- Instituto de Física UNAM

La fı́sica de la chimenea solar
Vı́ctor Romero Rochı́n
Instituto de Fı́sica, Universidad Nacional Autónoma de México.
Apartado Postal 20-364, 01000 México, D.F, Mexico.∗
∗
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1
D
h = 195 m
chimenea
R = 120 m
D = 10 m
colector solar
(plexiglass)
d=2m
h
d
R
FIG. 1: Esquema de una chimenea solar.
I.
LA CHIMENEA SOLAR
La chimenea solar es una alternativa para producir energı́a sustentable y limpia usando
la energı́a solar combinada con el principio básico del efecto chimenea (stack effect). Existen
ya varios prototipos construidos, entre los más notorios, el de Manzanares, España, con
una chimenea de altura h = 195 m y un diámetro D = 10 m. El radio promedio del
colector de energı́a solar es de R =120 m, con una altura desde el suelo de d = 2 m. Vea la
Figura 1. El incremento tı́pico de la temperatura del aire dentro del colector con respecto
a la del ambiente es de 20 K. El flujo de aire resultante se usa para mover unas turbinas
(colocadas en la cercanı́a de la base de la torre) que, a su vez, generan electricidad. Aqui nos
olvidaremos de las turbinas. El propósito es entender el flujo del aire dentro del sistema y su
velocidad como función de las caracterı́sticas de la chimenea. En lo que sigue presentaremos
el desarrollo más sencillo e idealizado del problema.
2
v
ph
C
T0
v
ρ0
h
v
v= 0
T
ρ
v
v
A
presión en A es p(0)
B
v= 0
p0
presión en C es p(h)
FIG. 2: Los puntos A, B y C están dentro del aire caliente con densidad ρ y temperatura T . El
aire en el ambiente tiene densidad ρ0 y temperatura T0 . La presión ambiente del aire en el piso es
p0 y a la altura h es ph .
II.
LA FÍSICA DEL PROBLEMA Y UNA SOLUCIÓN SENCILLA
1. El aire dentro del colector (debido a la radiación solar) se calienta a una temperatura T
mayor que la temperatura ambiente T0 . A su vez, la densidad ρ del aire dentro del colector
disminuye con respecto a la densidad ρ0 del aire en el ambiente. Esto es, T > T0 a la vez
que ρ < ρ0 . Mientras no haya flujo, la presión del aire dentro del colector es similar a la del
ambiente p0 a nivel del suelo, vea la Figura 2.
3
2. El aire caliente al ser menos denso que el del ambiente, tiende a elevarse dentro de
la chimenea por efecto de boya. Este es un transitorio que ocurre por un cierto tiempo,
durante el cual el flujo se comporta de manera complicada, hasta que se genera una cierta
velocidad v en el colector en la cercanı́a de la entrada a la chimenea. Esta posición está
marcada con A en la Figura 2.
3. Una vez que el aire alcanza esa velocidad (por efecto Bernoulli) la presión del aire
caliente en la vecindad de la entrada de la chimenea, se reduce con respecto a la presión p0
del aire caliente en la entrada al colector; esta posición está marcada con B en la Figura 2.
Sea p(0) la presión del aire caliente en la entrada de la chimenea, punto A. Aplicando la
ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene
1
p0 = p(0) + ρv 2 .
2
(1)
Es decir, p(0) < p0 , y es esta diferencia de presiones la que sostiene el flujo. La ecuación (1)
supone que la densidad del aire caliente ρ es constante dentro del colector. Supone también
que la presión el aire caliente en la entrada del colector es igual a la del aire en el ambiente,
a nivel de piso. Aclaramos también que hemos despreciado, y seguiremos despreciando,
cualquier efecto de viscosidad o fricción.
4. Se alcanza entonces un estado estacionario, sostenido por la diferencia de presiones
∆p = p0 − p(0). Notamos que la velocidad del aire caliente en el punto A es v y que esa es la
misma velocidad del aire caliente al entrar en la chimenea. Si ahora hacemos la suposición
razonable que el aire caliente mantiene su misma densidad ρ a lo largo de la chimenea, que
es de sección transversal constante πD2 /4, entonces, por conservación de masa, la velocidad
del flujo también permanece constante, con el valor v, dentro de la chimenea. La suposición
que la densidad del aire se mantiene constante dentro de la chimenea no puede aplicarse a
una chimenea arbitrariamente alta.
5. El flujo, pues, está en un estado estacionario entrando con velocidad cero en el punto
B, acelerándose hasta el valor v en el punto A, y permaneciendo con velocidad v a lo largo
de la chimenea hasta su salida en la altura h, punto C en la Figura 2.
4
6. Existe una suposición adicional. El aire al salir en C lo hace con cierta presión p(h),
dada también por la ecuación de Bernoulli, aplicada entre el punto A y el punto C,
p(h) = p(0) − ρgh.
(2)
Esta presión, en principio, no tiene por qué ser igual a la del ambiente ph a la altura h.
Sin embargo, puede suponerse que en una distancia vertical δh medida desde la salida de la
chimenea, con δh h, las presiones se igualen pues el aire caliente de salida se dispersa en
el ambiente. Esto permite suponer que
p(h) ≈ ph .
(3)
7. Con las consideraciones y suposiciones previas, podemos calcular el valor v del flujo
en A y a lo largo de la chimenea. Para esto, aplicamos una vez más la ecuación de Bernoulli
al flujo del aire caliente, desde el punto B hasta el punto C. El resultado es,
1
p0 = p(h) + ρgh + ρv 2 .
2
(4)
Usando la aproximación (3), p(h) ≈ ph , la ecuación puede reescribirse como
1 2
ρv = p0 − ph − ρgh.
2
(5)
Ahora notamos que p0 − ph es la diferencia de presiones del aire ambiente entre el piso y la
altura h. Si suponemos que la densidad del aire ambiente ρ0 permanece constante también,
consistente con la misma suposición del aire caliente, entonces
p0 − ph = ρ0 gh.
(6)
Combinando las ecuaciones (5) y (6), llegamos a una expresión para la velocidad v,
s
v=
2gh
ρ0 − ρ
.
ρ
(7)
8. Resulta que experimentalmente es difı́cil medir la densidad del aire caliente ρ, sin
embargo, su temperatura sı́ se puede determinar. Lo que deseamos entonces es expresar
las densidades en términos de las temperaturas. Esto puede estimarse comparando las
correspondientes densidades en la vecindad del punto B, en el cual ambos gases están a la
misma presión. Si ahora recordamos que el aire puede aproximarse por un gas ideal, tenemos
(M es la masa molar del aire)
p0 =
R
ρT
M
y
5
p0 =
R
ρ0 T0 ,
M
(8)
de donde obtenemos la relación
ρ0
T
= .
ρ
T0
(9)
9. Usando (9) en (7), llegamos a la expresión deseada de la velocidad v en el punto A y
a lo largo de la chimenea,
s
v=
2gh
T − T0
.
T0
(10)
10. Haciendo una estimación numérica, suponiendo T − T0 = 20K con T0 = 300K,
hallamos, v ≈ 16 m/s ≈ 57 km/h, una velocidad nada despreciable ...
Agradezco a mis colegas, en particular a Raúl Espejel y Carlos Málaga, por ayudarme a
entender este problema y soportar mis divagaciones al respecto.
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