Modelos en el espacio de estados

Control Digital. Guía 8
1
Facultad: Ingeniería
Escuela: Electrónica
Asignatura: Control Digital
Lugar de Ejecución: Aula 3.24
Instrumentación y Control
Modelos en el espacio de estados
Objetivos específicos
•
•
Crear modelos en el espacio de estado usando la caja de herramientas de sistemas de
control de MATLAB.
Aplicar los comandos mostrados en la guía.
Materiales y equipo
•
1 Computadora con MATLAB 2008a o superior.
Introducción Teórica
En este guía se presentarán los modelos matemáticos en donde el sistema será estudiado como
visto desde el computador. Este recibe mediciones del proceso a intervalos discretos y transmite
una nueva señal de control también a intervalos discretos. El objetivo es entonces describir los
cambios en las señales de muestra a muestra sin importar el comportamiento entre ellas. Es de
recalcar que a pesar de que estos modelos muestran el comportamiento en los puntos de
muestreo, el proceso físico sigue siendo un proceso continuo.
Representación en Variables de estado.
No se debe olvidar que la planta a controlar sigue siendo continua y que se observa su
comportamiento en el instante de muestreo. Sea una planta con una dinámica descrita en
variables de estado como la ecuación siguiente:
{
ẋ  t = Ax  t  Bu  t 
Ec 1.
y  t = Cx  t  Du  t 
Una situación común en control es encontrar los conversores DA construidos de tal manera que
mantengan la señal analógica constante hasta la llegada de una nueva conversión. Es natural
entonces elegir los instantes de muestreo, tk, como los instantes en donde el control cambia.
Como la señal de control es discontinua, es necesario precisar su comportamiento en la
discontinuidad. Se adopta por convención que la señal es continua por derecha.
2
Control Digital. Guía 8
Si se le controla con una señal u reconstruida con un bloqueador de orden cero, esta será
constante durante todo el período de muestreo y la evolución de los estados durante este
período se podrá calcular, resolviendo la Ec 1,
t
x  t = e
A  t −t k 
x  t k ∫ e
A  t −
Bu  d  Ec 2.
tk
Para el instante siguiente resulta,
t k1
x  t k 1= x k 1=e
A  t k 1 −t k 
x  t k ∫ e A  t − d  Bu  t k  Ec 3.
tk
La segunda igualdad resulta de considerar constante u entre instantes de muestreo. El vector de
estado en tk+1 es una función lineal de x(tk) y u(tk). Si los conversores AD y DA están
perfectamente sincronizados y si el tiempo de conversión es despreciable, u e Y pueden
considerarse como muestreadas en el mismo instante. La ecuación del sistema muestreado es
{
x  t k1 = t k 1 , t k  x  t k   t k 1 , t k  u  t k 
Ec 4 .
y  t k =Cx  t k  Du  t k 
con
  t k1 , t k = e
A  t k 1− t k 
t k 1
  t k 1 , t k = ∫ e
A  t −
d B
Ec 5 .
tk
La relación entre las señales muestreadas está dada por la ecuación lineal en diferencias Ec 4.
Esta no involucra ningún tipo de aproximación, da el exacto valor de las variables y de la salida
en el instante de muestreo ya que la señal de control es constante durante el período de
muestreo. El modelo de la Ec 4 es llamado modelo de un sistema muestreado con bloqueador
de orden cero y es el equivalente al de la Ec1.
En muchos casos D es nula. Una razón es que en los sistemas controlados digitalmente existe
un pequeño retardo entre el muestreo de Y y la salida de control u. Además la respuesta del
sistema entre muestreos es parte de la respuesta escalón. Se puede considerar que el sistema
actúa a lazo abierto entre dos instantes de muestreo.
Si al período de muestreo se le llama T, el sistema es invariante en el tiempo y la matriz D es
nula, se puede simplificar de la siguiente forma:
Control Digital. Guía 8
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{
x k1= x k u k
Ec 6.
y k= Cx k
con
=e AT
T
=∫ e A  d  B
Ec 7.
0
Valor entre muestras
Con la misma ecuación, variando t, se calcula el estado entre muestras.
El cálculo del estado entre muestras es como calcular la respuesta al escalón.
Entre muestras el sistema está en lazo abierto.
Cálculo de las matrices Discretas
El cálculo del muestreo de un sistema continuo requiere de la evaluación de matrices
exponenciales e integración de éstas. Pueden ser calculadas de diferentes maneras.
Por ejemplo:
•
•
•
•
Desarrollo en serie de la matriz exponencial
Transformada de Laplace e AT= sI − A −1
Teorema de Cayley-Hamilton
Llevar la matriz a la forma canónica de Jordan
Para sistemas de orden menor o igual a dos o para órdenes superiores con alguna estructura
especial se pueden hacer cálculos manuales.
Una posible forma es mediante el desarrollo en serie de la matriz
T
AT2
A i T i 1
Ec 8.
=∫ e d =IT 
...
2
!

i
1
!
0
A
resultando
=I  A 
Ec 9.
= B
4
Control Digital. Guía 8
Otra forma es utilizar la Transformada de Laplace ya que
e AT =sI − A −1 Ec 10.
Una tercera opción es utilizar el siguiente teorema
Teorema de Cayley-Hamilton
det  I − A ==n a n−1 n −1... a 1  a 0 Ec 11.
Una matriz satisface su polinomio característico
A n a n−1 A n− 1...a 1 A a 0=0 Ec 12.
o lo que es lo mismo
A n =−a n −1 A n−1−...−a 1 A −a 0 Ec 13.
A n =f  I , A , A 2 , ... , A n −1 Ec 14.
pero si se multiplica por A tendremos
A n 1=−a n −1 A n−...−a 1 A 2−a 0 A
A n 1=−a n −1 −a n−1 A n−1−...−a 1 A − a 0 −...− a 1 A 2−a 0 A Ec 15.
A n 1=f  I, A , A2 , ... , A n−1
es decir toda potencia de la matriz original se puede expresar como una combinación lineal de
(I,A,A2,..., An-1) y por lo tanto cualquier polinomio f(A).
También A satisface polinomios de grado menor a n-1. Esto se cumple cuando el polinomio
característico tiene raíces múltiples. En este caso se define el polinomio mínimo que es de
menor grado que el característico y depende del tamaño de los bloques de Jordan.
Todo polinomio puede ser expresado como una división de polinomio , de la forma
f = q  h  Ec 16.
pero el primer término es nulo, con lo que queda, calculado en A, lo siguiente
f  A = h  A  Ec 17.
Control Digital. Guía 8
5
este polinomio es de grado n-1. La EC 16 se cumple para todos los autovalores de A
En el caso del cálculo de eAT se puede considerar como un polinomio de grado infinito y
calcularlo en base al polinomio característico de A
Ejemplo 1. Teorema de Cayley-Hamilton
Se desea calcular eAT con la matriz
A=
[−120 71 ]
Ec 18.
cuyo polinomio característico es
[
]
=∣ I − A∣=  −1 =2−7 12=−4−3 Ec 19.
12 −7
el polinomio a calcular es
f = e
T
Ec 20.
El polinomio h tendrá orden 1 y será de la forma:
h =1  0 Ec 21.
y se cumple que
f = e
T
= h = 1  0 Ec 22.
que calculado para los autovalores de A resulta
{
e 4T = 1 4 0
Ec 23.
e3T =1 3 0
de donde se puede deducir el valor de las constantes
{
1= e 4T −e 3T
Ec 24.
0=−3 e 4T 4 e 3T
6
Control Digital. Guía 8
reemplazando
e AT = 0 I  1 A =−3 e 4T 4 e 3T  I  e 4T −e 3T  A Ec 25.
[
4T
3T
4T
3T
e
e −e
e = −3 e 4
4T
3T
4T
3T
−12 e −e  4 e −3 e
AT
]
Ec 26.
Ejemplo 2. Doble integrador
El doble integrador se describe en variables de estado según la siguiente ecuación
{
[ ]
[]
ẋ  t = 0 1 x  t  0 u  t 
Ec 27.
0 0
1
y  t =[1 0] x  t 
[ ][ ] [ ]
= 1 0  0 T 0= 1 T
0 1
0 0
0 1
T
=∫
0
{
[]
2
Ec 29.
2
T
T x
k
2 u k Ec 30.
1
T
=[1 0] xk
[ ]
x k1= 1
0
yk
[]
[]
T
 d =
2
1
T
Ec 28.
Ejemplo 3. Motor
Un modelo simple, normalizado de un motor de cc es el siguiente
{
[
]
[]
ẋ  t = −1 0 x  t  1 u  t 
Ec 31.
1 0
0
y  t =[0 1] x  t 
Control Digital. Guía 8
[
 sI − A  = s 1 0
−1
s
−1
−1
]
1
=
s
s  s 1 1
[
=e AT =
T
=∫
0
[
[
[ ]
1
0 = s 1
s 1
1
s  s 1
]
7
0
1
s
Ec 32.
]
−T
e
0
Ec 33.
−T
1−e
1
] [
]
e− d = 1−e−T
Ec 34.
1−e−
T −1e−T
Evolución del Estado
Los sistemas discretos invariantes se pueden describir mediante la ecuación en diferencias
descrita anteriormente y por simplicidad se utiliza T=1 y x(kT)=xk.
Asumiendo conocidos x(ka)=xa y las señales de entrada u(k0), u(k0+1),... ¿Cómo evoluciona
entonces el estado?
Se puede resolver la ecuación iterativamente
x k 1 = x k  u K
x k 2= x k  u K = 2 x k   u K  u K
.
.
.
k −k
k −k 1
x k= x k 
 u k ... u k 1
a
a
a
a
a 1
a 1
a
k −ka
a
a 1
Ec 35.
a
a
x k=
a
a
k −1
x k  ∑  k − j−1  u j
a
j= ka
La solución tiene dos partes: una que depende de la condición inicial y otra que es una suma
ponderada de las señales de entrada
Pasaje de Discreto a Continuo
Con el muestreo de un sistema se define una correspondencia entre un sistema continuo, como
el de la Ec 1 y un sistema discreto como el de la Ec 6. Un ejemplo simple mostrará que esta
8
Control Digital. Guía 8
correspondencia no siempre se puede invertir.
Ejemplo 4. Sistema de primer orden
No hay ecuación diferencial de primer orden que después del muestreo de la ecuación en
diferencia
x k1=−0.5xk  u k Ec 36.
e aT=−0.5 Ec 37.
tenga solución real dado que la exponencial es siempre positiva.
El modelo discreto es mas general que el continuo
Si el sistema discreto no tiene autovalores reales negativos, si existe inversa
1
ln 
A=
=ln  T  Ec 38.
T
B =−1  Ec 39.
Si el sistema no tiene integradores, Ф-I es no singular
B =−1 = A −1 A = A −I −1 A  Ec 40.
Ejemplo 5 Oscilador Armónico
Existen muchos sistemas continuos que dan el mismo sistema continuo
ẋ  t =
[
]
=
[
x k1=
Pero existe un único
[]
0  x  t  0 u  t 
Ec 41.
− 0

cos T 
−sen  T 
n n =
2
i
T
i =0,1, Ec 42.
] [
]
sen  T  x  1−cos T  u
k
k Ec 43.
cos  T 
sen  T 

que es el entorno de la frecuencia de Nyquist
T
Control Digital. Guía 8
9
Procedimiento
Parte I. Tutorial.
Modelos de tiempo discreto en el espacio de estado:
Crear modelos en el tiempo discreto es muy similar a como se crean en el tiempo continuo,
excepto que se debe especificar el periodo o tiempo de muestreo de los modelos en tiempo
discreto. El valor del tiempo de muestreo debe ser un escalar y estar expresado en segundos.
También puede usarse el valor de -1 para dejarlo sin especificar.
Como vimos en el práctica sobre las herramientas de MATLAB, para especificar modelos LTI
(Lineales invariables en el tiempo) en el tiempo discreto se usan los comandos tf, zpk, ss, o frd y
simplemente se añade el valor del tiempo de muestreo deseado a la lista de las entradas.
sist1 = tf(num,den,Ts)
sist2 = zpk(z,p,k,Ts)
sist3 = ss(a,b,c,d,Ts)
sist4 = frd(respuesta,frecuencia,Ts)
Por ejemplo:
sist = ss(A,B,C,D,0.5)
Especifica el modelo en el espacio de estado de tiempo discreto:
x [ n 1]= Ax [ n ] Bu [ n ]
Ec 44.
y [ n ]=Cx [ n ]Du [ n ]
con un periodo de muestreo de 0.5 segundos. Los vectores x[n], u[n], y[n], denotan las valores
de los vectores de estado, de entrada y salida en la n-ésima muestra.
Herramientas de análisis de modelos:
Las siguientes funciones son útiles para analizar, realizar transformaciones de coordenadas de
estado en ellos y derivar realizaciones canónicas en el espacio de estado para modelos únicos
LTI o arreglos de modelos LTI en el espacio de estado.
canon
ctrb
ctrbf
Realizaciones en el espacio de estado
Realización canónica en el espacio de estado
Matriz de controlabilidad
Forma de escalera de controlabilidad
10
Control Digital. Guía 8
gram
obsv
obsvf
ss2ss
Gramians de controlabilidad y observabilidad
Matriz de observabilidad
Forma de escalera de observabilidad
Transformación de coordenadas de estado
Balanceo diagonal de realizaciones en el espacio de
ssbal
estado
Tabla 1. Comandos para realización en el espacio de estado.
Conversión de Modelos
La Control System Toolbox contiene un conjunto de funciones que permiten a los modelos LTI
ser convertidos entre las varias representaciones.
Conversión de Modelos
Residue
ss2tf
ss2zp
tf2ss
tf2zp
zp2tf
zp2ss
Expansión en fracciones parciales consulte la ayuda de MATLAB
Conversión de espacio de estado a función de transferencia
Conversión de espacio de estado a polos y ceros
Conversión de función de transferencia a espacio de estado
Conversión de función de transferencia a polos y ceros
Conversión de polos y ceros a función de transferencia
Conversión de polos y ceros a espacio de estado
Tabla 2. Comandos de MATLAB para conversión de modelos.
También pueden convertirse entre el tiempo continuo y el tiempo discreto como se muestra en
la siguiente tabla:
Discretización
c2d
Ctdm
c2dt
d2c
d2cm
Conversión de tiempo continuo a discreto
Conversión de tiempo continuo a discreto con método
Conversión de tiempo continuo a discreto con retraso
Conversión de tiempo discreto a continuo
Conversión de tiempo discreto a continuo con método
Tabla 3. Comandos de MATLAB para Discretización.
Otros comandos de MATLAB a utilizar:
Otros comandos de Matlab a utilizar
expm
var=syms ('var ')
int (x,a,b)
tf(num,den)
Calcula la matriz exponencial
Convierte a una variable en simbólica
Calculo de integral de una expresión x, a y b son los límites de
integración
Mostrar los vectores de coeficientes como una función de
transferencia
Tabla 4. Otros comandos de MATLAB a utilizar
Control Digital. Guía 8
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Parte II. Ejercicios.
Los siguientes ejercicios deben resolverse usando MATLAB.
1. Realice los tres primeros ejemplos que aparecen en la introducción teórica.
2. Encuentre la función de transferencia del Integrador doble (ejemplo 2).
3. Encuentre la respuesta en el tiempo discreto de sistema anterior (tiempo de muestreo de 1s) y
explique el por qué de ella.
4. Repita los numerales 2 y 3 para el ejemplo 3.
5. Encuentre la forma canónica en el espacio de estado del doble integrador y del motor.
6. Encuentre el sistema discreto correspondiente al siguiente sistema continuo:
2
Ec 45.
 s 1s 2
Para un periodo de muestreo de 1 y para uno de 1e-6.
¿Cuándo puede despreciarse el numerador?
7. Encuentre el sistema discreto correspondiente al siguiente sistema continuo con inversa
inestable
6 ( s −1)
G ( s )=
Ec 46.
( s + 2)( s + 3)
Pruebe para un Ts = 1.25s. e indique si es inestable.
NOTA: Un sistema discreto tiene inversa inestable si tiene algún polo fuera
del círculo unitario.
Análisis de Resultados
1. Presente la solución de los ejercicios y las respuestas a las preguntas que se le pedían en el
procedimiento de la guía.
Investigación Complementaria
•
Investigue a cerca de los controladores por realimentación de estados.
Bibliografía
•
MODELOS DE SISTEMAS DISCRETOS. Diego Palmieri. Universidad Nacional de
Quilmes. Disponible en:
http://iaci.unq.edu.ar/Materias/Cont.Digital/Apuntes/ApuntePagina/CODIES2010_Cap3_
Modelos%20de%20Sistemas%20Discretos.pdf
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Control Digital. Guía 8
•
DOCUMENTATION CENTER CONTROL SYSTEM TOOLBOX.
Mathworks. Disponible en: http://www.mathworks.com/help/control/index.html
Hoja de cotejo: 8
Guía 8: Modelos en el espacio de estados
Alumno:
Puesto No:
Docente:
GL:
Fecha:
EVALUACION
%
1-4
5-7
8-10
CONOCIMIENTO
25
Conocimiento deficiente
de los fundamentos
teóricos
Conocimiento y
explicación incompleta
de los fundamentos
teóricos
Conocimiento completo
y explicación clara de
los fundamentos teóricos
APLICACIÓN DEL
CONOCIMIENTO
70
Realizó solamente 1 o 2
ejercicios correctamente
Realizó de 3 a 5
ejercicios correctamente
Realizó de 6 a 7
Ejercicios correctamente
ACTITUD
2.5
Es un observador pasivo.
Participa
ocasionalmente o lo
hace constantemente
pero sin coordinarse
con su compañero.
Participa propositiva e
integralmente en toda la
práctica.
2.5
Es ordenado; pero no
hace un uso adecuado
de los recursos
Hace un uso adecuado
de los recursos, respeta
las pautas de seguridad;
pero es desordenado.
Hace un manejo
responsable y adecuado
de los recursos conforme
a pautas de seguridad e
higiene.
TOTAL
100
Nota