nacionales (Zanocco P. et al, 1998c,
1999b), un congreso internacional (Zanocco P. et al, 1999a) y una publicación
internacional (Zanocco P. et al, 2003b)
134
Nomenclatura
A
a
C0
Cp
D
Dh
e
f
g
G
GV
Ĝ
H
HAN
h
ĥ
ht
j
k
K
L
M
MBC
NIT
Nsub
NZu
P
Per
Peso
Q, q
q”
q’
R, r
Rρ
S
T
t
u
ũgj
up
W
x
xd
y
z
Área
Factor de amplificación
Parámetro de distribución de flujo
Calor específico
Diámetro
Diámetro hidráulico
Espesor
Coeficiente de fricción / Función
Aceleración de la gravedad
Flujo másico
Generador de vapor
Momento total
Altura
producto del coeficiente de transferencia equivalente y el área de
transferencia de núcleo
Entalpía media
Entalpía de mezcla
Coeficiente de transferencia de calor
Flujo volumétrico
Conductividad
Coeficiente de fricción localizada
Longitud
Masa
Mecanismos de barras de control
Numero de iteraciones intermedias
Número de subenfriamiento
Número de Zuber
Presión
Perímetro
Perfil axial de generación de potencia
Potencia
Flujo de calor
Potencia lineal
Radio
Coeficiente de reactividad por densidad de refrigerante
Relación de velocidades de vapor y líquido promediadas en área (Slip)
Tiempo de residencia / Temperatura
Tiempo
Velocidad
Velocidad de “drift”
Velocidad de propagación de perturbaciones
Caudal másico
Título estático
Título dinámico
Variable de estado
Coordenada espacial
135
Letras griegas
α
β
δ
∆
Φ2f0
1φ
2φ
λ
θ
ρ
σ
ω
Fracción de vacío
Autovalor / Coeficiente de expansión térmica
Perturbación
Diferencia
Multiplicador de dos fases
Simple fase
Doble fase
Frontera de ebullición
Ángulo de la dirección del fluido respecto a la vertical
Densidad
Tensión superficial
Frecuencia
Subíndices y supraíndices
a
c
ch
D
e
f
g
i
l
j
LV
M
N
n
V
v
t
0
+
Ambiente
Combustibles
Chimenea
Domo
Estructuras / Entrada
Líquido saturado
Vapor saturado
Interfase / elemento i
Líquido
Número de nodo / elemento j
Transferencia entre fases en el nivel de líquido en el domo
Zona mezcla de domo
Núcleo
Paso de tiempo
Zona vapor de domo
Vapor
Transferencia
Estado estacionario / Valor nominal
Variable a ser convergida
136
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142
Apéndice A: Datos utilizados en el modelo numérico
Datos de entrada
Núcleo
HAN
Producto del coeficiente de transferencia equivalente y el área 0.485 MW/K
de transferencia de núcleo
Rρ
Coeficiente de realimentación por densidad de refrigerante
2*10-4 m3/kg
RTc
Coeficiente de realimentación por temperatura de combustible
-2.35*10-5 K-1
McCpc Capacidad calorífica de combustibles
1.73 MJ/K
AN
Área de pasaje
0.8 m2
LN
Longitud
1.4 m
DhN
Diámetro hidráulico
0.013 m
Chimenea
Ach
Área de pasaje
2 m2
Lch
Longitud
4.6 m
Dhch
Diámetro hidráulico
1.6 m
Generadores de vapor
AGV
Área de pasaje
2 m2
LGV
Longitud
4m
Downcomer
ADC
Área de pasaje
4 m2
LDC
Longitud
2m
Domo de vapor
VD
Volumen de domo
15. m3
VM
Volumen de mezcla en el domo
5 m3
Condiciones nominales
W
Caudal
410 kg/s
P
Presión
12.25 MPA
QN
Potencia de núcleo
100 MW
QV
Potencia de condensación en domo de vapor
0.5 MW
143 - Nota: Los datos aproximan los valores de CAREM-25, sin ser valores de diseño
Cálculo de HAN
El modelo utiliza un parámetro HAN que es ingresado externamente. El mismo
incluye, como se explica en la sección II.1.3.1, información que corresponde a
conductividades, capacidades caloríficas, geometrías y el coeficiente de transferencia al
refrigerante. A continuación se detallan los datos utilizados para el cálculo de este
coeficiente.
El cálculo de htc se realizó de acuerdo a la expresión II.44, en base a una barra
como se muestra en la Figura A.1, aproximando generación uniforme en todo el radio
de la pastilla de uranio y despreciando la capacidad calorífica del gap. El cálculo de ht
se realizó a partir de la correlación de Dittus-Boelter:
ht = 0.023 kH2O Re0.8 Pr0.3 /DhN
Gap
UO2
R
rp
rvai
Vaina
Figura A.1: Esquema de una barra combustible
Sumados a los datos dados anteriormente, se utilizaron los que se detallan a
continuación:
ρCpuo2
Capacidad calorífica del uranio
3.32 MJ/m3K
ρCpvai
Capacidad calorífica de la vaina
2 MJ/m3K
kuo2
Conductividad del dióxido de uranio
3.3 W/(m K)
kvai
Conductividad de la vaina
14 W/(m K)
kgap
Conductividad del gap
0.56 W/(m K)
kH2O
Conductividad del agua
0.51 W/(m K)
rp
Radio de la pastilla
3.8 mm
rvai
Radio interno de la vaina
3.85 mm
R
Radio externo de la vaina
4.5 mm
144 - Nota: Los datos aproximan los valores de CAREM-25, sin ser valores de diseño
Re
Nro. de Reynolds en el núcleo
89000
Pr
Nro. de Prandlt
~1
Número de combustibles
61
Número de barras calefaccionadas en un EC
108
Con estos datos, resulta:
ht
Coeficiente de transferencia
8500 W/(m2K)
htc
Coef. de transf. equivalente de combustible.
2390 W/(m2K)
hteq
Coeficiente de transferencia equivalente
1865 W/(m2K)
AtN
Área de transferencia de núcleo
260 m2
HAN
0.485 MW/K
145 - Nota: Los datos aproximan los valores de CAREM-25, sin ser valores de diseño
Apéndice B: Ecuaciones de cinética puntual
A continuación se detallan las ecuaciones de cinética puntual, las cuales definen
la potencia generada:
I
R−β
Q fis + ∑ λi Ci
dt
Λ
i =1
dCi
β
= −λi Ci + i Q fis
dt
Λ
dH j
= −λHj H j + E j Q fis
dt
dQ fis
=
(B.1)
donde:
E
Fracción de energía de decaimiento
λH
Constante de decaimiento
Λ
Vida media de neutrones prompt
λ
Constante de decaimiento del grupo de neutrones retardados
β
Fracción de neutrones retardados
H
Potencia de decaimiento
Qfis
Potencia generada por fisiones
Las potencias de decaimiento por neutrones retardados (Ci) y las energías de
decaimiento (Hi) se modelan a I=6 y J=11 grupos, respectivamente.
La solución de estas ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden se utiliza
para evaluar una potencia efectiva del núcleo; es decir, la potencia total generada en el
núcleo a un tiempo dado, es:
J
J


QN = 1 − ∑ E j Q fis + ∑ λHj H j
j =1
j =1


(B.2)
La reactividad introducida puede describirse de la siguiente forma:
R = δR = Rρ δρ + RTcδTc
(B.3)
donde:
RTc
Coeficiente de Reactividad por temperatura de combustible
Rρ
Coeficiente de Reactividad por densidad de refrigerante
146 - Nota: Los datos aproximan los valores de CAREM-25, sin ser valores de diseño